Plan du cours - Cadxfem Subversion Repository · 2 Communication graphique Géométrie numérique Représentation numérique des points, vecteurs Opérations élémentaires Translations

1

Communication graphique

Partie II. La projection centrale1. La projection centrale sur le plan2. La perspective centrale sur le plan

Partie III. Géométrie numérique1. Les applications affines2. Les coordonnées homogènes

Plan du cours

2


Géométrie numérique

Représentation numérique des points, vecteurs Opérations élémentaires

Translations Rotations Mises à l'échelle Cisaillements

Traitement numérique des axonométries

3


P=[123] ; t=[

456 ]

Transformations affines

ℝ3

Points et vecteurs

Les points sont des éléments de l’espace euclidien tridimensionnel E3

E3 s’appelle l’espace affine, un point définit une position, point milieu d’une droite, centre de gravité de l’objetLes vecteurs sont des éléments de l’espace vectoriel

La convention utilisée dans la suite est celle des vecteurs colonne!

4


Pour tout couple de points P, Q, il existe un vecteur unique tqui pointe de Q vers P, il est calculé par leur soustraction composante par composante

t=P−Q

P ,Q∈E3 ; t∈ℝ3

Vecteurs

P

t

Q

O

5


Par ailleurs pour un vecteur donné t , il existe une infinité de paires de points telles que t = P - Q

Si u est un vecteur arbitraire,

P + u, Q + u

est une autre paire de points qui satisfait la relation.

Vecteurs

P

t

Q

O

6


les vecteurs sont invariants par rapport aux translations tandis que les points ne le sont pas

Vecteurs et Points

P

t

Q

O

O'

7


Combinaison barycentrique souvent appelée combinaison affine

c’est aussi une somme d’un point et de vecteurs

La combinaison convexe est une combinaison barycentrique où tous les coefficients ai sont non négatifs, leur somme restant égale à 1

La combinaison convexe de points est toujours à « l’intérieur » de l'ensemble des points, ce qui conduit à la définition de l’enveloppe convexe d’un ensemble de points...

X=∑i=0

n

i P i X ,P i∈E3 ,0⋯n=1

X=P0∑i=1

n

i P i−P0

Combinaison barycentrique

8


L’enveloppe convexe est le plus petit polygone convexe incluant tous les points

Tout segment de droite qui relie 2 points de cet ensemble est entièrement situé à l’intérieur de l’ensemble

Lieu des combinaisons convexes

9


Pour définir un point à partir d'autres points:

Pour définir un vecteur à partir de points :

u=∑i=0

n

i P i 0⋯n=0

X=∑i=0

n

i P i 0⋯n=1

On a invariance par rapport à la translation...

10


Une transformation f est affine si elle laisse invariantes les combinaisons affines :

De manière concrète cela signifie par exemple, que le point milieu d’un segment de droite a son image au milieu de l’image du segment de droite...

X=∑i=0

n

i P i ; X ,P i∈E3 ,0⋯n=1

X =∑0

n

iP i

X : X ∈E3E3

11


Transformation affine sous forme matricielle:

P ≡A⋅Pu , u∈ℝ3

∑0

n

i P i =A⋅∑0

n

i P i u

=∑ A⋅i P i∑ iu

=∑ i A⋅P iu

=∑ iP i

12


identité : u = 0, A = I , I est la matrice identité,

translation :u est le vecteur de translation, A = I,

mise à échelle u = 0, A est une matrice diagonale dont les termes définissent les échelles selon les axes,

rotation : u = 0, A est une matrice de rotation,

Quelques transformations affines

u=0 ; A=[cos −sin 0sin cos 0

0 0 1]

u=0 ; A=[a 0 00 b 00 0 c ]

u=[abc ] ; A=[

1 0 00 1 00 0 1 ]

u=0 ; A=[1 0 00 1 00 0 1 ]

13


Cas particulier important :

Si la matrice A est orthogonale : AT A = A-1 A=I

alors cette transformation conserve les angles et les longueurs.

Exemple : Translation, Rotation

N.B.: Toutes les transformations affinesconservent les rapports de sections, mais pas forcément les longueurs et les angles.

Mouvement de corps rigide

14


Une transformation affine de E2 vers E2 est univoquement définie par un triangle non dégénéré et son image.

