Poly Chaleur

7/28/2019 Poly Chaleur

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Chapitre 9

Introduction aux problemes

devolution : Lequation de lachaleur instationnaire

9.1 Position du problemeLa temperature u(x, t ) dun corps de volume , de densite , de chaleur

specique c et de conductivite thermique k est regie au cours du temps parlequation :

cut

= div (k grad u) + f x et t[0, T ]

ou f represente la puissance volumique fournie au corps .

Si la conductivite k est constante, lequation se reduit ` a :

cut

= k u + f x et t[0, T ]

Ce probleme du premier ordre en temps est le modele des problemes paraboliques.La determination de la solution necessite de xer une condition initiale entemps : valeur de la temperature u au temps 0.

u(x, 0) = u0(x)

On dit que le probleme est un probleme ` a valeur initiale ou probleme de Cauchy.

Dautre part, un certain nombre de conditions aux limites sur la frontiere dudomaine peuvent etre prises en compte pour determiner completement la solution.

225


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226

Conditions de type Dirichlet lorsque la temperature est xee sur une partiede la frontiere

Conditions de type Neumann si le ux thermique est xe (nul dans le casdun materiau isole thermiquement)

Conditions de type Fourier dans le cas le plus general dun echange convectif avec le milieu exterieur, etc, comme dans le cas stationnaire.

Remarque 9.1.1 (solution stationnaire) Lorsque la temperature ne depend plus du temps (regime permanent ou stationnaire), on retrouve lequation dej` a etudiee :

div (k grad u) = f x+ Conditions aux limites sur

9.2 Etude mathematique de lequation monodi-mensionnelle

Nous allons maintenant donner les principales proprietes caracteristiques desproblemes de type paraboliques en nous appuyant, pour simplier, sur le casde lequation de la chaleur monodimensionnelle.

9.2.1 Le modele de la barre innieConsiderons tout dabord le modele de la barre innie, sans apport de chaleur

et dont la temperature est initialement donnee. Il est clair que, selon le premierprincipe de la thermodynamique, la temperature de la barre doit decrotre aucours du temps. Ecrivons lequation du modele :

Trouver u : (x, t ) u(x, t ) telle que : t

u(x, t ) = 2

x 2u(x, t ) xIR et t[0, T ]

u(x, 0) = u0(x) donnee

Soit F (, t ) la transformee de Fourier de u denie par :

F (, t ) = +

exp (2ix ) u(x, t ) dx

La transformation de Fourier de lequation :

t

u(x, t ) = 2

x 2u(x, t )


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227

secrit : t

F (, t ) + 4 2 2F (, t ) = 0

F (, 0) est la transformee de Fourier de la condition initiale u0. La resolution delequation differentielle du premier ordre en temps ci-dessus donne donc :

F (, t ) = exp (4 2 2t) F (, 0)Or

exp (

4 2 2t) = F (

1

4texp (

x2

4t))

etF (f g) = F (f ) F (g)

Donc la transformee de Fourier de la solution u est egale a la transformee duproduit de convolution de u0 et 1 4t exp (x

2

4t ). Ceci donne, par transformationde Fourier inverse, lexpression classique de la solution u :

u(x, t ) =1

2 t

+

exp (

(x y)24t

) u0(y) dy

9.2.2 Proprietes fondamentales de la solution

Nous en deduisons les proprietes fondamentales de la solution u du problemede la chaleur.

1. La solution en un point particulier depend de la condition initiale en tousles points du domaine. Le domaine de dependance de la solution setend audomaine tout entier.

2. Une perturbation en un point quelconque de la solution initiale inuence

immediatement la valeur en tout point de la solution u . On dit que la vitessede propagation est innie.

3. La valeur ponctuelle de la solution decrot au cours du temps.

4. t doit etre positif. Le phenomene est irreversible, on ne peut pas remonterle temps.

5. Enn, loperateur de la chaleur a un effet regularisant. Pour une conditioninitiale dans L2(), la solution u est C pour tout temps t > 0 (voir unexemple en gure 9.1).


