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Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011) Equations de Maxwell dans le vide - Electromagnétisme 48 Plan du chapitre « Equations de Maxwell dans le vide - Electromagnétisme » 1. Distributions de charges et de courants 2. Equations de Maxwell dans le vide 3. Champ électromagnétique 1. Energie du champ 2. Impulsion du champ 3. Moment cinétique du champ 4. Quelques régimes particuliers de l’électromagnétisme 5. Invariances et symétries du champ électromagnétique 6. Conditions aux limites du champ électromagnétique

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Plan du chapitre «  Equations de Maxwell dans le vide - Electromagnétisme  »

1.  Distributions de charges et de courants 2.  Equations de Maxwell dans le vide

3.  Champ électromagnétique 1.  Energie du champ 2.  Impulsion du champ 3.  Moment cinétique du champ

4.  Quelques régimes particuliers de l’électromagnétisme 5.  Invariances et symétries du champ électromagnétique 6.  Conditions aux limites du champ électromagnétique

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Localisation de l’énergie

  Deux expériences classiques pour montrer que de l’énergie peut se propager sans support matériel et être associée au champ EM

  ⇒ Nécessité d’un bilan local de l’énergie

L’énergie passe d’un circuit à un autre sans

support matériel

L’énergie peut être associée au champ

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Puissance cédée par un champ EM à des charges

  L’énergie δ2W fournie pendant dt par le champ aux charges contenues dans dV est :

  Or :

  La puissance volumique cédée par le champ aux charges vaut :

  Pas de puissance cédée par le champ B. Le champ B ne travaille pas

dPdV

= J . E

δ2WdV

=d F

dV.d l =

d F

dV. v dt

v : vitesse de la particule moyenne (macroparticule) dF/dV : densité volumique de force

d F

dV= ρ E et

J = ρ v

⇒δ2WdV

= ρ E . J ρ

dt = J . E dt

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Relation locale de conservation de l’énergie (1/2)

  On note u la densité volumique d’énergie électromagnétique, son flux par unité de surface et σ la puissance volumique fournie aux charges électriques

  On note (V) un volume quelconque et (S) la surface qui l’entoure :

R

dε = − R dt .(S)∫∫ d

S − σ dV(V )∫∫∫( ) dt

Variation de l’énergie électromagnétique

pendant dt

Energie perdue pendant dt

dεdt

+ R .(S)∫∫ d S + σ dV(V )∫∫∫( ) = 0

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Relation locale de conservation de l’énergie (2/2)

  Finalement :

∂u∂t

+ ∇ . R +σ⎛

⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ dV(V )∫∫∫ = 0

∂u∂t

+ ∇ . R = − σ Equation locale de

conservation de l’énergie

dεdt

+ R .(S)∫∫ d S + σ dV(V )∫∫∫( ) = 0

ddt

udV(V )∫∫∫[ ] =∂u∂tdV(V )∫∫∫

∇ . R dV(V )∫∫∫ (Ostrogradski)

Valable pour tous les volumes dV ⇒

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Identité de Poynting – Densité d’énergie électromagnétique (1/3)

⇒1

µ0

B . ( ∇ × E )−

E . ( ∇ × B )( ) +

1µ0

B . ∂ B ∂t

+1

µ0 c2 E . ∂ E ∂t

= − J . E

∇ × B − 1

c2∂ E ∂t

= µ0 J

∇ × E + ∂

B ∂t

= 0

∇ . ( E × B )

∂∂t

B 2

2

⎜ ⎜

⎟ ⎟

∂∂t

E 2

2

⎜ ⎜

⎟ ⎟

⇒ ∇ . E × B

µ0

⎝ ⎜

⎠ ⎟ +

∂∂t12ε0 E2 +

B2

2 µ0

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟ = −

J . E Identité de

Poynting

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Identité de Poynting – Densité d’énergie électromagnétique (2/3)

  En identifiant :

  Le vecteur de Poynting est un vecteur polaire

  La densité volumique u généralise les densités obtenues en électrostatique et magnétostatique

