Polycopié De Module : Mathématiques financières · ... elles se rattachent à l’analyse des opérations de prêts et d’emprunts ... le contenu du cours. Des exercices et des

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ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES

EHEC

Enseignante : Belaid

Site web du module: www.mathfin-ehec.jimdo.com

A l’usage des Etudiants de première année Tronc Commun - sciences Commerciales

Polycopié De Module :

Mathématiques financières

Année Académique

2016/2017

Version

Etudiant

2

Thème

Mathématiques financières

3

Introduction Générale

4

Introduction Générale :

Les mathématiques financières sont devenues de nos jours un outil incontournable dans

un monde ou l’argent (la monnaie) prend une place prépondérante dans les affaires. Pour

toutes opérations financières, le financier n’a plus droit à l’erreur. Son raisonnement doit

toujours être rationnel afin de lui permettre de mieux gérer les flux de l’argent et prendre

des décisions rentables.

Ainsi grâce aux calculs rationnels, il doit minutieusement détecter des placements ou

investissements rentables. Par exemple l’on peut chercher à savoir s’il est préférable

d’acheter ou de louer un matériel sur une période donnée compte tenu des recettes espérées

et des charges correspondantes. Le concept de rentabilité guide de nos jours le choix

financier du citoyen en matière de consommation et d’investissement, à cet effet une bonne

maitrise des mathématiques financières ne saurait être qu’un atout non négligeable pour un

opérateur économique qui se veut pérenne dans un environnement de plus en plus

compétitif et incertain.

L’usage des mathématiques financières nous permet de connaitre le maniement des

méthodes et des techniques utilisées pour déterminer entre autre les taux d’intérêts (débiteur

et créditeur) des opérations financières. Le facteur temps pris parmi tant d’autres acteurs

influençant les opérations financières n’est plus traité à la légère.

On peut définir globalement les mathématiques financières : « comme l’application des

mathématiques aux opérations financières non instantané, c’est-à-dire faisant intervenir le

temps. » (1)

Traditionnellement, elles se rattachent à l’analyse des opérations de prêts et d’emprunts

dans un environnement certain (principalement bancaire). Mais au cours des ces quarante

dernières années toutefois, est apparu en matière de financement un glissement vers des

systèmes d’économies des marchés financiers. L’une des caractéristiques de ces marchés est

la grande volatilité des cours boursiers et des taux d’intérêt, qu’il convient de prendre en

compte.

L’un des intérêts des mathématiques financières consiste alors à simplifier la complexité

des calculs et problèmes financiers souvent rencontrer dans plusieurs domaines de la

finance : investissements, assurance, rente, amortissement d’un emprunt indivis, emprunt

obligataire.

De cela découles plusieurs questions aux quelles nous essayons de répondre à travers ce

polycopie : Comment évaluer un placement financier ? Que représente un taux d’intérêts ?

Que signifie l’actualisation et capitalisation ? Que représente une opération d’escompte ? À

quoi servent les annuités ? quel sont les cirières de décision un investissement ?

(1

) Le Borgne Hervé, Calculs bancaires, Economica, Paris, 2003, p 52.

5

Ce support de cour a vacation à modéliser les aspects essentiels du calcul financier. Nous

nous contenterons à travers d’explorer les bases des mathématiques financières qui peuvent

être appliqués des différents points de vue du particulier, de l’entreprise ou de la banque, et

qui permettent d’effectuer les opérations simples auxquelles ces derniers pourrions être

confronté. De ce fait, nous n’introduirons dans nos réflexions que les dimensions temps et

argent, laissant ainsi de coté le hasard et la théorie des probabilités.

1/ Objectif du module :

Ce module a pour objectifs principaux :

De préparer les étudiants à mieux aborder d’autres matières en rapport avec les

finances, en général à travers le recours à l’usage de taux d’intérêt pour les opérations

d’actualisation et de capitalisation, qui constituent le fondement du raisonnement

financier.

De familiariser l’étudiant avec les principaux concepts des mathématiques financières

et de lui fournir les outils et techniques nécessaires pour résoudre les problèmes

financiers.

De permettre aux étudiants de comprendre le processus d’investissement et de

placement, et les rendements attendus de ces derniers. C’est ainsi on est amené à

présenter les différents éléments du calcul financier et d’expliquer la notion de la

valeur temporelle de l’argent.

2/ Contenu :

Pour atteindre les objectifs d’apprentissage, le contenu du cours est structuré en six

chapitres :

Chapitre 1 : Rappels de mathématiques.

C’est le fondement mathématique nécessaire à la compréhension des formules de la

fiance. Ses résultats mathématiques vont se trouver dans l’ensemble du polycopié.

Chapitre 2 : Intérêts simples.

Chapitre 3 : Escompte et équivalence de capitaux à intérêts simples.

C’est deux chapitres permettent d’estimer les placements de courte durées sur des

comptes règlementés du type livret d’épargne autrement dit un compte sur livret. Ils

permettent aussi d’appréhender le fonctionnement de l’escompte pour les entreprises.

Chapitre 4 : Intérêt composé, capitalisation.

Chapitre 5 : Escompte à intérêt composé, et actualisation.

C’est deux chapitres présentent les règles de calcul des placements de longues durées et

de l’actualisation à travers l’opération d’escompte commercial et les critères d’un choix

d’investissement.

Chapitre 6: Les annuités.

6

Ce chapitre présente le calcule des annuités de début et de fin de période, qui servent au

remboursement d’un crédit ou à la constitution d’un capital. L’étude des annuités consiste à

7

déterminer la valeur acquise ou valeur actuelle à une date donnée, d’une suite de flux.

Chacun des chapitres comporte des applications permettant à l’étudiant de bien assimiler

le contenu du cours. Des exercices et des problèmes à la fin de chaque chapitre permettront

à l’étudiant de tester ses connaissances.

3 / Syllabus :

Séance N°1 : - Présentation Générale

- Rappels Mathématique

Séance N°2, 3 : Intérêts simples

Séance N°4 : Série d’exercice N°1 (Intérêts Simples)

Séance N°5 : Escompte et équivalence de capitaux à intérêts simples.

Séance N°6 : Série d’exercice N°2

Séance N°7 : Intérêts composés (Capitalisation)

Séance N°8 : Série d’exercice N°3 (Intérêts Composés)

Séance N°9,10 : Escompte à intérêt composé, Actualisation.

Séance N°11 : Série d’exercice N°4

Séance N°12,13 : Annuités.

Séance N°14,15 : Série d’exercice N°5 (Annuités).

Séance N°16 : Test et révision

4 / Méthodes d’enseignement :

Une séance de 1h30 par semaine.

Cours

Travaux dirigés

Devoirs

Tests.

Examen final.

5 / Matériels et documents nécessaire :

Support pédagogique des cours

Séries d’exercices

Calculatrice scientifique.

8

Chapitre 1 : Rappels de mathématiques

6

Introduction du chapitre 1 :

Les mathématiques ont constamment été enrichies, motivées, diversifiées, par de

multiples dynamiques internes conduisant à créer de nouveaux outils et à étudier de

nouveaux objets abstraits.

D’une autre part, les mathématiques ont constamment été enrichies, motivées,

diversifiées, par de multiples autres domaines scientifiques ou technologiques : la physiques

bien sur, mais aussi l’informatique, et la biologie, ainsi que diverses industries telle que

l’industrie bancaire, et l’industrie financière…, pour lesquelles le savoir –faire technique

doit être complété par des modélisation sophistiquées ou des simulation numériques

complexes.

Parmi les applications spectaculaires des mathématiques, les mathématiques financières.

Cette discipline fait intervenir principalement des outils issus de l’actualisation, de la théorie

des probabilités, des statistiques et du calcule différentiel.

Pour cela, on essayera dans ce chapitre préliminaire de faire un rappel mathématiques, en

rassemblant quelques définitions et méthodes de calculs fondamentales, mais souvent sans

démonstration, qu’on a jugé nécessaire et qui correspondant aux besoins des autres

chapitres. Il nous a semblé aussi utile de mettre ce rappel en début de polycopié afin que

l’étudiant puisse s’y référer facilement.

Au terme de ce chapitre, l’étudiant sera en mesure de :

- Assimiler quelques définitions et propriétés de bases telle que : les

puissances, les fractions et les logarithmes népérien.

- Utiliser logarithme lors d’une recherche de durée.

- définir une suite arithmétique et une suite géométrique.

- Modéliser un phénomène par une suite arithmétique ou une suite

géométrique.

Ce chapitre est organisé comme suite :

1/ Notions générales de mathématiques

2/ Exercices de synthèses

7

1/ Notions générales de mathématiques:

1.1/ Fraction :

Il est fréquent que l’on soit conduit à utiliser dans les calcules des expressions écrites

sous la forme d’un quotient. Nous rappelons ci-dessous les règles essentielles de calcul avec

ces expressions, et exemples illustratifs.

Pour tous réels (a) et (c), et les réels non nuls (b) et (d), on a : (1)

Formules Exemples

1%+ 0,3 =

1+ t% =

1+ 19,6% =

1000 3% =

105

=

1.2/ Puissance :

1.2.1/ Puissance entière :

Soit a ϵ IR et n ϵ IN (avec n ≥ 2). Ou définit par récurrence la puissance n

ième de a par :

(2)

n facteurs

En posant de plus :

a1

= a ; a0 = 1 (pour a ≠ 0) ; a

-n =

(pour a ≠ 0)

Propriétés :

an

× ap = a

n+p

an × b

n = (a b)

n

(an)

p = a

n .p

(1)

Christian Cautier et autres, Mathématiques « cours et exercices corrigés », 2e Edition, DUNOD, Paris,

2008, p 82. Révisé par nos soins. (2)

Philipe Michel, cours de mathématiques pour économistes, 2e Edition, Economica, Paris, 2001, p 37.

Révisé par nos soins.

NB : En cas pratique l’appellation puissance nième

est limitée au cas de certaines lois

(multiplication) et totalement exclue pour d’autres (l’addition).

8

Exemple :

1/ pour la multiplication des nombres réels, on définit la puissance nième

d’un nombre 3 :

31 = 3 , 3

n+1 = 3

n.3

2/ pour l’addition des nombres réels, la somme d’un nombre avec lui-même effectuée (n)

fois est égale au produit par (n) de ce nombre :

3+3+3+………+3 = n.3

(n) fois

Et on ne parle jamais de « puissance + ».

Alors pour tous les réels (a) et (b) non nuls, et tous les entiers (n) et (p), on a : 1

Formules Exemples

Par Convention : (pour a ≠ 0)

1000 1,05- 6

=

à 10

– 2 près

1,02

5 1,02

6 = 1,02

11

Pas de formule pour : 1,025 1,03

6

Même si n et p sont des réels, pourvu

que (a) soit positif strictement.

(1,052)

4 = 1,05

8 ≈ 1,477 à 10

- 3 près

Si X5= 2,48832 alors ( X

5)

1/5 = (2,48832)

1/5

Soit : X = 1,2 car (X5)

1/5 = X

5/5 = X

1

= 1,013 1,2

3

1.2.2/ Racine carrées :

Quel que soit le réel strictement positif (x) ˃ 0 et n ϵ N, il existe deux réels (a) et (-a)

tels que (a)2 = (-a)

2 = x. Ce sont les deux racines carrées de (x).

La notion

désigne la racine carrées positive de (x) (c’est-à-sire celui des deux

(1)

Christian Cautier et autres, op-cit, p 83. Révisé par nos soins.

a1

= a ; a0

=1

a -1 =

et a-n =

9

nombres (a) et (-a) qui est positif). De plus

= 0, unique racine carrée de (0).(1)

En particulier : se note : , Alors : an = x, a

Donc toutes les règles des puissances s’appliquent aux racines carrées (de nombres positifs).

1.2.3/ puissance fractionnaire :

Pour tous les entiers (n) et (p) et le réel strictement positif (x), on pose :2

Y = x n / p

pour exprimer que (y) l’unique réel positif tel que (y)p = (x)

n

- on note également : =

Les règles de calcul sur les exposant rationnels sont alors les même que pour les exposants

entiers.

1.3/ Logarithme népérien :

La fonction x ln x est définie pour x ˃ 0

Ses valeurs sont fournies par votre calculatrice.

Elle telle que :

a b ln a ln b

a = b ln a = ln b

Propriétés de la fonction ln (x) : 3

La fonction ln (x) est définie, continue et strictement croissante sur R+ ( ensemble

des nombres réels positifs), elle s’annule en x = 1, et elle vérifie les propriétés algébriques :

Ln (ab) = ln a +ln b ; ln (a/b) = ln a – ln b pour a ˃ 0 et b ˃ à

Ln ( ax) = x ln a pour tout x rationnel.

Exemple :

Déterminer x tel que (1,06) x = 1,5

(1,06)x = 1,5 ⇐⇒ x ln (1,06) = ln 1,5 ⇐⇒

= 7

2/ les suites numériques :

Le but d’étudier les suites numériques c’est de démontrer leurs intérêts : le caractère

prédictif. Ce caractère est essentiel en finance. En effet, qu’il s’agisse du remboursement

d’un emprunt ou de gains réalisés par un placement, l’importance est de pouvoir chiffrer

au mieux les mouvements de capitaux à venir4. Les suites se trouvent donc dans

l’ensemble des chapitres abordés dans ce polycopié.

(1)

Christian Cautier et autres, op-cit, p 83. (2)

Ibid, p 84. (3)

Philipe Michel, op-cit, p 244, 245. (4)

Benjamin Legros, Mini Manuel de Mathématiques Financières, 2e Edition, DUNOD, Paris, 2016, p 3.

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Ce chapitre présente les résultats essentiels sur les suites les plus utilisées en finance : les

suites arithmétiques et les suites géométriques.

Une suite peut être considérée dans le cas général une succession de nombres appelés

termes de la suite.(1)

2.1/ Suites arithmétiques :

En observant la série des nombres :

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 18, 31, 34, 37, 40……

On constate que chaque terme de la « suite » est obtenu en ajoutant au précédent (3) qui

représente la raison de la suite arithmétique..

Le premier terme de la suite étant donné ici « 1 », il est possible de connaitre n’importe

quel élément de la suite.

En notant Un et Un+1 , deux termes successifs de la suite, on peut donc écrire :

U0 = 1

Un+1 = U n + 3

A/ Définition :

Une suite arithmétique est une suite de nombres tels que pour passer d’un terme à son

suivant on ajoute toujours la même quantité appelée raison (notée r). Tel que :(2)

Pour tous n ϵ N :

Un+1 =Un+r

B/ Formule Générale : (3)

- Pour tout n ϵ N on a : Un = U0 + nr

U0= a

- En partant de U1 :

n ϵ N ; Un = U1 + (n-1)r

Exemple :

Pour la suite (un) définie par : u1= 2

un = un – 1 + 3

Un= u1+ (n-1) x 3= 2 +3(n-1) soit un= 3n-1

(1)

Claire David, Sami Mustapha, Mathématiques Financières « Tout le cour en fiches, licence 1 », DUNOD,

Paris, 2014, p 368, 369. (2)

Ibid, p 371. (3)

Marie Boissonnade, Daniel Fredon, Mathématiques Financières, 3e Edition, DUNOD, Paris, 2007, p 1 .

11

Donc : n2= 6 – 1= 5

U10= 30 – 1= 29

C/ La somme des n premiers termes:

On peut chercher à cumuler les termes d’une suite. Ce calcul a un intérêt dès que l’on

souhaite cumuler des valeurs. Alors la formule est de : (1)

U0+ U1+….+ Un- 1 la somme =

Mathématiquement, cela se traduit de la façon suivante :

=n.

Remarque : cette dernière formule évite le problème des indices des suites et les questions

du type : que faire si le premier terme n’est pas U0 mais U1.

Exemple :

Avec la même suite pour calculer :

S= u2+u3+……+u10

On a 9 termes, donc :

S= 9.

9.

D/ En cas pratique ou trouve –t- on des suites arithmétiques :

Les suites arithmétiques se trouvent dans les phénomènes pour lesquels on envisage un

ajout ou un retrait d’une même valeur à chaque période. Tel que :2

- un loyer augmente de 5000dz

- on retire 3000dz de son compte tous les ans.

- une production augmente de 100 unités par jour.

- les intérêts simples.

2.2/ Suites géométriques :

On observant la série de nombre :

3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768….

On constate que chaque terme de la suite est obtenu en multipliant le précédent par (2).

(1)

Claire David, Sami Mustapha, op-cit, p 371. (2)

Benjamin Legros, op-cit, p 7.

Utilisation : Calculs d’intérêts simples

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Le premier terme de la suite étant donnée ici (3) il est possible de connaitre n’importe

quel élément de la suite.

En notant Un et Un+1 deux termes successifs de la suite, on peut donc écrire :

U0 = 3

Un+1 = 2U0

A/ Définition :

Une suite géométrique est une suite de nombres tels que pour passer d’un terme à son

suivant on multiplie toujours la même quantité appelée raison (notée q ≠ 0), tel que : (1)

Pour tout n ϵ N

Un+1 = Un .q

De même que la suite arithmétique, la suite géométrique est déterminée par la donnée

de :

- Son premier terme

- Sa raison

Pour prouver qu’une suite est géométrique, il faut démontrer que le rapport

est constant (indépendant de n).