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228

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Fig. 9.1 Effet regularisant de loperateur de la chaleur. On voit ici la suite desolutions en temps a partir dune condition initiale en fonction porte discontinue

9.2.3 Le modele de la barre nie avec conditions auxlimites de Dirichlet homogenes

On considere une barre de longueur L dont la temperature est xee ` a zeroaux extremites. Lequation de la temperature au cours du temps secrit :

t

u(x, t ) = 2

x 2u(x, t ) + f (x, t ) x[0, L ] et t[0, T ]

u(x, 0) = u0(x) donnee : condition initiale

u(0, t ) = u(L, t ) = 0 : conditions aux limites de Dirichlet homogenes

Les fonctions k denies par

k (x) = sin (kL

x) pour k = 1 , 2, ...n, .. (9.1)

sont fonctions propres de loperateur

2

x 2avec conditions de Dirichlet homogenes

associees aux valeurs propres k =k2 2

L2. Dautre part les fonctions k forment

une famille orthogonale de L2[0, L ].

Exprimons la solution u comme combinaison lineaire des k

u(x, t ) =k

u k (t)k (x)


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et supposons connu un developpement de f sous la meme forme :

f (x, t ) =k

f k (t)k (x)

En reportant ces expressions de u et de f dans lequation aux derivees partielles,on obtient un ensemble dequations differentielles en temps independantes pourchaque k .

du kdt

+k2 2

L2uk = f k

dont la solution secrit :

uk (t) = u k (0) exp (

k2 2

L2 t) +

t

0

exp (

k2 2

L2 (t

s)) f k (s) ds

Dans le cas particulier f = 0, on trouve :

u k (t) = u k (0) exp (k2 2

L2t)

On admet la convergence dans L2[0, L ] de la serie de Fourier de coefficients uk (t)vers la solution u du probleme et ceci t . Dou lexpression de la solution

u(x, t ) =k

u k (0) exp (k2 2

L2t) sin (

kL

x)

Remarque 9.2.1 (importante) La decomposition en modes propres presentee ci-dessus est possible en raison de la propriete essentielle de linearite du probleme de la chaleur. Elle revele une propriete fondamentale de loperateur de la chaleur : son effet de lissage . En effet la decroissance des modes en exp (k

2 2

L 2 t)est dautant plus rapide que le nombre donde k est grand. Les hautes frequences sont donc amorties les premieres. Cet effet de lissage a des consequences positives pour lapproximation numerique, car des erreurs locales dinitialisation ou de calcul, qui correspondront `a des modes de frequence elevee, seront immediatement amorties.

9.3 Lequation bi ou tridimensionnelleReprenons le probleme initial de la chaleur et considerons pour simplier unprobleme de Cauchy en temps `a conditions aux limites de Dirichlet homogenesen espace.

t

u(x, t ) = u(x, t ) + f (x, t ) x et t[0, T ]


u | (x, t ) = 0 : conditions aux limites de Dirichlet homogenes


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230

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101

0.5

0

0.5

1

1.5

2

Fig. 9.2 Effet de lissage de loperateur de la chaleur. La condition initiale estsin (x ) + sin (10x ). On observe la decroissance immediate des oscillations ensin (10x ) avant que le mode fondamental ne commence a decrotre.

9.3.1 Formulation variationnellePla cons-nous, pour simplier lexpose, dans le cas dun domaine plan. La

formulation variationnelle du probleme sobtient, comme dans le cas stationnaire,par multiplication par des fonctions tests independantes du temps appartenant ` alespace H 10 (), compte tenu des conditions aux limites choisies. Apres integrationen espace sur le domaine et integration par parties par la formule de Green,on obtient le probleme variationnel :

Trouver pour tout t[0, T ], u : (x,y, t ) u(x,y, t ) telle que :

t u(x,y, t ) v(x, y ) dxdy + grad u grad v dxdy=

f (x,y, t ) v(x, y ) dxdy vH 10 ()

u(x,y, 0) = u0(x, y ) donnee

On admet le resultat dexistence et dunicite de la solution de ce problemedevolution. A chaque instant t , la fonction u consideree comme fonction desvariables despace x, y appartient alors `a lespace H 10 ()

Notons ( ., . ) le produit scalaire de L2(), et a : (u, v ) a(u, v ) la formebilineaire elliptique dans H 10 () :a (u, v ) = grad u grad v dxdy


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231

On obtient lecriture suivante de la formulation variationnelle du problemeparabolique ci-dessus :

Trouver pour tout t[0, T ], u : (x,y, t ) u(x,y, t ) telle que :(

ut

, v) + a(u , v ) = ( f, v ) vH 10 ()