  R et u ne sont pas linéaires. Attention à la notation complexe

u =12ε0 E

2 +B2

2 µ0

R = E × B

µ0

vecteur de Poynting

σ = J . E

∇ . R + ∂u

∂t= − σ

∇ . E × B

µ0

⎝ ⎜

⎠ ⎟ +

∂∂t12ε0 E2 +

B2

2 µ0

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟ = −

J . E

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Identité de Poynting – Densité d’énergie électromagnétique (3/3)

  On obtient une infinité d’autres solutions pour u et R en ajoutant à u un champ scalaire Φ et à R un champ vectoriel h tels que :

  Ceci est potentiellement problématique car R est lié à l’énergie   Des considérations relativistes font que la définition utilisée

est unique

∂Φ∂t

+ ∇ . h = 0

∂u∂t

+ ∇ . R = − σ

u =12ε0 E

2 +B2

2 µ0

R = E × B

µ0

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1.  Distributions de charges et de courants 2.  Equations de Maxwell dans le vide

3.  Champ électromagnétique 1.  Energie du champ 2.  Impulsion du champ 3.  Moment cinétique du champ

4.  Quelques régimes particuliers de l’électromagnétisme 5.  Invariances et symétries du champ électromagnétique 6.  Conditions aux limites du champ électromagnétique

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Problème de l’action instantanée à distance (1/2)

  La composante électrique de la force exercée par les deux charges l’une sur l’autre est dans le plan (Δ1, Δ2)

  La charge q1, assimilée à l’élément de courant q1 v1, crée un champ B nul en O. La charge q2, crée en A un champ B perpendiculaire au plan de la figure

  La force à laquelle est soumise la charge q1 dans le champ créé par la charge q2 n’est pas l’opposée de la force que subit la charge q2 dans le champ créé par la charge q1

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Problème de l’action instantanée à distance (2/2)

  Qualitativement, on explique ceci par :

  Il ne faut pas considérer les deux charges comme un système isolé, mais il faut ajouter l’effet du champ. La loi de conservation de la quantité de mouvement s’applique à :

F 1 =

d p 1dt

et F 2 =

d p 2dt

F 1 + F 2 ≠

0 ⇔

p 1 + p 2 ≠ Cste

p 1 + p 2 + p Champ

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Le champ EM est vivant

  On ne doit pas parler de « la force que deux charges exercent l’une sur l’autre » mais de « la force qu’une charge subit dans le champ créé par l’autre »

  Jusqu’à la fin du 19ème siècle, on a considéré les forces exercées à distance par un corps sur un autre

  Au 20ème siècle, la notion de champ permet de remplacer les forces exercées à distance par leurs actions locales

  Au 21ème siècle : ??

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  Comme pour l’énergie, il est logique d’imaginer que le champ EM cède de l’impulsion aux charges du milieu

  La conservation de la quantité de mouvement dans dV implique que la somme de   la quantité de mouvement sortant du volume   la variation de la quantité de mouvement du champ   la quantité de mouvement cédée par le champ aux charges

est nulle. On introduit le tenseur des contraintes (tenseur de rang 2 dont le flux à travers une surface est un vecteur)

  On montre que :

g = ε0 E × B = 1

c2 R Densité volumique

d’impulsion du champ

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1.  Distributions de charges et de courants 2.  Equations de Maxwell dans le vide

3.  Champ électromagnétique 1.  Energie du champ 2.  Impulsion du champ 3.  Moment cinétique du champ

4.  Quelques régimes particuliers de l’électromagnétisme 5.  Invariances et symétries du champ électromagnétique 6.  Conditions aux limites du champ électromagnétique

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Densités du champ

  On montre que la quantité de mouvement contenue dans dV entourant M, correspond, en O quelconque, à un moment cinétique de densité :

  La loi de conservation du moment cinétique doit prendre en compte le moment cinétique du champ

d σ 0dV

= d × g avec

d = O

M Densité volumique de

moment cinétique

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Lois de conservation

  En résumé, les lois de conservation (énergie, quantité de mouvement, moment cinétique) s’appliquent en considérant le champ comme une entité à part entière

  Conséquence de la propagation

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1.  Distributions de charges et de courants 2.  Equations de Maxwell dans le vide 3.  Champ électromagnétique

