poly paramètres de position et dispersion · série statistique à une variable. La consommation d’eau chargée en plomb peut provoquer des troubles du système cérébral, en

Statistiques : Paramètres de position et de dispersion

Paramètres de position et de dispersion

Activité 1 : Du plomb dans la tête

Activité 2 : Loyers mensuels d’appartement

Activité 3 : Températures de deux villes

Activité 4 : Conditionnement

Cours ................................

Exercices ................................

Feuille de route ................................



: Du plomb dans la tête ................................................................

: Loyers mensuels d’appartement ................................

: Températures de deux villes................................

: Conditionnement ................................................................

................................................................................................

................................................................................................

................................................................................................

1


.................................2

..............................................3

....................................................5

..........................................7

.....................................................9

........................................... 11

................................ 17


2

Activité 1 : Du plomb dans la tête

Objectif : Utiliser la calculatrice pour obtenir les paramètres d’une série statistique à une variable.

La consommation d’eau chargée en plomb peut provoquer des troubles du système cérébral, en particulier chez l’enfant. On a étudié la concentration de plomb dans l’eau du robinet de 390 logements de la région parisienne.

Temps (en heures) xi Effectifni ni xi Fréquencefi

[ 0 ; 25 [ 150

[ 25 ; 50 [ 42

[ 50 ; 75 [ 58

[ 75 ; 100 [ 27

[ 100 ; 125 [ 23

[ 125 ; 150 [ 55

[ 150 ; 200 [ 35

1°) Calculer le centre des classes xi. 2°) Déterminer la concentration moyenne, la concentration médiane,

le premier quartile et le troisième quartile (on donnera les résultats à 0,01 près).

La moyenne :

La médiane :

Le premier quartile :

Le troisième quartile :

3°) Compléter les autres colonnes du tableau ci-dessus. ☺ Appeler le professeur


Activité 2 : Loyers mensuels d’appartement

Objectif : Comparer les indicateurs de tendance centrale

Voici des exemples de relevés de loyers mensuels d’appartements dans différents quartiers d’une ville.

Quartier A

Quartier B

1°) Calculer l’écart entre la moyenne et la médiane dans chaque quartier. ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................ ................................................................


: Loyers mensuels d’appartement

: Comparer les indicateurs de tendance centrale

Voici des exemples de relevés de loyers mensuels d’appartements dans différents quartiers d’une ville.

Quartier A Répartition des loyers

Quartier B Répartition des loyers

Calculer l’écart entre la moyenne et la médiane dans chaque

.........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

.........................................................................................

3

: Loyers mensuels d’appartement

: Comparer les indicateurs de tendance centrale.

Voici des exemples de relevés de loyers mensuels

Répartition des loyers

Répartition des loyers

Calculer l’écart entre la moyenne et la médiane dans chaque

.........................

.........................

.........................

.........................

.........................


4

2°) Choisir dans les termes suivants ceux qui caractérisent la répartition des points : Quartier A : répartition étendue / concentrée

Quartier B : répartition étendue / concentrée

3°) Compléter les phrases suivantes à l’aide des termes proposés ci-dessous : voisines - différentes - groupées - dispersées

Lorsque la moyenne et la médiane sont très ............................., les valeurs sont ............................................ Lorsque la moyenne et la médiane sont très ............................, les valeurs sont ......................................

☺ Appeler le professeur


5

Activité 3 : Températures de deux villes

Objectif : Obtenir les paramètres de position et de dispersion avec un tableur.

Voici les températures mensuelles moyennes relevées à Brest et Moscou durant une année.

Mois J F M A M J J A S O N D

Brest (°C) 9,1 9,4 11 12,5 15,6 18,1 20,4 20,6 18,7 15 ,3 11,9 10

Moscou (°C)

-6,3 -4,2 1,5 10,4 18,4 21,7 23,1 21,5 15,4 8,2 1,1 -3,5

• Ouvrir le fichier « Activité 3 Annexe » avec un tableur • Pour chaque ville, trier les températures par ordre croissant. • Compléter les cases rouges en utilisant les fonctions du tableur

indiqués à côté de ces cases. • Répondre aux questions suivantes :

1°) a) A quoi correspond le quatrième quartile Q4.

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

b) Placer par un trait sur le tableau, la valeur obtenue pour le deuxième quartile Q2.

