Poly Pont 2012 - SiteW.com€¦ · L'ouvrage est un pont en béton précontraint à 3 ou 4 travées, symétrique, construit par encorbellements successifs, à l'aide d'un équipage

Ecole Spéciale des Travaux Publics - Option T.P.3/R.O.

PROJET DE PONT

Partie 2/3

POA Pont en encorbellement

Auteurs : Aude PETEL - Gilles LACOSTE - Jean-Michel LACOMBE Suivi du projet : Gilles LACOSTE.

Pierre PERRIN Aude PETEL Florent PLASSARD

Août 2012

_____________________________________________________________________________ E.S.T.P.-T.P.3 / août 2012 Projet de Pont page 130

Lancement du Projet d'Ouvrage d'Art

1 - INTRODUCTION L'objet des applications 4 à 9 est la poursuite des études du projet au niveau du POA ( Projet d'Ouvrage d'Art ). Chaque équipe étudiera la solution d'ouvrage en béton précontraint construit par encorbellements successifs, à voussoirs coulés en place, esquissée lors de l'étude préliminaire. L'étude se déroulera donc en 5 séances, au cours desquelles les sujets suivants seront traités : AP 4 : Câblage de fléau ; AP 5 : Câblage de continuité intérieur ; AP 6 : Câblage de continuité extérieur ; AP 7 : Câblage de continuité extérieur (suite); AP 8 : Appuis ; AP 9 : Stabilité du fléau. A la fin de chacune des applications 4 à 8, les élèves remettent un résumé de leurs résultats, qui est corrigé par l'assistant et rendu à la séance suivante. Il doivent toutefois garder une copie de leurs calculs, pour pouvoir mettre au propre et compléter à domicile la note de calculs définitive. En fin de la neuvième séance les élèves rendent leur projet à leur assistant (avec le feuillet résumé n°9). La note de POA est la synthèse : - des notes individuelles obtenues pour chacune des applications 4 à 9 qui tiennent compte de l'assiduité, de l'intérêt pour le projet et du travail fourni ; - de la note de groupe obtenue à la suite de la correction du POA qui tient compte de critères purement techniques; La note de POA compte pour deux tiers dans la note finale du projet de pont.


2 - DOCUMENTS A REMETTRE POUR LE POA Le projet sera rendu dans une chemise à rabats au format A4 portant indication du nom des élèves, de celui de l'assistant, du numéro du projet et du groupe.

2.1 - Plans 1) - Coupe longitudinale de l'ouvrage sur 2 ou 3 format A3 accolés ; 2) - Coupe transversale du tablier avec superstructures, sur pile et à la clef d'une travée courante, au 1/50ème ; 3) - Détails des goussets avec dessins des câbles et des aciers passifs au 1/10ème ; supérieurs près de la pile, à l'extrémité du premier voussoir courant, inférieurs à la clef d'une travée courante. 4) - Plan de détail des dispositions prévues pour assurer la stabilité provisoire des fléaux au 1/20ème ( vue de dessus et de face ) et schéma de la pile ( face et profil ) ; 5) - Coupe longitudinale de votre culée rive gauche au 1/50ème ; 6) - Schémas de câblage de votre ouvrage, par familles de câbles, avec indications : - des cotes des câbles par rapport aux coffrages ; - du nombre et du type des câbles ; 7) - Plans d'un déviateur de la travée centrale et de l'entretoise du voussoir sur pile au 1/20ème ( coupe longitudinale et vue de face pour chaque, avec représentation des câbles extérieurs ) ; 8) - Plan de cinématique de construction sur format A3. Tous les plans seront dessinés soit à l'encre de chine à la main, soit sur Autocad, sur papier avec indications du nom des élèves, de l'assistant, du numéro du groupe et du projet.

2.2 - Note de calculs La note de calculs suivra la démarche des séances 4 à 8. Ce document comprendra :

- la table des matières ; - le rappel des hypothèses de calculs et des règlements utilisés ; - la description de l'ouvrage, de son câblage et des charges appliquées en construction et en

exploitation ; - la détermination du câblage de fléau ; - le calcul des efforts dus aux actions permanentes et variables ; - la détermination du câblage de continuité intérieur et extérieur ; - le calculs des appareils d'appuis définitifs ; - le calcul et la détermination des organes de stabilité provisoire des fléaux ; - la vérification des contraintes normales dans les sections d'études ; - Un résumé constitué de tous les feuillets rendus en applications mis au propre.

La note de calculs ne sera pas la simple juxtaposition de calculs ou de résultats de tableurs. Les numéros d'applications ne doivent pas apparaître. Elle devra expliquer les calculs effectués, tirer des conclusions des résultats obtenus et elle sera agrémentée de nombreux schémas explicatifs. L'évaluation finale des projets prendra en compte le soin apporté à sa rédaction et à sa présentation.

Rappel : Les mémoires et notes de calculs peuvent être écrits à la main.


Projet d'Ouvrage d'Art (P.O.A.)

Chapitre 1 Câblage de fléau


Câblage de fléau

1. - Données générales du projet

1.1 - Règlements et matériaux

1.2 - Conception de l'ouvrage

1.3 - Câblage de l'ouvrage

2. - Câblage de fléau

2.1 - Généralités

2.2 - Calcul des caractéristiques géométriques du fléau

2.3 - Evaluation des efforts de poids propre du fléau en console

2.4 - Evaluation des efforts dus aux charges de chantier

2.4.1 - Charges de chantier connues (QC1)

2.4.2 - Charges de chantier aléatoires (QC2 et QC3)

2.5 - Détermination de la précontrainte dans la section sur pile

2.6 - Détermination du nombre de câbles

2.7 - Détermination du nombre et de la longueur de voussoirs

2.8 - Dessin des goussets

2.9 - Affinage des calculs


1. - DONNEES GENERALES DU PROJET

1.1 - Règlements et matériaux Règlements : BAEL avec fissuration préjudiciable ; BPEL justification en classe 2 ; Eurocode 1 : pour les charges TS, UDL et de trottoirs ; Caractéristiques des matériaux : - béton : fc28 = 45 MPa , fcj = fc28 j / ( 4,76 + 0,83 j ) ; ftj = 0,6 + 0,06 fcj Eij = 11000 ( fcj ) 1/3 - aciers passifs : fe = 500 MPa ; - aciers de précontrainte : fprg = 1770 MPa , fpeg = 1580 Mpa Ep = 190000 MPa, f = 0,22 rd-1, φ = 0,002 m-1 Section 1 T 13 : 100 mm2 1 T 15 : 150 mm2 Sollicitations : - ELS : G + Pm + Q + 0,5 ∆θ avec Q = TS + UDL + Tr ; - ELU : G + Pm + 1,5 Q. avec Q = TS + UDL + Tr ∆θ : Gradient thermique 12 ° C (avec λ = 10-5 / ° C). Systèmes de précontrainte :

Câbles Ancrages

Unités Diamètre Section Rayon D (*) d (*) e (*)

gaines mini

(mm) (mm2) (m) (cm) (cm) (cm)

12 T 13 70 1200 6,00 22,5 27 13

12 T 15 80 1800 8,00 27 35 22

19 T 15 100 2850 8,00 35 38 27

(*) D, d et e sont définis par le schéma de la page suivante.


Disposition des plaques d'ancrages à l'about des pièces :

d

e

ed

D

D

Plaque d'ancrage

Ancrage et gaine de précontrainte

1.2 - Conception de l'ouvrage L'ouvrage est un pont en béton précontraint à 3 ou 4 travées, symétrique, construit par encorbellements successifs, à l'aide d'un équipage mobile. La cinématique de construction est la suivante :

- Construction de chaque fléau sur pile. Après bétonnage du voussoir sur pile, les voussoirs courants sont bétonnés dans les équipages mobiles accrochés de chaque coté du fléau. Dès que le béton a atteint la résistance nécessaire, une ou deux paires de câbles de fléau sont tendus et les équipages sont avancés d'un voussoir, jusqu'à achèvement du fléau ;


- Bétonnage sur chaque rive des parties coulées sur cintre, qui complètent les travées de rive ;

- Bétonnage du ou des deux clavages centraux ( cette phase sera négligée dans les calculs de poids propre ) ;

- Pose des équipements, sur la structure qui est maintenant calculée comme une poutre continue à 3 ou 4 travées. Le calcul des efforts de poids propre et d'équipement suivra ce mode de construction. Les sections de calculs sont indiquées sur le schéma ci-dessus.

1.3 - Câblage de l'ouvrage Le câblage de l'ouvrage comprend : - des câbles de fléau intérieurs au béton, - quelques câbles de continuité intérieurs au béton, - des câbles de continuité extérieurs au béton. Rôle des différentes familles de câble : � Câbles de fléau : Ils doivent reprendre sur pile, en construction, en fibre supérieure, les tractions dues aux moments négatifs de poids propre, d'équipage mobile et de charges de chantier. � Câbles de continuité intérieurs : Avant mise en tension des câbles de continuité extérieurs, ils doivent reprendre à la clef des travées centrales, l'effet du gradient thermique en fibre inférieure et s'opposer au retrait dans les voussoirs de clavage qui n'étaient pas encore précontraints.


Schéma d'un câblage de fléau et de continuité intérieur


Schéma d'un câblage de continuité extérieur au béton


� Câbles de continuité extérieurs : Ils reprennent sur pile les moments négatifs supplémentaires (équipements, charges d'exploitation, moments hyperstatiques éventuellement). Ils jouent le même rôle en travée pour les moments positifs dus aux mêmes actions auxquelles il faut ajouter l'effet du fluage. Ils doivent de plus, de part leur inclinaison, réduire l'effort tranchant près des piles, de façon à rendre admissibles les contraintes de cisaillement correspondantes. Puisque cette précontrainte est extérieure, le tracé du câble est défini par son passage entre les entretoises (sur pile ou sur culée) et par la position de déviateurs situés en travée ( 2, 4 ou plus). Le tracé du câble est rectiligne entre deux déviateurs. Le câble se trouve à l'intérieur du caisson, hors du béton, dans une gaine généralement en polyéthylène à haute densité.

ancrage sur pile déviateur en travée

La détermination des câblages de continuité intérieur et extérieur fait l'objet du chapitre 2.

2. - CABLAGE DE FLEAU

2.1 - Généralités La géométrie de l'ouvrage, qui est dictée par le mode de construction est la suivante :

h const

n lv vx L Γ r L vsp

L f

L r

L / 2 L α r L / 2

L f

n lv vx l vc

l vc/ 2

Géométrie longitudinale

En rive la longueur de hauteur constante est donc égale à : αααα L r = L r - L / 2 α L r est la distance de l'extrémité du fléau à l'axe d'appui de la culée ; ne pas confondre avec Γ L r qui est la longueur de la partie coulée sur cintre : ΓΓΓΓ L r = L r - L / 2 + l vc / 2 = L r - L f Les câbles de fléaux accrochent tous les voussoirs d'un fléau. Ils passent dans les goussets supérieurs de la coupe transversale. Pour les arrêter, on les descend légèrement dans les âmes, et on les ancre dans la tranche des voussoirs, soit dans les goussets supérieurs, soit dans les âmes si nécessaire. On peut aussi les ancrer dans des bossages situés en haut des âmes. Il y a donc au moins autant de paires de câbles de fléau que de voussoirs dans un demi fléau (au moins, car certains voussoirs peuvent être tenus par deux paires de câbles). D'autre part, tous les câbles de fléau passent dans les goussets des voussoirs sur pile.


Demi coupecourante

Demi coupesur pile

Demi voussoir témoin avec gaines pour câbles de fléau et gaines pour câbles de continuité

2.2 - Calcul des caractéristiques géométriques du fléau On doit calculer les caractéristiques des sections sur pile et à la clef: à la clef sur pile Surface B0 B1 Inertie I0 I1 Distance cdg/FS v0 v1 Distance cdg/FI v'0 v'1 On utilisera les épaisseurs de l'étude préliminaire pour un premier dégrossissage (Un rappel des dimensions de la coupe transversale du caisson est joint à la fin de ce texte). Rappel : • Inertie propre d'un rectangle et d'un triangle.


h

b

G x

b

Gh

x

G

YY

XX

d

Ix = b h3 / 12 Ix = b h3 / 36 Iyy = Ixx + S d2 • Section brute : Les sections brutes sont celles qui sont déterminées à partir des plans de coffrage. Ce sont les sections brutes qui servent à déterminer les efforts de poids propre et les inconnues hyperstatiques des poutres sur plusieurs appuis et aussi à calculer les flèches des ouvrages. • Section nette : On appelle section nette la section de béton de laquelle on déduit les trous de gaines. En pratique, on calcule :

. l'aire de béton en enlevant l'aire des gaines,

. l'inertie en déduisant le terme en B d2 des gaines et en négligeant leur inertie propre.

. on peut, en général, négliger les trous de gaines pour déterminer la position du centre de gravité. La section nette est utilisée pour calculer les contraintes dues aux efforts permanents (efforts de précontrainte, de poids propre et d'équipements ).

• Section homogénéisée :

On appelle section homogénéisée la section nette augmentée de la section des câbles de précontrainte, multipliée par un coefficient d'équivalence pris forfaitairement égal à 5. Cette section sert à calculer les contraintes dues aux charges variables (surcharges) dont la durée d'application est inférieure à 24 h.

Dans ce projet, nous n'utiliserons que les caractéristiques des sections brutes calculées par la méthode suivante :

On simplifiera la forme des sections transversales sur pile et à la clef en adoptant des épaisseurs constantes équivalentes à celles des dessins, pour le hourdis supérieur et les âmes si leur épaisseur varie. Le dévers transversal sera négligé. Les goussets triangulaires seront néanmoins conservés.