On rappelle lellipticite de a dans H 10 . Donc il existe une constante strictementpositive telle que :

a(v, v )

v 21,2

v

H 10

9.3.2 Propriete de dissipation de lenergieEn prenant v = u(x,y, . ) dans la formulation variationnelle, on obtient

12

ddt

u 20, + a(u, u ) = ( f, u )

ou . 0, designe la norme de L2()

Utilisons alors lellipticite de a et la majoration de la norme de L2 par la normeH 1

a (u, u ) u 2V u 20,on obtient :

12

ddt

u 20, + u20, f 0, u 0,

dou :ddt

u 0, + u 0, f 0,Multiplions alors les deux membres de linegalite par et , on obtient

ddt

[et u(t) 0,] et f 0,et en integrant en temps de 0 `a T :

u(T ) 0, eT u0 0, + T

0e (T t ) f (t) 0, dt

On observe a nouveau, dans le cas ou f est nulle, cest a dire en labsence de sourcede chaleur, la decroissance en temps de la norme L2 de la solution. Remarquonsque cette decroissance de la norme L2 de la solution est exponentielle en temps.


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Cette propriete de decroissance, damortissement ou de dissipation denergie estcaracteristique des problemes paraboliques. Elle est particulierement favorablepour lapproximation numerique. En effet, toute perturbation survenant ` a uninstant donne, et en particulier une perturbation due ` a des erreurs de calcul, estamortie exponentiellement au cours du temps. Il est important que les schemasnumeriques utilises respectent ce comportement dissipatif au cours du temps.

Signalons enn que la technique precedente permet dobtenir sans difficultelunicite de la solution u .

9.4Etude des schemas de differences nies dansle cas monodimensionnel

9.4.1 IntroductionUne premiere methode pour resoudre numeriquement les problemes devolutionconsiste a discretiser le probleme continu par differences nies. Pla cons nous dansle cas monodimensionnel dune barre de longueur L pour simplier. On choisit unediscretisation reguliere de [0 , L ] en intervalles de longueur x tels que L = M xet une discretisation de lintervalle de temps [0 , T ] en pas de temps de longueur

t

tels queT

=N

t. Notons

x j le point

j

xet

tn le temps

n

t. Notons

u n j lavaleur de la solution approchee au point x j et au temps t n .

Denition 9.4.1 Un schema aux differences nies est dit schema ` a p pas en temps si les valeurs un +1 j des solutions approchees au temps t n +1 sont fonctions des valeurs aux p instants precedents, soit aux temps t n , t n 1, ...t n p+1 . En particulier,un schema est dit a un pas si les u n +1 j ne dependent que des un j .

Les deux principales proprietes dun schema numerique sont :

lordre du schema qui mesure la precision ou erreur de troncature mathematiquecommise en remplacant les derivees partielles exactes par leurs approximationssous formes de differences divisees. Lordre est determine par des developpementsde Taylor obtenus en injectant dans lecriture du schema numerique la fonctionsolution continue exacte du probleme differentiel.

la stabilite du schema concerne levolution du vecteur des valeurs approcheesde la solution aux points x j au cours des temps t n (et non plus la solutionexacte continue) dans le cas concret o u t et x ne tendent pas vers zero, maisont des valeurs xees. Numeriquement, ce critere est relatif ` a la propagation etlamplication des erreurs darrondis, la condition minimale de stabilite impose


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que le vecteur de composantes un j

reste borne pour tout n

[0, N ]. Sinon, il nestmeme pas calculable. Si lon desire de plus que la solution approchee reproduisele comportement de la solution exacte au cours du temps, on devra imposer desconditions plus severes sur le schema numerique. Par exemple, dans le cas delequation de la chaleur, on cherche `a reproduire sur la solution numerique lecomportement dissipatif du probleme continu. On choisira donc des schemas telsque la solution approchee soit decroissante au cours du temps.

9.4.2 Le Schema dEuler expliciteNous allons preciser les denitions des notions dordre et de stabilite en nous

appuyant sur lexemple le plus simple de schema numerique : le schema dEulerexplicite (en temps) et centre (en espace).

