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Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011) Electromagnétisme et relativité restreinte 58 Plan du chapitre « Electromagnétisme et relativité restreinte » 0. Rappels de relativité restreinte 1. Electromagnétisme et relativité restreinte 2. Formalisme quadridimensionnel 3. Formulation covariante de l’électromagnétisme 4. Electrodynamique des particules rapides 5. Applications

Plan du chapitre « Electromagnétisme et relativité restreinte · autres sont égales 2 à 2 : il faut 6 composantes indépendantes pour caractériser un tenseur antisymétrique

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Plan du chapitre « Electromagnétisme et relativité restreinte »

0. Rappels de relativité restreinte 1.  Electromagnétisme et relativité restreinte 2.  Formalisme quadridimensionnel

3.  Formulation covariante de l’électromagnétisme

4.  Electrodynamique des particules rapides 5.  Applications

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  Ceci est plus un cours introductif « avec les mains » qu’un cours détaillé

  Ne pas vous imaginer que cela remplace un bon cours de M2…

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Plan du chapitre « Electromagnétisme et relativité restreinte »

0. Rappels de relativité restreinte 1.  Electromagnétisme et relativité restreinte 2.  Formalisme quadridimensionnel

3.  Formulation covariante de l’électromagnétisme 1.  Le tenseur électromagnétique 2.  Les équations de Maxwell 3.  Transformation des champs 4.  Invariants du champ électromagnétique

4.  Electrodynamique des particules rapides 5.  Applications

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  Dans le cours de mécanique, vous avez vu le tenseur électromagnétique :

  Ceci se montre à l’aide du principe de moindre action, du lagrangien d’une particule libre et du lagrangien d’une particule chargée dans un champ

  C’est un tenseur antisymétrique caractérisé par 6 composantes non nulles

  Les composantes de E et B ne sont pas des vecteurs de l’espace-temps, mais simplement les composantes du tenseur EM. C’est la raison pour laquelle E et B « se mélangent » dans une TL

(Fµν ) =

0 Ex /c Ey /c Ez /c− Ex /c 0 − Bz By− Ey /c Bz 0 − Bx− Ez /c − By Bx 0

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

Fµν = − Fνµ

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Qu’est-ce qu’un tenseur antisymétrique ?

  Un tenseur du 2e ordre contravariant est un objet mathématique à 16 composantes Tµν (µ et ν variant de 0 à 3) qui dans un changement de référentiel se comporte comme :

  Il sera symétrique si Tµν = Tνµ et antisymétrique si Tµν = - Tνµ   Tout tenseur peut être décomposé en la somme d’un tenseur

symétrique et d’un tenseur antisymétrique   Les caractères de symétrie (ou d’anti) sont invariants par TL

  Les tenseurs antisymétriques jouent un rôle particulier en EM. Les 4 composantes sur la diagonale principale sont nulles et les 12 autres sont égales 2 à 2 : il faut 6 composantes indépendantes pour caractériser un tenseur antisymétrique

ʹ′ T µν = Λαµ Λβ

ν Tαβ

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  Les composantes spatiales de (Fµν) sont liées à B, ses composantes temporelles sont liées à E

  On peut donner une forme contravariante au tenseur EM :

  Les deux tenseurs (Fµν) et (Fµν) sont antisymétriques

(Fµν ) =

0 Ex /c Ey /c Ez /c− Ex /c 0 − Bz By− Ey /c Bz 0 − Bx− Ez /c − By Bx 0

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

Fµν = gµρ Fργ gγν ⇒ (Fµν ) =

0 − Ex /c − Ey /c − Ez /cEx /c 0 − Bz ByEy /c Bz 0 − BxEz /c − By Bx 0

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

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  Le tenseur EM a été construit avec :

  où Aµ représente les coordonnées covariantes du QV potentiel €

Fµν =∂Aµ

∂xν−∂Aν∂xµ

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Plan du chapitre « Electromagnétisme et relativité restreinte »

