Plan du cours - mp3montaignebdx.legtux.orgmp3montaignebdx.legtux.org/.../Rayonnement_thermique.pdf · En appelant duray|T la densité volumique d’énergie du rayonnement d’équi-libre

Plan du cours

I Etude du rayonnement thermiqueI Flux de rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I.1 Définition du rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.2 Flux et flux surfacique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I.3 Conservation de l’énergie - caractérisation des milieux . . . . . . . . . . . . . . 6I.4 Flux d’émission de rayonnement - Equilibre thermique - corps opaque . . . . . 7

II Rayonnement d’équilibre thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8II.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8II.2 Spectre du rayonnement d’équilibre : loi de Planck . . . . . . . . . . . . . . . 9

a - Densités volumiques spectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9b - Cas limites - retour sur l’historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10c - Retour sur le flux surfacique spectral ou rayonné . . . . . . . . . . . 12

II.3 Rayonnement d’un corps noir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14a - Description d’un corps noir - Emittance . . . . . . . . . . . . . . . . 14b - Loi de déplacement de Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16c - Densité volumique totale d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17d - Loi de Stephan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

III Exemples de bilans radiatifs pour un corps noir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19III.1 Corps noir convexe soumis à un rayonnement d’équilibre thermique . . . . . . 19

a - Définitions préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19b - Premier exemple : rayonnement solaire sur la Terre - température de

la Terre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19c - Second exemple : cas des corps "imbriqués" . . . . . . . . . . . . . . 20

III.2 Transfert entre deux corps noirs proche de l’équilibre - linéarisation du flux . . 21

1

PLAN DU COURS

2 ⋄ CPGE MP3. . .

Chapitre I

Etude du rayonnement thermique

I Flux de rayonnement

I.1 Définition du rayonnement

Le cours d’électromagnétisme, et plus particulièrement l’étude énergétique des ondes électroma-gnétiques ont permis de dégager certains résultats essentiels.

Rappels d’électromagnétisme :

• la densité volumique d’énergie électromagnétique dans le vide

uem = ε0E2

2+

B2

2µ0

qui pour une OPPH devient :

uem = ε0E2

• le vecteur de Poynting dans le vide−→R =

−→E ∧

−→B

µ0

qui pour une OPPH peut s’écrire :

−→R = uemc ·−→n

Figure I.1 – Mise en évidence dutransfert énergétique par rayonnement

Ainsi, toute portion d’espace vide, siège de propaga-tion d’une onde électromagnétique contient de l’énergie, ettoute onde électromagnétique est un vecteur physique detransport de l’énergie.

En revanche, lorsque l’onde pénètre dans un milieu ma-tériel quelconque, il se produit une interaction entre lechamp électrique et la matière qui modifie considérablementla propagation.

3

CHAPITRE I. ETUDE DU RAYONNEMENT THERMIQUE

En particulier, on note de profondes modificationsde la structure de l’onde (vitesse de phase, ampli-tude etc...), et l’on constate, dans la majorité des cas,une augmentation de température du matériau inter-ceptant l’onde, alors que l’espace vide entre la sourcede l’onde et le matériau cible ne subit aucun échauffe-ment.

Ce mode de transfert d’énergie à distance est appelé rayonnement.Ainsi, il est possible de réaliser un transfert d’énergie depuis la source d’une OEM jusqu’au

matériau qu’elle rencontreL’expérience ci-dessus illustre ce propos : un thermomètre recouvert de noir de carbone placé face

à une ampoule à incandescence au foyer d’un miroir concave voit sa température s’élever au delà decelle de la pièce, lieu de l’expérience.

Définition - (I.1) - 1:

On appelle rayonnement thermique, un transfert d’énergie thermique d’ori-gine électromagnétique :• sans contact matériel (diffusion)• sans milieu matériel• sans transport de matière (convection)

I.2 Flux et flux surfacique


Figure I.2 – Fluxdu rayonnement àtravers une surface

On appelle par définition flux, la puissancetransmise par rayonnement à travers une sur-face.

