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Eléments de Géomatique Polycopié 4 : Nivellement géométrique Pierre-Yves Gilliéron Audrey Ueberschlag Geoffrey Vincent Lausanne, édition Février 2014 Faculté de l’Environnement Naturel, Architectural et Construit Institut d’Ingénierie de l’Environnement Géomatique - Topométrie

Polycopié 4

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  • Elments de Gomatique Polycopi 4 : Nivellement gomtrique

    Pierre-Yves Gilliron Audrey Ueberschlag

    Geoffrey Vincent

    Lausanne, dition Fvrier 2014

    Facult de lEnvironnement Naturel, Architectural et Construit Institut dIngnierie de lEnvironnement

    Gomatique - Topomtrie

  • SOMMAIRE

    1. NIVELLEMENT GOMTRIQUE 3

    1.1. CONCEPTS DE BASE 3 1.1.1. LES NIVELLES 3 1.1.2. LES LUNETTES 8 1.2. APPLICATION 14 1.2.1. LA MTHODE 14 1.2.2. LES INSTRUMENTS 19 1.2.3. PRCISION DE LA LECTURE 21 1.2.4. CONTRLE ET RGLAGE DES NIVEAUX 22 1.2.5. CAUSES D'ERREURS DANS LE NIVELLEMENT 25

    RFRENCES 30

    2. TABLE DES FIGURES 31

    Avertissement

    La plupart des figures de ce polycopi ont t cres lEPFL. Toutefois, les auteurs ont utilis un certain nombre de ressources dont les rfrences sont cites. Si lune ou lautre de ces ressources ne sont pas rfrences correctement ou font lobjet dun droit dusage particulier, nous vous prions de bien vouloir le signaler lauteur. Toute utilisation de ce support de cours doit se faire avec le consentement de lauteur.

  • 1. Nivellement gomtrique

    1.1. Concepts de base La topomtrie comprend lensemble des oprations de terrain et de bureau permettant dune part la saisie dobjets naturels ou construits et dautre part les travaux dimplantation qui consistent placer dans le terrain des repres selon un projet (ex. emprise dune construction). Les mthodes topomtriques sont celles couramment utilises par les gomtres avec des instruments comme les thodolites, les stations totales et les niveaux. La topomtrie est donc la bote outil de base du topographe. Elle comprend tout dabord un ensemble de mthodes applicables sur te terrain permettant de mesurer la position de points (angle, distance, hauteur ou toute autre dimension) grce un ensemble dinstruments. Ensuite la position des points est dtermine par calcul ; ces mthodes de calculs font galement partie de la topomtrie. Dans ce chapitre, ces lments seront dtaills dans lordre suivant :

    - instruments de base (nivelle, lunette et thodolite) - mthodes de mesures (angle et distance) - procds de calculs (dtaills dans le chapitre 7).

    1.1.1. Les nivelles

    Lors des oprations topographiques, les instruments doivent ncessairement tre placs lhorizontale. Cette mise en place correcte des appareils ou lments dappareil se fait par un calage par rapport la verticale ou lhorizontale. Cela est possible grce :

    - une nivelle : calage manuel effectu par loprateur ou

    - un compensateur : calage automatique Une nivelle (ailleurs souvent appele niveau bulle) est un lment important qui fait partie intgrante de la majorit des instruments topographiques, ceux-ci pouvant mme en comporter plusieurs. Il est par consquent essentiel de bien connatre leurs proprits, leurs caractristiques, leurs fonctions et leurs emplois. La nivelle a t invente la fin du XVIIme sicle par le savant franais Thvenot et lingnieur des Ponts et Chausses Chzy. La partie essentielle de la nivelle est la fiole, petit rcipient de verre ou de cristal, usine selon une forme gomtrique bien dfinie, donnant lieu des nivelles de types diffrents et destines des applications appropries. La fiole est remplie dun liquide trs fluide et pratiquement incongelable, gnralement un mlange dther et dalcool. La fiole nest pas compltement remplie, un petit espace est laiss libre et constitue la bulle ; par bullition du liquide, cet espace est en fait empli de vapeur du liquide.

  • La fiole est elle-mme monte dans un botier mtallique, li ou non un instrument ou partie dinstrument. Il existe deux types de nivelles :

    - la nivelle sphrique ; - la nivelle torique.

    Cependant dans les deux cas, en raison de la gravit, la bulle vient toujours se loger dans la partie la plus leve de la fiole. Par ailleurs, il faut distinguer soigneusement les tapes de leur manipulation. Pour matriser les concepts, il faut comprendre les expressions suivantes :

    1. Centrer la bulle : l'intrieur de sa fiole 2. Caler un lment : par exemple rendre un axe vertical 3. Rgler la nivelle : de sorte que l'lment soit cal lorsque la bulle

    est centre.

    Nivelle sphrique

    Une nivelle sphrique est une fiole dont la partie suprieure est rode en forme de calotte sphrique et contre laquelle vient se loger la bulle qui prend ainsi une forme circulaire. Sur le verre de la calotte sphrique est grav un cercle dont le diamtre est lgrement suprieur celui de la bulle. Ce cercle est le repre de la nivelle sphrique (Figure 6-1).

