Plan de l’animation

� Résolution de problèmes dans les programmes 2008

� Difficultés dans l’enseignement de la géométrie

� Etapes, mots clés, compétences, capacités et méthodologie

� Principes didactiques en géométrie

� Comment aborder un concept mathématique ?

� Outils TUIC au service de la géométrie

� Mise en situation

Résolution de problèmes dans les programmes 2008

� Nombres et calculs :La résolution de problèmesliés à la vie courante permet d’approfondir la connaissance des

nombres étudiés, de renforcer la maîtrise du sens et de la pratique des opérations, de développer la rigueur et le goût du raisonnement.

� Géométrie :Les problèmesde reproduction ou de construction de configurations géométriques diverses

mobilisent la connaissance des figures usuelles. Ils sont l’occasion d’utiliser à bon escient le vocabulaire spécifique et les démarches de mesurage et de tracé.

� Grandeurs et mesures :La résolution de problèmesconcrets contribue àconsolider les connaissances et capacités

relatives aux grandeurs et à leur mesure, et, à leur donner sens. À cette occasion des estimations de mesure peuvent être fournies puis validées.

Résolution de problèmes pour les didacticiens

C’est dans la solution de problèmes que sont élaborées les notions et que sont extraites les propriétés pertinentes.

Gérard Vergnaud

Résolution de problèmes :�Mettre en évidence les connaissances opératoires, les

représentations des élèves, les procédures (formulations verbales, dessins, schémas,…)

L’apprentissage :�N’est pas seulement centré sur les connaissances mais aussi sur

les procédures (rencontre entre savoir et savoir faire)�Période où on essaie de faire sans en avoir les compétences,

pour les faire émerger (principalement en géométrie)

Difficultés dans l’enseignement de la géométrie

Les dogmes géométriques :

� La construction à la règle et au compas:Figure réalisée à la règle et au compas, sur papier blanc est une excellente évaluation des

Savoirs construits. Construire les savoirs avant de les évaluer, favoriser les situations

d’apprentissage ( figures à main levée)

�La démonstration : La démonstration ne peut se concevoir que quand on connaît les objets sur lesquels on est censé

raisonner.

A l ’école élémentaire :

Donner une culture globale des objets géométriques et de

leurs relations les plus simples : les reconnaître, apprendre à les

décomposer en leurs éléments caractéristiques et mettre en place le

vocabulaire spécifique.

Difficultés dans l’enseignement de la géométrie

Etapes essentielles et obstacles majeurs

�Représenter l’espaceReprésenter des objets dans l’espace demande de maîtriser des outils

difficiles (perspective, patron)

�Connaître les formes et les relations spatialesConstruire du savoir géométrique c’est structurer les connaissances sur

les formes et structurer les connaissances sur les relations spatiales

qu’ont les formes entre elles.

Etapes essentielles et obstacles majeurs

� Représenter l’espace� Connaître les formes et relations spatiales

�Passer de l’objet au concept mathématique4 instances:

l’objet physique,la reproduction de l’objet (sur papier, pâte à modeler,…)

la représentation codifiée sur papier avec outils adaptésle concept (la représentation existe indépendamment de l’objet de départ)

Proposer des allers retours réguliers entre ces quatre instances sans les confondre.

Les mots clés

Produire: Il s'agit de découvrir et de s'approprierle matériel, d'apprendreà l'utiliser pour

produire des formes. La production doit être gratifiante, et autant que possible il

faut prévoir que chaque élève puisse emporter chez lui un spécimen individualisé.

On est là dans une activité de type technologique, oùc'est le matériel qui induit la

nature des objets produits.

Produire Reproduire

Décrire

Représenter Construire

Reproduire : Proposer de reproduire les objets . On peut reproduire avec lemême matériel, ou avec un autre matériel. On peut reproduire avec l'objet commemodèle, ou sur photo, ou sur croquis, ou sur description. On peut reproduire àl'identique ou à une échelle différente. On peut organiser l'activité avec un jeu dela marchande pour commander les pièces nécessaires à la reproduction.