Dans E3 , la transformation affine est univoquement définie par un tétraèdre non dégénéré et son image.

(6 paramètres)

(12 paramètres)

Une autre définition...

15


Toute transformation affine peut être décomposée en

translations, mises à échelle, rotations et cisaillements

2D : 2 2 1 13D : 3 3 3 3

Décomposition d'une transformation affine

12

3

4

16


Translation

P1 = P0 + t

Transformations en 2 dimensions

P0=[ x0

y0] P1=[ x1

y1]

t=[uv ]

t

yy1

y1

y0

v

x0

x1

x

P0(1,2)

P1(5,8)

u

[ x1

y1]=[ x0

y0]+[uv ]

17


Translation d’un objet : effectuer l’opération sur tous les sommets des polygones qui le définissent

Translation

x

y

(19,9)

(11,4)

x

y

(16,7)

(8,2)

18


La mise à l'échelle s’effectue par rapport à l’origine.

x1= x0 py1= y0 q

P1 = S P0

Mise à l'échelle

[ x1

y1]=[ p 0

0 q ]⋅[ x0

y0]

y

x

P1(3,2)

P0(6,6)

19


Mise à échelle d’un objet : effectuer l’opération sur tous les sommets des polygones qui le définissent.Résultat : changement de taille, de proportions et de position

Mise à l'échelle

y

x

(4,3)(6,3)

y

x(2,1) (3,1)

20


La rotation s’effectue par rapport à l’origine

P1 = R P0

Rotation

x1=x0 cos− y0 siny1=x0 sin y0 cos

[ x1

y1]=[cos −sin

sin cos ]⋅[ x0

y0]

y

x

P1(~4.7,~3.9)

P0(6,1)

q =30°

21


Rotation d’un objet : effectuer l’opération sur tous les sommets des polygones qui le définissent.Résultat : changement d’orientation et de position

Rotation

y

x

(3,2) (5,2)

y

x

(0.707,3.54)

(2.12,4.95)

22


Cisaillement

y

x

1

P0(1,1) P

1(1+a,1)

g

a

a = tan g

23


Pour la valeur y0 = 1, le point est simplement translaté de la valeur a.

Cette opération fait glisser les abscisses d’une valeur égale au produit de a par la distance à l’axe des x. La variable a est la tangente de l’angle g de glissement

Cisaillement

[ x1

y1]=[1 a

0 1 ]⋅[ x0

y0]=C⋅P 0

x1=x0a y0

y1= y0

a=tan

24


Traitement additif de la translation

Le traitement n’est pas le même pour toutes les opérations...

Traitement matriciel

P1=S⋅P0

P1=R⋅P0

P1=C⋅P0

P1=tP 0

Traitement multiplicatif

25


x

z = cste

y

z

Au lieu de situer les objets dans un espace à 2 dimensions, plaçons les dans un espace à 3 dimensions.Toutes les opérations sont inchangées si on met les points dans le plan x - y ou dans un plan parallèle, z = constante

Autre représentation

26


Ce changement implique seulement d’ajouter aux points une coordonnée qui ne sera pas modifiée et qui est celle du plan dans lequel nous allons désormais effectuer les opérations

Les matrices de transformations ont une dimension (3 x 3), la dernière ligne étant constituées de zéros à l’exception du terme diagonal qui vaut 1.

Cela signifie qu’on ne modifie jamais cette coordonnée z = cste

Autre représentation

27


Soit un cisaillement parallèle aux plans z = cste :

Le point glisse dans un plan perpendiculaire à z d’une quantité proportionnelle à cette coordonnée et, aux termes u ou v.

Les points du plan z = 1 subissent une translation ( u, v, 0 ).

Cette nouvelle formulation peut donc remplacer l’ancienne.

Elle correspond à un cisaillement du plan z = 1.