ΦS = PR =xS

dΦ =xS

−→R ·

−→dS

NB : [Φ] = P ≡ W.m−2

4 ⋄ CPGE MP3. . .


Remarque - (I.2) - 1:

Le calcul de la puissance totale rayonnée à travers une surface s’effectue exactement comme dansl’étude de la condution thermique, c’est à dire par intégration d’un vecteur de densité surfacique,ici le vecteur de Poynting qui joue le même rôle que

−→J Q dans l’étude de la conduction.

Néanmoins, une étude fine du rayonnement nécessite de calculer la répartition d’un flux en fonc-tion de la longueur d’onde ou de la fréquence du rayonnement composite considéré.

On est alors amené à définir deux grandeurs essentielles :

• Le flux surfacique : φ

une surface élémentaire dS reçoit par rayonnement une puissance totale dΦ et le flux surfaciques’écrit :

φ =dΦ

dS(I.1)

Figure I.3 – Flux surfacique• Flux surfacique spectral : φν(ν) ou φλ(λ)

Si la même surface dS reçoit une puissance d2Φ limitée cette fois aux seules fréquences comprisesentre ν et ν + dν, alors le flux surfacique spectral φν(ν) est une fonction de ν définie par :

d2Φ = dφ · dS = φν(ν) · dν · dS avec donc φν(ν) =dφ

dν(I.2)

[φν(ν)] ≡ P.L−2.T−1

On peut de même définir le flux surfacique spec-tral en longueur d’onde φλ(λ) par :

d2Φ = dφ · dS = φλ(λ) · dλ · dS avec donc φλ(λ) =dφ

dλ(I.3)

[φλ(λ)] ≡ PL−2L−1 = PL−3

Figure I.4 – Flux surfacique spectral en fré-quence ou en longueur d’onde

. . . Jean-Laurent GRAYE ⋄ 5


Bien entendu, le flux surfacique s’obtient par intégration du flux surfacique spectral sur le domainede fréquences ou de longueurs d’onde :

φ =

∫ν

φν(ν) · dν =

∫λ

φλ(λ) · dλ (I.4)

I.3 Conservation de l’énergie - caractérisation des milieux

Figure I.5 – Bilan énergé-tique de flux

Lorsqu’un flux incident Φi arrive sur un corps, une proportion Φr dece flux est réfléchie, une autre Φa est absorbée, en enfin le complémentΦt correpond au flux d’énergie transmise à travers le corps. Le bilanénergétique de flux s’écrit alors :

Φi = Φr + Φa + Φt ou φi = φr + φa + φt (I.5)

Le flux réfléchi Φr peut suivre les lois de l’optique de Descartes sila dimension moyenne des aspérités du matériau est très inférieure àla longueur d’onde (réflexion spéculaire). Dans le cas contraire, le fluxréfléchi est diffusé dans tout le demi-espace face au matériau (réflexiondiffuse). Dans le cas général, la réflexion est à la fois diffuse et spécu-laire.


On peut également définir les coefficients adimensionnés suivants pour ca-ractériser les propriétés d"’un corps :

Coefficient de réflexion : R =φR

φi

Coefficient de transmission : T =φT

φi

Coefficient d’absorption : A =φA

φi

Par conservation d’énergie on a :

R + T + A = 1

Cas limites :

6 ⋄ CPGE MP3. . .


• Si φr = φa = 0 et φi = φt soit T = 1 et R = A = 0 alors le corps est dit parfaitementtransparent. C’est le cas de nombreux gaz incolore aux conditions standard.

• Si φt = 0 et φi = φa + φr soit R + A = 1 et T = 0 alors le corps est dit parfaitement opaque.

• Si φa = φt = 0 et φi = φr soit R = 1 et T = A = 0 alors le corps est dit parfaitementréfléchissant. C’est le cas des surfaces métalliques avec une bonne approximation.

• Enfin, si φr = φt = 0 et φi = φa soit A = 1 et T = R = 0 alors le corps absorbe la totalité durayonnement incident quelque soit sa composition spectrale. Un tel corps est appelécorps noir (objet d’un prochain paragraphe).