0. Rappels de relativité restreinte 1.  Electromagnétisme et relativité restreinte 2.  Formalisme quadridimensionnel

3.  Formulation covariante de l’électromagnétisme 1.  Le tenseur électromagnétique 2.  Les équations de Maxwell 3.  Transformation des champs 4.  Invariants du champ électromagnétique

4.  Electrodynamique des particules rapides 5.  Applications

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La recette

  On montre (assez) facilement que pour 3 indices i, k et l :

  Le 1er membre de cette équation est un tenseur d’ordre 3, antisymétrique dans l’échange de ses indices   Il est donc évident (!) que ses seules composantes non nulles

sont obtenues pour 3 indices i, k et l différents à prendre parmi 0, 1, 2 et 3

⇒∂Fik∂xl

+∂Fkl∂xi

+∂Fli∂xk

= 0€

Fµν =∂Aµ

∂xν−∂Aν∂xµ

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Les équations de Maxwell (1/3)

  En prenant les 3 indices (1, 2, 3), on obtient :

  On retrouve (MΦ)

∂F12∂x3

+∂F23∂x1

+∂F31∂x2

= 0

⇒∂(− Bz )∂z

+∂(− Bx )∂x

+∂(− By)∂y

= 0 ⇒ ∇ . B = 0

(Fµν ) =

0 Ex /c Ey /c Ez /c− Ex /c 0 − Bz By− Ey /c Bz 0 − Bx− Ez /c − By Bx 0

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

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Les équations de Maxwell (2/3)

  En prenant les 3 indices (0, 1, 2), on obtient :

  On obtient les autres projections de (MF) avec (0, 1, 3) et (0, 2, 3)

∂F01∂x2

+∂F12∂x0

+∂F20∂x1

= 0 ⇒∂(Ex /c)∂y

+∂(− Bz )∂(c t)

+∂(− Ey /c)

∂x= 0

⇒∂Ey∂x

−∂Ex∂y

= −∂Bz∂t

Projection de (MF) sur Oz

(Fµν ) =

0 Ex /c Ey /c Ez /c− Ex /c 0 − Bz By− Ey /c Bz 0 − Bx− Ez /c − By Bx 0

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

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Les équations de Maxwell (3/3)

  On montre (MA) et (MG) à l’aide de calculs un peu plus ardus

  On retrouve les équations de Maxwell à partir des propriétés du tenseur EM, lui même obtenu à partir du lagrangien d’une particule dans un champ

(Fµν ) =

0 Ex /c Ey /c Ez /c− Ex /c 0 − Bz By− Ey /c Bz 0 − Bx− Ez /c − By Bx 0

⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎟ ⎟ ⎟ ⎟

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Plan du chapitre « Electromagnétisme et relativité restreinte »

0. Rappels de relativité restreinte 1.  Electromagnétisme et relativité restreinte 2.  Formalisme quadridimensionnel

3.  Formulation covariante de l’électromagnétisme 1.  Le tenseur électromagnétique 2.  Les équations de Maxwell 3.  Transformation des champs 4.  Invariants du champ électromagnétique

4.  Electrodynamique des particules rapides 5.  Applications

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  On considère (R’) en mru wrt (R). En utilisant les lois de transformation du QV potentiel à l’aide du tenseur EM, on montre après des calculs fastidieux que :

  ou de manière équivalente : €

ʹ′ E x = Exʹ′ E y = γu Ey − u Bz( )ʹ′ E z = γu Ez + u By( )

⎨ ⎪

⎩ ⎪

etʹ′ B x = Bxʹ′ B y = γu (By + u Ez /c

2)

ʹ′ B z = γu (Bz − u Ey /c2)

⎨ ⎪

⎩ ⎪

avec γu =1

1− u2 /c2

ʹ′ E // =

E //

ʹ′ E ⊥ = γu ( E ⊥ +

u × B ⊥ )

⎧ ⎨ ⎩

et ʹ′ B // = B //

ʹ′ B ⊥ = γu ( B ⊥ −

u × E ⊥ /c

2)