Nouvelle représentation de la translation

[1 0 u0 1 v0 0 1]⋅[

xyz ]=[

xuzyvz

z ]

28


Avec la nouvelle formulation, l’équation de translation s’écrit :

L'opération de translation est additive : si le point P0 est déplacé de (u1,v1) en P1 et ensuite, de (u2,v2) en P2, c'est comme s'il subissait une translation totale de (u1+u2 , v1+v2)

P1=D t ⋅P0 ; t=[uv0 ] D t =[

1 0 u0 1 v0 0 1 ]

Nouvelle représentation de la translation

[x1

y1

1 ]=[1 0 u0 1 v0 0 1 ]⋅[

x0

y0

1 ]

29


Mise à échelle S(p,q)

Rotation R(q)

Cisaillement C(a)

Autres transformations

[x1

y1

1 ]=[p 0 00 q 00 0 1]⋅[

x0

y0

1 ][x1

y1

1 ]=[cos −sin 0sin cos 0

0 0 1 ]⋅[x0

y0

1 ]

[x1

y1

1 ]=[1 a 00 1 00 0 1]⋅[

x0

y0

1 ]

30


Le but des développements qui suivent est de montrer comment une combinaison des opérateurs fondamentaux D, S, R et Cpermet d'obtenir le résultat souhaité.

La raison pour laquelle on combine les transformations est qu'il est plus efficace d'appliquer une transformation composée unique à un grand nombre de points que de leur appliquer une série de transformations successives.

Composition de transformations

La composition se fait par simple multiplication matricielle

31


Considérons la rotation d'un objet autour d'un point arbitraire A.

– Translation pour amener A à l'origine;

– Rotation autour de l'origine;

– Translation pour que le point à l'origine retourne en A.

Rotation autour d'un point arbitraire

A

A

q

32


Rotation par rapport au point A différent de l’origine


[x2

y2

1 ]=[cos −sin 0sin cos 0

0 0 1 ]⋅[x1

y1

1 ][x1

y1

1 ]=[1 0 −xA

0 1 − yA

0 0 1 ]⋅[x0

y0

1 ][x3

y3

1 ]=[1 0 xA

0 1 yA

0 0 1 ]⋅[x2

y2

1 ]=

[1 0 xA

0 1 yA

0 0 1 ]⋅[cos −sin 0sin cos 0

0 0 1]⋅[1 0 −xA

0 1 − yA

0 0 1 ]⋅[x0

y0

1 ]

33



[1 0 x A

0 1 y A

0 0 1 ]⋅[cos −sin 0sin cos 0

0 0 1]⋅[1 0 −xA

0 1 −y A

0 0 1 ]

=[cos −sin xA1−cos yA sinsin cos y A1−cosxA sin

0 0 1 ]

Rotation par rapport au point A différent de l’origine

34


Mise à l'échelle par rapport au point A différent de l’origine

=[p 0 xA1− p0 q yA1−q0 0 1 ]

Mise à l'échelle autour d'un point arbitraire

[1 0 x A

0 1 y A

0 0 1 ]⋅[p 0 00 q 00 0 1 ]⋅[

1 0 −x A

0 1 −y A

0 0 1 ]

35


Les symétries orthogonales d'axes O-x ou O-y s'écrivent respectivement

S(1,-1) et S(-1,1)

et la symétrie centrale de centre O,

S(-1,-1).

Symétries

[1 0 00 −1 00 0 1] et [

−1 0 00 1 00 0 1]

[−1 0 00 −1 00 0 1]

36


(non) Commutativité

En général si l'on a deux matrices de transformation M1 et M

2

: appliquer M1 puis M

2 est différent d'appliquer M

2 puis M

1

C'est à dire que l'on a en général pas commutativité...sauf dans les cas suivants :

Commutativité (M1M

2 =M

2M

1) si :

M1 M2

translation translationmise à l'échelle mise à l'échellerotation autour de Oz rotation autour de Oz

mise à l'échelle (p=q) rotation autour de Oz

37


La situation initiale ainsi que la situation finale de l'objet sont définies; cette combinaison est appelée combinaison globale.

Positionnement d'un objet

D xB , yB⋅R ⋅S p ,q⋅D −xA ,− y A

x

y

A

x

y

x

y

x

y

x

y

B

Position originale Après translation Mise à l'échelle

Après rotation translation vers la position finale B

38


De manière générale, le positionnement d'un objet P0 de la position initiale "0" vers la position "n" après n transformations s'écrit :

La séquence d'opérations est définie en effectuant les transformations nécessaires tout en ne faisant appel qu'aux 4 opérations de base connues : translation, rotation autour de l'origine, mise à échelle par rapport à l'origine et cisaillement par rapport à l’origine

Les multiplications étant toujours réalisées à gauche et dans l'ordre inverse

P n=Gn⋅P0=Tn⋅Gn−1⋅P 0=Tn⋯T1⋅P 0

Positionnement d'un objet

39


« Pilotage » d'un objet

G3

G4

x

y

a

b

c

0 1

2

3

4

5

40


Dans ce mouvement, examinons n’importe quelle opération courante, par exemple celle qui l’amène de la position 3 à la position 4 où le mobile doit tourner de 45° vers la droite.

