Plasmas faiblement ionisés - lpp.polytechnique.fr · est assimilé a un fluide a plusieurs composantes en interaction. La résolution ... santes est de 2 : les électrons et

Modele fluides et cinetiques

Plasmas faiblement ionises

Irving Langmuir, Schenectady Museum.

M2 Physique des Plasmas - Plasmas faiblement ionises 2010 - JL Raimbault


Chapitre 1

Introduction a la physique desplasmas faiblement ionises

Les plasmas faiblement ionises (ou plasmas froids) sont crees au sein dereacteurs initialement remplis de gaz neutres et alimentes par une source exterieured’energie electromagnetique. Par un phenomene d’avalanche electronique, lesquelques electrons toujours presents dans un gaz neutre sont acceleres par leschamps electromagnetiques exterieurs, et creent, par collisions avec les moleculesdu gaz, de nouveaux electrons et divers ions, qui constituent le plasma.

Les parametres exterieurs de controle d’une decharge comprennent donc lechoix d’un gaz a une pression determinee, les diverses longueurs qui fixent lageometrie du reacteur choisi, et les grandeurs physiques caracteristiques de lasource d’energie (frequence caracteristique d’alimentation, tension d’alimenta-tion ou puissance absorbee par le dispositif).

Volume

Gaz

Energie

electromagnetique

Figure 1.1 – Schema de principe d’un reacteur a plasma

La nature des gaz utilises depend de l’application visee ; parmi les plussimples, on peut citer, l’argon ou le xenon, souvent utilises comme gaz modelespour les etudes academiques, l’oxygene moleculaire, O2, et le fluorure de bore,BF3 utilises respectivement pour la croissance de films d’oxyde de silicium ou dedepot de bore sur des substrats de silicium. L’ionisation du fluorure de carbone,CF4, par exemple, libere des atomes de fluor qui peuvent reagir avec un substratde silicium pour donner un compose volatil, SiF4, qui pourra etre facilementelimine par pompage.

3

Les gaz sont utilises sur une large gamme de pression, typiquement du mTorra la pression atmospherique. Les unites courantes sont le Torr et le bar. Onrappelle les correspondances :

1 atm = 1.013 105 Pa = 760 Torr,1 bar = 105 Pa,1 Torr = 133.3 Pa.

Plusieurs types de reacteurs, qui correspondent a differentes facons de cou-pler l’energie electromagnetique au plasma ont ete imagines. Sans souci d’ex-haustivite, mentionnons les reacteurs les plus frequemment utilises, a savoir lesreacteurs dits capacitifs et inductifs, representes schematiquement sur la figuresuivante 1 : Dans les reacteurs capacitifs, une difference de potentiel, continue

V (t) ~E Plasma I(t) b ~E ×~E

Plasma

Figure 1.2 – Schemas de principes des reacteurs capacitifs et inductifs

ou variable dans le temps est directement appliquee entre deux electrodes quidonne naissance a un champ electrique agissant sur les charges dans le plasmas.Dans les reacteurs inductifs, on fait circuler un courant variable dans une deselectrodes qui cree un champ magnetique variable et donc un champ electriqueegalement variable par induction.

Les puissances electriques injectees vont de quelques W (pour les microdecharges)a quelques kW. Hormis les reacteurs alimentes en DC, les reacteurs alimentesen alternatifs sont utilises dans les gammes RF (10-100 Mhz), voire dans lesmicro-ondes pour les reacteurs ECR (2 GHz). Les champs magnetiques, lors-qu’ils sont utilises, ne depassent guere le kG. Les tensions appliquees dependentdes reacteurs et vont de quelques dizaines de V au kV.

Selon le type de reacteur utilise, les densites electroniques (ou ioniques)observees sont de l’ordre de 109 a 1012 particules par cm3 (voire davantagepour les microdecharges). Ces densites sont souvent tres faibles par rapport ala densite des neutres qui sont les especes majoritaires. Dans la plupart desplasmas froids, les taux d’ionisation sont tres faibles, de 10−5 a 10−1 ; les tauxd’ionisation les plus eleves sont observes dans les propulseurs a plasmas. On adonc en general :

ne

nn≪ 1

Du fait du rapport des masses, les transferts de quantite de mouvement oud’energie sont tres faibles entre les electrons et les neutres, et tres efficaces

1. Parmi les autres types de reacteurs egalement utilises, on peut egalement signaler lesreacteurs dits “helicons” et ceux dits “ECR” (electron cyclotron resonance).


(masses voisines) entre les ions et les neutres. En consequence, les temperaturesdes especes legeres (electrons) et des especes lourdes (ions, neutres) sont tresdifferentes au sein d’un plasma froid (au moins sur des echelles de temps suf-fisamment courtes) : en general, les plasmas froids ne sont pas des milieux al’equilibre thermodynamique, les temperatures des ions et du gaz sont voisines,et d’un a 2 ordres de grandeurs plus faibles que la temperature des electrons :

Ti ≈ Tn etTi

Te≪ 1

Les densites d’energies deposees dans les plasmas froids varient du W/cm3 pourles decharges traditionnelles dans les reacteurs de grands volumes, jusqu’aukW/cm3 dans le cas des microdecharges. Bien que l’on s’interesse essentiel-lement dans ce cours aux plasmas froids hors-equilibre, notons toutefois, quel’on peut s’approcher de l’equilibre thermodynamique en augmentant la den-site d’energie deposee dans le milieu. Dans cette derniere situation, les atomesrestituent l’energie aux electrons par collisions dites superelastiques.

Le plasma etant un milieu conducteur quasi-neutre aux echelles mesoscopiques,les champs electromagnetiques en son sein sont toujours tres faibles ; une zone- la gaine - doit donc exister pres des parois du reacteur, ou les conditions auxlimites sur les grandeurs electromagnetiques imposees de l’exterieur (potentiel,courant ...), doivent s’accorder avec le plasma quasi-neutre confine au centre.Tres schematiquement, il est utile de separer le gaz ionise en deux domaines :- le centre de la decharge, quasi-neutre (ne ≈ ni) : “le plasma” (ou pregaine),- la peripherie de la decharge, non neutre, appelee “gaine”.

Plasma GaineGaine

Figure 1.3 – Plasma et gaine

La taille des gaines depend du type des dispositifs utilises mais est en generaltres faible par rapport aux dimensions transversales du reacteur. Comme laconstitution des gaines releve d’un mecanisme d’ecrantage du champ electriquedirect ou induit, la taille caracteristique des gaines est de quelques longueursde Debye ou de London 2.

λD ≡(

ǫ0kBTe

ne2

)1/2

, λL ≡ c

ωPavec

λL

Lou

λD

L≪ 1

On notera que dans ces deux cas, la taille de la gaine varie en n−1/2 : l’ecrantageest d’autant plus fort que la densite du plasma est elevee. L’ordre de grandeur

2. La longueur de London correspond a l’effet de peau non collisionnel. A plus forte pres-sion, la longueur de Kelvin qui decrit l’effet de peau collisionnel doit etre utilisee, la longueurd’ecran depend alors de la pression de neutres existant au sein du reacteur.


de la taille des gaines aux densites utilisees est de quelques centaines de micronsdans les decharges RF.

Figure 1.4 – Conversion de l’energie electromagnetique par les plasmas.

Les applications des plasmas froids peuvent etre classifiees schematiquementen considerant le plasma comme un convertisseur de l’energie electromagnetiquerecue en diverses autres formes d’energie. Citons en particulier :

– la conversion energie electromagnetique/energie lumineuse ou l’on tented’optimiser un processus d’excitation electronique particulier qui conduiraa l’emission de photons (eclairage, ecrans a plasmas ...)

– la conversion energie electromagnetique/energie cinetique ou le plasma estutilise en tant que source de particules chargees (sources d’ions, faisceauxd’electrons, propulsion ionique ...)

– la conversion energie electromagnetique/energie chimique ou l’on exploitele fait qu’un plasma peut etre la source d’especes chimiquement actives(traitement des materiaux, sterilisation, depollution ...)

A ce niveau qualitatif de la description, on retiendra donc (tous les termes ontleur importance) que

Les plasmas froids de dechargessont des plasmas faiblement ionises, hors-equilibre, et confines.


Bibliographie

Presque tous les manuels generaux de physique des plasmas contiennent aumoins un chapitre traitant des plasmas faiblement ionises. Ainsi, dans les livressuivants, on pourra lire avec profit :

– Francis F. Chen,Introduction to plasma physics, Plenum Press, 1984, Chapitres 5 et 8.

– Jean-Loup Delcroix,Physique des Plasmas, InterEditions CNRS, 1994, Chapitres 5 et 12.

– Jean-Marcel Rax,Physique des Plasmas, Dunod, 2005, Chapitres 4 et 6.

Le nombre d’ouvrages specialises en physique des plasmas froids n’est pas tresimportant. On peut citer en particulier :

– Raoul N. Franklin,Plasma phenomena in gas discharges, Oxford University Press, 1976.

– Blake E. Cherrington,Gaseous electronics and gas lasers, Pergamon Press, 1979.

– Yuri P. Raizer,Gas discharge Physics, Springer-Verlag, 1991.

– Michael A. Lieberman, Allan J. Lichtenberg,Principles of Plasma discharges and materials processing, Wiley, 1994.

– J. Reece Roth,Industrial plasma engineering, 2 tomes, IOP, 1995.

– Boris M. Smirnov,Physics of ionized gases, Wiley, 2001.

– Francis F. Chen, Jane P. Chang,Lecture Notes on Principles of plasma processing, Plenum-Kluwer, 2002.

– Collectif,Plasmas Froids : generation, caracterisation et technologies, Publicationsde l’Universite de Saint-Etienne, 2004.

– Michel Moisan, Jacques Pelletier,Physique des plasmas collisionnels, Grenoble Sciences, 2006.

Sites et pages web

– Reseaux plasmas froids http ://www.mrct.cnrs.fr/PF/– Page personnelle de Michael Lieberman http ://www.eecs.berkeley.edu/ lie-

ber/



Chapitre 2

Modelisation fluide : premiereapproche

Nous presentons dans ce chapitre les equations du modele fluide ou le plasmaest assimile a un fluide a plusieurs composantes en interaction. La resolutiond’un tel systeme dans les cas les plus generaux est fort complexe et passe sou-vent par une resolution numerique. Nous etudions quelques cas limites obtenuslorsque certains termes sont negliges et/ou en dimension reduite. Cette ap-proche, ou les approximations seront effectuees essentiellement sur l’equationde bilan de quantite de mouvement, permet de degager plusieurs idees physiquesimportantes caracteristiques du comportement des plasmas. Enfin, une illustra-tion de cette modelisation fluide a la problematique de l’ecrantage (electriqueou magnetique) est exposee dans la derniere section de ce chapitre.

2.1 Equations du modele fluide

Dans le cadre d’une modelisation fluide, on assimile le plasma a un fluidecharge, reactif et a plusieurs composantes. Le fluide qui modelise le plasmaest multifluide car il comprend necessairement les differentes composantes duplasma. Un plasma etant globalement neutre, le nombre minimum de compo-santes est de 2 : les electrons et une espece ionique positive. Ainsi en est-il pourles plasmas completement ionises. Dans le cas des plasmas faiblement ionises,on peut etre amene a prendre en compte plusieurs types d’ions (eventuellementnegatifs) ainsi que les atomes ou molecules neutres 1. Le fluide est egalementreactif en general puisque des reactions d’ionisation, recombinaison ... conduisenta des transformations des especes les unes dans les autres. Enfin, bien que leplasma soit globalement neutre, chacune de ses composantes (sauf les especesneutres) est porteur d’une charge electrique et comme tel est soumis aux forceselectromagnetiques. Pour toute ces raisons, le formalisme utilise en physique

1. Une reduction a un seul fluide peut parfois etre operee et conduit alors a une formulationplus simple a un seule fluide (cf. Magnetohydrodynamique et Electrohydrodynamique).

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des plasmas dans les modelisations fluides, est plus proche de celles utiliseesen physique de la combustion ou en aerothermochimie, que celles plus simplescaracteristiques des fluides monophasiques neutres.

Pour chaque composante α (electrons, ions, neutres), nous introduisons lesvariables dynamiques : densites, nα, pressions, pα, et vitesses moyennes Vα.En outre regnent dans le plasma les champs electromagnetiques auto-coherentsE et B qui resultent a la fois d’eventuels champs exterieurs appliques et deschamps crees par le mouvement des charges dans le plasma. Toutes ces gran-deurs physiques dependent de la position r consideree au sein du plasma, et dutemps t.

L’ensemble des equations comprend les equations de bilans de matiere et dequantite de mouvement associees aux equations de Maxwell, c’est-a-dire :

∂nα

∂t+ ∇. (nαVα) = Sα,

mαnα

[

∂

∂t+ Vα.∇

]

Vα = −∇pα + nαFα −−mα (Vα − Uα)Sα,

∇× E = −∂B∂t,

∇× B = µ0J + µ0ǫ0∂E

∂t,

auxquelles il convient d’ajouter des conditions initiales et aux limites adaptees.

Dans ces equations, Uα designe la vitesse fluide de creation ou de destruc-tion des particules de la composante α, et Sα, le nombre de particules creeesou detruites par unite de temps du fait des diverses reactions entre les par-ticules (ionisation, combinaison, attachement). La force exterieure, Fα, com-prend generalement les forces electromagnetiques et de friction 2 entre les com-posantes :

Fα = qα (E + Vα × B) −mα

∑

β 6=α

ναβ (Vα − Vβ)

Par ailleurs, les densites de charges et de courant sont definies par les relations

ρ ≡∑

α

qαnα et J ≡∑

α

qαnαVα.

Remarques

1- On notera que seules 2 des 4 equations de Maxwell ont ete introduites.Les 2 autres equations, celles de Maxwell-Gauss ∇.E = ρ/ǫ0 et l’equation∇.B = 0. peuvent etre fixees par les conditions initiales. Cela resulte du fait queles equations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampere peuvent etre interpretees

2. Les conditions sous lesquelles la force de friction prend la forme annoncee seront preciseesdans le chapitre suivant.


comme des equations d’evolution des champs E et B sous la forme :

∂B(r, t)

∂t= −rot E(r, t),

∂E(r, t)

∂t=

1

ǫ0µ0rot B(r, t) − 1

ǫ0J(r, t)

En tant qu’equations d’evolution, ces 2 equations doivent etre completees pardes conditions initiales sur les champs E et B.En utilisant la relation de conservation de la charge et le fait que la divergenced’un rotationnel est nulle, les 2 equations d’evolution se recrivent :

∂

∂t(divB) = 0,

∂

∂t

(

divE − ρ

ǫ0

)

= 0,

Les 2 equations de Maxwell sur la divergence sont donc obtenues en fixant lesconditions initiales suivantes :

div E(r, 0) =ρ(r, 0)

ǫ0et div B(r, 0) = 0

de sorte que si ces relations sont satisfaites a l’instant initial, elles le demeurentaux temps ulterieurs.

Il est donc equivalent de se donner les 4 equations de Maxwell, ou les 2equations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampere completees par des condi-tions initiales adaptees.

Noter qu’il peut cependant apparaıtre plus commode dans certains problemesd’etre redondant et d’utiliser explicitement les 4 equations de Maxwell.

2- Tel quel, pour un systeme a N composantes, ce systeme comprend 4N +6 equations pour les 5N + 6 champs inconnus, nα, pα,Vα,E et B, de sorteque le systeme comprend plus d’inconnues que d’equations. Dans l’approchetraditionnelle utilisee en thermodynamique, on introduit une equation de bilansupplementaire : l’equation de bilan d’energie. Cette equation introduit a sontour une nouvelle inconnue, le flux de chaleur, que l’on relie aux autres inconnuespar une consideration thermodynamique (par exemple la loi de Fourier ou unehypothese d’adiabacite).

Ce chemin peut egalement etre suivi dans le cadre de l’etude des plasmas,mais il est plus simple d’introduite la contrainte thermodynamique au niveaude l’equation de bilan de quantite de mouvement. Les plasmas etant des milieuxdilues, on peut utilise l’equation d’etat des gaz parfaits sous la forme 3 :

pα = nα(kBTα) (2.1)

3. L’utilisation, lorsque le fluide est en mouvement, d’une equation valable pour une situa-tion a l’equilibre thermodynamique, correspond a l’hypothese d’equilibre thermodynamiquelocal.


Cette relation introduit cependant un nouveau champ inconnu, le champ detemperature Tα(r, t), ce qui ne resout donc rien. Une facon de fermer les equationsconsiste a introduire une hypothese physique suffisamment forte qui fixe lechamp de pression.

Dans les situations ou la pression au sein du fluide peut etre negligee parrapport aux autres contributions 4 :

pα → 0,

les 2 equations de conservation de la charge et de l’impulsion suffisent a determinerles champs de densites : nα, et de vitesses Vα.

Dans le cas contraire, la pression (ou la temperature) reste inconnue. Il fautdonc au moins une autre equation independante pour “fermer” l’ensemble desequations, ce qui est facile lorsque les echelles de temps associees a la dynamiquedes particules et a la diffusion de la chaleur sont bien separees.

Considerons d’abord le cas d’une evolution isotherme du plasma (Tα uni-forme), c’est-a-dire que les gradients de temperature relaxent rapidement surl’echelle de temps etudiee, l’equation manquante s’ecrit donc :

pα

nα= Cte ou dpα = kBTα dnα = Cα d(nαmα),

ou Cα ≡ (kBTα/mα)1/2 est la vitesse isotherme du son.

Dans le cas oppose d’une evolution adiabatique ou la chaleur n’a pas eu letemps d’etre transportee, la contrainte thermodynamique est la relation

pα n−γα = Cte ou dpα = γ kBTα dnα = Cγ

α d(nαmα),

ou γ = cp/cv est le rapport des chaleurs specifiques a pression et volumeconstants 5, et ou Cγ

α ≡ (γkBTα/mα)1/2 est la vitesse adiabatique du son. Onremarquera que ce dernier cas comprend le precedent pour la valeur particuliereγ = 1.

En resume, il y a donc (au moins) 3 situations limites pour lesquelles onpeut fermer les equations de bilan de particules et de quantite de mouvement :

Approximation des plasmas froids : pα = 0,

Approximation isotherme : pαn−1α = Cte,

Approximation adiabatique : pαn−γα = Cte.

Ce scenario coherent consiste a ne retenir que les 2 premieres equations de bi-lans (les 2 premiers moments de l’equation de Boltzmann). Une autre possibiliteconsiste a retenir les 3 premieres equations de bilan (matiere, quantite de mou-vemente et energie). Cela rajoute une variable par composante, la temperature

4. Cette situation correspond a celle dite des plasmas froids, puisque une temperature nulleimplique une pression cinetique nulle.

5. Dans le cas des gaz parfaits a d dimensions, γ = (d+ 2)/d.


Tα. En utilisant l’equation d’etat des gaz parfaits, acceptables pour les milieuxdilues, pα = nα kbTα, on obtient alors un systeme de 6N + 6 equations pour6N + 6 inconnues pour peu qu’on ait fixe le flux de chaleur. Les equations sontalors fermees au niveau du 3eme moment. Nous reviendrons sur cette possibilitedans le chapitre suivant.

2.2 Plasmas collisionnels : mobilite et diffusion

Lorsque le libre parcours moyen des particules chargees (electrons ou ions)est faible devant les dimensions caracteristiques du plasmas, les especes su-bissent de nombreuses collisions avant de ressentir toute acceleration significa-tive. Dans ces conditions, on peut raisonnablement negliger les forces d’inertiesdevant les autres forces (friction, electromagnetiques et de pression), de sorteque l’equation de bilan de quantite de mouvement de l’espece α s’ecrit :

− ∇pα + nαqα (E + Vα × B) −mαnα

∑

β 6=α

ναβ (Vα − Vβ) = 0 (2.2)

Pour fixer les idees, limitons-nous aux cas des plasmas faiblement ionises pourlesquels les collisions dominantes sont les collisions ions-neutres et electrons-neutres. La composante α representant, soit les electrons, soit les ions, la seulecomposante β a retenir est celle representant les especes neutres. Du fait queces dernieres ne sont pas sensibles aux champs electromagnetiques, on pourraen general considerer que la vitesse fluide des neutres est negligeable devantcelles des espaces chargees. Ici, on aura donc Vβ ≪ Vα de sorte que la force defriction s’ecrit :

−mαnα

∑

β 6=α

ναβ (Vα − Vβ) ≈ −mαnαναVα (plasmas faiblement ionises)

ou on a pose ναn ≡ να puisque les seules collisions retenues sont avec les neutres.