Décrire: On ne peut décrire que dans des actions finalisées. On a besoin de décrire avant de reproduiresoi-même ou pour qu'un autre reproduise. On peut distinguer des descriptions quantitatives, où on classe et on compte les différents éléments, et des descriptions qualitatives,où on essaie de donner des indications permettant de reconnaître l'objet. On peut enfin écrire la recette de fabrication, mais c'est beaucoup plus difficile. Des jeux peuvent aider à mettre en place ces activités de description. Le jeu de la marchande, du portrait, ou les jeux de reconnaissance.

Produire Reproduire

Décrire

Représenter Construire

Représenter : C'est avec le passage à la représentation que commence l'activité mathématique proprement dite. II s'agit avant tout de garder la mémoire de l'objet. Pour pouvoir le reconstruire quand le matériel sera à nouveau disponible, ou pour résoudre un problème en l'absence de l'objet. II ne s'agit donc pas de rechercher l'exactitude de la reproduction. Et c'est là qu'il faudra faire l'apprentissage de la figure à main levée avant la représentation codifiée.

Construire: Il s'agit de réaliser un objet géométrique à partir de rien. C'est une reproduction sans modèle, où on doit concevoir l'objet, et choisir le matériel en fonction des contraintes du problème.

Produire Reproduire

Décrire

Représenter Construire

Compétences et capacités dans la résolution de problèmes

Compétences transversales Capacités sous-jacentes

Recevoir un message- Lire- Observer- Identifier- Reconnaître

Traiter un message

- Analyser- Etudier des cas particuliers- Choisir- Confronter les données aux acquis

antérieurs

Emettre un message- Elaborer un plan d’action- Produire et déclarer des faits- Valider sa production- Conclure

Recommandations générales pour résoudre un problème

1. Lire attentivement l’énoncé et se faire une première idée de la situation géométrique proposée en relevant les mots clés et les données essentielles

2. Exécuter sommairement une figure traduisant les hypothèses émises (figure à main levée)

3. Construire la figure correspondante conformément aux données et restrictions de l’énoncé

4. Examiner les propriétés de la figure et les lier à la question posée

5. Partir de la découverte et utiliser son raisonnement pour émettre des hypothèseset les valider

Programme de constructionTrace un triangle équilatéral. Trace 3 demi-cercles vers

l’extérieur en prenant pour centre le milieu de chaque côté et pour rayon la mesure d’un demi-côté.

� Repérer les mots clés et les données essentielles �Tracer la figure à main levée�Lister les propriétés de la figure et des différents éléments qui

la composent�Choisir les outils nécessaires�Représenter la figure�Valider ou invalider et corriger

Principes didactiques en géométrie

10 principes pour assurer la stabilité d’un concept mathématique

Le principe de pluralité:Une même structure doit être présentée sous des formes variées.Associer de nombreux exemples à un concept.

Le principe de hiérarchisation:Nécessité de replacer un concept parmi d’autres plus généraux, plus particuliers.Les concepts mathématiques ne sont pas isolés.

Le principe de négation:Lors de la présentation d’un concept il faut le situer par rapport au non-concept.

Le principe d’auto-correction:L’enfant progresse en corrigeant lui-même ses erreurs.

Le principe dynamique :Présentation plus ludique et manipulatoire.

Le principe de constructivité :

L’élève acquiert ses concepts à l’aide de ses expériences propres.

L’intuition précédera l’analyse et la pensée déductive.

Donner à l’élève la possibilité de découvrir des faits par lui-même

Le principe de variabilité didactique:Les concepts mettant en jeu des variables doivent être appris par des

expériences réalisant le plus grand nombre possible de valeurs différentes

de ces variables.

Le principe de variabilité perceptuelle:Présenter le concept en faisant appel à tous les moyens de perception

possibles.

Le principe d’utilisation des représentations:Toutes les représentations graphiques facilitant la représentation mentale

seront utilisées.

Le principe d’expérimentation:

L’élève acquiert ses concepts à l’aide de ses expériences propres.

Construire un concept mathématique

Un exemple :

Les droites parallèles

aborder un concept mathématique.docx

Réfléchir ensemble

doc de travail.docx