B/ Formule Générale : (2)

- n ϵ N, on a : Un = U0 . qn

- Ou encore en partant de U1 , on a:

n ϵ N, Un = U1 qn-1

Exemple :

1. (U0) U1 = U0.q1

U2 = U1 .q1

= U0 .q1.q = U0 q

2

U3 = U2 . q = U0 q2 .q = U0 q

3

2. (U1) U2 = U1 . q

U3 = U2 . q

= U1 . q . q

= U1 q2

3. (U6) U10 = U6 . qn-6

q1 q2 q3 q4

= U6 q4

6 . 7 . 8 . 9 . 10 n=10

(1)

Claire David, Sami Mustapha, op-cit, p 372. (2)

Marie Boissonnade, Daniel Fredon, op-cit, p 2.

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Exemple :

On cherche à donner le terme général d’une suite géométrique de raison 4, sachant que

u 3 = 256. En appliquant la formule précédente au premier terme u3, on trouve :

Un = 4n – 3

x u3 = 4n – 3

x 256 = 4n – 3

x 44 = 4

n +1

C/ La sommes des n premiers termes, si q ≠ 1 :

Comme pour les suites arithmétiques, il est utile de connaitre une formule permettant de

calculer simplement la somme des termes d’une suite géométrique. Alors la formule est de

(q ≠ 1 ) : (1)

U0 + U1 + ………+ Un-1 la somme =

Mathématiquement, cela se traduit de la façon suivante :

=

Remarque : les deux formules précédentes ne sont valables que pour q ≠1. Le cas ou q =1

revient au cas d’une suite géométrique de raison 1 ; autrement dit d’une suite constante. La

somme des termes est par conséquent égale à un terme de la suite multiplié par le nombre de

termes de la somme.

D/ En cas pratique ou trouve –t- on des suites géométriques :

Les suites géométriques interviennent dans les phénomènes pour lesquels on envisage une

multiplication par un facteur à chaque période. Tel que :

- une production baisse de 2% par mois.

- un salaire augmente de 10% par an.

- les intérêts sont composés.

Une augmentation de 10% de traduit par une multiplication par 1,1. Et une baisse de 2%

se traduit par une multiplication par 0 ,98.

De façon générale, une augmentation de t% se traduit par une multiplication par 1 + t%, et

une baisse de t% se traduit par une multiplication par 1 – t%.

(1)

Claire David, Sami Mustapha, op-cit, p 372.

Utilisation : Calculs d’intérêts composés

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Récapitulatif 1

☛ Utilisation de logarithme népérien : résoudre des équations avec une puissance, dont le

but est de déterminer la durée de placement.

☛ Utilisation d’une suite arithmétique : ajout ou retrait d’une même valeur à chaque

période.

☛ Utilisation d’une suite géométrique : multiplication par un même facteur à chaque

période.

☛ Résumé des formules :

Suite Arithmétique Suite Géométrique

Définition Un+1 =Un+r Un+1 = Un .q

Formule générale :

en fonction de u0 Un = U0 + nr Un = U0 . q

n

Formule Générale :

en fonction de u1

Un = U1 + (n-1)r

Un = U1 q

n-1

Somme des termes =n.

=

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Exercices de synthèse :

Exercice N°1 :

Une personne dispose d’un capital initial C0 = 3000 DZ.

- Pour le placement A, le taux annuel est de 6% à intérêts simples. C’est-`a-dire que le

capital d’une année est égal à celui de l’année précédente augmenté de 6% du capital initial

(les intérêts ne sont pas capitalisés chaque année, comme ce serait le cas pour des intérêts

composés).

- Pour le placement B, le taux annuel est de 4% à intérêts composés. C’est-`a-dire que le

capital d’une année est égal à celui de l’année précédente augmenté de 4%.

On note Cn le capital de cette personne au bout de n années avec le placement A et Dn le

capital de cette personne au bout de n années avec le placement B, capital exprimé en

dinars.

1. Calculer le capital pour chacun des deux placements après une année puis après deux

années.

2. Quelle est la nature de la suite (Cn) ? Pour tout entier n, exprimer alors (Cn) en fonction

de n.

3. Quelle est la nature de la suite (Dn) ? Pour tout entier n, exprimer alors (Dn) en fonction

de n.

4. Déterminer le nombre d’années nécessaires pour que le capital double avec le placement

A.

5. Quel est le placement le plus avantageux au bout de dix années ?

Solution :

1. Calculer le capital pour chacun des deux placements après une année puis après deux

années.

☛ Solution:

Avec le placement A, le capital augmente chaque année de 6 / 100 × 3000 = 180 dz.

On a donc après une année C1 = 3000 + 180 = 3180 dz

et après deux années C2 = 3180 + 180 = 3360 dz.

Avec le placement B, le capital est multiplié chaque année par ( 1 + 4 / 100) = 1, 04.

On a donc après une année D1 = 3000 × 1, 04 = 3120 dz

et après deux années D2 = 3120 × 1, 04 = 3244, 8 dz.

2. Quelle est la nature de la suite (Cn) ?

☛ Solution:

Chaque année, on ajoute 180 dz donc Cn+1 = Cn + 180

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donc (Cn) est une suite arithmétique de raison r = 180 et de premier terme C0 = 3000.

- Pour tout entier n, exprimer alors Cn en fonction de n.

☛ Solution:

On a donc Cn = C0 + nr soit ici Cn = 3000 + 180n

3. Quelle est la nature de la suite (Dn) ?

☛ Solution:

Chaque année on multiplie le capital par 1, 04 donc on a Dn+1 = Dn × 1, 04

donc (Dn) est une suite géométrique de raison q = 1, 04 et de premier terme

D0 = 3000.

- Pour tout entier n, exprimer alors Dn en fonction de n.

☛ Solution:

On a donc Dn = D0 × q n soit ici Dn = 3000 × 1, 04n

4. Déterminer le nombre d’années nécessaires pour que le capital double avec le placement

A.

☛ Solution:

Il faut résoudre Cn ≥ 6000. Cn ≥ 6000 ⇐⇒ 3000 + 180n ≥ 6000 ⇐⇒ 180n ≥ 3000

⇐⇒ n ≥ 3000/180 ⇐⇒ n ≥ 50/3 or n ∈ N et 50 /3 = 16, 7 donc n ≥ 17

donc le capital aura doublé après 17 années.

5. Quel est le placement le plus avantageux au bout de dix années ?

☛ Solution:

Il faut calculer C10 et D10.

C10 = 3000 + 10 × 180 = 4800 dz et D10 = 3000 × 1, 0410

= 4440, 73

Donc le placement A est plus avantageux après dix années.

Exercice N°2 :

Un loyer a une valeur initiale de 5000dz. On envisage deux types de contrat :

- Contrat A : Augmentation du loyer de 500dz par an.

- Contrat B : augmentation du loyer de 5% par an.

1/ Déterminez, pour chacun des deux contrat, le loyer des années 1,2,3 et de l’année n.

2/ En cumulé sur 20 ans, combien aura-t-on payé dans chacun des contrats ?

3/ Au bout de combien de temps le loyer aura-t-il double dans chacun des contrats ?

Solution :

1/ ☛ : Notons An le loyer avec le contrat A l’année n , et Bn le loyer avec le contrat B

l’année n.

17

On a ainsi A0= 5000 =B0 , A1 = A0 + 500= 5500 , A2= A1+ 500= 6000 et A3 = A2+500 =

6500.

On remarque que la suite (An) est une suite arithmétique de raison 500 et de premier

terme 5000, par conséquent An = 5000 + 500 x n.

On a B1 = 1,50 x B0 = 5250, B1= 1,05 x B1 = 5512,5 et B3= 1,05 x B2= 5788,125.

La suite (Bn) est une suite géométrique de raison 1,05 et de premier terme 5000 ; par

conséquent Bn = 1,05n x 5000

2/ ☛ : Pour le contrat A :

Pour cumuler les termes d’une arithmétique, on applique la formule de la somme des

termes d’une suite arithmétique. Ici le premier terme est 5000, le dernier est A19 = 5000 +

19 x 500= 14500 _en effet, on compte la première année comme année 0, la 20e année est

donc l’année comptée 19_ , le nombre de termes est 20.

Ainsi : =n.

☛ : Pour le contrat B :

Dans la formule de la somme des termes d’une suite géométrique, on a besoin du

premier terme: 5000, de la raison: 1,05 et du nombre de termes: 20.

Ainsi : =

3/ ☛ : On cherche à déterminer à quelle date le loyer aura doublé.

- Pour le contrat A :

Il s’agit de résoudre An = 10000

Soit 5000 + 500 x n= 10000 d’où 500 x n= 5000, donc n = 10 ans.

- Pour le contra B :

On doit résoudre Bn = 10000, soit : 5000 x 1,05n = 10000, d’où : 1,05

n = 2

On a une équation avec une puissance en inconnue, on utilise dans le logarithme pour

résoudre cette équation, ainsi : ln (1,05)n = ln (2), soit : n x ln (1,05) = ln (2), et donc :

n = ln (2) / ln (1,05) ≈ 14,2 ans.

Un résultat de 14,2 indique qu’il faut dépasser la 14e année pour doubler le loyer, or la

15e année le loyer a dépassé le doublement pour la première fois. Ainsi, si l’on suppose que

le loyer est payé une fois par an, alors il aura doublé la première fois au bout de 15 ans.

18

Chapitre 2 : Intérêts simples.

19


Le concept d’intérêt occupe une place centrale dans les mathématiques financières ; on

l’assimile parfois au prix du temps ou encore au loyer de l’argent. Tous les outils financiers

qui seront présentés dans la suite du polycopié s’appuient sur cette notion. Le but de ce

chapitre est de présenter les bases de calcul de l’intérêt sur un placement de court durée

appelé intérêt simple.

De ce fait, toutes les questions traitées dans ce chapitre concernent majoritairement les

opérations financières à courte terme (moins d’un an). Ces opérations affectent en majorité

la trésorerie des entreprises, telle que la gestion des comptes courants, l’escompte

commercial, le découvert, les emprunts à court terme.

Les intérêts simples sont des intérêts calculés uniquement sur le montant d’un capital

sans prendre en compte les intérêts antérieurs, ils sont utilisés dans les opérations de durée

inferieur à un an (qualifiées d’opération à court terme), pour lesquelles l’intérêt est versé en

une seule fois en début ou en fin d’opérations, et ils peuvent être précomptés ou post-

comptés. On en trouve des applications dans le domaine bancaire et dans celui des marchés

de capitaux.


1. Comprendre la notion générale d’intérêt.

2. connaitre la formule des intérêts simples.

3. savoir calculer un taux moyen.

4. Calculer la valeur acquise par un capital placé.

5. Comprendre les conventions de calcul de durée en finance.


1/ Concept d’intérêt

2/ L’intérêt simple (définition, calculs et champs d’application)

3/ Exercices de réflexions.

4/ Récapitulatif 2.

20

1/ Le concept d’intérêt:

Vous disposez au départ, à l’instant t0, d’une somme d’argent d’un montant C0 , Vous

déposez ce capital à la banque sur un compte d’épargne, plutôt que de le consommer

directement, vous acceptez donc de vous en dessaisir momentanément et de le prêter à votre

banque. La théorie financière nous dit que vous serez disposé à agir ainsi moyennant

l’octroi d’une rémunération de la part de la banque, appelée intérêt. On comprend déjà

aisément que ce revenu sera d’autant plus important que le montant initialement investi C0

est élevé et que la durée pendant laquelle vous laissez votre argent à la banque est longue.(1)

1.1/ Définition de l’intérêt :

C’est l’indemnité à laquelle a droit toute personne (créancier ou prêteur) qui a prêté à

une autre personne (débiteur ou emprunteur) une certaine somme d’argent pour une durée

bien déterminée.

- Pour un emprunteur (consommateur, entreprise,…), c’est le prix ou le cout à payer

au prêteur (banque,...) pour la jouissance immédiate d’un bien de consommation (ex :

automobile, appartement…etc.), ou pour l’utilisation d’un capital pendant un temps donné.

- Pour un épargnant, c’est le rapport d’un placement (récompense ou rémunération

pour la remise à plus tard de cette jouissance ou de l’utilisation d’un capital).(2)

D’une manière générale l’intérêt est défini comme la rémunération d’un prêt d’argent,

calculée en utilisant un taux d’intérêt appliqué au capital. 3

1.2/ L’unité de temps :

Au niveau du temps, on peut choisir diverses unités. Par défaut, l’unité de base en

finance est l’année. Toutefois, on peut aussi considérer d’autres unités de temps : le

semestre, le trimestre, le mois, le jour.(4)

Par exemple, il est courant dans les crédits à la consommation d’évoquer un crédit sur 24

mois. Au contraire, dans un prêt immobilier, on parlera d’un emprunt à 15 ans.

1.3/ définition de taux d’intérêt (exprimé en pourcentage):

Un financier désigne par taux d’intérêt nominal, une mesure de la vitesse moyenne de

croissance d’une somme à encaisser ou à payer (5)

, et il une fonction :

- Croissante du temps.

- du risque (il y a un risque de contrepartie : l’emprunteur peut faire défaut ; le taux d’intérêt

sera une fonction croissante du risque : plus l’emprunteur fait prendre de risque, plus

(1)

Pierre Devolder et autres, mathématiques financières, 2e Edition, Pearson, France, 2015, p 1.

(2) Benjamin Legros, op-cit, p 24. Révisé par mes soins.

- Marie Boissonnade, Daniel Fredon, op-cit, p 19. (3)

Cthrine Deffains-Crapsky, Eric Rigamonti, Réussir le DSCG (2) Finance, Edition EYROLLES, Paris,

2015, p 3. (4)

Pierre Devolder et autres, Ibid, p 3. (5)

Gérard Neuberg, Mathématiques financières et actuarielles « TD », DUNOD, Paris, 2012, p 58, 60.

21

le taux est élevé),

- des conditions économiques en général (si le prêteur a possibilité de placer son argent à

4.5%, il n’acceptera pas de prêter à moins).

Le taux dépend donc de nombreux paramètres économiques, financiers, politiques, de

circonstances propres à l’opération considérée (durée, solvabilité de l’emprunteur, ...).

Il est bien entendu que le taux n’est défini que si l’on mentionne la période à laquelle il

se rapporte. Lorsque cette précision n’est pas donnée, on sous-entendra généralement que

cette période est d’une année.

1.4/ Capital ou Principal : est la somme d’argent mise à disposition d’un emprunteur ou

placée par un épargnant.

Exemple :

Une personne (A) prête à une personne (B) une somme d’argent pendant une durée

déterminée.

Ce service rendu par A (le créancier) à B (le débiteur), suppose, au bénéfice de A, une

rémunération appelée ( intérêt), et qui n’est autre que le loyer de l’argent prêté.

D’après ce bref exposé on constate qu’y a Trois facteurs essentiels qui déterminent le

coût de l’intérêt:

la somme prêtée.

la durée du prêt.

et le taux auquel cette somme est prêtée.

Il y a deux types d’intérêt -on vira dans la suite leurs explications et comment les

distingués- :

1/ l’intérêt simple : correspond aux opérations financières à courts termes.

2/ l’intérêt composé : correspond aux opérations financières à longs termes.

1.5/ Justification de l’intérêt :

Plusieurs raisons ont été avancées pour justifier l’existence et l’utilisation de l’intérêt,

parmi lesquelles on peut citer : (1)

La privation de consommation: Lorsqu’une personne (le prêteur) prête une somme

d’argent à une autre (l’emprunteur), elle se prive d’une consommation immédiate. Il est

ainsi normal qu’elle reçoive en contrepartie une rémunération de la part de l’emprunteur

pour se dédommager de cette privation provisoire.

La prise en compte du risque: Une personne qui prête de l’argent, le fait pour une

durée étalée dans le temps. Elle court, dès lors, un risque inhérent au futur. La

réalisation de ce risque résulte au moins des éléments suivants :

(1 )

Gérard Neuberg, op-cit, p 59,60. Révisé par nos soins

- Cthrine Deffains-Crapsky, Eric Rigamonti, op-cit, p 4.

22

l’insolvabilité de l’emprunteur : dans le cas où l’emprunteur se trouve incapable

de rembourser sa dette, lorsque celle-ci vient à échéance, le prêteur risque de

perdre l’argent qu’il a déjà prêté. Il est alors normal qu’il exige une rémunération

pour couvrir le risque encouru et dont l’importance sera appréciée en fonction de

la probabilité de non remboursement.

l’inflation : entre la date de prêt et la date de remboursement, la valeur du prêt

peut diminuer à la suite d’une érosion monétaire connue également sous le nom

d’inflation. Le prêteur peut donc exiger une rémunération pour compenser cet

effet.

2/ L’intérêt simple ( Définition, calculs et champs d’applications) :

2.1/ Définition de l’intérêt simple :

L’intérêt est dit simple lorsqu’il est calculé à chaque période seulement sur la base de la

somme prêtée ou empruntée à l’origine. Il ne s’ajoute pas au capital pour porter lui-même

intérêt (1)

. C’est-à-dire : que le capital placé reste invariable pendant toute la durée de

placement.

L’intérêt simple est versé en une seul fois, il est proportionnel au capital prêté ou placé et

à la durée du placement du capital (2)

. Le coefficient de proportionnalité est le taux

d’intérêt.

Les intérêts simples concernent essentiellement les opérations dans la durée est

quelconque, mais ne dépasse pas généralement un an (qualifiées d’opération à court terme).

Ici en Algérie le crédit à court terme est classiquement considéré comme n’excédant pas

deux ans. Cette durée correspond à la nature des besoins de l’entreprise et, à cet égard, le

terme de deux ans est généralement loin d’être atteint.