    Figure 1-1 : Nivelle sphrique

    On appelle plan directeur le plan tangent la fiole au milieu du repre. Lorsque la bulle est centre dans le cercle repre, le plan directeur est horizontal. La fiole doit tre monte dans le botier ou par rapport un lment dappareil de telle sorte que le plan directeur soit parallle ou perpendiculaire llment qui doit tre cal :

    - parallle la base du botier sil sagit dune nivelle servant caler lhorizontale un plan sur lequel elle peut tre pose

    - perpendiculaire une arte du botier lorsquil sagit de caler un lment la verticale, tel une mire topographique

    - perpendiculaire laxe dun instrument comme laxe principal dun thodolite ou la canne de centrage dun trpied

    Du fait du relativement faible rayon de courbure de la calotte sphrique, gnralement 7-8 m, une nivelle sphrique nest pas trs sensible et sert des calages dont la prcision na pas besoin dtre trs grande : mise la verticale dune mire, dun signal, calage approch dun appareil.

  • Nivelle torique

    Une nivelle torique est faite dune fiole qui est une portion de tore ferme aux deux extrmits. La bulle venant se loger dans la partie suprieure prend une forme allonge (Figure 6-2).

    Figure 1-2 : Nivelle torique

    Le botier a gnralement une forme cylindrique et laisse apparatre la partie suprieure de la fiole ; lon parle ainsi frquemment aussi de nivelle cylindrique. Le cercle gnrateur du tore a un diamtre denviron 1 cm tandis que son cercle quatorial peut avoir un rayon de plusieurs dizaines de mtres. Sur la partie suprieure de la fiole est grave une graduation qui permet le reprage de lemplacement de la bulle (Figure 6-2). Ce qui est dterminant est la position du milieu de la bulle ; on ne peut cependant pas lire directement cette position puisque le point milieu nest pas matrialis. Pour lobtenir, on lit lemplacement de chacune des deux extrmits de la bulle et la moyenne donne la position du milieu. Sachant cela, on peut raisonner par la suite en considrant directement le milieu de la bulle. De plus, la tangente la nivelle au point milieu de la bulle est toujours horizontale. Lintervalle de la graduation, appel division ou pars, est normalis :

    1 division = 1 div = 1 pars = 2 mm Langle au centre du tore et qui intercepte une division de la graduation est la caractristique de la nivelle. Si r est le rayon du tore, on a :

    1 1 2[ ][ ]

    div pars mmradr r r mm

    = = =

    On constate aussi que la caractristique est langle dont il faut incliner la nivelle pour que la bulle se dplace de 1 division Les nivelles toriques sont plus ou moins sensibles selon le rayon du tore : plus le rayon est grand, plus la nivelle est sensible et plus sa caractristique est petite. Cependant une caractristique de 1 est une limite quil est difficile de dpasser, car si le rayon devient plus grand la bulle ne reste pratiquement plus en place.

  • Calage dun plan

    Soit un axe faisant avec lhorizontale un angle dinclinaison i. La nivelle torique est pose sur cet axe, dans une 1re position et le milieu de la bulle se trouve au point M1. Le point A est sur la perpendiculaire laxe passant par le centre du tore. En faisant faire un demi-tour la nivelle, 2me position, le milieu de la bulle se trouve maintenant en un point M2 tandis que le point A est rest le mme (Figure 6-3).

    Figure 1-3 : Retournement d'une nivelle

    On constate quaprs retournement de la nivelle, la bulle sest dplace dun arc M1M2 qui correspond langle 2 i au centre du tore (par rapport au centre du cercle pour une nivelle sphrique). Ce reprage de la bulle est facilit par une graduation comportant deux repres particuliers sur la nivelle, dont lcartement correspond la longueur de la bulle. Ainsi, il faut retenir que : Par un retournement de la nivelle (demi-tour), le dplacement de la bulle sur la graduation met en vidence le double de langle dinclinaison de laxe dont elle dpend. En mesurant le dplacement de la bulle sur la graduation on obtient langle 2i en nombre de divisions. Il est convertible en unit angulaire en multipliant par la caractristique exprime dans cette unit :

    icc = divisions.cc Le point A (milieu entre M1 et M2) est dit point de calage. Cest l que se trouve le milieu de la bulle lorsque laxe est horizontal (inclinaison i = 0). De plus, on appelle directrice la tangente la nivelle au point A. Lorsque la bulle est centre entre les repres, la directrice de la nivelle est horizontale. Sil est possible dagir sur linclinaison de laxe, on peut alors le caler (amener lhorizontale). La procdure de calage est la suivante :

    - placer la nivelle sur laxe et reprer lemplacement M de la bulle (position initiale).

    - retourner la nivelle dun demi-tour (2me position) et reprer le nouvel emplacement M2 de la bulle ou constater le dplacement de la bulle par rapport aux repres.

    - agir sur linclinaison de laxe pour ramener la bulle de la moiti de son dplacement M1M2 : Le centre de la bulle est au point de calage A et llment est cal La bulle nest donc pas forcment entre les repres lorsque llment est cal.

  • Lorsque llment est cal, mais que la bulle nest pas entre les repres, cela signifie que la nivelle prsente une erreur de rglage. Ainsi, lorsque llment est cal, la directrice nest pas horizontale mais elle fait avec celle-ci un angle qui est prcisment son dfaut de paralllisme ou de perpendicularit avec llment caler : cest lerreur de rglage (Figure 6-4).