Considerons le probleme t

u(x, t ) = 2

x 2u(x, t ) x[0, L ] et t[0, T ]


u(0, t ) = u(L, t ) = 0 : conditions aux limites de Dirichlet homogeneset choisissons les approximations classiques suivantes des derivees premiere etseconde par differences nies

t

u(x j , t n ) u(x j , t n +1 ) u(x j , t n )

t( a O( t) pres)

2

x 2u(x j , t n )

u(x j +1 , t n ) 2u(x j , t n ) + u(x j 1, t n ) x2

( a O( x2) pres)

Rempla cons les derivees partielles par leurs approximations en differences niesci-dessus et la fonction inconnue u par une collection de valeurs discretes un jpour j = 0 ,..M et n = 0 , ..N . Nous obtenons un premier exemple de schemadapproximation en differences nies de lequation de la chaleur : le schemadEuler explicite centre.

un +1 j u

n j

t= u

n j +1 2u

n j + u

n j 1

x2

u0 j = u0(x j ) donnee : condition initiale

un0 = u nM = 0 n : conditions aux limites de Dirichlet homogenesCe schema est un schema `a un pas, car le vecteur des solutions approchees autemps t n +1 ne depend que des solutions approchees au temps t n . Cest un schemaexplicite car il donne une formule explicite de calcul de la solution au temps t n +1en fonction des valeurs de la solution au temps precedent. Il ny a pas dequationa resoudre pour obtenir la valeur au nouvel instant t n +1 .


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9.4.3 OrdreNotons S x, t u(x j , t n ) lapplication dun schema aux differences nies `a la

solution continue u . Par exemple pour le schema dEuler explicite centre :

S x, t u(x j , t n ) =u(x j , t n +1 ) u(x j , t n )

t u(x j +1 , t n ) 2u(x j , t n ) + u(x j 1, t n )

x2

Denition 9.4.2 Un schema aux differences nies est dordre p en temps et dordre q en espace si la difference entre lequation et le schema applique ` a la fonction solution du probleme continu est un inniment petit dordre p en temps et dordre q en espace. Cest a dire si lon a :

t

u(x j , t n ) 2

x 2u(x j , t n ) S x, t u(x j , t n ) ] = O ( t p) + O( xq)

Un schema consistant est un schema tel que lexpression ci-dessus tende vers zero avec t et x .

Application : le schema dEuler explicite est dordre un en temps et dordredeux en espace. On montrera en exercice que lon obtient en effet pour ce schema

t

u(x j , t n ) 2

x 2u(x j , t n ) [

u(x j , t n +1 ) u(x j , t n ) t

u(x j +1 , t n ) 2u(x j , t n ) + u(x j 1, t n ) x2

] = t2

2

t 2u(x j , ) +

x2

12 4

x 4u(, t n )

Remarque 9.4.1 Au point x j , t n en derivant lequation on a :

2

t 2 u(x j , t n ) = 4

x 4 u(x j , t n )

on pourrait optimiser lordre par un choix de pas de temps et despace tel que

t2

= x2

12

On obtiendrait alors lordre 2 en temps et lordre 4 en espace. Malheureusement ceci nest possible que pour des maillages reguliers a pas constants et nest pas generalisable au cas des elements nis.


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235

9.4.4 StabiliteDans le cas de schemas a un pas appliques `a des problemes lineaires, le vecteur

des solutions approchees au temps t n +1 est lie au vecteur des solutions approcheesau temps t n par une relation matricielle. Considerons le probleme modele

t

u(x, t ) = 2

x 2u(x, t )

et appliquons un schema numerique ` a un pas. Nous pouvons exprimer le vecteurU n +1 des valeurs de la solution au temps t n +1 en fonction du vecteur U n dessolutions au temps t n par :

U n +1 = C ( t, x) U n

ou C est une matrice caracterisant le schema et dependant des pas de temps etdespace.On en deduit :

U n = C n U 0

ou U 0 est le vecteur des conditions initiales.

La condition minimale de stabilite sexprime par le fait que U n reste borne

quel que soit n . Une condition plus forte impose la decroissance de U n

quandn augmente.

Condition de stabilite de Von Neumann

Le schema est stable sil existe > 0 tel que C n soit uniformement bornepour tout n et tout t veriant les conditions :

0 < t < et 0 n t T Ce critere minimal de stabilite entrane simplement que la suite U n ne soit pas

explosive. Il est satisfait si lon a la majorationC 1 + c t

En effet dans ce cas :

C 1 + c t = U n (1 + c t)n U 0 ecn t U 0 ecT U 0U n reste borne pour tout n = 0 , ..N . Mais la constante de majoration estexponentielle en la duree dintegration en temps T et donc devient tres grandeavec T .