Pour arriver en 3, le mobile a subi l’opération :

On écrit donc :

Il faut donc imposer :

P 3=G3⋅P 0

G3⋅R 45° ⋅G3−1

P 4=G3⋅R 45 ° ⋅G3−1⋅G3⋅P0

=G3⋅R 45 ° ⋅P 0=G4⋅P 0

G4=G3⋅R 45°

41


En résumé, on a les trois mouvements suivants :

A. On veut exprimer une transformation T par rapport à l’origine :

B. Transformation par rapport au point courant

C. Transformation par rapport à un point A quelconque :

Gn=T⋅Gn−1

Gn=Gn−1⋅T

Gn=D x A , y A⋅T⋅D−xA ,− y A⋅Gn−1

42


- Translation :

- Mise à échelle :

Transformations en 3D

D t =[1 0 0 u0 1 0 v0 0 1 w0 0 0 1

] ; t=[uvw ]

S p , q , r =[p 0 0 00 q 0 00 0 r 00 0 0 1

]

43


- Rotation autour de l’axe x :

- Rotation autour de l’axe z :

- Rotation autour de l’axe y :

R z =[cos −sin 0 0sin cos 0 0

0 0 1 00 0 0 1

]R x =[

1 0 0 00 cos −sin 00 sin cos 00 0 0 1

]R y =[

cos 0 sin 00 1 0 0

−sin 0 cos 00 0 0 1

]


44


- Cisaillement (cas général): Ca ,b , c=[1 a b 00 1 c 00 0 1 00 0 0 1

]


45


-Projections orthogonales d’un point (x y z)

- sur un plan perpendiculaire à z : z = k(x y z) => (x y k)

- sur un plan perpendiculaire à y : y = l(x y z) => (x l z)

- sur un plan perpendiculaire à x : x = m (x y z) => (m y z)

Important de noter que tout ceci est indépendant du point (ou de l’objet).

Projections : 3D->2D (ou 1D)

Pz=[1 0 0 00 1 0 00 0 0 k0 0 0 1

]Px=[

0 0 0 m0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

]

46


Calcul des axonométries

Déterminer la matrice de transformation pour une axonométrie quelconque

On exprime les coordonnées 3D initiales et finales d'un ensemble de points

On dispose de 12 inconnues, il faut donc 4 points Le trièdre (O,x,y,z) fait l'affaire …

47


0 (O)

1 (x)

2 (y)

3 (z)3D

2D ou 3D

P 0=[0 1 0 00 0 1 00 0 0 11 1 1 1

]


P 1=[x0 x1 x2 x3

y0 y1 y2 y3

z0 z1 z2 z3

1 1 1 1]

P 1=T⋅P0

0 1 2 3

48


T=P1⋅P0−1

P 1=T⋅P0

Cette matrice permet de projeter les coordonnées dans un système d'axes quelconques


P 0−1=[

−1 −1 −1 11 0 0 00 1 0 00 0 1 0

] P 1=[x0 x1 x2 x3

y0 y1 y2 y3

z0 z1 z2 z3

1 1 1 1]

T=[x1− x0 x2−x0 x3−x0 x0

x1− x0 y2− y0 y3− y0 y0

z1−z0 z2−z0 z3−z0 z0

0 0 0 1]

49


Isométrie

T=[√32

0 −√32

0

−12

1 −12

0

0 0 0 00 0 0 1

]

50


Pour une cavalière :

T=[1 0 −3 √2

100

0 1 −3 √210

0

0 0 0 00 0 0 1

]

Cavalière

x0=0 y0=0x1=1 y1=0x2=0 y2=1

x3=−0.6 √22

y3=−0.6 √22

51


Partie II. La projection centrale1. La projection centrale sur le plan2. La perspective centrale sur le plan

Partie III. Géométrie numérique1. Les applications affines2. Les coordonnées homogènes

