Planification dexpriencesS. Rahali El AzzouziEnseignante en managementrahali_elazzouzi@yahoo.fr2008 - 2009

PlanPlan dexprience ?ObjectifsDfinition et terminologieExempleProcessus : Approche statistiqueExprimentationPourquoi un plan dexprience ?Proprits de la matrice dexprienceMatrice augmente : Effets et interactionAnalyse statistiquesPlan fractionnaireTechnique de blocage

Plan dexprience ?Protocole exprimental ou tude dans laquelle on perturbe volontairement un processus afin de mesurer l'effet combine de certains facteurs sur sa performance.La planification des essais vise produire le maximum de rsultats pour une dpense aussi faible que possible.

ObjectifsComprendre et rduire la variabilit.Caractriser et optimiser les procds.valuer les proprits des matriaux, designs, systmes.Dterminer les tolrances des composantes / systmes.Rduire temps pour le design des produits / procds.Amliorer la fiabilit des produits.Obtenir des produits & des procds robustes.

HistoriqueLes annes vingt : Sir Ronald Fisher : introduit les bases de la thorie des plans dexpriences pour augmenter les rendements agricoles.La technique s'tendra dautre disciplines dont la physique et la chimie.Les annes cinquante : Genichi Taguchi popularise lusage de la mthode dans les milieux industriels japonais : Matriser la qualit, rduire les cots, amliorer la productivitLe succs du Japon a amen les ingnieurs occidentaux sintresser la mthode dite de Taguchi .

DfinitionFacteurs : variables primaires : variables contrles dont on veut valuer les effets sur la variable rponse.Rponse du systme: Le rsultat qui dcoule de la variabilit de ces facteurs.Variables secondaires :nuisibles : variables qui ne reprsente pas lintrt principal de lexprience mais qui doivent tre tenues en compte lors de sa conduite.Erreur exprimentale : leffet de toutes les sources de variabilit non contrles, connues et inconnues, incluant lincertitude de mesure. Sa prsence est dtecte avec les rptitions.

DfinitionTraitements / combinaison de traitements : combinaison des variables primaires lorsquils sont fixe une valeur (niveau, modalit).Bloc : regroupement des essais, par facteurs secondaires, dans lobjectif de comparer les traitements en neutralisant les effets de ces facteurs.Plan exprimental : spcification de lensemble des essais (tests) incluant le blocage, la randomisation, les rptitions et lassignation des combinaisons des facteurs aux units exprimentales.

DfinitionRandomisation : assignation des traitements, lexcution des tests et la prise des mesures doit ralise dans un ordre dict par le hasard dans le but de neutraliser le plus possible les effets des variables non contrls.Rptitivit : reprendre la mesure du rsultat dun essai.Rptition : refaire au complet un essai dun mme traitement avec une nouvelle units exprimentale dans le but dobtenir une estimation de lerreur exprimentale et dassurer la reproductibilit de lessaiMatrice dexprience : tableau qui indique le nombre dexpriences raliser avec la faon de faire varier les facteurs et lordre dans lequel il faut raliser les expriences

DfinitionTest : combinaison des niveaux des facteurs pour obtenir une valeur de la rponse.Niveau : modalit : valeur spcifique dun facteur numrique ou qualitative.Effet : changement de la rponse entre 2 conditions exprimentalesEffet principal : changement de la rponse entre 2 modalits ou plus dun facteurEffet dinteraction : effet conjoint associ 2 facteurs lorsque leffet de chaque facteur dpend du niveau de lautre facteur

ExempleUn fabricant de ressorts en acier est proccupe par le grand nombre de flures survenant aprs cuisson a haute temprature.On dcide de mener une tude.Apres une sance de remue-mninges et construction d'un diagramme d'Ishikawa, on dcide de se concentrer sur les trois facteurs suivants :a) T = la temprature de l'acier au moment du trempage (en degrs Fahrenheit) ;b) C = la teneur en carbone (en pourcentage) de l'acier ;c) O = la temprature (en degrs Fahrenheit) de l'huile de trempage.L'objectif de l'tude est de dterminer l'influence de chacun deces facteurs sur la variable rponse Y , savoir la proportion deressorts non fls par lot de 100.

