Plan du chapitre « Induction électromagnétique · Traduit le signe « - » de la loi de Faraday € e(t ... entrant par la face sud (règle du flux maximum) ... 0 est la vitesse

Licence 3 et Magistère de Physique Fondamentale (2010-2011)

Induction électromagnétique 1

Plan du chapitre « Induction électromagnétique »

1.  Force électromagnétique d’induction 2.  Travail des forces de Laplace 3.  Théorie de l’induction électromagnétique 4.  Coefficients d’induction 5.  Energie emmagasinée dans un système de circuits 6.  Applications de l’induction électromagnétique



  L’induction n’est pas un phénomène simple à expliquer, surtout dans le cadre de la physique classique. La théorie de la relativité n’est jamais très loin …

Article « fondateur » de la théorie de la relativité

(Einstein - 1905)




1.  Force électromagnétique d’induction

2.  Travail des forces de Laplace 3.  Théorie de l’induction électromagnétique 4.  Coefficients d’induction 5.  Energie emmagasinée dans un système de circuits 6.  Applications de l’induction électromagnétique



Expériences historiques (Faraday)

Aiguille aimantée suspendue par une fibre entre 2 bobines. Une aiguille supplémentaire compense le champ

magnétique terrestre

Aiguille non aimantée qui s’aimante par l’impulsion de

courant induit en branchant le courant. Le sens de l’aimantation

est inversé quand on réalise l’expérience en débranchant le

circuit



Expériences « modernes » : couplage entre deux bobines

Deux bobines enroulées l’une sur l’autre auront un couplage

fort, voir idéal

Un courant variable dans une bobine engendre une fem alternative dans la 2e bobine, qui peut servir à éclairer

une ampoule



  On considère un circuit fermé (C1) parcouru par le courant I1. Le circuit (C2) ne comprend qu’un galvanomètre

  Le courant I1 crée B1 dans tout l’espace

C2 C1

  L’expérience montre qu’un courant induit apparaît dans (C2) dès qu’on modifie le courant dans (C1) ou la position relative de (C1) et (C2), ou les deux à la fois

  Interprétation : les porteurs de charges de (C2) sont mis en mouvement sous l’action de forces motrices fm dont la circulation est non nulle :

€

e =1q

f m .d

l (C2 )∫



Force électromotrice (1/2)

  On considère une courbe fermée orientée (C) et une charge q soumise à un champ de forces Fm(r, t) proportionnel à q. Par définition :

  « fem » est une appellation historique malheureuse car e(t) n’est pas homogène à une force mais à une tension

  Si e(t) ≠ 0, cette relation traduit le caractère non conservatif du champ de forces Fm(r, t)

  La circulation est le travail W que recevrait la charge q en effectuant un tour dans le sens positif :

€

W = F m ( r , t) .(C)∫ d

l = q e(t)

€

e(t) =1q

F m ( r , t) .(C)∫ d

l Force électromotrice



Force électromotrice (2/2)

  Pour e > 0, le champ de forces Fm(r, t) tend à faire circuler les porteurs de charges positifs dans le sens positif de (C), c’est à dire à produire un courant i > 0

  Pour un conducteur ohmique :

  Exemple du champ de forces F = q E exercé par un champ E = - grad(V) :

  Sur AB quelconque, la charge peut recevoir WAB = q (VA-VB) ≠ 0. Mais sur un tour, ce travail est nul. Or pour un circuit métallique, l’entretient d’un courant nécessite W > 0 pour compenser l’énergie perdue par effet Joule

  Conclusion (généralisable) : seul un champ à circulation non nulle est susceptible d’entretenir un courant permanent

€

i =eR

R : résistance totale du circuit (loi de Pouillet)



Lois de Faraday et de Lenz

  Une étude expérimentale a amené Faraday à énoncer :