Remarque - (I.3) - 2:

Le corps noir constitue un modèle, mais il est néanmoins possible au laboratoire de reproduirele comportement d’un tel objet physique en pratiquant un petit trou dans une enceinte ; toutrayonnement entrant dans cette enceinte ne pourra en ressortir et sera en équilibre thermiqueavec les parois de l’enceinte ; un tel dispositif est donc une très bonne approximation d’un corpsnoir (cf plus bas).

Figure I.6 – Enceinte percée simulant un corps noir

I.4 Flux d’émission de rayonnement - Equilibre thermique - corps opaque

En réalité, tout milieu qui absorbe du rayonnement, soit dans le cas idéal un corps opaqueen réémet tout ou partie dont le flux est appelé flux d’émission de rayonnement et noté Φe ;cette puissance est prise sur l’énergie interne du corps par des mécanismes quantiques. Le bilanthermique peut être représenté par le schéma ci-dessous :

Ainsi, en appliquant le premier principe au corps précédent d’énergie interne U subissant unetransformation élémentaire de durée dt, il vient :

dU = δQray + δW︸︷︷︸=0 car V = cte

= Φa · dt− Φe · dt

soit :



Figure I.7 – Flux d’émission de rayonnement

dU

dt= Φa − Φe (I.6)

Dans le cas de l’équilibre thermique du système, son énergie interne est constante, ce qui conduità :

dU = 0

soit :

Φa = Φe soitxS

(φe − φa) · dS = 0 (I.7)

De plus, si l’équilibre est assuré en tout point de la surface du corps alors l’équilibre est local :

Equilibre local ⇔ φe = φa (I.8)

II Rayonnement d’équilibre thermique

II.1 Définition

Considérons un four isolé comportant des parois opaques à tout rayonnement et de parois in-térieures totalement absorbantes. Un fois le four chauffé, et le système en état stationnaire, ils’établit l’équilibre thermique (t grand).

Figure I.8 – Four en équilibre thermique

8 ⋄ CPGE MP3. . .


On appelle :• Up : énergie interne des parois• Uray énergie de rayonnement dans la cavité avec Uray =

yVfour

uem · dτ

On peut écrire :dUp

dt= Φa − Φe et

dUray

dt= Φe − Φa

En situation d’équilibre thermique du four et du rayonnement, Uray = cste et Up = cste on adonc : Φa = Φe

Le rayonnement contenu dans la cavité du four porte le nom de rayonnement d’équilibre thermiqueavec :

Uray = Uequ (I.9)

Remarque - (II.1) - 3:

Gustave Kirschoff montre expérimentalement en 1859 que le spectre du rayonnement d’équilibrethermique dans un four est :• indépendant de la géométrie de ce dernier• homogène et isotrope• uniquement dépendant de la température

Figure I.9 – Spectre du rayonnement d’équilibre thermique

II.2 Spectre du rayonnement d’équilibre : loi de Planck

a - Densités volumiques spectrales

Ce sont les travaux de Max Planck qui, en 1900, ont permis d’expliquer, par la première théoriequantique de la physique moderne, la répartition spectrale du rayonnement d’équilibre. Le résultat,dont la démonstration est hors programme au niveau MP, est connu sous le nom de Loi de Planck :



Propriété - (II.2) - 1:

En appelant duray|T la densité volumique d’énergie du rayonnement d’équi-libre thermique à T fixée dans la bande de fréquences comprise entre ν etν + dν, on définit la densité volumique spectrale d’énergie uν par :

duray|T = uν(ν, T ) · dνet

uν(ν, T ) =8πh

c3ν3

ehνkbT − 1

avec

h = 6, 626068.10−34 J.s constante de Planck

kb = 1, 3806503.10−23J.K−1 constante de Boltzmann

(I.10)

Exercice de cours: (II.2) - n 1 Déterminer la densité volumique spectrale en longueur d’ondeuλ(λ, T ).