Brest (°C) 9,1 9,4 10 11 11,9 12,5 15,3 15,6 18,1 18,7 20,4 20,6

Moscou (°C)

-6,3 -4,2 -3,5 1,1 1,5 8,2 10,4 15,4 18,4 21,5 21,7 23,1

c) Expliquer alors par une phrase, la signification précise des valeurs obtenues pour le deuxième quartile.

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................


6

d) Comparer la valeur de la moyenne x avec celle de la médiane Me

correspondante.

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

2°) a) A quoi correspond l’étendue ?

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

b) Comparer l’étendue des températures des deux villes.

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

3°) a) Placer pour chaque ville sur l’axe (à l’échelle 1 : 2) Min, Max,

Med, x , Q1 et Q3.

b) Utiliser ces représentations pour décrire la dispersion des températures pour ces deux villes.

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................



7

Activité 4 : Conditionnement

Objectif : Savoir interpréter les paramètres de position et de dispersion.

Une usine de conditionnement produit des tubes de produits cosmétiques de 75 ml.

Pour cela deux chaines parallèles d’automates sont en place.

Le service qualité commande une enquête statistique sur le volume réel de produit conditionné dans les tubes. L’objectif est de procéder à une maintenance des automates en cas de nécessité.

Pour chaque chaîne, un échantillon de 100 tubes est prélevé.

Y’a-t-il besoin de réaliser une maintenance ?

Si oui, sur quelle chaîne de production ?

Les calculs statistiques donnent les résultats suivants :

Chaîne A Chaîne B

Volume moyen ( x ) 74,8 76

Volume médian (Me) 75 75

Premier quartile (Q1) 74,7 72

Troisième quartile (Q3)

75,5 80

1°) Pour chaque échantillon, placer les 4 indicateurs sur les droites graduées suivantes :

Chaîne A :

Chaîne B :

70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81

70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81


8

2°) Compléter le tableau suivant :

Chaîne A Chaîne B

Ecart moyenne-médiane

Ecart Q3 - Q1

Interprétation

La chaîne A produit des valeurs

bien groupées / très dispersées

La chaîne B produit des valeurs

bien groupées / très dispersées

3°) Quelle est la chaine de production qui a besoin d’être réglée ?

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................

.................................................................................................................................



9

Cours

� Les indicateurs de position et de tendance centrale

a) La moyenne x

Elle se calcule à l’aide de la calculatrice ou d’un tableur. Sa formule est :

x =ni xi∑N où ∑ ii xn signifie la somme de

tous les produits des ni avec leurs xi et N signifie l’effectif total.

b) La médiane Me

C’est la valeur du caractère qui partage la série statistique ordonnée en son milieu. Si la médiane tombe entre deux valeurs de la série, on prend alors la moyenne de ces deux valeurs.

2 Les indicateurs de dispersion

a) L’étendue

C’est la différence entre la plus grande valeur (maximum) et la plus petite valeur (minimum) du caractère. Etendue = Max - Min


b) Les quartiles

On partage l’effectif total en 4 partie égales :

Le premier quartile Q1 : C’est la valeur du caractère qui partage la série statistique ordonnée au niveau du premier quart.

Le deuxième quartile Q2 : la série statistique ordonnée en son milieu. C’est la médiane Me.

Le troisième quartile Q3 : C’est la valeur du caractère qui partage la série statistique ordonnée au niveau du

Le quatrième quartile Q4 :

Exemple :


On partage l’effectif total en 4 partie égales :

Le premier quartile Q1 : C’est la valeur du caractère qui partage ordonnée au niveau du premier quart.

Le deuxième quartile Q2 : C’est la valeur du caractère qui partage la série statistique ordonnée en son milieu. C’est la médiane Me.

Le troisième quartile Q3 : C’est la valeur du caractère qui partage la série statistique ordonnée au niveau du troisième quart.

Le quatrième quartile Q4 : C’est la valeur maximale du caractère.

10

Le premier quartile Q1 : C’est la valeur du caractère qui partage ordonnée au niveau du premier quart.

C’est la valeur du caractère qui partage la série statistique ordonnée en son milieu. C’est la médiane Me.

Le troisième quartile Q3 : C’est la valeur du caractère qui partage troisième quart.

C’est la valeur maximale du caractère.


11

Exercices

Exercice 1 : Lors d’un tournoi de tennis au stade Roland-Garros, une étude a été faite sur la vitesse des services effectués par les joueurs.