  Ce n’est pas la dérivée d’une fonction mais la limite de ΔΦ/Δt

  Loi qualitative de Lenz : la fem induite tend par ses conséquences à s’opposer aux causes qui lui ont donné naissance   Loi « de modération », similaire dans son expression au principe

de Le Chatelier : tendance d’un retour à l’équilibre pour les systèmes légèrement hors d’équilibre

  Traduit le signe « - » de la loi de Faraday

€

e(t) = −dΦdt

= − limΔt→0

ΔΦΔt

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟




1.  Force électromagnétique d’induction

2.  Travail des forces de Laplace

3.  Théorie de l’induction électromagnétique 4.  Coefficients d’induction 5.  Energie emmagasinée dans un système de circuits 6.  Applications de l’induction électromagnétique



Champ quelconque

  On considère circuit (C) se déplaçant entre t et t+dt. Un élément de longueur dl du circuit subira :

€

d F = i d

l × B Force de Laplace

€

δW = i δϕ Travail des forces de Laplace

  Au cours du déplacement dr, cette force fournit le travail :

  En intégrant sur tout le circuit :   δϕ est le flux coupé par (C) pendant dt   B et i ne sont pas forcément constants

  Rappel : δϕ est une quantité élémentaire, alors que dϕ est la différentielle de la fonction ϕ (cf thermo où δW n’est pas la différentielle d’une fonction « travail »)

€

δ2W = d F .d r = i

B . d r ×d

l ( ) = i δ2φ avec δ2φ =

B .d S



Champ permanent (1/2)

  Dans le cas d’un champ permanent (et uniquement dans ce cas-ci), on a :

  En maintenant de plus i constant (nécessite la présence d’une source de courant qui s’oppose à la fem induite par le déplacement qui fait varier i), on peut intégrer selon :

 W > 0 : si rien ne s’oppose au déplacement du circuit, celui-ci se déplace pour embrasser un flux (algébrique) le plus élevé possible

  On défini une énergie potentielle magnétique qui correspond à l’énergie nécessaire pour amener le circuit depuis l’infini :

€

δW = i dΦ

€

W = i Φ2 −Φ1( ) Théorème de Maxwell

€

U = − i Φ



Champ permanent (2/2)

  Le circuit tendra à adopter une position d’équilibre stable : U minimum ie Φ maximum (pour i > 0) ou encore un flux maximum entrant par la face sud (règle du flux maximum)

  Pour un dipôle magnétique (Φ = B S), on retrouve bien l’énergie potentielle du dipôle rigide dans le champ B :

€

U = − I Φ = − I S B = − m B m : moment magnétique




1.  Force électromagnétique d’induction 2.  Travail des forces de Laplace

3.  Théorie de l’induction électromagnétique 1.  Circuit mobile dans B constant 2.  Circuit fixe dans B variable 3.  Deux interprétations différentes de l’induction 4.  Lien avec la relativité 5.  Cas général : circuit quelconque dans B quelconque

4.  Coefficients d’induction 5.  Energie emmagasinée dans un système de circuits 6.  Applications de l’induction électromagnétique



  On considère une portion rigide de conducteur filiforme AB déplacée à la vitesse ve dans le référentiel où règne B constant

  Les porteurs de charge du conducteur se déplacent à la vitesse va = ve + v0 (v0 est la vitesse de la charge dans le conducteur) et sont soumis à la force magnétique Fm qui les met en mouvement :

  La circulation de cette force magnétique Fm est reliée à la fem induite eAB :

€

F m = q v a ×

B = q v e +

v 0( )× B

€

eAB =1q

F m .d

l A

B∫ = v e × B ( )A

B∫ .d l + v 0 ×

B ( )A

B∫ .d l

Produit mixte dont 2 termes sont // : ⇒ = 0

Produit mixte :

€

v e × B ( ) .d

l = d

l × v e( ) .