Réponse :

On peut définir la densité volumique spectrale d’énergie uλ(λ, T ), mais cette fois pour une bandede longueurs d’onde comprises entre λ et λ+ dλ.

En effet, on peut écrire :

uλ(λ, T ) =duray|T∂λ

=duray|Tdν

·∣∣∣∣dνdλ

∣∣∣∣ = uν(ν, T ) ·∣∣∣∣dνdλ

∣∣∣∣or comme λ =

c

ν, on a

∣∣∣∣dνdλ∣∣∣∣ = c

λ2

et finalement :

uλ(λ, T ) =8πhc

λ5

1

ehc

kbTλ − 1(I.11)

b - Cas limites - retour sur l’historique

Le premier modèle quantitatif du rayonnement d’équilibre fut imaginé par Kirschoff en 1860, et ilfallut attendre la fin du XIXième siècle pour disposer des premières lois de comportement exprimant ladensité volumique en longueurs d’onde uλ. Malheureusement, ces lois ignorant la nature quantique de

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T=1000 K

T=2000 K

T=3000 K

l(m)0 2#10 - 6 4#10 - 6 6#10 - 6

ul

0

1 000

2 000

3 000

Figure I.10 – Tracé de la Loi de Planck pour diverses températures

la matière ne sont que des approximations et se révèlent fausses dans certains domaines de fréquences.

On peut aisément les retrouver à partir de la loi de Planck :

• Pour les faibles longueurs d’onde, on a : λ <<hc

kbT:

L’expression de la densité volumique en longueur d’onde

uλ(λ, T ) =8πhc

λ5

1

ehc

kbTλ − 1

devient alors la loi de Wien (1895)

uλ(λ, T ) ≃8πhc

λ5· e−

hckbTλ (I.12)

• Pour les grandes longueurs d’onde, on a : λ >>hc

kBT, ce qui permet de faire un développement

limité de l’exponentielle suivante :

ehc

kbTλ ≃ 1 +hc

kbTλ

pour finalement obtenir la loi de Rayleigh-Jeans :

uλ(λ, T ) ≃8πkBT

λ4(I.13)



Loi de PlanckLoi de Wien

Loi de Rayleigh-Jeans (catastrophe ultraviolette)

l (m)0 0,0000025 0,0000050 0,0000075 0,0000100

ul

0

500

1 000

1 500

2 000

Figure I.11 – Comparaison des lois de Wien, Rayleigh-Jeans, et Planck

L’apport de Max Planck fut déterminant dans l’étude du rayonnement du corps noir, puisquec’est l’hypothèse de quantification de l’énergie qui permit de corriger ces premiers modèles classiquesqui conduisaient à un écart de comportement important avec l’expérience.


La dépendance en1

λ4dans la loi de Rayleigh-Jeans conduit à la divergence de uλ(λ, T ) et celle

de u(T ) pour les faibles longueurs d’onde, en particulier dans le domaine de l’ultraviolet pour lestempératures courantes :

uλRJ(λ, T ) → ∞ =⇒ uRJ(T ) =

+∞∫0

uλRJ(λ, T ) · dλ → ∞

Ce constat fut historiquement appelé «Catastrophe ultraviolette», la force du propos reflétantalors la crise dans laquelle la physique de l’époque était plongée. Certaines expériences, dontl’émission du corps noir, demeuraient à ce jour inexpliquées car relevant exclusivement de lathéorie quantique.

c - Retour sur le flux surfacique spectral ou rayonné

On se place ici dans le four à proximité d’une paroi.

Question : Comment calculer φν à partir de la loi de Planck ?

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Rappel : Angle solide

Figure I.12 – Angle solide

On rappelle que l’angle solide vu par un point pour une surface élémentaire dS distante de rs’écrit :

dΩ =dΣ

r2= sin θ · dθ · dφ en coordonnées sphériques centrées en O

La connaissance de la loi de Planck permet de déterminer le flux surfacique spectral φν du rayon-nement d’équilibre, déjà évoqué en début de chapitre. On expose ici la démonstration complète :

Figure I.13 – Détermination du flux surfacique spectral

Déterminons l’énergie électromagnétique reçue pendant dt par un élément de paroi de l’enceinte,d’aire s dans la bande de fréquence dν. Considérons d’abord les directions de propagation com-prises dans l’angle solide élémentaire dΩ autour de la direction θ (cf schéma ci-contre). L’énergiesusceptible d’atteindre la paroi sous cette incidence durant l’intervalle de temps dt se trouve dans lecylindre incliné de base s et de longueur c · dt.