Le versement de ces intérêts peut s’effectuer soit : (3)

- à l’issue du contrat ou du placement (intérêts post-comptés).

- Au moment du versement du capital (intérêts précompté). Nous y reviendrons dans

les points qui viennent.

NB : il faut toujours exprimer « t » et « n » en unités de temps comparables :

- t annuel, n en années.

- t mensuel, n en mois.

2.2/ Formule fondamentale de l’intérêt simple :

La durée du placement pour les opérations financières à court terme est exprimée en

années, en jours ou en mois.

(1)

Gilles Meyer, Finance d’entreprise « préparation complète à l’épreuve DCG6 », Vuibert, Paris, 2016, p 8. (2)

Pierre Devolder et autres, op-cit, p 3. (3)

Gérard Neuberg, op-cit, p 60 .

23

2.2.1/ Durée de placement exprimée en année :

Le montant de l’intérêt ( I) dépend évidemment :

C0 : le montant du capital prêté ou emprunté en dz (valeur nominale ou valeur

actuelle).

n : De la durée de prêt en année (ou placement).

t : Le taux d’intérêt annuel en pourcentage

La formule de (I) est de : (1)

Ou bien

Exemple :

Calculer le montant d’intérêt que fournira Un capital de 100000 dz, prêté pendant 1 an,

au taux de 5%, à un prêteur.

2.2.2/ Durée de placement exprimée en mois :

La durée (n) d’un placement peut être exprimée en mois, elle correspond alors à

d’année. La formule de calcule de l’intérêt est :

(2)

Exemple :

Calculer le montant d’intérêt sur Un capital de 48000dz, effectué à 7% pendant

11mois.

(1)

Walder Masièri, Mathématiques financières « Aide- Mémoire », 2e Edition, DUNOD, Paris, 2008, p 4.

(2) Benjamin Legros, op-cit, p 25

☛ Solution:

24

2.2.3/ Durée de placement exprimée en jours :

La durée de placement peut être exprimée en jour. Trois types d’années sont pris en

considération dans le calcule des jours : (1)

Année Commerciale : tous les mois sont comptés à 30 jours et l’année à 360 jours.

le dernier jour du mois est considère comme étant 30. Cette année est d’usage à titre

d’exemple dans les pays tels que l’Allemagne, la Suisse et les pays Scandinaves.

L’année réelle ou exacte :

On distingue :

L’année Civile : les mois sont comptés à leur juste valeur ( à leur nombre exact),

et l’année à 365 jours tenant compte de nombre de jours de moi de février qui est

28 jours. Cette année est d’usage à titre d’exemple en Grande-Bretagne, et autres

pays anglo-saxons et aux Etats Unis.

L’année Bissextile: les mois sont comptés à leur juste valeur ( à leur nombre

exact), et l’année à 366 jours tenant compte de nombre de jours de moi de février

qui est 29 jours.

Les conventions commerciales usuelles fixent l’année financière à 360 jours « durée en

jours de l’année commerciale », et chaque mois à son nombre exact de jours (on parle de

calcule en base « exact / 360 = Nombre de jour exact de prêt/ Base »).

La détermination du nombre exact de jour : Le principe de comptage des jours qui

séparent la date initiale et la date finale du prêt est de ne retenir que l’une de ces deux dates

(une seule borne est prise en compte à savoir la date initiale est exclue et la date finale est

incluse).

La formule générale prend alors la forme : (2)

(1)

Gérard Neuberg, op-cit, p 58 , Révisé par nos soins . (2)


☛ Solution:

25

Indiquons cependant que, bien qu’en Algérie l’année soit retenue à 360 jours, les mois

sont comptés à leur nombre de jours exact, et non à 30 jours ⇐⇒ l’utilisation de l’année

financière.

NB : dans les caisses d’épargne, Les sommes versées ne commencent à porter intérêt qu’à

partir du premier jour de la quinzaine qui suit (ce jour inclus), les sommes retirées ne

portent intérêt que jusqu’au dernier jour de la quinzaine précédente (ce jour inclus).

Exemple :

Un prêt consenti le 4 mars est remboursé le 15 mai. Quelle a été, en jours la durée de

l’opération.

2.3/ Calculs sur la formule fondamentale :

La formule générale de calcul de l’intérêt simple met en jeu les quatre quantités I, C0, t,

n, qui supposent donc la résolution de quatre problèmes différents, trois de ces quatre

quantités fondamentales pouvant être connues, le problème consistant à calculer la

quatrième. (1)

La formule fondamentale permet sans difficulté la résolution de tous ces problèmes.

Ainsi, lorsque la durée de placement est exprimée, par exemple, en jours, on écrira : (2)

2.4/ Valeur acquise par un capital :

La valeur acquise par un capital est le capital augmenté des intérêts acquis pendant le

temps couru au-delà de la date choisie comme origine des temps. Elle toujours associée à

(1)

Pierre Devolder, op-cit , p 11. (2)

Ibid, p 12,13.

☛ Solution:

26

une date.(1)

Ainsi, selon que la durée de placement est exprimée en (n) années, (m) mois ou (j)

jours, on aura la valeur acquise (A) : (2)

Valeur acquise = capital + intérêts

Exemple :

Calculer la valeur acquise par un capital de 12000 dz, placé à 9% pendant 45 jours.

Exemple :

16000 dz placés du 15/01/2016 au 7/07/2016, à un taux annuel de 4% donnent quel

montant d’intérêts ? De combien disposera-t-on à l’échéance ?

(1)

Thierry Rolando, Jean-Claude Fink, Mathématiques Financières, VUIBERT, Paris, 2000, p 6. (2)

Octave Jokung Nguéna, Mathématiques et gestion financière « application avec exercices corrigés, 1ière

édition, Edition De Boeck Université, Bruxelles, Belgique, 2004, p 25. Révisé par nos soins.

☛ Solution:

☛ Solution:

27

2.5/ valeur actuelle d’un capital :

Nous avons jusqu’à présent considérer des opérations financières simples ne

comprenant qu’un capital initial et un capital final. En pratique, les problèmes financiers

comprennent généralement plus de deux montants, (comme on le vira dans les chapitres 5

et 6)

L’actualisation consiste d’une manière générale, à partir du capital connu à atteindre à

une date future donnée, à calculer le montant nécessaire à placer aujourd’hui pour atteindre

ce montant avec les intérêts.(1)

du point de vue de l’emprunteur, la somme que l’on peut

emprunter en date (0) si l’on veut rembourser.

Considérons par exemples une valeur acquise d’un capital pendant une durée de

placement : on peut alors être intéressé par la valeur actuelle à l’origine de ce capital,

comme le suggère l’exemple suivant : (2)

C0 A= 1000dz

n = 1an

Quelle est la valeur actuelle d’un montant de 1000dz à recevoir dans 1an si le taux

d’intérêt annuel est de 8% ?

Dans ce cas : C0= 1000/1,08 = 925,93dz

On vérifie bien qu’un montant initial de 925,93dz capitalisé pendant 1 an à un taux de

8% génère un montant final de 1000dz.

L’actualisation permet ainsi de comparer des montants monétaires dans le temps (à

intérêt simple dans ce chapitre), Par la formule suivante : (3)

2.5.1/ Représentation graphique de l’intérêt produit par un capital placé :

L’intérêt produit par un placement est fonction linéaire croissante du capital placé, ainsi

que du taux, et aussi de la durée de placement, quelle que soit l’unité (année, mois, jour)

dans laquelle est exprimée cette durée.

(1)

Pierre Devolder et autres, op-cit, p 21. (2)

Ibid, p 22. (3)

Gilles Meyer, op-cit, p 9. Réviser par nos soins.

28

Exemple :

Représentation graphique de la variation, en fonction de la durée positive de placement

(n) exprimée en mois, de l’intérêt produit par le placement d’un capital de 60000dz, à 8%

Représentation graphique :

Source : élaboré par nos propres soins.

2.5.2/ Représentation graphique de la valeur acquise par un capital :

La valeur acquise par un capital est fonction croissante du capital placé. Ainsi que du

taux, et aussi de la durée de placement.

Exemple :

Représentation graphique de la variation en fonction de la durée de placement exprimée

en jours, de la valeur acquise par un capital de 18000dz, placé à 10%.

On peut écrire :

Intérêt (I)

Durée n (en

mois)

4000

10 12 8 6 4 2

I= 400.n

29

Représentation graphique :

Source : élaboré par nos propres soins.

Exemple de synthèse:

Une somme de 10000 dz est placée sur un compte du 23 Avril au 9 Août au taux simple

de 7 %

1/ Calculer le montant de l’intérêt produit à l’échéance.

2/ Calculer la valeur acquise par ce capital.

3/ Chercher la date de remboursement pour un intérêt produit égal à 315 dz.

Valeur acquise

20000

19500

18000

10000

0

60 120 180 240 300 360

Durée n

(en jours)

Valeur acquise = 5n + 18000

☛ Solution:

30

2.6/ Taux moyen d’une série de placements effectués simultanément :

Soit K placements simultanés à intérêt simple de somme Ck , aux taux tk , sur nk jours.

Capitaux C1 C2……………… Ck

Taux t1 t2……………….. tk

Durées n1 n2………………. nk

Les taux t1, t2,….,tK n’étant pas tous égaux entre eux.

L’intérêt total de cet ensemble de placement est égal à : (1)

(1)

Walder Masièri, op-cit , p 8.

31

Nous appellerons taux moyen de cet ensemble de placement le taux unique Ɵ auquel il

aurait fallu placer plusieurs capitaux pour obtenir le même intérêt total qu’avec les taux

différents appliqués à chacun d’eux.

Exemple :

Calculer le taux moyen des placements suivants :

- 5400dz placés à 8% pendant 70 jours.

- 2310 dz placés à 6% pendant 60 jours.

- 1800 dz placés à 7% pendant 40 jours.

Alors d’une manière générale : (1)

On remarquera que cette formule de calcule de taux moyen ne dépend pas de l’unité

dans laquelle est exprimée la durée du placement.

(1)


☛ Solution:

32

Exemple :

Soit un capital de 13000 dz, placé à 5% pendant une période allant de 11/01 au 11 /05.

Calculer l’intérêt commercial, l’intérêt civil, et déterminer le taux civil qui permettrait

d’atteindre le même intérêt.

2.7/ Terme échu, terme à échoir, taux effectif:

Comme on l’a déjà signalé, selon les modalités du contrat de prêt ou de placement, les

intérêts peuvent être versés en début ou en fin de période :

2.7.1/ Intérêts post-comptés :

Tous les résultats et formules qui précèdent sont fondés sur le paiement des intérêts par

l’emprunteur au jour de remboursement du capital emprunté. Alors Lorsque les intérêts

sont payés en fin de période, on dit qu’ils sont post-comptés IPE (Intérêt Payable à

l’échéance) ou terme échu.(1)

Si rien n’est précisé, l’intérêt simple est supposé s’acquérir jour par jour et être payable à

terme échu

Ces intérêts sont calculés au taux d’intérêt simple, sur le capital initial (C) qui représente

le nominal. Ils sont ajoutés ensuite, au nominal pour constituer le capital final (A) (valeur

acquise).

(1)

Gérard Neuberg, op-cit, p 60. Révisé par nos soins.

☛ Solution:

33

Pour un capital initial égal à (C) on a donc :(1)

C0 A= C0+C0tn = C0 (1+tn)

Exemple :

Emprunt de 150dz au taux de 8% pendant 1 an. L’emprunt reçoit 150dz et

rembourse un an plus tard 150+ 12= 162dz. Ces 162dz constituent la Valeur acquise « A »

(ou valeur future) du capital 150dz en un an. An sens contraire, le capital initial 150dz est

appelée Valeur actuelle (ou valeur actualisée) des 162dz au taux 8%. Il est ainsi équivalant

de détenir 150 dz à une date donnée et de détenir 162 un an plus tard.

2.7.2/ Intérêts précomptés :

Lorsque les intérêts sont payés en début de période, on dit qu’ils sont précomptés2 c’est-

à-dire qu’ils sont Payables d’Avance (IPA), ou terme à échoir. Ils sont calculés sur le

nominal, qui constitue la somme finale (C) et retranchés du nominal pour déterminer la

somme initiale ou mise à disposition.

Etant donné un nominal égal à (C0), on aura alors :

’

où C’ désigne la somme initiale : (3)

0 n

C’= C0 - C0 nt= C0 (1 – nt) C0

Exemple :

Emprunt de 150dz au taux de 8% pendant 1 an. L’emprunteur reçoit 150-12= 138dz, la

valeur actuelle est 138dz et la valeur acquise est 150.

Récapitulons : prenons l’exemple de tout à l’heure C0 = 150dz, t = 8% , n = 1an

0 n = 1 0 n = 1

C0= 150dz C0+I = 162 C’= C0 – I = 138dz C0 = 150dz

Intérêts post-comptés (IPE ) Intérêts précomptés (IPA)

(1)

Marie Boissonnade, Daniel Fredon, op-cit, p 19. (2)

Benjamin Legros, op-cit, p 36. (3)

Marie Boissonnade, Daniel Fredon, Ibid, p 20.

n 0

34

2.7.3/ Taux effectif de placement :

Quand les intérêts sont payables d’avance, le taux d’intérêt effectif est celui appliqué au

capital effectivement prêté ou emprunté (C’) donne le montant de l’intérêt produit. En

désignant par T, le taux effectif.1

Exemple :

Une personne place à intérêt précompté 30000dz pour une durée de 6 moi, au taux de

10% .Quel est le taux effectif de ce placement.

Généralisation :

Un capital (C0) est placé, à intérêt précompté, au taux (t), pour (n) années.

Exprimer le taux effectif (T) qui résulte du précompte de l’intérêt.

Capital effectivement engagé par le préteur : (2)

’

(T) est tel que

(1)

Walder Masièri, op-cit , p 10. (2)

Ibid, p 10,11.

☛ Solution:

35

On en tire

Si la durée de placement était exprimée en mois on aurait :

Si la durée était exprimée en jours on écrirait :

2.8/ Méthode des Nombres et des Diviseurs fixes:

Les calcules d’intérêt sont longs lorsqu’ils portent sur un ensemble de somme, c’est

souvent le cas dans la pratique. Aussi, les méthodes commerciales ou méthode de calcul

rapide des intérêts présentent des grands avantages principalement pour la banque. Il existe

plusieurs méthode, mais nous n’en étudierons qu’une de ses méthodes la plus facile pour

nous, qui est la méthode de nombre et diviseur fixe. 1

La méthode qui va être exposée est surtout utilisée lorsque la durée d’un placement est

exprimée en jours.

2.8.1/ Principe de la méthode :

Soit la formule de l’intérêt

Si on devise le numérateur et le dénominateur par t, nous obtenons :

C0.n (numérateur) est appelé nombre. C’est donc le capital multiplié par le nombre ( en

jours).

Le diviseur fixe (dénominateur) est le chiffre obtenu en divisant 36000 par le taux. Nous le

noterons D.

Ainsi, La formule de calcule de l’intérêt devient :

- Le produit (C0.n), désigné par le symbole (N) est appelé Nombre.

- Le quotient (

), désigné par le symbole (D) est appelé Diviseur fixe attaché au taux

(t).

2.8.2 / La règle :

On peut obtenir l’intérêt d’un capital pour un certain nombre de jours en divisant le

nombre pare le diviseur fixe. Pratiquement, on ne calcule pas le diviseur, il est connu par

ceux qui l’utilisent. En effet, 36000 est divisible par la plupart des taux couramment

(1)


36

employés et le diviseur obtenu est un montant facile à retenir. Voici un tableau

correspondant au taux usuels.

Taux en % Diviseur D= 36000/ t Taux en % Diviseur D= 36000/ t

2 18000 6 6000

2,5 14400 7,2 5000

3 12000 7,5 4800

4 9000 8 4500

4,5 8000 9 4000

5 7200 10 3600 Source : Elaboré par nous même.

Exemple :

Calculer l’intérêt produit par un capital de 5400dz, placé à 4% pendant 75 jours.

2.8.3/ Calcul de l’intérêt global de plusieurs capitaux :

La méthode des Nombres et des Diviseurs fixes est surtout à retenir lorsque l’on doit

calculer l’intérêt total procuré par plusieurs capitaux placés tous au même taux.

Exemple :

Calculer au taux unique de 4%, de l’intérêt globale fourni par les capitaux suivants :

3000 dz pendant 20 jours



En appliquant la méthode des Nombres et des Diviseurs fixes on écrira :

☛ Solution:

37

D’une façon générale l’intérêt global fourni par plusieurs capitaux tous placés au même

taux (t) est donné par la formule : (1)

(D) étant le diviseur fixe attaché au taux (t).

Exercices de réflexions :

Exercice 1 : A partir de la relation fondamentale de la valeur acquise d’un capital à un

intérêt simple, calculer les valeurs de C0, t et n.

( Rép : )

Exercice 2 : Quel montant faut-il placer aujourd’hui au taux annuel simple de 3% pour

obtenir un capital de 5000 dz dans 120 jours ? (Rép : ………….)

Exercice 3 : On place 5000 dz pendant 90 jours et l’on obtient 5050 dz. Quel est le taux

d’intérêt ? (Rép ……)

Exercice 4 : On place 5000 dz au taux annuel simple de 3, 35% et l’on obtient 5110 dz.

Quelle est la durée du placement en jours ? (Rép : ………..)

Exercice 5 : On place 5000 dz au taux annuel simple de 3% pendant 45 jours. Quel est le

montant des intérêts obtenus ? (Rép : ……..)