Exemple (suite)Pour quantifier linfluence de chacun des trois facteurs, on choisit den mesurer leffet deux niveaux diffrents :

Facteur Niveau infrieur Niveau suprieurT14501600C50%70%O70%120%

Exemple (suite) : Faon classiqueFaon classique : consiste par exemple effectuer quatre essais chacun des deux niveaux du facteur T en laissant les facteurs C et O leurs niveau infrieur respectif.Temprature Proportion de ressorts(%) Moyenne 1450 60676866 65.5%160079757177 75.5% La conclusion peut tre erroneBeaucoup dexprienceManque dquilibre

Exemple (suite) : Planification dexprienceEssai C(%) T ()O() 1 50 1450 70 2 70 1450 70 3 50 1600 70 4 70 1600 70 5 50 1450 120 6 70 1450 120 7 50 1600 120 8 70 1600 120

Exemple (suite) : Planification dexprienceEssai C(%) T ()O() Y(%) 1 50 1450 7067 2 70 1450 7061 3 50 1600 7079 4 70 1600 7075 5 50 1450 12059 6 70 1450 12052 7 50 1600 12090 8 70 1600 12087

Exemple (suite) : calcul des effetsMoyenne des Y lorsque O = 70 67+61+79+75 =70.5 4 Moyenne des Y lorsque O = 12059+52+90+87=72.5 4Effet du facteur O : 72.0 -70.5 = 1.5

Exemple (suite) : prsence dinteractions entre O et T Lorsque T = 145067+61Moyenne des Y lorsque O = 70 =64.0 259+52Moyenne des Y lorsque O = 120 =55.5 2

Effet du facteur O : 55.5 - 64.0 = -8.5Lorsque T = 160079+75Moyenne des Y lorsque O = 70 =77.0 290+87Moyenne des Y lorsque O = 120 =88.5 2

Effet du facteur O : 88.5 77.0 = 11.5

Exemple (suite): interactions

Graph2

6455.5

7788.5

o=120

o=70

o=70

o=120

Temprature

Rponse

Feuil1

ABCABACBCABCeffet Aeffet Beffet Ceffet ABeffet ACeffet BCeffet ABC

-1-1-1111-13024268026.67-80.00-80.00-80.0080.0080.0080.00-80.00

1-1-1-1-1111822246421.3364.00-64.00-64.00-64.00-64.0064.0064.00

-11-1-11-113032258729.00-87.0087.00-87.00-87.0087.00-87.0087.00

11-11-1-1-143474113143.67131.00131.00-131.00131.00-131.00-131.00-131.00

-1-111-1-112824227424.67-74.00-74.0074.0074.00-74.00-74.0074.00

1-11-11-1-154494614949.67149.00-149.00149.00-149.00149.00-149.00-149.00

-111-1-11-158485015652.00-156.00156.00156.00-156.00-156.00156.00-156.00

11111112420226622.0066.0066.0066.0066.0066.0066.0066.00

13.0073.0083.00-105.00-43.00-75.00-225.00

1.0836.0836.917-8.750-3.583-6.250-18.750

effet A7.0416666667222.0416666667287.0416666667459.37577.0416666667234.3752109.375