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On peut en consequence preferer des conditions de stabilite plus restrictives tellesque :

C 1En effet on a alors

U n U 0 n = 0 ,..N Si lon veut de plus que la solution numerique reproduise le comportementdecroissant de la solution exacte on imposera linegalite stricte

C < 1qui entrane la decroissance de la norme de U n .

9.4.5 Etude matricielle de la stabiliteSupposons que le schema sexprime sous la forme matricielle presentee plus haut,on deduira la stabilite de majorations de la norme de la matrice C souventobtenues par le calcul de ses valeurs propres.

Exemple : le schema dEuler explicite

Reprenons le probleme

t

u(x, t ) = 2

x 2u(x, t ) x[0, L ] et t[0, T ]



et appliquons le schema dEuler

un +1 j un j t

=u n j +1 2u n j + un j 1

x2


un0 = u nM = 0 n : conditions aux limites de Dirichlet homogenes

On obtient aisement lecriture matricielle :

U n +1 = [ I t

x2A ]U n


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ou A est la matrice tridiagonale symetrique dej` a rencontree lors de la discretisationde la derivee seconde.

A =

2 1 0 01 2 1 0. . . . . . . . .0 . . . . . . . . . 10 1 2

Les vecteurs propres de A sont les analogues discrets des fonctions propres k (voir

equation 9.1). On obtient les vecteurs propres V k de composantes V k j = sin (kjM

).

Les valeurs propres associees sont :

k = 4 sin 2k2M

pour k = 1 , ...M 1ou M denote le nombre dintervalles de discretisation de [0 , L ] et donc ou ladimension de A est egale a M 1.La matrice C = I

t x2

A est une matrice symetrique reelle. Ses vecteurspropres sont ceux de A , ses valeurs propres sont egales a :

k = 1

t

x2

k

Majorons la norme euclidienne de U n +1

U n +1 2 I t

x2A 2 U n 2

Comme la matrice C = I t

x2A est une matrice symetrique, sa norme

euclidienne est egale a son rayon spectral

I t

x2A 2 = ( I

t x2

A) = maxk =1 ,..M 1 |1 4

t x2

sin 2(k2M

) |La condition de stabilite C

1 se traduit donc par :

maxk =1 ,..M 1 |1 4

t x2

sin 2(k2M

) | 1 soit 4 t

x2sin 2( (

M 1)2M

) 2Ceci sera assure des que lon aura la majoration

t x2

12

Cette condition est la condition classique de stabilite du schema dEuler explicitepour lequation de la chaleur. Elle impose des pas de temps tres petits, ce quiexclut, dans la plupart des cas, lusage de ce schema explicite pour les problemesparaboliques.


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238

9.4.6 Autres exemples de schemas a un pasSchema dEuler implicite

On considere, pour la discretisation du meme probleme, le schema implicitesuivant :

un +1 j un j t

=u n +1 j +1 2un +1 j + u n +1 j 1

x2


un0 = u nM = 0 n : conditions aux limites de Dirichlet homogenes

Ce schema est dit implicite car le calcul de la solution au pas de temps n + 1necessite la resolution dun systeme matriciel.

Ordre du schemaUn developpement de Taylor permet de verier simplement que ce schema estdordre un en temps et dordre deux en espace comme le schema explicite.

Stabilite du schemaLa meme analyse matricielle conduit au resultat suivant :

[ I + t x2 A ]U n +1 = U n

La matrice diteration C est cette fois egale a :

C = ( I + t

x2A)1

Ses valeurs propres sont :k =

1

1 + t

x2 k

Elles sont donc strictement positives et strictement inferieures ` a 1 pour tout k. Cequi entrane la stabilite inconditionnelle (quels que soient t et x) du schemaimplicite

Observons que lon a, avec ce schema, decroissance de la solution approchee aucours des pas de temps.