(1)


38

Récapitulatif 2

☛ L’intérêt est la rémunération d’un placement pour un prêteur ou le cout d’un emprunteur.

☛ Généralement le capital de l’année n+1 se calcul à partir du capital de l’année (n) par la

formule : Cn+1= Cn +C0.t, sachant que (Cn) est une suite arithmétique de raison C0.t, donc on

peut donner l’expression de Cn en fonction du premier terme (C0) : Cn = C0+n.C0.t

☛ L’intérêt est dit simple lorsque l’opération financière est de courte durée « inférieur à un

an », et cela selon la règlementation financière de chaque pays. En Algérie la durée

n’excède pas 2 ans.

☛ L’intérêt simple est fonction de la somme prêtée, de la durée et du taux d’intérêt négocié

entre le prêteur et l’emprunteur.

☛ Mode de calcule des intérêts simples :

Formules Intérêts Valeur Acquise Valeur Actuelle

En années

En mois

En jours

☛ Le principe du prêt en intérêts précomptés est de payer les intérêts au moment du prêt et

no en fin de prêt.

☛ Lorsque l’intérêt est précompté, le taux effectif correspond au capital effectivement prêté

ou emprunter.

☛Le taux moyen de plusieurs placements de valeurs de placements différents, de taux

différents et de durées différentes est donné par la formule :

☛ La méthode des Nombres et des Diviseurs fixes est surtout à retenir lorsque l’on doit

calculer l’intérêt total procuré par plusieurs capitaux placés tous au même taux, et cela par la

formule suivante :

39

Exercice 01 :

Compléter le tableau suivant, en calculant les éléments manquants dans chacune des

hypothèses de placement.

Capital Taux annuel Durée de placement Montant des intérêts Valeur acquise

2750dz 5% 1ans

2260dz 5,30 % 48jour

6% 1ans 424,80dz

3,75% 164jours 14,27dz

4,30% 25jours 651,91dz

890dz 46jours 5, 33dz

42dz 10mois 4,91dz

3285dz 6mois 3410,55dz

4180dz 4,75% 50,05dz

Exercice 02 :

Deux capitaux égaux, placés à intérêts simples, le premier à 6% pendant 125jours, le

deuxième à 9% pendant 275jours, ont rapporté ensemble 268,75dz.

a/ Calculer la valeur commune des deux capitaux ?

b/ Calculer les deux intérêts ?

Exercice 03 :

On place à intérêt précompté, au taux de 9%, un capital de 20000dz pendant 20 mois.

_ Calculer le taux effectif de placement qui résulte de l’opération ?

Exercice 04 :

Deux capitaux dont le total est de 5000dz, sont placés :

- Le premier à t%

- Le deuxième à (t+1)%

Revenu annuel du premier capital est de 80dz . Revenu annuel du second est de 150dz.

_ Calculer les deux capitaux et les deux taux ?

Exercice 05 :

une personne a contracter un prêt de 8000dz pour une durée de remboursement d’un ans

avec un taux de 6%, après 3 mois il a remboursé 2000dz et a 6 mois 5000dz _ Calculer la

somme restante à rembourser ?

Exercice 06 :

Un capital placé à 9% pendant une certaine durée a acquis une valeur de 17400dz, placé

à 10% pendant un an de moins ce même capital aurait fourni un intérêt de 4800dz.

- Calculer ce capital et la première durée de placement ?

Série d’exercices N°1 [Intérêts simples]

40

Exercice 07 :

Un capital 10000dz est placé à intérêt simple à 8%. Un autre capital, de montant 9600dz

est placé, à la même date, à intérêt simple à 10%.

a/ Déterminer au bout de combien de temps ces deux capitaux auront acquis la même

valeur ?

b/ D’une manière générale deux capitaux (x) et (y) sont placé, le même jour, à intérêt

simple, au taux respectifs (t) et (t’).

- Au bout de combien de temps ces deux capitaux auront-ils acquis la même valeur ?

discuter les conditions de possibilité du problème.

Exercice 08 :

Deux capitaux dont le montant total est de 16800dz sont placés pendant un an, à des taux

respectifs qui diffèrent de 0,40( les taux sont exprimés pour 100).intérêt total : 1651,21dz.

Si le premier capital avait été placé au taux du second capital, et le second capital au taux

du premier, l’intérêt annuel total aurait été de 1641,60dz.

- Calculer les deux capitaux et les deux taux ?

Exercice 09 :

Un capital de 10000dz a été placé durant 1 an, au taux d'intérêt 4% .

Calculer le taux réel de placement dans les cas suivants :

1/ en plus des bénéfices y a eu une récompense (une prime) de 10%.

2/ un impôt sur les bénéfices de 15% a été payé.

3/ l’intérêt a été pays à l'avance le jour de la signature du contrat ( intérêt précompté) .

Exercice 10 :

Un capital de 12000dz a été divisé en 3 placements comme suite :

Le montant de Deuxième capital est le double de montant du premiers capital, le revenu

annuel global s’élève à 480dz . les intérêts sont en rapports avec les chiffres 2, 4, 6

successivement.

- Calculer : I1, I2, I 3

- Calculer le montant des trois capitaux.

- Calculer le taux unique de placement.

Exercice 11 :

Un commerçant a reçu un crédit de 250 dz du 20 juin au 15 aout N, au taux nominal de

12%. En raisonnant en intérêts précomptés :

- Calculer l’intérêt du à la banque

- Calculer le taux effectif ‘T’

41

Chapitre 3 : Escompte et Equivalence des

Capitaux à intérêt simple

42


A la suite d’une vente à crédit à court terme, un document commercial est généralement

crée. Il fait foie de l’existence d’une créance du fournisseur sur son client.

Le client qui doit est appelé le débiteur et le fournisseur auquel on doit est le créancier.

Le document commercial qui peut être aussi bien une lettre de change qu’un billet à ordre

est un effet de commerce.

Le créancier pourrait vouloir disposer de son argent avant la date d’échéance convenu, la

possibilité lui est offerte de vendre l’effet en le négociant auprès d’un établissement

financier qui est généralement la banque. Cette dernière rend service à son client, ce service

est payé au moyen d’un intérêt appelé escompte. Cet escompte commercial contrairement à

l’escompte financier qui est une réduction accordée à un client qui règle sa facture avant

échéance.

Du même pour le client, afin d’honorer sa dette et éviter les incident de paiement à

échéance, il demande à son fournisseur de prolonger la date d’échéance. En acceptant

d’accorder un délai supplémentaire à son client, le fournisseur procède au remplacement de

l’ancien effet par un nouveau effet se qui révèle la notion d’équivalence entre capitaux pour

procéder à ce renouvellement d’effets.

Le but de ce chapitre est de présenter les bases de calcul d’une opération d’escompte sur

un effet de commercial de courte durée, c’est-à-dire à un intérêt simple.

De ce fait toutes les questions traitées dans ce chapitre concernent majoritairement les

opérations d’escompte et d’équivalences des capitaux à courte terme (moins d’un an).


1. connaitre le principe de l’escompte.

2. Evaluer une date d’équivalence de capitaux.

3. savoir comparer les modes de paiement.

4. connaitre la définition d’un agio.

5. résoudre les problèmes posés par la notion d’équivalence.

6. faire une distinction entre échéance moyenne et échéance commune.


1. Origine et définition d’un effet de commerce.

2. Définition, et calcul de l’escompte commercial (Ec).

3. Pratique de l’escompte. Agio et la Valeur Actuelle Nette.

4. Equivalence de capitaux. Dates d’équivalence.

5. Récapitulatif 3

43

1/ Origine et définition d’un effet de commerce :

1.1/ Notion d’effet de commerce :

Les opérations commerciales entre entreprises font généralement l’objet de règlements

immédiats par la remise: d’espèces, d’un chèque bancaire ou postal, ou de règlements

différés. On parle pour ce dernier règlement de crédit inter entreprises pour désigner le délai

de paiement accordé par les fournisseurs à leurs clients. Pour formaliser le paiement à

l’échéance, le vendeur peut exiger que sa créance soit matérialisée par un document appelé

« effet de commerce », qu’il s’agisse d’une lettre de change ou d’un billet à ordre.(1)

Illustrons cette dernière notion par cet exemple : (2)

Le 10 mars (A) vend à (B) des marchandises pour un montant de 30000dz, le règlement

devant intervenir le 31mais.

(A) Le créancier doit donc attendre le 31 mais pour entrer en possession de ses fonds.

Cependant il peut avoir besoin de cet argent bien avant le 31 mais.

Supposons que (A) sollicite, le 26mars, une avance de son banquier, avance garantie par

la créance qu’il possède sur (B). le banquier n’accordera cette avance que si (A), son client

est en mesure de prouver par document écrit l’existence de cette créance de 30000dz à

échéance du 31 mais.

(A) se tournera vers (B) et lui demandera alors :

_ soit de souscrire un billet à ordre, c’est-à-dire de promettre, par écrit, de lui régler une

somme de 30000dz à la date du 31 mais.

_ soit d’apposer sa signature sur une lettre de change, ou traite, rédigée par (A),

reconnaissant aussi l’existence, au profit de (A) d’une créance de 30000dz, à encaisser le 31

mais.

Billet à ordre et lettre de change sont des effets de commerce.

1.2/ Typologie des effets de commerce :

Un effet de commerce est un écrit par lequel on s’engage à payer une certaine somme

(valeur nominale) à une certaine date (date d’échéance). Le créancier a ensuite deux

solutions : (3)

- Soit d’attendre la date d’échéance pour toucher la somme notée sur l’effet

- ou bien - dans le cas où il a besoin d’argent liquide- négocié l’effet de commerce auprès

d’un banquier avant sa date d’échéance pour disposer rapidement du paiement. Le banquier

retiendra sur la valeur notée sur l’effet un escompte, et donnera au client une somme

inférieure à cette valeur.

(1)

Thierry Roland, Jean- Claude Fink, op-cit, p 13. (2)

Walder Masiéri, op-cit, p 24. (3)

Thierry Roland, Jean Claude Fink, Ibid, p 13.

44

Il existe deux grands types d’effets de commerce : (1)

La lettre de change (la traite) : est un titre par lequel une personne (tireur c’est-a-dire le

créancier) donne mandat à une autre personne (tiré c’est-à-dire le débiteur) de payer une

certaine somme à un bénéficiaire désigné (généralement le tireur ou une tierce personne), à

une échéance donnée.

Le billet à ordre : est un écrit par lequel un souscripteur (le débiteur) promet de payer à

un bénéficiaire (créancier, porteur) une certaine somme à une échéance donnée.

Deux mentions essentielles portées sur un effet de commerce sont :

- Le montant de la créance, appelé valeur nominale de l’effet. V0= 30000dz

- La date du paiement de cette valeur nominale, appelée date d’échéance de l’effet, ou

simplement échéance, EX : le 31 mais.

D’après l’exemple mentionné dans la sous section précédente, Le 26 mars (A) présente

l’effet de commerce à son banquier et le lui vend. On dit aussi qu’il négocie l’effet, ou

encore qu’il le remet à l’escompte, de son coté le banquier escompte l’effet.

L’objectif de l’escompte est de permettre à une entreprise de disposer de liquidités à

court terme.

Q : Pourquoi ne pas faire simplement un emprunt ?

L’entreprise bénéficiaire qui a besoin rapidement de liquidités peut envisager un emprunt

auprès de la banque. La préférence est souvent pour l’escompte car il coute moins cher à

l’entreprise.(2)

2/ Définition, et calcul de l’escompte commercial (Ec) :

2.1/ L’opération d’escompte :

L’escompte est souvent défini comme une opération de financement à court terme qui

consiste à céder des effets de commence avant leurs date d’échéance à une banque.

Autrement dit, le terme d’escompte permet de designer l’opération par laquelle le banquier

avance à un commerçant ou à une entreprise, en échange d’un effet de commerce que lui

remet cette dernière, une somme égale au montant de l’effet diminuée d’une rémunération

calculée selon la durée restante à courir jusqu’au recouvrement de l’échéance. (3)

2.2/ définition de l’escompte commercial :

C’est l’intérêt simple calculé à un taux indiqué par le banquier sur une somme égale à la

valeur nominale de l’effet et une durée allant du jour de la négociation jusqu’au jour de

l’échéance, ce nombre de jours correspondant à la durée de prêt consenti par le banquier,

c’est la méthode appliquée en pratique.

(1)

Mansouri Mansour, Système et Pratiques Bancaires en Algérie, Edition Distribution Houma, Alger, 2005,

p 264, 276. (2)


Pierre Devolder et autres, op-cit, p 22. Révisé par nos soins.

45

L’escompte est généralement une opération à intérêt précompté, puisque en contrepartie

de l’apport de la créance, le banquier paie immédiatement le montant de l’effet appelée

valeur nominale diminué des intérêts et des commissions.(1)

On peut alors résumer la définition comme suit :

_

Client

Source : élaborer par nos propres soins d’âpres la définition. Banque

2.3/ Le calcule de Ec :

Soit,

(C0) : la valeur nominale de l’effet, c’est la valeur de l’effet à son échéance

(t ): taux d’escompte

(n) : durée de l’escompte, c’est le nombre de jours séparant la date de négociation de l’effet

de sa date d’échéance.

(Ec) : l’escompte commercial

(a) : la valeur actuelle commerciale

On pourra donc écrire : (2)

Ou bien on utilisant la méthode des nombres et des diviseurs fixes :

Remarque : Cette formule est valable en jours, est modifiable en mois, en remplaçant n/

36000 par n/1200, mais ici (n) signifie les mois et non pas les jours.

Exemple :

En date de 1/1/2016 un commerçant a acheté une machine d’une valeur de 20000dz,

dont la date d’échéance est le 12/4/2016. L’effet du commerce remis en vendeur a été

négocié le 14/2/2016 au taux de 6%.

- Calculer l’escompte commercial.

(1)


Gérard Neuberg, op-cit, p 65. Révisé par nos soins

Valeur nominale

Valeur ou Valeur ou Valeur

Nette escomptée actuelle Escompte

46

NB : comme l’intérêt simple, l’escompte est fonction linéaire du taux, du temps et de la

valeur nominale de l’effet.

2.4/ Valeur actuelle commerciale:

Reprenons l’exemple citer dans introduction : Le 26 mars le banquier retient

immédiatement l’escompte, et remet à son client 30000 – 495= 29505dz. Le 31 mais il

recouvrera les 30000dz en encaissant l’effet à son échéance. En réalité l’opération est une

opération d’intérêt précompté.

La valeur actuelle commercial est la somme effectivement mise par le banquier à la

disposition de son client, c’est-à-dire la différence entre la valeur nominale d’un effet de

commerce et son escompte commerciale1, ici 29505dz est appelée valeur actuelle

commerciale. Soit : (2)

(a ): la valeur actuelle commerciale, on écrira

Ou bien par méthode des nombres et des diviseurs fixes :

NB : la valeur actuelle d’un effet de commerce est fonction linéaire de la valeur nominale de

l’effet, et fonction affine du taux de l’escompte, et aussi au du nombre de jours retenu par le

calcul de l’escompte.

Exemple :

On présente à l’escompte un effet de valeur nominale 3000 dz, 58 jours avant sa date

d’échéance. Calculer l’escompte commercial ainsi que la valeur actuelle, sachant que le taux

d’escompte est de 6%.

(1)


Ibid, p 35.

☛ Solution:

47

Exemple :

Quelle est la valeur nominale d’un effet dont la valeur actuelle est de 3561 dz, sachant

qu’il a été escompté au taux de 4%, pour 65 jours.

2.5/ Problème sur l’escompte commercial:

La formule donnant l’escompte commerciale met en jeu quatre quantités : Ec, C, t, et n,

qui entrainent la résolution de quatre problèmes différents, chacune de ces quatre quantités

pouvant être l’inconnue d’un de ces problèmes.

La formule donnant l’escompte commercial permettra donc d’écrire :

Cette dernière formule permettant, si l’on connait la valeur nominale d’un effet de

commerce, le taux d’escompte, le montant de l’escompte commerciale, de déterminer : (1)

- La date d’échéance de l’effet, connaissant la date de négociation

- Ou la date de négociation, connaissant la date d’échéance de l’effet.

Exemple :

Un effet dont la valeur nominale est de 9000 dz , est négocié 40jours avant l’échéance,

(1)

Walder Masiéri, op-cit, p 26 .

☛ Solution:

☛ Solution:

48

à un taux de 6%. En utilisant la méthode des nombres et des diviseurs fixes :

- Calculer Ec

- Calculer la valeur actuelle.

3/ Pratique de l’escompte . Agio et la Valeur Actuelle Nette :

3,1/ Définition de L’Agios :

Lorsque le banquier escompte un effet de commerce, il retranche l’escompte de la valeur

nominale comme nous l’avons vu. Il retranche également diverses commissions pour

rétribuer ses services et les Taxes.

L’agio est l’ensemble de ces retenues :1

3,2/ Les commissions :

Les commissions couvrent les frais de la banque, les principales sont : (2)

A/ Les commissions proportionnelles au temps : qui se calculent sur les mêmes bases

que l’escompte, donc proportionnellement à la valeur nominale de l’effet escompté, et à la

durée qui sépare la date de négociation de la date d’échéance de l’effet, et au taux attaché à

ces commissions. Ex : commission d’endos.

B/ Les commissions indépendantes du temps : qui sont proportionnelles seulement au

capital ( la valeur nominale de l’effet), et au taux. Ex : Commissions de lieu.