Plan du cours

52


Par le théorème de Pohlke,(1 tétraèdre et son image)si on connaît la représentationfinale, on peut calculer la matrice de transformation

Transformation affine- Conservation du parallélisme- Conservation des rapports de section- Transformation linéaires

Projections parallèles

Projectionssur le plan

Projections centralesd,S,P

1 point de fuiteα

1=90° α

2, α

3=0°

2 points de fuiteα

1=0° α

2, α

3≠90°

3 points de fuiteα

1 , α

2 , α

3 ≠ 0°


Projections orthogonales

Projections obliques

Cavalière Cabinet

Projections multivuedessin technique (3 vuees)

Projections de Monge (2 vues)

Projectionscotée (1 vue)

trimétriedimétrieisométrie

Axonométries

53


Projection centrale

Utilisation des caractéristiques des coordonnées homogènes

Projectionssur le plan

Projectionscentrales

1 point de fuiteα

1=90° α

2, α

3=0°

2 points de fuiteα

1=0° α

2, α

3≠90°

3 points de fuiteα

1 , α

2 , α

3 ≠ 0°


Projections orthogonales

Projections obliques

Cavalière Cabinet

Projections multivuedessin technique (3 vuees)

Projections de Monge (2 vues)

Projectionscotée (1 vue)

trimétriedimétrieisométrie

Axonométries

t

e

d P

S

d

A

Ap

54


Coordonnées homogènes

August Ferdinand Möbius (1790-1868)Immersion de l'espace euclidien à n (2 ou 3) dimensions dans l'espace projectif à n+1 (3 ou 4) dimensions.In fine, seule la projection centrale sur l'hyperplan w=1 nous intéresse : les points Q

1(ax,ay,az,a) et Q

2(bx,by,bz,b) sont

équivalents à Q(x,y,z,1), quels que soient a et b non nuls.

Le passage de (wx,wy,wz,w) à la notation normalisée (x,y,z,1) s'appelle la division perspective (ou division homogène)C'est une opération non linéaire !

Une direction (vecteur) peut être représentée par un point à l'infini (w=0)

55


En projection centrale, seul élément important :distance de l’objet au centre de projection.

On peut, sans perte de généralité, choisir le plan z=1 comme tableau et

l’origine des coordonnées comme centre de projection S = O.

Principe

56


R=[xzyz1]

Q

R

z

y

Oz=1

Principe (2D)

Q=[xyz ]

57


Projection interprétée comme une transformation de

coordonnées homogènes de l'espace projectif à 3 dimensions en coordonnées cartésiennes de l'espace à 2 dimensions.

En effet, les coordonnées homogènes d'un point de l'espace à n dimensions, à l'exclusion de l'origine, sont obtenues en plaçant le point dans un espace à n+1 dimensions sur la droite qui le lie à l'origine des coordonnées.

58


Dans l'espace à 4 dimensions, la coordonnée supplémentaire est appelée « poids », ou coordonnée homogène.

Cet espace nous a servi à traiter le problème des translations en déplaçant les coordonnées d'un point (x y z), du plan w = 0 de l’espace à 4 dimensions vers le plan w =1 du même espace.

59


Réalisons une projection centrale dans l’espace à 4 dimensions, sur l'hyperplan w =1, avec pour point de vue l’origine.

Tout point de cet espace, tel que Q (x, y, z, w), est transformé en un point R tel que:

Les points du plan évanouissant w = 0 sont exclus de cette transformation. Cette projection ne change rien pour toutes les opérations vues au cours précédent... (car on se ramène à w=1)

R=[x /wy /wz /w

1]

60


Point de vue

Point principal

x

Q1 (x1, y1, 0)

Q0 (x0, y0, z0)

x1

x0

=y1

y0

=d

d z0

z

y

S (0, 0, -d)

P (0, 0, 0)=O

Construction de l'opérateur de projection

61


d’où :

x1=x0

1z0/d, y1=

y0

1 z0/d, z1=0

x1

x0

=y1

y0

=d

d z0


62


xc=x0

1 z0/d, yc=

y0

1 z0/d, zc=

z0

1 z0 /d

Ces relations suggèrent de définir une transformation intermédiaire pour laquelle le point est d'abord déplacé de Q