On a le volume du cylindre qui s’écrit :

dτcyl = c · dtS cos θ

,

L’énergie de la bande spectrale dν contenue dans ce cylindre vaut naturellement :

d2Ucyl = uνdν · s · cdt · cos θ



Par ailleurs, le rayonnement eétant isotrope, la fraction de l’énergie touchant la paroi sous l’in-

cidence θ est donnée pardΩ

4π(en supposant là-encore l’isotropie du rayonnement dans l’enceinte).

Donc, l’énergie incidente dans l’angle solide dΩ est :

d4U = uνdν · s · cdt · cos θ · dΩ4π

= uνdν · s · cdt · cos θ · sin θ · dθ · dφ4π

On détermine l’énergie incidente totale d2U frappant la surface s de la paroi durant l’intervallede temps dt en intégrant l’expression précédente dans toutes les directions du demi-espace face à laparoi, soit :

d2U =uνdν · s · cdt

4π

π2∫

0

sin θ · cos θ · dθ ·2π∫0

dφ =uνdν · s · cdt

4π× 2π × 1

2

[− cos2(θ)

]π2

0=

uνdν · s · cdt4

Après avoir rappelé l’expression de uν :

uν =8πh

c3ν3

ehνkbT

−1

on peut finalement dégager l’expression du flux surfacique spectral, c’est à dire la puissancerayonnée sur la paroi par unité de surface pour un intervalle de fréquences dν :

φν =d2U

s · dt · dν=

2πh

c2ν3

ehν

kBT − 1(I.14)

Exercice de cours: (II.2) - n 2 Montrer rapidement que le flux surfacique spectral en termede longueur d’onde s’écrit :

φλ(λ, T ) =2πhc2

λ5

1

ehc

kBTλ − 1

Indication : utiliser le fait que dφ = φν · |dν| = φλ · |dλ|

II.3 Rayonnement d’un corps noir

a - Description d’un corps noir - Emittance

L’étude précédente concerne les propriétés du rayonnement d’équilibre dans une enceinte fermée.En pratiquant une petite ouverture de surface s dans l’enceinte, le rayonnement émis à travers letrou est identique à celui qui serait émis par l’élément de surface s d’un corps noir puisque celui-ci,tout comme les parois du four, est en équilibre avec le rayonnemnent qu’il reçoit, et réémet donc unrayonement qui sera le rayonnement d’équilibre thermique (si sa température est constante !).

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Figure I.14 – Enceinte en équilibre thermique équivalente au corps noir


Ce modèle de la "cavité percée" n’est valide que si les dimensions du trou sont faibles par rapportà celle de la cavité (nécessité de conservation approchée de l’énergie pour assurer l’équilibrethermique).

En outre, un corps noir est caractérisé par son émittance spectrale Mν(ν, T ) dont on préciseci-après la définition :

Définition - (II.3) - 4:

Si une surface s de corps noir en équilibre à T rayonne une puissance dΦdans la bande de fréquences [ν, ν + dν], alors on définit l’émittance spectraleMν(ν, T ) par :

dΦe = Mν(ν, T ) · dν · sl’équivalence entre le corps noir et la cavité percée en équilibre thermiqueassurant par ailleurs :

Mν(ν, T )︸︷︷︸corps noir

= φν(ν, T )︸︷︷︸cavité

=2πh

c2ν3

ehν

kBT − 1(I.15)

On peut également définir l’émittance spectrale en terme de longueur d’onde par :

dΦ = Mλ(λ, T ) · dλ · s

avec

Mλ(λ, T ) =2πhc2

λ5

1

ehc

kBTλ − 1(I.16)



b - Loi de déplacement de Wien

La courbe uλ(λ, T ) présente pour toute température T un maximum pour la longueur d’onde λm.Wilheim Wien est à l’origine de la détermination de la longueur d’onde de ce maximum λm.