B



  Finalement, on a

  Le produit mixte représente le flux de B à travers l’élément de surface dr x dl à l’instant t. C’est la surface balayée par l’élément de longueur dl du circuit pendant l’intervalle dt. On l’appelle le flux coupé par le circuit pendant dt

  Si le circuit est ouvert, la force magnétique déplace les charges jusqu’à ce qu’elle soit équilibrée par le champ électrostatique ainsi créé   La différence de potentiel aux extrémités du circuit est alors la

fem induite

€

eAB = −1dt

d r ×d l ( )A

B∫ . B car ve =

drdt

€

d r ×d l ( ) . B



  Si le circuit est fermé, un courant induit se forme dans le conducteur. Le flux coupé par le circuit est égal à la variation de flux à travers le circuit :

  L’expression de e permet d’écrire :

  L’origine physique de la fem d’induction est l’action de la force de Lorentz sur les charges libres du conducteur

  est homogène à un champ E. C’est le champ électromoteur de Lorentz

  La circulation du champ électromoteur sur un contour fermé est non nulle (c’est la fem)

€

dΦ = (d r ×d l ) . B (C)∫

€

e = −dΦdt

€

v e × B









  Les porteurs de charge, initialement au repos, sont mis en mouvement dans un conducteur qui ne subit aucune transformation (forme, température, …). Les causes produisant les forces motrices sont à rechercher à l’extérieur du circuit, dans les variations de B

  On a alors :

  C’est pourquoi (MF) est appelée la forme locale de la loi de Faraday

  B(t) est la source d’un champ E à circulation non conservative

€

e(t) = E .d l (C)∫ = (

∇ × E ) .d

S (S)∫∫ = −

∂ B ∂t.d S (S)∫∫ = −

ddt

B .d S (S)∫∫( ) = −

dΦdt



  B est à flux conservatif donc

On en déduit que E + ∂A/∂t dérive d’un potentiel Φ :

  En régime stationnaire, Φ est le potentiel électrostatique. Dans le cas général, ∂A/∂t n’est pas le champ électrique induit car A est défini à un gradient près

  La séparation de E en 2 termes est arbitraire et n’a pas de sens physique, sauf dans l’ARQS :

  On peut alors identifier ∂A/∂t et le champ électrique E induit (champ électromoteur de Neumann)

€

⇒ ∇ × E = −

∂ ∇ × A ( )

∂tou

∇ ×

E + ∂

A ∂t

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = 0

€

E = −

∇ (Φ)− ∂

A ∂t

€

ΔΦ = −ρε0

et Δ A = − µ0

J



  Dans le cadre de l’ARQS, on obtient donc les potentiels et le champ induit :

  L’origine physique de la fem d’induction est l’action d’un champ électrique induit sur les charges libres du conducteur

  On retrouve la même forme pour e(t) à partir des potentiels :

€

e(t) = E .d l (C)∫ =

E em .d

l (C)∫ = −

∂ A ∂t.d l (C)∫ = −

ddt

A .d l (C)∫( )

€

E = −

∇ (Φ)− ∂

A ∂t

€

B = ∇ × A

Eem : champ électromoteur de

Neumann

€

E em = −

∂ A ∂t

€

= −ddt

( ∇ × A ) .d

S (S)∫∫( ) = −

dΦdt









Deux interprétations de l’induction

  Pour un circuit mobile dans un champ B fixe, les porteurs de charge sont entraînés par la force magnétique :

  Pour un circuit fixe dans un champ B variable, les porteurs de charge subissent l’influence d’un champ électrique induit :

  Exemple rare en physique où deux phénomènes différents (?) aboutissent à la même loi

  Ces 2 phénomènes n’en formeront plus qu’un si on admet un principe de relativité selon lequel le phénomène ne dépend que du mouvement relatif

€

∇ × E = − ∂

B ∂t

€

q ( v e × B )





3.  Théorie de l’induction électromagnétique 2.  Circuit fixe dans B variable 3.  Deux interprétations différentes de l’induction 4.  Lien avec la relativité 5.  Cas général : circuit quelconque dans B quelconque 6.  Cas particuliers : exceptions à la règle du flux




La loi de Faraday est-elle fondamentale (1/2) ?