Le caisson sera décomposé en surfaces élémentaires :

G

v

v'

∆δ i

B i


Soit : ∆ un axe horizontal passant par la fibre inférieure Bi les surfaces de chaque partie composant la section δi la distance des centres de gravité de chaque partie à l'axe ∆ Hi le moment statique de la partie i par rapport à l'axe ∆ I0i l'inertie propre de la partie i. On a : B = Σ Bi Hi = Bi δi H∆ = Σ Hi v' = H∆ / B v = h - v' I∆ = Σ I0i + Σ Hi δi = Σ I0i + Σ Bi δi 2 IG = I∆ − H∆ v'

Ces calculs seront mis sous forme de tableau :

Num de l'élément

Surface distance à l'axe

moment statique

Inertie propre

terme d'Huyghens

Inertie totale

total B: H∆: I∆: On calculera également, pour la section sur pile, HG, moment statique de la partie de section située au dessus de G, par rapport à un axe parallèle à ∆ , passant par le centre de gravité G de la section entière.

2.3 - Evaluation des efforts de poids propre du fléau en console Tous les calculs d'efforts sont faits par rapport à l'axe de la pile. On fait les hypothèses suivantes: - Extrados supposé rectiligne horizontal - Intrados parabolique - Le poids des déviateurs de précontrainte extérieure est négligé dans le calcul (Ils peuvent d'ailleurs être bétonnés après réalisation du fléau) - Variation parabolique de la section de béton entre la section de clef et celle sur pile :

B 0 B 1x

M

V

L f

B(x) = B0 + ( B1 - B0 ) x2 / Lf 2


On en tire l'effort tranchant et le moment fléchissant à l'abscisse x :

V(x) = - γ [ B0 x + ( B1 - B0 ) x3 / 3 lf 2 ] V(lf) = - γ [ B1 + 2 B0 ] Lf / 3 M(x) = - γ [ B0 x2 / 2 + ( B1 - B0 ) x 4 / 12 Lf

2 ] M(l f) = - γ [ B1 + 5 B0 ] Lf

2 / 12 On pourra vérifier que l'épaisseur moyenne de l'ouvrage e suit à peu près la loi : e = 0,0035 L + 0,40 pour le prédimensionnement, on fait les hypothèses supplémentaires suivantes : - Distance entre appuis provisoires lap environ 3 m - Longueur du voussoir de clavage lvc environ 2 m - On appelle L la portée principale de l'ouvrage

fL l vc

l ap

On en déduit la longueur du demi fléau : Lf = ( L - lvc ) / 2

et Mpp = - γ ( 5 B0 + B1 ) Lf

2 / 12 avec γ = 25 10-3 MN/m3

2.4 - Evaluation des efforts dus aux charges de chantier

2.4.1 - Charges de chantier connues (QC1) Il s'agit du poids de l'équipage mobile dont la valeur est sensiblement égale à la moitié du poids du voussoir le plus lourd qu'il sert à bétonner ( Le poids de la charpente de l'équipage représente environ 65 % du poids total et celui de son coffrage à peu près 35 % ).

A ce stade du projet, la longueur des voussoirs n'est pas encore définie. Leurs poids sont donc inconnus, et on pendra Pem = 0,35 MN que l'on appliquera à dex = 1,5 m de l'extrémité du dernier voussoir du fléau. On a donc :


dex

fL Pemc1Q =

Mem = - ( Lf - dex ) x Pem

Exemples d'équipages mobiles (hauteur constante et hauteur variable)

2.4.2 - Charges de chantier aléatoires (QC2 et QC3) Pour couvrir les charges de chantier inconnues, on utilise : - une charge répartie (Qc2) de 200 N/m2 sur un demi fléau dans les cas courants ( Portée < 120 m ). Cette charge inclue l'effet du vent sous réserve que le site ne soit pas exposé ; - une charge concentrée (Qc3) de (50 + 5 b) KN (b: largeur du hourdis supérieur du caisson exprimée en mètre) appliquée en bout de fléau. Elle représente le poids des rouleaux de câbles, des compresseurs, etc.

l v

c2Q c3Q

fL fL

MQc = - ( b x 0,2 x Lf

2 / 2000 ) - (50 + 5 b ) x ( Lf - lv ) / 1000 ( en MN/m ) avec : Lf = (L - lvc ) / 2 et b : largeur du hourdis supérieur du caisson


( la longueur du voussoir lv n'est pas connue, on l'estime ici à 3,00 mètres )

2.5 - Détermination de la précontrainte dans la section sur pile En classe II du B.P.E.L., en construction dans la zone d'enrobage des câbles (ce qui est le cas de la fibre supérieure sur pile), et en utilisant les valeurs probables de la précontrainte dans les calculs, on doit avoir : σ > - 0,7 ftj + k x fcj avec ftj = 0,6 + 0,06 fcj et k = 0,02 à 0,04 (on prendra k = 0,02) avec fcj = fc28 j / ( 4,76 + 0,83 j ) ( fc28 voir en début de chapitre) On doit donc vérifier, dans la section sur pile, à la pose du dernier voussoir : σ sup = F / B + [ Mpp + Mem + MQc + F e0 ] v / I > - 0,7 ft28 + k x fc28 Avec e0 excentricité de la précontrainte, par rapport au centre de gravité ( e0 est positif, car les câbles passent en partie haute de la section dans les goussets du hourdis supérieur ). A ce stade du prédimensionnement, on prendra e0 = v - 0,2 m ( Il faudra ensuite disposer les câbles dans les goussets et corriger cette valeur éventuellement ). On en déduit F la force des câbles de fléau sur pile.

2.6 - Détermination du nombre de câbles Pour les gammes de portées étudiées, on peut utiliser des câbles 12 T 13, 12 T 15 ou 19 T 15. Ces câbles sont tendus à 0,80 x fprg et subissent 12 % de pertes instantanées et 6 % de pertes différées jusqu'à la fin de la construction du fléau (Quand l'ouvrage sera en service, les pertes différées des câbles de fléau atteindront 12%). Leur force utile en construction peut donc être estimée par : Fut = (1 - 0,18) x σp0 x s avec σp0 = Min ( 0,80 x fprg , 0,90 x fpeg ) fprg et fpeg limites de rupture et élastique et s section du câble (Cf. page 134). On obtient donc le nombre n1 de câbles : n1 = F / Fut ( arrondi à l'entier pair supérieur pour un caisson à deux âmes ) Cependant, on a besoin de cette précontrainte sur pile avant même d'avoir tendu les câbles du dernier voussoir ( pendant son bétonnage ). On a donc au total n = n1 + 2 câbles ( pour un caisson à deux âmes )

2.7 - Détermination du nombre et de la longueur des voussoirs La longueur du voussoir sur pile ( celui qui reçoit les cales d'appui provisoire ), est généralement comprise entre 5 et 8 m, et souvent supérieure à celle de deux voussoirs courants pour les ouvrages


coulés en place. On appelle lvsp sa longueur. Le voussoir de clavage a une longueur lvc égale ou inférieure à celle des voussoirs courants. Chaque voussoir courant doit être maintenu par au moins une paire de câbles de fléau. On en déduit la longueur lv des voussoirs courants : lv = ( L - lvsp - lvc ) / n

hp

L

n lv vx n lv vxl vsp l vsp

clavagevoussoir sur pile

l v

l vc

On doit avoir une longueur de voussoir comprise entre 2 et 4 mètres environ. Si tel n'est pas le cas, il faut changer d'unité de précontrainte.

2.8 - Dessin des goussets : Une fois connu le nombre de câbles de fléau, on peut dessiner plus précisément les goussets supérieurs en les engraissant si nécessaire et en tenant compte des aciers passifs à mettre en place. L'enrobage des gaines (couverture de béton) est égale à leur diamètre, plafonné à 8 cm (Cf. page 134). Leur espacement est égal à leur enrobage. On peut superposer deux câbles au maximum pour les 12T13 et les 12T15 ( on ne peut pas pour des câbles 19T15). Au dessus des âmes, ces espaces entre files de câbles constituent des cheminées de bétonnage et de vibration, qu'il faut disposer au mieux. Il faut prévoir environ 10 % de gaines vides dans les goussets. Les câbles correspondants seront mis en place et tendus uniquement si l'on constate en cours de mise en tension que les pertes par frottement sont très supérieures aux prévisions du projet.

2.9 - Affinage des calculs et vérification Il faut pour terminer reprendre tout le calcul depuis le début avec : - la nouvelle section (nouveaux goussets) - le bon excentrement de précontrainte e0 - un nouveau poids d'équipage mobile adapté au poids des voussoirs. Ce qui permet de calculer les contraintes sur les fibres supérieure et inférieure du caisson sur pile, en fin de bétonnage du dernier voussoir du fléau. Ce deuxième calcul permet en outre, de vérifier les calculs précédents. Rappelons que cette vérification se fait en fin de bétonnage du dernier voussoir alors que les derniers câbles qui doivent l'accrocher ne sont pas encore tendus. La vérification se fait donc avec le poids propre total du fléau, ses charges de chantier, le poids de l'équipage mobile, mais avec deux ou quatre câbles en moins selon le cas. En classe II du B.P.E.L., en construction, les contraintes limites sont les suivantes : Pour la fibre supérieure qui se trouve en zone d'enrobage des câbles, on doit avoir :


σ sup = F / B + [ Mpp + Mem + MQc + F e0 ] v / I > - 0,7 ft28 + k x fc28

avec ftj et fc28 donnés en page 134 et k donné en page 145 Pour la fibre inférieure, la compression est limitée à : σ inf = F / B - [ Mpp + Mem + MQc + F e0 ] v' / I < (0,6 - k) fc28 Schémas :

12.75

0. 2

4

5.04

0.2

5

Gousset 0.70 x 0 .30

Gousset 0.80 x 0 .15 Gousset 1.00 x 0 .15

1.58

0.30

2.5% raccordement parabol ique sur 1 .00

2.5% 0.2

2

3.2

0

0.2

6

3.2

7

Exemple de section transversale


Exemple de ferraillage de section transversale Passage des câbles de fléau à travers le masque

Exemples de Goussets supérieurs



Pont de La Flèche sur le Loir

Pont de Villeneuve sur Lot


Rappel des dimensions de la coupe transversale du caisson

La pente de l'âme est identique pour les sections à la clef et sur pile. La hauteur du caisson H varie généralement paraboliquement ( sommet de la parabole à la clef )

B - Fonction du profil en travers fonctionnel H - voir le tableau du paragraphe 2 du chapitre sur l'étude préliminaire. C - Environ B / 4 ( Maximum 4 mètres sinon prévoir des nervures transversales et une

précontrainte transversale ) D - Résistance Environ L / 275 + 1,25 B / L -0,125 ( L : Plus grande portée ) - Ancrage des câbles de fléau 2 fois la dimension de la plaque si l'on ancre des câbles

de fléau dans l'âme - Bétonnage de l'âme 2 ( e + 2 d + V ) + Φg et 30 cm minimum

avec : e enrobage des aciers passifs d diamètre des aciers passifs transversaux du hourdis inférieur V Cheminée de vibration Φg Diamètre de la gaine des câbles

Ec - Dépend de la position des aciers transversaux supérieurs du hourdis inférieur 2 Φg + d + e soit 18 à 25 centimètres à la clef

Ep - sur pile E varie de 40 à 80 cm F - 0,18 mètre avec un garde-corps, 0,23 m avec une barrière normale G - C / 8 < G < C / 7 ( vérifier aussi l'enrobage des câbles de fléau ) A - 0,10 + B / 100 I - généralement égal à G J - pente du gousset 30 degrés, longueur 0,30 à 0,70 m


FEUILLES

A RENDRE EN FIN D'APPLICATION ET

A INSERER DANS LA NOTE DE CALCUL DU POA


Equipe n° : ............. Noms : - - Schématisation de la section : -

Un gousset Sup : h = L =

Un gousset Inf : h = L =

e =

B =

e = a clef

e = a pile e = clef e = pile

L = i clef L = i pile

h = clef

h = pile

Nombre de travées : Portée de la travée principale : m Portée des travées de rive : et m Précision des calculs : 4 chiffres significatifs Section de clef Surface B0 : m2 Inertie I0 : m4 Distance cdg fibre sup v0 : m Distance cdg fibre inf v'0 : m Section sur pile Surface B1 : m2 Inertie I1 : m4 Distance cdg fibre sup v1 : m Distance cdg fibre inf v'1 : m Moment statique / G HG : m3 Moment dû au poids du fléau Mpp = MNm Moment dû à l'équipage mobile Mem = MNm Moment dû aux charges Qc2 et 3 MQc = MNm Poids de l'équipage mobile Pem = MN Excentricité de la précontrainte sur pile e0 : m Type de câbles choisi : Force totale calculée : MN Force par câble : MN Nombre total de câbles par fléau : Nombre de voussoirs courants par 1/2 fléau : Longueur du voussoir sur pile : m Longueur du voussoir de clavage : m Longueur du voussoir courant : m Vérification des contraintes a au bétonnage du dernier voussoir

Sig Sup Sig inf Actions (Mpa) (Mpa) Charges permanentes et de chantier Précontrainte Total



Equipe n° : ............. Noms : - - Schématisation de la section : -

Un gousset Sup : h = L =

Un gousset Inf : h = L =

e =

B =

e = a clef

e = a pile e = clef e = pile

L = i clef L = i pile

h = clef

h = pile

Nombre de travées : Portée de la travée principale : m Portée des travées de rive : et m Précision des calculs : 4 chiffres significatifs Section de clef Surface B0 : m2 Inertie I0 : m4 Distance cdg fibre sup v0 : m Distance cdg fibre inf v'0 : m Section sur pile Surface B1 : m2 Inertie I1 : m4 Distance cdg fibre sup v1 : m Distance cdg fibre inf v'1 : m Moment statique / G HG : m3 Moment dû au poids du fléau Mpp = MNm Moment dû à l'équipage mobile Mem = MNm Moment dû aux charges Qc2 et 3 MQc = MNm Poids de l'équipage mobile Pem = MN Excentricité de la précontrainte sur pile e0 : m Type de câbles choisi : Force totale calculée : MN Force par câble : MN Nombre total de câbles par fléau : Nombre de voussoirs courants par 1/2 fléau : Longueur du voussoir sur pile : m Longueur du voussoir de clavage : m Longueur du voussoir courant : m Vérification des contraintes a au bétonnage du dernier voussoir

Sig Sup Sig inf Actions (Mpa) (Mpa) Charges permanentes et de chantier Précontrainte Total




Chapitre 2 Câblage de continuité intérieur


DETERMINATION DU CABLAGE DE CONTINUITE INTERIEUR

L'objet de ce chapitre est de déterminer le câblage de continuité intérieur. Pour la détermination du câblage on se limitera à l'étude des sections ci-dessous. Il s'agit des sections sur pile, à la clé des travées courantes, et en bout de la partie coulée sur cintre pour les travées de rive (à une distance Γ Lr de l'appui sur culée).