    Figure 1-4 : L'erreur de rglage

    Contrle et rglage des nivelles

    Nivelle torique Une nivelle torique de calage est gnralement monte sur un appareil de manire pouvoir tre rgle ; cela signifie que lon peut modifier la position de la nivelle par rapport llment caler au moyen dune vis de rglage (Figure 6-5).

    Figure 1-5 : Nivelle torique

    Pour contrler et rgler une nivelle torique, il faut :

    - agir sur la commande de calage et amener la bulle entre ses repres (position initiale).

  • - faire faire un demi-tour la nivelle (2me position) et constater le dplacement de la bulle.

    Si le dplacement est nul, llment est cal et la directrice est reste horizontale ; elle est donc parallle ou perpendiculaire llment cal : la nivelle est rgle. Si la bulle se dplace, agir sur le calage pour ramener la bulle de la moiti de son dplacement ; llment est cal. Mais si la bulle nest pas entre les repres et la directrice nest pas horizontale on met ainsi en vidence le dfaut de rglage . Si lon doit rgler la nivelle :

    - agir sur la vis de rglage de la nivelle pour ramener la bulle entre les repres.

    - la directrice est horizontale, parallle ou perpendiculaire llment cal et la nivelle est rgle.

    Pratiquement, cette suite doprations est rpter pour vrification de la qualit du rglage. Cependant il est tabli quun calage peut tre fait avec une nivelle non rgle. Cest pourquoi, il nest pas ncessaire que le rglage soit parfait, ce qui est dailleurs difficile voire impossible raliser avec une nivelle trs sensible. Un rglage proprement dit ne se fait que si le dfaut est trop important. Partant du fait que lon ne connait pas a priori ltat de rglage dune nivelle, il faut toujours procder par retournement, constater le dplacement de la bulle et ramener celle-ci de la moiti de son dplacement sil y a lieu. On fait du mme coup le constat de ltat de rglage. Nivelle sphrique La nivelle sphrique na pas de graduation mais un cercle repre qui dfinit le plan directeur ; celui-ci doit tre parallle ou perpendiculaire llment rgler (condition de rglage). En faisant faire un demi-tour une nivelle sphrique, le dplacement de la bulle met aussi en vidence le double de lerreur de calage ; le contrle et rglage suit donc une procdure identique celle tablie pour une nivelle torique.

    1.1.2. Les lunettes

    Sur les appareils topographiques, la lunette est llment dobservation, dfinissant un axe de vise et donnant une image agrandie des objets viss. Une lunette est aujourdhui un instrument optique de haute qualit et relativement complexe (Figure 6-6). Elle fait partie intgrante des niveaux et des thodolites.

  • Figure 1-6 : Lunette

    La lunette simple ou lunette astronomique a t invente par Kpler en 1611. Le rticule y fut introduit vers 1640 comme invention de langlais William Gascoigne, qui utilise dabord des crins de cheval puis des fils daraigne. Cest en 1778, quun mcanicien dAugsburg, G. Friedrich Brander a dcrit pour la premire fois une lunette avec distance fixe entre lobjectif et loculaire et comportant une lentille interne pour la mise au point. Aujourdhui lobjectif, loculaire et la lentille interne de mise au point sont faits chacun de plusieurs lentilles, constituant des systmes composs qui assurent une correction quasi parfaite des aberrations. Les surfaces optiques sont traites afin daugmenter la clart des lunettes et pour raliser la suppression de reflets parasites. En regardant travers une lunette astronomique, on voyait une image renverse des objets viss. Cela ntait pas gnant en soi, toutefois, aujourdhui, la plupart des lunettes des instruments modernes comportent un dispositif optique redresseur pour que lon voie une image debout des objets viss. Pour une utilisation correcte dune lunette de vise, il est indispensable den connatre les principes optiques de fonctionnement. Il sagit donc dexposer ici le principe des lunettes par des schmas lmentaires, les parties optiques composes pouvant pour cela tre assimiles de simples lentilles convergentes ou divergentes.

    Principe

    La lunette astronomique, lunette classique, se compose de : - un objectif : lentille convergente relativement grande focale - un oculaire : lentille convergente relativement courte focale - un rticule : traits formant un repre dans le champ de vision

    Dun objet AB situ linfini, lobjectif forme dans son plan focal une image AB relle, renverse et plus petite. En regardant AB travers loculaire, qui joue ici le rle dune loupe, on en voit une image finale agrandie AB (Figure 6-7).

  • Figure 1-7 : Principe

    Si AB est dans le plan focal de loculaire, limage finale AB est renvoye linfini et visible sans accommodation par un il normal. Par contre, si cest un il myope qui doit voir cette image, il faut dplacer loculaire par rapport AB pour que limage finale AB se forme distance de vision distincte proche. Pour quune telle lunette permette de faire des points (observations centres sur une cible, sur un signal ou autre objet dans le terrain), il faut quil y ait un repre dans son champ de vision.