U n +1 2 1

1 + t

x2 1

U n 2 avec 1 = 4 sin 2(

2M )


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Schema de Crank-Nicolson ou schema des trapezes

On considere, pour la discretisation du meme probleme, le schema implicitesuivant :

u n +1 j u n j t

=12

u n j +1 2u n j + un j 1 x2

+u n +1 j +1 2u n +1 j + un +1 j 1

x2


u n0 = unI = 0 n : conditions aux limites de Dirichlet homogenes

Ce schema est dit implicite car le calcul de la solution au pas de temps n + 1necessite la resolution dun systeme matriciel. Il correspond ` a une integration entemps approchee selon la formule des trapezes sur les instants t n et t n +1 .

Ordre du schema

Ce schema est dordre deux en temps et en espace.

Stabilite du schemaLe meme type danalyse matricielle que precedemment conduit au resultatsuivant :

[ I + t

2 x2A ]U n +1 = [ I

t2 x2

A ]U n

La matrice diteration C est cette fois egale a :

C = ( I + t

2 x2A)1( I

t2 x2

A)

Ses valeurs propres sont :

k =1

t2 x2

k

1 + t

2 x2 k

Elles sont donc de module inferieur a 1 pour tout k. Ce qui entrane la stabilite

inconditionnelle (quels que soient t et x) du schema de Crank Nicolson.Remarque 9.4.2 Attention, la stabilite en norme euclidienne ( L2), consideree ici, nassure pas la monotonie ou la positivite du schema. La decroissance en norme L2 nimplique pas la decroissance de chaque composante du vecteur solu-tion.

La methode precedente se complique dans le cas de schemas ` a plusieurs pas, nousallons presenter ci-dessous une technique de calcul plus simple et adaptable aucas de schemas multipas.


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240

9.4.7Etude de la stabilite par lanalyse de Fourier

Une technique simple de calcul de la stabilite dun schema est donnee dans lecas de problemes lineaires par lanalyse de Fourier. Rappelons lanalyse presenteeau paragraphe 9.2.3. Nous avions exprime la solution u de lequation de la chaleur

t

u(x, t ) = 2

x 2u(x, t ) x[0, L ] et t[0, T ]



sous la forme du developpement :

u(x, t ) =kZ

u k (t)sin (kL

x)

En utilisant de nouveau la linearite du probleme et le principe de superposition,nous observons que la solution, dans le cas de conditions aux limites lineairesquelconques, Dirichlet, Neumann, Fourier ou periodiques secrit sous la formegenerale :

u(x, t ) =k

Z

uk (t)eikx

ou k est un coefficient reel integrant le nombre donde, le type de conditions auxlimites et la dimension du domaine. Les coefficients de Fourier uk verient chacunune equation differentielle en temps dont la solution secrit :

u k (t) = uk (0) exp (k2 t)On a donc

uk (t + t) = exp (k2 t) uk (t)Faisons la meme analyse dans le cas discret. Injectons dans le schema numeriqueune suite de solutions de la forme

un j = unk e

ikj x

Ces solutions ont pour conditions initiales

u0 j = u0k eikj x

et correspondent chacune `a une composante harmonique. Letude de la stabilitese ramene a letude de levolution au cours des pas de temps n des suites unkquand n augmente. La condition minimale de stabilite numerique necessite que


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241

les nombres u nk

restent bornes

k et

n = 0 , ...N . Si lon veut de plus decroissancede la solution approchee, on devra avoir decroissance des unk quand n augmente.

Dans les schemas a p pas, on obtient les u n +1k par multiplication par une matricedamplication G( t, k ) selon :

un +1kunk::

un p+2k

= G( t, k )

unkun 1k

::

un p+1k

Dans les schemas a un pas, la matrice damplication se reduit ` a un facteurdamplication G( t, k ) tel que un +1k = G k ( t) u nk .

Nous obtenons alors les conditions de stabilite suivantes :

Condition necessaire de stabilite de Von Neumann

Pour que le schema soit stable, il faut quil existe > 0 tel que les valeurs propres i de la matrice damplication G( t, k ) soient toutes majorees en module selon :

| i | 1 + c t i = 1 , ..pavec c > 0, quel que soit k et pour tout 0 < t <

Dans le cas de schema a un pas la matrice damplication se reduit ` a un facteurscalaire et la condition de Von Neuman est suffisante.

Conditions suffisantes de stabilite

1) Si la matrice damplication est normale, cest a dire quelle commute avec sonadjointe (ou transposee dans le cas reel)

G G= GG

ou bien, ce qui est equivalent, si elle admet une base de vecteurs propresorthonormes, alors la condition de Von Neumann est suffisante.