S1 S2 S3

Numérotation des sections d'études - La longueur de la partie coulée sur cintre (ΓLr) est égale à la longueur de hauteur constante sur la travée de rive (αLr), plus la demi-longueur du voussoir de clavage (lvc/2).

h const

n lv vx L Γ r L vsp

L f

L r

L / 2 L α r L / 2

L f

n lv vx l vc

l vc/ 2

1 - PLAN DE LA NOTE DE CALCUL. La note de calcul relative aux câbles de continuité intérieurs s'articulera suivant le plan donné ci-après pour l'exposition de la méthode. 1.1 - Caractéristiques géométriques. A l'issue de la détermination du câblage de fléau les données suivantes sont connues : - B, I, v, v' pour la section sur pile - B pour la section à la clé Il faut donc calculer I, v, v' pour la section à la clé et on calculera également, pour la section sur pile , le moment statique de la partie se trouvant au dessus du centre de gravité.


Tous les éléments nécessaires à ces calculs sont donnés dans le chapitre "Câblage de fléau". 1.2 - Calcul préliminaire. Détermination de la matrice de calcul des moments sur piles. Il s'agit d'un calcul préliminaire à la détermination des efforts. On cherche la matrice [M] telle que les moments sur pile Mi et les chargements sur travées qi soient reliés par la relation :

[ ]

×=

4

3

2

1

3

2

1

q

q

q

q

M

M

M

M

(Cas du 4 travées)

1.3 - Calcul des moments dus au poids propre. Le moment dû au fléau en console est déjà connu. Il faudra le cumuler aux moments dus à l'effet des clavages, dont le présent document développe le calcul. Après ces calculs les moments de poids propre à vide avant fluage sont connus. 1.4 - Calcul des moments dus à un gradient thermique de 12°. Le gradient thermique, différence de température entre la fibre supérieure et la fibre inférieure du tablier, engendre des sollicitations dans une structure hyperstatique. Il doit être considéré comme une charge variable, la méthode de calcul est explicitée dans le document. 1.5 - Calcul du moment hyperstatique dû à la précontrainte intérieure de continuité. Ces câbles sont tendus en phase hyperstatique. On déterminera préalablement le moment hyperstatique correspondant. 1.6 - Détermination de la précontrainte intérieure de continuité. Le rôle de cette précontrainte (quelques câbles dans le gousset inférieur au milieu de travée) est de reprendre l'effet du gradient thermique pendant la construction, avant la mise en tension des câbles extérieurs. 2 - MATRICE DE CALCUL DES MOMENTS SUR PILES. 2.1 - Rappel sur le théorème des trois moments. Considérons la poutre sur appuis simples ci-dessous:

. . .1 2 3 i n

A0 A1 A2 A3 AnAi-1 Ai


Les inconnues sont les moments sur appuis M1, M2,... Mn (M0=Mn=0). Par application du théorème des trois moments (cf. cours de RDM), on obtient les équations résolvantes du problème : M0 = 0 (c1 + a2)M1 + b2 M2 = w'2 - w"1 b2 x M1 + (c2 + a3)M2 + b3 M3 = w'3 - w"2 ... ... bi Mi-1 + (ci + ai+1)M i + bi+1 Mi+1 = w'i+1 - w"i bn-1 Mn-2 + (cn-1 + an)Mn-1 = w'n - w"n-1

Mn = 0 avec :

Li : longueur de la travée i I : inertie de la travée i (éventuellement fonction de x) E : module d'Young de la travée i (éventuellement fonction de x) ai , bi , ci : coefficients de souplesse de la travée i w'i , w"i : rotations à l'origine et à l'extrémité de la travée i , rendue isostatique, sous l'effet des charges appliquées, avec les conventions ci-dessus.

( ) ( )a x Ldx

EIb

x

Lx L

dx

EI

LL= − = −∫∫ 1 1

00/ ² ; / ; ( )c x L

dx

EI

L= ∫ / ²

0

( )w x Ldx

E Iw x L

dx

E Iiso iso

LL' / ; " /= − − = ∫∫ M M1

00

2.2 - Coefficients de souplesse et des rotations is ostatiques

Pour les poutres d'inertie constante on trouve : a cL

EIb

a L

EI= = = =

3 2 6;

et les rotations isostatiques pour un chargement uniforme "p" sur la travée sont :

wp L

E Iw' "= − = −

3

24

Pour les poutres d'inertie variable à intrados parabolique deux méthodes sont utilisables :. On peut utiliser les tables de MARSAC pour le calcul de ai , bi , ci , w'i et w"i (cf. annexe). Pour les travées symétriques, l'utilisation des tables de MARSAC nécessite la connaissance du rapport des inerties des sections à la clef et sur pile. Il faut interpoler entre deux colonnes de la table. Pour les travées de rive, il faut également interpoler sur le paramètre α qui représente la longueur relative de hauteur constante dabs la travée : α = [Lr - L/2] / Lr .


On peut aussi calculer directement les valeurs des coefficients de souplesse et des rotations par les formules suivantes : A - Calculs préliminaires

On définit les grandeurs suivantes, utiles pour la suite :

++−

++=

2/321

13

12/32

2

23

2210

)x1(

x3x2

)x1(

x3x231)x,x(A

++

+−=

2/321

2/322

211)x1(

1)x1(

131)x,x(A

+−

+=

2/321

31

2/322

32

212)x1(

x

)x1(

x31)x,x(A

+−

++

++

+−=

2/321

2/322

21

22

213)x1(

1)x1(

131

x11

x11)x,x(A

B - Travée courante symétrique de hauteur variant paraboliquement

L

h oh 1

x

Io

I1

On considère une loi de variation d'inertie de la forme :

2/5

20 )

L

x21(K1I)x(I

−+= avec 1II

K4,0

0

1 −

=

Coefficients de souplesse

Tous calculs faits, les coefficients de souplesse ont les expressions suivantes :

2/30

L

0

2

)K1()K2(L

.EI61

EIdx)

Lx1(ca

++=−== ∫ ∫ +

=−=L

0 0 K1L.

EI61

EIdx)

Lx1(

Lxb

Rotations isostatiques pour une charge uniformément répartie :

L

q

K1qL

.EI241

EIdx)

Lx1(M"'

3

0

L

0iso +

−=−−=ω−=ω ∫


C - Travée de rive de hauteur variant paraboliquement L

αL

h o

h 1x

Io


( )( ) 2/52

0 LLLxK1I)x(I α−

α−+= avec 1II

K4,0

0

1 −

=

Seuls sont indispensables le coefficient c et la rotation "ω Coefficients de souplesse Tous calculs faits, le coefficient de souplesse c a l'expression suivante :

)AK

)1(A

K)1(2

A(KEI

)1(LEI3

LEIdx)

Lx(c 2

2

102

00

3L

0

2 α−+α−α+αα−+α==∫

avec )K,0(AA 00= ; )K,0(AA 11= ; )K,0(AA 22=

Rotations isostatiques pour une charge uniformément répartie :

L

q

0

43

3

3

2

2

1

2

03

0

32

8)

)1()1(3)1(3(

2

)1(

2"

EI

qLA

KKA

KA

KA

KEI

qLcqL ααααααααω −−+−+−+−−=

avec )K,0(AA 00= ; )K,0(AA 11= ; )K,0(AA 22= ; )K,0(AA 33=


2.3 – Calcul des moments sur piles Connaissant les coefficients de souplesse et les rotations on utilise les formules des 3 moments pour calculer les moments sur piles. Les résultats sont les suivants : A - Pont symétrique à 3 travées : c2 = a2 ; c1 = a3 ; a1 = c3

Mc a w w b w w

c a b11 2 2 1 2 3 2

1 2 2

=+ − − −

+ −( ) ( ' " ) ( ' " )

( )² ²

Mb w w c a w w

c a b22 2 1 1 2 3 2

1 2 2

=− − + + −

+ −( ' " ) ( ) ( ' " )

( )² ²

A - Pont symétrique à 4 travées : Les deux travées centrales étant elles-mêmes égales et symétriques : c2 = a2 = c3 = a3 ; b2 = b3 ; c1 = a4 ; a1 = c4

[ ]²b)a(ca2

)w"(w'b)w"(w'b)w"(w')a(cM

2212

34212223212 −+

−−−−−+=

Mw w b M

c aM

w w b M

c a12 1 2 2

1 23

4 3 2 2

1 2

=− −

+=

− −+

' ";

' "

2.4 – Calcul des efforts dans le tablier Calcul de Mi(x) :

Dans la travée i on a : Mi(x) = Miso,i(x) + Mi-1 (1- L

x) + Mi L

x

Calcul de l'effort tranchant :

Dans la travée i on a : T xdM

dx

M M

Liiso i i i

i

( ),= +

− −1

Réactions d'appuis : Au droit de l'appui Ai : Ri = Ti+1(+ε) - Ti(Li - ε) 2.5 - Détermination de la matrice [M]. A partir du paragraphe 2.3 ci-dessus on peut calculer la matrice [M] telle que :

[ ]M

M

M

M

q

q

q

q

1

2

3

1

2

3

4

=

(Cas du 4 travées)


Mi : moment sur l'appui i et qi : chargement de la travée i

Cette matrice servira à calculer les efforts sous chargement UDL, et sous l'action du poids des équipements.

3 - CALCUL DES MOMENTS DUS AU POIDS PROPRE. 3.1 - Phasage de construction. Le moment de poids propre est lié au phasage de construction. On additionne les suppléments de moments apportés par chaque phase de construction dans les 3 sections de calcul Cas du 3 travées

S 3

P 1

S 1 S 2

C 0 P 2

C 3

1 - Construction des fléaux (Moment M en S )

2 - Clavage des travées de rive (Moment supplémentaire M en S )

3 - Clavage central (moments négligés)

4 - Ouvrage terminé (somme des moments des phases précédentes)

pp 2

pp2 1

Cas du 4 travées Même cinématique, mais de plus on fera l'hypothèse très simplificatrice que l'on clave les deux travées centrales et que l'on passe sur appui définitif au milieu, simultanément. Le moment de la phase 1 a été calculé lors de la détermination du câblage de fléau. Les calculs des moments des phases 2 et 3 sont explicités ci-après.


3.2 - Effet d'une partie coulée sur cintre. En général une travée de rive est clavée après exécution du premier fléau. Son poids propre agit donc sur une structure isostatique (du moins après suppression d'éventuels dispositifs de stabilité provisoire du fléau). La longueur de la partie coulée sur cintre (Γ Lr) est égale à la longueur de hauteur constante sur la travée de rive (α Lr), plus la demi-longueur du voussoir de clavage (Lvc / 2). La section variant très peu sur la longueur Lvc / 2, on admettra qu'elle reste égale à B0 et on a alors B0 section constante sur la longueur ΓLr, et une charge p égale à γB0 sur la longueur ΓLr.

L r

x

R 1 S 1

S 2

R 0

S (x)

L r

Γ ×

p γ × B 0

=

Réactions d'appui : R0 = γ B0 Γ (1 - Γ/2) Lr R1 = γ B0 Γ² Lr /2 Moments fléchissants x ≤ Γ Lr M(x) = γ B0 [ Γ(1 - Γ/2) Lr x - x²/2] x ≥ Γ Lr M(x) = γ B0 Lr Γ² (Lr - x)/2 ; M(Lr) = 0 Efforts tranchants x ≤ Γ Lr T(x) = γ B0 [ Γ(1 - Γ/2) Lr - x] x ≥ Γ Lr T(x) = - γ B0 Lr Γ²/2 ; M(Lr) = 0 Remarque : Si la travée de rive était clavée dans une phase hyperstatique, le calcul des effets de son poids propre se ferait en suivant la méthode générale exposée ci-dessous (§ 3-3). 3.3 - Clavage des travées centrales. Dans le calcul du moment de poids propre, on négligera l'effet des clavages des travées centrales, car le poids du voussoir de clavage est faible. A titre d'information, l'opération de clavage peut être modélisée de la façon suivante : * application de 2 charges ponctuelles en bout de fléau (modélisant chacune le demi poids de l'équipage de clavage et du béton du voussoir de clavage)


clavage

P /2 + P /2em v P /2 + P /2em v

EM/2 + P/2 EM/2 + P/2

* application d'une charge répartie sur la structure rendue continue (un degré d'hyperstaticité supplémentaire) et enlèvement des charges ponctuelles précédentes

clavage

-P /2 - P /2em v -P /2 - P /2em v

Pv

4 - CALCUL DES MOMENTS DUS AU GRADIENT THERMIQUE. Le gradient thermique est une différence de température entre la fibre supérieure et la fibre inférieure du tablier (notée ∆θ ). La déformation ainsi créée engendre des efforts dans une structure hyperstatique. Les contraintes normales dans l'ouvrage doivent être vérifiées dans les deux cas suivants : - à vide avec un gradient thermique de 12° C (y compris pendant la construction) - en service (avec charges d'exploitation) avec un gradient thermique de 6° C. Le théorème des trois moments permet le calcul des moments correspondants à partir des rotations isostatiques données ci-dessous ( λ = 10-5 est le coefficient de dilatation thermique du béton). Le calcul est fait avec le module instantané. Le moment dû au gradient thermique est positif et crée donc une traction en fibre inférieure à la clé.