effet B

effet C

4.4939980626

Feuil2

Niveau 1Niveau 2

T6080

P12

ExpMoyTPY

11-1-15555-55-55

211-1656565-65

31-117575-7575

411185858585

70510

Y = 70 + 5 T + 10 P

ExpMoyTPTPY

11-1-115555-55-5555

211-1-1656565-65-65

31-11-17575-7575-75

411118585858585

705100

Feuil3

Niveau basNiveau haut

X11 micron10 microns

X20.050.2

X3540

expMoyX1X2X3Y

11-1-1-16.756.75-6.75-6.75-6.75

211-1-152.552.552.5-52.5-52.5

31-11-12.52.5-2.52.5-2.5

4111-115.515.515.515.5-15.5

51-1-113.753.75-3.75-3.753.75

611-1167.567.567.5-67.567.5

71-1112.52.5-2.52.52.5

8111138.7538.7538.7538.7538.75

23.7219.84-8.914.41

Y = 23,72 + 19,84 X1 - 8,91 X2 + 4,41 X3 + e

Feuil4

Niveau basNiveau haut

X11 micron10 microns

X20.050.2

X3540

expMoyX1X2X3121323123YobsYest

11-1-1-1111-16.756.756.75-6.75-6.75-6.756.756.756.75-6.75

211-1-1-1-11152.552.552.552.5-52.5-52.5-52.5-52.552.552.5

31-11-1-11-112.52.52.5-2.52.5-2.5-2.52.5-2.52.5

4111-11-1-1-115.515.515.515.515.5-15.515.5-15.5-15.5-15.5

51-1-111-1-113.753.753.75-3.75-3.753.753.75-3.75-3.753.75

611-11-11-1-167.567.567.567.5-67.567.5-67.567.5-67.5-67.5

71-111-1-11-12.52.52.5-2.52.52.5-2.5-2.52.5-2.5

81111111138.7538.7538.7538.7538.7538.7538.7538.7538.7538.75

23.7219.84-8.914.41-7.535.161.410.66

Y = 23,72 + 19,84 X1 - 8,91 X2 + 4,41 X3 +-7,53X1X2+1,41X2X3+5,16X1X3+0,66X1X2X3+ e

Feuil5

Niveau basNiveau haut

X11 micron10 micronssigma0.7

X20.050.2nexp8

X3540

expMoyX1X2X3121323123YobsYest

11-1-1-1111-1383838-38-38-38383838-38

211-1-1-1-11136363636-36-36-36-363636

31-11-1-11-11252525-2525-25-2525-2525

4111-11-1-1-12424242424-2424-24-24-24

51-1-111-1-11313131-31-313131-31-3131

611-11-11-1-127272727-2727-2727-27-27

71-111-1-11-1181818-181818-18-1818-18

81111111115151515151515151515

26.75-1.25-6.25-4.000.25-0.500.000.00

inf-1.74-6.74-4.49-0.24-0.99-0.49-0.49

sup-0.76-5.76-3.510.74-0.010.490.49

Y = 23,72 + 19,84 X1 - 8,91 X2 + 4,41 X3 +-7,53X1X2+1,41X2X3+5,16X1X3+0,66X1X2X3+ e

Feuil6

Niveau basNiveau haut

X11 micron10 micronssigma0.1720465053

X20.050.2nexp8

X3540ti4.302655725

expMoyX1X2X3121323123YobsYestrsidursidu2moy123121323123

11-1-1-1111-11.261.28-0.020.00041.26-1.26-1.26-1.261.261.261.26-1.26

211-1-1-1-1111.351.330.020.00041.351.35-1.35-1.35-1.35-1.351.351.35

31-11-1-11-114.464.58-0.120.01444.46-4.464.46-4.46-4.464.46-4.464.46

4111-11-1-1-13.883.760.120.01443.883.883.88-3.883.88-3.88-3.88-3.88

51-1-111-1-112.292.170.120.01442.29-2.29-2.292.292.29-2.29-2.292.29

611-11-11-1-11.231.35-0.120.01441.231.23-1.231.23-1.231.23-1.23-1.23

71-111-1-11-15.115.090.020.00045.11-5.115.115.11-5.11-5.115.11-5.11

8111111115.125.14-0.020.00045.125.125.125.125.125.125.125.12

0.05923.09-0.191.560.350.05-0.070.120.22

inf-0.451.290.09-0.21-0.33-0.14-0.04

sup0.071.820.610.310.190.380.48

Y = 23,72 + 19,84 X1 - 8,91 X2 + 4,41 X3 +-7,53X1X2+1,41X2X3+5,16X1X3+0,66X1X2X3+ e

Feuil7

Niveau basNiveau haut

X11 micron10 micronssigma1.5

X20.050.2nexp8