  Ce calcul a été effectué en considérant ve x B au même instant t

  Dans (R’) en translation uniforme wrt (R), le circuit (C) est immobile   e’(t’) prend en compte la force qui s’exerce sur les porteurs de

charge dans (R’) au même instant t’

  Dans (R), le circuit (C) n’est plus immobile. D’après la relativité, la simultanéité est perdue   e(t) ne peut pas prendre en compte exactement la force qui

s’exerce sur les porteurs de charge du circuit



La loi de Faraday est-elle fondamentale (2/2) ?

  On pourrait montrer que les effets d’induction dépendent de ve et sont donnés au 1er ordre en ve/c par la loi de Faraday   La relativité montre que la perte de simultanéité est du 2e

ordre en ve/c et pourra être négligée dans toutes les applications usuelles

  La loi de Faraday n’est donc pas une loi exacte de l’électromagnétisme. Elle n’est pas sur le même plan que les équations de Maxwell

  La loi de Faraday peut être également utilisée pour un circuit déformable, ou un circuit rigide en mouvement quelconque, tant que ve << c



Expressions des champs

  On obtiendra les mêmes observables dans les deux référentiels (fem e et courant J) si les forces de Lorentz sont égales :

  On en déduit la transformation classique des champs :

  Ou encore

€

ʹ′ E = E + v e ×

B et

ʹ′ B = B

€

∀ v ⇒

E = ʹ′ E − v e ×

B et

B = ʹ′ B

€

F = q (

E + v ×

B ) et

ʹ′ F = q (

ʹ′ E + ʹ′ v × ʹ′ B ) avec v = ʹ′ v +

v e

€

F = ʹ′ F ⇒

E + v ×

B = ʹ′ E + v × ʹ′ B − v e × ʹ′

B



  On considère un fil au repos dans R’ et en mouvement dans R

  Dans R, la force de Lorentz déplace les charges   Une ddp apparaît entre les

extrémités   Un champ ES s’oppose à vexB

  Dans R’, le conducteur baigne dans E’   La densité superficielle s’ajuste pour avoir E nul à l’intérieur

Le même phénomène est décrit selon le référentiel par des champs différents



Un paradoxe (1/2)

  Les lois classiques de transformation des champs donnent :

  On en déduit respectivement :

  On obtient la « limite magnétique » de l’EM (EM + transformation classique des vitesses)   ARQS pour lequel on a E << B c

€

ʹ′ E = E + v e ×

B et

ʹ′ B = B

€

ʹ′ E = E + v e ×

B ⇒ ʹ′ ρ = ε0

∇ ( ʹ′ E ) ⇒ ʹ′ ρ = ρ −ε0 µ0

v e . J

€

ʹ′ B = B ⇒

ʹ′ J = J



Un paradoxe (2/2)

  Par contre, un modèle de particules chargées en mouvement dans un changement de référentiel galiléen donne :

  On obtient la « limite électrique » de l’EM (EM + transformation classique des positions)   Electrostatique pour lequel on a E >> B c

€

ʹ′ ρ = ρ et J = ʹ′ J − ρ v e

  On voit sur cet exemple que même à basse vitesse, il y a incompatibilité entre l’EM et la transformation de Galilée   Il faudrait utiliser la transformation de Lorentz





3.  Théorie de l’induction électromagnétique 3.  Deux interprétations différentes de l’induction 4.  Lien avec la relativité 5.  Cas général : circuit quelconque dans B quelconque 6.  Cas particuliers : exceptions à la règle du flux 7.  Auto-induction et induction entre circuits couplés




Cas général

  Dans le cas général, une variation du flux magnétique à travers un circuit est due à la superposition des 2 effets précédents. On note (C) la position du circuit à l’instant t et (C’) sa position à l’instant t+dt

  Le principe de superposition permet de superposer les effets :

  Le « champ électromoteur » Em pas un « champ » au sens strict du terme

€

e(t) = −dΦdt

= E m .d

l (C)∫ avec

E m =

v e × B − ∂

A ∂t

Champ électromoteur



Résumé (dans le cadre de l’ARQS)