2) La condition precedente etant parfois difficile ` a verier, on peut utiliser lacondition suffisante suivante : le schema est stable si les coefficients de la matriceG( t, k ) sont bornes et si ses valeurs propres sont toutes de module strictementinferieur a 1 sauf eventuellement une de module egal `a 1.


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242

Un premier exemple simple dapplication : le schema dEuler

Posonsun j = u

nk e

ikj x

et calculons le facteur damplication G k ( t) tel que u n +1k = G k ( t) unk . Onobtient :

un +1k unk t

exp (ikj x) =exp (ik x) 2 + exp (ik x)

x2exp (ikj x) unk

soit :

u n +1k = [1 + t

x2 (2 cos (k x)

2] u nk = [ 1

4

t

x2 sin

2(k

2 x) ] u nk

La condition |G k ( t )| 1 k necessite t

x2 12

. On retrouve evidemment descalculs analogues et le meme resultat que par lanalyse matricielle faite plus haut.

Un exemple simple de schema implicite a 2 pas : le schema de Gear

Considerons le schema suivant pour lequation de la chaleur monodimensionnelle :32

u n +1 j 2u n j +12

un 1 j = t

x2[u n +1 j +1 2un +1 j + u n +1 j 1 ]

Posons comme precedemment

un j = unk e

ikj x

Un calcul simple conduit au resultat suivant

un +1kunk

=2a

1a

1 0

unkun 1k

avec a =32

+ 4 t

x2sin 2(

k2

x)

Les valeurs propres de la matrice 2

2 damplication ci-dessus sont racines de

2 2a

+1

2a= 0

On trouve le discriminant = 2 a2a2

. On obtient si a > 2 deux racines complexes

conjuguees de module 12a < 1 et dans le cas a 2 deux racines reelles dont laplus grande en valeur absolue vaut

1a

+ 2 a2a2 < 1


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On a donc stabilite inconditionnelle de ce schema qui se revele dans la pratiqueparticulierement adapte dans le cas dequations raides, cest ` a dire danslesquelles on aurait de fortes variations locales des constantes thermiques.

9.5 Methodes delements nis pour le problemede la chaleur

On considere le probleme bidimensionnel suivant :

tu(x,y, t ) = u(x,y, t ) + f (x,y, t )

x, y

et t

[0, T ]

u(x,y, 0) = u0(x, y ) donnee : condition initiale

u | 0 = ud : conditions aux limites de Dirichletun | 1

= g : conditions aux limites de Neumann

Formulation variationnelle

La formulation variationnelle du probleme sobtient comme dans le cas station-naire par multiplication par des fonctions tests independantes du temps apparte-nant, compte tenu des conditions aux limites choisies, ` a lespace V des fonctions deH 1() nulles sur 0. Apres integration en espace sur le domaine et integrationpar parties par la formule de Green, on obtient le probleme variationnel :

Trouver pour tout t[0, T ], u : (x,y, t ) u(x,y, t ) telle que :

t u(x,y, t ) v(x, y ) dxdy + grad u grad v dxdy=

f (x,y, t ) v(x, y ) dxdy +

1

g v d

v

V


9.5.1 Semi-discretisation en espace par elements nisOn suppose realise un maillage du domaine en elements nis triangulaires P kou quadrangulaires Q k . Soient wi les fonctions de base associees aux elementsnis choisis. Le maillage est pris xe au cours du temps (voir au chapitre 12une situation dans laquelle le domaine est deformable et donc le maillage change


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au cours du temps). Les fonctions de base wi sont donc independantes du temps.Notons I lensemble des indices des noeuds du maillage correspondant a une valeurinconnue de la solution u . Cest a dire ici lensemble des noeuds nappartenantpas a 0. Notons J lensemble des indices des sommets du maillage correspondanta une valeur connue de la solution, donc ici appartenant ` a 0.

Comme dans le cas stationnaire nous decomposerons la solution approchee uhen somme dune inconnue auxiliaire u h et dune fonction connue u0 prenant lesvaleurs imposees sur 0. La solution auxiliaire u h secrira dans la base des wi pouriI selon : uh (x,y, t ) =

i

I

u i (t) wi (x, y )

La fonction u0, supposee independante du temps pour simplier, sera approcheepar une fonction u0,h prenant les valeurs imposees sur 0 et nulle sur tous lesnoeuds dindices iI

u0,h (x, y ) =i

J

ud (x i , yi ) wi (x, y )

On en deduit

tuh (x,y, t ) =

i

I

u i (t) wi (x, y )

Notons N I le nombre de noeuds inconnus dindices iI . Le probleme approchesecrit sous la forme dun systeme differentiel lineaire de N I equations `a N Ifonctions inconnues du temps u i .