L’equation (2.2) s’ecrit donc :

Vα = − 1

mανα

∇pα

nα+

qαmανα

(E + Vα × B)

Les plasmas etant des milieux dilues pour lesquels l’equation d’etat pα =nα kBTα s’applique, cette equation prend la forme dite de mobilite-diffusion :

Vα = µα (E + Vα × B) −Dα

(

∇Tα

Tα+

∇nα

nα

)

(2.3)

ou µα et Dα sont des coefficients de transports, respectivement appeles mobiliteet coefficient de diffusion :

µα ≡ qαmανα

Dα ≡ kBTα

mανα


Ces 2 coefficients ne sont pas independants mais relies par la relation d’Einstein :

Dα

µα=kBTα

qα

qui est une des formes du theoreme de fluctuation-dissipation.

En l’absence de champ magnetique, l’equation (2.3) montre explicitementque la vitesse fluide des electrons ou des ions au sein d’un plasma collision-nel a pour origine commune l’existence de gradients. Chacun des gradientseventuellement presents dans le plasma : gradients de densite, de temperatureou de potentiel electrostatique contribue a la vitesse fluide totale. On notera enoutre que la direction de la vitesse est celle des gradients (le sens depend dusigne de la charge pour les termes de mobilite).

Lorsque le champ magnetique n’est pas nul, l’equation (2.3) ne donne plusexplicitement la vitesse qui apparaıt egalement dans la force de Laplace. Neanmoins,on remarquera que cette equation est une equation vectorielle algebrique etlineaire pour la vitesse (et non differentielle non-lineaire comme dans sa formesans approximations). Elle peut donc etre explicitement resolue. Pour cela, onpeut soit projeter cette equation sur 3 directions orthogonales et exprimer lesdifferentes composantes, ou proceder directement sur l’equation vectorielle.

Vous montrerez en travaux diriges que Vα peut s’ecrire explicitement commesomme de 3 contributions dans des directions orthogonales. (E,B) definissantun plan, ces 3 directions sont : la direction du champ magnetique (notee ‖), ladirection orthogonale a B dans le plan (E,B) (notee ⊥), et la direction E×B(notee ×), egalement appelee direction de Hall.

⊥E

B, ‖×

On trouve (en laissant tomber l’indice α pour simplifier l’ecriture) :

V = V‖ + V⊥ + V×

avec :

V‖ = µ‖ E‖ −D‖

(

∇‖T

T+

∇‖n

n

)

V⊥ = µ⊥ E⊥ −D⊥

(

∇⊥T

T+

∇⊥n

n

)

V× = µ× E⊥ × b −D×

(

∇⊥T

T+

∇⊥n

n

)

× b

ou b est le vecteur normalise donnant la direction du champ magnetique :b ≡ B/ ‖b‖. Dans ces expressions les coefficients de transport sont definis par


les relations suivantes :

µ‖

µ=D‖

D= 1,

µ⊥µ

=D⊥

D=

1

1 + (ωc/ν)2,

µ×µ

=D×

D=

ωc/ν

1 + (ωc/ν)2.

ou ωc ≡ qB/m est la frequence cyclotron.

Plusieurs remarques decoulent de ces expressions :

1. Le mouvement dans la direction du champ magnetique n’est pas modifiepar la presence du champ magnetique.

2. L’expression des coefficients de transport montre que l’importance descontributions dans les directions ⊥ et × depend du rapport ωc/ν, c’est-a-dire de l’importance relative de la force magnetique et de la force defriction.

A collisionnalite fixee (i.e. a ν fixe) :

– La mobilite et la diffusion transverse ⊥ ont un comportement monotonedecroissant en fonction du champ magnetique : ce dernier a donc uneffet qui confine le plasma.

– Au contraire, la mobilite et la diffusion Hall × varient de facon nonmonotone, croissant puis decroissant lorsque le champ magnetique aug-mente.

A fort champ magnetique :

– Les coefficients ⊥ sont proportionnels a ν (contrairement a D et µ quivarient en ν−1).

– Les coefficients de Hall sont quant a eux independants de la frequencede collision.

3. Les termes proportionnels a µ‖, µ⊥ et D× dependent du signe de la chargeelectrique des particules etudiees, les autres contributions ont meme senspour les electrons et pour les ions.

4. Le terme proportionnel a E⊥ ×b s’appelle la vitesse de derive de champscroises (meme sens de derive pour les electrons et les ions), les termesproportionnels a ∇⊥n×b et ∇⊥T×b sont appeles vitesses diamagnetiques(sens oppose de mouvement pour les electrons et les ions).

Exemple : colonne cylindrique magnetisee

Pour illustrer ces resultats, considerons le cas d’une longue colonne cy-lindrique de plasma soumis a un champ magnetique axial. Soit (er, eθ, ez) lesysteme de coordonnees cylindriques associe. Le systeme etant invariant partranslation le long de Oz et par rotation autour de Oz, tous les gradients sontnecessairement radiaux. C’est le cas du champ electrique (gradient de poten-tiel) generalement dirige vers la peripherie du cylindre. Au contraire, la densitedu plasma est maximale au centre, le gradient correspondant etant donc dirigevers l’axe du cylindre. Tant qu’on reste assez loin de la surface laterale quiconfine le plasma, les gradients de temperature sont generalement faibles et on


les negligera par la suite. La situation est donc la suivante :

B = B‖ = B ez,

E = E⊥ = E er,

∇nα = ∇⊥nα = −∇nα er,

∇Tα ≈ 0

Les sens des differentes contributions des vitesses fluides, radiales et othora-diales, sont representees sur la figure suivante.

⊙B

E

∇n

⊙B

µ⊥iE

µ⊥eE

−D×e∇⊥n

n × b

−D×i∇⊥n

n × b

⊙B

−D⊥i∇⊥n

n

−D⊥e∇⊥n

n

µ×eE × b

µ×iE × b

La figure de gauche represente la configuration des champs et gradientsetudiee. La figure centrale represente les contributions de sens oppose pour lesions et les electrons (radiales dues aux termes de mobilites ⊥ et azimuthales duesaux contributions diamagnetiques). La figure de droite represente les contribu-tions de meme sens pour les ions et les electrons (radiales dues aux termes dediffusion ⊥ et azimuthales dues aux derives de champ croises).

2.3 Plasmas non collisionnels : inertie et equilibre

Dans cette section, nous considerons les situations ou le libre parcours moyendes particules est grand devant la taille du systeme etudie. Dans ces conditions,tous les termes de collisions sont negligeables, et l’equilibre se realise, pour uneespece donnee, par compensation des forces d’inertie, de pression et des forceselectromagnetiques :

nm

(

∂

∂t+ V.∇

)

V = −∇p+ nq (E + V × B)

Cette equation est encore bien compliquee aussi nous restreignons-nous dans lasuite au cas stationnaire (∂t ≡ 0), et isotherme (∇T ≡ 0), soit :

m (V.∇)V + kBT∇n

n+ q∇ϕ− qV × B = 0, (2.4)

ou nous avons utilise les relations E = −∇ϕ et p = nkBT et ou nous avonsdivise par n. Bien que simplifiee, cette equation n’est cependant pas triviale dansces consequences. On notera en particulier la presence du terme non-lineaire envitesse du aux forces d’inertie.


On peut maintenant utiliser la relation vectorielle (V.∇)V = rotV ×V +∇(

V 2/2)

qui montre que le produit scalaire de l’equation (2.4) par le vecteurV conduit au resultat :

V.∇

(

1

2mV 2 + kBT lnn+ qϕ

)

= 0

On en deduit donc l’existence de l’invariant le long d’une ligne de courant :

1

2mV 2 + kBT lnn+ qϕ = Cte

Ce resultat constitue une forme particuliere de la la formule de Bernouilli 6

qui s’applique aux fluides parfaits et l’equation (2.4) n’est autre que l’equationd’Euler en presence des forces electromagnetiques. Bien que les lignes de courantsoient evidemment modifiees en presence de champ magnetique, il est cependantremarquable que la forme generale de cet invariant se conserve en presence duchamp magnetique.

Selon les situations particulieres du plasma ou selon la composante duplasma (electrons ou ions) consideree, 2 des 3 termes peuvent etre preponderantpar rapport au 3eme, ce que nous detaillons dans ce qui suit.

2.3.1 Equilibre thermodynamique

Cette situation correspond au cas ou l’energie cinetique peut etre negligee.C’est le cas par exemple, dans le cas des plasmas froids, pour les electrons, dontles tres faibles masses tendent a rendre negligeable le terme d’origine inertiel. Leselectrons sont alors a l’equilibre entre eux, sans toutefois etre en equilibre avecles autres composantes du plasmas (ions et especes neutres) qui possedent engeneral une temperature inferieure d’un a 2 ordres de grandeurs. Dans certainessituations de plasmas chauds, les ions et les electrons peuvent se trouver a lameme temperature et donc l’equilibre thermodynamique est complet.

L’equation (2.5) s’ecrit donc :

kBT lnn+ qϕ = Cte,

ce qui traduit l’uniformite du potentiel electrochimique 7 le long des lignes decourant. Soit n0 la densite la ou le potentiel electrostatique s’annule, on auradonc

kBT lnn+ qϕ = kBT lnn0 ⇔ n(r) = n0 e−qϕ(r)/(kBT )

6. Dans le cas des fluides incompressibles comme l’eau (mais ce n’est pas le cas des plasmasqui s’assimilent plutot a des gaz !), la formule de Bernouilli s’ecrit sous la forme legerementdifferente (chacun des termes est homogene a une densite d’energie et non pas a une energie) :

1

2(nm)V 2 + p+ (nq)ϕ = Cte

7. On rappelle que le potentiel chimique du gaz parfait est tel que µGP = kBT ln(nΛ3) ouΛ est la longueur d’onde thermique de la particule.


Il s’agit la d’une forme de la densite en e−E/(kBT )qui correspond donc a larelation d’equilibre de Boltzmann. Les composantes du plasma qui verifientcette equation sont appelees boltzmanniennes.

2.3.2 Mouvement inertiel

Supposons maintenant qu’il soit possible de negliger le terme proportionnela la temperature. Cette approximation est envisageable pour les ions au seind’un plasma partiellement ionise. L’equation correspondante s’ecrit :

1

2mV 2 + qϕ = Cte

ce qui correspond a la conservation de l’energie totale, somme des energiescinetique et potentielle. On notera que sous ces hypotheses, cette composantedu plasma ne se comporte plus comme un fluide mais comme une particule.Comme nous l’avons deja note, en l’absence de temperature (ou de pression),le caractere de milieu continu du fluide est perdu et devient particulaire. SoitV0 la vitesse des particules ou le potentiel s’annule, alors :

1

2mV 2 + qϕ =

1

2mV 2

0 ⇔ V (r) = V0

√

1 − 2qϕ(r)/(mV 20 )

Cette expression peut etre comparee avec la vitesse de chute libre d’une masseplacee dans un champ de gravitation. Ici, c’est le potentiel electrostatique quifreinera ou accelerera les charges en fonction de leur signe.

2.4 Remarques

Il ne faut pas perdre de vue que ce qui precede etablit, sous certaines approxi-mations, des relations fonctionnelles entre des grandeurs physiques qui ne sontpas independantes. Aucune des relations precedemment obtenues n’ont permisd’exprimer les grandeurs physiques en fonction de la position (et eventuellementdu temps), ce qui reste l’objectif d’une description complete des plasmas dansune approche eulerienne. En effet, on a ici seulement exploite les consequencesde certaines approximations sur la seule equation de bilan de quantite de mou-vement, alors qu’une solution complete et auto-coherente suppose de couplerl’ensemble des equations de bilans et des equations de Maxwell.

Il n’en reste pas moins vrai que cette approche partielle permet deja de sou-ligner les consequences physiques importantes, et la difference des formalismesutilises en fonction de la plus ou moins grande collisionnalite du plasma etudie.Une approche plus complete qui conduira a l’expression des profils de densites,vitesses fluides, potentiel electrostatique, ... sera donnee dans les chapitres sui-vants.


2.5 Ecrantages

Dans les deux sections qui suivent, on considere un plasma perturbe par unchamp electrique ou un champ magnetique exterieurs. Du fait de la mobilitedes especes, un plasma - comme tout milieu conducteur - tend a s’opposer a lapenetration des champs exterieur. Les longueurs caracteristiques sur lesquellesle champ electrostatique ou magnetique peut penetrer (longueurs de Debye oude London) sont mises en evidence dans le cadre d’une modelisation fluidesimplifiee.

2.5.1 Ecrantage electrostatique

On se propose de comparer la distribution de potentiel electrostatique auvoisinage d’un objet polarise electriquement et immerge, soit dans le vide, soitdans un plasma.

Supposons d’abord que le milieu environnant l’objet est le vide. Le potentielelectrostatique ϕ est solution de l’equation de Poisson (de Laplace dans le caspresent puisqu’il n’y a pas de charges) :

ϕ = 0

Pour simplifier, supposons que l’objet considere est une plaque suffisammentgrande, le probleme est invariant par translation dans les 2 directions parallelesa la plaque, de sorte que le probleme est unidimensionnel :

d2ϕ

d2x= 0 ϕ(x) = Ax+B

On en deduit donc que le potentiel suit une evolution lineaire dans le vide.

Considerons maintenant que le milieu environnant est un plasma completementionise 8 et que ses 2 composantes, electrons et ions, sont a l’equilibre thermo-dynamique a la meme temperature T . Les densites s’ecrivent donc (cf. chapitreprecedent) :

ne(r) = n0 e+eϕ(r)/(kBT ) et ni(r) = n0 e−eϕ(r)/(kBT )

ou on a suppose que le plasma est quasi-neutre la ou le potentiel electrostatiques’annule.

En couplant ces 2 equations avec l’equation de Poisson ǫ0 ϕ = −e(ni−ne),on obtient l’equation de Poisson-Boltzmann qui decrit l’evolution spatiale dupotentiel electrostatique :

ϕ = +2en0

ǫ0sinh

(

eϕ

kBT

)

(2.5)

8. L’etude est quasi-identique dans le cas d’un plasma partiellement ionise ou l’on pourraconsiderer la distribution des ions comme uniforme et celle des electrons comme boltzman-nienne.


Il s’agit d’une equation differentielle non-lineaire du second ordre qui doit etrecompletee par 2 conditions aux limites.

Avant de resoudre cette equation, il est important de noter que cette equationest equivalente au systeme de trois equations differentielles suivante qui couplent,sous certaines approximations, les 2 equations de bilan de quantite de mouve-ment pour les electrons et pour les ions ainsi qu’une seule des equation deMaxwell, l’equation de Maxwell-Gauss :

−kBT ∇ne − ene E = 0,

−kBT ∇ni + eni E = 0,

∇.E =e(ni − ne)

ǫ0

A l’aide de la relation E = −∇ϕ, on retrouve aisement l’equation de Poisson-Boltzmann en eliminant les densites d’entre ces equations 9. A tort ou a raison(c’est au physicien de le dire !), ce systeme montre que l’equation de Poisson-Boltzmann ne retient pas la dependance temporelle, les eventuels effets magnetiques,les forces d’inertie et de friction.

Revenant a l’equation (2.5), il convient tout d’abord de la normaliser. Ilest clair que eϕ/kBT , rapport de l’energie potentielle electrostatique a l’energiethermique, est une grandeur sans dimension. Posons Φ ≡ eϕ/(kBT ) ; l’equation(2.5) s’ecrit donc en multipliant par e/kBT :

Φ =2e2n0

ǫ0kBTsinh Φ

Le laplacien etant un operateur homogene a l’inverse d’une longueur, on endeduit aussitot que la grandeur

λD ≡√

ǫ0kBT

e2n0

est homogene a une longueur que l’on appelle la longueur de Debye 10. Cettelongueur ne depend pas seulement de constantes caracteristiques du milieu oudes composantes du plasma, mais egalement - et surtout - de la densite et dela temperature du plasma. Ainsi l’equation de Poisson-Boltzmann peut-elle sereecrire :

Φ = +κ2D sinh Φ

ou nous avons pose κD ≡√

2/λD qui a les dimensions d’un nombre d’ondes(m−1).

Pour montrer qu’en presence de plasma, le potentiel ne suit plus une evolutionlineaire, contentons-nous de lineariser l’equation precedente. Comme sinhx ≈,on obtient aussitot :

Φ = +κ2D Φ

9. Compte tenu des approximations effectuees, on remarquera que les equation de bilan departicules ne sont pas utilisees dans cette approche, ce qui est une consequence du fait que lesvitesses fluides n’apparaissent pas dans ces equations.

10. Mise en evidence en 1923 par Debye et Huckel dans leur etude des electrolytes.


dont la solution s’ecrit :Φ(x) = Φ0 e−κD|x|

ou Φ0 est le potentiel applique a la plaque supposee placee en x = 0. Le potentielchute donc exponentiellement en presence de plasma. On dit que le potentiel(ou la charge) a laquelle est portee la plaque est ecrantee par les charges mo-biles presentes dans le plasma. Ce comportement n’est pas propre aux plasmasmais est caracteristique des milieux ou il existe des charges libres (conducteurs,electrolyte ...).

2.5.2 Ecrantage magnetique

On vient de voir qu’un plasma s’oppose naturellement a toute presence dechamp electrique en son sein. Les charges electriques se rearrangent spatiale-ment de facon a creer un champ electrique qui s’oppose au champ electriqueperturbateur, et qui tend ainsi a minimiser le champ electrique total resultant.De la meme facon, les charges libres dans un plasma tendent a s’organiseren courants qui creent des champs magnetiques qui s’opposent a un champmagnetique exterieur impose au plasma. On parle d’effet diamagnetique duplasma.

Pour le mettre en evidence, on considere un plasma homogene, isotherme,forme d’electrons mobiles de masse m et de charge −e, et d’un fond neutralisantd’ions positifs que l’on supposera immobiles. Dans le cadre de la descriptionfluide des plasmas, on doit combiner les equations de Maxwell avec l’equationdu mouvement du fluide electronique.

m∂tV = −eE −mνV,

∇× E = −∂B∂t,

∇× B = µ0J + µ0ǫ0∂E

∂t,

Dans l’equation du mouvement, on notera que le terme de pression est nul pource plasma isotherme et homogene (∇p = kBTe ∇n ≡ 0), et que l’on a negligeles termes non-lineaires d’inertie. La densite de courant, J, est due aux electronset s’ecrit, J = −enV. En combinant les 2 equations de Maxwell (et l’egalitetoujours verifiee ∇.B = 0), le systeme se ramene aux 2 equations :

B − 1

c2∂2

ttB = −µ0 ∇ × J,

∂tJ + νJ = ǫ0ω2pE,

ou nous avons introduit la frequence plasma ω2p ≡ n0e

2/(mǫ0).

La densite de courant obeit a une equation differentielle temporelle du 1erordre qui peut etre aisement resolue. On trouve (par la methode de la variationde la constante) :

J(r, t) = e−νt J(r, 0) + ǫ0ω2p

∫ t

0

e−ν(t−t′)E(r, t′) dt′


Comme ∇ × E = −∂tB, on trouve :

µ0 ∇ × J(r, t) = µ0e−νt

∇ × J(r, 0) −ω2

p

c2

∫ t

0

e−ν(t−t′)∂tB(r, t′) dt′

Il est interessant de considerer cette equation dans les 2 limites extremes deforte collisionnalite (ν ≫ 1) et faible collisionnalite (ν ≪ 1). En utilisant lapropriete limν→∞ ν e−ν(t−t′) = δ(t− t′), on trouve :

µ0 ∇ × J(r, t) = µ0 ∇ × J(r, 0) − 1

δ2L(B(r, t) − B(r, 0)) (ν ≪ 1)

µ0 ∇ × J(r, t) = − 1

DM∂t B(r, t) (ν ≫ 1)

ou on a introduit la longueur de London, δL et le coefficient de diffusion magnetique,DM , definis par les relations :

δL ≡ c

ωpet DM ≡ δ2Lν =

1

µ0η

ou η = ne2/(mν) est la conductivite electrique.