X3540ti4.302655725

expMoyX1X2X3121323123YobsYestrsidursidu2moy123121323123

11-1-1-1111-16766.250.750.562567-67-67-67676767-67

211-1-1-1-1116161.75-0.750.56256161-61-61-61-616161

31-11-1-11-117979.75-0.750.562579-7979-79-7979-7979

4111-11-1-1-17574.250.750.5625757575-7575-75-75-75

51-1-111-1-115958.250.750.562559-59-595959-59-5959

611-11-11-1-15252.75-0.750.56255252-5252-5252-52-52

71-111-1-11-19090.75-0.750.562590-909090-90-9090-90

8111111118786.250.750.56258787878787878787

4.571.25-2.5011.500.750.750.005.000.25

inf-4.789.22-1.53-1.53-2.282.72-2.03

sup-0.2213.783.033.032.287.282.53

X2Omoy

-+70120

X1-6384.573.75Temp14506455.559.75

+56.58168.7516007788.582.75

59.7582.7571.25moy70.57271.25

Feuil7

00

00

o=120

o=70

o=70

o=120

Temprature

Rponse

PROCESSUS : approche statistiqueX1X2XnProcessusMatriauxComposantsAssemblage

Y

rponse :sortie mesurerelie la qualit

erreur exprimentale=toutes les autres sources de variabilitnon contrles

FACTEURS = variables CONTRLABLES X 1 , X2 ,

S I P O CGNRALmlangedinputs: intrantsquignrentunoutput: extrantSuppliers Input : XProcessus Output : Y ClientsFACTEURSPersonnelMatriauxquipementPolitiquesProcduresMthodesEnvironnement

REPONSE

indicateursen relation avecqualit produitqualit serviceexcution tche

PROCD FABRICATION : exempleMOULAGEINJECTION

fabricationdepicesmoulesparInjection

FACTEURStemprature moulepression retenuedure retenuetaille ouverturevitesse vis% recyclcontenu moisissure

REPONSE

paisseur pice

Autres caractristiquesgomtriques pice

% de rtrcissementpar rapport une valeurnominale vise

% de pices non conformes

PROCESSUS ADMINISTRATIF : exemple

VENTE

VENTE

FACTEURSpolitique prixformation vendeursincitatifsdistributionsuivivarit produitconcurrencerelations clientspolitique paiementREPONSEvolume vente% erreurs contacts% ventes perdues% plaintes clientstemps cyclemarge profit% parts marchidentificationbesoins clients

DIAGRAMME ISHIKAWA : exemple

EXPRIMENTATION : tapesDfinir PROBLME / PROCESSUS - objectifs2 Choisir les variables de RPONSE (S) Y mesurer3 Choisir les VARIABLES facteurs X et lespace de variation4 Dfinir & comparer des DESIGNS EXPRIMENTAUX5 PRPARER pour lexprience6 CONDUIRE de lexprience7 ANALYSE statistique des rsultats8 AGIR avec les conclusions de lanalyse

Planification

Excution AnalyseTransfertRoue PDSADeming

EXPRIMENTATION : stratgies Expriences de type OFAT un facteur la fois faussement associes avec la mthode scientifique dvastes par les interactionsinefficace : plus dessais que ncessaireExpriences de type planifies statistiquement bases sur le concept dexpriences factoriellesprincipes fondamentaux de lexprimentation :randomisation rptition blocage

EXPRIMENTATION : stratgiesBONNEManipuler plusieurs facteurs simultanment durant les essais.Varier plusieurs facteurs dun essai lautre. Varier chaque facteur avec un petit nombre de modalits (valeurs)MAUVAISEOFAT : Faire varier un facteur la fois

OFAT mauvaise stratgie ?