S 3

M

GT

P 1 S 1

S 2

C 0 P 2

C 3

Moment dû au gradient thermique dans le cas du trois travées symétriques


4.1 - Travée de hauteur constante.

w wh

L' " .= − =

λ ∆θ2

4.2 - Travée de rive de hauteur variable. Pour la travée de rive de gauche on a :

( )w

L

h

L

h h h

h h

h

h

h hLn

h

hr r"

²

( )= − −

−

+−

−

−

−λ∆θ α λ∆θ αα

α2

1 1

20 0 1 0

1 0

0

0

1 0

1

0

Arctg

α : coefficient des tables de Marsac (cf. Chapitre 1 sur les câbles de fléau). Lr : longueur de la travée de rive. 4.3 - Travée courante symétrique de hauteur variable (variation parabolique de l'intrados).

( )w w

L

h h hArctg

h h

h' " .= − =

−

−

λ∆θ

2 0 1 0

1 0

0

; L : longueur de la travée courante.

5 - CALCUL DU MOMENT HYPERSTATIQUE DE LA PRECONTRAINTE INTERIEURE DE CONTINUITE 5.1 - Généralités - Conventions de signe. Le rôle de ces câbles est de reprendre l'effet du gradient thermique en construction, soit ∆θ = 12°C, cumulé au retrait partiel du fléau. On considérera qu'ils règnent sur une longueur βL (0,25 ≤ β ≤ 0,33). Les câbles de continuité des travées courantes (hors travées de rive) sont tendus en phase hyperstatique et il est demandé de les déterminer en faisant le calcul du moment hyperstatique de précontrainte. Un câble de précontrainte tendu en phase hyperstatique a deux effets : - un effet dit "isostatique" (Miso = F e0 avec F force de précontrainte et e0 excentricité), qui dépend pour une section donnée de la position du câble dans la section et qui n'intéresse donc que les sections traversées par le câble, - un effet dit "hyperstatique" (Mhpi) qui dépend du tracé de l'ensemble du câble et qui intéresse donc toutes les sections, y compris celles non traversées par celui-ci.

+

câble Moment hyperstatique de précontrainte dans le cas du 3 travées


+

câble câble Moment hyperstatique de précontrainte dans le cas du 4 travées

Pour calculer les moments hyperstatiques, on utilise la méthode des trois moments en déterminant les rotations isostatiques comme indiqué ci-dessous. Les conventions de signe sont les suivantes :

σ = +N

SM

y

I

Pour la précontrainte le moment isostatique est donc F e0 avec e0 positif lorsque le câble est au dessus du centre de gravité. Pour la fibre supérieure on a y = v et pour la fibre inférieure on a y = -v' ; v et v' sont en effet des valeurs absolues. 5.2 – Calcul des rotations isostatiques sous l'effet des câbles. On fait l'hypothèse simplificatrice que l'épure d'effort normal est rectangulaire et que le câble moyen règne dans les travées courantes sur une longueur βL.

L

h oh 1

x

Io

I1


2/5

20 )

L

x21(K1I)x(I

−+= avec 1II

K4,0

0

1 −

=

Les câbles de précontrainte intérieure de continuité règnent sur une longueur βL :


L

βL

Feo

Les câbles suivent la fibre inférieure et leur excentricité est donnée par :

0

01

2

00 h

hhδavec

L

x21δ1e(x)e

−=

−+= et e0 = - v0' + 0,20 m (v0' > 0)

On a donc :

2/32

2

0

0

2/)1(L

2/)1(L 0 )K1(

))K2(3(L

IE6

1eF

IE

dx

L

xeF"'

β+βδ++β−=−=ω−=ω ∫

β+

β−

La connaissance des rotations isostatiques permet de déterminer les moments hyperstatiques de précontrainte par les formules données précédemment. Comme on ne connaît pas la force de précontrainte, on ne peut pas calculer directement Mhpi, on se contente pour le moment de déterminer un coefficient λ tel que :

M F ehpi clé= × ×λ 0 avec λ < 0

M > 0HpiM

6 - DETERMINATION DE LA PRECONTRAINTE INTERIEURE DE CONTINUITE. Les calculs étant effectués avec une valeur moyenne de la précontrainte (Pm), on doit vérifier en construction, : σi ≥ σt et σt = -0,7 ftj + k x fcj . où "j" est l'âge du béton : En fait il s'agit d'une simplification. Le B.P.E.L. indique que lorsque cette condition n'est pas vérifiée, mais que l'on a quand même σi ≥ -0,7 ftj , il convient de faire une vérification locale en retenant P1 et P2 au lieu de Pm. On retiendra : - j égal 5 jours pour le béton du voussoir de clavage de la travée courante lors de la mise en

tension des câbles de continuité de la travée courante ; - j égal 14 jours pour le béton du voussoir de clavage de la travée de rive lors de la mise en

tension des câbles de continuité de la travée courante. Le béton de la travée de rive est plus âgé car le clavage y est réalisé plus tôt.


Le coefficient k est compris entre 0,02 et 0,04 (Art. 4.10 du BPEL 91), On conservera la valeur du coefficient k donnée au chapitre 4. Les vérifications sont effectuées sur le schéma statique final, avant la mise en tension des câbles extérieurs et la pose des équipements. Pour calculer σi, on prendra les effets suivants :

- travée courante : poids propre, précontrainte intérieure des travées courantes (effets isostatique et hyperstatique), gradient thermique de 12°C; - travée de rive : poids propre, précontrainte intérieure de la travée de rive (effet isostatique), précontrainte intérieure des travées courantes (effet hyper), gradient thermique de 12°C. On ne retient que l'effet isostatique de la précontrainte intérieure, car après mise en tension de celle-ci la structure passe par une phase isostatique dans laquelle les effets hyperstatiques disparaissent. On trouvera ainsi deux forces de précontrainte, Ftr pour la travée de rive et Ftc pour la travée courante. L'unité des câbles sera la même que celle du câblage de fléau et le nombre de câbles par travée sera pair et supérieur ou égal à deux. La force par câble sera calculée en tenant compte de 10 % de pertes (pertes instantanées plus une faible partie des pertes différées). On rappelle que la tension du câble à la mise en tension, donc avant toute perte, est égale à Min(0.8 fprg , 0.9 fpeg).

Exemple d'ancrage d'un câble de continuité 12T15 dans un caisson


Autre exemple de gousset inférieur :

0.035HA20

HA16

HA16

HA12

HA12 HA12

Cadre HA10

0.030

0.030


FEUILLES A RENDRE EN FIN D'APPLICATION ET



APPLICATION 5

DETERMINATION DE LA PRECONTRAINTE DE CONTINUITE INT ERIEURE

( feuille à rendre en fin de séance )

*** PROJET n°

*** Equipe n°

1 - Caractéristiques de l'ouvrage

Nombre de travées

Portée des travées de rive mètres

Portée de la travée courante mètres

Coefficients alpha ( tables de Marsac )

Coefficien ts Gamma ( Sections de calcul en rive)

Section a la clef : B0 = m² I0 = m4

Section sur pile : B1 = m² I1 = m4

2 - Matrice de calcul des moments sur pile

M1 q1 M2 = x q2 M3 q3 q4

3 - Calcul des moments de poids propre

Moments sur appuis P1 P2 P3 Fléaux Clavage de rive Clavage central fin de construction

Moments à la clé travée 1 travée 2 travée 3 travée 4 Fléaux Clavage de rive Clavage central fin de construction


4 - Moments dus à un gradient thermique de 12°C

Moments sur piles P1 P2 P3

Moments à la clé travée

1 travée

2 travée

3 travée

4

5 - Moments hyperstatiques de la précontrainte inté rieure de continuité

Type de câbles choisi : Force par câble : MN Sigma limite

(centre) : MPa

Rapport Béta (lcab/L) : Sigma limite (rive) :

MPa

e0r exc. travée de rive : Distance du câble

à la FI :

e0c exc. travée de centrale : Distance du câble à la FI :

Mhpi = λ x F e0 P1 P2 P3

valeur de λ :

6 - Détermination de la précontrainte intérieure de continuité

préc. intérieure travée 1

travée 2

travée 3

travée 4

F préc. Calculée nombre de câbles calculés

nombre de câbles choisis



APPLICATION 5

DETERMINATION DE LA PRECONTRAINTE DE CONTINUITE INT ERIEURE

( feuille à insérer en annexe à la note de calcul d u POA )

*** PROJET n°

*** Equipe n°

1 - Caractéristiques de l'ouvrage

Nombre de travées

Portée des travées de rive mètres

Portée de la travée courante mètres

Coefficients alpha ( tables de Marsac )

Coefficients Gamma ( Sections de calcul en rive)

Section a la clef : B0 = m² I0 = m4

Section sur pile : B1 = m² I1 = m4

2 - Matrice de calcul des moments sur pile

M1 q1 M2 = x q2 M3 q3 q4

3 - Calcul des moments de poids propre

Moments sur appuis P1 P2 P3 Fléaux Clavage de rive Clavage central fin de construction

Moments à la clé travée 1 travée 2 travée 3 travée 4 Fléaux Clavage de rive Clavage central fin de construction


4 - Moments dus à un gradient thermique de 12°C


Moments à la clé travée

1 travée

2 travée

3 travée

4

5 - Moments hyperstatiques de la précontrainte inté rieure de continuité

Type de câbles choisi : Force par câble : MN Sigma limite

(centre) : MPa

Rapport Béta (lcab/L) : Sigma limite (rive) :

MPa

e0r exc. travée de rive : Distance du câble à la FI :

e0c exc. travée de centrale : Distance du câble à la FI :

Mhpi = λ x F e0 P1 P2 P3

valeur de λ :

6 - Détermination de la précontrainte intérieure de continuité

préc. intérieure travée 1

travée 2

travée 3

travée 4

F préc. calculée nombre de câbles calculés




TABLES DE MARSACTABLES DE MARSACTABLES DE MARSACTABLES DE MARSAC


COEFFICIENTS DE SOUPLESSE ET

ROTATIONS ISOSTATIQUES D'EXTRÉMITÉ

SOUS UNE CHARGE RÉPARTIE

DE DENSITÉ CONSTANTE DISPOSÉE

PAR TRAVÉE ENTIÈRE

TRAVÉE DE RIVE

α = 0 ; α = 0,1 ; α = 0,2 ; α = 0,3

h const

L r

α I 0

L r I 1

TRAVÉE SYMÉTRIQUE

L

I 0 I 1


Cas de la travée de rive

Lr Portée de la travée de rive αααα Rapport entre la longueur de hauteur constante et la

portée I0 Inertie de la partie de hauteur constante sur culée I1 Inertie du tablier sur pile

p Charge uniforme de la travée de rive E Module du béton a, b, c Coefficients de souplesse de la travée ωωωω" Rotation de droite (sur pile) sous la charge p

Interpoler entre les valeurs de I0 / I1 puis entre les valeurs de α αααα = 0,00

I0 / I1 1,00 0,50 0,40 0,30 0,20 0,15 0,12 0,10 0,08 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 E I0 a / Lr 0,3333 0,3103 0,3029 0,2934 0,2802 0,2709 0,2637 0,2579 0,2509 0,2420 0,2364 0,2296 0,2210 0,2092 0,1898 E I0 b / L r 0,1667 0,1350 0,1261 0,1153 0,1015 0,0927 0,0863 0,0814 0,0757 0,0689 0,0649 0,0603 0,0548 0,0478 0,0378 E I0 c / L r 0,3333 0,2199 0,1924 0,1619 0,1269 0,1068 0,0934 0,0837 0,0732 0,0616 0,0552 0,0483 0,0407 0,0319 0,0210 E I0 ωωωω" / (p L r

3) 0,04167 0,03142 0,02864 0,02537 0,02133 0,01882 0,01706 0,01574 0,01424 0,01251 0,01151 0,01038 0,00908 0,00751 0,00538

αααα = 0,10


3) 0,04167 0,03242 0,02987 0,02686 0,02309 0,02073 0,01906 0,01778 0,01634 0,01464 0,01366 0,01254 0,01123 0,00961 0,00736


αααα = 0,20


3) 0,04167 0,03353 0,03126 0,02856 0,02515 0,02298 0,02144 0,02025 0,01890 0,01729 0,01635 0,01527 0,01400 0,01240 0,01012 αααα = 030


3) 0,04167 0,03475 0,03279 0,03046 0,02747 0,02556 0,02418 0,02312 0,02190 0,02044 0,01957 0,01858 0,01739 0,01588 0,01369

Cas de la travée centrale symétrique

L Portée de la travée symétrique I0 Inertie de la partie de hauteur constante sur culée I1 Inertie du tablier sur pile

p Charge uniforme de la travée centrale E Module du béton a, b Coefficients de souplesse de la travée ωωωω' Rotation de gauche sous la charge p

Interpoler entre les valeurs de I0 / I1

I0 / I1 1,00 0,50 0,40 0,30 0,20 0,15 0,12 0,10 0,08 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 E I0 a / L 0,3333 0,2550 0,2349 0,2119 0,1842 0,1674 0,1558 0,1470 0,1372 0,1258 0,1192 0,1117 0,1030 0,0922 0,0769 E I0 b / L 0,1667 0,1451 0,1388 0,1310 0,1208 0,1140 0,1091 0,1052 0,1006 0,0949 0,0915 0,0875 0,0827 0,0762 0,0664 - E I0 ωωωω' / (p L 3) 0,04167 0,03627 0,03469 0,03275 0,03020 0,02851 0,02727 0,02629 0,02514 0,02374 0,02289 0,02189 0,02066 0,01905 0,01659