Les equations d’evolution spatio-temporelle du champ magnetique s’ecriventdonc dans ces 2 cas limites :

(

− 1

c2∂2

tt −1

δ2L

)

B(r, t) = −µ0 ∇ × J(r, 0) − B(r, 0)

δ2L(ν ≪ 1)

DM

(

− 1

c2∂2

tt

)

B(r, t) = ∂t B(r, t) (ν ≫ 1)

Aux frequences utilisees, on peut generalement negliger le terme proportionnela ∂2

tt dont l’origine est le terme de courant de deplacement. Dans ces conditions,dans le cas des plasmas non collisionnels, la structure de ces equations met clai-rement en evidence une attenuation exponentielle du champ magnetique surune longueur caracteristique, la longueur de London c/ωP . Dans le cas opp-pose des plasmas collisionnels, on assiste a une attenuation par un phenomenede diffusion du aux collisions sur une longueur caracteristique, la longueur deKelvin, λK :

λK ≡√

DM/ω

2.6 Modelisation simplifiee des decharges

Considerons une decharge tres simple ou les electrons et les ions sont pro-duits selon le schema simplifie :

e− + n −→ i+ 2e−

Chaque reaction d’ionisation cree un couple electron-ion et provoque la dispa-rition d’un atome neutre. Le plasma est donc constitue d’ions positifs monova-lents, d’electrons et de neutres. On le supposera suffisamment peu ionise, pour


que la densite des neutres soit quasi-uniforme. Nous ecrivons dans ce qui suitles equations correspondant a une modelisation fluide des decharges dans le casnon magnetise.

Les ions et les electrons verifient les equations de conservation :

∂tni + div (niVi) = Si,

∂tne + div (neVe) = Se

ou ne et ni designent les densites, ~vi, ~ve les vitesses fluides, et Sα(~r, t) est unterme source qui comptabilise les particules creees ou detruites dans le volumede la decharge par unite de volume et de temps (ionisation, recombinaison ...).

Les electrons, du fait de leur faible masse, ont le comportement dynamiqued’un fluide place dans un champ exterieur, et tendent a se distribuer selon unedistribution de Boltzmann. Leur equation d’equilibre s’ecrit donc :

0 = −kBTe∇ne − eneE ⇔ ne(r) = n0 eeϕ(r)/(kBTe)

ou nous avons suppose la temperature electronique Te uniforme et ou ϕ est lepotentiel electrostatique relie au champ electrique par la relation E = −∇ϕ .Notez que les termes d’inertie et de friction sont generalement negliges du faitde l’approximation me → 0.

A contrario, les ions sont des particules massives dont la temperature estplus faible d’un a 2 ordres de grandeurs que la temperature electronique. Enconsequence la pression ionique peut en general etre negligee. L’equation debilan de quantite de mouvement s’ecrit donc :

niDi (mi Vi)

Dt= +ni eE − niFc −miViSi

ou Di/Dt ≡ ∂t + (Vi.∇) est la derivee convective qui suit la particule fluideau cours de son mouvement. Fc est la force de frottements des ions avec lesautres composantes du fluide. Dans un plasma faiblement ionise, les collisionsentre particules chargees sont peu frequentes et les contributions dominantessont generalement les collisions ions-neutres Fc ≈ Fin. Le dernier terme estla contribution a la quantite de mouvement des particules creees, lorsqu’onsuppose que celles-ci sont apparues sans temperature et sans vitesse moyenne.

Enfin, en absence de champ magnetique, le champ electrique self-consistantregnant dans la decharge satisfait l’equation de Maxwell-Gauss :

ǫ0 divE = e(ni − ne)

Les equations precedentes, completees par des conditions aux limites adaptees,definissent un probleme dont les inconnues sont les champs scalaires ne, ni, ϕ etvectoriels Ve,Vi. Ainsi qu’on l’a souligne plus haut, tant que l’on ne considerepas la gaine, c’est-a-dire dans l’essentiel du volume du plasma, la decharge peutetre consideree comme quasi-neutre : ne ≈ ni en tout point, et on peut donc sepasser de la relation de Maxwell-Gauss. Cette approximation de quasi-neutralite


est tellement universelle, qu’on l’appelle l’approximation plasma. Cette zonecentrale de la decharge (la pregaine) sera etudiee en detail dans le chapitre 5.Dans la gaine, au contraire, la densite de charge n’est pas nulle et l’equation deMaxwell-Gauss est l’equation centrale. Nous presenterons quelques aspects dela physique des gaines dans le chapitre 6.

L’approximation des electrons boltzmanniens est quasiment universelle dansles problemes de decharges, et l’approximation des plasmas froids pour les ions(Ti = 0) est souvent tres satisfaisante. Les modeles se differencient ensuite selonle domaine de pression etudie. Ainsi, lorsque le libre parcours des ions est granddevant les dimensions caracteristiques du reacteur, les forces de frictions sont engeneral negligees par rapport aux contributions d’acceleration. Cette situationcorrespond aux decharges d’assez basses pressions ou l’equilibre ionique meten competition l’inertie des ions avec les forces electriques. Si la pression estvraiment tres basse, on peut mettre en doute la validite d’une approche fluide,et se tourner alors vers des modelisations cinetiques (cf. chapitre 2). Dans lalimite opposee des pressions elevees, les accelerations ressenties par les ionsrestent moderees, et on est conduit a negliger ce terme par rapport aux forcesde frictions. L’equilibre des ions dans ces plasmas dits collisionnels s’etablitalors par competition entre les forces electriques et les forces de frictions (cfchapitre 7).

Notons enfin, que les plasmas froids ont bien souvent une structure beau-coup plus complexe du fait qu’ils peuvent comprendre plusieurs especes ioniques(y compris des ions charges negativement, ce qui modifie le bilan de quasi-neutralite), et qu’ils necessitent parfois de prendre en compte un tres grandnombre de reactions elementaires pour decrire correctement les differents etatsd’excitation des especes presentes au sein de la decharge. Le principe de la des-cription, au moins au niveau fluide reste cependant celui expose plus haut, avecla prise en compte additionnelle des forces de Laplace des autres equations deMaxwell pour les plasmas magnetises.


Chapitre 3

De la theorie cinetique a lamodelisation fluide

Dans la suite de ce cours, les plasmas faiblement ionises seront etudiesdans le cadre simplifie d’une modelisation fluide. Dans ce chapitre, nous mon-trons comment obtenir les equations fluides a partir des equations de la theoriecinetique, et nous precisons la forme des termes de collisions utilises dans lecadre de la physique des plasmas froids. Certaines notions de theorie cinetiqueseront approfondies dans le cadre du cours de theorie cinetique.

3.1 Des equations cinetiques aux equations de bilan

Soit f1(~r,~v, t) la fonction de distribution d’une des composantes. Rappelonsque f1(~r,~v, t)d~rd~v comptabilise le nombre de particules comprises, a l’instantt, dans le domaine [~r, ~r + d~r] × [~v,~v + d~v] de l’espace des phases. En integrantsur l’ensemble des vitesses accessibles, on obtient donc la densite :

∫

R3

f1(~r,~v, t) d~v = n(~r, t)

On en deduit en particulier que f1/n definie une densite de probabilite norma-lisee.

3.1.1 Equation cinetique

La premiere equation de la hierarchie BBGKY 1 conduit a l’equation exacte :

∂f1

∂t+ ~v

∂f1

∂~r+ ~γext

∂f1

∂~v= −

∫

~γint(|~r − ~r ′|) ∂f2(~r, ~r′, ~v,~v′, t)

∂~vd~r ′d~v ′

ou :

1. Il s’agit de la hierarchie d’equations Born-Bogloiubov-Green-Kirkwood-Yvon (cf. coursde theorie cinetique)

25

– ~γext ≡ ~Fext/m est l’acceleration due aux force exterieures.– ~γint(|~r − ~r ′|) ≡ ~Fint/m est l’acceleration due aux forces d’interaction

entre les particules situees en ~r et ~r ′ (on suppose que ces interactionsne dependent pas de la vitesse, mais seulement de la distance |~r − ~r ′|entre les particules).

– f2(~r, ~r′, ~v,~v′, t) est la fonction de distribution double associee a la proba-

bilite de trouver une particule a l’instant t en ~r,~v sachant qu’il y en a uneautre en ~r ′, ~v ′.

Il est utile d’introduire la fonction de correlation a 2 particules definie par larelation :

g2(~r, ~r′, ~v,~v′, t) ≡ f2(~r, ~r

′, ~v,~v′, t) − f1(~r,~v, t)f1(~r′, ~v ′, t)

L’integration du terme sans correlation s’effectue sans peine. On trouve :

∫

~γint(|~r−~r ′|) ∂ [f1(~r,~v, t)f1(~r′, ~v ′, t))]

∂~vd~r ′d~v ′ =

∂f1(~r,~v, t)

∂~v

∫

n(~r ′, t)~γint(|~r−~r ′|) d~r ′

On notera que l’integrale s’ecrit comme un produit de convolution

∫

n(~r ′, t)~γint(|~r − ~r ′|) d~r ′ ≡ (n ⋆ γint) (~r)

qui represente le champ moyen cree par toutes les particules en ~r. En regroupantcette contribution de champ moyen et celle due au champ exterieur, on peutecrire :

∂f1

∂t+ ~v

∂f1

∂~r+ ~γ

∂f1

∂~v=

δf

δt~γ(~r) ≡ ~γext(~r) + (n ⋆ ~γint) (~r),

δf

δt(~r,~v, t) ≡ −

∫

~γint(|~r − ~r ′|) ∂g2(~r, ~r′, ~v,~v′, t)

∂~vd~r ′d~v ′

Insistons encore sur le fait que cette equation, ecrite sous cette forme, est exacte.Dans la suite, nous appelerons le second membre δf/δt, “l’integrale de colli-sions”.

Si l’on neglige la contribution du second membre, cette equation s’iden-tifie avec l’equation de Vlasov. Diverses approximations du second membreconduisent aux autres equations cinetiques, comme celles de Boltzmann, Lan-dau ou Fokker-Planck.

3.1.2 Moyennes, fluctuations et moments

Quelle que soit la forme retenue pour δf/δt, il est possible d’obtenir desequations macroscopiques par integration des degres de liberte des vitesses.

Dans un souci de simplification, on se limite desormais a considerer dessituations physiques invariantes par translations selon Oy et Oz : ~r → x~ex et


sans mouvement selon Oy et Oz : ~v → v ~ex. L’equation cinetique prend alors laforme simple :

∂f1

∂t+ v

∂f1

∂x+ γ

∂f1

∂v=δf

δt(3.1)

Considerons une fonction quelconconque, a, de la vitesse : a : v 7→ a(v). Savaleur moyenne, que nous noterons 〈a(v)〉 est definie a partir de la densite deprobabilite normalisee f1/n :

〈a(v)〉 ≡∫

R

a(v)f1

ndv

Comme f1 et n sont des fonctions de x et t, on remarquera que 〈a(v)〉 estegalement une fonction de x et t. On notera egalement l’identite triviale 〈1〉 = 1.

En multipliant l’equation cinetique (3.1) par la fonction a(v) = vl pourl ∈ N et en effectuant les moyennes, on trouve aussitot :

∂(

n〈vl〉)

∂t+∂(

n〈vl+1〉)

∂x− l nγ 〈vl−1〉 =

∫

R

vl δf

δtdv, (3.2)

ou on a effectue une integration par parties pour trouver le 3eme membrede gauche, et ou on a suppose que la fonction de distribution f1 verifie :limv→±∞ f1(x, v, t) = 0.

Il est egalement interessant de faire apparaıtre les fluctuations de vitessesu ≡ v − 〈v〉 par rapport a la vitesse moyenne 〈v〉. Posons pour ce faire :

v = 〈v〉 + u

Comme u0 = 1 − 〈1〉 = 0 et u1 = v − 〈v〉, on en deduit que 〈u0〉 = 〈u1〉 = 0.

Les equations (3.2) correspondant aux cas l = 1 et l = 2 mettent en jeu lesmoyennes 〈v〉, 〈v2〉, 〈v3〉 et reliees aux fluctuations 〈u2〉, 〈u3〉 par les relations :

〈v2〉 = 〈v〉2 + 〈u2〉,〈v3〉 = 〈v〉3 + 〈u3〉 + 3〈v〉〈u2〉

Il convient desormais d’introduire 3 grandeurs physiques macroscopiques, V (x, t),Ψ(x, t) et Q(x, t) qui correspondent a ces premiers moments non nuls :

V (x, t) ≡ 〈v〉 =

∫

R

vf1

ndv,

Ψ(x, t) ≡ nm 〈u2〉 = nm

∫

R

u2 f1

ndv,

Q(x, t) ≡ nm 〈u3〉 = nm

∫

R

u3 f1

ndv,

Ces 3 grandeurs representent respectivement la vitesse moyenne du fluide (enm/s), la pression cinetique (en J/m3), et le flux de chaleur (en J/(m2s)). Dans


le cadre plus general d’un probleme tridimensionnel, ~V a un caractere vectoriel,tandis que ψ represente un tenseur du 2nd ordre (tenseur de pression cinetique)et Q represente le tenseur (du 3eme ordre) de flux de chaleur.

Enfin, il convient de souligner qu’une temperature dite cinetique (le systemen’est pas forcement a l’equilibre thermodynamique) peut etre definie a partirde la pression cinetique :

ψ(x, t) = n(x, t) kBT (x, t)

Dans le cas des systemes isotropes a 3D, on peut ecrire,

3kBT = m〈~u2〉

qui rappelle le resultat obtenu par le theoreme d’equipartition, lorsque le systemeest a l’equilibre thermodynamique.

3.1.3 Equations de bilan

En partant de l’equation (3.2), et en utilisant ces definitions, les 3 premieresequations de bilan correspondant au cas l = 0, 1, 2 s’ecrivent :

∂(nm)

∂t+∂ (nmV )

∂x= S0,

∂ (nmV )

∂t+∂(

nmV 2 + Ψ)

∂x− nmγ = S1,

∂(

nmV 2 + Ψ)

∂t+∂(

nmV 3 +Q+ 3ΨV)

∂x− 2nmγV = S2

ou les termes sources sont definis par :

Sl(x, t) ≡ m

∫

R

vl δf

δtdv, pour l = 0, 1, 2.

Equations stationnaires

Considerons la situation stationnaire qui sera celle principalement etudieedans la suite. La premiere equation de bilan de masse s’ecrit :

∂ (nmV )

∂x= S0

Le flux de matiere nV n’est donc conserve sous ces hypotheses que si le termesource s’annule, c’est-a-dire dans le cas ou les interactions conservent le nombrede particules (ce n’est pas le cas, par exemple, lorsque l’ionisation est active).

L’equation de bilan de quantite de mouvement s’ecrit en regime station-naire :

∂(

nmV 2 + Ψ)

∂x− nmγ = S1


ou de facon equivalente en utilisant l’equation de bilan de masse :

nmV∂V

∂x= −∂Ψ

∂x+ nmγ + S1 − V S0

Enfin l’equation de bilan d’energie peut s’ecrire en eliminant les forces exterieures :

∂(

nmV 3 +Q+ 3 ΨV)

∂x− 2V

∂(

nmV 2 + Ψ)

∂x= S2 − 2V S1

Il peut etre utile d’eliminer les contributions d’inertie. Pour cela, on remarqueque :

∂(

nmV 2)

∂x= V S0 + nmV

∂V

∂x,

∂(

nmV 3)

∂x= V 2 S0 + 2nmV 2 ∂V

∂x,

On obtient donc, d’une part :

∂(

nmV 3)

∂x− 2V

∂(

nmV 2)

∂x= −V 2 S0

Comme d’autre part :

3∂ (ΨV )

∂x− 2V

∂Ψ

∂x= 3Ψ

∂V

∂x+ V

∂Ψ

∂x

on obtient le bilan d’energie sous la forme equivalente suivante :

3Ψ∂V

∂x+ V

∂Ψ

∂x+∂Q

∂x= S2 − 2V S1 + V 2S0

En resume, on utilisera selon les cas, soit le jeu d’equations :

∂ (nmV )

∂x= S0

∂(

nmV 2 + Ψ)

∂x− nmγ = S1

∂(

nmV 3 +Q+ 3 ΨV)

∂x− 2V

∂(

nmV 2 + Ψ)

∂x= S2 − 2V S1

soit le jeu d’equations

∂ (nmV )

∂x= S0

nmV∂V

∂x= −∂Ψ

∂x+ nmγ + S1 − V S0

3Ψ∂V

∂x+ V

∂Ψ

∂x+∂Q

∂x= S2 − 2V S1 + V 2S0

Effectuons quelques commentaires sur ces equations :


1. Ce jeu d’equations doit etre a priori ecrit - sauf approximations parti-culieres - pour les 3 composantes, electrons, ions et neutres, qui consti-tuent un plasma partiellement ionise.

2. L’acceleration due au champ de gravitation etant negligeable pour les plas-mas de laboratoire, l’acceleration ~γ se reduit aux contributions d’origineselectromagnetiques, et prend la forme (vectorielle) suivante :

~γ =q

m

(

~E + ~V × ~B)

Les champs electriques ~E et magnetiques ~B qui interviennent dans cetteformule sont les champs totaux (exterieurs + ceux crees par le plasma enreaction) tels qu’ils sont donnes par les equations de Maxwell. Dans uneapproche completement auto-coherente, les equations fluides doivent etreresolues simultanement avec les equations de Maxwell.

3. A supposer que l’on dispose d’une approximation satisfaisante pour lestermes sources, ce systeme n’est pas complet puisqu’il comporte plus d’in-connues que d’equations. En effet si on ne retient que les 2 premieresequations, les inconnues sont les champs n(x, t), V (x, t) et Ψ(x, t). Uneresolution n’est envisageable qu’au prix d’une hypothese sur Ψ (par exemple,l’hypothese (radicale) des plasmas froids Ψ ≡ 0). De meme, si on ne re-tient que les 3 premieres equations, il faudra faire une hypothese sur letenseur de flux de chaleur Q. C’est le probleme general de la fermeturedes equations fluides, sur lequel nous reviendrons.

4. Les termes sources Sl ne peuvent pas etre calcules en general sans ap-proximations et sont discutes dans la section suivante.

3.2 Termes sources

Comme on l’a deja souligne plus haut, un calcul exact de l’integrale decollision n’est en general pas accessible. Dans cette section, nous utiliseronsla forme approchee de Boltzmann (cf. cours de theorie cinetique) pour le cal-cul des forces de friction dues aux collisions elastiques, tandis que nous nouscontenterons de formes phenomenologiques pour les termes sources associes auxcollisions inelastiques.

3.2.1 Signification physique des termes sources

Les interactions (collisions) entre les particules sont a l’origine des differentstermes sources intervenant dans les equations de bilan. Plus precisement :

1. S0 comptabilise l’apport ou le defaut de masse par unite de volume etunite de temps, qui resulte des interactions des particules de la compo-sante etudiee avec toutes les autres particules (de la meme composante oud’autres composantes). Cette quantite s’exprime en kg m−3s−1 et corres-pond a des processus elementaires inelastiques qui modifient, positivement


ou negativement, le nombre de particules du systeme. Les interactions encause sont associees aux reactions d’ionisation, de recombinaison ou d’at-tachement.

2. S1 comptabilise l’exces ou le defaut de quantite de mouvement par unite devolume et unite de temps pour la composante dont on fait le bilan. Cettequantite s’exprime en N m−3. Selon les rapports de masse des particulesen cause, les collisions elastiques peuvent etre plus ou moins efficacesdans les transferts de quantite de mouvement. Notons egalement que lesparticules creees ou detruites (termes S0) avec une vitesse differente dela vitesse fluide de la composante consideree, contribuent egalement aubilan d’impulsion.

3. S2 comptabilise l’exces ou le defaut d’energie par unite de volume etunite de temps pour la composante dont on fait le bilan. Cette quantites’exprime en W m−3. Les collisions impliquees sont les memes que pourle bilan de quantite de mouvement.