  Champ électrique dans le référentiel du laboratoire :

  Champ électrique dans le référentiel du circuit mobile :

  La fem d’induction est donnée par :

€

E = −

∇ (Φ)− ∂

A ∂t

€

ʹ′ E = E + v e ×

B si ve << c

€

e(t) =1q

F L .d

l (C)∫ =

E + v e ×

B ( ) .d

l (C)∫ si ve << c





3.  Théorie de l’induction électromagnétique 4.  Lien avec la relativité 5.  Cas général : circuit quelconque dans B quelconque 6.  Cas particuliers : exceptions à la règle du flux 7.  Auto-induction et induction entre circuits couplés 8.  Retour sur le travail des forces de Laplace




Fem sans variation du flux

  Quand le disque tourne, le circuit ne bouge pas : le flux à travers le circuit ne varie pas

  Une charge q est entraînée à la vitesse v. Il existe un champ électromoteur dans la direction OA :

  La fem vaut :

€

E m =

v × B

€

e = Eem dr0a∫ =ω B r dr0

a∫ =ω B a2

2



Système avec commutation

  Enroulement de spires dans B constant, fermé par un curseur mobile

  Lorsqu’on déplace le curseur, le nombre de spires dans le circuit varie, donc le flux de B à travers le circuit varie

  Expérimentalement, on ne mesure pas de courant induit

  C’est cohérent car :   La portion de circuit dans le champ B ne bouge

pas   Le champ B ne varie pas



Conclusion

  Ces quelques exemples classiques sont en partie dus à Faraday (au moins le premier)

  Pour utiliser la règle du flux (e = - dΦ/dt), il faut s’assurer que le circuit fermé est bien défini !!   C’est-à-dire qu’il doit y avoir un circuit, et que les courants

induits doivent l’emprunter !

  La règle du flux s’applique sur des circuits sur lesquels le matériau du circuit reste le même. Quand ce matériau varie, il faut revenir aux lois fondamentales :

€

∇ × E = − ∂

B ∂t

et F = q

E + v ×

B ( )
















1.  Force électromagnétique d’induction 2.  Travail des forces de Laplace 3.  Théorie de l’induction électromagnétique

4.  Coefficients d’induction

5.  Energie emmagasinée dans un système de circuits 6.  Applications de l’induction électromagnétique



Coefficients d’induction mutuelle entre circuits (1/3)

  Deux circuits filiformes (C1) et (C2) parcourus par I1 et I2, produisant les champs B1 et B2

  Le flux Φ12 créé par le circuit (C1) à travers le circuit (C2) vaut :

€

Φ12 = B 1 .d

S 2(S2 )∫∫ =

A 1 .d

l 2(C2 )∫ =

µ04 π

I1d l 1

r12(C1)∫

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟ .d l 2(C2 )∫




  Soit :

  Un inductance se mesure en Henry (H)

  L’inductance mutuelle de 2 circuits est une grandeur géométrique qui ne dépend que de leurs formes et de leurs positions relatives

€

Φ12 = I1 ×M12 avec M12 =µ04 π

d l 1 .d l 2

r12(C2 )∫(C1)∫

Coefficient d’induction mutuelle ou inductance mutuelle ou mutuelle Formule de Neumann




  La symétrie de la formule de Neumann montre qu’en intervertissant les indices on obtient :

  Le signe de l’inductance mutuelle dépend des orientations des courants sur les circuits

  On peut généraliser ceci à un ensemble de n circuits. Les flux dus à tous les circuits (Cj) s’additionnent :

où Mij est le coefficient d’induction mutuelle entre (Ci) et (Cj)

€

M12 = M21

€

Φi = Φ jij≠i∑ = Mij I j

j≠i∑

€

M12 =µ04 π

d l 1 .d l 2

r12(C2 )∫(C1)∫



Coefficients d’auto-induction (1/2)

  Le champ B créé en tout point de l’espace par (C) est proportionnel à l’intensité qui le traverse. Le flux Φp de ce champ B à travers (C) l’est donc également :