    Figure 1-8 : Le rticule

    Le rticule est grav sur une plaque de verre plan-parallle proche de loculaire et il est vu travers celui-ci en mme temps que limage AB (Figure 6-8). L'axe de vise est dfini par le centre de lobjectif et le centre du rticule. Le rticule et limage AB doivent tre dans un mme plan afin que les images soient vues nettement, sans parallaxe. Ceci implique des mises au point :

    la mise au point de loculaire dpend des caractristiques de lil : il faut pouvoir modifier la position de loculaire par rapport au plan du rticule pour que lil puisse en voir limage nette sans accommodation, les traits du rticule doivent tre vus nettement. Pour que l'image du fond (paysage) n'influence pas cette mise au point, il vaut mieux qu'elle soit compltement floue. Cette mise au point se fait par lobservateur avant dentreprendre les points et nest plus modifier durant un cycle de mesures.

    la mise au point en fonction de lloignement de lobjet vis : il faut pouvoir dplacer lensemble rticule-oculaire pour amener le rticule

  • dans le plan de AB afin que lil voie simultanment et nettement le rticule et limage de lobjet vis. Cette mise au point est correctement ralise lorsquon constate labsence de parallaxe en dplaant lgrement lil derrire loculaire : lobservateur ne doit constater aucun dplacement relatif entre les traits du rticule et limage de lobjet vis.

    Les proprits

    A lil nu, on voit un objet loign AB sous un angle et travers la lunette on voit son image AB sous langle (Figure 6-9). Le grossissement dune lunette est le rapport du diamtre apparent de lobjet vu travers la lunette son diamtre apparent vu lil nu :

    ob

    oc

    fGf

    = =

    Le grossissement, aussi gal au rapport de la focale de lobjectif sur celle de loculaire, est directement li au champ de la lunette. Il sagit de langle au sommet dun cne ayant pour base louverture dun diaphragme et pour sommet le centre de lobjectif :

    :G champG

    = =

    Figure 1-9 : Le champ de la lunette

    La clart est le rapport de la quantit de lumire reue par lil travers la lunette, la quantit de lumire reue en regardant lobjet lil nu. La clart est :

    < 1 pour des objets de diamtre apparent sensible > 1 pour ceux qui nont pas de diamtre apparent

    Un objet avec diamtre apparent vu travers la lunette est grossi. La quantit de lumire est rpartie sur une image rtinienne plus grande que si lon regarde lobjet lil nu ; cette image est donc moins claire. La clart (< 1) est inversement proportionnelle au grossissement. Leffet est inverse pour une clart suprieure 1. Vus travers une lunette de fort grossissement, le ciel est plus sombre et les toiles sont plus brillantes ; on en voit davantage qu lil nu. Lanneau oculaire ou pupille est limage que donne loculaire de lobjectif considr comme objet.

  • Figure 1-10 : L'anneau oculaire

    Celui-ci est normalement plus petit que la pupille dentre de lil et il faut donc regarder dans la lunette en plaant lil au niveau de lanneau oculaire ; on voit ainsi tout le champ de la lunette.

    On a : oboc

    f d dG af a G

    = = =

    De manire gnrale, les lunettes utilises en topographie privilgient le grossissement au dtriment de la luminosit. C'est l'inverse des jumelles de chasseur, conues pour de mauvaises conditions d'clairage, dont la pupille doit tre au moins aussi grande que celle de l'il.

    Mise au point interne et systme optique

    A lpoque de la lunette astronomique, quelques inconvnients dutilisation lis aux principes prcdents avaient t mis en vidence. Ces derniers ont t supprims dans les lunettes modernes, mise au point interne. Ces lunettes ont une distance fixe de lobjectif au plan du rticule et un systme optique mobile interne pour la mise au point des images :

    - limage de tout objet vis doit se former dans le plan du rticule. - elle y est forme par un systme compos de lobjectif convergent et

    dune lentille divergente situe entre lobjectif et le plan du rticule. - la lentille divergente est mobile et son dplacement permet damener

    limage prcisment dans le mme plan, celui du rticule distance fixe de lobjectif.

    Figure 1-11 : La mise au point interne

  • En corrigeant les dfauts principaux de la lunette astronomique, celle mise au point interne prsente donc les avantages suivants :

    - corps de lunette de longueur constante ; - lunette beaucoup plus courte que celle astronomique qui aurait un

    mme grossissement ; - stabilit de laxe de vise ; - meilleure tanchit la poussire, lhumidit.

    Les points

    Les points consistent amener trs exactement laxe de vise dfini dans la lunette sur limage dun objet que lon vise. Lobjet viser peut tre un repre, un voyant, un jalon, un signal, un clocher ou tout autre marque ou ralit dans le terrain et dont la dfinition gomtrique est plus ou moins prcise (Figure 6-12).

    Figure 1-12 : Les types de points

    Llment qui sert faire ces points est le rticule de la lunette, qui lui-mme peut avoir diverses formes :

    Figure 1-13 : Le rticule

    Cest normalement le centre du rticule qui dfinit laxe de vise ; il est cependant difficile damener trs exactement ce centre sur un point particulier de lobjet viser ou lobjet peut tre recouvert par le rticule. Pour des mesures prcises, il est prfrable deffectuer le point en se servant dun seul trait de rticule pris au voisinage du centre ; cela oblige faire 2 points successifs, un horizontal et le second vertical.

  • Cest pourquoi il est avantageux davoir un rticule qui est fait par moiti dun trait simple et dun trait double, aussi bien horizontal que vertical. Cela permet de choisir la meilleure manire deffectuer le point selon limage visible de lobjet viser :

    - sil est possible de bien le centrer sur lobjet sans le recouvrir, on peut faire le point avec le trait simple : cest un point par superposition

    - dans le cas o limage de lobjet le permet, il est prfrable de faire le point en encadrant limage par les double-traits : cest un point par encadrement.