3.2.2 Termes sources correspondant aux collisions elastiques

Pour traiter les collisions elastiques, partons de l’expression de l’integralede collisions a l’approximation de Boltzmann. On rappelle que cette approxi-mation ne convient que pour des interactions binaires de courtes portees. Lescollisions electrons-ions, en particulier, ne peuvent etre modelisees par cetteforme particuliere de l’integrale de collisions.

Expression generale des termes sources

Pour la composante α entrant en collision avec la composante β, definie ad~vβ pres, le terme de collision s’ecrit a l”’approximation de Boltzmann :

δfα

δt(~r,~vα, t) =

∫∫

[

fα(~r,~v ′α, t)fβ(~r,~v ′

β, t) − fα(~r,~vα, t)fβ(~r,~vβ, t)]

vαβσαβ(vαβ) dΩ d~vβ

Rappelons que dans une collision elastique, le vecteur vitesse relative ~vα−~vβ

ne change pas de module mais seulement de direction. La rotation du vecteurdans l’espace est decrite par 2 angles resumes dans l’angle solide Ω. ~v ′

α (respecti-vement ~vα) et ~v ′

β (respectivement ~vβ) representent les vitesses des composantes


α et β apres la collision (respectivement avant la collision), σαβ la section ef-ficace de collision. On a egalement introduit la notation vαβ ≡ |~vα − ~vβ | pourdesigner la vitesse relative des deux particules.

Soit g(~vα), une fonction quelconque de ~vα. Les collisions elastiques etantreversibles, on peut echanger dans les sommes les variables avant collision

(~vα, ~vβ) avec celles apres collision(

~v ′α, ~v

′β

)

:

∫∫∫

g(~vα) fα(~r,~v ′α, t)fβ(~r,~v ′

β, t) vαβσαβ(vαβ) dΩ d~vβ d~vα

=

∫∫∫

g(~v ′α) fα(~r,~vα, t)fβ(~r,~vβ, t) v

′αβσαβ(v′αβ) dΩ d~v ′

β d~v′α

=

∫∫∫

g(~v ′α) fα(~r,~vα, t)fβ(~r,~vβ, t) vαβσαβ(vαβ) dΩ d~vβ d~vα

La derniere egalite est obtenue en utilisant le fait que v′αβ = vαβ pour lescollisions elastiques, et que le Jacobien de la transformation est egal a l’unite.

Les termes sources dus aux collisions elastiques, Sell , peuvent alors etre cal-

culer a partir de l’expression generale :∫

g(~vα)δfα

δtd~vα =

∫∫∫

[

g(~v ′α) − g(~vα)

]

fα(~r,~vα, t)fβ(~r,~vβ, t) vαβσαβ(vαβ) dΩ d~vβ d~vα

1. Calcul de Sel0

Posons g(~vα) ≡ mα lorsque l = 0. L’expression ci-dessus donne clairementune contribution nulle, ce qui traduit le fait que les nombre de particulesn’est pas modifie lors des collisions elastiques :

Sel0 = 0

2. Calcul de Sel1

Pour l = 1, c’est-a-dire pour le bilan de quantite de mouvement, nousposons g(~vα) ≡ mα ~vα. Le transfert d’impulsion a la particule α lors d’unecollision elastique avec la particule β conduit a l’expression :

~v′α − ~vα = − 1

1 +mα/mβ(1 − cos θ) ~vαβ ,

Introduisons la section efficace de transfert d’impulsion σtαβ , la frequence

de collision, ναβ et le taux de reaction, Kαβ :

σtαβ(vαβ) ≡

∫

(1 − cos θ)σαβ dΩ,

ναβ(vαβ) ≡ nβ σtαβvαβ,

Kαβ ≡ σtαβvαβ

On peut alors ecrire :

Sel1 = − mα

1 +mα/mβnαnβ

∫∫

~vαβKαβfα(~r,~vα, t)

nα

fβ(~r,~vβ , t)

nβd~vα d~vβ


De facon plus compacte, on posera :

Sel1 = − mα

1 +mα/mβnα nβ 〈~vαβKαβ〉

ou la moyenne doit etre effectuee avec les 2 fonctions de distributions.

3. Calcul de Sel2

Pour calculer Sel2 nous posons g(~vα) ≡ mα v

2α. Le transfert d’energie

cinetique a la particule α lors d’une collision elastique conduit a l’ex-pression :

mα

(

v′2α − v2

α

)

= − 2mα/mβ

(1 +mα/mβ)2(1 − cos θ)

[

mαv2α −mβv

2β + (mβ −mα)~vα~vβ

]

,

En utilisant les memes notations que ci-dessus, on trouve aussitot :

Sel2 = − 2mα/mβ

(1 +mα/mβ)2nα nβ 〈

(

mαv2α −mβv

2β + (mβ −mα)~vα~vβ

)

Kαβ〉

Cas des frequences de collisions constantes

Aux faibles vitesses (c’est-a-dire dans un regime de pression du gaz plutoteleve), le mecanisme d’interaction dominant est du type interaction dipolaire ;on montre alors que la section efficace decroıt avec la vitesse relative : σt

αβ ∼1/vαβ (section efficace de Langevin), de sorte que le taux de reaction et lafrequence de collision sont constantes :

Polarisation : σtαβ ∼ 1/vαβ =⇒ ναβ = Cte

Le calcul de S1 et S2 peut alors etre facilement mene plus loin.

Kαβ etant independant des vitesses des composantes, on a 〈~vαβKαβ〉 =

Kαβ 〈~vαβ〉 = Kαβ

(

~Vα − ~Vβ

)

, et Sel1 s’ecrit simplement :

Sel1 = − mα

1 +mα/mβnα ναβ

(

~Vα − ~Vβ

)

(ναβ independant de~vαβ)

Sous ces hypotheses restrictives, on notera que le prefacteur dependant de lamasse des particules vaut avec une tres bonne precision, me pour les colli-sons electrons-neutres et mi/2 pour les collisions ions-neutres (me/mn ≪ 1 etmi/mn ≈ 1).

De meme, pour le calcul de S2, en introduisant la decomposition vα =Vα + uα et vβ = Vβ + uβ , on trouve aussitot 2 :

Sel2 = − 4mα/mβ

(1 +mα/mβ)2nαναβ

[

3kB (Tα − Tβ)

2+mαV

2α

2−mβV

2β

2+ (mβ −mα)

~Vα~Vβ

2

]

2. En remarquant que 〈~uα〉 = 〈~uβ〉 = 0 et 〈~uα~uβ〉 =∑

i〈uα,i〉〈uβ,i〉 = 0.


ou on a utilise la relation de definition de la temperature Tα et Tβ des compo-santes : mα〈u2

α〉 = 3kBTα et mβ〈u2β〉 = 3kBTβ .

L’identification des differentes contributions correspond respectivement autransfert d’energie thermique, non dirigee (1er terme), et aux transferts d’energiecinetique, dirigee (3 derniers termes), entres les 2 composantes α et β.

On remarquera que les contributions, Sel1 et Sel

2 que l’on vient d’obtenirpeuvent s’ecrire sous la forme synthetique suivante :

Sel1 /mα = −δmαβ nαναβ

~Vαβ ,

Sel2 = −δmαβ nαν

Eαβ Eαβ ,

ou δmαβ = mβ/(mα +mβ), et ou la frequence de collisions, νEαβ , associee aux

transferts d’energie est telle que, νEαβ = 4mα/(mα +mβ) ναβ .

Cette derniere remarque montre que les transferts d’energie entre electronset neutres sont plus faibles de plusieurs ordres de grandeurs que les transfertsd’impulsion entre les memes particules (cf. figure 1).

Figure 3.1 – Frequences de transfert d’impulsion, d’energie et d’ionisation pourdes electrons dans l’argon, obtenues par resolution de l’equation de Boltzmann.

Cas des libres parcours moyens constants

Aux plus grandes vitesses (regime de pressions intermediaires 3), les mecanismes d’in-teractions dominants sont du type spheres dures pour les collisions electrons-neutres, tandisque les collisions dominantes ions-neutres sont du type transfert de charge et spheres dures.Avec une bonne approximation, dans les domaines de temperatures consideres, ces 2 types

3. Si la pression est trop faible, on entre dans un regime ballistique sans collision. Lafrequence de collision n’est alors plus definie.


de mecanismes correspondent a une section efficace quasi-constante σ ≡ σ0, de sorte que lafrequence de collisions est proportionnelle a la vitesse moyenne 〈vαβ〉 :

Spheres dures ou transfert de charges : σtαβ = σ0 =⇒ νc =

〈vαβ〉

λβ

ou λβ ≡ 1/(nβσ0) represente le libre parcours moyen des electrons ou des ions dans le gaz.

Le calcul de la valeur moyenne necessite la connaissance de la fonction de distribution desvitesses des electrons ou des ions, et donc un calcul de type cinetique. En presence d’un champelectrique, le caractere plus moins isotrope des fonctions de distributions depend du poidsrelatif des termes d’origine entropique (proportionnels a la temperature et qui tendent a rendreles fd isotropes) et des termes d’origine electrique (qui tendent a rendre les fd anisotropes dansla direction du champ electrique). Le cas general est difficile, et nous nous contentons d’obtenir2 cas limites importants :

– Lorsque l’energie thermique (non dirigee) excede l’energie transferee aux particules parle champ electrique E, i.e. lorsque :

qEλ0 ≪ kBT soitE

p≪

σ0

q

T

Tg,

ou p = ng kBTg est la pression du gaz, les fonctions de distributions restent quasi-isotropes et maxwelliennes. On en deduit aussitot que la vitesse moyenne s’identifieavec la vitesse thermique des projectiles :

E

p≪

σ0

q

T

Tg=⇒ 〈v〉 = vT ≡

(

8kBT

πm

)1/2

et donc νc =vT

λ0

Dans le cas d’une temperature uniforme, la frequence de collision apparaıt donc anouveau comme une constante.

– Dans la limite opposee, la vitesse d’entraınement des particules par le champ devientplus importante que la vitesse thermique des particules de sorte que la fonction de dis-tribution f devient anisotrope. Pour la determiner, considerons un plasma homogeneet notons Oz la direction du champ electrique. Pour simplifier, supposons en outreque le champ est si fort que le mouvement des particules lui est entierement parallele.L’equation de Boltzmann en regime stationnaire s’ecrit simplement sous la forme uni-dimensionnelle :

qE

m

df

dvz= −ν(vz) f(vz) = −

vz

λ0f(vz)

ou ν(vz) est l’expression (non-moyennee dans cette approche cinetique !) de la frequencede collisions. La solution de cette equation est evidemment donnee par l’expression :

f(vz) = A e−

mv2z

2qEλ0

avec la constante A donnee par la condition de normalisation∫

∞

0f(vz) dvz = 1.

On constate donc que la fonction de distribution des particules est une maxwelliennea une dimension de temperature effective T ∗ definie par la relation kBT

∗ = qEλ0. Onen deduit aussitot que la vitesse moyenne s’identifie avec la vitesse fluide uE dans cettelimite :

〈vz〉 =

∫

∞

0

vzf(vz) dvz =

(

2kBT∗

πm

)1/2

=

(

2qEλ0

πm

)1/2

≡ uE

Une consequence importante est que la frequence de collision dans cette limite est unefonction de la vitesse fluide :

E

p≫

σ0

q

T

Tg=⇒ νc =

〈vz〉

λ0=uE

λ0

On notera encore que du fait de cette dependance, la force de friction F des ions oudes electrons avec le gaz est une fonction non-lineaire de la vitesse fluide :

uE =

(

2qEλ0

πm

)1/2

⇔ qE =π

2λ0mu2

E ⇒ F = −π

2λ0mu2

E


On peut egalement retrouver l’expression de la force de friction par un calcul direct apartir de l’equation de Boltzmann :

qE

m

∫

R+

vzdf

dvzdvz = −

∫

R+

v2z

λ0f(vz) dvz ⇒ F ≡ −

m

λ0〈v2

z〉

et donc, puisque f est une maxwellienne :

F = −m

λ0〈v2

z〉 = −m

λ0

kBT∗

m= −

π

2λ0mu2

E

Ces 2 regimes de comportement ou la mobilite deend ou non de la vitesse est attesteexperiementalement comme le montre la figure 3.1.

Figure 3.2 – Mobilites ioniques en fonction du rapport E/p a 1 torr et a 300K.

Remarques

1. Anisotropie des fonctions de distributions. En presence d’un champ electrique exterieur,les fonctions de distributions ne sont plus isotropes.

2. Invariants de collisions pour particules identiques.

3.2.3 Termes sources correspondant aux collisions inelastiques

Pour les collisions inelastiques, nous nous contenterons de donner une formeeffective phenomenologique pour les termes δf/δt dans le cas des reactionsd’ionisation et de recombinaison electron-ion.

La reaction correspondant a une ionisation en une etape s’ecrit :

e− + n −→ i+ 2 e−

Cette reaction s’accompagne donc de la creation d’un electron et d’un ion etde la disparition d’un neutre. Soit KI (en m+3s−1) le taux de cette reaction,une forme phenomenologique acceptable pour le terme source S0 correspondants’ecrit :

S0I = ±m (KI ngne)

ou m est la masse des particules de la composante etudiee et ou le signe +vaut pour les composantes decrivant l’ion et l’electron, et le signe - pour lacomposante decrivant les neutres. On notera que le produit KIng n’est autreque la frequence d’ionisation νI , eventuellement dependante de la position etdu temps si le gaz n’est pas homogene et stationnaire.


Rappelons que le taux de reactionKI depend tres fortement de la temperatureelectronique Te. A partir d’expressions approchees de la section efficace d’ioni-sation, on peut montrer que :

KI = σ0ve

(

1 +2kBTe

EI

)

e−EI/(kBTe) ≈ KI0 e−EI/(kBTe)

ou la section efficace, σ0 ≡ π(

e2/4πǫ0EI

)2, la vitesse thermique electronique,

ve ≡ (8kBTe/πme)1/2. A titre d’exemple, l’energie d’ionisationKI et la constante

KI0 valent respectivement 15.7 eV et 5 10−14 m3/s pour l’argon.

Dans le cas de la recombinaison electron-ion, la forme phenomenologiqueest comparable a celle utilisee pour l’ionisation, c’est-a-dire qu’elle est propor-tionnelle aux densites des especes impliquees dans la collision. On ecrit donc engeneral :

S0I = ±m (Kr nine)

ou Kr est le taux de recombinaison electron-ion. On notera que comme ni ≈ ne,les termes de recombinaison contribuent par des termes non-lineaires en la den-site. Mentionnons que la recombinaison entre ions positifs et ions negatifs peutegalement etre significative dans le cas des decharges electronegatives (dechargescontenant des especes ioniques chargees negativement en plus des electrons etions positifs).

Les formes utilisees pour les termes de collisions inelastiques associes auxtransferts d’impulsion, Sinel.

1 , et aux transferts d’energie, Sinel.1 , sont plus dif-

ficiles a preciser car ils dependent des vitesses fluides et des temperatures desparticules creees ou detruites. Ces vitesses et temperatures peuvent etre ap-proximees a partir d’approximations physiques ou obtenues par des calculs so-phistiques de theorie cinetique. Pour les contributions d’ionisation, par exemple,on utilise souvent pour les termes de collisions associes aux electrons une contri-bution de la forme

Se2I = −meKIng EI

puisque les electrons doivent perdre (au minimum) l’energie d’ionisation EI

dans chaque collision ionisante. A contrario, l’hypothese que les ions sont creesavec la meme temperature, Tn que les neutres, conduit a introduire la contri-bution suivante :

Si2I = +mi

3

2KIng kBTn

3.2.4 Remarque

L’importance relative des contributions elastiques et inelastiques depend dugaz considere. A titre d’exemple simple, la figure suivante presente les tauxde reaction des reactions les plus importantes pour l’argon en fonction de latemperature electronique. On notera que pour ce gaz, les collisions elastiquessont dominantes dans le domaine de temperature pertinent (quelques eV).


Figure 3.3 – Taux des reactions de collisions elastiques, d’excitations et d’io-nisations pour l’argon en fonction de la temperature electronique.

3.3 Approximation d’equilibre thermodynamique lo-cal

1. On a deja insiste sur le fait que les plasmas froids sont des systemeshors-equilibre thermodynamique. On doit donc s’attendre, en general, ace que les fonctions de distribution des vitesses ne soient pas de simplesmaxwelliennes. Deux raisons physiques, au moins, peuvent conduire a desfonctions de distributions significativement differentes des maxwelliennes :

(a) Les plasmas sont le siege d’un champ electrique, dirige du centre de ladecharge vers la peripherie qui, bien que generalement modere dansla pregaine, introduit une anisotropie des fonctions de distributions,qui ne peuvent donc etre des maxwelliennes, isotropes par nature.

(b) Les collisions inelastiques, comme les collisions d’ionisation ou d’ex-citation, sont des collisions a seuils (la section effice est nulle en decad’une certaine energie seuil), ce qui contribue a depeupler les queuesde distributions.

A titre d’exemple, la fonction de distribution en energie des electrons dansle mercure est presentee sur la figure suivante. Le comportement lineaire(en echelles logarithmiques) est caracteristique d’un comportement max-wellien. Dans ce cas, tout se passe comme s’il y avait 2 regimes maxwellienscorrespondant a 2 temperatures electroniques differentes.

2. La figure precedente suggere qu’une approximation maxwellienne avec unetemperature effective peut-etre retenue en premiere approximation dansdes domaines limites en energie.

On parle alors d’equilibre thermodynamique local lorsque les electrons(voire les autres composantes, ions et neutres) peuvent etre consideres ap-proximativement a l’equilibre avec une fonction de distribution qui prend


Figure 3.4 – Fonction de distribution en energie pour les electrons dans lemercure.

la forme d’une Maxwellienne locale :

f1(~r,~v, t) = n(~r, t)

(

m

2πkBT (~r, t)

)3/2

e− mv2

2kBT (~r,t)

ou la temperature T (~r, t) est une fonction quelconque de la position et dutemps, a priori differente pour chaque composante. On verifiera, commeconsequence des proprietes des gaussiennes que cette distribution est biennormalisee a la densite n(~r, t).

Exercice Utiliser cette fonction de distribution pour calculer la vitesse thermique, vth,le flux de particules, Γn, atteignant un des cotes d’une surface (typiquement les mursdu reacteur) et le flux d’energie cinetique, ΓE , atteignant un des cotes d’une surface.

vth ≡ 〈|~v|〉 ≡

∫

R3

|~v|f1nd~v =

(

8kBT

πm

)1/2

,

Γn ≡ 〈nvz〉vz>0 = n

∫

R2

∫

R+

vzf1nd~v⊥ dvz =

n〈|~v|〉

4,

ΓE ≡

⟨

nvzm~v 2

2

⟩

vz>0

= 2kBT Γn

On prendra bien garde que les expressions precedentes ne doivent etre utilisees que

dans les situations d’equilibre thermodynamique local.



Chapitre 4

Gaine et pre-gaine : quelquesresultats experimentaux etnumeriques

4.1 Resultats experimentaux

Analysons les resultats experimentaux reportes sur les figures 4.1 et 4.2.Comme on le voit sur ces figures, la vitesse des ions croıt en s’approchant

Figure 4.1 – Fonctions de distribution de l’ion xenon en fonction de la distancez a l’electrode (Applied Physics Letters, 91, 041505, (2007)).

de l’electrode, et passe de quelques centaines de metres par seconde au centrede la decharge a des vitesses de 1 a plusieurs km/s (selon la masse des ions

41

Figure 4.2 – Profils de vitesses ioniques et de potentiel electrostatique pourl’ion xenon (Te = 0.61 eV, p = 0.45 mTorr, ne = 5.4 109 cm3), et pour l’ionargon (Te = 0.88 eV, p = 0.7 mTorr, ne = 3.5 109 cm3), en fonction de ladistance z a l’electrode (Applied Physics Letters, 91, 041505, (2007)).

consideres). On notera egalement que les fonctions de distributions sont de plusen plus asymetriques au fur et a mesure que l’on s’approche de l’electrode. Leprofil de potentiel quant a lui, est relativement plat loin des electrodes et atteintdes valeurs negatives de quelques Volts au voisinage de l’electrode (ces mesuressont effectuees en potentiel flottant : l’electrode n’est pas polarisee). Un champelectrique significatif n’apparaıt donc que dans la region proche des electrodes.Les profils de densites electroniques et ioniques (non representes sur ces figures)


decroissent du centre vers le bord et sont confondus dans la partie centrale dela decharge. Les densites ne different qu’au voisinage de l’electrode : la densitedes ions dominant legerement la densite electronique.