C/ Les commissions fixes : certaines commissions sont fixes, et indépendantes du nominal

de l’effet et du nombre de jours restant à courir à celui-ci. Son montant est fixe. Ex :

commissions de service.

3.3/ La valeur actuelle nette :

La valeur actuelle nette est la valeur effectivement reçue par le vendeur de l’effet après

la soustraction de tous les frais (Agios), comme le démontre le schéma en dessous.

(1)

Benjamin Legros, op-cit, p 35. Révisé par nos soins. (2)

Walder Masiéri, op-cit, p 38 ,39.

- Thierry Roland, Jean- Claude Fink, op-cit, p 14.

☛ Solution:

Agio = escompte + commissions + Taxes

49

Autrement dit la (Vn) se calcule à partir de la valeur nominale et de l’agios.

(Vn) : est une valeur actuelle réelle (avec pris en compte des frais et des taxes) (1)

Exemple :

Un effet de commerce échéant le 15 septembre, est négocié le 22 juil. Sa valeur nominale

est C= 4200dz. Il est négocié aux conditions suivantes :

- taux annuel d’escompte : 4%

- taux annuel d’endos : 0,4%

- commission de lieu : 1/2 %

- commission Fixes : 15dz.

1- Calculer le montant de l’agio.

2- Calculer la valeur actuelle nette portée au compte du possesseur de l’effet.

(1)


Valeur nominale

Valeur nette Escompte + commissions + Taxes

Valeur nette Agio

Vn= C0 - agio

☛ Solution:

50

4/ Equivalence de capitaux. Dates d’équivalence :

4.1/ Généralité :

Il arrive fréquemment que, pour éviter un incident de paiement à l’échéance, un client

demande à son fournisseur le report d’une échéance. Concrètement, s’il accepte la requête,

le fournisseur va procéder de deux façons selon que l’effet est encore en sa possession ou

non : (1)

Dans le premier cas, il détruit l’effet initial et établit un nouvel effet d’échéance

postérieure.

Dans le second cas, il avance les fonds afin qu’il puisse honorer le paiement du nouvel

effet et matérialise cette dette par un nouvel effet.

Du point de vue du fournisseur, il s’agit d’accorder un délai supplémentaire qui

s’apparente à l’allongement d’un crédit. La valeur nominale du nouvel effet ne peut

évidemment être égale à celle de l’ancien.

Le problème à résoudre consiste à rechercher, au jour du renouvellement la nouvelle

valeur nominale qui, compte tenu d’un taux d’intérêt donné, rende le nouvel effet équivalent

à l’ancien. Pour cela, il suffit d’égaler les valeurs actuelles des deux effets. (2)

Par exemple, un créancier perçoit la même somme s’il escompte au taux annuel de

10 % et dans les mêmes conditions, une traite de 90 000 dz à 20 jours ou une traite de

90786,14 dz à 51 jours. Il peut donc au moment de la création de la traite laisser le choix au

débiteur. On dit que les deux effets sont équivalents. En effet :

90000. ( 1- (0,10 . 20)/360) = 89500 dz et 90786,14. (1- (0,10 . 51)/360) = 89500

En cas d’impayé, le créancier peut remplacer la traite impayée par une nouvelle traite de

valeur actuelle commerciale la valeur nominale de la traite impayée, augmentée d’intérêts

de retards et d’une somme en récupération des commissions et des frais engagés.

Les problèmes d’échange d’effets et de report d’échéances sont résolus par la notion

d’équivalence. Le choix de la date d’équivalence est fondamental, il résulte d’un accord

entre les parties, l’essentiel étant que le créancier recouvre, le jour de l’escompte,

l’intégralité de sa créance.

4.2/ La notion d’équivalence :

4.2.1 /Equivalence de deux effets :

Définition :

Deux effets sont équivalents à une date déterminée lorsque, étant escomptés au même

taux et dans les mêmes conditions à cette date, ils ont la même valeur actuelle

commerciale(3)

.

(1)


Ibid, p 16. (3)


51

Si C1 et C2 sont les valeurs nominales des deux effets ayant respectivement à courir n1

et n2 jours à compter de la date d’équivalence choisie : (1)

a1= a2 C1 ( 1-

= C2 ( 1-

Propriétés : (2)

- La date d’équivalence doit être postérieure aux dates de création des deux effets.

- elle doit être antérieure à la première date dans l’ordre chronologique des dates d’échéance

- La date d’équivalence est unique.

- si deux effets de valeurs nominales différentes sont équivalents à une date donnée,

l’équivalence ne peut avoir lieu qu’à cette date.

- Si deux effets ont même valeur nominale, mais des échéances différentes, ils ne seront

jamais équivalents. Si deux effets ont même valeur nominale et même échéance, ils sont

toujours équivalents.

La détermination de la date d’équivalence :

Deux effets de commerces, de valeurs nominales respectives 98400dz ( échéance 31oct)

et 99000dz ( échéance 30nov) sont négociés au taux d’escompte de 7,2%.

Désignons par (X) le nombre de jours qui séparent la date d’équivalence cherchée du 31

octobre, et donc par (X + 30) le nombre de jours séparant cette date d’équivalence du 30

novembre.(3)

A date d’équivalence cherchée les valeurs actuelles commerciales des deux effets sont

égales entre elles : au taux de 7,2%, on écrit :

( D = 36000 / 7,2 = 5000)

(1)


Walder Masiéri, op-cit, p 26,27. (3)

Ibid, p 27.

Date d’équivalence 31 octobre 30 novembre

X jours 98400

99000

(X +30) jours

52

la date de l’équivalence cherchée se situe donc 50 jrs avant le 31 octobre, soit au 11

septembre.

On vérifie sans difficulté que les deux effets ont à la date du 11/9 une même valeur

actuelle commerciale, égale à 97416dz.

4.2.2/ Equivalence de deux groupes d’effets :

Définition :

Deux groupes d’effets sont équivalents à une date donnée si, escomptés au même taux et

dans les mêmes conditions à cette date, la somme des valeurs actuelles commerciales des

effets du premier groupe est égale à la somme des valeurs actuelles commerciales des effets

du second groupe (1)

.

Par exemple : si à une date donnée (date d’équivalence), les deux effets de valeurs

nominales a1 et a2 ayant respectivement n1 et n2 jours à courir sont équivalents aux trois

effets de valeurs nominales a3, a4 et a5 ayant respectivement n3, n4 et n5 jours à courir, on a :

a1+ a2= a3+ a4 + a5 C1 ( 1-

+ C2 ( 1-

= C3 ( 1-

+ C4 ( 1-

+ C5 ( 1-

Exemples :

Aujourd’hui un effet de valeur nominale 500 dz, ayant 36 jours à courir, est équivalent

aux deux effets de valeurs nominales 300 dz à 24 jours et 200 dz à 54 jours si le taux

d’escompte est de 10 %. En effet :

500 ( 1-

et 300 ( 1-

+ 200 ( 1-

4.3/ Problèmes pratiques posés par la notion d’équivalence. Renouvellement

d’un effet :

On utilisant la notion d’équivalence on peut résoudre les problèmes tels que : (2)

(1)


Walder Masiéri, op-cit, p 29,30,31.

53

La détermination de la valeur nominale du nouveau effet :

Exemple 1 :

(B) doit à (A) une somme de 71100 dz payable le 31 mai, sa dette étant constaté par

l’acceptation d’un effet de commerce. Le 16 mais (B), dans l’incapacité de faire face à la

date du 31 mais, au règlement de sa dette, demande à (A) de remplacer l’effet de commerce

à échéance du 31 mai, par une autre échéance 30juin.

Calculer la valeur nominale (C) de l’effet de remplacement, d’échéance 30juin.

t= 10%

La détermination de la date d’échéance du nouveau effet :

Exemple 2 :

Dans le cas ou le débiteur (B) propose à son créancier de remplacer le premier effet par le

second, de nominale fixé, à 72000dz par exemple (nominale supérieur à 71100dz), et dont il

aurait fallu calculer l’échéance (postérieure au 31 mais).

Déterminer l’échéance du nouveau effet, sachant que t= 10%

☛ Solution:

54

4.4/ Echéance commune de plusieurs effets :

Lorsqu’on remplace plusieurs effets par un effet unique dont la valeur nominale n’est pas

la somme des valeurs nominales des effets remplacés, l’échéance de l’effet unique est

appelée échéance commune des effets remplacés.(1)

Exemple 1:

Le 20/04, un débiteur qui a accepté 3 traites de valeurs nominales 2400dz, 4800dz,

7800dz successivement, demande à son créancier de les remplacer par un effet unique de

montant 15120dz.

Déterminer la date d’échéance de ce nouveau effet ? t = 6%

(1)

Wlader Masiéri, op-cit, p 32, 33 .

☛ Solution:

Date d’équivalence

71100dz

72000dz

16 mai

15jours

31 mai

Echéance

n jours

☛ Solution:

55

4.5/ Echéance moyenne de plusieurs effets:

Lorsqu’on remplace plusieurs effets par un effet unique dont la valeur nominale est la

somme des valeurs nominales des effets remplacés, l’échéance de l’effet unique est appelée

échéance moyenne des effets remplacés. (1)

Exemple :

Le 6 septembre, le débiteur de trois effets :

1000dz à échéance du 31 octobre

3000dz à échéance du 30 novembre

2000dz à échéance du 31 décembre

Demande à son créancier, de remplacer ces trois effets initiaux par un effet unique de

valeur nominale 6000dz.

Déterminer la date d’échéance de cet effet, taux d’escompte est de 9%.

(1)

Wlader Masiéri, op-cit, p 34, 35 .

☛ Solution:

56

Généralisation du problème d’échéance moyenne :

57

Récapitulatif 3

☛ L’effet de commerce est un écrit par lequel on s’engage à s’acquitter d’une dette à une

date d’échéance.

☛ Une opération d’escompte consiste, pour une entrepris, à apporter avant l’échéance, un

ou plusieurs effets de commerce à sa banque, qui les lui rachète.

☛ L’objectif de l’escompte est de permettre, à une entreprise de disposer de liquidités

rapidement.

☛ La formule de l’escompte :

☛ La formule de la valeur actuelle nette:

Vn= C0 - agio

☛ Les Agios prennent en compte les frais divers en plus de l’escompte..

☛ La valeur actuelle nette est la valeur réelle avec prise en compte des frais et des taxés.

☛on appelle date D’équivalence de deux capitaux, la date pour laquelle les deux capitaux

ont même valeur actuelle.

☛ Le principe du prêt en intérêts précomptés est de payer les intérêts au moment du prêt et

non en fin de prêt.

☛ En remplaçant un ensemble d’effet de commerce par un seul effet dont les valeurs

nominales sont égales alors l’échéance ici est moyenne.

☛ Les opérations de remplacement, pour remplacé plusieurs effets. Avec un seul «effet »,

dont les valeurs nominales ne sont pas égales, alors l’échéance ici est commune.

58

Exercice N°1 :

Une remise à l’escompte, effectuée le 31 mars, porte sur trois effets de nominal 6600dz

chacun. L’escompte total, calculé au taux de 8,5%, s’élève, pour cette remise à 280,50dz.

_ Déterminer la date d’échéance du troisième effet, sachant que le premier est payable le 30

avril et que le second l’escompte s’élève à 93,50 dz.

Exercice N°2 :

Une traite à échéance du 30 juin a été remise à l’escompte le 19 mai au taux de 9,2%.

Une autre traite, de même échéance, a été négociée le 2juin, au taux de 9,5%.

Si on intervertit les deux taux d’escompte le total des deux valeurs actuelles demeure

inchangé.

_ Calculer les valeurs nominales respectives des deux effets sachant que leur total est

85000dz .

Exercice N°3 :

Une banque a escompté une lettre de change d'une valeur de 16000, payable après 60

jours selon les conditions suivantes:

- Taux d’escompte est de 4,5%

- Commissions proportionnelles au temps est de 0,9%.

- Commission fixe est de 15dz.

_ Calculer la valeur actuelle après l’escompte.

_ calculer l'agio dans le cas ou la lettre de change sera payable après la date (n) sans

changements pour les autres conditions.

_ déterminer le n si le Agio = 135dz

_ Déterminer la date d’échéance si la date d’escompte est de 13/04 /n

Exercice N°4 :

Un effet de commerce de nominal 4500dz, à échéance du 31 Déc, est négocié aux

conditions suivantes :

- Taux d’escompte : 9,4%

- Taux de commission proportionnelle : 0,6%

- Taux de commission indépendante de la durée : 1 pour mille

- Autre commission, également indépendante du temps : ½ pour mille

- Commission fixe : 2,50dz

Le net de la négociation s’élève à 4440,75dz

_ Déterminer la date de remise à l’escompte.

Exercice N°5 :

Les conditions d’escompte offertes par trois banques (A), (B), (C), sont les suivantes :

Série d’exercices N°2 : [Escompte Commerciale]

59

t t’

K

A 9,2 0,6 0,5

B 10,2 0,6 0,25

C 11,2 0,6 0,125

(les taux donnés sont tous exprimés pour 100, la commission de taux (k) est indépendante

de la durée)

A/ En supposant un effet de valeur nominal C, à (n) jours d’échéance, exprimer les Agios

respectifs, retenus par les trois banques.

B/ Comparer deux à deux les tarifs des trois banques suivant les valeurs de (n), et suivant

ces valeurs, établir un classement préférentiel entre les trois établissements.

C/ Représenter sur un même repère, en fonction de (n), la variation des trois agios obtenus,

et retrouver les résultats de la question (b )

Exercice N°6 :

Le même jour deux effets sont remis à l’escompte.

Le premier de nominale 4518dz et échéance 20 novembre, est remis dans une banque (A)

aux conditions suivantes : t= 10,4%, taux de la commission proportionnelle à la durée =

0,6%, taux de la commission indépendante de la durée = 0,25%, commission fixe= 1,76dz.

Le second de nominal 4545dz, et d’échéance 30novembre, est remis dans une banque (B)

aux conditions suivantes : t= 11,4%, taux de commission proportionnelle à la durée = 0,6,

taux de la commission indépendante de la durée = 0,4%.

Les valeurs nettes des deux effets sont, le jour de la remise à l’escompte de même

montant.

- Déterminer la date de la remise à l’escompte.

Exercice N°7:

Déterminer au taux d’escompte 9%, la date d’équivalence des deux effets suivant

7800 A échéance du 31mai

7880 A échéance du 10 juillet

Exercice N°8:

Un effet à échéance le 31/7/2015, de valeur nominal 10000dz,.

Le 21/7/2015 le préteur et l’emprunteur se sont mis d’accord sur la prolongation de la duré

de l’effet jusqu'à 20/08/2015. Le taux d’escompte est de 6%.

- Calculer la valeur nominale du nouvel effet.

Exercice N°9 :

Une lettre de change de valeur nominal de 9000dz, à échéance 20/09/2013, on voulait la

remplacer par une autre lettre de change de valeur nominale de 9036dz à échéance de

60

14/10/2013, si le t = 6%, et n1= 36 jours

- Déterminer n2 de la deuxième lettre de change.

- Déterminer la date d’équivalence.

61

Chapitre 4 : L’intérêt composé et le duales

Capitalisation et Actualisation

62


Avec les intérêts composés, nous abordons les mathématiques financières à moyen et

long terme, autrement dit les opérations financières à moyens et long terme, dont l’échéance

et supérieur à 12 mois ; telle que le placement des fonds sur les marchés financiers ‘l’achat

des obligations », les dépôts à long terme au sein des banques.

Les intérêts sont dits composés lorsque en fin de période appelée période de

capitalisation, ils s’ajoutent au capital de sorte que l’ensemble ainsi formé génère à son tour

des intérêts au cours de la période suivantes.

La technique des intérêts composés consiste à capitaliser les intérêts de chaque période

contrairement aux intérêts simple, et à la fin de chaque période les intérêts acquis au cours

de cette période ne sont pas exigible par le bénéficiaire.

De ce fait, ce chapitre est considère comme un chapitre fondamental car il introduit les

notions duales d’actualisation et de capitalisation. Cette importance est dictée par le fait que

les décisions financières nécessitent la connaissance des flux monétaires actuels et futurs.

L’utilisation de la capitalisation permet de terminer la valeur future d’un capital placé au

sein d’un actif financier, par contre l’actualisation est requise afin de ramener l’ensemble

des flux à une date identique (aujourd’hui), dans le but de les comparer, et cela dans le cas

de prise de décision d’investissement.

Donc l’actualisation et la capitalisation sont ainsi à la base de ce qui consiste la règle

d’or des mathématiques financières :(1)

« on ne peut pas comparer ou, égaler des valeurs

qu’après avoir ramené ces valeurs à une même date d’évaluation ».


1. Connaitre la formule des intérêts composés.

2. Estimer la valeur d’un capital quelle que soit la datte à laquelle il est disponible..

3. Calculer un taux équivalent et un taux proportionnel, et connaitre leurs conditions

d’utilisation..

4. Distinguer la situation de capitalisation de la situation d’actualisation.

5. Métriser la dimension temporelle dans l’évaluation des flux financiers.

6. Calculer et interpréter le résultat d’une valeur actuelle nette.


1. Principe et champs d’applications.

2. Mécanisme et logique des principes de capitalisation, et d’actualisation.

3. Calcule de la valeur acquise dans le cas d’un nombre de période non entier. .

4. Taux équivalents et taux proportionnels.

5. Les critères de décision d’investissement.

6. Récapitulatif.

(1)

Oscar Assoumou Menye, Mathématiques Financières « cours, travaux pratiques, exercices et corrigés,

Editions connaissance et savoir, Saint-Denis, France, 2016, p 19.