4.  Quelques régimes particuliers de l’électromagnétisme 1.  Régime permanent 2.  Approximation des Régimes Quasi Stationnaires

5.  Invariances et symétries du champ électromagnétique 6.  Conditions aux limites du champ électromagnétique

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  Permanent : δ/δt = 0

  E et B sont découplés

  On retrouve l’électrostatique et la magnétostatique, tels que définis avant la synthèse proposée par Maxwell

  Pas de distinction entre le champ magnétique déduit de ces équations et le champ de la magnétostatique   ⇒ « champ magnétique » et « champ magnétique permanent »

sont synonymes

∇ . E = ρ

ε0

∇ × B = µ0

J

∇ × E = 0

∇ . B = 0

(MG) (MA) (MF) (MΦ)

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  Champ électrique   On déduit des équations de maxwell :

  Le concept de « champ électrique permanent » suppose simplement ρ indépendant du temps

  Plus général que le champ électrostatique

  Exemple classique d’un faisceau cylindrique de particules chargées. Le calcul de E s’effectue avec l’intégrale ci-dessus !

Φ(M ) =1

4 π ε0ρ(P)PM

d3PEspace∫∫∫

E (M ) =

14 π ε0

ρ(P)PM 3 P

M d3P

Espace∫∫∫

∇ . E = ρ

ε0

∇ × B = µ0

J

∇ × E = 0

∇ . B = 0

(MG) (MA) (MF) (MΦ)

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1.  Distributions de charges et de courants 2.  Equations de Maxwell dans le vide 3.  Champ électromagnétique

4.  Quelques régimes particuliers de l’électromagnétisme 1.  Régime permanent 2.  Approximation des Régimes Quasi Stationnaires

5.  Invariances et symétries du champ électromagnétique 6.  Conditions aux limites du champ électromagnétique

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  ARQS (Régimes) ou AEQS (Etats) selon les auteurs

  Consiste à calculer les champs selon :

mais néglige les retards, ie utilise les potentiels instantanés en régime non permanent

  De manière équivalente, l’ARQS néglige les phénomènes de propagation €

Φ(M , t) ≈ 14 π ε0

ρ(P, t)PM

d3PEspace∫∫∫

A (M , t) ≈ µ0

4 π

J (P, t)

PMd3P

Espace∫∫∫

B = ∇ × A et

E = −

∇ Φ−

∂ A ∂t

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  Champ magnétique : identique à la magnétostatique (puisque le potentiel vecteur a la même forme) :   D’où

  L’ARQS néglige le courant de déplacement (c’est cohérent car il explique la propagation)

  Le caractère conservatif de l’intensité (flux de J) et ses conséquences (loi des mailles, loi des nœuds) sont valables dans l’ARQS (comme en régime permanent)

  Champ électrique : différent du cas statique puisque   D’où :

∇ × B = µ0

J et

∇ . B = 0

E = −

∇ (Φ)− ∂

A ∂t

∇ . E = ρ

ε0

∇ × E = − ∂

B ∂t

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  En résumé, les équations de Maxwell de l’ARQS sont :

∇ . E = ρ

ε0

∇ × B = µ0

J

∇ × E = − ∂

B ∂t

∇ . B = 0

(MG) (MA) (MF) (MΦ)

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Domaine de validité

  Approximation justifiée si tous les retards sont négligeables devant un temps caractéristique de l’évolution des champs   Pour un régime sinusoïdal, ceci signifie que le circuit est petit

devant λ = c / ν

  Exemples « traditionnels » (dimension caractéristique d) :   Si d ≈ 1 m (application courante), l’ARQS sera valable si ν <<

300 MHz ⇒ Circuits imprimés

  Si ν = 50 Hz (λ = 6000 km), l’ARQS sera valable si d << 6000 km ⇒ Circuits industriels de distribution de l’électricité

  Si ν = 10 MHz, l’ARQS sera valable si d << 30 m ⇒ On utilise généralement l’ARQS en TP !