Ainsi, la decharge peut etre grossierement divisee en 2 regions. Une regioncentrale etendue, la pregaine, quasi-neutre (ne ≈ ni), ou les densites (non re-portees sur les figures) et le potentiel decroissent lentement, et une etroite regionperipherique, la gaine, chargee positivement (ni > ne), ou les gradients de den-sites et de potentiels sont tres abrupts. La lisere de gaine, c’est-a-dire le planqui separe la pregaine de la gaine, est definie comme le lieu des points ou lesions atteignent une vitesse caracteristique, notee cS sur les figures, connue sousle nom de vitesse de Bohm 1.

Avant d’entrer dans le detail d’une modelisation plus precise, on peut com-prendre quelques aspects de ces resultats par les remarques qualitatives sui-vantes :

– La raison de la polarisation negative des parois en potentiel flottant vientde la grande mobilite des electrons qui diffusent plus rapidement que lesions vers les parois. Le potentiel negatif qui s’etablit aux parois renvoit leselectrons les moins energetiques vers le plasma et accelere les ions vers lesparois. Un equilibre peut ainsi s’etablir qui permet au plasma de resterquasi-neutre.

– L’equation de Poisson −ǫ0 ϕ = e(ni − ne) montre qu’une courburenegative du potentiel impose la relation ni > ne.

– Dans la zone de pregaine, la vitesse de derive des ions est suffisammentfaible pour que la difference de charges e(ni − ne) soit negligeable ; enconsequence, le champ electrique reste modere dans la pregaine.

4.2 Modelisation fluide simplifiee

Tres schematiquement, dans une decharge, les ions sont froids (on a toujoursTi ≪ Te). Les ions ont le comportement dynamique de particules de masseM , devitesse v, accelerees par le champ electrique, E, crees par impacts electroniquessur les neutres, et dissipant leur energie par collisions avec ceux-ci. Les equationsde bilan pour les ions s’ecrivent :

∂tni + ∂x(niv) = νI ne, (4.1)

Mni (∂tv + v ∂xv) = eniE − (νinni + νI ne)Mv (4.2)

Dans ces equations, νI et νin representent respectivement, la frequence d’ioni-sation et la frequence de transfert d’impulsion entre les ions et les neutres. Leterme −νI neMv correspond a une perte de quantite de mouvement due a lacreation des ions avec une vitesse d’entraınement nulle.

Les electrons au contraire, du fait de leur faible masse, ont le comportementdynamique d’un fluide place dans un champ exterieur, et tendent a se distribuer

1. Nous verrons plus loin que la vitesse de Bohm n’est autre que la vitesse acoustiqueionique cs.


selon une distribution de Maxwell-Boltzmann. Leur equation d’equilibre s’ecrit :

0 = −kBTe ∂xne − eneE (4.3)

ou nous avons utilise l’approximation isotherme et fait tendre la masse deselectrons vers 0 : me → 0.

Le champ electrique, quant a lui, obeit a l’equation de Maxwell-Gauss :

ǫ0 ∂xE = e (ni − ne) (4.4)

Ces 4 equations completees par des conditions aux limites adequates constituentun systeme d’equations aux derivees partielles non-lineaires dans les 4 champsne(x, t), ni(x, t), E(x, t), v(x, t), qui ne peut etre resolu que numeriquement.

Exercice Estimer l’ordre de grandeur de la vitesse acoustique ionique pour l’argon (M =

40) et le xenon (M = 131), et comparer avec les valeurs reportes sur les Figures 4.1 et 4.2.

4.3 Etude numerique du regime stationnaire

L’etude numerique du systeme d’equations est grandement facilitee en regimestationnaire puisque le systeme devient un systeme d’equations differentielles.Introduisons les normalisations suivantes :

Ni ≡ni

n0, Ne =

ne

n0, V =

v

uB, φ ≡ eϕ

kBTe, E ≡ eEλI

kBTe, X ≡ x

λI,

ou uB ≡ (kBTe/M)1/2 est la vitesse acoustique ionique, egalement appeleevitesse de Bohm dans les decharges, et λI ≡ uB/νI , la longueur d’ionisation.

En notant par un ’, les derivees par rapport a la variable X, le systemes’ecrit en regime stationnaire :

(NiV )′ = eφ,(

NiV2)′

= Ni E − νin

νINiV,

(

λD

λI

)2

E ′ = Ni − eφ,

φ′ = −E

Le probleme apparaıt ainsi comme un systeme differentiel du 1er ordre ( ce quiest tres adapte pour une resolution numerique), dependant des 2 parametresνin/νI et λD/λI . Pour finir de caracteriser le systeme, on doit choisir un jeu deconditions aux limites, que l’on prend sous la forme :

N(0) = 1, V (0) = 0, φ(0) = 0, E(0) = 0

Le choix de l’origine des potentiels est en effet libre, les conditions sur la


0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.6Distance normalisée

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

De

nsi

tés

no

rma

lisé

es

Ni

Ne

V=1Ni =0.503


1

2

3

4

5

6

Vite

sse

de

sio

ns

no

rma

lisé

e

V=1

Figure 4.3 – Profils de densites et de vitesses ioniques au voisinage de la lisierede gaine. Dans tous les cas, νin = 0, λD/λI = 0.001. Les normalisations sontcelles du texte. La vitesse V = 1 correspond a une vitesse ionique egale a lavitesse de Bohm.

vitesse des ions et le champ electrique respectent les symetries du probleme. Laquasi-neutralite est imposee au centre de la decharge 2.

Le systeme precedent est integre numeriquement a partir de l’origine lorsqueνin = 0 (regime non-collisionnel, donc plutot adapte a une situation basse pres-sion) et pour un rapport λD/λI = 0.001, ce qui est une valeur typique pour desdecharges de quelques eV de temperature electronique et de densites de l’ordrede 1010-1011 cm−3. On pourra noter qu’il n’est pas necessaire de specifier a priori

2. On peut montrer par des developpements en serie au voisinage de l’origine, que la condi-tion aux limites pour la densite ionique devrait s’ecrire N(0) ∼ 1+1.5(λD/λI)

2. Comme le pa-rametre λD/λI est toujours tres petit dans les cas pratiques, cette correction est negligeable, etn’altere pas significativement les resultats numeriques. On retiendra cependant que la densiteionique est partout superieure a la densite electronique (meme dans la pregaine), la differencene devenant importante que dans la gaine.


la taille du domaine d’integration, c’est-a-dire la taille du reacteur. Celle-ci seradeterminee a posteriori lorsque nous preciserons les conditions aux limites auniveau de l’electrode (cf. le chapitre sur la modelisation de la gaine).

Les profils de densites et de potentiel sont presentes sur la figure 4.3. Lepoint ou la vitesse des ions atteint la vitesse de Bohm est note sur les figures(vitesse normalisee V = 1). On note, en accord avec les experiences, que laseparation de charge n’apparaıt de facon significative que lorsque la vitesse deBohm a ete depassee.

Le meme type de comportement apparaıt sur les profils de potentiels etde champ electrostatique reportes sur la figure 4.4. Les valeurs numeriquesindiquees sur la figure seront comparees dans le chapitre suivant avec cellesobtenues a partir d’un modele simplifie de la pregaine.


0

500

1000

1500

2000

Ch

am

pé

lect

riq

ue

no

rma

lisé

V=1E=19.96


-20

-15

-10

-5

0

Po

ten

tiel

éle

ctro

sta

tiqu

en

orm

alis

é

V=1Fs=-0.694

Figure 4.4 – Profils de champ electrique et de potentiel electrostatique, auvoisinage de la lisiere de gaine. Dans tous les cas, νin = 0, λD/λI = 0.001. Lesnormalisations sont celles du texte. La vitesse V = 1 correspond a une vitesseionique egale a la vitesse de Bohm.


Chapitre 5

Modelisation du plasmaquasi-neutre (pregaine)

Dans ce chapitre, nous resolvons les equations decrivant le transport dans lapartie centrale de la decharge en effectuant l’approximation plasma : ne = ni.

5.1 Linearisation

Une premiere approche consiste a effectuer la linearisation du systeme differentielpresente au chapitre precedent.

Comme on le verra plus bas, cela revient essentiellement a negliger la contri-bution inertielle d’acceleration des ions (i.e. le terme v ∂xv). Par souci pedagogique,nous introduisons les differents termes progressivement, et traitons d’abord lesysteme sans prise en compte des collisions et dans l’approximation plasmani = ne = n. Ce modele ne peut donc etre valable dans la gaine ou la separationde charges apparaıt mais doit pouvoir s’appliquer au cœur du plasma (lorsqueles termes de collisions seront pris en compte).

∂tn+ ∂x(nvi) = 0,

Mn (∂tv + v ∂xv) = +enE,

kBTe ∂xn = −enE

Si on se limite a de faibles perturbations, on peut considerer le systeme lineariseautour d’un etat de reference de densite uniforme et stationnaire tel que : n =n0, v = 0, E = 0. Le systeme linearise est obtenu en posant :

n = n0 + n1,

vi = v1,

E = E1

47

et en ne retenant que les grandeurs d’ordre 1. On trouve aussitot :

∂tn1 + n0 ∂xv1 = 0,

M n0 ∂tv1 = +en0E1,

kBTe ∂xn1 = −en0E1

En combinant les equations entre elles, on peut obtenir l’equation pour lesperturbations de densites sous la forme 1 :

∂2ttn1 −

kBTe

M∂2

xx n1 = 0

Il s’agit manifestement de l’equation de propagation d’une onde de densite avecla vitesse (kBTe/M)1/2.

Rappelons que dans un gaz neutre (a une seule composante), la vitesse depropagation du son cs est definie par la relation thermodynamique :

c2s ≡ ∂p

∂ρ

∣

∣

∣

∣

ρ=ρ0

,

ou ρ ≡ nm est ici la densite de masse. Dans le cas du gaz parfait, p =(nm) kBT/m, et donc

c2s =kBT

m=

p

nmLes collisions de contact entre molecules sont a l’origine des ondes de pressiondans un gaz neutre. Il est remarquable que de telles ondes puissent egalementexister dans un plasma sans collision. L’origine de ces ondes est maintenant arechercher dans les interactions coulombiennes entre les electrons et les ions. Lapression est essentiellement due aux electrons p = pe + pi ≈ kBTe n tandis quel’inertie depend principalement des ions (M +m)n ≈ nM , ce qui conduit biena une vitesse du son dite vitesse acoustique ionique :

csi ≡√

kBTe

M

En cherchant des solutions de l’equation d’onde sous la forme d’ondes progres-sives, on trouve aisement que la relation de dispersion s’ecrit :

ω

k= csi

ω

csi

k

c2si ≡ kBTe

M

Les ondes acoustiques ioniques sont donc sans dispersion et les vitesses dephase et de groupe sont identiques. A la difference des perturbations electroniques

1. La vitesse et le potentiel obeissent a la meme equation.


qui sont des ondes stationnaires de frequence fixes (ω = ωpe), les ondes acous-tiques ioniques sont des ondes propagatives de vitesses constantes.

Les termes sources et/ou les termes de collisions que nous avons negligessont responsables de l’amortissement de ces ondes. Les equations de bilan desions sont modifiees de la facon suivante :

∂tn+ ∂x(nv) = νI n,

Mn (∂tv + v ∂xv) = −kBTe ∂xn− (νinn+ νI n)Mv

Dans ce cas le systeme d’equations linearisees devient :

∂tn1 + n0 ∂xv1 = νI n1,

M n0 ∂tv1 = −kBTe ∂xn1 − (νin + νI) Mn0v1,

En combinant ces equations entre elles, on trouve que l’equation d’onde corres-pondante s’ecrit :

∂2ttn1 − c2si ∂

2xxn1 = (νin + νI) νI n1 − νin ∂tn1

Le terme de derivee temporelle du premier ordre est clairement responsablede l’amortissement des ondes tandis que le terme lineaire (qui depend essen-tiellement de la frequence d’ionisation) ne joue significativement que pour leslongueurs d’ondes λ≫ λI ≡ uB/νI .

Exercice Etudier la relation de dispersion des ondes acoustiques ioniques lorsque la dis-

sipation et/ou les effets de charge d’espace sont pris en compte.

Ainsi, l’etude du systeme linearise montre que la vitesse acoustique ioniquecsi = (kBTe/M)1/2 est la vitesse “ naturelle” de propagation de faibles per-turbations exterieures. L’analyse du modele quasi-neutre que nous presentonsdans la suite, montre que cette vitesse joue encore un role important lorsqueles effets non-lineaires sont pris en compte.

5.1.1 Etude de la pregaine

Dans cette section nous etudions la pregaine, c’est-a-dire la region quasi-neutre du plasma ou les ions acquierent l’energie suffisante pour la formation desgaines. Dans un plasma quasi-neutre, la dissipation introduite par l’ionisationet/ou les collisions electrons-neutres, sont a l’origine de cette acceleration desions, ainsi que la chute des densites et du potentiel qui l’accompagne.

Nous considerons donc le modele dans sa limite quasi-neutre (ne = ni =n), avec des electrons boltzmanniens et des ions froids collisionnels, mais enretenant les termes d’inertie non-lineaires. Les equations du modele s’ecriventen regime stationnaire :

(nv)′ = νI n, (5.1)

nv v′ = −u2B n

′ − (νI + νin) nv (5.2)


(le ’ designe encore une derivee par rapport a la variable x). En combinant ces 2equations entre elles, on trouve facilement l’expression des gradients de densiteet de vitesse :

n′ = −2νI + νin

u2B − v2

nv, (5.3)

v′ = +νI u

2B + (νI + νin)v2

u2B − v2

(5.4)

Tant que v < uB, les densites decroissent (n′ < 0) tandis que la vitesse desions croıt (v′ > 0). Au centre de la decharge ou v = 0, le gradient de densites’annule, tandis que la frequence d’ionisation, et elle seule, controle le gradientde vitesse : v′(0) = νI .

On notera que les gradients s’annulent en l’absence d’ionisation et de colli-sions electrons-neutres. Plus precisement, les 2 seules solutions sont n = n0, v =0, ou n = n0, v = uB. La seule solution continue compatible avec la conditionv(0) = 0 au centre de la decharge est la premiere qui correspond a des ionsimmobiles et a une vitesse nulle dans toute la pregaine. L’autre solution, dis-continue, correspondrait a un choc. Dans un plasma quasi-neutre, l’ionisationou les collisions ion-neutres sont des conditions necessaires pour l’accelerationdes ions dans la pregaine, et donc, in fine, pour la formation des gaines.

L’equation d’equilibre des electrons :

kBTe n′ = enϕ′

permet de determiner le gradient de potentiel (i.e. le champ electrique au signepres) :

ϕ′ = −kBTe

e

2νI + νin

u2B − v2

v

Dans ce plasma quasi-neutre, le champ electrique part donc d’une valeur nulleau centre de la decharge (ou v = 0), et croıt jusqu’a diverger lorsque la vitessedes ions atteint la vitesse de Bohm.

Les gradients de densites, vitesse, et potentiel divergent donc lorsque la vi-tesse atteint la vitesse de Bohm. Ce comportement singulier est une consequencede l’approximation de quasi-neutralite (l’equation de Poisson n’est pas prise encompte). Les resultats numeriques reportes sur les Figures 4.3 et 4.4 montrentclairement que cette singularite n’existe pas lorsqu’on resout le systeme completd’equations. Si l’on ne force plus l’egalite des densites, on peut montrer que legradient de densite ionique par exemple, s’ecrit :

n′i =2νInev + νinniv − eniE/M

v2

La singularite n’apparaıt plus qu’en bord de domaine, ce qui ne pose pas deprobleme. Si l’approximation plasma ne permet pas un calcul approximatif duchamp electrique en lisiere de gaine (le champ est un gradient de potentiel),nous montrons dans la section suivante, que les variations de potentiel et de


densites sont suffisamment lentes dans la pregaine pour obtenir une excellenteapproximation des densites et du potentiel a l’entree de la gaine avec l’hypothesede quasi-neutralite.

Exercice Etablir l’expression du gradient obtenue ci-dessus. Montrer qu’une autre singu-

larite apparaıt a l’interieur du domaine de resolution lorsqu’on prend en compte la contribution

de pression des ions. Commenter.

Chutes de densite et de potentiel dans la pregaine

Le systeme d’equations differentielles precedent constitue un systeme differentielnon-lineaire dont la resolution est delicate. Il est cependant assez facile d’obte-nir une estimation de la chute de la densite (ionique et electronique, puisqu’ellessont egales) dans la pregaine. On peut convenir de marquer la fin de la pregaine,et donc l’entree dans la gaine, comme le point ou le modele quasi-neutre devientsingulier, c’est-a-dire ou la vitesse des ions atteint la vitesse de Bohm : vi ≡ uB.

En effectuant le rapport des 2 equations (8.26) et (8.27), on obtient l’egalite :

dn

n+

2νI + νin

2(νI + νin)

2(νI + νin)v

νI u2B + (νI + νin)v2

dv = 0

qui s’integre immediatement entre 0 et x :

n(x)

n0

[

1 +

(

1 +νin

νI

)

v2(x)

u2B

]

2νI+νin2(νI+νin)

= 1

Posons ns la densite de lisiere de gaine obtenue lorsque v = uB. On trouve :

ns

n0=

(

2 +νin

νI

)−1+νin/2νI1+νin/νI

A l’aide de l’equation d’equilibre des electrons : eϕ(x) = kBTe ln (n(x)/n0), onobtient aussitot la chute de potentiel ϕs dans la pregaine :

ϕs = −kBTe

e

1 + νin/2νI

1 + νin/νIln

(

2 +νin

νI

)

Pour νin = 0, on trouve ns/n0 = 0.5, et pour νin = νI , on trouve ns/n0 =3−3/4 ≈ 0.44, tandis que le potentiel vaut respectivement eϕs/(kBTe) = − ln 2 ≈−0.694 et eϕs/(kBTe) = −3 ln 3/4 ≈ −0.824 . L’accord avec les resultatsnumeriques reportes sur la Figure 4.3 (dans le cas νin = 0) est remarquable.

On pourra donc retenir, comme ordre de grandeur, que la densite chute demoitie dans la pregaine, et le potentiel (en eV ) d’un peu plus de kBTe/2.

Exercice Montrer que le systeme differentiel (7.1-5.2) peut-etre resolu analytiquement en

regime collisionnel lorsque le terme d’inertie nv v′ est neglige avec les conditions aux limites

n(0) = n0, v(0) = 0.



Chapitre 6

Modelisation de la gaine

6.1 Introduction

Commencons par analyser les resultats numeriques reportes sur les figures6.1 et 6.2, toujours dans la limite νin = 0. Lorsque les ions passent la vitessede Bohm, la densite totale de charges, e(ni − ne), devient significative, croıtjusqu’a un maximum avant de tendre vers 0, la densite ionique dominant tou-jours la densite electronique. Dans le meme temps, et de facon coherente aveccette augmentation de charge d’espace, le champ et le potentiel electrostatiqueprennent de fortes valeurs. On notera egalement que l’augmentation de vitessedes ions est exactement compensee par la diminution de la densite ionique, detelle sorte que le flux se conserve dans la gaine.


0

0.025

0.05

0.075

0.1

0.125

0.15

De

nsi

téd

ech

arg

en

orm

alis

ée

V=1Ni -Ne=0.003

Figure 6.1 – Densite de charges au voisinage de la lisiere de gaine. Les pa-rametres sont les memes que sur la Figure 4.3.