La loi de déplacement de Wien s’énonce ainsi :


La densité spectrale d’énergie uλ d’un rayonnement d’équilibre thermique oul’émittance Mλ d’un corps noir isotherme présentent un maximum pour lalongueur d’onde λm vérifiant la relation :

λm · T = 2, 898.10−3 m.K

On donne ici quelques exemples numériques de λm en fonction de la température :

Surface corps humain T = 303 K λm = 9, 5 µm (I.R.)Soleil T = 5000 K λm = 0, 58 µm (jaune)

Ainsi, une augmentation de température conduit à une diminution de la longueur d’onde λm

et donc un décalage de l’ensemble du spectre d’émission vers les courtes longueurs d’onde. Parexemple, des braises attisées dont la température augmente, passent d’un rouge sombre, voire le noir,à un rouge-orangé vif. Cette couleur ne correspond pas forcément au maximum d’émittance, mais lechangement témoigne en tout cas d’un «glissement» du spectre de l’infrarouge vers le visible (blueshift).

Exercice de cours: (II.3) - n 3 Démontrer la loi de déplacement de Wien.

Réponse :

Rappelons l’expression de la densité volumique spectrale d’énergie (en terme de longueur d’onde) :

uλ(λ, T ) =8πhc

λ5

1

ehc

kbTλ−1

Cherchons les conditions d’annulation de la dérivée.Posons x =

hc

kBTλ. On a alors :

λ =hc

kBTxet

(∂x

∂λ

)T

= − hc

kBTλ2

Le changement de variable conduit à la relation de proportionnalité suivante :

16 ⋄ CPGE MP3. . .


uλ(x) ∼x5

ex − 1(∂uλ

∂λ

)T

=

(duλ

dx

)×(∂x

∂λ

)T

= 0

⇔(duλ

dx

)= 5x4(ex − 1)− x5ex = 0

⇔ ex(x− 5) + 5 = 0

La résolution de cette équation est numérique et conduit à la valeur xm = 4, 965. La loi de Wienen découle directement avec :

λm · T =hc

kBxm

= 2, 896.10−3 m.K

c - Densité volumique totale d’énergie

On propose ici de calculer l’énergie volumique totale émise pas le corps noir (à la température T )u(T ), c’est à dire pour toute la bande spectrale d’émission.

Il suffit simplement pour cela d’intégrer la densité spectrale d’énergie uν(ν, T ) du rayonnementd’équilibre thermique sur l’ensemble des longueurs d’onde du spectre continu, soit ν ∈ [0,+∞] :

u(T ) =

∞∫0

uν(ν, T ) · dν =8πh

c3

+∞∫0

ν3

ehνkbT − 1

· dν

Posons le changement de variable suivant x =hν

kBT. L’intégrale précédente devient alors :

u(T ) =8πk4

BT4

c3h3

+∞∫0

x3

ex − 1· dx

Par ailleurs, l’intégrale circulaire de ce calcul est connue avec :+∞∫0

x3

ex − 1· dx =

π4

15

d’où :

u(T ) = σ0 · T 4 avec σ0 =8π5k4

B

15c3h3= 7, 56.10−16 J.m−3.K−4 (I.17)



d - Loi de Stephan

Le résultat précédent donnant l’expression théorique de l’énergie volumique (totale i.e. sur toutela bande spectrale) du rayonnement d’un corps noir est difficile à vérifier expérimentalement. Enrevanche, la mesure du flux surfacique du rayonnement d’équilibre thermique d’un corps noir, c’està dire la puissance émise par unité de surface du corps noir, est facilement mesurable expérimenta-lement.

