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Universit Paul Sabatier Toulouse 3
POLYCOPIE DE
MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS
ELASTICITE LINEAIRE
Universit Paul Sabatier, Toulouse 3
Mention SCIENCES POUR L'INGENIEURDpartement d'Ingnierie
Licences de mcanique, de gnie de l'habitat, de gnie civil (L3)Universit Paul Sabatier Toulouse III - Universit de Toulouse
118, route de Narbonne - FR 31062 Toulouse France
Erick Ringot
e-mail : [email protected]
Avant-Propos
rvision
n date auteur - correcteur nature de la modication
1.0 avril 2010 E.Ringot -1.1 septembre 2010 E.Ringot corrections coquilles
acquisition de comptences
La mcanique des milieux continus, l'lasticit linaire en particulier, est l'origine de bon nombre de thoriesmathmatiques venant en support la construction (gnie mcanique ou gnie civil). Le but de ce coursest de permettre l'acquisition de nouvelles comptences par l'tudiant qui sera mme de comprendre levocabulaire, les concepts et les mthodes mis en oeuvre dans les codes de calcul ou les rgles de calculinternationales. Les premiers outils matriss par tout bon ingnieur sont ainsi mis la porte des tudiantsde licence L3.
contenu
L'objet de la mcanique des milieux continus (mmc) est l'tude du comportement de milieux continus quirespectent l'hypothse de continit. Ce cours de 3me anne de licence de mcanique est volontairementrestreint l'tude des solides lastiques, dans l'hypothse des petites perturbations.
Globalement, le cours aborde les notions suivantes :1. La cinmatique explique ce qu'est l'hypothse de continuit et traite des dplacements et des dforma-
tions des solides ;
2. La statique aborde les questions de forces internes et introduit le concept de contraintes et leursproprits ;
3. Les lois de comportement des matriaux tablissent des ponts entre les contraintes et les dformations.La loi lastique des milieux homognes isotropes est dtaille ;
4. Ce qu'est un problme de mcanique des milieux continus et les mthodes de rsolution en lasticit.Les deux derniers chapitres prsentent des lments de calcul vectoriel et les principales formules d'lasticitdans dirents systmes de projection. Un recueil d'exercices faisant l'objet d'un autre document est associ ce cours ; il contient les sujets abords au cours des travaux dirigs.
prrequis
mathmatiques
Espaces vectoriels et anes. Calcul matriciel : matrice, polynme caractristique, valeurs et vecteurs propres.Gomtrie Euclidienne lmentaire : triangle rectangle, cercle, trigonomtrie. Produit vectoriel, produit sca-laire. Equation et reprsentation paramtrique d'une courbe et d'une surface. Coordonnes cartsiennes etcylindriques. Fonction, drive. Fonctions de plusieurs variables, drive partielle, direntielle. Fonctionsvectorielles, analyse vectorielle.
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mcanique
Force, moment d'une force, torseur. Mcanique du solide indformable : torseur cinmatique, torseur dyna-mique. Principe fondamental de la dynamique. Statique.
Table des matires
1 Description cinmatique d'un milieu continu 11
1.1 hypothse de continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.1 notion de solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.2 continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 modles de description cinmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 rfrentiel et repres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 description lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3 description eulrienne - drive particulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Champ de dformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 tenseur gradient du champ de dplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 transformation de Green-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.3 Linarisation du tenseur des dformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.4 Interprtation - composantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.4.1 interprtation du tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.4.2 composantes de en coordonnes cartsiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.5 analyse des composantes : longation & distorsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.5.1 longation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.5.2 distorsion (glissement) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.5.3 dilatation volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Dformations & directions principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.1 dformations principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.2 directions principales de dformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.3 invariants du tenseur des dformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Reprsentation graphique d'un tat de dformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.1 cercle de Mohr des dformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.2 autres reprsentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6 Mtrologie des dformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.1 jauges de dformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.1.1 rsistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.1.2 jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6.1.3 mesure de la variation de rsistance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
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TABLE DES MATIRES 5
1.6.1.4 conditionneur de jauges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6.2 rosettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6.2.1 matriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6.2.2 dpouillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.7 Problme inverse - compatibilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7.1 compatibilit d'un tenseur avec un champ de dplacement . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.7.2 intgration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.7.3 conditions aux limites du solide exprimes en dplacement . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Contraintes 27
2.1 objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 interactions - cadre Newtonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.1 espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.2 temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.3 origine des forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.4 principe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.4.1 dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.4.2 statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.5 action-raction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 champ de contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.1 partitionnement d'un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.2 hypothse sur la nature des forces internes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.3 contrainte normale et contrainte de cisaillement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 proprits des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.1 tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.2 quilibre dynamique d'un domaine solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.2.1 rsultante dynamique : quation de l'quilibre local . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4.2.2 moment dynamique : symtrie du tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . 33
2.5 Diagonalisation du tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5.1 contraintes principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5.2 directions principales de contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5.3 invariants du tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5.4 composantes sphrique et dviatorique d'un tenseur contrainte . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.4.1 dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5.4.2 invariants du tenseur dviateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.6 reprsentation gr