En s’inspirant de ces resultats numeriques, on voit que l’approximationplasma ne peut pas etre utilisee dans la gaine, mais qu’en revanche, la den-site electronique y est suffisamment faible, pour qu’on puisse negliger le terme

53

0.2 0.4 0.6 0.8 1Distance normalisée

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Flu

xio

niq

ue

no

rma

lisé

V=1

Figure 6.2 – Flux ionique dans la decharge. Les parametres sont les memesque sur la Figure 4.3.

source νIne dans l’equation de bilan du nombre de particules, de telle sorte quele flux ionique se conserve dans la gaine en regime stationnaire. Nous effectue-rons donc la modelisation de la gaine en regime stationnaire a partir du jeud’equations suivant :

(niv)′ = 0, (6.1)

Mni v v′ = −eni ϕ

′, (6.2)

kBTe n′e = +ene ϕ

′, (6.3)

−ǫ0 ϕ′′ = e(ni − ne) (6.4)

Comme on ne s’interesse qu’a la gaine, il est commode d’effectuer un chan-gement d’origine des coordonnees et de l’origine des potentiels. Desormais, laposition x = 0 correspondra a la lisiere de gaine, et on choisira l’origine dupotentiel en ce meme point, c’est-a-dire ϕ(0) = 0.

6.2 Le critere de Bohm

Commencons par montrer que la solution la plus naturellement attenduepour le potentiel electrostatique dans la gaine, a savoir un prolongement duregime de pre-gaine, c’est-a-dire une solution concave monotone decroissante,ne peut exister que si la vitesse des ions est suffisante a l’entree dans la gaine.

Le potentiel electrostatique qui s’etablit au sein de la decharge depend dela densite de charges ρ ≡ e (ni − ne) via l’equation de Poisson :

−ǫ0 ϕ = ρ[ϕ]

L’equation de Poisson est donc une equation differentielle non-lineaire du secondordre pour laquelle il nous faut preciser 2 conditions aux limites. On a dejaprecise la condition a l’entree du domaine ϕ(0) = 0. La condition a la peripherie,


en x = L, est ϕ(L) ≡ ϕL, ou ϕL est le potentiel negatif impose de l’exterieurau plasma, ou le potentiel flottant (egalement negatif) qui s’etablit en l’absencede contraintes et que nous estimerons un peu plus loin.

Une telle equation differentielle peut admettre plusieurs types de solutionsqualitativement differentes. Pour le voir developpons la densite de charge autourde l’entree de la gaine ou ϕ ≡ 0, on a donc a 1D,

−ǫ0 ϕ′′ = ρ[0] + ϕdρ

dϕ

∣

∣

∣

∣

ϕ=0

+ · · ·

Or le plasma est quasi-neutre au point ou ϕ = 0, i.e. ni(0) = ne(0) = ns, on adonc d’une part : ρ[0] = 0. D’autre part, si ϕ est uniforme, partant de ϕ = 0et allant jusqu’a ϕL < 0, on a necessairement ϕ ≤ 0 (autrement dit le champelectrique est dirige du plasma vers la paroi). On a egalement, ϕ′′ ≤ 0 si lepotentiel est concave. Le membre de gauche de l’equation devant etre positif,on en deduit la contrainte :

dρ

dϕ

∣

∣

∣

∣

ϕ=0

≤ 0 oudni

dϕ

∣

∣

∣

∣

ϕ=0

≤ dne

dϕ

∣

∣

∣

∣

ϕ=0

qui constitue la forme generale du critere de Bohm qui traduit la realite sui-vante : une solution monotone decroissante, concave, ne peut se developper apartir d’une pregaine quasi-neutre que si le critere de Bohm est verifie.

Comme aucune hypothese n’a encore etait faite sur la dependance explicitedes densites ioniques et electroniques en fonction de ϕ, ce critere peut etreutilise aussi bien dans le cadre d’une derivation cinetique des densites que dansle cadre d’une derivation fluide.

Placons-nous dans ce dernier cas. L’equation du mouvement des ions estequivalente a la conservation de l’energie totale, avec une contribution cinetiqueet une contribution potentielle :

1

2Mv2

i + eϕ = Cte

Soit v0 la vitesse des ions a l’entree de la gaine, les ions sont acceleres par lechamp electrique et acquierent la vitesse :

vi = v0

√

1 − eϕ

Mv20/2

Comme ϕ est negatif, les ions sont acceleres par la chute de potentiel. L’io-nisation pouvant etre negligee dans la gaine, le bilan sur le nombre d’ions estequivalent a la conservation du flux ionique :

nivi = nsv0

On en deduit les variations la densite avec le potentiel :

ni[ϕ] =ns

√

1 − eϕMv2

0/2


Les electrons sont en equilibre avec le potentiel :

ne[ϕ] = ns e+ eϕ

kBTe

Ainsi, pour un plasma constitue d’electrons boltzmanniens et d’ions froids, lesdensites electroniques et ioniques decroissent toutes 2 avec le potentiel (negatif).On notera tout de meme que la decroissance des ions est algebrique tandis quecelle des electrons est exponentielle. Aux grandes distances, dans un potentielnegatif, les electrons sont toujours moins nombreux que les ions.

La densite de charges totale s’ecrit donc explicitement sous la forme :

ρ[ϕ] ≡ e (ni[ϕ] − ne[ϕ]) =nse

√

1 − eϕMv2

0/2

− nse e+ eϕ

kBTe

Il est alors facile d’etablir que les gradients des densites sont tous deux positifset que l’inegalite du critere de Bohm n’est verifiee que si la vitesse d’entree desions dans la gaine est au moins egale a la vitesse acoustique ionique.

En effet, en utilisant les equations de bilan de particule et de quantite demouvement, on a en tout point de la gaine :

dni

dϕ= −ni

vi

dvi

dϕ= −ni

vi

(

− e

Mvi

)

= +eni

Mv2i

> 0,

dne

dϕ=

en0

kBTee+ eϕ

kBTe =ene

kBTe> 0

En utilisant ces 2 equations dans la contrainte dρdϕ ≤ 0 calculee en ϕ = 0. On

trouve aussitot :

v20 ≥ kBTe

Mi.e. v0 ≥ csi

L’inegalite v0 ≥ csi est la forme particuliere du critere de Bohm pour un plasmaelectro-positif considere dans le cas d’une approche fluide. C’est dans ce contexteque la vitesse acoustique ionique est generalement appelee la vitesse de Bohm.

Il est facile de se convaincre (faites le !), que la prise en compte de latemperature ionique, Ti, conduit au critere de Bohm suivant :

v0 >

√

kBTe + kBTi

M

Comme Te ≫ Ti dans tous les plasmas froids, la correction est negligeable.

L’exercice qui suit montre que le critere de Bohm peut egalement etre ob-tenu, non pas en faisant une approximation a l’entree de la gaine sur les densites,ni(0) ≈ ne(0), comme nous venons de faire, mais par une approximation sur lechamp electrique a l’entree de la gaine : ϕ′(0) ≈ 0.

Exercice Apres avoir multiplie l’equation de Poisson par ϕ′(x),montrer en l’integrant que l’approximation d’un champ nul a l’entree

de la gaine : ϕ′(0) ≈ 0, permet de retrouver le critere de Bohm.


6.3 Utilisation du potentiel de Sagdeev

Le critere de Bohm tel qu’on vient de le presenter, peut etre compris comme une conditionnecessaire pour obtenir une solution monotone de l’equation de Poisson compatible avec lesconditions aux limites imposees. Dans un cadre plus general, le physicien sovietique R. Z.Sagdeev a propose une approche qualitative de l’equation non-lineaire de Poisson qui permetune discussion des differentes formes de potentiel solutions de cette equation. Dans cettesection, nous rederivons le critere de Bohm en utilisant cette approche.

Le point de depart consiste a etablir une analogie entre l’equation de Poisson et l’equationdu mouvement d’une particule place dans un potentiel V (x). La force derivant du potentielF (x) = −dV/dx, le principe fondamental de la dynamique applique a une particule de masseunite s’ecrit :

d2x

dt2= −

dV

dxAfin de s’affranchir de constantes inutiles, ecrivons l’equation de Poisson dans un premiertemps en variables sans dimensions :

d2φ

dX2= −

ρ[φ]

n0eavec

X ≡ xλD

φ ≡ eϕkBTe

et λD, la longueur de Debye.

Si on introduit le potentiel de Sagdeev, V [φ], defini par la relation

V [φ] ≡

∫ φ

0

ρ[ψ]

n0edψ,

L’equation de Poisson peut s’ecrire sous la forme :

d2φ

dX2= −

dV

dφ

qui est formellement analogue au principe fondamental de la dynamique, pour peu qu’onidentifie la position de la pseudo-particule, x(t), a l’instant t, avec la valeur du potentiel,φ(X), a la position X.

Dans le cas du plasma electro-positif traite dans le cadre d’un modele fluide, on a :

ρ[φ]

n0e≡

1√

1 − 2φ/M2a

− e+φ

ou on a introduit le nombre de Mach en X = 0, defini par

Ma ≡v0uB

La forme du potentiel de Sagdeev depend donc du nombre de Mach Ma. L’integration estevidente, on trouve :

V [φ] = M2a

(

1 −√

1 − 2φ/M2a

)

−(

e+φ − 1)

On notera que V [0] = 0, c’est-a-dire que l’origine du potentiel de Sagdeev est prise au pointde quasi-neutralite (V ′[0] ∝ ρ[0] = 0). Le potentiel de Sagdeev est represente sur la Figure 6.3pour differentes valeurs du nombre de Mach.

Le comportement du potentiel de Sagdeev au voisinage de l’origine est clairement determinantpour la nature des solutions. Les developpements de V et V ′ donnent

V [φ] =

(

1

M2a

− 1

)

φ2

2!+ O(φ3)

V ′[φ] =

(

1

M2a

− 1

)

φ+ O(φ2)


-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5Potentiel Electrostatique, Φ

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15P

ote

ntie

ld

eS

ag

de

ev,

V@ΦD

Figure 6.3 – Potentiel de Sagdeev pour Ma = 0.6 et Ma = 0.8 (pointilles),Ma = 1 (en gras) et Ma = 1.2.

Le comportement du potentiel electrostatique au voisinage de l’origine s’ecrit donc

φ′′(x) +

(

1

M2a

− 1

)

φ(x) ≈ 0

Les solutions sont donc propagatives (le potentiel elecrostatique peut se developper spatia-lement) si Ma > 1, et oscillante dans le cas contraire. Cette analyse locale permet donc deretrouver le critere de Bohm, qui implique donc une vitesse supersonique pour les ions afinqu’un potentiel electrostatique auto-coherent puisse s’etablir dans la decharge.

Que se passe-t-il physiquement si Ma < 1 ? Placons nous dans le cas un peu plus limiteou Ma ≪ 1. Alors, le vecteur d’onde d’oscillation, k, est telle que :

k =(

M−2a − 1

)1/2≈M−1

a =uB

v0=

(

kBTe

Mv20

)1/2

≫ 1

Autrement dit les forces de rappel de pression sont plus grandes que les forces d’inertie, et lepotentiel ne peut pas se developper spatialement.

L’analyse de la forme du potentiel de Sagdeev loin de l’origine, pour Ma > 1 permet demettre en evidence une difference qualitative de comportement selon que le systeme developpeun potentiel electrostatique positif ou negatif.

– Dans le cas du potentiel negatif, on constate que celui-ci est monotone decroissant, etnon borne inferieurement.

– Dans le cas du potentiel positif, celui-ci repasse par un point de quasi-neutralite (lorsqueV ′[φ] s’annule) et tend vers la valeur limite M2

a/2 (dans le cadre de ce modele).


6.4 La chute de potentiel dans la gaine en potentielflottant

La densite totale de courant mesuree a la paroi, Jw, est la somme des contri-butions ioniques et electroniques :

Jw ≡ Jiw + Jew

Comme on l’a deja dit les ions sont essentiellement froids, et leur flux est conser-vatif dans la gaine. La densite de charge ionique est donc celle a l’entree de lagaine, soit :

Jiw = nee uB

Les electrons au contraire, du fait de leur faible masse, ont une vitesse fluidetres faible par rapport a la vitesse thermique, ve ≪ ve,th. L’origine du fluxelectronique sur le mur est donc essentiellement cinetique, et a donc la memeforme que dans le cas d’un gaz neutre :

Jew ≈ −1

4newe vew = −1

4nse e

e(ϕw−ϕs)kBTe

(

8kBTe

πm

)1/2

Si les parois ne sont pas polarisees - on parle de situation en potentiel flottant- aucun courant n’est tire au niveau des parois, et on doit donc avoir :

Jiw + Jew = 0

Cette egalite fixe la chute de potentiel dans la gaine, ∆ϕG :

∆ϕG ≡ ϕw − ϕs = −kBTe

2eln

(

M

2πm

)

Le logarithme variant peu avec le rapport M/m≫ 1, la chute de potentiel dansla gaine est pour tous les gaz de quelques Te (en eV). Ainsi, pour l’hydrogene, ontrouve ∆ϕG ≈ −2.8Te et pour l’argon, ∆ϕG ≈ −4.7Te. La chute de potentieldans la gaine est donc la contribution dominante a la chute totale de potentiel(depuis le centre de la decharge), puisqu’on avait vu que la chute de potentieldans la pregaine etait de l’ordre de 0.5Te.

Pour bien comprendre cette situation et en apprecier les consequences, nousavons reportes les flux ionique et electronique sur la Figure 6.4 (en haut). Onconstate bien que le flux ionique sature des l’entree dans la gaine, tandis que leflux electronique domine largement tant que la densite electronique est signifi-cative (i.e. dans la pregaine), puis s’effondre ensuite pour egaler le flux ionique,lorsque x/λ ≈ 0.5875. Cette equation relie donc la taille de la decharge, L, avecla longueur d’ionisation λI : L ≈ 0.5875λI . Comme λI est une fonction de latemperature electronique (a double titre par la dependance en uB et en νI), etde la pression, la relation :

L ≈ 0.5875λI ⇔ nnL ≈ 0.5875uB(Te)

KI(Te)


0.55 0.56 0.57 0.58 0.59Distance normalisée

0

2

4

6

8

10

Flu

xn

orm

alis

és

Gaine

Gi =Ge

LIM

ITE

DU

DO

MA

INE

x=L

0.55 0.56 0.57 0.58 0.59Distance normalisée

-6

-5

-4

-3

-2

-1

Po

ten

tiel

éle

ctro

sta

tiqu

en

orm

alis

é Gaine

LIM

ITE

DU

DO

MA

INE

x=L

Potentiel à l'entrée de la gaine js=-0.694

Potentiel flottant au mur jw=-3.53

Figure 6.4 – Flux ionique et electronique (en haut), et potentiel dans la gaine(en bas), pour un plasma d’hydrogene. Les parametres sont les memes que surla Figure 4.3.

fixe la temperature electronique, pour une taille de decharge et une pressionde neutres (∝ nn) donnees. Cette relation est l’analogue de la condition deSchottky valable pour les decharges haute pression.

Une fois la taille de la decharge connue, l’analyse du profil de potentiel(Figure 6.4 (en bas)), permet de determiner la chute de potentiel dans la gaineet la pregaine (on notera le bon accord avec les calculs effectues plus haut). Une


estimation numerique de la taille de la gaine montre que celle-ci est de l’ordrede quelques longueurs de Debye.

On retiendra donc, qu’en potentiel flottant, la chute de potentiel a traversla decharge est de quelques Te, et la taille de la gaine de quelques λD.

Exercice Etablir l’expression du flux electronique reportee plus

haut.

6.5 La taille de la gaine dans une decharge polariseenegativement

Les electrodes qui confinent un plasma sont tres souvent polarisees a unpotentiel beaucoup plus important que les quelques Te caracteristiques des po-tentiels flottants. Dans ces conditions, la densite totale de courant qui circuledans les electrodes est non nulle et depend de la valeur du potentiel imposee aumur, ϕw. Nous nous limitons dans la suite a l’etude du cas ou ϕw < 0.

Comme nous sommes dans la limite |eϕw|/(kBTe) ≫ 1, on peut raisonna-blement negliger la contribution de la densite electronique dans la gaine parrapport a la densite ionique. L’equation de Poisson dans la gaine s’ecrit :

−ǫ0 ϕ′′(x) = nie =nse

√

1 + 2e(ϕs−ϕ)kBTe

,

ou la vitesse ionique a ete choisie egale a uB a l’entree de la gaine. Il est indiquede poser :

φ ≡ 2e(ϕs − ϕ)

kBTe, X =

x

λDs

ou λDs ≡(

ǫ0kBTe

2nse2

)1/2est la longueur d’onde de Debye a la lisiere de gaine.

L’equation s’ecrit donc :

φ′′(X) = (1 + φ(X))−1/2

La solution de cette equation avec Φ(0) = 0 (i.e. ϕ = ϕs a l’entree de la gaine),et φ′(0) ≈ 0 (soit une condition de champ quasi-nul a l’entree de la gaine, cequi est consistant avec le fait d’avoir choisi v(0) = uB), s’ecrit (le verifier parderivation) :

2(

2 +√

1 + φ(X))

3

√

√

1 + φ(X) − 1 = X

(le verifier par derivation) La relation entre la taille de la gaine s et le potentiel(normalise) au mur, φw est donc :

2(

2 +√

1 + φw

)

3

√

√

1 + φw − 1 =s

λDs


Comme φw ≫ 1, une bonne approximation de la taille de la gaine est donneepar la relation :

s =2

3λDs

(−2e∆ϕG

kBTe

)3/4

ou on a encore note ∆ϕG ≡ ϕw − ϕs.

On retiendra que la taille de la gaine dans une decharge fortement polariseenegativement est beaucoup plus grande que la longueur de Debye.

Exercice Comparer le calcul precedent avec celui de la loi de

Child-Langmuir qui donne la loi reliant courant et tension pour

une diode plane, lorsque la densite de charges d’espace est prise

en compte.


Chapitre 7

Plasmas collisionnels :relaxation et entretien

Dans ce chapitre nous etudions les mecanismes de diffusion au sein d’unplasma quasi-neutre, partiellement ionise, lorsque la pression de neutres estassez importante. Dans ce regime, les collisions etant frequentes - on parle de“regime collisionnel” - le libre parcours moyen des especes chargees est faible parrapport a la taille du reacteur, si bien que electrons et ions sont peu accelerespar les champs electromagnetiques. Cela nous autorise a negliger les termesd’inertie dans les bilans de quantite de mouvement, ce que nous ferons dans cechapitre.

Nous montrerons dans ces conditions, que les electrons et les ions tendenta diffuser ensemble : on parle de diffusion ambipolaire. Apres avoir etabli lesequations caracteristiques de ce regime de diffusion, nous etudierons successi-vement l’evolution d’un plasma confine en regime de postdecharge (sans sourcesd’ionisation), et les conditions d’entretien d’un plasma confine (modele de Schottky).Nous montrerons en particulier que la temperature electronique d’entretien d’unplasma collisionnel en regime stationnaire ne depend que du produit de la pres-sion de neutres par la “taille” du plasma, pnL.

7.1 Diffusion ambipolaire

Dans un plasma collisionnel, du fait des rapport de masses, les electronsdiffusent plus rapidement que les ions. La densite de charges qui apparaıt aucours du mouvement, cree un champ electrique qui tend a ralentir les electronset a accelerer les ions. Les charges ont donc tendance a diffuser ensemble : onparle de diffusion ambipolaire.

Dans cette partie nous traitons de la diffusion d’un plasma electron-ionquasi-neutre collisionnel en regime dependant du temps. Pour simplifier, onconsiderera une situation unidimensionnelle : les variables dynamiques ne dependent

63

que d’une seule variable d’espace, disons x. ne(x, t), ve(x, t) designant respec-tivement la densite, la vitesse des electrons (ni(x, t), vi(x, t) pour les ions), lesequations fluide du plasma s’ecrivent :

∂tne + ∂x(neve) = S,

∂tni + ∂x(nivi) = S,

0 = −kBTe ∂xne − eneE −meνen neve,

0 = −kBTi ∂xni + eniE −miνin nivi,

ou ναn sont les frequences de collisions (transfert de quantite de mouvement)entre electrons et neutres ou entre ions et neutres. Rappelons que ναn = nnKαn,ou le taux de reaction Kαn = 〈σαn(vα − vn)〉 ≈ σαnvth,α. Dans cette derniereexpression, nous avons suppose la section efficace independante de la vitesse (detype sphere dure), et nous avons pris comme ordre de grandeur de la vitessemoyenne, la vitesse thermique.

Les approximations suivantes ont ete utilisees :– Le terme source des equations de conservation des electrons ou des ions

est identique pour les 2 especes : Se = Si = S(x, t) (reaction du typee− + n −→ i+ 2e−).

– Les especes chargees sont considerees dans l’approximation isotherme : lestemperatures electronique, Te, et ionique, Ti, sont supposees uniformes.