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1.  Distributions de charges et de courants 2.  Equations de Maxwell dans le vide 3.  Champ électromagnétique 4.  Quelques régimes particuliers de l’électromagnétisme

5.  Invariances et symétries du champ électromagnétique 1.  Invariances 2.  Symétries

6.  Conditions aux limites du champ électromagnétique

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Principe de Curie

  Si une cause présente une certaine symétrie ou invariance, alors son effet aura la même symétrie (ou la même invariance), ou une symétrie supérieure, à condition que la solution du problème soit unique

  Noter que les éléments de symétrie agissent sur les directions des grandeurs vectorielles, tandis que les invariances agissent sur les variables dont dépendent ces grandeurs

  Exemples d’application en mécanique :   Conservation de E ⇒ invariance par translation dans le temps   Conservation de p ⇒ invariance par translation dans l’espace   Conservation de σ ⇒ invariance par rotation dans l’espace

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  Si un système physique S possède un certain degré de symétrie, on peut déduire les effets créés par ce système en un point à partir des effets en un autre point   6 propriétés découlant du principe de Curie, valables aussi bien

en statique qu’en régime variable tant qu’on néglige le temps de propagation

  Valable aussi bien pour les distributions volumiques que surfaciques, linéiques ou ponctuelles

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  P1 (Invariance par translation) : si un système est invariant dans toute translation parallèle à un axe, les effets sont indépendants des coordonnées de cet axe   Utiliser les coordonnées cartésiennes !   Ex : invariance de ρ par translation // (Oz) :

  Ex : invariance de J par translation // (Oz) :

Φ(M ) = Φ(x,y) et E (M ) = Ex (x,y)

u x + Ey(x,y) u y + Ez(x,y)

u z

A (M ) =

A (x, y) et

B (M ) =

B (x, y)

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  P2 (Symétrie axiale) : si un système est invariant dans toute rotation autour d’un axe donné, alors ses effets ne dépendent pas de l’angle qui définit la rotation   Utiliser les coordonnées cylindriques !   Ex: invariance de ρ par rotation par rapport à (Oz) :

  Ex : invariance de J par rotation par rapport à (Oz) :

Φ(M ) = Φ(r, z) et E (M ) = Er(r, z)

u r + Eθ (r, z) u θ + Ez(r, z)

u z

A (M ) = Ar(r, z)

u r + Aθ (r, z) u θ + Az(r, z)

u z

B (M ) = Br(r, z)

u r + Bθ (r, z) u θ + Bz(r, z)

u z

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  P3 (Symétrie cylindrique) : si un système est invariant par translation et rotation, ses effets ne dépendent que de la distance à l’axe de rotation   Utiliser les coordonnées cylindriques !

  P4 (Symétrie sphérique) : si un système est invariant dans toute rotation autour d’un point fixe, ses effets ne dépendent que de la distance à ce point fixe   Utiliser les coordonnées sphériques !

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Plan du chapitre «  Equations de Maxwell dans le vide - Electromagnétisme  »

1.  Distributions de charges et de courants 2.  Equations de Maxwell dans le vide 3.  Champ électromagnétique 4.  Quelques régimes particuliers de l’électromagnétisme

5.  Invariances et symétries du champ électromagnétique 1.  Invariances 2.  Symétries

6.  Conditions aux limites du champ électromagnétique

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Modélisation d’un « champ magnétique » ? (1/2)

  On montre expérimentalement que dans toute région subissant l’influence de courants, la force dF à laquelle un élément de circuit parcouru par I est soumis dépend linéairement de I dl :

  On observe également que dF et I dl sont perpendiculaires :

  La matrice des coefficients est donc antisymétrique. Il suffit de 3 coefficients pour décrire l’action du champ magnétique

dFxdFydFz

⎜ ⎜ ⎜

⎟ ⎟ ⎟

=

Bxx Bxy BxzByx Byy ByzBzx Bzy Bzz

⎜ ⎜ ⎜

⎟ ⎟ ⎟

I dlxI dlyI dlz

⎜ ⎜ ⎜

⎟ ⎟ ⎟

dFx dlx +dFy dly +dFz dlz = 0

∀I ⇒ Bxx = Byy = Bzz = 0 Byx = − Bxy Bxz = − Bzx Byz = − Bzy

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Modélisation d’un « champ magnétique » ? (2/2)