⎧ ⎨ ⎩

  Contrairement aux transformations des coordonnées, la composante orthogonale du champ est affectée par la TL

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  Ces formules montrent à nouveau que les champs E et B sont des grandeurs physiques relatives au référentiel dans lequel elles sont mesurées

  Notamment, l’un des deux peut ne pas exister dans un référentiel et exister dans un autre

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Transformation relativiste des champs

  Le champ électrique transverse d’une particule en mouvement subit une amplification d’un facteur γ dans le référentiel du laboratoire

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Limite non relativiste

  On montre facilement qu’au 1er ordre en u/c, on a :

  et que :

  Pour une distribution continue :

  On retombe sur « Biot et Savart » ! C’est la conséquence de l’approximation au 1er ordre de la transformation relativiste des champs

ʹ′ E ≈ E + u ×

B et

ʹ′ B ≈ B − u × ʹ′ E

c2

B (M ) ≈ µ0

4 πq u × u PM

r2

J (P) = ρ(P) u et

B (M ) ≈ µ0

4 π

J (P)× u PM

r2dVDistribution∫∫∫

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0. Rappels de relativité restreinte 1.  Electromagnétisme et relativité restreinte 2.  Formalisme quadridimensionnel

3.  Formulation covariante de l’électromagnétisme 1.  Le tenseur électromagnétique 2.  Les équations de Maxwell 3.  Transformation des champs 4.  Invariants du champ électromagnétique

4.  Electrodynamique des particules rapides 5.  Applications

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  Des propriétés physiques sont représentées par la disposition des éléments dans le tenseur électromagnétique

  Par exemple, on peut former 2 invariants par TL à partir de (Fµν) :   La trace du carré (vrai scalaire) :

Fµν Fµν

2= B2 − E

2

c2

εijkl Fij Fkl = E . B   La contraction (pseudo-scalaire) :

  où εijkl est le tenseur unité de rang 4 antisymétrique (seules ses composantes dont les 4 indices diffèrent sont ≠ 0) : toutes les valeurs se déduisent par un nombre pair (+1) ou impair (-1) de transpositions depuis ε1234 = 1

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  On a donc montré que lors du passage de (R) à (R’) :

  Conséquences :   Si E > Bc (ou E < Bc) dans (R), il en sera de même dans tout

référentiel (R’)   Si E et B sont orthogonaux dans (R)

 Soit ils sont également orthogonaux dans (R’)  Soit l’un des deux est nul dans (R’) : E’=0 (si E2-B2c2>0) ou

B’=0 (si E2-B2c2>0)   Si dans (R) à la fois alors E et B sont

orthogonaux dans tout référentiel et vérifient E = Bc   Si dans (R), E = Bc, alors il en est de même dans tout référentiel

(R’)

E . B = ʹ′ E . ʹ′ B et E2 − B2 c2 = ʹ′ E 2 − ʹ′ B 2 c2

E . B = 0 et E2 − B2 c2 = 0

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Plan du chapitre « Electromagnétisme et relativité restreinte »

0. Rappels de relativité restreinte 1.  Electromagnétisme et relativité restreinte 2.  Formalisme quadridimensionnel 3.  Formulation covariante de l’électromagnétisme

4.  Electrodynamique des particules rapides 1.  Relativité appliquée à des particules ultra relativistes 2.  Cas d’un champ électromagnétique 3.  Cas d’un champ électrique constant 4.  Cas d’un champ magnétique constant

5.  Applications

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Hautes énergies et relativité restreinte

  Les particules considérées en physique des hautes énergies sont ultra relativistes   Relativité restreinte   Le référentiel en mouvement est

celui de la particule   Le référentiel immobile est celui

du laboratoire

Facteur de Lorentz

E = m γ c2 et p = m γ β c ≈ m γ c

γ =1

1− β2

β =vc

=p cE

γe =500000,511

≈ 98000

γ p =35000,938

≈ 3730

  Energie et impulsion vérifient

  Par exemple, pour des protons de 3,5 TeV ou des électrons de 50 GeV :