Annexe 3 : Récapitulatif des efforts dans la structure et détermination des différentes familles de câbles 1 - Moment de poids propre des fléaux : ==> nf câbles de fléau en section S2

ppML Lr L r

S1 S2 S3

2 - Moment de la partie coulée sur cintre :

pp2M

ΓLLr L r

S1 S2 S3

3 - Moment du au clavage central : On le néglige

G3Mvc

0,5 P 0,5 P

4 – Gradient thermique : Elévation de température de la fibre supérieure

GTM > 0

5 – Mt hyper des câbles de continuité centraux ==> ntc câbles en S3 et ntr câbles en S1

hM = K Ftc

tcn câblestrn câbles

Lβ

S1 S2 S3

joursjpour

trn

14

liminf

=

==>σ≥σ

joursjpour

tcn

5

liminf

=

==>σ≥σ

6 – Equipements : charge uniforme qs (poids des trottoirs et de la chaussée)

qsM 7 – Charges d'exploitation : Véhicules UDL et TS + piétons sur trottoirs

TsUDL + piétons sur travées 1 et 2

miniM

Ts

UDL + piétons sur travée 3

maxiM

8 – Fluage :

flM > 0

9 – Mt hyper des câbles extérieurs ==> nc1 câbles en travée 1 –nc2 câbles en travée 2 - nc1 câbles en travée 3

hM = % M

cen câblescen câbles

S1 S2 S3 iso clef

inilàserviceen

cen

inf'

liminf ==>σ≥σ pour S2, puis S1 et S3



Chapitre 3 Câblage de continuité extérieur


DETERMINATION DU CABLAGE DE CONTINUITE EXTERIEUR

L'objet de ce chapitre est de déterminer le câblage de continuité extérieur et de finir l'étude de la flexion générale et de l'effort tranchant. 1 - PLAN DE LA NOTE DE CALCUL. La note de calcul s'articulera suivant le plan donné ci-après pour l'exposition de la méthode. A l'issue des calculs précédents, vous connaissez : - le câblage de fléau, - le câblage de continuité intérieur, - la matrice donnant les moments sur pile pour des chargements uniformes des travées, - l'effet du gradient thermique. Il reste à effectuer les calculs suivants : 1.1 - Calcul des moments dus au poids des superstructures. Détermination de façon précise du poids au mètre linéaire des superstructures et calcul des moments correspondants. 1.2 - Calcul des moments dus aux charges d'exploitation. Les charges d'exploitation, ici les charges routières et de trottoirs, sont définies par le document français appelé "titre II fascicule 61". Cependant, ce texte sera prochainement remplacé par la partie 3 du règlement européen appelé "Eurocode 1". Les charges d'exploitation considérées dans ce projet seront celles de l'Eurocode 1. Pour le type d'ouvrage étudié, ce sont les charges du "modèle de charge 1" (représentant le poids des voitures et des camions), éventuellement augmentées des charges de trottoirs (représentant le poids des piétons) qui seront déterminantes. 1.3 - Calcul des moments dus au fluage. Il est dû à la méthode de construction par phases. Le moment de fluage sera pris en compte de façon forfaitaire comme expliqué plus loin. 1.4 - Détermination de la précontrainte extérieure - Calcul effort tranchant. Il s'agira de déterminer la précontrainte extérieure nécessaire et la position des déviateurs, qui conditionne l'inclinaison des câbles, afin de satisfaire aux deux conditions suivantes : - ne pas dépasser les contraintes normales admissibles, pour l'ouvrage en exploitation, - ne pas dépasser les contraintes de cisaillement admissibles (par souci de simplification, on se limitera en fait à vérifier que le cisaillement est inférieur à 2,5 MPa). Moyennant les hypothèses simplificatrices exposées plus loin, vous déterminerez la force de précontrainte nécessaire pour vérifier la flexion longitudinale à la clé en fibre inférieure dans les travées courantes et dans les travées de rive. Vous déterminerez également la position du déviateur nécessaire pour vérifier la condition sur le cisaillement.


1.5 - Vérification sur pile. Une fois déterminée la précontrainte nécessaire aux clavages des travées centrales et de rive, vous vérifierez que les contraintes normales en service sont admissibles sur pile en fibre supérieure. 2 - CALCUL DES MOMENTS DUS AUX SUPERSTRUCTURES. A partir du plan de superstructure de l'ouvrage et des données ci-dessous, on peut calculer le poids propre au mètre linéaire des superstructures (équipements et enrobé) et en déduire les moments correspondants (§ 2). Voici les poids volumiques ou linéiques de quelques éléments courants : - enrobé : 24 kN/m3 (à majorer par 1.4) - chape d'étanchéité : 22 kN/m3 (à majorer par 1.2) - bordure T1 : 0,53 kN/ml - garde-corps : 0,20 kN/ml - corniche métal : 0,30 kN/ml - BN 1 : 5,20 kN/ml - BN 4 : 0,70 kN/ml - Glissière : 0,20 kN/ml A noter que le poids du trottoir intervient dans le calcul du poids propre des superstructures. 3 - CALCUL DES MOMENTS DUS AUX CHARGES D'EXPLOITATI ON. Les charges de trottoirs sont censées représenter les piétons. Les charges du "modèle de charge 1" de la partie 3 de l'Eurocode 1 sont censées représenter les voitures et les camions. Elles sont constituées de charges réparties et de charges ponctuelles qui sont cumulées. Nombre de voies de circulation La largeur chargeable est la largeur entre "bute-roue". C'est la largeur entre bordures de trottoirs s'ils existent, sinon con considère que c'est la largeur entre barrières e sécurité. Le nombre de voie est égal à la partie entière du quotient entre la largeur chargeable et une largeur de voie de 3 mètres. On définit ainsi un certain nombre de voies de circulation de 3 mètres de large et une zone restante appelée "aire résiduelle". On appelle voie 1 la voie donnant l'effet le plus défavorable vis-à-vis du phénomène considéré, et ainsi de suite pour les autres voies. Charges routières réparties (appelées UDL) Les charges réparties sont placées entre les zéros des lignes d'influence de la façon la plus défavorable. La première voie est chargée avec une intensité de 0,9 t/m². Les autres voies et la zone résiduelle sont chargées avec une intensité de 0,25 t/m².


Charges routières ponctuelles (appelées TS) Les charges ponctuelles sont constituées de 2 essieux espacés de 1,20 mètre. L'intensité de chaque essieu varie en fonction de la voie considérée : - voie 1 : 30 t par essieu (60 t au total) - voie 2 : 20 tonnes par essieu (40 t au total) - voie 3 : 10 tonnes par essieu (20 t au total) - autres voies : pas de charges ponctuelles Ces valeurs intègrent les coefficients de majoration dynamique. Attention : il ne peut y avoir qu'une seule série de tandem TS sur l'ouvrage Charges de trottoirs Les trottoirs sont chargés en zéros des lignes d'influence de la façon la plus défavorable avec une charge répartie d'intensité 0,25 t/m². Classe de trafic A chaque ouvrage est associé une classe, fonction de l'intensité du trafic supporté par l'ouvrage. Il existe 3 classes de trafic (on prendra la classe 2). En fonction de la classe de trafic les valeurs caractéristiques des charges routières définies ci-avant doivent être pondérées par les coefficients suivants :

charges ponctuelles charges réparties UDL 1° voie autres voies 1° voie autres voies et

aire résiduelle 1° classe 1 1 1 1 2° classe 0,9 0,8 0,7 1 3° classe 0,8 0,5 0,5 1

(ces coefficients ne s'appliquent pas aux charges de trottoir)

____________

Calcul des moments maximum et minimum sur pile et à la clé. Pour calculer les moments maximun et minimum dans les sections d'études, les cas de charge à considérer sont les suivants : • Section de clef de la travée centrale (S3)

S 3

T S

M max

M min

T S

U DL

U DL U

DL


• Section S2 sur pile P1

S 2

T S

T S

U

DL M max

M min U

DL

• Section de clef de la travée de rive (S1) :

S 1

T S U

DL

M max

M min

U

DL

T S U

DL

1°) effet des charges réparties appliquées entre zéros des lignes d'influence On calcule la charge au mètre linéaire correspondant aux cas de charge étudiés et on en déduit les moments maximum et minimum sur pile et à la clé pour les charges routières de type UDL et pour les charges de trottoir à l'aide de la matrice des moments sur piles en fonction des différents cas de charge. 2°) effet des charges ponctuelles Pour calculer les moments maximum et minimum sur pile et à la clé on procède comme suit :. hypothèses simplificatrices a - les deux essieux espacés de 1,2 mètres seront modélisés comme une charge unique appliquée au milieu des deux essieux. b - cette charge ponctuelle sera appliquée uniquement au milieu de chaque travée (travées de rive et travée centrale).

Les rotations isostatiques nécessaires à l'application du théorème des 3 moments sont

données par les formules : [ ]∫

−−= L

0 (x)IE

dxM(x)

L

x1w'

[ ]∫=L

0 (x)IE

dxM(x)

L

xw"

Pour les travées centrales, ces rotations pourront être calculées par exemple par la méthode des trapèzes, en considérant la fonction I(x) suivante :

I x I Kx

Loù K

I

I( )

/ ,

= + −

=

−0

2 5 2

1

0

0 4

1 12

1

et en décomposant la longueur L en dix intervalles. Du fait de la symétrie des charges (et donc de M(x)) et des inerties, on a w"w' −=


Pour la travée de rive droite, il n'y a plus symétrie pour les inerties et l'on calculera w w' " et en considérant 2 zones d'intégration :

0 < x ≤ (1-Γ) Lr 1I

IKoù

L

x21K1II(x)

0,4

0

1

5/22

0 −

=

−+=

avec L longueur de la travée centrale (1-Γ) Lr < x ≤ Lr I(x) = I0 Pour la travée de rive gauche, on prendra les opposés des rotations obtenues pour la travée de rive droite. 4 - CALCUL DES MOMENTS DUS AU FLUAGE. A la fin de la construction l'état de contrainte dans l'ouvrage dépend (presque) uniquement du phasage de construction (état S1). Cependant, sous l'effet du fluage, l'ouvrage tend à "perdre la mémoire de sa construction" partiellement et l'état de contrainte tend vers ce qu'il aurait été si l'ouvrage avait été coulé sur cintre (état S2). En fait, après fluage, l'ouvrage se situe environ à mi-chemin de ces deux états, on écrit

alors : S S= +1

2 1 2(S ) . Toutefois, les programmes de calculs actuels permettent de prendre

en compte une loi de fluage scientifique plus rigoureuse. Les vérifications doivent évidemment être menées avant fluage (c'est à dire à la mise en service) et après fluage (temps ∞). Le moment de fluage est positif et crée donc une traction en fibre inférieure à la clé.

+

Moment de fluage dans le cas d'un pont symétrique à trois travées Pour simplifier les calculs, l'ouvrage sera dimensionné en considérant que le fluage crée une contrainte de traction de 1,5 MPa en fibre inférieure à la clé de la travée centrale. Cette valeur de traction permettra de calculer le moment de fluage. Dans le cas des ouvrages à quatre travées, on supposera pour simplifier que le moment de fluage est constant sur les travées courantes

+

Moment de fluage simplifié dans le cas d'un pont symétrique à quatre travées


5 - DETERMINATION DE LA PRECONTRAINTE DE CONTINUITE EXTERIEURE. 5.1- Généralités. La détermination de la précontrainte extérieure est une opération délicate qui nécessite plusieurs itérations. La précontrainte extérieure doit vérifier plusieurs conditions : 1) Sur pile, la précontrainte intérieure en place (câblage de fléau) ne reprend que le poids propre de la structure. La précontrainte extérieure doit donc s'opposer aux effets : • des superstructures • des charges d'exploitation routières et de trottoir 2) A la clé, la précontrainte intérieure en place ne reprend que l'effet du gradient thermique en construction. La précontrainte extérieure doit donc s'opposer aux effets : • des superstructures • des charges d'exploitation routières et de trottoir • du fluage 3) De plus, un câble incliné réduit l'effort tranchant. La précontrainte extérieure doit permettre de ramener en tout point les contraintes de cisaillement d'effort tranchant à un niveau admissible. Le calcul sera mené de façon à satisfaire aux trois conditions ci-dessus. Toutefois, afin d'éviter un trop grand nombre d'itérations on retiendra un certain nombre d'hypothèses très simplificatrices. 5.2- Hypothèses simplificatrices. Pour les câbles de précontrainte extérieurs, on ne calculera pas les moments hyperstatiques comme cela a été fait pour les câbles de continuité intérieurs, mais on appliquera les simplifications ci-dessous. Généralement, pour les câbles de continuité, le moment hyperstatique total est positif, alors que le moment isostatique est positif sur pile (e0 > 0) et négatif à la clé (e0 < 0). A la clé, l'effet hyperstatique des câbles s'oppose à l'effet isostatique, c'est à dire que les câbles perdent de leur efficacité du fait de l'hyperstaticité, alors que sur pile c'est le contraire. Pour la précontrainte extérieure, uniquement, on fera donc l'hypothèse très simplificatrice suivante : (M iso + Mhyper)clé = 3/4 (Miso)clé POUR LES TRAVEES CENTRALES Cela permettra de calculer une valeur très approchée du moment hyperstatique, fonction de la force de précontrainte extérieure. A partir de cette valeur du moment hyperstatique, il est possible de calculer le moment hyperstatique sur pile et en travée de rive.


(Mhyper)clé

+

Moment hyperstatique de précontrainte extérieure dans le cas d'un pont symétrique à 3 travées

(Mhyper)clé

+

Moment hyperstatique simplifié de la précontrainte extérieure dans le cas d'un pont symétrique à 4 travées

(par souci de simplification, dans ce dernier cas, on considère que le moment fléchissant est constant sur les deux travées centrales) 5.3 - Calcul de la force de précontrainte nécessaire. Les calculs seront menés en tenant compte de l'ensemble des pertes (instantanées et différées), soit : - 20 % de pertes pour les câbles de fléau, - 20 % de pertes pour les câbles de continuité intérieurs, - 10 % de pertes pour les câbles de continuité extérieurs. On déterminera la force de précontrainte dans les travées de rives et dans les travées courantes uniquement. En effet, l'expérience montre que la précontrainte ainsi déterminée est largement surabondante sur pile. A la clé d'une travée courante

La contrainte en fibre inférieure à la clé est : σ = +N

SM

y

I y= - v' avec v' > 0

avec N égal à la somme des forces des câbles de précontrainte traversant la section à la clé, et avec M somme des moments dus aux actions suivantes :

- poids propre - superstructure - charges d'exploitation (charges routières et de trottoir) - câbles de continuité intérieure (effets isostatique et hyperstatique) - câbles de continuité extérieure (effets isostatique et hyperstatique) - gradient thermique (∆θ = 6°C) - fluage

Les câbles de continuité extérieurs sont à prendre en compte avec les hypothèses précédentes, soit (M iso + Mhyper)clé = 75% (Miso)clé et on prendra e0 clé = - v' + e

clé + 0,10 m où e

clé est l'épaisseur du hourdis inférieur à la clé.