EXPRIMENTATION : principesRandomisationexcution des essais dans un ordre dict par le hasardide : quilibrer les effets des variables cachesmalveillantesRptition recommencer lessai compltementpas une relecture de lappareil de mesureamliore la prcision de lestimation des effetspermet lestimation directe de lerreur exprimentaleBlocagepermet de contrler les facteurs nuisibles aussi appels facteurs secondaires

DONNES dexprimentation : mode actif

DONNES dobservations : mode passif

Exemple : plan factoriel complet 24

Plan de 8 essais : 3 7 facteurs

plan de 8 essais 23 : matrice augmente

proprits importantes du plan factoriel complet 248 (+) et 8 (-) dans chaque colonne somme = 0ORTHOGONALIT permet de sparer les effets produit de 2 colonnes = 0 QUILIBR balance chaque modalit (niveau) de chaque facteur apparat exactement 8 foistoutes les combinaisons de 2 facteurs apparaissent exactement 4 foistoutes les combinaisons de 3 facteurs apparaissent exactement 2 foisLe produit terme terme de deux des colonnes du tableau est gal une autre.

matrice augmente : propritsColonnes AB, AC, BC, et ABC sont obtenues par multiplication exemple AB = A x BEngendre un maximum de 7 comparaisons appels CONTRASTES C = ci Yi o ci = 0 ci = 1Les contrastes sont indpendants car orthogonauxj j c i j c i j = 0Les contrastes transforment la rponse Y pour obtenirLes effets principaux de A - B - CLes effets dinteraction double AB - AC - BCLeffet dinteraction triple ABCPossibilit demployer la matrice avec plus de 3 facteurs

MODLISATION STATISTIQUEProcessusX 1X 2X k

Y = f (X)

N ( 0, 2 )Toute analyse statistique repose sur un modle :- fonction f pour reprsenter une relation entre input X et output Y- hypothse distributionnelle pour le terme derreur Y = f ( X1 , X2 , , Xk ; 0 , 1 , 2 , ) + f : fonction inconnue approximation polynme0 , 1 , 2 , : paramtres statistiques inconnus

MODLES STATISTIQUES : typesf est inconnue approximation par des fonctions polynomiales- tous les modles sont LINAIRESEffets principaux ( ordre 1) :Y = 0 + 1X 1 + 2X2 + + kXkEffets principaux et interaction :Y = 0 + 1X1 + 2X2 + + kXk + 12X1X2 + 13X1X3 + Quadratiques (facteurs quantitatifs ) : ordre 2Y = 0 + 1X 1 + 2X2 + + kXk + 12X1X2 + 13X1X3 + + 11X12 + 22X22 + 33X32 + polynomial : Y = 0 + 1X + 2X2 + + kXk

ANALYSE STATISTIQUEPrparation de la matrice de tests pour la collecte des donnesSpcification de la matrice du modle pour lanalyse MATRICE MODLE = MATRICE DESIGN + COLONNES ADDITIONNELLES (augmente) (effets principaux) + (effets dinteraction)Ajustement du modle : estimation des paramtres statistiques 0 , 1 , Tests dhypothses des paramtres (effets ) : 1, 2 , Analyse des rsidusOptionnel : Itration des tapes 4-5-6-7 - modle avec effets importantsAnalyse de la variancePrsentation graphiques des rsultats- Pareto - effets principaux - interactions

Test de signification des effets du modleDistribution dchantillonnage de j j = 0, 1, 2, , k(a) test H 0j : j = 0 vs H 1j : j 0rejeter H 0j au seuil si | j | / j > t , (b) Intervalle de confiance j : j t , j ESTIMATION de 2rsidu : ei = yiobs - yiestsomme de carrs rsiduels : SSR = ei2carr rsiduel moyen : MSR = SSR / n - pestimation : 2 = MSR et i 2= ( MSR ) /n = n - pn : nombre dexpriences ralisesp : nombre deffets y compris la constante