63

1/ Principe et champs d’applications :

Le calcule des intérêts simples se fait uniquement sur la somme initialement

placée sur le compte, quant au calcule des intérêts composés il se fait sur la somme

finale acquise en fin de la période passée qui est généralement une année, cela

lorsque la durée du prêt excède une année, car il semble naturel que le créancier dans

ce cas demande à se que les intérêts lui sont versés périodiquement, au moins une fois

par an, soit à terme échu soit dans certains cas à l’avance. Il peut dans ce dernier cas

replacer les montants perçus pendant la durée restante du prêt.(1)

1.1/ Définition de l’intérêt composé :

L’intérêt composé est basé sur l’idée que les intérêts progressivement gagnés doivent

également être porteurs d’intérêts, autrement dit l’intérêt est dit composé lorsque le calcule

des intérêts s’effectue sur le capital initial augmenté des intérêts déjà produits. Les intérêts

sont réinvestis2. Alors on déduit que :

Un capital est placé à intérêts composés lorsque, à la fin de chaque période, l’intérêt

acquis est incorporé au capital pour produire lui-même des intérêts. Cet intérêt est

payé à terme échu, c'est-à-dire qu’il est post compté.

La capitalisation (c'est-à-dire l’addition au capital) des intérêts à la fin d’une durée

convenue est la caractérisation du prêt à intérêt composé.

On utilise les intérêts composés des que la durée de placement considéré dépasse un

an.

1.2/ Formule des intérêts composés :

Un prêt est consenti à intérêt composé, avec capitalisation annuelle des intérêts soit :

C0 : le montant du capital placé, exprimé en unité monétaire

n : la durée du placement, exprimée en années

t : le taux d’intérêt pour une unité de capital et pour une durée d’un an.

Le tableau qui suit présente la méthode de calcul des intérêts et de valeur acquise à la fin

de chaque année :

Périodes

(années)

Capital début de

la période

L’intérêt de l’année Valeur acquise par le capital en fin de période

après prise en considération des intérêts

1

2

3

.

.

.

n-1

n

C0

C0(1+t)

C0(1+t)2

.

.

.

C0(1+t)n-2

C0(1+t)n-1

Ct

C0(1+t) t

C0(1+t)2 t

.

.

.

C0(1+t)n-2

t

C0(1+t)n-1

t

C0+ Ct = C0(1+t)

C0(1+t)+ C0(1+t) t = C0(1+t)2

C0(1+t)2 + C0(1+t)

2t = C0(1+t)

3

.

.

.

C0(1+t)2 + C0(1+t)

n-2 t = C0(1+t)

n-1

C0(1+t)n-1

+ C0(1+t)n-1

t = C0(1+t)n

(1)

Oscar Assoumou Menye, op-cit, 35. (2)

Gilles Meyer, op-cit, p 8.

64

Donc après (n) périodes pendant lesquelles le capital initial (C0) est placé, et par le jeu

de capitalisation nous aurons la valeur finale appelé également valeur acquise ou future

(Cn) (1) :

après lecture de la table financière N°1.1

Remarque :

1/ (Cn) est une suite géométrique de premier terme C0 et de la raison (1+t).

2/ Taux de placement et durée de placement s’exprimaient par référence à la période retenue

pour la capitalisation des intérêts. Cette condition doit toujours être remplie pour que la

formule soit applicable.

3/ le facteur (1+t)n est appelé facteur d’accumulation ou de capitalisation et représente la

valeur acquise par 1 unité monétaire à intérêts composés pendant (n) période ai taux

d’intérêt périodique (t).(2)

Contrairement aux formules d’intérêt simple qui donnaient directement l’intérêt

fourni par un placement, la formule fondamentale en matière d’intérêt composé

donne la valeur acquise par le capital placé en premier, et âpres avoir soustrait le

montant du capital initial on obtiendra les intérêts composés comme suit : (3)

→

Valeur actuelle : on appelle valeur actuelle de Cn , le capital qu’il faut placer à la

date 0 pour obtenir Cn à la date n. A intérêts composés, cette valeur est : (4)

après lecture de la table financière N°2

La valeur actuelle est la valeur à la date d’aujourd’hui d’une somme qui ne sera

disponible que dans (n) périodes.

1.3/ Problèmes simples sur la formes fondamentale des intérêts composés :

La formule de la valeur acquise d’un placement à intérêts composés est utile pour

répondre aux questions posées dans l’exemple suivant :

Exemple :

Une somme de 10000 dz est placée pendant 5 ans au taux annuel de 10%.

1/ Quelle somme obtient-on à l’issue de ce placement ?

2/ Si au bout de cette période de placement on souhaite obtenir 20000dz, quelle somme doit-

on placer aujourd’hui ?

3/ Si la somme placée aujourd’hui est de 10000dz, après combien de temps disposera-t-on

d’une somme égale à 23580dz ?

4/ Si au bout de 5ans la valeur acquise du placement est de 17821dz à quel taux le

placement a été effectué ?

(1)

Gilles Meyer, op-cit, p 9. (2 )

Oscar Assoumou Menye, op-cit, 35. (3)

Walder Msiérie, Ibid, p 64. (4)


65

☛ Solution:

66

Exemple :

Un capital de 41 000 dz placé à intérêts composés à capitalisation mensuelle au taux de

0,5 % le mois. Au terme du placement sa valeur acquise est 44 185 dz. Calculer la durée du

placement.

2/ Mécanismes et Logiques des Principes de capitalisation, d’actualisation :

Dans un univers certain : toutes les prévisions faites aujourd’hui concernant l’avenir se

réalisent, l’existence d’un marché des capitaux ()

permet l’échange de capitaux dans le

temps. Un placement permet de transférer les fonds disponible aujourd’hui dans le futur.

Inversement, un emprunt rend disponible aujourd’hui des capitaux futurs. Ces transferts ne

sont pas gratuits et donnent lieu à des intérêts. En conséquence, des montants disponibles à

des dattes différentes n’ont pas la même valeur : un DZ aujourd’hui vaut plus d’un DZ dans

()

C’est un lieu de rencontre entre une offre et une demande de capitaux à long terme dont le support est une

valeur mobilière (action, obligation).

12,5 % 1,802 032

x % 1,7821

1 2% 1,762 342

=

0,5% 0,03969

X % 0,019758

x = 0,25%

Alors : t = 12% + 0,25% = 12,25%

☛ Solution:

- -

- -

67

un an (1)

. Cette relation entre temps et taux d’intérêt signifie que deux sommes d’argent ne

sont équivalentes que si elles sont égales à la même date.

Dès lors, pour pouvoir comparer deux ou des sommes disponibles à différentes dates le

passage par les techniques de calcul actuariel (capitalisation et actualisation) devient

nécessaire.

2,1/ Mécanisme et Logique de la Capitalisation :

2.1.1/ Le principe de la capitalisation:

Même en absence d’inflation, un placement doit être rémunéré. En effet, placer une

somme suppose une renonciation à une consommation immédiate en contrepartie, d’une

consommation future plus grande

Dé lors, Capitaliser revient à répondre à la question combien je vais avoir si je place C dz

au taux (t) dans n années? Alors il revient à calculer les bénéfices obtenus par une somme

placée sur une période donnée. Généralement, l’échelle utilisée pour la capitalisation est

l’année mais cette échelle peut varier selon le cas.

De ce fait, la capitalisation consiste à déterminer la valeur future (valeur acquise) à une

date future d’un capital placé aujourd’hui (2)

, les intérêts peuvent être calculé de manière

simple ou composés.

Notons que nous avons déjà introduit le concept de manière naturelle au chapitre 2

(voir point 2.4 et 2.7), ainsi à la première partie du chapitre actuel (voir point 1.2).

Une première définition simple de la capitalisation peut se faire sur une période de

temps :

Un capital C0 (disponible en n=0), capitalisé durant une période de temps, aux taux

d’intérêts (t), sa valeur future VF(C0) en n=1, est égale au montant initial auquel l’on rajoute

les intérêts perçu au cours de la période: (3)

VF (C0) = C0 + C0 . t = C0 (1 + t)

Alors, la valeur future VF(C0) d’une somme d’argent présente C0 disponible après n années

et placée au taux t est égale à:

VF(C0) = C0 (1 + t) n

t0 tn

Valeur présente Valeur future ou acquise

C0 VF(C0) = Cn = ?

VF (C0) = Cn = C0 (1+t)n

(1)

André Farber et autres, Finance « Synthèse de cours et exercices corrigés, 2e édition, PEARSON

Education, France, 2009, p 2. (2)

Gilles Meyer, op-cit, p 8. (3)

André Farber et autres,Ibid, p 2

Capitalisation

68

2.1.2/ Les différents calculs de capitalisation :

On utilise le concept de la capitalisation pour calculer :

La valeur acquise d’un capital unique placé pendant (n) période à intérêts simple ou

composés :

Exemple : Combien vaudra dans 10 ans un capital de 10 00000 dz placé aujourd’hui au taux de 4%?

C10 = 1000000 (1+0,04)10

Valeur acquise de plusieurs versements (annuités) constants au cours de n

périodes, qu’on traitera dans le chapitre 6.

2,2/ Mécanisme et Logique de l’actualisation :

2.2.1/ Le principe de l’actualisation:

Contrairement au capitalisation, l’actualisation est une technique qui consiste à faire

reculer dans le temps une valeur future pour calculer sa valeur présente appelée Valeur

Actuelle.(1)

Dé lors, Actualiser revient à répondre à la question combien doit-je place comme capital

initiale (C0) actuellement à l’instant (n=0) au taux (t) pour obtenir la somme d’argent (Cn)

disponible dans (n) années d’intervalle ? Alors il revient à calculer la valeur actuelle de (Cn)

à l’époque n=0.

L’actualisation inverse donc le raisonnement, elle peut être vue comme une méthode

permettant de calculer le montant qu’il faudrait placer au taux (t) en (n=0), pour obtenir le

montant C1 en (t = 1). La valeur actuelle d’un montant C1 (disponible en t=1) est le montant

correspondant en t = 0 d’un montant futur C1 : (2)

VA(C1) = C0 = C1 (1 + t)- 1

Le taux qui apparaît au dénominateur est appelé taux d’actualisation. Dans notre

modèle simple, il est égal au taux d’intérêt sans risque. Ce n’est pas toujours le cas. Dans un

environnement incertain, le cash-flow futur est une valeur attendue (ou espérée). Or, un euro

risqué vaut moins qu’un euro certain. En conséquence, le taux d’actualisation à utiliser pour

calculer la valeur actuelle peut être différent du taux d’intérêt sans risque.(3)

t0 tn

Valeur actuelle Valeur future

VA(Cn) =C0 = ? Cn

VN(Cn) = C0 = Cn (1+t)-n

(1)

Cathrine Deffains-Crapsky, Eric Rigamonti, op-cit, p 3. (2)

André Farber et autres, op-cit, p 2. (3)

Ibid, p 2.

Actualisation

69

L’actualisation en calculant la valeur actuelle d’une somme futur, permet de :

- savoir ce que vaut actuellement une unité monétaire dans le futur.

- savoir à quoi seront égales des sommes de l’on attend dans un futur.

- rendre comparable des flux qui ne sont pas perçu à la même date, afin de comparer les

projets qui donnent plusieurs versements irréguliers.

- obtenir un taux de rendement qui permet de prévoir un revenu de l’on espère obtenir pour

un projet afin de le juger et déterminer s’il est satisfaisant ou pas.

2.2.2/ Les différents calculs de l’actualisation :

On utilise le concept de la capitalisation pour calculer :

La valeur actuelle d’un capital unique qui sera reçu dans un certain nombre de

périodes.

Exemple : Quelle somme faut-il placer aujourd’hui (valeur actuelle) pour obtenir

dans 2 ans un capital de 5 00000 dz au taux annuel de 3 % ?

C0 = Cn (1+t)- 3

= 500000(1+0,03) – 3

Valeur actuelle de plusieurs versements (annuités) constants au cours de n

périodes, qu’on traitera dans le chapitre 6.

La valeur actuelle d’un effet de commerce escompté à intérêts simple ou composés.

Exemple : vous êtes débiteur auprès de votre banquier d’un montant de 1500dz à

payer dans 9 mois. Votre banquier nous propose un escompte de 6%. Dans ce cas, le

montant à versé immédiatement s »élève à : C0= 1500.( 1- 0,06.9.12) = 1432,5 dz.

Le calcule de quelques critères pour la prise de décisions d’investissement, qu’on

vira dans le dernier point de ce chapitre.

2.3/ Placement d’un capital sur l’axe des temps :

L’opération qui consiste à déterminer la valeur acquise par un capital au bout d’un

certain nombre d’années est appelé capitalisation. Celle qui consiste à rechercher la valeur

actuelle d’un capital disponible plus tard est appelée actualisation. Le taux d’intérêt (t) est

appelé taux de capitalisation ou d’actualisation.

Dans les deux cas, on multiplie le capital par (1+i)n ou l’exposant est :

(1)

- Positif si le passage de l’époque (n) se fait dans le sens du temps .

- Négatif dans le cas contraire.

L’exposant est donc la valeur algébrique du déplacement sur l’axe des temps.

Remarques:

- Si par exemple, il est convenu entre le prêteur et l’emprunteur que les intérêts doivent être

capitalisés à la fin de chaque mois, la formule ne sera applicable que si le taux d’intérêt est

mensuel et que la durée de placement est exprimée en mois. (1)

Marie Boissonnade, Daniel Fredon, op-cit, p28.

70

Exemple :

Un capital de 80000dz est placé à intérêt composé au taux annuel t=10% pour un dinar,

capitalisation annuelle des intérêts.

- Calculer sa valeur acquise au bout de 5ans.

Exemple 2 :

Un capital de 10000dz est placé à intérêt composé. Taux trimestriel d’intérêt

t =0,025, capitalisation trimestrielle des intérêts. Calculer sa valeur acquise au bout de 6 ans.

3/ Calcule de la valeur acquise dans le cas d’un nombre de période non entier :

Exemple :

Un capital de 20000dz est placé à intérêt composé. Capitalisation annuelle des intérêts.

Taux annuel de placement t =0,11. Durée de placement 7ans et 3mois.

1/ Calculer la valeur acquise par le capital à l’expiration de la durée prévue.

Dans la formule des intérêts composés Cn = C0 (1+t)n, nous avons supposé (n) entier,

mais le nombre (n) de périodes peut être fractionnaire, aussi bien pour le calcule des valeurs

acquises que des valeurs actualisées.

☛ Solution:

☛ Solution:

71

Trois solutions sont alors possible: (1)

A/ la solution dite rationnelle consiste à utiliser la formule des intérêts composés pour la

partie entière de (n) et, pour la partie fractionnaire, à calculer des intérêts simples à partir du

capital ainsi obtenu. Ainsi :

Si n= n1+ avec n entier et rationnel avec 0 < < 1, on obtient ainsi :

B/ la solution dite commerciale : Consiste à étendre à n fractionnaire la formule des

intérêts composée, ce qui donne :

C/ Solution dite : Interpolation, à partir de la table financière N° 1.1, entre C7 et C8 . On

calcule C7=C (1+t)7 et C8= C(1+t)

8, valeurs acquises à l’expiration des durées entières de

placement qui encadrent la durée 7ans 3 mois. Puis on ajoute à C7 les 3/12 de la différence

entre C8 et C7 .

C7= 41523,20dz C8= 20000X 2,304538= 46090,76dz

C7+3/12= 41523,20 + 3/12 (46090,76 – 41523, 20) = 42665,09dz.

On démontrerait facilement que le premier et troisième procédés, conduisent au même

résultat.

(1)

Walder Masiéri, op-cit, p 67, 68.

Thierry Rolando, Jean-claude Fink, op-cit, 26.

☛ Solution:

☛ Solution:

72

4/ Taux équivalents et taux proportionnels :

Les taux d’intérêt sont généralement exprimés en taux annuels. Mais, on peut considérer

une période plus courte que l’année, par exemple, le semestre, le trimestre le mois ou le

jour. De même, les intérêts peuvent être capitalisés chaque semestre, chaque trimestre,

chaque mois ou chaque jour. Ainsi, lorsque le taux d’intérêt est annuel et l’on considère une

période inférieure à l’année, le taux d’intérêt prévalant pour cette période devra être calculé.

Pour ce faire, on emploie l’un des deux taux suivants:1

4,1/ le taux proportionnel : on écrira

le taux proportionnel au taux annuel t, et relatif à

une durée k fois plus petite que l’année.

Prenons le semestre qui est la moitié de l’année, le taux appliqué t’ pour calculer les

intérêts à la fin du premier semestre sera égale à la moitié du taux annuel t, soit t/2.

Pour t = 0,12 on a t’= 0,12 / 2= 0,06 et ce dernier est appelé le taux semestriel

proportionnel au taux annuel t.

La valeur acquise à la fin du premier semestre sera (1+ t/2)

De façon générale, deux taux correspondant à des périodes différentes sont dits

proportionnels lorsqu’ils sont dans le même rapport que leurs périodes de capitalisation.

- pour le taux trimestriel proportionnel t’= t/4

- pour le taux mensuel proportionnel t’=t/12

4.2/ le taux équivalent : Deux taux correspondants à des périodes de capitalisation

différentes, sont dits équivalents lorsqu’ils produisent la même valeur acquise quand ils sont

appliqués au même capital. Soit,

- Capital C , t: taux annuel, capitalisation annuelle, n années de placement donc n

capitalisations.