0 vers Q

C , position telle que ses 3 coordonnées

subissent la même mise à l'échelle :


63


Point de vue

Point principal

x

Q0 (x0, y0, z0)

z

y

Qc (xc, yc, zc) Q1 (x1, y1, 0) S (0, 0, -d)


P (0, 0, 0)=O

64


Les 3 coordonnées cartésiennes du point :

peuvent être exprimées sous la forme de coordonnées homogènes en ajoutant une quatrième composante wC = 1 :

xc=x0

1z0/d, yc=

y0

1z0/d, z c=

z0

1z0/d

[x0

1z0/dy0

1z0/dz0

1z0/d1

]≡[x0

y0

z0

1z0/d]


65



D'où la notation matricielle suivante :

[x0

y0

z0

1z0 /d]=[

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 1 /d 1

]⋅[x0

y0

z0

1]

66


x , z

x , z , w=1

x , z , w=1zd

(x

1+zd

,z

1+zd

, w=1)

x

1zd

, z

1zd

x

1zd

, z=0 Q0

Q1

Q2

Q3

Qc

QI

S

O

zw

xInterprétation géométrique

x=0, z=−d

d

67


Profondeur / observateur

En pratique, le point Qc est important ( autant que Q

I ),

car il contient encore une notion de profondeur par rapport à l'observateur (écran) et peut ainsi être utilisé pour l'élimination automatique des faces cachées :

- Soit par tri en profondeur des faces à afficher (technique du peintre)

- Soit par l'utilisation d'algorithmes dits de « z-buffer »

68


x p=−33

25y p=4

z p=−106

25

d=485

cos=35

sin=45

Application

69


Opérations

Placer le tableau t en coïncidence avec le plan x-y (plan vertical de projection)

le point principal P est translaté à l'origine O des axes.

Il faut écrire successivement

l'opérateur de translation amenant P en O, l'opérateur de rotation amenant t sur x-y, l'opérateur de perspective centrale

et enfin, l'opérateur combiné.

70


Translation de P vers O

D x p , y p , z p=[1 0 0 −x p

0 1 0 − y p

0 0 1 −z p

0 0 0 1]=[

1 0 03325

0 1 0 −4

0 0 110625

0 0 0 1]

71


Rotation d'un angle -a

L'opérateur de rotation amène ensuite t sur x-y, l'angle de rotation est égal à b = -a , a >0 ,

R y =[cos 0 sin 0

0 1 0 0−sin 0 cos 0

0 0 0 1]=[

35

0−45

0

0 1 0 045

035

0

0 0 0 1]

72


73


74


L'opérateur de cisaillement peut alors être utilisé :

Cd =[1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

0 01d

1 ]=[1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

0 0548

1]

Opérateur de cisaillement perspectif

75


Matrice de transformation « finale »

T x p , y p , z p , , d =Cd ⋅R y ⋅D x p , y p , z p

Opérateur combiné

T=[35

0−45

−135

0 1 0 −445

035

185

112

01

16118

]

76


L0(−6 ,6 ,−2)→L1(−6 , 6 ,−2 ,1)

L2=T⋅L1=(−235

, 2 ,125

,34 )

L3=L2/L2[4 ]=(−9215

,83

,−165

, 1)L3(−92

15,83

,−165

,1)→Lc(−9215

,83

,−165 )→L I (−6.133 , 2.667)

Q0(−6 , 0 ,−6.5)→Qc(−3215

,−12815

,−27225 )→Q I (−2.133 ,−8.533)

N 0(−32

,92

,−8)→Nc (5815

,23

,−165 )→N I (3.867 ,−0.667)

Transformation des points

77


Vecteurs en coordonnées homogènes

Les vecteurs 3D sont exprimés en coordonnées homogènes simplement en fixant w=0.