    Figure 1-14 : Point du rticule sur un jalon ou un clocher

    Lil humain tant particulirement apte apprcier de lgers dcentrages, un point par encadrement est plus prcis quun point par superposition.

    1.2. Application

    1.2.1. La mthode

    Le nivellement gomtrique ou nivellement direct est une mthode de dtermination de diffrences de niveau. Lquipement de nivellement comprend un instrument appel niveau et une ou deux lattes ou mires gradues verticales. Le niveau comporte une lunette qui peut tourner autour dun axe quasi vertical et dont laxe de vise doit tre horizontal. Lobjectif de cette mthode est donc de dterminer la diffrence de niveau entre deux points A et B. Avec la lunette du niveau mis en station entre les deux points, viser la mire place verticalement au point A, dit point arrire. Sur cette mire, lire la hauteur vise au-dessus du point sur lequel elle est pose. Cette lecture est note r (rckwrts). Placer ensuite la mire verticalement sur le point B, dit point avant et la viser avec la lunette pour y faire une lecture v (vorwrts) (Figure 6-18).

  • Figure 1-15 : Principe du nivellement gomtrique

    La diffrence lecture arrire moins lecture avant donne la diffrence de niveau du point avant par rapport au point arrire. Cette diffrence H est positive ou ngative.

    H = r - v Afin que les lectures puissent se faire correctement sur la mire, les deux points A et B ne doivent pas tre trop loigns lun de lautre (longueur des vises quelques dizaines de mtres). Lorsque les points (A et B) entre lesquels on veut dterminer la diffrence de niveau sont relativement loigns lun de lautre, on procde par cheminement (Figure 6-19).

    Figure 1-16 : Le cheminement gomtrique

    Dans ce cas-l, la mire est place sur le point A et le niveau porte raisonnable dans la direction permettant de cheminer vers B. Une premire lecture arrire r0 est faite sur la mire ; celle-ci est ensuite dplace en un point quelconque 1 et lon fait avec la lunette du niveau une lecture avant v1.

  • Le niveau est ensuite dplac en une nouvelle station du cheminement, telle que lon puisse viser la mire en 1 o on fait une lecture arrire r1, puis la mire dplace en un nouveau point 2 o lon fait la lecture avant v2 ; on procde ainsi jusqu ce que le cheminement aboutisse au point B o il se termine par une lecture avant vn. La Figure 6-19 montre que :

    0,1 0 1

    1,2 1 2

    1, 1

    ......................

    ( )

    n n n n

    AB

    H r vH r v

    H r v

    H r v r v

    =

    =

    =

    = =

    avec r : lecture arrire et v : lecture avant

    Diffrence de niveau partielle Diffrence de niveau totale

    Le signe des dnivellations, partielles ou totales, peut-tre positif ou ngatif : la somme avec son signe est toujours la diffrence de niveau du point final du cheminement par rapport au point initial

    AB B AH H H = Plusieurs types de nivellement doivent tre distingus ; le tableau suivant dcrit leurs caractristiques : Nivellement aller et retour Il consiste effectuer un cheminement dans le

    sens AB puis dans le sens BA. Si lcart entre les dniveles obtenues HAB et HBA est acceptable, on prend la moyenne de ces diffrences de niveau avec le signe adquat (HAB et HBA sont de signe contraire).

    Nivellement rattach Cest un cheminement entre 2 points dont on connait laltitude. Dans ce cas, on a un contrle en comparant la dnivele obtenue par le cheminement la diffrence des altitudes des 2 points de rattachement. Lcart de fermeture est rparti sur les diffrences de niveau partielles.

    Nivellement ferm Il est parfois plus avantageux de faire une boucle qui vient se refermer sur le point de dpart. On a un contrle par le fait que la somme des dniveles partielles devrait tre nulle, mais il ny en a pas sur les altitudes. Lcart de fermeture est aussi rparti sur les diffrences de niveau partielles.

  • Elments de gomatique Il a t dcrit comment dterminer la dnivele entre deux points A et B. Cependant ces derniers peuvent parfois tre trs rapprochs. On ne peut envisager deffectuer un changement de station du niveau entre chacun deux. Ces points sont alors levs comme points lancs depuis une mme station. On peut traiter ces points de 2 manires.

    1) hors cheminement : les mesures vers les points lancs sont traites comme des lectures avant (certains formulaires comprennent une colonne spciale pour les noter). Ces diffrences de niveau partielles ninterviennent pas dans le calcul de la somme des H. On obtient les altitudes des points lancs en ajoutant leur (H) laltitude du point arrire.

    2) dans le cheminement : les mesures vers les points lancs sont

    considres la fois comme des lectures avant et arrire. D'ailleurs, on peut inscrire la valeur lue dans les 2 colonnes.