– Les termes d’inertie sont negliges (plasmas collisionnels).

x

ΓeΓe

ΓiΓi

EE

Le plasma etant de dimensions largement superieures a la longueur deDebye, on peut le considerer comme quasi-neutre et utiliser l’approximationplasma :

ne = ni ≡ n

Rappelons que cette approximation est pertinente pour la description de lapartie centrale des reacteurs a plasmas, mais ne convient pas pour les partiesdu plasma directement en contact avec les murs confinants (region des gaines).

Introduisons les flux Γα ≡ nvα (en m−2s−1). Les equations se simplifient etprennent la forme :

∂tn+ ∂xΓe = S,

∂tn+ ∂xΓi = S,

Γe = −De ∂xn+ nµeE,

Γi = −Di ∂xn+ nµiE,


ou on a introduit les coefficients de diffusion et de mobilite definis par les rela-tions (α = e, i) :

Dα ≡ kBTα

mαναn, µα ≡ qα

mαναn, =⇒ µα

Dα=

qαkBTα

La relation qui lie les 2 coefficients de transport est due a Einstein.

En combinant les equations de conservations du nombre d’ions et d’electrons,on trouve aussitot la conservation du flux :

∂x (Γe − Γi) = 0 =⇒ Γe − Γi = Cte

Cette egalite correspond a la conservation de la densite de courant, J ≡ e (Γi − Γe).S’il existe un plan ou le plasma est au repos, ou si aucun courant n’est tire surles parois du reacteur, on a Γe(0) = Γi(0) = 0 (ou J ≡ 0), et le courant totalest nul en tout point. On pourra donc poser :

Γe = Γi = Γ

En combinant les equations de bilan de quantite de mouvement, il est alors facilede determiner les expressions du champ et du flux ambipolaire. On trouve :

E =De −Di

µe − µi

∂xn

n,

Γ = −Da ∂xn

avec le coefficient ambipolaire

Da ≡ µiDe − µeDi

µi − µe≈ Di

(

1 +Te

Ti

)

≈ kBTe

miνin

On remarquera le caractere mixte de ce coefficient : kBTe d’origine electronique,et miνin d’origine ionique.

En associant les 2 equations ∂tn + ∂xΓ = S et Γ = −Da ∂xn, on trouveaussitot que la densite n(x, t) obeit a l’equation de diffusion suivante :

(

∂t −Da ∂2xx

)

n(x, t) = S(x, t)

Pour un terme source donne et des conditions aux limites precisees, il est pos-sible de resoudre cette equation aux derivees partielles lineaire, ce que nousfaisons dans 2 cas particuliers dans les 2 sections suivantes.

7.2 Relaxation d’un plasma collisionnel confine (regimede post-decharge)

Rappelons que le terme source, S(x, t) correspond en general aux chargescreees ou detruites en volume dans le plasma. Une premiere situation simple


a considerer correspond au cas ou S ≡ 0. Cette situation se presente dans leregime dit de post-decharge, lorsque qu’on coupe la source d’energie electromagnetiquequi avait engendree le plasma. Nous etudions donc dans cette section la relaxa-tion temporelle du profil de densite du plasma.

Dans toutes les situations realistes, le plasma est confine. Considerons encoreune situation unidimensionnelle ou le plasma est compris entre deux paroissituees en x = 0 et x = +2L. On considerera les parois comme parfaitementabsorbantes : toutes les charges qui les atteignent sont supposees perdues.

x

⊖⊖

⊕⊕

0 L +2L

Le probleme mathematique se ramene donc a etudier l’equation de diffusion :

∂tn−Da ∂2xxn = 0,

pour t > 0 et x ∈ [0,+2L], avec pour conditions aux limites et condition initiale :

n(0) = n(+2L) = 0,

n(x, 0) = n0(x)

n0(x) correspond au profil de densite (quelconque) existant juste avant que l’onfasse S ≡ 0.

Cherchons la solution par la methode de separation des variables : n(x, t) =f(x)g(t). On trouve aisement que les fonctions f et g satisfont les equationsdifferentielles :

f ′′(x) + λ2f(x) = 0,

g′(t) + λ2Dag(t) = 0,

ou λ est une constante reelle.

En utilisant les conditions aux limites, on trouve aussitot qu’il existe uneinfinite de solution dependant d’un nombre entier relatif n ∈ Z :

fn(x) ∝ sin(λnx),

gn(t) ∝ e−λ2nDat,

avec λn = nπ2L .

L’equation de diffusion etant lineaire, la solution generale s’ecrit comme unecombinaison lineaire des solutions precedentes, soit :

n(x, t) =∞∑

n=1

Ane−λ2nDat sin(λnx),


On remarquera que l’on n’a pas ecrit la contribution n = 0 puisqu’elle est nulle,ni les contributions pour n < 0 qui sont equivalentes, au signe pres, avec lescontributions pour n > 0 (on ne doit sommer que des contributions lineairementindependantes). Les constantes An sont determinees par la relation

n0(x) =∞∑

n=1

An sin(λnx)

Noter que, comme il se doit, le comportement asympotique (t → ∞) de ladensite, est le signal plat n(x,∞) = 0,∀x. En absence de terme source, leplasma ne se reforme pas par ionisation en volume, et finit par s’eteindre pardiffusion vers les parois ou le plasma est consomme.

Aux temps longs, la contribution dominante dans la somme est celle pourn = 1 :

n(x, t) ∼ A1e−π2Dat/(4L2) sin

(πx

2L

)

, quand t→ ∞

Pour obtenir une expression explicite pour les constantes An, il suffit de multi-plier par sin(λmx) et d’integrer entre 0 et 2L :

∫ +2L

0n0(x) sin(λmx) dx =

∞∑

n=1

An

∫ +2L

0sin(λmx) sin(λnx) dx

soit, en utilisant la relation d’orthogonalite∫ +2L0 sin(λmx) sin(λnx) dx = Lδmn,

An =1

L

∫ +2L

0n0(x) sin(λnx) dx

Les coefficients An sont donc les coefficients de Fourier du developpement enserie de Fourier (serie de sinus) du profil initial n0(x).

Une solution explicite du profil spatio-temporel en regime de post-dechargeest donc donnee par les relations :

n(x, t) =∞∑

n=1

Ane−λ2nDat sin(λnx),

An =1

L

∫ +2L

0n0(x) sin(λnx) dx,

λn =nπ

2L

Illustrons ce resultat dans un cas particulier. Supposons que le profil initial n0

soit donne par l’expression :

n0(x) = sin(πx) +1

2sin(3πx) +

1

4sin(5πx)

On lit directement sur cette expression, la valeur des coefficients An :

A1 = 1, A2 = 0, A3 =1

2, A4 = 0, A5 =

1

4, An = 0, ∀n > 5


La solution aux temps ulterieurs comprend donc egalement 3 termes, on ob-tient :

n(x, t) = e−π2Dat/(4L2) sin(πx)+1

2e−9π2Dat/L2

sin(3πx)+1

4e−25π2Dat/(4L2) sin(5πx)

La figure suivante presente la relaxation du profil initial pour des temps crois-sants. On remarquera, comme attendu, que les harmoniques d’ordres elevessont les premieres a disparaıtre. Assez vite le comportement est donne par lapremiere harmonique.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

De

nsi

této

tale

Figure 7.1 – Relaxation temporelle de la densite sans terme source pour t =0, 1, 10 lorsque Da = 0.005 et 2L = 1.

7.3 Entretien d’un plasma confine

Nous venons de voir qu’en absence d’une source d’ionisation, le plasmas’eteignait par pertes des charges aux parois. Nous montrons maintenant qu’ilest possible d’obtenir un profil stationnaire de densite en presence d’une sourced’ionisation. Physiquement, le regime stationnaire resulte d’un bilan creations-pertes nul : la production en volume des especes est exactement compensee parles pertes aux parois.

Considerons donc le plasma en presence d’un terme source S(x, t). Du pointde vue mathematique, on doit donc maintenant considerer le probleme inho-mogene

∂tn−Da ∂2xxn = S(x, t),

pour t > 0 et x ∈ [0,+2L], toujours avec pour conditions aux limites et condi-tion initiale :

n(0) = n(+2L) = 0,

n(x, 0) = n0(x)


Pour resoudre ce probleme, on utilise la methode de developpement sur une basede fonctions propres. On cherche encore la solution sous la forme d’une serie :

n(x, t) =∞∑

n=1

gn(t)fn(x),

ou les fonctions fn sont les fonctions (propres) que nous avons determinees lorsde la resolution du probleme homogene qui satisfont l’equation :

f ′′n(x) = −λ2n fn(x),

avec les conditions aux limites fn(0) = fn(+2L) = 0.On pourra donc ecrire :

n(x, t) =∞∑

n=1

gn(t) sin(λnx),

ou les fonctions gn de la variable t restent a determiner.

Les fonctions propres de l’operateur d2/dx2 peuvent egalement etre utiliseescomme base de developpement du terme source :

S(x, t) =∞∑

n=1

sn(t) sin(λnx),

ce qui permet de determiner les coefficients sn en fonction du terme sourceS(x, t) en utilisant les relations d’orthogonalites :

sn(t) =1

L

∫ +2L

0S(x, t) sin(λnx) dx,

Les coefficients sn(t) s’interpretent donc comme les coefficients du developpementen serie de Fourier du terme source S(x, t).

En substituant les expressions de sn et S dans l’equation de diffusion, on endeduit que gn verifie l’equation differentielle :

g′n(t) +Daλ2n gn(t) = sn(t),

avec la condition initiale gn(0) = An.

La resolution de cette equation differentielle (par la methode de la variationde la constante) conduit a l’expression :

gn(t) = An e−λ2nDat + e−λ2

nDat

∫ t

0

e+λ2nDaτsn(τ) dτ

Le premier terme correspond a celui trouve dans l’etude de la post-dechargeet conduirait, s’il etait seul, a l’extinction du plasma. Le second terme dependdu terme source (via les coefficients de Fourier sn). C’est ce terme qui peuteventuellement conduire a un etat stationnaire. Pour cela, il faut que la dependance


temporelle du terme source contrebalance le facteur d’attenuation e−λ2nDat.

L’expression generale de la densite en presence d’un terme source quelconques’ecrit : 1

n(x, t) =∞∑

n=1

[

Ane−λ2nDat +

∫ t

0

e−λ2nDa(t−τ)sn(τ) dτ

]

sin(λnx)

7.4 Temperature electronique d’entretien de la decharge

Dans le cas des plasmas faiblement ionises ou l’on peut negliger la recom-binaison des charges en volume, la contribution dominante au terme de sourcevient du terme d’ionisation, proportionnel a la densite electronique. On ecriradonc :

S(x, t) = νI n(x, t),

ou νI ≡ νI(Te, p) est une fonction de la pression de neutres, p, et de la temperatureelectronique, Te.

On a bien sur que sn = νI gn, et en utilisant le resultat de la sectionprecedente, on trouve que gn verifie l’equation differentielle :

g′n(t) = −(

Daλ2n − νI

)

gn(t)

dont la solution est :gn(t) = An e−(νI−λ2

nDa)t

La contribution dominante a la densite aux temps longs s’ecrit donc :

n(x, t) ∼ A1e−(νI−λ2

1Da)t sin (λ1x)

On en deduit la condition de maintien du plasma en regime stationnaire :

νI − λ21Da = 0 ⇐⇒ νI

Da=( π

2L

)2

Dans le cadre de ce modele cette relation s’appelle la condition de Schottky.

Pour L et p donnees, montrons que cette relation fixe la temperature electroniqueau sein de la decharge. En effet, par definition, νI ≡ nnKI(Te) et Da ≡kBTe/(MnnKin(Ti)) ou nn represente la densite de neutres (proportionnellea la pression p de neutres) et ou KI et Kin representent respectivement lestaux des reactions d’ionisation et de collisions elastiques ions-neutres. Lorsquela temperatuure ionique Ti est fixee, on en deduit que le rapport νI/Da s’ex-prime sous la forme :

νI

Da∝ n2

ng(Te)

1. Il ne faudrait tout de meme pas que S soit non-lineaire en la densite, faute de quoil’equation de la diffusion ne serait plus lineaire et l’expression ci-dessus ne serait plus valable.Notez que c’est le cas lorsque des termes de recombinaison (proportionnels a n2) sont pris encompte dans le terme source.


ou g est une fonction de Te. En combinant ce resultat avec la condition deSchottky, on en deduit que la temperature electronique ne depend que deconstantes et du produit pL :

Te = f(pL)

Il est remarquable que la temperature ne depende que du produit de la pres-sion et de la taille du plasma, et non pas de ces grandeurs separement. Dansce contexte, le produit pL est parfois appele facteur de similarite. On pourraegalement noter, que sous les hypotheses retenues, la temperature electroniquequi s’etablit dans une decharge donnee ne depend pas directement de la densitede charges au sein du plasma (ce ne serait pas le cas si le plasma etait plusfortement ionise).

A titre d’illustration, on a reporte sur les figures suivantes, la dependancede la temperature electronique en fonction du produit pL dans le cas de l’argonpour lequel on a avec une bonne approximation KI = 2.3410−14T 0.59

e e−17.44/Te

m3s−1 (avec Te en V), et la forme du profil stationnaire de densite maximumau centre de la decharge.

0 5 10 15 20 25Pressure *Length HmTorr.m L

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Ele

ctro

nT

em

pe

ratu

reH

eVL

Figure 7.2 – Temperature electronique en fonction du produit pL pour unplasma d’argon.

Dans la section precedente, nous avons obtenu la solution generale de l’equationde diffusion en tout point de l’espace et du temps. A partir de cette approchegenerale, nous avons ainsi pu etablir que la condition de Schottky est la condi-tion d’entretien de la decharge en regime stationnaire. Il est evidemment pos-sible de faire l’hypothese de stationnarite des le debut. On verifiera en particulierque la solution de l’equation differentielle :

−Da ∂2xxn(x) = νI n(x)

avec les conditions aux limites n(0) = n(2L) = 0 conduit bien au profil si-nusoıdal avec la condition de Schottky.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Normalized Length

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

No

rma

lize

dD

en

sitie

s

Figure 7.3 – Profil stationnaire de densite.


Chapitre 8

Autres sujets traites sousforme de problemes

Dans ce chapitre, nous presentons sous forme de problemes 4 sujets complementairesconcernant les plasmas faiblement ionises.

– En premier lieu, nous etudions l’expansion spatiale d’un plasma electropositifen regime stationnaire sous l’effet des seules forces qui agissent en son sein.

– Dans un deuxieme probleme, nous presentons une generalisation du criterede Bohm etendu au cas des plasmas electronegatifs.

– Le cas des decharges magnetisees est traite en detail dans un troisiemeprobleme.

– Enfin, on etudie un modele simplifie de plasma a 3 composantes ou ladynamique des especes neutres est explicitement prise en compte.

73

Expansion d’un plasma dans le vide

On considere un plasma partiellement ionise, constitue d’electrons, de charges−e et de masse m, d’atomes neutres, et d’ions positifs monovalents, de massesM et de charges +e. Pour simplifier, on considerera une situation unidimension-nelle : les variables dynamiques ne dependent que d’une seule variable d’espace,disons x. Le taux d’ionisation est suffisamment faible pour que l’on puisse suppo-ser la densite des neutres uniforme : nn = Cte, et negliger la (lente) dynamiquedes atomes : vn ≈ 0. On suppose en outre que le plasma n’est pas magnetise :B = 0.

Nous etudions l’expansion spatiale du plasma en regime stationnaire sousl’effet des seules forces qui agissent en son sein. On suppose, en outre, que lapression du gaz neutre est suffisamment faible pour que les termes de collisionsions-neutres puissent etre negliges. Cette situation peut apparaıtre dans lesplasmas spatiaux apres la formation des nuages interstellaires, mais egalementdans certains regimes de fonctionnement des reacteurs a plasmas exploites in-dustriellement a basses pressions de neutres.

Le plasma est decrit dans le cadre d’un modele a 2 fluides, et depend doncdes 5 variables suivantes : densites et vitesses electroniques, ne(x), ve(x), den-sites et vitesses ioniques : ni(x), vi(x), et potentiel electrostatique ϕ(x).

∂x(neve) = +νIne,

∂x(nivi) = +νIne,

0 = −kBTe ∂xne + ene∂xϕ,

M nivi∂xvi = −eni∂xϕ,

ǫ0 ∂2xxϕ = −e(ni − ne)

Dans ces expressions, ∂x et ∂2xx designent une derivee premiere et seconde par

rapport a la variable x.

Le systeme differentiel precedent est complete par les conditions aux limitessuivantes :

ne(0) = ni(0) = n0, ϕ(0) = 0, ve(0) = vi(0) = 0.

1. Rappeler quelle est la dimension de la constante νI et sa signification.

2. Discuter succinctement mais precisement le contenu physique de chacunedes equations precedentes. On soulignera en particulier quels sont lestermes negliges dans cette modelisation 1.

3. L’etude du systeme d’equations est facilitee par un adimensionnement desvariables. On pose :

Ni ≡ni

n0, Ne =

ne

n0, V =

vi

uB, Ve =

ve

uB, φ ≡ eϕ

kBTe, X ≡ x

λI,

1. L’emploi du terme de diffusion dans la situation presente est un peu abusive : les ions,froids et non collisionnels se comportent comme des particules. La diffusion suppose des col-lisions.


ou uB ≡ (kBTe/M)1/2 est la vitesse dite de Bohm, et λI ≡ uB/νI , lalongueur d’ionisation.Montrer que les equations s’ecrivent sous la forme :

(NeVe)′ = +Ne, (8.1)

(NiVi)′ = +Ne, (8.2)

N ′e = +Neφ

′, (8.3)

ViV′i = −φ′, (8.4)

ǫ2 φ′′ = Ne −Ni, (8.5)

avec ǫ ≡ λD/λI , et λD, la longueur de Debye. L’apostrophe designe unederivee par rapport a la variable X ; par exemple : N ′

e ≡ dNedX .

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Distance normalisée

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

De

nsi

tés

no

rma

lisé

es

Figure 8.1 – Densite electronique, Ne (tirets) et densite ionique, Ni (traitspleins), lorsque νI/ωpi = 0.001.

4. Montrer que ǫ = νI/ωpi, ou ωpi est la frequence plasma ionique.On rappelle que νI = Kng, ou K est une constante et ng, la densite dugaz neutre. Estimer ǫ pour un plasma d’hydrogene tel que K = 10−14

m3/s, ng = 1019 m−3, n0 = 1015 m−3, M = 1.67 10−27 kg, e = − 1.610−19 C, et ǫ0 = 8.85 10−12 F/m.

5. La resolution numerique du systeme d’equations (8.1-8.5) avec les condi-tions aux limites :

Ne(0) = Ni(0) = 1, φ(0) = 0, Ve(0) = Vi(0) = 0. (8.6)

et ǫ = 0.001 conduit aux resultats reportes sur les figures suivantes.

En observant le schema des densites, dire pour quelle raison la region cen-trale est consideree comme un plasma, tandis que la region peripheriqueest assimilee a une gaine ?

6. Les resultats numeriques suggerent l’approximation Ne = Ni ≡ N pouretudier la region plasma.


Etablir les 2 lois de conservation :

Ve = Vi, (8.7)

1

2V 2

i + lnN = 0 (8.8)


0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

2

Vite

sse

sn

orm

alis

ée

s

Figure 8.2 – Vitesse electronique Ve (tirets) et vitesse ionique, Vi (traits pleins),lorsque λD/λI = 0.001.

7. Quelle interpretation physique peut-on donner de l’equation (8.8) ?On discutera en particulier les situations au centre et au bord du plasma.

8. Posons V ≡ Ve = Vi. Le plasma est donc assimilable a un fluide uniquede densite N et de vitesse V .Montrer que le plasma satisfait les 2 equations :

(NV )′ = +N, (8.9)

NV V ′ = −N ′ (8.10)

9. Combiner ces 2 equations pour les ecrire sous la forme :

N ′(V 2 − 1) = NV, (8.11)

V ′(V 2 − 1) = −1 (8.12)

10. Utilisez le systeme differentiel precedent pour repondre aux questions sui-vantes :- A quelle vitesse physique la vitesse normalisee V = 1 correspond-elle ?- Quel est le signe des gradients de densites et de vitesses au voisinage deX = 0 ?- Que peut-on dire des gradients de densites et de vitesses lorsque V → 1 ?