Trouver t[0, T ], et j I , les fonctions u j (t) telles que, iI :

jI w j wi dxdy u j (t) + grad w j grad wi dxdy u j (t) =

f w i dxdy + 1 g wi d jJ grad w j grad wi dxdy u d(x j , y j )u i (0) = u i, 0 donnes iI

Ce qui donne matriciellement :

Trouver pour tout t[0, T ], le vecteur U (t) tel que :

MU (t) + KU (t) = BU (0) = U 0 donne


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avec M matrice de masse de coefficients

m i,j = w j wi dxdyK matrice de raideur de coefficients

ki,j = grad w j grad wi dxdyet B vecteur second membre dont les coefficients sont dans ce cas egaux a

B i = f (x,y, t ) wi dxdy + 1 g wi d jJ ki,j u d (x j , y j )9.5.2 Discretisation complete en espace et en tempsIl nous reste a appliquer les schemas en temps dej` a presentes dans le cas dediscretisations en differences nies pour obtenir une discretisation complete duprobleme.

Schema dEuler explicite

On utilise lapproximation

U (t) U (t + t) U (t)

t

ce qui conduit au schema

Trouver pour tout n[0, N ], la suite de vecteurs U n tels que :

U 0 donne : ( U 0i = u0(x i , y i ) )

MU n +1 = MU n

tKU n + tB

Remarquons que la dependance du second membre B par rapport au temps neposerait pas de probleme difficile.

La resolution complete du probleme approche necessite la resolution dun systemematriciel a chaque pas de temps. Nous avons deux possibilites :

1) On factorise une fois pour toute en debut de calcul la matrice de masseM qui est symetrique denie positive sous forme LL T et on a deux systemestriangulaires a resoudre a chaque pas de temps.


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2) On calcule la matrice de masse de facon approchee sous forme dune matricede masse condensee diagonale (mass lumping). Linversion de la matrice de masseest alors immediate et on obtient veritablement un schema numerique explicite.

Malheureusement le schema dEuler explicite dont la stabilite depend dunecondition tres severe sur le pas de temps nest pas adapte ` a lequation de lachaleur. On preferera utiliser les schemas implicites suivants.

Schema dEuler implicite

On utilise lapproximation

U (t) U (t) U (t t) tce qui conduit au schema


U 0 donne : ( U 0i = u0(x i , y i ) )

MU n +1 = MU n tKU n +1 + tBSoit

[M + tK ]U n +1

= MU n

+ tBDans ce cas, que lon ait ou non condense la matrice de masse sous formediagonale, on doit resoudre un systeme matriciel. Ce que lon fait en factorisantune fois pour toutes au debut du calcul, la matrice M + tK qui est symetriquedenie positive, sous forme LL T puis en resolvant `a chaque pas deux systemestriangulaires.

Schema de Crank-Nicolson

Le schema secrit


U 0 donne : ( U 0i = u0(x i , y i ) )

MU n +1 = MU n t2

K [U n + U n +1 ] + tB

Soit[M +

t2

K ]U n +1 = [M t2

K ]U n + tB

Il est facile de montrer, en reprenant lanalyse matricielle faite en 9.4.6, la stabiliteinconditionnelle de ce schema.


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Schema de Gear

Dans les cas difficiles, en particulier le cas dequations raides, si lon veutlordre deux de precision, on utilisera le schema `a deux pas implicite suivant, ditschema de Gear :


U 0et U 1 donnes32

MU n +1 = 2 MU n 12

MU n 1 t KU n +1 + tBSoit

[32

M + tK ]U n +1 = 2 MU n 12

MU n 1 + tB

Ce schema, inconditionnellement stable et du second ordre en temps, necessite audemarrage lutilisation dun schema ` a un pas (Crank-Nicolson an de conserverlordre 2) pour le calcul de U 1. Les schemas de Runge et Kutta implicites sontun autre choix possible de schemas dordre eleve stables avec lavantage pratiquedetre des schemas `a un pas.


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