A la clé d'une travée de rive Le raisonnement est le même que pour la travée centrale. Attention cependant : - à une distance Γ Lr de la culée, les moments hyperstatiques ne valent qu'une fraction Γ des


moments hyperstatiques sur pile. - la précontrainte de continuité intérieure de la travée de rive ne crée qu'un moment isostatique, alors que la précontrainte de continuité de la travée centrale ne crée qu'un moment hyperstatique. Nombre de câbles Ayant calculé : • σinf clé = f(Fext) pour les travées courantes • σinf clé = f (Fext) pour les travées de rive on déterminera un nombre de câbles extérieurs minimum à la clé des travées courantes et des travées de rive pour vérifier les critères de la classe II du BPEL, soient : • σinf clé ≥ - ftj + k x fcj avec j = 28 jours (Il s'agit d'une simplification, cf. Chapitre 2 paragraphe 6 second alinéa) Le nombre de câbles extérieurs sera déterminé à partir des forces utiles calculées en prenant en compte l'ensemble des pertes (instantanées et différées) comme indiqué précédemment, soit 10 % de pertes. On choisira l'unité des câbles de façon à obtenir de 3 à 5 paires de câbles par travée courante. Les câbles étant supposés régner sur la totalité de l'ouvrage, on retiendra donc par la suite le nombre maximum ainsi obtenu. Une fois le nombre de câbles extérieurs déterminé, on vérifie que les contraintes normales sur pile et à la clé en fibres supérieure et inférieure sont admissibles. Vérification sur pile La contrainte en fibre supérieure sur pile est :

σ = +N

SM

y

I y = v pour la fibre supérieure ; e0 pile = v - 0,30 m

avec N égal à la somme des forces des câbles de précontrainte traversant la section sur pile, et avec M somme des moments dus aux actions suivantes: - poids propre - superstructures

- charges d'exploitation (charges routières et de trottoir) - câbles de fléau - câbles de continuité intérieure (effet hyperstatique) - câbles de continuité extérieure (effets isostatique et hyperstatique) On se contentera de vérifier que : - le contrainte en fibre supérieure est supérieure à la contrainte de traction admissible, - le contrainte en fibre inférieure est inférieure à la contrainte de compression admissible. Remarques : Le fluage et le gradient thermique ne sont pas pris en compte car leurs effets seraient favorables en ce point, et que l'ouvrage doit également être réglementaire avant fluage (à la mise en service) et sans gradient thermique. On n'oubliera pas de prendre en compte le moment hyperstatique de précontrainte extérieure.


Vérification à la clé des travées courantes et des travées de rive Voir paragraphe 5. On se contentera de vérifier que : - le contrainte en fibre supérieure est inférieure à la contrainte de compression admissible, - le contrainte en fibre inférieure est supérieure à la contrainte de traction admissible. 7 - VERIFICATION VIS A VIS DE L'EFFORT TRANCHANT. Nous avons obtenu une force de précontrainte extérieure F. Nous allons maintenant vérifier l'effort tranchant (en un seul point pour simplifier, mais il convient de le vérifier en tout point évidemment). L'objet de ce qui suit est de déterminer l'angle αc nécessaire, c'est à dire la position des déviateurs. Un câble incliné réduit l'effort tranchant, de sorte que : Vréduit = V - F sin αc On considérera un cisaillement admissible τadmissible égal à 2,7 MPa (en fait le calcul est plus compliqué que cela car le cisaillement admissible en un point dépend de la contrainte normale en ce point). Le cisaillement augmente à mesure que l'on s'éloigne de la clé. Le raisonnement logique veut que l'on regarde en chaque point en s'éloignant de la clé, si l'on vérifie : τ inférieur à τadmissible sans réduction d'effort tranchant. On place alors le déviateur à l'endroit où τ est égal à τadmissible. On regarde ensuite si la pente ainsi obtenue est suffisante pour que l'on ait également τ inférieur à τadmissible entre la pile et le déviateur en tenant compte de l'inclinaison des câbles. Cependant, cette méthode nécessite de connaître en tout point le cisaillement, y compris celui dû aux charges d'exploitation, ce qui est trop long et fastidieux dans le cadre d'un calcul manuel. On ne fera donc la vérification qu'en un seul point à la distance h1/2 de l'appui et on en déduira la position du déviateur de telle sorte que τ h1/2 soit égal à τadmissible. Si le déviateur est avant le quart de travée, il conviendrait de recommencer tout le calcul en épaississant les âmes. Effet Résal pour les ponts de hauteur variable Pour les ponts de hauteur variable le calcul de l'effort tranchant doit également être mené en prenant en compte l'effet Résal. Pour simplifier, nous effectuerons le calcul sur la section verticale.


Hourdis supérieur Hourdis inférieur

Soient : - σ la contrainte moyenne dans le hourdis inférieur, concomitante de l'effort tranchant maximum, qu'on estimera à 10 MPa;

- S la surface du hourdis inférieur (hormis les âmes), - α' l'angle du hourdis inférieur avec l'horizontale, On obtient : V = Vtotal - VRésal avec VRésal = S x σσσσ sin(αααα') 8 - SIMPLIFICATIONS EFFECTUEES. A l'issue des calculs explicités ci-dessus, nous avons déterminé un premier câblage qui pourrait servir de point de départ à un calcul plus poussé. Il convient cependant de se rappeler les principales simplifications qui ont été effectuées. - Moment de poids propre. Nous avons négligé l'effet des clavages et supposé pour les ouvrages à quatre travées que les clavages de part et d'autre du fléau central et le passage sur appui définitif au milieu étaient simultanés. - Fluage. Le fluage a été pris en compte forfaitairement sous la forme d'une réserve de contrainte à la clé. - Gradient thermique - Précontrainte intérieure. L'effet du gradient thermique et le calcul de la précontrainte intérieure de continuité doivent normalement être calculés en tenant compte du phasage réel, et donc des diverses phases hyperstatiques de l'ouvrage. - Câblage extérieur. La simplification la plus importante a été de dissocier l'étude de la flexion longitudinale et de l'effort tranchant, alors que les deux sont liées. La position des déviateurs, déterminée par des considérations sur l'effort tranchant, influe de manière importante sur le moment hyperstatique de précontrainte et donc sur la flexion longitudinale. Notons que rapprocher le déviateur de la pile est bénéfique vis à vis de l'effort tranchant (réduction plus importante) mais est mauvais vis à vis de la contrainte normale en fibre inférieure à la clé (les hypothèses pour la prise en compte des moments hyperstatiques étant indépendantes de la position des déviateurs étaient donc grossières). La position du déviateur influe donc sur la flexion longitudinale et donc sur la contrainte dans le hourdis inférieur, et donc sur l'effet Résal, et finalement sur l'effort tranchant ! ... La position du déviateur influe sur la flexion longitudinale et donc sur la contrainte de cisaillement admissible τadmissible = f(σ).


On voit facilement à partir de ces quelques considérations que la détermination d'un câblage nécessite plusieurs aller-retours et tâtonnements, d'autant que les principes de câblage évoqués ne sont que schématiques. Il peut être intéressant par exemple de mettre plus de câbles de continuité intérieurs que nécessaire vis à vis du seul gradient thermique, afin de faire des économies sur la précontrainte extérieure si celle-ci s'avère surabondante vis à vis de l'effort tranchant. Il faut également noter que la précontrainte extérieure ne va pas forcément de culée à culée mais peut s'ancrer sur pile. Il faut donc savoir marier astucieusement les différentes familles de câbles extérieurs pour optimiser le câblage. Enfin, les contraintes normales et de cisaillement doivent être vérifiées en tout point de l'ouvrage. Nous voyons donc que le calcul effectué a été schématique, compte tenu du temps imparti et des moyens de calcul utilisés, mais a cependant le mérite de permettre d'aborder le fonctionnement de l'ouvrage, le rôle des différentes familles de câbles, et les éléments qui conditionnent son dimensionnement. Quelques schémas relatifs à la précontrainte de continuité (intérieure et extérieure) sont présentés ci-après

Pont de La Flèche sur le Loir


Ancrage de câble extérieur de type 12T15 :

Système 1 : torons nus - Système 2 : torons protégés (gainés graissés ou gainés cirés)

Détail de l'ancrage et de son capot


Perspective des câbles avec leurs déviateurs :

Principe de la déviation des câbles par tube courbe noyé dans le béton (entretoise sur pile ou déviateur)

Autre type de déviateur métallique :

(Pont sur la rivière d'Auray)


P2

P1

C0

P1

P2

P3

P3

P4

P12

C13

40.0

0

58.7

0

10.0

0 1

0.00

14.6

8

13.0

0

14.6

7

19.5

5 1

9.55

13.0

0

14.6

8

13.0

0 1

9.55

14.6

7 13.0

0 1

9.55

66.5

0 1

9.95

13.3

0 1

9.95

13.3

0

22.1

5 1

4.75

14.7

5 2

2.15

57.3

0 1

4.175

14.1

75

8.50

17.0

0 1

7.00

8.50

58.7

0

TRA

VE

E T

YP

E A

TRA

VE

E T

YP

E B

TRA

VE

E T

YP

E C TR

AV

EE

TY

PE

D

TRA

VE

E T

YP

E E

Câ

ble

s 1

9T1

5 d

e c

ontin

uité

inté

rieur

s

Câ

ble

s 2

5T1

5 +

19

T15

ext

érie

urs

14.1

75

Exemple de câblage extérieur


0.46

0.08

Passag e et an crag e pour pr écontra int e ad di tion nel le

0.03

0.05

Plaq ue d' an crage 2 5T1 5 ou 19 T15

0.80

Passag e et ancrag e pour pr écontra int e ad di tion nel le

Plaq ue d' an crage 1 9T1 5

2.21 0.46 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25

0.20 0.20 0.20

2.21 0.46 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25

Ancrage et passage des câbles

0.35

2

0.250 Ø 0.125

1.583 1.583

0.04

0

Précon trai nt e ad dit io nn ell e

Câbles extérieurs à la clef de la travée centrale

2.000

0.0

30

0.1

30

R 5

m

R 4

.5 m

Zone d'ancrage des câbles

intérieurs

Déviation et ancrage des câbles extérieurs sur pile


1.00

0.20 0.20

R 5

m

Déviateur en travée

0.60

35 35

Précontrainte extérieure Précontrainte intérieure

Déviateur


Autre exemple de câblage extérieur : Travée de rive :


Travée centrale :


Demi coupe transversale sur pile


Coupe longitudinale sur pile :


Coupe longitudinale et transversale à l'about de la travée de rive :


FEUILLES




APPLICATION 6

DETERMINATION DE LA PRECONTRAINTE DE CONTINUITE EXT ERIEURE

( feuille à rendre en fin de séance )

*** PROJET

n°

*** Equipe

n°

1 - Calcul des moments dus aux superstructures

Charge au ml : q = MN/ml

P1 P2 P3

Moments sur piles

travée

1

travée

2

travée

3

travée

4

Moments à la clé

2 - Calcul des moments dus aux charges d'exploitati on

Classe du pont :

Nombre de voies : Charge UDL (MN/m)

Largeur aire résiduelle : Charge TS (MN)

Largeur totale des

trottoirs :

Charge de trottoirs :


moments maxi (>0) UDL

moments mini (<0) UDL

moments maxi (>0) TS

moments mini (<0) TS

moments maxi (>0) trottoir

moments mini (<0) trottoir


Moments à la clé travée 1 travée 2 travée 3 travée 4







3 - Calcul du moment dû au fluage

Moment dû au fluage en travées courantes

4 - Détermination de la précontrainte extérieure de continuité

Type de câbles choisi :

Force par câble : MN Sigma limite : MPa

- RIVE Excentricité : Distance / hourdis inf. :

- CENTRE Excentricité : Distance / hourdis inf. :

- PILE Excentricité : Distance / hourdis sup. :

EN TRAVEES travée

1

travée

2

travée

3

travée

4

Précontrainte utile

Nombre de câbles calculés

Moment hyperstatique retenu

Nombre de câbles choisis

SUR PILES pile 1 pile 2 pile 3

précontrainte utile

nombre de câbles calculés

moment hyperstatique retenu




APPLICATION 6 DETERMINATION DE LA PRECONTRAINTE DE CONTINUITE EXT ERIEURE

( feuille à insérer en annexe à la note de calculs du POA )

*** PROJET

n°

*** Equipe

n°

1 - Calcul des moments dus aux superstructures

Charge au ml : q = MN/ml

P1 P2 P3

Moments sur piles

travée

1

travée

2

travée

3

travée

4

Moments à la clé

2 - Calcul des moments dus aux charges d'exploitati on

Classe du pont :

Nombre de voies : Charge UDL (MN/m)

Largeur aire résiduelle : Charge TS (MN)

Largeur totale des

trottoirs :

Charge de trottoirs :









Moments à la clé travée 1 travée 2 travée 3 travée 4







3 - Calcul du moment dû au fluage

Moment dû au fluage en travées courantes

4 - Détermination de la précontrainte extérieure de continuité

Type de câbles choisi :

Force par câble : MN Sigma limite : MPa

- RIVE Excentricité : Distance / hourdis inf. :

- CENTRE Excentricité : Distance / hourdis inf. :

- PILE Excentricité : Distance / hourdis sup. :

EN TRAVEES travée

1

travée

2

travée

3

travée

4

Précontrainte utile

Nombre de câbles calculés

Moment hyperstatique retenu

Nombre de câbles choisis

SUR PILES pile 1 pile 2 pile 3

précontrainte utile

nombre de câbles calculés

moment hyperstatique retenu




Résumé des sollicitations dans l'ouvrage et détermination des câbles des différentes familles : 1 - Moment de poids propre des fléaux : ==> nf câbles de fléau en section S2

ppML Lr L r

S1 S2 S3

2 - Moment de la partie coulée sur cintre :

pp2M

ΓLLr L r

S1 S2 S3

3 - Moment du au clavage central : On le néglige

G3Mvc

0,5 P 0,5 P

4 – Gradient thermique : Elévation de température de la fibre supérieure

GTM > 0

5 – Mt hyper des câbles de continuité centraux ==> ntc câbles en S3 et ntr câbles en S1

hM = K Ftc

tcn câblestrn câbles

Lβ

S1 S2 S3

joursjpour

trn

14

liminf

=

==>σ≥σ

joursjpour

tcn

5

liminf

=

==>σ≥σ

6 – Equipements : charge uniforme qs (poids des trottoirs et de la chaussée)

qsM 7 – Charges d'exploitation : Véhicules UDL et TS + piétons sur trottoirs

TsUDL + piétons sur travées 1 et 2

miniM

Ts

UDL + piétons sur travée 3

maxiM

8 – Fluage :

flM > 0

9 – Mt hyper des câbles extérieurs ==> nc1 câbles en travée 1 –nc2 câbles en travée 2 - nc1 câbles en travée 3

hM = % M

cen câblescen câbles

S1 S2 S3 iso clef

inilàserviceen

cen

inf'

liminf ==>σ≥σ pour S2, puis S1 et S3




Chapitre 4 Appuis et plans de coffrage


APPUIS ET PLANS DE COFFRAGE

1 - CALCUL DES REACTIONS D'APPUI EN EXPLOITATION.