  On pose Bx = Byz, By = Bzx et Bz = Bxy. Il reste :

  Les coordonnées Bx, By et Bz sont les 3 composantes d’un tenseur antisymétrie d’ordre 2 et de rang 3

  Ecrire B sous forme vectorielle permet de le visualiser, mais les composantes de ce vecteur ne sont pas « normales »

  B est un pseudo-vecteur ou vecteur axial

(B) =

0 Bz − By− Bz 0 BxBy − Bx 0

⎜ ⎜ ⎜

⎟ ⎟ ⎟

B = Bx

u x + By u y + Bz

u z

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81

Une autre façon de voir les choses

  On peut définir un champ B à l’aide de la force de Lorentz :

  La force étant reliée à l’énergie, la définition ne doit pas dépendre de la convention d’orientation de l’espace !

F = q

E + v ×

B ( )

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  Il est facile de se représenter les champs E et B par des vecteurs. Mais cette représentation est-elle correcte ?

  On appellera parité l’opération de symétrie par rapport au point O. On définit 2 types de vecteurs :   un vecteur sera polaire (ou vrai vecteur) si Parité (V) = -V

  un vecteur sera axial (ou pseudo vecteur) si Parité (V) = V

  En particulier, B est axial pour que la force s’écrive :

E , r , v ,

F , J , A

r × p , r × F , B

F = q v ×

B

Exemples

Exemples

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  Principe de Curie : les éléments de symétrie des causes doivent se retrouver dans les effets produits   Les propriétés de symétrie ou d’antisymétrie des distributions

de charges et de courant se retrouvent dans les champs et les potentiels

  P5 (plan de symétrie) : si un système admet un plan de symétrie, alors en tout point de ce plan :   Un effet vectoriel est contenu dans ce plan   Un effet axial est perpendiculaire à ce plan

  P6 (plan d’antisymétrie) : si un système admet un plan d’antisymétrie, alors en tout point de ce plan :   Un effet vectoriel est perpendiculaire à ce plan   Un effet axial est contenu dans ce plan

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Symétrie d’une distribution de charge wrt un plan (1/2)

  Une distribution de charge possède un plan de symétrie (π) si deux éléments de volume symétriques par rapport à ce plan contiennent la même charge

  On montre que :

  En particulier, si un point appartient à un plan de symétrie de la distribution de charge, le champ électrique en ce point est contenu dans le plan

Φ( ʹ′ M ) = Φ(M )

E ⊥( ʹ′ M ) = −

E ⊥(M ) et

E //( ʹ′ M ) =

E //(M )

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Symétrie d’une distribution de charge wrt un plan (2/2)

  Une distribution de charge possède un plan d’antisymétrie (π) si deux éléments de volume symétriques par rapport à ce plan contiennent des charges opposées

  On montre que :

  En particulier, si un point appartient à un plan d’antisymétrie de la distribution de charge, le champ électrique en ce point est normal au plan

Φ( ʹ′ M ) = − Φ(M )

E ⊥( ʹ′ M ) =

E ⊥(M ) et

E //( ʹ′ M ) = −

E //(M )

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Symétrie d’une distribution de charge wrt un axe ou un point

  Si une distribution de charge possède un axe de symétrie, E est porté par cet axe

  Si une distribution de charge possède un centre de symétrie, E est nul en ce point

  Si une distribution de charge possède un axe d’antisymétrie, E est perpendiculaire à cet axe

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Symétrie d’une distribution de courant wrt un plan (1/4)

  Une distribution de courant possède un plan de symétrie (π) si les courants volumiques en deux points P et P’ symétriques par rapport à ce plan sont eux-mêmes symétriques :

  On montre que :

A ⊥( ʹ′ M ) = −

A ⊥(M ) et

A //( ʹ′ M ) =

A //(M )

B ⊥( ʹ′ M ) =

B ⊥(M ) et

B //( ʹ′ M ) = −

B //(M )

⇒ J ⊥( ʹ′ P ) = −

J ⊥(P) et

J //( ʹ′ P ) =

J //(P)

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Symétrie d’une distribution de courant wrt un plan (2/4)