- Capital C, tk: taux correspond aux nombre de périodes de l’année (semestriel,

mensuel..etc.), capitalisation à la fin de chaque ke

d’année, (n) années de placement donc

(k . n) capitalisation.

Alors t et tk seront équivalents si :

(t):Taux annuel équivalent

(k) : nombre de périodes de l’année

(tk) : taux équivalent par période

(1)

Christelle Baratay, mathématiques financières « 2015-2016 : les point clés pour comprendre les calculs

financiers en finance et en gestion de l’entreprise », L’extenso édition, France, 2015, p 15,16.

73

Exemple:

Calcul du taux semestriel équivalant au taux annuel i=0,095( k=2)

On écrira :

NB : Les taux proportionnels aux durées des périodes de placement ne sont pas équivalents

pour le calcul des intérêts composés. Ainsi les taux de 12 % l’an et 1 % le mois sont

proportionnels. Ils ne sont pas équivalents en intérêts composés.

Exemple:

Un capital de 1000dz placé à au taux annuel de 12% a une valeur acquise au bout d’un

an de placement égale à :

C1 = C0 ( 1+t) = 1000. 1,12 Soit C1= 1120dz

Le même capital placé en capitalisation mensuelle au taux de 0,95 % le mois acquiert au

bout d’un an, soit 12 mois, la valeur :

C12 = C0 ( 1+t)12

= 1000. 1,009512

Soit C1= 1120dz

Les deux valeurs acquises sont égales. Le taux annuel de 12 % est équivalent au taux

mensuel de 0,95 %.

Exercice de synthèse: (comparaison entre intérêts simple et intérêts composés)

Vous envisagez un voyage d’études à l’étranger pour lequel vous devez disposer dès

votre départ d’un capitale de 110000dz. Actuellement, vous disposez sur votre compte

d’épargne d’un montant de 100000 dz. Ce compte d’épargne vous rapporte 3,5% par an.

Avez-vous suffisamment d’argent actuellement pour envisager ce voyage dans 1 an ?

• Si ce montant est insuffisant, n’est-il pas plus raisonnable d’attendre 2 ans ? Quelle serait

votre fortune dans 2 ans ?

☛ Solution:

74

• Si vous n’avez pas atteint la somme de 110000 dz dans 2 ans, après combien de temps

posséderiez-vous exactement la somme nécessaire pour partir ?

• Si vous devez impérativement partir dans 2 ans et que le rendement proposé de votre

compte d’épargne ne vous permet pas d’atteindre cette somme, quel serait le taux minimum

de rendement auquel vous devriez placer vos 100000 dz pour atteindre les 110000 dz dans 2

ans ? Ce taux minimum serait-il identique si les intérêts étaient simples ou composés ?

☛ Solution:

☛ Solution:

75

5/ Les critères de décision d’investissement :

Dans toutes les décisions à long terme prises par l’entreprise, l’investissement est

certainement la plus importante. L’entreprise doit non seulement investir pour assurer le

renouvellement de son matériel de production, c’est-à-dire essayer d’obtenir des gains de

productivité, mais elle doit assurer le développement de son activité en augmentant sa

capacité de production ou, en fabriquant des nouveaux produits.

A ce titre, l’investissement constitue un acte fondamental pour l’entreprise, et il apparait

comme le véritable moteur de la création de valeur caractérisé par le couple

rentabilité/risque.

La décision d’investissement est une décision de nature stratégique, et à ce titre, elle

engage l’avenir de l’entreprise, une mauvaise orientation peut condamner le survie de la

société. C’est pourquoi des outils d’aide à la décision basés sur l’application des méthodes

d’évaluation fondées sur le calcul d’actualisation, sont proposés afin de mettre une

meilleure évaluation de la décision d’investissement.

Dé lors, le pivot théorique de toute étude des processus des décisions d’investissement

consiste dans le principe de maximisation de la valeur de l’entreprise1, c’est-à-dire de la

richesse des actionnaires. Par ailleurs, les concepts associés sont ceux du temps et de

l’actualisation (2)

, du fait que tout investissement est un échange entre dépenses immédiates

(1)

Aswath Damodaran, pratique de la finance d’entreprise, 1ièr

édition, Edition Se Boeck université,

Bruxelles, 2010, p 25. (2)

Beysul Aytaç, Cyrille Mandou, investissement et financement de l’entreprise, De Boeck Supérieur,

Belgique 2015, p 14.

☛ Solution:

76

ou proches, et des recettes futures, et le choix entre plusieurs investissements revient donc à

comparer plusieurs échéanciers de recettes nettes actualisées.

5.1/Définition de l’investissement :

Conformément à l’objectif de maximisation de la valeur, un investissement rentable, et

donc envisageable, est un investissement qui crée de la valeur.

Dans sa conception générale, un investissement est considéré comme une transformation

des ressources financières en biens et des services.(1)

Cependant, cette conception générale de l’investissement se définit en tenant compte

du contexte dans lequel on est placé : comptable, économique ou financier.(2)

A/ Notion comptable de l’investissement :

Pour un comptable, l’investissement se confond toujours avec immobilisation durable,

ce qui donne lieu à la notion de la durée de vie de ce dernier. Autrement dit,

L’investissement est une immobilisation, un élément de propriété de l’entreprise qui

s’inscrit à son actif, et destiné à servir de façon durable.

B/ Notion économique de l’investissement :

L’investissement est une part de la richesse qui est destinée à accroitre la production, par

l’accroissement ou bien le renouvellement des capacités productives, afin de concrétiser les

objectifs visés.

C/ La notion financière de l’investissement :

L’objectif final de financier est le maintien, durant la vie de l’investissement, de

l’équilibre entre ressources et emplois. Alors pour le financier, un investissement est un

emploi long nécessitant un financement long par des capitaux permanents (capitaux propres

et dettes à moyen et à long terme) et doit générer des revenus (recettes) afin de se

rembourser (objectif minime) sur sa durée de vie.

5.2/ Les méthodes financières du choix d’investissement:

D’un point de vue financier, l’analyse d’un investissement de réduit à l’analyse de ses

conséquences monétaires. A partir d’un ensemble de flux répartis dans le temps, il faut

prendre la décision de lancer le projet, ou au contraire d’y renoncer.

Le plus souvent, la réalisation d’un projet implique un décaissement initial en date (0),

noté (I0) et que son exploitation engendre des flux de trésorerie : F1,F2,…..,Fn, aux dates

1,2,….,n. Ces flux sont généralement positifs.(3)

En avenir certain, le montant des taux d’intérêt ainsi que les valeurs des flux de trésorerie

prévisionnels, et plus généralement de tous les paramètres d’un projet d’investissement, sont

connus avec certitude.(4)

(1)

Gilles Meyer, op-cit, 232. (2)

Nathalie Taverdet-Popiolek, Guide du choix D’investissement, Edition D’organisation, Paris, 2006, p 2, 4. (3)

Thierry Rolando, Jean-Claude Fink, op-cit, p 127. (4)

Beysul Aytaç, Cyrille Mandou, op-cit, p 19.

77

Pour décider dans ce contexte, il faut disposer de méthodes tel que le calcule de la VAN

et le TRI , permettant de mesurer l’impact du projet sur l’entreprise en termes de création

de valeur, en comparant les encaissements aux décaissements, sachant que ces flux sont

repartis dans le temps. Ces méthodes utilisent les procédés de l’actualisation ou de

capitalisation des flux et vont permettre de compter des montants monétaires datés. D’autres

critères de choix d’investissement excitent mais qui reposent pas sur ces techniques.(1)

5.2.1/ La valeur actuelle nette (VAN) :

La VAN est une méthode de calcul qui consiste à comparer la dépense initiale à la

valeur actuelle des cash-flows futurs attendus.

Pour calculer le critère de la VAN, il suffit de calculer la valeur actuelle des flux de

liquidités futurs (CFA) dégagés par l’investissement, puis de soustraire le montant de

l’investissement initial.(2)

Soit les différents paramètres d’un projet d’investissement :

CFn = cash-flouw de l’année.

t= taux d’actualisation ou cout du capital qui servira pour financier le projet. il s’agit du taux

sans risque car les cash-flows sont considérés comme des flux certains.

n= durée de vie du projet.

I0 = investissement initial.

La valeur actuelle nette du projet est égale : (3)

Pour qu’un projet d’investissement soit acceptable, sa VAN doit être strictement

positive, se qui indique de l’investissement est rentable, il est créateur de valeur et donc

envisageable. Inversement si la VAN est négative cela indique que le projet est non

rentable, et il est destructeur de valeur. Et Entre plusieurs projets, on choisit celui qui

possède la plus forte VAN.

- VAN ˃ 0 projet rentable financièrement, créateur de valeur

- VAN 0 projet non rentable financièrement, destructeur de valeur.

Dans le cas de deux projet ou plusieurs, le critère de la VAN nous permet de faire le

choix entre eux. Celui dont la VAN est plus grande est le plus intéressant car c’est celui qui

augmente le plus la valeur de l’entreprise.4

Lorsque les flux attendus sur la période considérée sont constants, on a alors :

(1)

Thierry Rolando, Ibid, p 127, 128. (2)

George Legros , mini manuel de fiance d’entreprise, DUNOD Edition, paris ,2010 , p 137. (3)

Beysul Aytaç, Cyrille Mandou, op-cit, p 39. (4)

André Farber et autres, op-cit, p 223.

78

Remarque :

- La formule de la VAN s’applique à des flux annuels lorsque le taux est exprimé en base

annuels, mais également à des flux de périodicité quelconque, pourvu que le taux retenu soit

exprimé en taux équivalent et dans la même base que la durée séparant les flux.

- Le taux d’actualisation à utiliser est le taux de rentabilité minimum exigé par l’entreprise.

Théoriquement, ce taux représente le cout des capitaux utilisés par l’entreprise.

Exemple :

Soit le projet A suivant :

I = 100

CF1= 30, CF2 = 40 , CF3= 50 et CF4 = 20

Cout du capital est de 10%

Exemple :


I= 100

CF1= 40, CF2 = 60 , et CF3 = 30


Et le projet B suivant :

I= 300

CF1= 120, CF2 = 180 , et CF3 = 90


5.2.1/ La méthode du taux de rentabilité interne (TRI) :

Le taux interne de rentabilité (TIR) correspond au taux d’actualisation (k) pour lequel la

somme des flux financiers dégagés par le projet est égale à la dépense d’investissement. (1)

(1)

George Legros , op-cit, p 140.

☛ Solution:

La VAN est égale à : 30 ( 1 ,1)- 1

+ 40 ( 1,1)- 2

+ 50 (1,1) – 3

+ 20 (1,1)- 4

- 100 =

111, 56 - 100 = 11,56 ˃ 0 , donc le projet est rentable.

☛ Solution:

La VAN (A) = 8,49 et VAN (B) = 25,47 c'est-à-dire 8,49 3 ٭ .

Selon l’exemple, on choisira le projet B puisque la VAN est trois fois plus élevé. Or, les

deux projets ont la même rentabilité puisque les sommes des cash-flows sont identiques

lorsqu’elles sont rapportées à l’investissement initial.

79

En d’autres termes, le TIR désigne le taux d’actualisation qui rend nulle la VAN.

Il s’agit alors l’équation suivante : (1)

TRI= k

Sachant que :

En termes d’analyse, le TRI peut être supérieur ou inferieur au taux d’actualisation

retenu, et la décision dépendra de la position des deux taux : (2)

- TRI ˃ t (taux s’actualisation) projet rentable financièrement, créateur de valeur,

alors il est accepté et intéressant.

- TRI t projet non rentable financièrement, destructeur de valeur, alors l est rejeté.

Dans le cas d’un projet unique, ce projet sera accepté si son TIR est supérieur au taux de

rentabilité minimum exigé par l’entreprise. Et dans le cas de sélection de plusieurs projets,

le projet à retenir sera le projet dont le TIR sera le plus élevé.

NB : Si le TIR est égal aux taux de rentabilité minimum, le projet est neutre à l’égard de la

rentabilité globale de l’entreprise. Par contre, si le TIR est inferieur, la réalisation du projet

entrainera la chute de la rentabilité globale de l’entreprise. Aussi, le TIR représente le cout

maximum du capital susceptible de financer l’investissement.

Exemple 1 :


I= 500

CF1= 400, CF2 = 600 - Calculer le TRI de ce projet.

(1)

Beysul Aytaç, Cyrille Mandou, op-cit, p 42. (2)

André Farber et autres, op-cit, p 223. .

☛ Solution:

Soit K le taux interne de rendement

TRI = K →

On met

on obtient 4X + 6 X

2 = 5 → 6 X

2 + 4 X – 5= 0

∆ = 136 → √∆ = ± 11 , 66

X1 = - 1,30 ET X2 = 0,63

Donc

→

→ K= 0,58 = 58%

80

5.2.1.1/ La relation entre la VAN et le taux d’actualisation :

Si l’en prend le projet A précédemment avec :

I0 = 100

CF1= 30 , CF2 = 40, CF3 = 50 , CF4= 20

Avec un taux d’actualisation t , nous avons :

VAN = 30(1+t)-1

+ 40(1+t)- 2

+ 50(1 +t)- 3

+ 20(1+t)- 4

– 100

1/ Lorsque t = 0 , la VAN est égale à 30+40+50+20 – 100 , soit 40.

2/ Lorsque t tend vers l’infini, CF / (1+t)- i

, tend vers 0 . Dans ce cas, la VAN tend vers - I,

c'est-à-dire (- 100)

La relation entre la VAN et le taux d’actualisation fait donc apparaitre la courbe suivante :

Graphique : le TIR est le taux d’actualisation qui rend la VAN égale à 0.

D’après le graphe nous observons les points suivants :1

La VAN suit donc une fonction décroissante du taux d’actualisation (coût moyen

pondéré du capital ou coût de financement) : plus le taux d’actualisation augmente, plus la

VAN diminue.

Quand le taux d’actualisation est nul alors la VAN est maximale et égale à :

, (encaissements nets moins décaissements)= 40 dans cet exemple.

Quand le taux d’actualisation tend vers l’infini alors la VAN tend vers l’asymptote (–I0),

au fur est à mesure que le taux d’actualisation augmente, les encaissements nets prennent de

moins en moins d’importance par rapport aux décaissements nets et la VAN diminue.

Lorsque la VAN est nulle, le taux identifié est le TRI qui est le point d’intersection entre

l’axe des abscisses et la courbe de la VAN. Le caractère rentable ou non rentable d’un projet

d’investissement dépend de la position relative TRI d’un projet et d’un taux d’actualisation i

que le décideur a l’habitude d’exiger pour ces investissements. (1)

Benjamin Legros, op-cit, p 123

- André Farber et autres, op-cit, p 224

TIR

Taux d’actualisation

VAN

40

-100

1

0

1

VAN ˃0 projet

accepté

VAN0 projet

refusé

81

Lorsque le TRI est supérieur au taux d’actualisation exigé, la VAN du projet est positif et

il doit être accepté

Si TRI ˃ t le projet est à accepté car VAV ˃ 0.

Lorsque le TRI est inférieur au taux d’actualisation exigé, la VAN du projet est négative

ou nulle et il doit être refusé.

Si TRI t le projet est à rejeté car VAV 0.

5.2.1.2/ Comparaison entre la méthode de la valeur actuelle nette et celle du

taux de rentabilité :

Les résultats de calculs que donnent les deux critères étudies pour le choix du projet le

plus rentable ne sont pas toujours identiques. En effet, le risque de conflit entre ces deux

différents critères VAN et le TIR, est très probable.

Exemple :

Soit une entreprise qui envisage deux projets d’investissement A et B possédant les

caractéristiques suivantes:

I CF1 CF2 CF3 CF4

Projet A 3000 1500 1000 700 700

Projet B 3000 450 900 1000 1950

Il y a donc contradiction entre le critère de la VAN et le TRI.

Les causes de cette discordance entre les critères lors de la comparaison entre plusieurs

projets peuvent être dues à:1

- Une répartition très différente des cash-flows sur la durée de vie des projets ;

- Une inégalité des durées de vie des projets.

Quelle méthode choisir ?

Le choix dépend en fait de l’investisseur lui-même et de sa patience.

(1)

Gilles Meyer, op-cit, p 235.

☛ Solution:

Avec un taux d’actualisation de 9%, on trouve que :

1/ la VAN(A) 254,25 et la VAN (B) = 323,96. Selon le critère de la VAN, on choisit

le projet B.

TRI de A = 13,47% et TRB de B = 12,9%. Selon le critère TRI, c’est le projet A qui

doit être retenu

82

Récapitulatif 4

☛ Utilisation de la formule des intérêts composés :

- Pour trouver une valeur acquise : Cn= C0 (1+t)n

- Pour trouver une valeur actuelle : C0 = Cn (1+t)-n

- Pour trouver une durée : n=

- Pour trouver un taux d’intérêt : t = (Cn/C0)1/n

– 1

- Pour trouver des intérêts :

☛ L’actualisation consiste à déterminer la valeur future (valeur acquise) à une date future

d’un capital placé aujourd’hui (n=0) : VF(C0) = C0 (1 + t) n

☛ l’actualisation consiste, à partir d’un capital connu à atteindre à une date future donnée, à

calculer le montant nécessaire à placer aujourd’hui pour atteindre ce montant avec les

intérêts : VA(Cn) = C0 = Cn (1 + t)-n

☛ Taux équivalents et taux proportionnels :

Taux équivalent Taux proportionnel

Mensuel tM= (1+t)1/12

- 1 tM= t/12

Trimestriel tt =(1+t)1/4

-1 tt = t/4

Semestriel ts =(1+t)1/2

-1 ts = t/2

☛ On a : taux proportionnel ˃ taux équivalent.