  Une inductance propre se mesure en Henry (H)

  L’inductance propre ne dépend que des caractéristiques géométriques de (C)

  On admettra qu’on a toujours L > 0

€

Φ p = L I

Flux propre

•  Coefficient d’auto-induction •  Inductance propre •  Self-induction •  Self



Coefficients d’auto-induction (2/2)

  On ne peut pas calculer L à partir de la formule de Neumann car elle diverge pour r → 0. Pour faire un calcul « géométrique », on doit abandonner l’approximation du circuit filiforme et utiliser un calcul direct (décomposer le circuit en tubes de courants élémentaires parcourus chacun par dI). Ces calculs sont généralement pénibles/infaisables   On obtiendra souvent L par des considérations énergétiques

  Comme le potentiel vecteur A ne diverge pas à la traversée d’une nappe de courant, on peut calculer L dans les cas où il existe une densité surfacique de courant

€

M21 =µ04 π

d l 1 .d l 2

r12(C2 )∫(C1)∫



Autoinduction

  Φ est le flux total, somme du flux extérieur Φe et du flux propre Φp. La source de Φp est le courant induit i :

  En introduisant l’inductance L (Φp = L i) :

  En interrompant la variation du flux Φe qui a initié un courant induit i0, on observe que le courant induit tend vers zéro après un régime transitoire :

  Remarque : l’abandon de la loi de Lenz se traduirait par une augmentation du courant induit

€

e(t) = −dΦdt

= −dΦedt

−dΦ pdt

= ee(t)+ ep(t)

fem extérieure

fem autoinduite ou autoinduction

€

L didt

+ e = 0 = L didt

+R i ⇒ i = i0 e− t /τ avec τ = L /R

€

e(t) = −dΦdt

= ee(t)− Ldidt




1.  Force électromagnétique d’induction 2.  Travail des forces de Laplace 3.  Théorie de l’induction électromagnétique 4.  Coefficients d’induction

5.  Energie emmagasinée dans un système de circuits

6.  Applications de l’induction électromagnétique



Cas d’un circuit simple, fixe et rigide (1/3)

  Circuit simple, fixe et rigide :   - L di/dt : fem d’autoinduction   L’intensité croît progressivement jusqu’à I = e0/R

  A un instant donné, la puissance fournie par le générateur est e0 i qui s’écrit :

  Lors de l’établissement du courant (di/dt>0) le générateur lutte contre la fem d’auto-induction. Le terme L i di/dt est la puissance nécessaire pour modifier le champ B associé au courant. L’énergie totale correspondante est :

€

e0 − Ldidt

= R i

€

e0 i = L i didt

+R i2

€

Um = L i didtdt0

∞∫ = L i di0I∫ =

12L I2 > 0 ⇒ L > 0

Ri2 : puissance dissipée par effet Joule

e0

Circuit « idéal »




  De manière plus générale, on montrerait que lorsqu’un courant varie, la fem d’auto-induction travaille et fournit aux porteurs de charges pendant dt l’énergie :

  Ce travail dérive de l’énergie potentielle

  Um apparaît comme l’énergie potentielle associée aux forces d’induction qui s’exercent sur le circuit lorsque l’interrupteur se ferme

€

− L didti dt = − L i di

€

Um =12L i2




  Um est récupérable : en éteignant le générateur, on obtient :

  Lors de la décroissance du courant, une énergie a été dissipée par effet Joule :

  Cette énergie aurait pu être récupérée sous forme de travail si la résistance était remplacée par un moteur

  L’énergie Um stockée dans le circuit est récupérable et s’appelle l’énergie magnétique du circuit

€

0 = L didt

+R i ⇒ i(t) = I0 e− R t /L

€

w = R i2 dt0∞∫ = − L i di

dtdt0

∞∫ = − L i diI0∫ =

12L I2 > 0



Cas de deux circuits fixes et rigides (1/3)