    Les points lancs ne sont pas contrls. Les vises sont de longueurs diffrentes et de ce fait lerreur de rglage du niveau (ligne de vise non horizontale) nest pas limine. Cette pratique nest valable que pour des nivellements de moindre prcision, lorsquune ventuelle faute sur une mesure lance ne serait pas dommageable. Sur un formulaire pour linscription des mesures et calculs relatifs un cheminement, il est indispensable de toujours inscrire :

    - laffaire ou lentreprise pour laquelle le nivellement se fait la date des mesures

    - le modle et le n de linstrument et des mires, les conditions mtorologiques pendant le travail, les noms de loprateur, du secrtaire et du porte-mire, ventuellement l'heure du dbut et de la fin dun cheminement

    Nivellement gomtrique 17

  • Elments de gomatique

    Figure 1-17 : Exemple de formulaire de nivellement

    Pour la dsignation des points :

    - seules les positions de la mire sur des points matrialiss sont numrotes (la planimtrie ne joue aucune rle).

    - lorsque la mire est pose sur un point auxiliaire (qu'on ne peut retrouver) on note gnralement une croix.

    Les mesures :

    - un cheminement commence toujours par une mesure arrire et se termine toujours par une mesure avant.

    - les lectures arrire et avant sont inscrites toujours dans la mme unit. Le nombre de dcimales est fonction de l'instrument et de la prcision atteindre pour le rsultat final (3 dcimales gnralement).

    Pour les calculs :

    - les diffrences de niveau partielles H = r - v se calculent au fur et mesure de lavancement du cheminement.

    - ds quun cheminement est termin, calculer la diffrence de niveau totale et en contrler le calcul dune part en additionnant les diffrences de niveau partielles (r - v), dautre part en additionnant toutes les lectures arrire et toutes les lectures avant, puis leur diffrence r - v.

    18 Nivellement gomtrique

  • Elments de gomatique

    1.2.2. Les instruments

    Actuellement, trois catgories de niveaux existent : les niveaux manuels, automatiques et numriques. Le niveau manuel, qui nest de nos jours plus utiliss, est prsent dans lobjectif de montrer les mcanismes dun niveau. Il comprend une embase qui permet de le fixer sur un trpied et de le caler grce aux vis calantes. La lunette peut tourner autour de laxe principal qui devient vertical par calage lors de la mise en station, en se rfrant une simple nivelle sphrique (Figure 6-21). Laxe de vise doit quant lui tre cal avant chaque mesure. Pour ce faire, il faut utiliser la nivelle torique et sa directrice doit tre parallle laxe de vise de la lunette.

    Figure 1-18 : Niveau nivelle

    Ces premiers niveaux ont ensuite t remplacs par des niveaux automatiques o la nivelle torique est remplace par un compensateur. Ce dernier cale automatiquement laxe de vise lhorizontale aprs un calage grossier laide de la nivelle sphrique. Les niveaux numriques sont les niveaux dernire gnration . Ils reposent sur lutilisation dune mire code barre. Linstrument lit lui-mme la mire code barre. Limage de cette portion est ensuite traite par un systme de reconnaissance qui la compare la rfrence mmorise dans linstrument afin de dterminer de quelle portion de mire il sagit (Figure 6-22). Ainsi toute faute de lecture ou de retranscription sur la mire est supprime. Catgorie Ecart-type sur 1km

    de cheminement double

    Exemple Leica

    Applications

    Niveaux automatiques

    Niveau dingnieur 1.5 mm NA728

    Dtermination altimtriques de prcision en godsie, en construction, en industrie

    Niveau de prcision 0.3 0.5 mm NA2

    Dtermination altimtriques de haute prcision en godsie, en surveillance douvrage

    Niveaux lectroniques

    Nivellement gomtrique 19

  • Elments de gomatique

    Niveau dingnieur 0.7 1.5 mm

    Sprinter 250M

    Dtermination altimtriques de prcision en godsie, en construction, en industrie

    Niveau de prcision 0.3 mm DNA03

    Dtermination altimtriques de haute prcision en godsie, en surveillance douvrage

    Figure 1-19 : Principe de dtection d'un niveau numrique

    Lutilisation de niveaux doit tre combine lutilisation de mire. Une mire de nivellement ordinaire a une longueur de 3 m ou de 4 m et est pliable ou coulissante pour le transport et le rangement. Elle est en bois ou en alu et la graduation est peinte sur une de ses faces. Elle comporte une graduation continue avec lorigine 0.000 correspondant au pied de la mire (Figure 6-23). Les mires peuvent tre cales grce une nivelle sphrique incorpore ou indpendante. Elles sont poses sur un socle de nivellement, appel crapaud, lorsque que lon veut sassurer une bonne assise et assurer une certaine prcision.

    20 Nivellement gomtrique

  • Elments de gomatique Pour une mire standard, la prcision de la graduation est de lordre de 0,5 mm par mtre et celle de position des traits de lordre de 0,15 mm. Normalement, la graduation comporte des champs centimtriques alterns noirs et blancs. Il y a diffrents modles de dessin de graduation, qui doivent tre suffisamment clairs pour que la lecture soit facile. Si lon ne connat pas une mire, la rgle lmentaire est de bien tudier la graduation avant dentreprendre des mesures afin de ne pas avoir se poser des questions lorsquon la vise travers la lunette et pour viter des fautes dinterprtation de la graduation.

    Figure 1-20 : Mires et socle de nivellement

    1.2.3. Prcision de la lecture

    La lecture se fait avec le trait horizontal du rticule qui se superpose sur la graduation de la mire. Une mire de nivellement ordinaire est gradue en champs centimtriques alterns noirs et blancs (ou rouges et blancs). Le trait du rticule se superpose donc dans un tel champ et loprateur peut estimer la fraction dintervalle pour avoir la lecture mieux quau cm (Figure 6-24).