Rgression linaire multipleDCOMPOSITION DE LA VARIABILIT : tableau danalyse de la varianceSSY = ( yiobs ymoy )2 : somme totale des carrsSSM = ( yiest ymoy)2 : somme des carrs du modleSSR = ( yiobs - yiest )2 : somme des carrs rsiduelsQUATION FONDAMENTALEsomme de carrs (SS) : SSY = SSM + SSRvariabilit : totale = modle + rsiduelledegrs de libert (DDL) : (n 1) = (p - 1) + ( n - p )

Rgression linaire multipleTableau danalyse de la varianceTest global H0G : 1= 2 = ... = k = 0vs H1G: non H0G ( au moins un 0 )rejeter H0 au seuil si f > F p - 1, n - p, 1

conception dun plan fractionnairePlan 23 24 25 26 nombre facteurs 3 4 5 6 nombre essais 8 16 32 64

Mthode : ajout de facteurs avec des effets confondus

conception dun plan fractionnaireExemple 1 plan pour 4 facteurs en 8 essais - plan 24-1 plan factoriel complet de 4 facteurs 2 modalits 24 = 16 essais8 essais = plan 23 pour 3 facteurs A, B, CAjout 4ime facteur D en dfinissant ses valeurs avec linteraction triple D = ABCConsquence : leffet principal de D est confondu avec linteraction triple ABCAutres effets confondus A = BCD , B = ACD , C = ABD , AB = CD , AC = BD, BC = ADHypothse : effet dinteraction ABC est ngligeablePlan de 4 facteurs en 8 essais versus 16 essais dans le plan complet conomie de 50% des essais

Algbre de relation des effets confondus :plans avec facteurs 2 modalits 1Exemple 1 : plan 24 1 D dfinit par D = ABCBCD = BC (ABC) = A B2C2 = A car B2 = C2 = I = identitB = ACD, C = ABD, AB = CD, AC = BD, AD = BC, BC = AD, BD = AC, CD = ABTous ces rsultats viennent de lquation D = ABC

conception dun plan fractionnaireExemple 2 : plan 5 facteurs en 16 essais - plan not 25 - 1Dpart : plan complet 24 pour 4 facteurs A, B, C, D = 16 essaisAjout 5ime facteur E en confondant ses valeurs avec linteraction quadruple E = ABCDHypothse : effet dinteraction ABCD est ngligeableEffets confondusA = BCDE B = ACDE C = ABDE D = ABCEAB = CDE AC = BDE AD =BCE AE = BCDBC = ADE BD = ACE BE =ACDCD = ABE CE = ABD DE = ABCPlan de 5 facteurs en 16 essais 32 essais plan complet 25conomie : 50% des essais

BlocageBlocage de essais : mthode pour traiter facteurs nuisibles ou secondaire Facteur nuisible typique : lots de matire premire, oprateurs, pices dquipement, temps, units exprimentales, Facteur nuisible : a probablement un effet sur la rponse Y mais il ne prsente aucun intrt en soiStratgie : contrler /minimiser limpact des facteurs nuisiblesBeaucoup dexpriences industrielles implique le blocageAbsence de blocage : peut conduire un chec manque de dtection des effets des facteurs primaires

Que faire avec des facteurs nuisibles ?facteur nuisibleConnucontrlablemthode de contrleOui oui 1. bloquer les essaisplans en blocsOuimesurable 2. analyse de covariance : enlever effet sur la rponseNon non 3. randomiser les essais

blocs : peuvent tre dfinis par plusieurs facteurs nuisibles

Exemple ?Jour 1 : 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16Jour 2 : 2, 3, 5, 8, 9, 12, 14, 15L estimation de leffet de A :

2669 +650+2635+749+2868+2860+729 2

-550+2604+2633+601+3037+1052+1075+30632

= - 101.625