Les vecteurs ne sont pas affectés par la translation :Preuve : soit un vecteur exprimé en coordonnées homogènes. Soit D une matrice de translation :

V n'est pas modifié par la translation :

V= xv , y v , z v , 0T

D=[1 0 0 D x

0 1 0 D y

0 0 1 Dz

0 0 0 1]

V=D⋅V

78


Point de fuite

Un point de fuite sur l'épure est l'image d'un point situé à l'infini dans une direction donnée. Soit A un point de l'espace, V un vecteur :

En coordonnées homogènes :

Or,

Donc :

P f=limk →∞

A+ k⋅V

P f=limk∞ [

1 0 0 k⋅xV

0 1 0 k⋅yV

0 0 1 k⋅zV

0 0 0 1]⋅[

x A

y A

z A

1]

xAk⋅xV ,⋯ ,1 ≡ xAk⋅xV

k,⋯,

1k

P f≡ xV , yV , zV ,0

= limk ∞

xAk⋅xV , yAk⋅yV , zAk⋅zV , 1

79


Point de fuite

limk →∞

T⋅P f=[35

0−45

−135

0 1 0 −445

035

185

112

0116

118

]⋅[x A+ k⋅x v

y A+ k⋅yv

z A+ k⋅z v

1]=

limk →∞ [

35(x A+ k⋅xv)−

45( z A+ k⋅zv)−

135

y A+ k⋅yv−445(x A+ k⋅xv)+

35( y A+ k⋅zv)+

185

112

(x A+ k⋅x v)+1

16( y A+ k⋅zv)+

115]=[

35

k⋅x v−45

k⋅zv

k⋅yv

45

k⋅xv+35

k⋅zv

112

k⋅x v+116

k⋅zv]≡[

35

xv−45

zv

y v

45

xv+35

zv

112

xv+1

16z v]=T⋅[

xv

yv

zv

0]

80


Calcul des points de fuite

Un point de fuite se calcule donc en appliquant au vecteur indiquant la direction du point de fuite désiré la transformation T .

Ensuite, comme pour un point, la division perspective est appliquée (si le w résultant est non nul). Le point obtenu correspond au point de fuite sur le dessin.

Si w est nul, le vecteur d'origine est parallèle au plan perspectif, donc le point de fuite est situé à l'infini. C'est le cas des verticales dans une vue en conditions standard.

81


x p=−33

25y p=4

z p=−106

25

d=485

cos=35

sin=45


Fa

Fb

Fc

Fc'

Fc'

Fn

82



F a=[1000] F b=[

0010] F c=[

0100]

F c '=[11−430

] F n=[450350]

83



F a=1 ,0 ,0 ,0T

T⋅F a=(35

,0 ,45

,112 )

T

→( 365

,0 ,485 )

T

→(5.2,0)T

,qui sont les coordonnées du point « Fa » sur le dessin.

F b=0 ,0 ,1 , 0T

T⋅F b=(−45

,0 ,35

,1

16 )T

→(−645

,0 ,485 )

T

→(−12.8,0)T

,qui sont les coordonnées du point « Fb » sur le dessin.

84



F c=0 , 1 ,0 ,0T

T⋅F c=(0,1 ,0 , 0)T→point de fuite inexistant

F c '=1,1 ,−43

,0T

T⋅F c '=( 53

,1 ,0 , 0)T

→point de fuite inexistant

F n= 45

,0 ,35

,0T

T⋅F n=(0 ,0 ,1 ,548 )

T

→point de fuite≡P

85


Positionnement des points obtenus

Au final,

(−6.133 , 2.667,3.2)→L (−6.133 , 2.667)

(−2.133 ,−8.533,−10.880)→Q (−2.133 ,−8.533)

(3.867 ,−0.667,−3.2)→N (3.867 ,−0.667)

(5.2,0, 9.5)T→F a(5.2,0)T

(−12.8,0,9 .5)T→F b(−12.8,0)T

On peut classer ces points par distance décroissante par rapport au plan perspectif en considérant la 3ième coordonnée :

Fa, F

b, L, N et Q

86


P

yx

L(-6.13,2.67)

Q(-2.13,-8.53)

N(3.87,0.67)

Fb(-12.8,0)

Positionnement des points obtenus

Fa(5.2,0)

Fa, F

b, L, N et Q

87


Examen

Durée totale : 4 heures

2 heures : théorie sur 4 sujets (docs interdits)- Éléments de dessin technique & tolérances

- Méthode de Monge

- Projection centrale

- Géométrie numérique

2 heures : exercices (docs personnels autorisés)- Construction d’une axonométrie

- Mise en perspective

Documents

Plan du cours - Cadxfem Subversion Repository · 2 Communication graphique Géométrie numérique Représentation numérique des points, vecteurs Opérations élémentaires Translations