Le résultat du calcul théorique est connu sous le nom de Loi de Stephan. En voici la démonstra-tion :

On considère l’élément de surface s du corps noir, soit par équivalence l’élément de surface s dela paroi intérieur de la cavité de rayonnement d’équilibre thermique ; le flux émis par cet élément de

surface dans la bande de fréquence [ν, ν+dν] s’écrit : dΦe = dφ·s = φν ·dν ·s avec φν =2πh

c2ν3

ehν

kBT − 1La puissance totale s’écrit en intégrant sur le spectre complet, soit :

Φe(T ) = s

+∞∫0

φν(ν, T ) · dν = s2πh

c2

+∞∫0

ν3

ehν

kBT − 1· dν = s

2πk4BT

4

h3c2

+∞∫0

x3

ex − 1· dx

︸︷︷︸=π4

15

=

Soit le flux surfacique total (loi de Stéphan) : φe =Φe

s=

2π5k4B

15h3c2· T 4


Le flux surfacique incident sur un élément de paroi d’une cavité (four)soumis à un rayonnement d’équilibre thermique de température T , ou encorele flux surfacique émis par la surface d’un corps noir répond à la loi deStephan :

φe =Φe

s= σ · T 4 avec σ =

2π5k4B15h3c2

= 5, 68.10−8 W.m−2.K−4 constante de Stephan

(I.18)

18 ⋄ CPGE MP3. . .


III Exemples de bilans radiatifs pour un corps noir

III.1 Corps noir convexe soumis à un rayonnement d’équilibre thermique

a - Définitions préliminaires

Un corps est dit convexe lorsque la tangente à ce corps en tout point ne recoupe jamais sa surfaceextérieure. Le flux émis par un tel corps est la somme des flux émis par tous ses éléments de surface :

Φe = σ · s · T 4 avec

s surface du corpsT température du corps

Si le corps présente des concavités, alors on a de fait :

Φe = αsT 4 < σ·s·T 4 avec α coefficient sans dimension ne dépendant que de la géométrie du système

Ces deux situations sont illustrées de manière évidente sur les figures ci-dessous

Figure I.15 – Enceinte en équilibre thermique équivalente au corps noir

Cas essentiel : Si le corps est sphérique de rayon R, alors le flux émis dans un angle solide Ωs’écrit :

ΦeΩ = σsT 4 · Ω

4π︸︷︷︸fraction de l’angle solide total

= σR2T 4Ω

b - Premier exemple : rayonnement solaire sur la Terre - température de la Terre

On donne :

RT = 6400 km

RS = 6, 97.105 km

d = 1, 44.108 km



Figure I.16 – Température de la Terre

Exercice de cours: (III.1) - n 4 Ê Longueur d’onde du maximum d’émission λm = 520 nm.Déterminer TS.

Ë Déterminer la puissance reçue par la Terre. Attention : on considère la Terre comme un corpsnoir (on néglige l’albedo φr = 0)

Ì Température de la Terre ?

Réponses :

Ê Par la loi de déplacement de Wien : TS =2, 8998.10−3

520.10−9= 5573 K

Ë Puissance émise par le soleil : ΦeS = σT 4S4πR

2S Puissance reçue par la Terre : ΦrecT = σT 4

S4πR2S×

Ω

4π

or Ω =πR2

T

d2

donc : ΦrecT = σT 4S4πR

2S × πR2

T

d24π=

σπR2SR

2T

d2T 4S = 1, 64.1017 W

NB : équilibre de la TerredUT

dt= ΦrecT − ΦeT = 0

Ì Flux surfacique émis par la Terre φeT = σT 4T =

ΦTe

ST

=1, 64.1017

4πR2T

(Attention : réémission totale

de l’énergie reçue de manière isotrope et donc sur les deux hémisphères)

TT =

(Φ

4πR2Tσ

) 14

= 274, 16 K

c - Second exemple : cas des corps "imbriqués"

Cas typique : enceinte contenant un corps sans concavité, par exemple sphérique. Enceinte etcorps sont des corps noirs par hypothèse.

ATTENTION : l’enceinte B étant concave, une partie du flux est recapté par B lui-même.