    Figure 1-21 : Lecture sur la mire

    La lecture sur cette figure vaut : Chiffre gauche 1m Chiffre droite 0,8m Dcompte des crans :

    - Dans le 3e cran - 0,02 m ( !)

    Fraction de cm estime : 0.004 m Soit 1.824m

    Nivellement gomtrique 21

  • Elments de gomatique Lerreur destimation commise nest donc pas suprieure 1mm, ce qui revient dire que lerreur maximum destimation est : e = 1 mm. Il faut pour cela que la mire soit proprement dessine, quelle soit parfaitement immobile et que limage quon en voit dans la lunette soit bien nette et sans parallaxe.

    Figure 1-22 : Prcision de la lecture sur la mire

    Calculons quelle distance il est encore possible destimer le millimtre sur une graduation centimtrique avec une lunette de grossissement G. Le pouvoir sparateur de lil tant de 1' = 0,0003 rad, cela signifie que lil nu le mm est juste encore apprciable une distance :

    0.001 3.30.0003

    ms mrad

    = =

    Et par consquent : dans une lunette de grossissement G, le mm est juste encore apprciable une distance :

    [ ] 3.3s m G= Cest une porte maximale pour que lon puisse encore estimer le mm. En fait, le travail sera confortable et cette estimation sans problmes si lon effectue des portes infrieures la moiti de ces longueurs.

    Grossissement Porte maximum Porte pratique 20x 67 m 30 m 25x 83 m 40 m 30x 100 m 50 m

    Tableau 1-1 : Porte maximum et pratique en fonction du grossissement de la lunette

    1.2.4. Contrle et rglage des niveaux

    Il faut partir du principe que le paralllisme de la directrice et de laxe de vise nest jamais parfait et il faut tenir compte de ce dfaut de rglage. Lorsque la bulle de la nivelle est entre les repres, ou les extrmits de ses images en concidence, la directrice est horizontale, mais laxe de vise fait avec lhorizontale un petit angle i.

    22 Nivellement gomtrique

  • Elments de gomatique Daprs la Figure 6-26, on voit que lon a : Diffrence de niveau correcte : H r v = Lectures effectives : 'r soit r r+ 'v soit v v+ Diffrence des lectures : ' 'r v r v r v = + Par consquent, si r = v, les erreurs dues au dfaut dhorizontalit de la ligne de vise sliminent. Pour cela, il faut :

    - caler la nivelle torique avant chaque lecture pour que laxe de vise ait toujours le mme dfaut dhorizontalit i

    - effectuer des portes dgales longueurs avant et arrire par rapport une station du niveau

    Dans ces conditions, la diffrence des lectures donne la diffrence de niveau correcte :

    ' 'H r v r v = =

    Figure 1-23 : Le dfaut d'horizontalit du niveau

    Cependant, le dfaut dhorizontalit de laxe de vise est parfois trop important ou des portes dgales longueurs ne sont pas permises. Il est alors ncessaire de rgler le niveau. Une procdure de contrle et rglage est dcrite la page suivante.

    Nivellement gomtrique 23

  • Elments de gomatique

    24 Nivellement gomtrique

  • Elments de gomatique

    1.2.5. Causes d'erreurs dans le nivellement

    Un certain nombre derreurs systmatiques et derreurs accidentelles entachent les rsultats dun nivellement gomtrique. Enumrons les plus marquantes dentre elles.

    Erreurs systmatiques

    Lerreur dhorizontalit de laxe de vise est due au dfaut de rglage de la nivelle ou du compensateur. Pour une vise, elle provoque une erreur systmatique, toujours dans le mme sens, mais slimine sur la diffrence des lectures arrire et avant si on effectue des portes dgales longueurs.

    En considrant ici que les surfaces de niveau sont des sphres concentriques, on peut calculer linfluence de la courbure de la Terre sur la lecture dune vise horizontale sur une mire situe distances (Figure 6-27).

    Figure 1-24 : Influence de la courbure de la Terre

    En dsignant par : r : rayon de courbure de la surface de niveau passant par linstrument s : longueur de la vise E : correction de la courbure de la Terre

    On a : 2sEr

    =

    Soit pour r = 6380 km et s = 50 m E = 0.2 mm s = 100m E = 0.8 mm Il est vident que cette erreur est la mme sur les lectures arrire et avant si les vises sont de mme longueur et quelle slimine donc en procdant par portes gales.

    Leffet de la rfraction du rayon de vise est analogue celui de la courbure de la Terre. Sachant que normalement la courbure du rayon

    Nivellement gomtrique 25

  • Elments de gomatique lumineux est k = 0,13 fois plus petite que celle de la surface terrestre sphrique, lerreur de rfraction est :

    0.132sR k Er

    = =

    Cest--dire ngligeable pour de petites portes et totalement limine en procdant par portes gales.