Les appareils d'appui doivent pouvoir reprendre les réactions d'appui à l'ELS rare.

Les calculs doivent prendre en compte : •••• le poids propre de l'ouvrage, •••• les redistributions d'effort par fluage, •••• les effets hyperstatiques des câbles, •••• le poids des superstructures, •••• les charges routières Ts et UDL, •••• les charges de trottoirs (éventuellement), •••• le gradient thermique (∆∆∆∆θθθθ = 6°C cumulable aux charges routières).

Nous ne calculerons que les réactions maximales

1.2 - Réactions de poids propre.

Pour le poids propre de l'ouvrage, on utilisera la décomposition suivante, qui résulte du phasage de construction:

•••• le poids propre du fléau se reporte intégralement sur l'appareil d'appui de la pile considérée,

∆R1

(Lp-Lvc)/2

•••• le poids de la travée coulée sur cintre agit sur une structure isostatique (cf. Chapitre 2):

∆R0 R1Lr

B0

∆

γ

Γ

Lr

R0 = γγγγ x B0 x ΓΓΓΓ x ( 1 - ΓΓΓΓ / 2 ) x Lr R1 = γγγγ x B0 x ΓΓΓΓ² x Lr / 2

L'effet des clavages centraux sera à nouveau négligé.


1.2 - Réactions de fluage.

La redistribution des réactions d'appui par fluage sera calculée à partir des moments hyperstatiques de fluage calculés au Chapitre 2, à l'aide des équations de la R.d.M. appliquées sur la structure finale continue.

∆ ∆R0 R1

∆ ∆R2 R3

Mfl : Moment de fluage

1.3 - Réactions dues aux effets hyperstatiques des câbles.

Seuls les câbles tendus et maintenus dans un schéma hyperstatique créent des réactions d'appui hyperstatiques. Par conséquent, les câbles de fléaux et les câbles de continuité intérieure situés dans les travées de rive ne créent pas de réactions d'appui.

Etant donnée l'hypothèse de la simultanéité de mise en tension des câbles de continuité intérieurs (sauf ceux des travées de rive) et extérieurs, les réactions d'appui dues aux câbles de continuité (intérieurs et extérieurs) seront calculées à l'aide des moments hyperstatiques calculés au Chapitre 2, et des équations de la R.d.M. appliquées sur le schéma statique final de la structure.

1.4 - Autres réactions d'appui

Le calcul des réactions d'appui résultant des autres charges (superstructures, charges routières, charges de trottoirs et charges climatiques) s'effectue sur le schéma statique final. Il sera mené à l'aide des moments hyperstatiques calculés au Chapitre 2 et des réactions isostatiques concomitantes, si elles existent.

Charges routières de type TS et UDL :

•••• pour l'appui de rive en chargeant la travée de rive considérée, •••• pour un appui intermédiaire, la réaction d'appui maximale est obtenue en chargeant les deux travées adjacentes à l'appui considéré.

Pour la charge UDL on a donc les cas de charge suivants pour les réactions maxi :

•••• Calcul de la réaction sur l'appui de rive sous les surcharges:

∆ ∆R0 R2Lr

∆R1

∆R3

∆R4


•••• Calcul de la réaction sur la pile de rive sous les surcharges:

∆ ∆R0 R2Lr

∆R1

∆R3

∆R4L

•••• Calcul de la réaction sur la pile centrale sous les surcharges:

∆ ∆R0 R2 L

∆R1

∆R3

∆R4L

Il faut ajouter les réactions dues au tandem TS dont les cas de charges maxi et mini sont évidents.

Attention: Le calcul ainsi effectué pour les charges routières et les charges de trottoir est faux. En effet, il ne suffit pas pour obtenir la réaction maximale dans un appareil d'appui, de diviser par deux la réaction maximale due aux charges routières et aux charges de trottoir.

Il faudrait également tenir compte de la position transversale des charges par rapport aux appareils d'appui. Par exemple, dans le cas d'un ouvrage supportant une chaussée bordée de deux trottoirs, il est plus défavorable de ne charger que le trottoir situé du coté de l'appareil, que de charger les deux trottoirs. Suivant la position transversale des appareils d'appui, cela peut également être vrai pour des voies de circulation.


2 - CHOIX DES APPAREILS D'APPUI.

Vous trouverez dans les pages suivantes les caractéristiques de plusieurs types d'appareils d'appui à pot de caoutchouc pour vous permettre de les choisir en fonction de vos descentes de charge (ou réactions d'appui).

Nous vous rappelons qu'on dispose, pour chaque appui de l'ouvrage deux appareils placés transversalement. Ces appareils d'appui peuvent être:

•••• fixes : ils n'autorisent alors aucun déplacement horizontal entre le tablier et la pile, •••• unidirectionnels : ils n'autorisent le déplacement horizontal entre le tablier et la pile que dans une direction, •••• multidirectionnels : ils autorisent le déplacement horizontal entre le tablier et la pile dans les deux directions.

C0 P1 P2 C4P3

Multidirectionnel

UnidirectionnelFixe

Tablier vu de dessus, conditions d'appui pour 4 travées

Les flèches indiquent les directions libres de déplacement.


FEUILLES




Tableau à rendre en fin d'application

*** Equipe N° : ............ *** *** Application N°8 *** REACTIONS D'APPUI ( en MN )

Actions C0 P1 P2 P3 P4 C5

Poids Propre

Equipement

Prec. Intérieure

Prec. Extérieure

A vide ( M S )

Fluage

Qr Max

Qr Min

Tr Max

Tr Min

Grad. Therm 12°C

Réaction Maxi ELS

Réaction Mini ELS



Tableau à insérer dans la note de calculs du projet *** Equipe N° : ............ *** REACTIONS D'APPUI ( en MN )

Actions C0 P1 P2 P3 P4 C5

Poids Propre

Equipement

Prec. Intérieure

Prec. Extérieure

A vide ( M S )

Fluage

Qr Max

Qr Min

Tr Max

Tr Min

Grad. Therm 12°C

Réaction Maxi ELS

Réaction Mini ELS



♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣

EXEMPLES D'APPAREILS D'APPUI ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣




Autres exemples d'appui à pot TETRON D3T Fixe Pression de contact sur le béton : environ 20 MPa

Caractéristiques :


TETRON D3E Multidirectionnel

TETRON D3F Monodirectionnel


Exemple d'appareil d'appui à pot mono directionnel

Exemple d'appareil d'appui à pot fixe


♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣

EXEMPLES DE DEVIATEURS

♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣


Ferraillage d'un déviateur en béton avec tubes courbes (cas spécial d'un arrêt de quelques câbles)

Exemple de déviateur en travée



♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣

EXEMPLES DE CULEES

♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣


TETE DE CULEE

CAS D'UN OUVRAGE EN BETON

PRECONTRAINT

d

e

h

3080

40

40

e

d'

d"

h'

e"

Réservations joints de chausséeDalle de transition

Chambre de tirage

Poteaux (e x e)

Mur garde-grève

Entretoise

Sommier d'appui

2%

d m

e cmh

d cm

d cm

h cm

≥

=

≥≥

≥

150

308

30

15

40

.

sup ,

'

"

'


Culée remblayée à murs en retour droits

Culée remblayée à murs en retour en L










Exemple de culée avec semelle sur pieux


Exemple de culée remblayée avec mur de front


♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣

EXEMPLES DE PILES

♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣


Exemple de pile de pont en encorbellement


Exemple de pile massive (chocs de bateaux) - semelle et pieux non représentés










Pile creuse de grande hauteur





Chapitre 5 Stabilité des fléaux


Dans la construction des ponts par encorbellements successifs, il est nécessaire d'assurer et de vérifier la stabilité des fléaux sur leur pile avant clavage avec le fléau voisin, ou avec la partie coulée sur cintre près des culées. L'accident à éviter est le basculement du fléau sur le chevêtre de la pile. Pour limiter ce risque, deux types de situations sont à envisager : - une situation normale de construction alors que le fléau est en déséquilibre sous l'effet du poids d'un voussoir construit ou posé avant son symétrique, des charges de chantier et du vent ascendant sur l'un des demi fléaux; - une situation accidentelle qui correspond à la chute d'un équipage mobile ou d'un voussoir préfabriqué. Les combinaisons d'actions à utiliser relèvent de l'état limite d'équilibre statique et les organes d'ancrages du fléau sur leur pile et les piles elles-mêmes sont à justifier à l'état limite ultime de résistance. Dans la première situation, le fléau ne doit pas décoller de ses cales d'appui provisoires; dans la seconde, un léger décollement est toléré. Tous les calculs d'efforts seront faits par rapport à l'axe de la pile.

1. - ACTIONS A PRENDRE EN COMPTE

1.1 - Charges permanentes Il s'agit généralement uniquement du poids G du fléau calculé avec un poids volumique γ de 25 KN/m3, d'après les plans de coffrage. Le poids du demi fléau situé du côté du déséquilibre est majoré de 2% (Gmax) alors que le poids de son symétrique est minoré de 2% (Gmin). Si B1 désigne la section sur pile et B0 la section de clef, si la hauteur du caisson varie paraboliquement et l'épaisseur du hourdis inférieur linéairement, on peut approcher le poids du fléau et la position de son centre de gravité par les formules de G.M. KRAWSKY :

Pour un demi fléau de nv voussoirs de Lf mètres de longueur :

P = ( B1 + 2 B0 ) γ Lf / 3

d = [ ( B1 + 5 B0 ) Lf ] / [ 4 x ( B1 + 2 B0 ) ]

Mg = P x d

B 0 B 1P

d

L f axe de la pile

Pour un fléau de nv -1 voussoirs, on retranchera de P ou de Mg le poids ou le moment du dernier voussoir en supposant qu'il est de section constante et égale à B0.


La réaction de poids propre du fléau N, est égale à 2 P, valeur à laquelle il faut ajouter : le poids de l'entretoise sur pile, des bossages, déviateurs et pièces annexes. Dans le projet, le poids de l'entretoise sera évalué à 0,60 MN, tandis que celui des bossages, déviateurs et pièces annexes sera négligé.

1.2 - Charges variables

1.2.1 - Charges de chantier connues (QC1) Il s'agit du poids de l'équipage mobile QC1 = Pem dont la valeur varie de 0.30 à 0.90 MN suivant la longueur des voussoirs, et la largeur du tablier. Cette charge s'applique à une distance dex = 1,50 m de l'extrémité du voussoir en cours de bétonnage. Par majoration de + 6 % ou minoration de 4 % de Pem, on considère QC1 max ou Qc1 min selon le même principe que pour le poids propre des fléaux. Dans le projet, le poids de l'équipage mobile a été déterminé en fin du Chapitre 1.

1.2.2 - Charges de chantier aléatoires Pour couvrir les charges de chantier inconnues, on utilise : - une charge répartie ( Qc2 ) de 200 N/m2 sur un demi fléau dans les cas courants ( Portée < 120 m ). Cette charge inclue l'effet du vent descendant sous réserve que le site ne soit pas exposé, elle s'applique sur les voussoirs terminés et sur l'équipage mobile ; - une charge concentrée ( Qc3 ) de ( 50 + 5 b ) KN ( b: largeur du hourdis supérieur du caisson exprimée en mètre ) appliquée en bout de fléau, à l'extrémité du dernier voussoir terminé. Elle représente le poids des rouleaux de câbles, des compresseurs, etc...

1.2.3 - Effet d'un vent ascendant L'effet du vent ( QV ) est équivalent à une charge uniforme d'une intensité de 100 à 200 N/m2 suivant les caractéristiques du site. Dans les projets courants on adoptera une valeur de 150 N/m2. Cette charge répartie s'applique à un demi fléau, longitudinalement depuis l'extrémité de l'équipage mobile, jusqu'à la file de cales provisoires située du même coté, et sur une largeur égale à celle du hourdis supérieur du caisson.

1.3 - Actions accidentelles La chute de l'ensemble ou d'une partie d'un équipage mobile vide, ou d'un voussoir préfabriqué en cours de pose ( QA ) est prise en compte avec un coefficient de majoration dynamique de 2. Si la totalité de l'équipage chute, Cela revient à inverser le sens de Qc1 max sur ce fléau ( QA = - Qc1 max ).


2. - COMBINAISONS D'ACTIONS

2.1 - Combinaisons en construction (type A) Situation normale de construction : le fléau ne doit pas décoller de ses cales d'appui provisoires.