Question : comment évaluer ΦB/A proportion du flux émis par B et effectivement reçu par A ?

20 ⋄ CPGE MP3. . .


Figure I.17 – Bilan radiatif pour deux corps imbriqués

Principe à connaître :On suppose les deux corps en équilibre thermique ⇒ TA = TB = T0.

Le système (A) possède une énergie interne UA : à l’équilibre thermiquedUA

dt= Φrec(A)−Φe(A) =

0donc si α est la proposition de rayonnement émis par B et reçue par A, on a :

0 = Φrec(A)− Φe(A) = αSBσT4B − SAσT

4A = 0

donc TA = TB =⇒ α =SA

SB

(α pur paramètre géométrique)

Bilan radiatif : Φrec(A) = ασT 4

BSB = σT 4BSA

Φe(A) = σT 4ASA

On définit le flux radiatif net du corps (A) par :

Φnet(A) = Φe(A)− Φrec(A) = −dUA

dt

soit le taux de variation de l’énergie interne du corps (A) :

dUA

dt= Φrec(A)− Φe(A) =

(σT 4

B − σT 4A

)SA

Conséquences :si TA > TB le corps (A) cède cède de l’énergie à l’enceinte (B).si TA < TB le corps (A) reçoit de l’énergie de la part de l’enceinte (B).si TA = TB alors (A) et (B) sont en équilibre thermique

III.2 Transfert entre deux corps noirs proche de l’équilibre - linéarisationdu flux



Figure I.18 – Fraction du rayonne-ment du corps noir A reçue par lecorps noir B

Considérons deux corps noirs A et B de surfacesSA et SB, de températures TA et TB, séparés parun milieu parfaitement transparent ou simplement levide.

B intercepte une fraction α du rayonnement total émis parA et le flux radiatif net sortant de B est :

Φnet(B) = σ(SBT

4B − αSAT

4A

)= σSB

[T 4B − α

SA

SB

T 4A

]L’équilibre thermique des deux corps noirs est atteint

lorsque le flux radiatif net émis par B est nul, soit lorsque B se trouve à la température d’équi-libre :

TBe = Te = TA

(αSA

SB

) 14

On peut alors réécrire le flux Φnet(B) de la manière suivante :

Φnet(B) = σSB

(T 4B − T 4

e

)Supposons maintenant que TB s’écarte légèrement de la valeur d’équilibre Te. Le flux radiatif

net de B peut alors s’écrire :

Φnet(B) = σSB

(T 4B − T 4

e

)= σSBT

4e

(T 4B

T 4e

− 1

)=

que l’on peut encore écrire (en usant d’une astuce !) :

Φnet(B) = σSBT4e

[(TB − Te + Te

Te

)4

− 1

]= σSBT

4e

[(1 +

TB − Te

Te

)4

− 1

]Cette expression devient en linéarisant par développement au premier ordre :

Φnet(B)TB∼Te≃ σSBT

4e

[1 + 4

TB − Te

Te

− 1

]soit :

Φnet(B) = 4σSBT3e (TB − Te)

soit un flux de rayonnement surfacique net :

φnet(B) = 4σT 3e (TB − Te)

22 ⋄ CPGE MP3. . .


On constate une analogie formelle avec le loi de Newton. En posant hR le coefficient de rayonne-ment, il vient finalement

φnet(B) = hR (TB − Te) (I.19)

et l’on peut définir la résistance de rayonnement également par analogie avec la conduction ou laconducto-convection thermiques :

RR =1

hRS(I.20)

Remarque - (III.2) - 6:

• la température d’équilibre Te est déterminée par la géométrie des corps en présence (nécessitéd’évaluation du coefficient α).

• la linéarisation du flux radiatif net facilite grandement la résolution de certaines équationsdifférentielles décrivant l’évolution de la température d’un système corps noir siège d’échangesthermiques.


Documents

Plan du cours - mp3montaignebdx.legtux.orgmp3montaignebdx.legtux.org/.../Rayonnement_thermique.pdf · En appelant duray|T la densité volumique d’énergie du rayonnement d’équi-libre