    Par fort ensoleillement, les couches dair proches du sol sont surchauffes et provoquent une rfraction diffrente entre les vises avant et arrire. Si la mesure se fait dans un terrain en pente, lune des vises est beaucoup plus proche du sol que lautre et lerreur de rfraction est diffrente sur les 2 lectures (Figure 6-28). Dans une pente rgulire, cette erreur prend un caractre systmatique. On ne peut y remdier quen vitant de faire sur la mire des lectures trop proches du sol et il faut rduire la longueur des vises. Lorsque les conditions atmosphriques sont telles quelles peuvent provoquer ce phnomne, il faut en principe viter toute lecture infrieure 0,5 m au-dessus du sol. Dune manire gnrale, il y a lieu dviter toute vise rasante.

    Figure 1-25 : Phnomne de rfraction proche du sol

    On peut donc conclure quen effectuant des portes arrire et avant dgale longueur, on limine les erreurs dues

    - au dfaut de rglage de la nivelle ou du compensateur - la courbure de la Terre - la rfraction du rayon

    Il est donc essentiel de faire des portes dgales longueurs. Cependant, lexactitude avec laquelle cette galit doit tre ralise dpend de ltat de rglage du niveau, mais surtout de la prcision garantir sur les rsultats du nivellement.

    26 Nivellement gomtrique

  • Elments de gomatique Sil sagit dobtenir les diffrences de niveau 0,5 cm prs, il suffit de mesurer les portes au pas. Dans le cas contraire, il est prfrable dutiliser la chevillire.

    Erreurs accidentelles

    Les erreurs suivantes peuvent avoir un effet systmatique ou alatoire. On ne cite que les plus marquantes, qui peuvent entacher les rsultats dun nivellement gomtrique. Les erreurs possibles sont :

    - erreur de graduation de la mire (position des traits) - erreur de calage de linstrument - ventuelle modification de ltat de rglage entre la mesure arrire et

    la mesure avant (par ex. si le niveau nest pas protg du soleil par un parasol)

    - erreur de lecture sur la mire - portes arrire et avant dingales longueurs - tassement irrgulier du niveau ou de la mire

    Nivellement gomtrique 27

  • Elments de gomatique Notes :

    28 Nivellement gomtrique

  • Elments de gomatique

    29

  • Elments de gomatique

    Rfrences

    On donne ici quelques rfrences bibliographiques utiles et complmentaires au contenu de ce polycopi. Cette liste nest de loin pas exhaustive.

    Merminod B., (2008), Topomtrie Terrestre, Polycopis de lEPFL, EPFL, Lausanne

    Milles S., Lagofun J., (1999), Topographie et topomtrie modernes - Tome 1 : Techniques de mesure et de reprsentation, Ed. Eyrolles

    Milles S., Lagofun J., (1999), Topographie et topomtrie modernes - Tome 2 : Calculs, Ed. Eyrolles

    30 Rfrences

  • Elments de gomatique 2. Table des figures Avertissement La plupart des figures de ce polycopi ont t cres lEPFL. Toutefois, les auteurs ont utilis un certain nombre de ressources dont les rfrences sont cites. Si lune ou lautre de ces ressources ne sont pas rfrences correctement ou font lobjet dun droit dusage particulier, nous vous prions de bien vouloir le signaler lauteur. Figure 1-1 : Nivelle sphrique............................................................................... 4 Figure 1-2 : Nivelle torique ................................................................................... 5 Figure 1-3 : Retournement d'une nivelle ............................................................. 6 Figure 1-4 : L'erreur de rglage .......................................................................... 7 Figure 1-5 : Nivelle torique ................................................................................... 7 Figure 1-6 : Lunette ................................................................................................ 9 Figure 1-7 : Principe ............................................................................................. 10 Figure 1-8 : Le rticule ......................................................................................... 10 Figure 1-9 : Le champ de la lunette ................................................................... 11 Figure 1-10 : L'anneau oculaire .......................................................................... 12 Figure 1-11 : La mise au point interne .............................................................. 12 Figure 1-12 : Les types de points ..................................................................... 13 Figure 1-13 : Le rticule ....................................................................................... 13 Figure 1-14 : Point du rticule sur un jalon ou un clocher ........................... 14 Figure 1-15 : Principe du nivellement gomtrique ........................................ 15 Figure 1-16 : Le cheminement gomtrique ..................................................... 15 Figure 1-17 : Exemple de formulaire de nivellement ...................................... 18 Figure 1-18 : Niveau nivelle ............................................................................. 19 Figure 1-19 : Principe de dtection d'un niveau numrique ........................... 20 Figure 1-20 : Mires et socle de nivellement ...................................................... 21 Figure 1-21 : Lecture sur la mire ........................................................................ 21 Figure 1-22 : Prcision de la lecture sur la mire ............................................... 22 Figure 1-23 : Le dfaut d'horizontalit du niveau ............................................ 23 Figure 1-24 : Influence de la courbure de la Terre .......................................... 25 Figure 1-25 : Phnomne de rfraction proche du sol ................................... 26

    Table des figures 31

    1. Nivellement gomtrique1.1. Concepts de base1.1.1. Les nivelles Nivelle sphrique Nivelle torique Calage dun plan Contrle et rglage des nivelles

    1.1.2. Les lunettes Principe Les proprits Mise au point interne et systme optique Les points

    1.2. Application1.2.1. La mthode1.2.2. Les instruments1.2.3. Prcision de la lecture1.2.4. Contrle et rglage des niveaux1.2.5. Causes d'erreurs dans le nivellement Erreurs systmatiques Erreurs accidentelles

    Rfrences2. Table des figures