Plan dtude dune isomtrie vectorielle ou affinedun espace
euclidien orient de dimension 2 ou 3.
Essaidi Ali
20 dcembre 2013
Endomorphismes orthogonaux
Soit E un espace euclidien euclidien orient muni dune base
orthonorme directe B.Soit f O(E) de matrice A dans la base B.On
pose Invf = {x E/f(x) = x} = ker(f idE) = E1(f) lespace des
invariants de f ou encore lespace propre associ un.
1 Cas dimE = 2 :Dimension de Invf Nature de f
2 Identit.1 Symtrie orthogonale par rapport Invf .0 Rotation
vectorielle dangle . est dterminer par :
cos = a11 et sin = a21.Trucs et astuces :
Il faut toujours sassurer que tAA = I2. On peut faire ltude sans
passer par le sous-espace des points fixes en calculant juste detA.
Si detA = 1 alors f est une
rotation vectorielle sinon cest une symtrie orthogonale. Si A
est symtrique alors f est une symtrie orthogonale. Lidentit est une
rotation vectorielle dangle 0.
2 Cas dimE = 3 :Dimension de Invf Nature de f
3 Identit.2 La symtrie orthogonale par rapport Invf .1 Rotation
vectorielle dangle et daxe Re orient par e unitaire.
On calcul partir de trA = 2 cos + 1 avec [0, pi].
On a A tA = 0 c bc 0 ab a 0
donc e est le vecteur unitaire du vecteur x(a, b, c).0
Anti-rotation : Produit commutatif dune rotation re, et dune
symtrie orthogonal
sP avec P = {e}.Si A est symtrique alors A = I3, cest la compose
du retournement daxe ~k et dela symtrie orthogonale par rapport au
plan Vec{~i,~j}.Sinon, on calcul partir de trA = 2 cos 1 avec [0,
pi].
On a A tA = 0 c bc 0 ab a 0
donc e est le vecteur unitaire du vecteur x(a, b, c).Le plan P =
{x} donc P : ax+ by + cz = 0.
Trucs et astuces :Si det f = 1 alors f est une rotation
vectorielle.On suppose que A 6= I3 et det f = 1. Si A est symtrique
alors f est une symtrie orthogonale par rapport un plan. Sinonf est
une antirotation.
1
ALImathlaayoune
ALImathlaayoune
CPGE Laayoune Lissane Eddine Essaidi Ali
Isomtries affines
Soit E un espace euclidien euclidien orient muni dune base
orthonorme directe B.Soit f Is(E) de matrice A dans la base B.On
pose Invf = {x E/f(x) = x} lespace affine des invariants ou des
points fixes de f .
3 Cas dimE = 2 :Nature de Invf Nature de f
E Lidentit sur E.Une droite D Symtrie orthogonale par rapport
D.
un point Rotation de centre et dangle celui de ~f .Lensemble
vide et det ~f = 1 Translation
Lensemble vide et det ~f = 1 Une symtrie glisse f = sD tu = tu
sDSoit M E Alors u = 12
Mf2(M) et D = I + Ru avec I le milieu de [M,f(M)].
4 Cas dimE = 3 :Nature de Invf Nature de f
E Lidentit de E.Un plan P La symtrie orthogonale par rapport P
.
Une droite D La rotation daxe D orient par e et dangle avec ~f =
re,.Un point Anti-rotation : Produit commutatif dune rotation rD,e,
et dune symtrie orthogonal
sP .On calcul e et partir de lanti-rotation vectorielle ~f .D =
+ Re et P = + {e}.
et ~f = IdE Translation. et det f = 1 et ~f 6= IdE Vissage daxe
D orient par e, dangle et de vecteur u.
f = r(D, e, ) tu = tu r(D, e, ).~f est une rotation vectorielle
dangle et de vecteur e.On a D = {M E/
(Mf(M), e
)li}.
Pour tout M D on a u = Mf(M). et det f = 1 Une symtrie glisse f
= sP tu = tu sP
Soit M E Alors u = 12Mf2(M).On a ~f est une symtrie orthogonale
par rapport E1(A). Donc, P = I+E1(A) avecI le milieu de
[Mf(M)].
www.mathlaayoune.webs.com 2/2 [email protected]
ALImathlaayoune
ALImathlaayoune