Les résultats de cette étude sont donnés dans le tableau suivant :

Vitesse v (km/h) Effectif n

[ 110 ; 130 [ 7750

[ 130 ; 150 [ 5750

[ 150 ; 170 [ 6250

[ 170 ; 190 [ 1700

[ 190 ; 210 [ 3000

[ 210 ; 230 [ 550

1°) Calculer la vitesse moyenne des services lors de cette quinzaine. Arrondir à l’unité.

2°) Déterminer le nombre de services dont la vitesse est supérieur à la vitesse moyenne. Exprimer ce résultat en pourcentage.

Exercice 2 : Ce diagramme en bâtons représente le nombre de SMS envoyés par une classe de seconde professionnelle au cours d’une journée.


12

1°) Construire le tableau suivant :

2°) Déterminer pour cette série statistique :

- La moyenne. Arrondir au dixième. - Le 1er quartile. - Le 3ème quartile. - La médiane. Exercice 3 : La répartition des habitants de la ville de Lyon selon leur âge en 1995 et 2005 est représentée dans le tableau suivant :

Age (années) 1995 2005

[ 0 ; 20 [ 88954 94252

[ 20 ; 40 [ 144404 164712

[ 40 ; 60 [ 92823 100059

60 ou plus 89298 86251

1°) On considère que 72 ans est représentatif de la dernière classe d’âge. Calculer l’âge moyen des habitants de la ville de Lyon en 1995 et 2005. Arrondir à l’unité.

Nombre de SMS envoyés xi

Effectif ni Fréquence (%) ni xi


13

2°) L’âge médian des habitants de la ville de Lyon est égal à 36,5 ans en 1995 et 35,6 ans en 2005. Indiquer la signification de ces valeurs.

3°) Peut-on dire que la population lyonnaise a rajeuni en dix ans ?

Exercice 4 : L’« Equipe magazine » a publié les salaires des 10 sportifs les mieux payés en France en 2016. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

1. Tony Parker (basket) : 19,9 M€

2. Karim Benzema (football) : 15,3 M€

3. Franck Ribéry (football) : 14 M€

4. Joakim Noah (basket) : 13,3 M€

5. Samir Nasri (football) : 11,9 M€

6. Nicolas Batum (basket) : 11,8 M€

7. Blaise Matuidi (football) : 11 M€

8. Paul Pogba (football) : 9,2 M€

9. Olivier Giroud (football) : 8,6 M€

10. Sébastien Ogier (rallye) : 7,7 M€

1°) Déterminer le salaire annuel médian de ces joueurs.

2°) Déterminer l’étendue.

3°) Déterminer le salaire annuel moyen de ces joueurs.

4°) Si Tony Parker gagnait annuellement 10 millions d’euros, déterminer les nouveaux indicateurs médiane, étendue et moyenne.

5°) Comparer les résultats dans les deux cas.


6°) Est-ce que quand il est annoncéemployés de votre entreprise va augmenterobligatoirement à l’augmentation de son salaire

Exercice 5 : Dans une usine, 4 machines identiques conditionnent des sachets de pâtes d’une masse égale à 500 g. Le service qualité mène l’enquête statistique sur la masse réelle des pâtes dans les paquets afin de procéder à un réglage éventuel des machines. Pour chaque machine, un échantillon de 1000 paquets est prélevé et mesuré. Les calculs statistiques effectués donnent les résultats cidessous :

1°) On a placé, pour la machine 1, les indicateurs sur une droite graduée. Compléter les autres axes pour les trois autres machines.

Masse

moyenne

x

Masse médiane

Me

1er quartile

Q1

Machine 1 500 500 475

Machine 2 506 504 503

Machine 3 498 499 497

Machine 4 494 498 470

2°) Comparer les résultats et en déduire quelles machines nécessitent seulement un petit réglage et lesquelles réparation.

3°) Associer chaque machine


quand il est annoncé : « Le salaire moyen des employés de votre entreprise va augmenter », il faut s’attendre obligatoirement à l’augmentation de son salaire ? Justifier.

Dans une usine, 4 machines identiques conditionnent s d’une masse égale à 500 g. Le service qualité

mène l’enquête statistique sur la masse réelle des pâtes dans les paquets afin de procéder à un réglage éventuel des machines. Pour chaque machine, un échantillon de 1000 paquets est prélevé et

alculs statistiques effectués donnent les résultats ci

On a placé, pour la machine 1, les indicateurs sur une droite graduée. Compléter les autres axes pour les trois autres machines.

quartile 3ème

quartile Q3

Axe

520

508

502

516

Comparer les résultats et en déduire quelles machines nécessitent seulement un petit réglage et lesquelles nécessitent une

Associer chaque machine à un des histogrammes suivants.