  Lorsque les courants varient dans (C1) et (C2), des fem d’induction apparaissent

  La loi d’Ohm donne :

  Seule une partie de la puissance fournie par les générateurs est dissipée par effet Joule. Il existe une puissance que les générateurs doivent fournir à cause des fem qui s’opposent aux variations du courant

€

e1 −dΦ1dt

= R1 i1 et e2 −dΦ2dt

= R2 i2

€

⇒ e1 i1 + e2 i2 =dΦ1dt

i1 +dΦ2dt

i2 +R1 i12 +R2 i2

2

e2 e1




  Durant dt, cette puissance correspond au travail :

  Ce résultat est très général est ne suppose rien du lien entre les courants et les flux. On se place dans le cas où ce lien est linéaire :

  Utilisation des hypothèses :   Circuits rigides : L1 et L2 sont constants   Circuits fixes et rigides : M est constant

€

δWG = i1 dΦ1 + i2 dΦ2

€

Φ1 = L1 i1 +M i2 et Φ2 = L2 i2 +M i1

€

⇒ δWG = L1 i1 di1 + L2 i2 di2 +M (i1 di2 + i2 di1)




  Différentielle exacte par rapport à i1 et i2 :

  Le bilan énergétique devient :

  La puissance fournie par les générateurs permet, en plus de l’effet joule, d’augmenter Um qui reste nul en l’absence de courant (Um = 0 si i1 =i2 = 0)

  En utilisant les expressions de Φ1 et Φ2, on peut également écrire :

€

δWG = L1 i1 di1 + L2 i2 di2 +M (i1 di2 + i2 di1)

€

δWG = dUm avec Um =12L1 i1

2 +12L2 i2

2 +M i1 i2

€

e1 i1 + e2 i2 =dUmdt

+R1 i12 +R2 i2

2

€

Um =12(i1 Φ1 + i2 Φ2)



Généralisation

  En généralisant :

  Um est égal au travail effectué contre les forces qui s’exercent sur les porteurs de charge dues à l’induction, lors de l’établissement du courant

  Pour une distribution continue, on montre que :

€

Um =12

ik Φkk∑

€

Um =12

J libre .

A dV(D)∫∫∫ =

12

B2

2 µ0dVEspace∫∫∫




1.  Force électromagnétique d’induction 2.  Travail des forces de Laplace 3.  Théorie de l’induction électromagnétique 4.  Coefficients d’induction 5.  Energie emmagasinée dans un système de circuits

6.  Applications de l’induction électromagnétique



  On supposera généralement des phénomènes suffisamment lents pour utiliser :   L’ARQS   La forme locale de la loi d’Ohm :

(à condition de négliger l’effet Hall)

  On écrira également :

€

j = γ

E tot = γ

E labo +

v e × B ( )

€

E tot =

E es +

E em

Origine électrostatique

(circulation nulle)

Champ électromoteur (circulation non nulle)

€

E em =

v e × B − ∂

A ∂t



Solénoïde infini (1/2)

  Le champ magnétique est uniforme à l’intérieur du solénoïde (B = µ0 n I) et nul à l’extérieur

  Si on entoure le solénoïde d’une boucle conductrice en faisant varier I, une fem apparaît aux bornes de la boucle alors que le champ B y est nul en permanence

  Explication qualitative : le potentiel vecteur A n’est pas nul et varie avec I. Les charges sont mises en mouvement sous l’action du champ électrique induit - ∂A/∂t



Solénoïde infini (2/2)

  Quantitativement, pour un solénoïde de section circulaire a :

  Le flux de B à travers un cercle de rayon > a est

  On retrouve bien que

  Si la boucle n’entoure pas le solénoïde, il existe toujours un champ induit, mais sa circulation est nulle : il n’y a pas de champ magnétique à travers la boucle donc pas de variation du flux