11. L’equation (8.12) s’ecrit sous la forme differentielle : V 2dV − dV = −dX.Integrer cette equation et en deduire que la position x ou la vitesse vaut1 verifie :

x =2

3λI

Comparer avec les resultats numeriques.

12. Utiliser les equations (8.4) et (8.8) pour determiner les variations de den-sites n/n0 et de potentiel eϕ a la position x = x.


-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

Po

ten

tiel

no

rma

lisé

Figure 8.3 – Potentiel electrostatique, φ, lorsque λD/λI = 0.001.

13. Lorsque les ions sont crees sans vitesses initiales, l’equation de bilan dequantite de mouvement des ions doit etre modifiee et ecrite sous la forme :

M nivi∂xvi = −eni∂xϕ−M vi(νIne)

Les equations de ce modele s’ecrivent donc :

∂x(nivi) = +νIne,

0 = −kBTe ∂xne + ene∂xϕ,

M nivi∂xvi = −eni∂xϕ−M vi(νIne),

ǫ0 ∂2xxϕ = −e(ni − ne)

Combiner ces equations et etablir la relation :

M niv2i + kBTene −

ǫ0E2

2= Cte,

ou E = −∂xϕ designe le champ electrique.

14. La relation (8.13) est valable dans tout le systeme (plasma et gaine).– Determiner la dimension des grandeurs apparaissant dans (8.13), et en

deduire la nature de cette relation de conservation.


– Interpreter physiquement chaque terme.– Quelles sont les contributions dominantes dans le plasma et dans la

gaine ?– Representer schematiquement chaque contribution de (8.13) en fonction

de la position x.


Vitesse de Bohm dans un plasma electronegatif

Un plasma electronegatif est un plasma qui comprend des electrons, des ionspositifs et des ions negatifs. Le plasma est decrit par les equations suivantes :

(n+v+)′ = S+, (8.13)

(neve)′ = Se, (8.14)

(n−v−)′ = S− (8.15)

m+ (n+v2+)′ = −kT+ n

′+ + n+eE − F+, (8.16)

0 = −kTe n′e − neeE, (8.17)

0 = −kT− n′− − n−eE, (8.18)

n+ = ne + n− (8.19)

ou F+ est une densite de force de collisions entre les ions et les neutres.

1. Discuter succinctement le contenu physique de chaque equation.

2. Etablir l’egalite :

m+ (n+v2+)′ + kT+ n

′+ + kTe n

′e + kT− n

′− = −F+

3. Comment peut-on interpreter cette equation dans le cas ou F+ → 0 ?

4. Dans une premiere etape, on cherche a eliminer le gradient de vitesse desions positifs de l’equation precedente.Montrer que l’on peut ecrire :

(kT+ −m+ v2+)n′+ = −2S+m+v+ − kTe n

′e − kT− n

′− − F+

5. Eliminer le champ electrique des equations (5), (6) et (7), et etablir lesrelations qui lient les gradients de densite des especes negatives avec legradient de densite des ions positifs :

n′e =kT− ne

kTe n− + kT−nen′+,

n′− =kTe n−

kTe n− + kT−nen′+

6. En deduire que les gradients de densite deviennent singuliers (et le modelen’est donc plus defini) lorsque la vitesse des ions positifs satisfait l’egalite :

v2+ =

kTe

m+

(

T+

Te+

1 + γs

1 + (Te/T−) γs

)

ou γs ≡ n−(xs)/ne(xs) est calcule au point x = xs ou les gradients de-viennent infinis.

7. Etudier cette expression dans les 2 limites distinctes suivantes :– γs → 0,– γs → ∞.Commentez.


Decharge magnetisee

Dans ce probleme on etudie une decharge limitee par deux electrodes planeset d’extensions infinies, en presence d’un champ magnetique axial ~B uniformeet stationnaire.

B BB

⊕⊕

⊕⊕

⊖⊖

⊖⊖

– Pouvez-vous expliquer pour quelle raison physique la diffusion laterale duplasma (vers les electrodes) peut etre significativement reduite en presenced’un champ magnetique axial ?

– La reduction de diffusion laterale due au champ magnetique est-elle pluseffective pour les electrons ou pour les ions (justifiez votre reponse) ?

– Pour des conditions de fonctionnement egales par ailleurs, les dechargesmagnetisees necessitent-elles des temperatures electroniques plus eleveesou moins elevees que les decharges non magnetisees ?

La decharge etudiee est un plasma constitue d’electrons et d’ions positifsmonovalents ayant respectivement pour charges ±e, et pour masses m et M .Dans tout le probleme, on suppose que seuls les electrons sont magnetises, et onutilisera l’approximation plasma ne = ni = n (egalite des densites electroniqueset ioniques en tout point).On utilise un systeme d’axe cartesien orthonormal Oxyz et on admettra queles symetries du probleme sont telles que les differentes grandeurs physiquespeuvent s’ecrire :

~B = B~ez champ magnetique

~E = E(x)~ex ≡ −dϕ(x)

dx~ex champ electrique

~vi = vix(x)~ex vitesse des ions

~ve⊥ = vex(x)~ex + vey(x)~ey vitesse des electrons

n = n(x) densite du plasma,

et on utilisera les conditions aux limites suivantes :

vex(0) = vey(0) = vix(0) = 0, n(0) = n0, ϕ(0) = 0


Oz

Ox

~ex

~ez

~vixIon

⊕

~vix Ion

⊕

B

~vex

Electron⊖

B

~vex

Electron⊖

1. Utiliser les equations de bilan du nombre d’electrons et d’ions ainsi queles conditions aux limites pour montrer que les vitesses des electrons etdes ions sont identiques selon la direction Ox :

vex(x) = vix(x) ≡ v(x)

(on considerera que les termes sources des equations de bilan sont iden-tiques pour les 2 especes).

2. Sous les hypotheses precedentes, la decharge est decrite par les 5 variablesn(x), v(x), vey(x), vez(x), et Ex(x).En regime stationnaire, on ecrit les equations de bilan sous la forme :

~∇.(n~v) = νIn, (8.20)

0 = −en~E − en~ve × ~B − kBTe~∇n−m (νI + νen) n~ve,(8.21)

M n(

~v.~∇)

~v = +en~E − kBTi~∇n−M (νI + νin) n~v (8.22)

(a) Quelles sont les grandeurs physiques representees par les constantesνen, νin et νI ?

(b) A quels bilans ces equations correspondent-elles ?

(c) Discuter succinctement mais precisement l’origine de chacun destermes des equations.

(d) Quelles sont les approximations effectuees dans le cadre de cettedescription ?

3. (a) Projeter l’equation (8.21) sur les deux directions transverses a ~B.

(b) En deduire la relation qui relie les composantes vex et vey.On introduira la vitesse cyclotronique electronique que l’on noteraωc.

4. (a) Montrer en utilisant le resultat precedent que le flux d’electrons Γex

en direction des murs peut s’ecrire sous la forme :

Γex = −µm nE −Dmdn

dx

ou µm et Dm sont des coefficients de transport que l’on definira.

(b) Exprimer ces coefficients de transport en fonctions de ceux obtenusen absence de champ magnetique.


(c) Pour quelle raison dit-on parfois qu’imposer un champ magnetiqueest equivalent a une augmentation de la pression du gaz neutre ?

5. On convient de noter par un ’ les derivees par rapport a la variable x.Montrer que la decharge est decrite dans la direction laterale Ox par les3 equations :

(nv)′ = νIn, (8.23)

Mnvv′ = +neE − kBTi n′ −Mνi nv, (8.24)

0 = −neE − kBTe n′ − αBmνe nv, (8.25)

ou on a introduit les constantes :

νi ≡ νI + νin, νe ≡ νI + νen, αB ≡ 1 +

(

ωc

νe

)2

6. Eliminer le champ electrique entre les equations precedentes

(a) Etablir l’expression des gradients de densites et de vitesses :

n′ = +2νI + νin + αB(m/M)νe

v2 − u2B

nv, (8.26)

v′ = −νI u2B + [νI + νin + αB(m/M)νe] v

2

v2 − u2B

(8.27)

ou uB est une vitesse que l’on definira.

(b) Qu’en deduisez vous sur le sens des variations de la densite et de lavitesse du plasma en direction des murs ?

(c) Quelle est la vitesse maximale atteinte dans le cadre de ce modele ?Commenter.

(d) La chute de densite entre le centre et le bord du plasma est-elle plusimportante avec ou sans champ magnetique ? (on ne demande pasun calcul, mais si vous avez le temps, vous pouvez le faire).

7. On etudie maintenant le champ electrique a travers la decharge.

(a) Montrer que le champ electrique verifie l’equation :

eϕ′ = kBTen′

n+ αBmνe v

(b) Que peut-on dire du comportement des electrons lorsque le termeproportionnel a kBTe domine le terme proportionnel a αB ?Dans cette situation, quel est le sens des variations du potentielelectrostatique ?

(c) A contrario, que peut-on dire du comportement des electrons lorsquele terme proportionnel a αB domine le terme proportionnel a kBTe ?Dans cette situation, quel est le sens des variations du potentielelectrostatique ?

(d) Montrer que les electrons ont toujours un comportement boltzman-nien au voisinage de la lisiere de gaine.


(e) Discuter qualitativement dans quelles circonstances peut se produireun phenomene d’inversion du potentiel a travers la decharge.

(f) Quelle interpretation physique pouvez-vous donner du phenomened’inversion du potentiel ?

8. On veut etudier numeriquement la decharge dans le cas simplifie ou νin =νen = 0.

(a) A quel regime de pression cette approximation correspond-elle ?

(b) Montrer qu’il est possible de normaliser les grandeurs physiques detelle sorte que les equations (8.26) et (8.27) s’ecrivent :

N ′(X) = (2 +KB)N(X)V (X)

V 2(X) − 1,

V ′(X) = −1 + V 2(X)(1 +KB)

V 2(X) − 1

ou KB ≡ αB(m/M).

(c) Determiner l’expression du champ electrique normalise, en fonctionde V , KB et du rapport Ti/Te.

(d) Les profils de densite, vitesse et potentiel sont representes sur lafigure 8.4 pour 2 valeurs de KB lorsque Ti/Te = 0.07.Commentez.


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5Distance normalisée

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

De

nsi

tés

no

rma

lisé

es

0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175Distance normalisée

0.2

0.4

0.6

0.8

1

De

nsi

tés

no

rma

lisé

es


0

0.2

0.4

0.6

0.8

Vite

sse

no

rma

lisé

e

0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15 0.175Distance normalisée

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Vite

sse

no

rma

lisé

e


-25

-20

-15

-10

-5

0

Po

ten

tiel

Ele

ctro

sta

tiqu

en

orm

alis

é

0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15Distance normalisée

-5

-4

-3

-2

-1

0

Po

ten

tiel

Ele

ctro

sta

tiqu

en

orm

alis

é

Figure 8.4 – Profils de densite, de vitesse et de potentiel electrostatique lorsqueKB = 0 et KB = 60. Le rapport des temperatures est fixee a Ti/Te = 0.07.


Dynamique des neutres dans les plasmas faiblementionises

Dans le cas des plasmas tres faiblement ionises, comme ceux consideresdans de nombreuses applications des plasmas froids, il est d’usage, dans lesmodelisations, de negliger la dynamique des especes neutres, ~vn = ~0, et deconsiderer les densites correspondantes comme uniformes : ~∇nn = ~0.

Dans ce probleme, on etudie un modele simplifie valable a des taux d’ionisa-tion plus eleves ou ces approximations ne sont pas retenues. Le systeme etudiecomprend 3 composantes, les electrons de masse, me = m et de charge qe = −e,un seul type d’ions, de charge qi = +e et de masse mi = M −m ≈ M , et uneseule espece neutre, de masse mn = M et de charge qn = 0.

Les notations utilisees dans la suite sont celles du cours.

On traite la dynamique des especes (α = e, i, n) par les equations fluidessuivantes :

div ~Γα = Sα,

~0 = −~∇pα + nαqα

(

~E + ~vα × ~B)

−mαnα

∑

β 6=α

ναβ (~vα − ~vβ) ,

ou ~Γα = nα~vα est le flux de particules de la composante α.

1. Discuter le contenu physique de chacun des termes de ces equations enprecisant quelles sont les approximations retenues.

2. A quel regime de pression ce type d’equations peut-il etre applique ?

3. Quelles relations existe-t-il entre les termes Se, Si et Sn si l’on suppose queles seules contributions a ces termes viennent des reactions d’ionisationsen volume decrites par l’equation simplifiee :

e− + n −→ i+ 2 e−

4. Montrer a partir des bilans de particules que l’on obtient les 2 relations :

div

(

∑

α

mα~Γα

)

= 0, (8.28)

div

(

∑

α

qα~Γα

)

= 0 (8.29)

5. Quelle interpretation physique pouvez-vous donner de ces 2 equations ?

6. Utiliser les bilans d’impulsions pour obtenir l’expression :

~∇p = ρ ~E + ~J × ~B (8.30)

ou p, ρ et ~J representent respectivement la pression totale, la densite decharge totale et la densite de courant total au sein de la decharge.


On traite desormais le cas unidimensionnel, quasi-neutre et non magnetise.

On pourra donc supposer que ~B = ~0, ne = ni = n, et que toutes les gran-deurs ne dependent que d’une seule variable, x ; l’invariance par transla-tion le long de Oy et Oz garantit en outre que ∂y = ∂z = 0.

Le modele est etudie dans l’intervalle [0, L] (l’electrode qui confine leplasma est situee en x = L) avec les conditions aux limites suivantes :

Γi(0) = Γe(0) = Γn(0) = 0,

n(0) = n0, n(L) = 0

nn(L) = nnw,

ou n0 et nnw sont des constantes.

Dans tout le probleme, on considerera que le taux d’ionisation est suffi-samment faible pour que l’approximation :

n(x)

nn(x)≪ 1, ∀x i.e. dans toute la decharge.

7. Utiliser les equations de bilan (8.28), (8.29) et les conditions aux limitespour etablir les egalites :

Γex = Γix = −Γnx,

8. En deduire les resultats suivants sur les vitesses fluides :

vex = vix,vnx

vex≪ 1

9. Utiliser l’equation (8.30) pour montrer que la pression totale se conserveau sein de la decharge.

10. On suppose desormais que les temperatures de chaque composante sontuniformes : ~∇Tα = ~0,∀α et que les pressions partielles suivent la loi desgaz parfaits.

(a) Deduire de la conservation de la pression totale que le rapport dela densite des neutres a l’electrode et au centre, nnw/nn0 verifiel’egalite :

nnw

nn0= 1 + β0

Te + Ti

Tn(8.31)

ou β0 est un coefficient defini au centre de la decharge que l’on relieraau taux d’ionisation α0 = n0/(n0 + nn0) ≈ n0/nn0 mesure au centrede la decharge.

(b) Le rapport nnw/nn0 est une mesure du taux de “depletion” des neutresau sein de la decharge.

Donner une estimation quantitative de ce taux de depletion pour destaux d’ionisation allant de 1/1000 a 1/100. Commenter.


(c) Representer schematiquement le profil de densite de neutres au seinde la decharge.

11. On suppose que le terme source Se prend la forme suivante :

Se = KI nnn

A quelle hypothese physique cette forme correspond-elle ?

Que represente la constante KI ?

Quelle est sa dimension ?

12. Montrer que :m

M

νen

νin=m

M

Ken

Kin≪ 1

ou Kαn sont des grandeurs dont on rappellera le nom et la definition, etou l’inegalite sera etablie par une estimation qualitative.

13. On pose vex = vix = v et Γex = Γix = Γ.

En utilisant les resultats des questions precedentes, montrer que les equationsde bilan projetees sur l’axe Ox s’ecrivent sous la forme :

Γ′ = KI nnn, (8.32)

(kBTe + kBTi) n′ ≈ −MKin nnΓ, (8.33)

nn = nnw − Te + Ti

Tnn, (8.34)

ou les derivees par rapport a x sont notees par un ’ : ddx ≡ ′. On rappelle

que toutes les temperatures, Te, Ti, Tn sont des constantes, et que vn/v ≪1.

14. Combiner les equations (8.32) et (8.33), et en deduire l’existence de l’in-variant :

Γ2 +KI

Kin(nuB)2 = Cte (8.35)

ou uB est une constante dont on rappellera le nom et la definition.

15. Utiliser ce resultat et les conditions aux limites pour obtenir l’expressiondu flux sur l’electrode, Γw ≡ Γ(L).

En deduire que Γw depend de la temperature electronique.

On se propose maintenant de determiner la temperature electronique ausein de la decharge en presence de depletion.

16. Rappelez schematiquement quelles sont les variations de la temperatureelectronique avec la pression dans le cas sans depletion, c’est-a-dire lorsquela densite de neutres est supposee uniforme dans la decharge.

17. Montrer en utilisant les conditions aux limites que l’equation (8.35) prendla forme d’une equation de cercle dans les variables reduite Γ/Γw et n/n0 :

(

Γ

Γw

)2

+

(

n

n0

)2

= 1


18. Cette equation suggere de chercher les solutions sous la forme :

n(x) = n0 cos f(x) et Γ(x) = Γw sin f(x)

ou f(x) est une fonction a determiner.

En utilisant l’equation (8.32), etablir l’equation differentielle a laquelleobeit la fonction f .

Quelles sont les valeurs prises par f en x = 0 et en x = L ?

19. On rappelle le resultat :

∫

df

1 − δ cos f=

2√1 − δ2

arctan

(

1 + δ√1 − δ2

tanf

2

)

pour δ ≤ 1

Integrer l’equation differentielle et montrer que :

nnwL =2

a√

1 − b2arctan

(

1 + b√1 − b2

)

(8.36)

ou a et b sont des constantes dependant (entre autres) de Te dont ondonnera les expressions.

20. Quelle interpretation physique de l’equation (8.36) pouvez-vous donnerlorsque b→ 0 ?

La temperature electronique augmente-t-elle ou diminue-t-elle en presencede depletion ?

Qu’en concluez-vous sur la valeur du flux a l’electrode en presence dedepletion ?


Table des matieres

1 Introduction a la physique des plasmas faiblement ionises 3

2 Modelisation fluide : premiere approche 9

2.1 Equations du modele fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Plasmas collisionnels : mobilite et diffusion . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Plasmas non collisionnels : inertie et equilibre . . . . . . . . . . . 16

2.3.1 Equilibre thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.2 Mouvement inertiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5 Ecrantages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5.1 Ecrantage electrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.5.2 Ecrantage magnetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.6 Modelisation simplifiee des decharges . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 De la theorie cinetique a la modelisation fluide 25

3.1 Des equations cinetiques aux equations de bilan . . . . . . . . . . 25

3.1.1 Equation cinetique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.2 Moyennes, fluctuations et moments . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.3 Equations de bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2 Termes sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.1 Signification physique des termes sources . . . . . . . . . 30

3.2.2 Termes sources correspondant aux collisions elastiques . . 31

3.2.3 Termes sources correspondant aux collisions inelastiques . 36

3.2.4 Remarque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

89

3.3 Approximation d’equilibre thermodynamique local . . . . . . . . 38

4 Gaine et pre-gaine : quelques resultats experimentaux et numeriques 41

4.1 Resultats experimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2 Modelisation fluide simplifiee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.3 Etude numerique du regime stationnaire . . . . . . . . . . . . . . 44

5 Modelisation du plasma quasi-neutre (pregaine) 47

5.1 Linearisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.1.1 Etude de la pregaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

6 Modelisation de la gaine 53

6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.2 Le critere de Bohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.3 Utilisation du potentiel de Sagdeev . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6.4 La chute de potentiel dans la gaine en potentiel flottant . . . . . 59

6.5 La taille de la gaine dans une decharge polarisee negativement . 61

7 Plasmas collisionnels :relaxation et entretien 63

7.1 Diffusion ambipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.2 Relaxation d’un plasma collisionnel confine (regime de post-decharge) 65

7.3 Entretien d’un plasma confine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7.4 Temperature electronique d’entretien de la decharge . . . . . . . 70

8 Autres sujets traites sous forme de problemes 73


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