460 470 480 490 500

460 470 480 490 500

460 470 480 490 500

460 470 480 490 500

Q1 x Me

14

Le salaire moyen des », il faut s’attendre ? Justifier.

Dans une usine, 4 machines identiques conditionnent s d’une masse égale à 500 g. Le service qualité

mène l’enquête statistique sur la masse réelle des pâtes dans les paquets afin de procéder à un réglage éventuel des machines. Pour chaque machine, un échantillon de 1000 paquets est prélevé et

alculs statistiques effectués donnent les résultats ci-

On a placé, pour la machine 1, les indicateurs sur une droite graduée. Compléter les autres axes pour les trois autres machines.

Histogramme

Comparer les résultats et en déduire quelles machines nécessitent une

à un des histogrammes suivants.

510 520

510 520

510 520

510 520

Q3


15

Exercice 6 : Les tableaux ci-dessous présente les mesures de la concentration horaire moyenne en ozone (mesurée en microgramme par mètre cube d’air) durant une journée d’été, pour deux stations, l’une située à Aurillac dans le Cantal en Auvergne, l’autre à Nîmes dans la vallée du Rhône.

Heu

re

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Aur

illac

110

120

120

117

108

106

109

120

131

138

137

135

128

138

140

126

112

94

95

98

110

129

130

115

Nîm

es

23

21

15

12

17

21

36

87

119

142

161

179

184

190

190

198

215

212

183

160

134

109

89

68

Aur

illac

Nîm

es

1°) Pour chacune des deux stations, ordonner les mesures en ordre croissant dans les dernières lignes du tableau.

2°) Déterminer à l’aide du tableau précédent la médiane, l’étendue, le premier et le troisième quartile de la série de mesures.

3°) Indiquer sur quelle(s) station(s) ce jour-là :

a) La dispersion des mesures a été la plus importante ?

b) La moitié des mesures au moins ont été inférieures ou égales à 1273/ mgµ ?

c) 75% des mesures au moins ont été inférieures ou égales à 130 3/ mgµ ?


16

Exercice 7 : On organise un marathon réservé aux coureurs classés dans la catégorie « seniors ». La répartition sont les âges est la suivante :

Âge 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39

Effectif 5 8 9 11 7 9 6 10 6 9 13 10 8 11 15 11 12

1°) a) Quelle est la population étudiée ?

b) Quel est le type caractère étudié dans cette série ? Quantitatif ou qualitatif.

2°) Calculer l’effectif total des inscriptions.

3°) a) Combien de coureurs ont un âge inférieur ou égal à 32 ans ? Justifier par un calcul.

b) En déduire la médiane des âges.

4°) a) A l’aide de la calculatrice, calculer, en année, la moyenne des âges. Arrondir au centième.

b) Montrer que l’âge moyen correspond à 31 ans, 10 mois.

5°) La comparaison de la médiane et de la moyenne permet-elle de dire que la série est homogène ? Justifier.

6°) a) Calculer le pourcentage de coureurs âgés de 27 ans au moins.

b) En déduire la valeur du premier quartile.

c) Justifier le fait que le troisième quartile est de 36 ans.

L’étendue des âges étant importante, les organisateurs répartissent les récompenses en formant quatre groupes de même effectif, classé par ordre croissant d’âge. Voici les drôles de noms qu’ils leur ont donnés : les « bébés » ; les « gamins », les « ainés » et enfin les « anciens ».

7°) A l’aide des réponses aux questions précédentes, donner la classe d’âge de chaque groupe.


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Feuille de route

Activité 1 : Validée le ……………………….

Faire les exercices 1 et 2.




Faire l’exercices 5.




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Auto-évaluation des objectifs

Activité N°

Objectifs ☺ � �

Activité 1

Utiliser la calculatrice pour obtenir les paramètres d’une série statistique à une variable.

Déterminer un centre de classes

Calculer une fréquence

Activité 2

Comparer les indicateurs de tendance centrale.

Activité 3

Obtenir les paramètres de position et de dispersion avec un tableur.

Déterminer une médiane dans une série triée

Comparer des valeurs

Placer des nombres sur une échelle graduée

Activité 4

Savoir interpréter les paramètres de position et de dispersion.

Placer des nombres sur une échelle graduée

Calculer un écart

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poly paramètres de position et dispersion · série statistique à une variable. La consommation d’eau chargée en plomb peut provoquer des troubles du système cérébral, en