  En particulier, si un point appartient à un plan de symétrie de la distribution de courant, le champ magnétique en ce point est normal au plan tandis que le potentiel vecteur est contenu dans le plan

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Symétrie d’une distribution de courant wrt un plan (3/4)

  Une distribution de courant possède un plan d’antisymétrie (π) si les courants volumiques en deux points P et P’ symétriques par rapport à ce plan sont eux-mêmes antisymétriques :

  On montre que :

A ⊥( ʹ′ M ) =

A ⊥(M ) et

A //( ʹ′ M ) = −

A //(M )

B ⊥( ʹ′ M ) = −

B ⊥(M ) et

B //( ʹ′ M ) =

B //(M )

⇒ J ⊥( ʹ′ P ) =

J ⊥(P) et

J //( ʹ′ P ) = −

J //(P)

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Symétrie d’une distribution de courant wrt un plan (4/4)

  En particulier, si un point appartient à un plan d’antisymétrie de la distribution de courant, le champ magnétique en ce point est contenu dans le plan tandis que le potentiel vecteur est normal au plan

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Symétrie d’une distribution de courant wrt un axe ou un point

  Si une distribution de courants possède un axe de symétrie, B est nul en tout point de celui-ci

  Si une distribution de courants possède un centre de symétrie, B est nul en ce point

  Si une distribution de courants possède un axe d’antisymétrie, B est porté par cet axe

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92

Plan du chapitre «  Equations de Maxwell dans le vide - Electromagnétisme  »

1.  Distributions de charges et de courants 2.  Equations de Maxwell dans le vide 3.  Champ électromagnétique 4.  Quelques régimes particuliers de l’électromagnétisme 5.  Invariances et symétries du champ électromagnétique

6.  Conditions aux limites du champ électromagnétique 1.  Densités ponctuelles, linéiques et volumiques 2.  Densités surfaciques

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93

  Charges ponctuelles

Les propriétés de continuité/discontinuité dépendent de la nature des distributions (ou de leur modélisation)

Φ ponc(M ) =1

4 π ε0qirii

E ponc(M ) =

14 π ε0

qiri2

i∑

u i

⇒ singularités au voisinage des charges

Ne pas oublier que l’électromagnétisme classique n’est plus valable dès qu’on se rapproche « trop » des charges

Reste valable pour des phénomènes dépendant du temps

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94

  Densités linéiques

E lin (M ) =

λ2 π ε0

1r u r

⇒ singularités au voisinage des charges

∇ × E vol =

0

∇ . E vol =

ρε0

ΔΦvol = −ρε0

⇒ E et Φ sont définis en tout point

⇒ E et Φ sont continus en tout point (car dérivées partielles bornées)

  Densités volumiques

Φ lin (M ) =λ

2 π ε0ln r

r0

⎝ ⎜

⎠ ⎟

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Plan du chapitre «  Equations de Maxwell dans le vide - Electromagnétisme  »

1.  Distributions de charges et de courants 2.  Equations de Maxwell dans le vide 3.  Champ électromagnétique 4.  Quelques régimes particuliers de l’électromagnétisme 5.  Invariances et symétries du champ électromagnétique

6.  Conditions aux limites du champ électromagnétique 1.  Densités ponctuelles, linéiques et volumiques 2.  Densités surfaciques

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96

  Les champs E1 et E2 sont des fonctions de classe C1, mais ne sont pas définis sur la surface de séparation

  La discontinuité de E vient de l’approximation faite en négligeant l’épaisseur de la surface chargée

⇒ E 2 −

E 1( ) . n 1→2 =

σε0

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97

  En résumé, on a :

  Le potentiel Φ reste continu à la traversée d’une surface chargée

⇒ n 1→2 ×

E 2 −

E 1( ) =

0

E 2 −

E 1 =

σε0

n 1→2

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Application : champ au voisinage d’une plaque de densité uniforme

Plaque d’épaisseur e

En faisant tendre e vers zéro

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99

  De même pour B, on montre qu’en présence d’une densité superficielle de courant K :

  Alors que MΦ entraîne :

( B 2 −

B 1) . n 1→2 = 0

n 1→2 × ( B 2 −

B 1) = µ0

K