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Quelques ordres de grandeur

  A notre échelle l’énergie d’une particule est très faible :   Exemple du LHC : 3.5 TeV

 ⇒ ELHC = 7 1012 eV   Exemple d’une abeille « lancée » à pleine vitesse (1 g = 5,8 1032

eV/c2 et v = 1 m/s)  ⇒ EAbeille = 10-3 J = 6,25 1015 eV

  Mais l’énergie totale stockée peut être très élevée :   Exemple du LHC : 1014 protons

 ⇒ EBeam = 1014 x 7 1012 ≈ 108 J  Ceci correspond à l’énergie d’un camion de 100 t lancé à 120

km/h

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0. Rappels de relativité restreinte 1.  Electromagnétisme et relativité restreinte 2.  Formalisme quadridimensionnel 3.  Formulation covariante de l’électromagnétisme

4.  Electrodynamique des particules rapides 1.  Relativité appliquée à des particules ultra relativistes 2.  Cas d’un champ électromagnétique 3.  Cas d’un champ électrique constant 4.  Cas d’un champ magnétique constant

5.  Applications

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  Quel est le mouvement d’une particule chargée rapide dans une zone où règnent des champs E et B ?

  On suppose qu’une charge q se déplace rapidement à une vitesse v = βc (// Ox) dans une zone où règnent des champs E et B

  Dans le référentiel (R’) se déplaçant à la vitesse βc, la particule est momentanément au repos   C’est un problème de physique classique !   On ne considère que 2 directions : Ox et Oy (Oz se déduira

facilement de Oy)

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  Pendant le temps (très court) entre t’ = 0 et t’ = Δt’, la particule accélère d’une impulsion p’ = 0 à p’x = Δp’x = q E’x Δt’ et p’y = Δp’y = q E’y Δt’

  On pourrait montrer que l’énergie cinétique de la particule (très faible si Δt’ est petit) n’est que du 2e ordre et que l’énergie à t’ = Δt’ reste mc2 au 2e ordre également   De la même façon, on néglige l’influence de B

  On utilise une TL pour obtenir les expressions de l’impulsion à t = 0 et t = Δt

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  A t = 0, on obtient :

  Après l’accélération, à t = Δt, on obtient :

  La variation de l’impulsion entre t = 0 et t = Δt est donc :

  La particule est presque au repos dans (R’), donc on peut assimiler Δt’ à un temps propre :

c px = γ (c ʹ′ p x +β m c2) = γ β m c2 et c py = c ʹ′ p y = 0

c px = γ (c q ʹ′ E x Δ ʹ′ t +β m c2) et c py = c q ʹ′ E y Δ ʹ′ t

Δpx = γ q ʹ′ E x Δ ʹ′ t et Δpy = q ʹ′ E y Δ ʹ′ t

Δt = γ Δ ʹ′ t

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  Il reste finalement :

  Soit en utilisant la transformation relativiste des champs :

  On montrerait de la même manière que

  En définissant la force relativiste par le taux de variation de l’impulsion relativiste, il reste :

Δpx = γ q ʹ′ E x Δ ʹ′ t et Δpy = q ʹ′ E y Δ ʹ′ t

Δt = γ Δ ʹ′ t

ΔpxΔt

= q ʹ′ E x etΔpyΔt

=qγ

ʹ′ E y

ΔpxΔt

= q Ex etΔpyΔt

= q Ey − β c Bz( )

ΔpzΔt

= q Ez +β c By( )

F = d p

dt= q

E + v ×

B ( ) Force de Lorentz

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0. Rappels de relativité restreinte 1.  Electromagnétisme et relativité restreinte 2.  Formalisme quadridimensionnel 3.  Formulation covariante de l’électromagnétisme

4.  Electrodynamique des particules rapides 1.  Relativité appliquée à des particules ultra relativistes 2.  Cas d’un champ électromagnétique 3.  Cas d’un champ électrique constant 4.  Cas d’un champ magnétique constant

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