€

r > a ⇒ Aθ =µ0 n I a

2

2 r

€

Eθ = −µ0 n a

2

2 rdIdt

€

Φ = µ0 n I π a2

€

−dΦdt

= E .d l (C)∫



Principe du betatron

  Le bétatron est un type d’accélérateur de particules dont le principe était d’utiliser des variations de champ magnétique pour accélérer des particules à l’aide du champ E induit

  Si la variation de B est négligeable sur un tour de la particule :

€

F em = − e

E em = e ∂

A ∂t

⇒ Fem =e r2

dBdt

car A = B × r 2

  Un champ B variable créé des forces motrices dans le vide   Le champ électromoteur est réel et ne dépend pas du

conducteur ohmique



Lignes de champ du champ induit

  Au contraire du champ électrostatique, les lignes de champ du champ induit peuvent se refermer sur elles-mêmes :   Le champ induit n’est pas un « vrai » champ E

Exemple du champ dans un betatron

Zone de champ

€

F

€

F

Trajectoire circulaire d’une

particule



Courants de Foucault

  Dans un conducteur volumique, les courants induits circulent dans la masse du conducteur (courants de Foucault)

  Si le conducteur n’est pas parfait, il existera une résistance à la propagation de ces courants   Dissipation par effet Joule

  Si les courants de Foucault sont recherchés, ils ont besoin d’être entretenus dans un conducteur imparfait (ie γ finie) par une fem et pour obtenir une fem, on peut faire varier un flux de champ magnétique (déplacement à B constant ou circuit fixe dans B variable) :

€

B a(t) ⇒

∇ × E = − ∂

B ∂t

et J 1 = γ

E 1



Courants de Foucault : cas d’un champ uniforme (1/2)

  On suppose que le champ total est identique au champ appliqué :

  Le courant induit crée des lignes de courant concentriques :

  Pour une variation sinusoïdale :

Alors

€

B (t) =

B a(t)

€

J 1(t) = γ E1(r, t)

u φ

€

B a = Bam cos(ω t) u z

€

dPdV

= J 1 . E 1 ⇒ < P > =

γ ω2

16Bam2 a2a : rayon du

conducteur



Courants de Foucault : cas d’un champ uniforme (2/2)

  La puissance dissipée est d’autant plus élevée que ω est élevée et que le conducteur est massif (a grand)   Pour diminuer <P>, on divise le conducteur (dans la direction

normale a B) en fils ou feuilles séparées par des isolants

  Exemples :   Dans une bobine, le conducteur est divisé en petits conducteurs   Dans un transformateur, on utilise des tôles feuilletées dans la

direction normale au champ   Dans un four à induction, on augmente la fréquence du champ

pour chauffer le conducteur alors que le creuset reste froid

€

< P > =γ ω2

16Bam2 a2



Courants de Foucault : illustration expérimentale (1/2)

  Plaque de Cu pour constituer un pendule oscillant entre les pôles d’un électro-aimant

  On constate expérimentalement que la plaque s’arrête brusquement lorsqu’elle pénètre dans l’entrefer de l’aimant   Apparition d’un courant induit dans la

plaque qui s’oppose à la variation du flux à travers elle

  Si la plaque était un conducteur parfait, elle « rebondirait ». Pour du Cu, les courants ralentissent la plaque jusqu’à l’arrêter



Courants de Foucault : illustration expérimentale (2/2)

  L’intensité et la forme des courants dépendent de la géométrie de la plaque   Les effets sont réduits si on pratique plusieurs fentes, dans une

direction orthogonale à la direction du champ



Courants de Foucault : application au freinage électromagnétique

  Disque conducteur solidaire des roues

  Le courant est proportionnel à la vitesse et à B2

  Efficace à haute vitesse uniquement   Utilisé sur les TGV pour arrêter en 3,5 km

une rame lancée à 360 km/h

  Une voiture de série se sert des courants de Foucault générés dans un disque solidaire des roues pour recharger la batterie   Les autres constructeurs vont suivre

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Plan du chapitre « Induction électromagnétique · Traduit le signe « - » de la loi de Faraday € e(t ... entrant par la face sud (règle du flux maximum) ... 0 est la vitesse