* A 1 : 1,1 (G max + G min) + 1,25 (QC1 max + QC1 min + QC2 + QC3 +QV) * A 2 : 0,9 (G max + G min) + 1,25 (QC1 max + QC1 min + QC2 + QC3 + QV)

L'équipage de gauche est vide l'équipage de droite porte un voussoir (nv - 1 Voussoirs à gauche) (nv Voussoirs à droite)

dex

c2Q c3Q

fL fL

Qc1 min Qc1 maxQv

2.2 - Combinaisons accidentelles (type B)

Situation accidentelle de chute d'un équipage vide : le fléau peut décoller de ses cales d'appui provisoires, mais la surtension des câbles de clouage est limitée. * B1 : 1,1 (G max + G min) + QA + (QC1 max + QC2 + QC3) * B2 : 0,9 (G max + G min) + QA + (QC1 max + QC2 + QC3) L'équipage de gauche est vide l'équipage de droite est vide (nv - 1 Voussoirs à gauche) (nv - 1 Voussoirs à droite)

dex

c2Q c3Q

fL fL

Qc1 max

Qc1 max

AQ = -


3. - JUSTIFICATION DES ORGANES D'ANCRAGES On étudiera ici, uniquement la stabilité des fléaux reposant sur deux files de cales provisoires et cloués sur leurs piles par deux files de câbles:

Chevêtre de la pile

Cales provisoires

Fût de la pile

Appareil d'appui définitif

Câbles de clouage

Exemple de cales provisoires et d'appareil d'appui définitif

3.1 - Calcul du nombre de câbles On appelle M et N les sollicitations résultantes des combinaisons de type A et B. On calculera M et N pour les quatre combinaisons A1, A2, B1 et B2. On note E la distance entre axes des deux files de cales d'appui provisoire et D la distance entre un câble et la file de cale opposée.

M

NRa

Rb

E

D Une file de câbles de clouage

Ec = 2 D - E

Fi 2 Fi 2

File B de cales d'appui

La méthode suivante n'est applicable que si D ≥ E.


� Dans le cas ou M/N < E / 2 , le fléau ne risque pas de basculer; les câbles de clouage ne sont théoriquement pas nécessaires; on disposera toutefois, par sécurité, un minimum de 2 paires de câbles ( Par exemple, une paire de câbles 12 T 15 par file de cales ). On a : Ra = N / 2 - M / E + Fi2 et Rb = N / 2 + M / E + Fi2 avec Fi2 = 2 x (1 - 0,20) x σp0 x s (Force des deux câbles d'une file avec 20% de pertes) σp0 = Min ( 0,80 x fprg , 0,90 x fpeg ) fprg et fpeg limites de rupture et élastique et s section du câble (Cf. AP4)

Pour le projet, on adaptera les valeurs courantes de E et de D aux dimensions

du voussoir et à la tête de pile. Rappelons que des valeurs courantes de E et de D sont :

E = 3,00 m et D = 3,50 m soit Ec = 4,00 m

� Dans le cas ou M / N > E / 2 , des câbles de clouage doivent rétablir l'équilibre du fléau. Pour en calculer le nombre, on distingue le cas des combinaisons de type A de celui des combinaisons du type B.

3.1.1 Situation normale d'exécution ( Combinaisons de type A ) Le fléau ne doit pas décoller. La précontrainte doit donc compenser la réaction de soulèvement de la cale A sous l'action de M et N. Ra = N / 2 - M / E + Fi = 0 Rb = N / 2 + M / E + Fi avec Fi = n x (1 - 0,20) x σp0 x s (Force des n câbles d'une file avec 20% de pertes) σp0 = Min ( 0,80 x fprg , 0,90 x fpeg ) fprg et fpeg limites de rupture et élastique et s section du câble (Cf. page 3 - AP4)

M

N

Ra=0

Rb

E

D Une file de n câbles de clouage

Ec = 2 D - E

Fi Fi

On a donc : n x s = ( M / E - N / 2 ) / ( 0,8 x σp0 )


3.1.2 Situation accidentelle ( Combinaisons de type B ) Le voussoir de pile sous l'action de la résultante N et du moment M des charges appliquées au fléau, reste en équilibre par surtension ∆Tg des câbles d'une file d'appuis provisoires et compression Rb des cales de l'autre file d'appui.

M

N Rb

E

D

File de n câbles de clouage surtendus

Ec = 2 D - E

Fg

Fd

Décollement d'appui de la file A

On appliquera la méthode suivante, qui consiste à écrire l'équilibre des efforts appliqués au voussoir de pile, lorsqu'il tourne d'un angle dα autour d'une file de cale, et que les câbles s'allongent ou se raccourcissent : Fg = Fi + ∆Tg = Ful � Fd = Fi - ∆Td � -Fg D - NE / 2 + M + Fd ( D-E ) = 0 � ∆Tg / ∆Td = D / ( D - E ) � Rb - Fg - Fd - N = 0 � Fg et Fd désignent les tensions dans chaque file de câbles, Fi leur force initiale , Ful leur force maximum à l'ELU, ∆Tg et ∆Td les surtension et sous-tension de chaque file de câbles. On tire Fg et Fd en fonction de Ful et Fi des équations �, � et �, et �, on reporte dans �. On sait aussi que : Ful = n x s x fpeg / Γp et Fi = n x s x (1 - 0,20) x σp0 (avec 20 % de perte) Avec : Γp = 1,00 pour les combinaisons accidentelles. fpeg et fprg donnés en page 3 -AP4 On en déduit : n x s = ( N E / 2 - M ) D / K avec n nombre de câbles s section d'un câble et K= [ 0,8 x σp0 ( 2 D - E ) ( D - E ) ] - [ (fpeg / Γp) ( D2 + ( D - E )2 ) ]

3.2 - Calcul de la surface des cales On retient le nombre maximum résultant des calculs précédents (en arrondissant au nombre pair immédiatement supérieur) et on dimensionne ensuite les cales des files A et B.

3.2.1 Situation normale d'exécution ( Combinaisons de type A ) La surface des cales est telle qu'elles soient comprimées à fbu sous la réaction maximum Rb. Comme le béton des cales et celui du chevêtre de la pile sont frettés, sa résistance


caractéristique en compression peut être augmentée. L'article A.8.4.23 du BAEL fixe cette contrainte à : fcf = fcj (1 + 2 ρt fe / fcj ) ( ρt pourcentage de frettes en %) Avec 2% de frettage, on a environ : fcf = fc28 + 16 MPa on utilise alors : fbu = 0,85 fcf / ( Γb θ ) avec fc28 donné en page 3 -AP4 Γb = 1,50 pour les combinaisons de type A θ = 1,00 charges de longue durée d'application on en déduit la surface des cales S : S = k x a x b = Rb / fbu k nombre de cales par ligne a et b dimensions d'une cale k, a et b sont choisis en dessinant la tête de la pile en vue en plan ( en tenant compte des dimensions des appareils d'appuis définitifs déterminés dans le chapitre précédent) On calcule et on dispose des frettages identiques à ceux des appuis définitifs en face inférieure du voussoir sur pile et sous les cales provisoires (Cf. BAEL).

3.2.2 Situation accidentelle ( Combinaisons de type B )

On applique le même principe, mais sous combinaison accidentelle, on a :

Γb = 1,00 pour les combinaisons de type B θ = 0,85 charges de courte durée d'application On vérifie tout d'abord qu'il y a bien décollement du fléau avec le nombre de câbles déterminés précédement. Pour cela on calcule Ra et Rb comme si le fleau ne décollait pas :

Ra = N / 2 - M / E + Fi = 0 Rb = N / 2 + M / E + Fi Si Ra est positif, il n'y a pas décollement et on en déduit la surface des cales S par la formule:

S = k x a x b = Rb / fbu Si Ra est négatif, on résoud les équations � à � , mais avec cette fois ci Fg = Fi + ∆Tg < Ful (mais Fi est cette fois ci connu) La résolution donne :

Rb = E x ( Fi x K4 + N x K3 / (2. E )+ M ) / K1


avec :

K1 = D2 + (D-E)2 K3 = 2 K1 - E2 K2 = D3 + E x ( 2 D - E ) x ( D - E ) K4 = ( 2 D - E ) x K2 / ( E * D2 )

On redémontrera ces formules, et on en déduira la surface des cales S par la même formule que précédement. Les dimensions des cales ainsi déterminées devront être augmentées de 5 centimètres pour l'enrobage des frettes.

3.3 - Fût de pile Les aciers verticaux du fût de pile doivent être vérifiés à l'ELU, en flexion composée soit l'action de N et M ; les combinaisons du type A sont considérées comme des combinaisons de base, alors que celle de type B sont des combinaisons accidentelles ( Γb = 1,15, Γs = 1,00 ).

4. - DISPOSITIONS PRATIQUES

4.1 - Aménagement des têtes de piles Les têtes de piles doivent être aménagées pour recevoir : - les appuis définitifs - les cales provisoires - les câbles de stabilité - les zones de vérinage pour réglage des fléaux, ou changement des appareils d'appuis.

Cale Cale

CaleCale

A.A.définitif

A.A.

de l'ouvrageAxe Longitudinal

Vérins

Câbles de clouage

Vue de face (sans cales, ni câbles)Tête de la pile, vue de dessus

Bossages

définitif


Autre exemple de dispositifs en tête de pile

La surface nécessaire aux appareils d'appui définitifs, de type à pot d'élastomère (ou néoprènes frettés pour de petits ouvrages), se calcule pour une pression de 13 à 15 MPa sous la réaction de poids propre (poids du fléau) et la réaction maximum de charge d'exploitation pondérée par 1,2. La dimension des appareils d'appui définitifs varie de 0,50 x 0,50 mètre pour les ouvrages de petite portée à 1,10 x 1,10 mètre pour les ouvrages de grande portée. La surface des cales se détermine par stabilité du fléau. De plus, la contrainte uniforme sous poids du fléau ne doit pas excéder environ 15 MPa. Les vérins doivent pouvoir soulever le fléau. A titre indicatif, des vérins de 500 tonnes ont un diamètre de 40 centimètres. Ils doivent être posés sur les cales métalliques ( 0,50 x 0,50 m ) pour limiter la contrainte sur le béton à 23 MPa.

Exemple de vérin de calage


4.2 - Autres dispositifs permettant d'assurer la stabilité D'autres dispositifs que celui présenté ci-dessus permettent d'assurer la stabilité des fléaux :


FEUILLES



AP 9 Tableau à rendre en fin d'application 9. Equipe n° : Noms : - - - Distance entre cales E : m Distance entre câbles de clouage Ec : m Longueur du demi fléau : m Type de câbles de clouage :

Actions

(En valeurs moyennes)

Effort Vertical nominal ( MN )

Bras de levier

( m )

Moment nominal ( mMN )

Poids 1/2 fléau n v voussoirs

Poids 1/2 fléau n v-1 voussoirs

Poids de l'entretoise

Effet du vent Q v

Qc 1 équipage sur Vn

Qc 2

Qc 3

Combinaison A 1

Combinaison A 2

Combinaison B 1

Combinaison B 2

Dimensionnement des câbles :

Comb A 1 : Section des câbles d'une file : mm2 Nombre de câbles d'une file : Comb A 2 : Section des câbles d'une file : mm2 Nombre de câbles d'une file : Comb B 1 : Section des câbles d'une file : mm2 Nombre de câbles d'une file : Comb B 2 : Section des câbles d'une file : mm2 Nombre de câbles d'une file :

Nombre de câbles choisis par file de cale : Dimensionnement des cales :

Comb A 1 : Réaction maxi sur les cales : MN Réaction min sans clouage : MN Surface totale des cales d'une file : m2 Comb A 2 : Réaction maxi sur les cales : MN Réaction min sans clouage : MN Surface totale des cales d'une file : m2 Comb B 1 : Réaction maxi sur les cales : MN Réaction min sans clouage : MN Surface totale des cales d'une file : m2 Comb B 2 : Réaction maxi sur les cales : MN Réaction min sans clouage : MN Surface totale des cales d'une file : m2

Nombre et dimensions en mètres des cales choisies pour une file:



AP 9 : Tableau à rendre avec le projet en fin de note de calculs. Equipe n° : Noms : - - - Distance entre cales E : m Distance entre câbles de clouage Ec : m Longueur du demi fléau : m Type de câbles de clouage :

Actions

(en valeurs probables)

Effort Vertical nominal ( MN )

Bras de levier

( m )

Moment nominal ( mMN )

Poids 1/2 fléau n v voussoirs

Poids 1/2 fléau n v-1 voussoirs

Poids de l'entretoise

Effet du vent Q v

Qc 1 équipage sur Vn

Qc 2

Qc 3

Combinaison A 1

Combinaison A 2

Combinaison B 1

Combinaison B 2

Dimensionnement des câbles : Comb A 1 : Section des câbles d'une file : mm2 Nombre de câbles d'une file : Comb A 2 : Section des câbles d'une file : mm2 Nombre de câbles d'une file : Comb B 1 : Section des câbles d'une file : mm2 Nombre de câbles d'une file : Comb B 2 : Section des câbles d'une file : mm2 Nombre de câbles d'une file :

Nombre de câbles choisis par file de cale :

Dimensionnement des cales : Comb A 1 : Réaction maxi sur les cales : MN Réaction min sans clouage : MN Surface totale des cales d'une file : m2 Comb A 2 : Réaction maxi sur les cales : MN Réaction min sans clouage : MN Surface totale des cales d'une file : m2 Comb B 1 : Réaction maxi sur les cales : MN Réaction min sans clouage : MN Surface totale des cales d'une file : m2 Comb B 2 : Réaction maxi sur les cales : MN Réaction min sans clouage : MN Surface totale des cales d'une file : m2 Nombre et dimensions en mètres des cales choisies pour une file:


Documents

Poly Pont 2012 - SiteW.com€¦ · L'ouvrage est un pont en béton précontraint à 3 ou 4 travées, symétrique, construit par encorbellements successifs, à l'aide d'un équipage