☛ Critères d’aide à la décision:

Eléments Interprétation Critère de choix

Valeur Actuelle Natte

VAN

Mesure de la rentabilité d’un projet

relativement à un taux

d’actualisation

VAN ˃ 0

Taux de rentabilité interne

TRI

Informe du taux d’actualisation

maximal acceptable pour envisager

le projet

TRI ˃ cout du

capital

83

Chapitre 5 : Escompte et Equivalence des

Capitaux à intérêts composés

84


L’escompte est une forme de crédit professionnel à court terme, qui permet à

l’entreprise d’obtenir le paiement immédiat d’un effet de commerce, sans attendre sa date

d’échéance.

L’opération d’escompte consiste à céder l’effet commercial avant son échéance, à une

banque, qui avancera de sa part son montant à son présentateur, tout en déduisant les frais

qu’elle perçoit. Elle en devient propriétaire est se charge du recouvrement à l’échéance.

Pour se prémunir en cas d’éventuels impayé, la banque peut demander à ses clients des

garanties, et comme elle peut refuser l’escompte d’un effet en fonction de son analyse du

risque.

L’escompte s’adresse à toutes les entreprise commerciales, quelque soit leur taille et leur

secteur leur secteur d’activités. Il est surtout utilisé par les commerçant entre grossistes et

d »taillants.

Le but de ce chapitre est de présenter les bases de calcul d’une opération d’escompte sur

un effet de commercial de longue durée, c’est-à-dire à un intérêt composé.

De ce fait toutes les questions traitées dans ce chapitre concernent majoritairement les

opérations d’escompte et d’équivalences des capitaux à long terme (plus d’un an).


1. connaitre la formule fondamentale de l’escompte à intérêts composés.

2. Evaluer une date d’équivalence de capitaux à intérêts composés.

3. savoir comparer les modes de paiement.

5. résoudre les problèmes posés par la notion d’équivalence à intérêts composés.

6. faire une distinction entre échéance moyenne et échéance commune.


1. Formules fondamentales.

2. Problème pratique posés par la notion d’équivalence.

3. Problème d’échéance commune et échéance moyenne.

4. Récapitulatif 5.

85

1/ formules fondamentales :

- l’opération d’escompte consiste pour le titulaire d’une créance de valeur nominale

connue, d’échéance fixée, à négocier avant son échéance, la créance en question auprès d’un

banquier préteur.

- le titulaire de la créance ne reçoit le jour de la remise à l’escompte que la valeur

actuelle du capital négocier par lui, valeur actuelle qui est égale à la différence entre valeur

nominale de la créance négociée et escompte retenu par le banquier, mais l’escompte sera

calculé cette fois à intérêt composé.(1)

Désignons par (C0) : la valeur nominale du capital négocié (qui est la valeur acquise à

l’échéance (Cn))

(n) : la durée qui sépare la date de négociation de la date d’échéance du

capital, on supposera (n) exprimé en années.

(t) le taux annuel d’escompte

(Vact) la valeur actuelle, à la date de la négociation du capital

D’une manière générale lorsqu’un effet est payable à une date éloignée (plus d’un an en

général), la valeur actuelle à retenir lors de l’opération d’escompte est la valeur actuelle à

intérêts composés.

Formule fondamentale en matière d’escompte à intérêt

composé.2

On remarquera que la valeur actuelle d’un capital est donnée

en fonction du montant de ce capital, par une forme identique à celle qui permet de calculer

le montant d’un capital placé, connaissant sa valeur acquise.3

Alors la solution commerciale, l’escompte à intérêts composés (E) est égal à la

différence entre la valeur nominale C0 et la valeur actuelle (Vact) :4

Exemple :

Un commerçant remet à son banquier un effet de 1500dz payable dans 3 ans, le taux

d’escompte annuel est 8,5%. Calculer la valeur actuelle commerciale et le montant de

l’escompte retenu par le banquier.

(1)


Patrice Gensse, Nadine Ricci-Xelle, Finance d’entreprise, Edition NATHAN, Paris, 2011, p 35. (3)

Walder Masiéri,p Ibid, 82. (4)

Ptrice Gensse, Nadine Ricci-Xelle, Ibid, p 36.

D’après la table financière N°2

86

Exemple :

Une traite dont la valeur nominale est de 20000dz, payable dans 6 ans. L’escompte à

intérêts composés s’élève à 3800dz . Calculer le taux d’escompte ?

2/ Problème pratique posés par la notion d’équivalence :

2,1/ définition et propriétés :

2.1.1/ Définition :

Deux capitaux sont équivalents, à intérêts composés, un jour donné, s’ils ont la même

valeur actuelle à cette date, les actualisations étant faites avec le même taux. Ainsi, deux

capitaux C1 et C2 payables dans (n1) et (n2) périodes, sont équivalents aujourd’hui (date 0)

au taux t par période si : (1)

C1 (1+t)- n1

= C2 ( 1 +t) – n2

Deux groupes de capitaux sont équivalents, à intérêts composés, un jour donné, si la

somme des valeurs actuelles des capitaux du premier groupe est égale à la somme des

valeurs actuelles des capitaux du second groupe.

Règle d’or des mathématiques financières : ne jamais comparer ou égaler deux ou

plusieurs capitaux sans avoir, au préalable, ramener ces capitaux à une même date, appelée

date d’équivalence.

(1)

Patrice Gensse, Nadine Ricci-Xelle, op-cit, p 37.

☛ Solution:

☛ Solution:

87

2.1.2/ Propriétés: (1)

on dit que deux capitaux, escomptés à intérêts composés, sont équivalents à une date

quelconque si seulement si leurs valeurs actuelles sont égales, les calcules étant

effectués aux même taux.

En escomptant à intérêts composés, si deux capitaux ont, à une certaine date, des

valeurs actuelles égales entre elles, ils ont toute une autres date, des valeurs actuelles

encore égales entres elles (mais différentes des précédentes).

Ainsi, si deux capitaux ou deux groupes de capitaux sont équivalents à un moment

donné, l’équivalence a lieu à tout moment. Autrement dit, l’équivalence, quand elle

existe, se conserve dans le temps ( ce qui n’était pas vraie en escompte commercial à

intérêts simples). Nous pourrions vérifier aussi que si deux capitaux sont équivalant,

leurs valeurs acquises, calculées à une même date, à un même taux, seraient égales

entre elles.

Nous concluons en énonçant que si deux capitaux sont équivalents ils ont à une

même date, même valeur (actuelle ou acquise), les calculs étant effectues au même

taux.

2.2 / Problèmes à résoudre :

A travers la notion d’équivalence, on pourra résoudre les problème suivants : (2)

2.2.1/ Le calcule d’une valeur nominale

On désire substituer à un règlement de montant C1= 10000dz qui était prévue dans 3 ans,

un autre règlement de montant C2 à échéance de 5 ans.

Calculer le montant C2, compte tenu d’un taux annuel d’escompte de 8%.

(1)

Walder Masiéri, op-cit, p 82, 84.

- Christelle Baratay, op-cit, p 15. (2)

Wadder Masiéri, op-cit, P 83,85.

☛ Solution:

0 3 5

C1=

10000dz C2= ? Cas 1

88

2/ Nous savons que l’équivalence, si elle existe, peut être écrite à n’importe qu’elle date.

Écrivons-la à la date 3

3/ l’équivalence aurait pu être écrite à la date 5(ce qui revenait à multiplier les deux

membres de la première égalité par :

0 3 5

C1=

10000dz

C2= ?

3 5

C1=

10000dz

C2= ?

0

Cas 2

Cas 3

89

Exemple:

Un débiteur qui doit s’acquitter des dettes suivantes :

3 600 € payables dans 1 an , 2 400 € payables dans 1 an et 6 mois,

4 500 € payables dans 2 ans et 6 mois 6 000 € payables dans 4 ans

Obtient de son créancier de se libérer de sa dette par un paiement unique dans 5 ans. En

considérant un taux annuel de 6 %, déterminer la valeur nominale C de ce paiement unique.

2.2.2 Détermination d’une échéance ;

On décide aujourd’hui de remplacer un règlement de 10000dz qui aurait lieu dans 3ans,

par un règlement qui s’élève à 11500dz. A quelle date doit avoir lieu le règlement ? taux

annuel 6%.

☛ Solution:

☛ Solution:

Valeur nominale est de :

C2 C5 0 C1 C3 C4

n= 5 ans

90

3/ Problème d’échéance commune et échéance moyenne :

3.1/ Echéance commune :

On remplace aujourd’hui 3règlement :

C1= 2000dz à échéance 2ans



Par un règlement unique de valeur 12000 dz .

Calculer l’échéance de ce nouveau règlement. Taux annuel 5%.

☛ Solution:

91

3.2/ Echéance moyenne: (1)

On remplace les 3 éléments évoqués dans le problème précédent par un paiement

unique de montant 9000dz. Compte tenu d’un taux annuel de 5%.

Déterminer la date de ce règlement unique ?

(1)

Walder Masiéri, op-cit, p 85

☛ Solution:

92

Récapitulatif 5

☛ Une opération d’escompte consiste, pour une entrepris, à apporter avant l’échéance, un

ou plusieurs effets de commerce à sa banque, qui les lui rachète.

☛ L’objectif de l’escompte est de permettre, à une entreprise de disposer de liquidités

rapidement.

☛ l’opération d’escomptes à intérêt composé est une opération d’intérêts précomptés.

☛ Contrairement aux formules d’escompte à d’intérêt simple qui donnaient directement

l’intérêt fourni par l’escompte d’un effet, la formule fondamentale en matière d’intérêt

composé donne la valeur actuelle de l’effet à la date de négociation en premier, et âpres

avoir soustrait la valeur du montant nominale de l’effet on obtiendra l’escompte à intérêts

composés .

☛ La formule de la valeur actuelle nette:

☛ La formule de l’escompte :

☛on appelle date D’équivalence de deux capitaux à intérêts composés, la date pour laquelle

les deux capitaux ont même valeur actuelle, ou valeur acquise

☛ La date d’équivalence, quand elle existe, se conserve dans le temps ( ce qui n’était pas

vraie en escompte commercial à intérêts simples).

☛ En remplaçant un ensemble d’effet de commerce par un seul effet dont les valeurs

nominales sont égales alors l’échéance ici est moyenne.

☛ Les opérations de remplacement, pour remplacé plusieurs effets. Avec un seul «effet »,

dont les valeurs nominales ne sont pas égales, alors l’échéance ici est commune.

93

Exercice N°1 :( intérêt simple)

Un commerçant achète une marchandise d’une valeur de 18840dz .cette somme est

garantie par un effet de commerce au 26/5. Le commerçant décide de remplacer cet effet par

3 nouveau effets comme suit :

C1= 4600dz au 10/06

C2= 6400dz au 30/06

C3= ? au 15/07

Et de payer une somme de 2000dz le jour d’émission.

- Calculer la valeur du troisième effet, sachant que le taux est de 5% et la date

d’équivalence est le 11/04.

Exercice N°2 :

Un capital est placé au taux annuel (t) pendant 8ans .Capitalisation annuelle des intérêts.

Le quotient du total des intérêts produit au cours des trois premières années de placement,

par le total des intérêts produits au cours des trois dernières années est de 0,635228.

- Calculer le taux de placement.

Exercice N°3 :

Le 31decembre 2000, un livre valait 120dz

- Son prix augmente de 3% par an. Combien vaudra-t-il le 31 décembre 2015.

- Son prix augmente de 3,5% par an de 2000 à 2010 puis de 5dz par ans de 2010

à 2015. Combien vaudra-t-il le 31 décembre 2015.

Exercice N°4 :

Un capital de 10 000,00dz est placé pendant 9 ans et 9 mois aux conditions suivantes :

- 12% les cinq premières années;

- 14% les sept semestres suivants;

- 9% le reste du temps.

- Calculer la valeur acquise par ce capital en fin de placement

Exercice N°5 :

Le taux de croissance des salaires est de 6% dans la pays A et de 11% dans le pays B. le

taux de croissance des prix est égale à 5% dans le pays A et à 12% dans la pays B.

1/ Au bout de combien de temps les salaires auront-ils doublé dans le pays A ? dans le pays

B ?

2/ Même question pours les prix.

Série d’exercices N°3 :[Intérêts Composés]

94

3/ On appelle pouvoir d’achat d’un salarié le quotient de l’indice des salaires par l’indice

des prix. Etudier l’évolution du pouvoir d’achat dans le pays A puis dans le pays B.

Exercice N°6 :

Trois capitaux de même montant sont placés à intérêt composé, pendant 3 ans aux

conditions suivantes :

- premier capital : taux annuel 10%, capitalisation annuelle des intérêts.

- deuxième capital : taux semestriel 5%, capitalisation semestrielle des intérêts.

- troisième capital : taux trimestriel 2,5%, capitalisation trimestriel des intérêts.

1/ au bout de 3 années de placement, les intérêts produit par les deux premiers capitaux

présentent une différence de 272,88dz . Calculer la valeur commune des trois capitaux.

2/ Calculer la différence entre les intérêts produits par les placements des deuxième et

troisième capitaux.

3/ à quel taux d’intérêts simple le premier capital devrait-il être placé pour que, après

3années de placement, la valeur acquise à intérêt simple soit égale à la valeur acquise à

intérêt composé, les intérêts composés étant calculés aux taux annuel de 10%.

4/ au bout de combien de temps le premier capital placé à intérêt simple au taux de 10%

donnerait-il une valeur acquise égale à la valeur à la valeur acquise du même capital placé à

intérêt composé au même taux annuel de 10% pendant 3ans.

Exercice N° 7 :

Un capital de C dz est placé au taux i pendant n années. Sachant que :

- les intérêts produits au cours de la deuxième année de placement s'élèvent à 17

280,00dz.

- les intérêts produits au cours de la troisième année de placement s'élèvent à 18

662,40dz.

- le total des intérêts produits au cours des n années de placement s'élèvent à 142

764,85dz.

- Calculer C, n et t.

95

Exercice N°1 :

On remplace 3 règlements respectivement :

- 5000dz à échéance de 2ans

- 4000dz à échéance de 3 ans


Par un montant unique de montant 12000dz

1/ Déterminer l’échéance de ce règlement. Taux d’escompte 8%

2/ Même question en escompte commercial à intérêt simple.

Exercice N°2 :

Deux capitaux de valeurs nominales respectives 40000dz et 70000dz et échéances

respectives 20/11/2005 et 20/11/2008 sont négociés à la date de 20/11/2002. La valeur

actuelle totale produite par la négociation s’élève à 75037,96dz.

- Calculer le taux d’actualisation retenu.

Exercice N°3:

L’acheteur d’un bien a le choix, pour le règlement, entre deux modalités :

a/ payer 165000dz dans 1ans

b/ payer 100000dz dans 3 ans

et 100000dz dans 4 ans

1/ Quelle est la modalité la plus favorable pour lui ? taux 8% .

Exercice N°4:

Un investissement est prévu pour le 01 mars 2003, montant de la dépense est de

300000dz. Cette dépense est susceptible d’engendrer une recette de 200000dz, qui serait

perçue à la date du 01mars 2006, et une recette de 200000dz, qui serait encaissée le 01 mars

2007.

1/ Compte tenu d’un taux d’actualisation de 9%, la dépense envisagée est-elle opportune ?

2/ Même question si le taux d’actualisation était de 8,5% .

3/ En utilisant les résultats des deux questions précédentes déterminer le taux d’intérêt pour

lequel on n’aurait pas plus de raison d’envisager l’investissement que de raisons de

l’écarter.

Exercice N°5 :

Vous devez régler 5 00000dz à votre fournisseur dans 8 mois, et 9 50000dz toujours à

votre fournisseur dans 2 ans.

Vous transigez et le fournisseur accepte que vous lui versiez 8 000,00dz dans un an, et le

solde dans deux ans. Le taux d'estimation étant égal à 10%, calculez le montant du solde.

Série d’exercices N°4 :[Escompte à Intérêts Composés]

96

Chapitre 6 : Les Annuités

97

Introduction du chapitre 6:

Ce chapitre est une application de règle de calcule des intérêts composés, pour les

placements ou les décaissements de plusieurs sommes de même montant ou de montant

différents, lorsqu’ils sont effectués à un intervalle de temps égaux.

Dans les chapitres précédents, nous avons analysé la croissance d’un capital placé en un

seul versement pour une durée donnée. Dans la pratique, on constitue plutôt un capital par

des versements périodiques qu’on appelle anuités.

On désigne par annuités des sommes versées à intervalle de temps égaux, cet intervalle

de temps est appelé la période. A l’origine, le terme annuités désignait des versements

annuels c’est devenu un terme générique qui désigne tout paiement périodique. On distingue

toute fois les versements mensuels qu’on appelle mensualités, versements trimestriels qu’on

appelle trimestrialités…ect, et quoi que se soit les catégories d’annuités existantes, elles sont

soit des annuités de fin de périodes ou des annuités de début de période.

Nous présenterons dans ce chapitre les différentes formules d’évaluation uniquement

applicable au cas des annuités constantes de fin de périodes versée en fin de la première

période. Celle correspondant au cas des annuités de début de période versées dés le début

(aujourd’hui à l’époque 0), s’en déduisant aisément en utilisant le fait que la valeur actuelle

d’une suite d’annuités de début de période soit égale à celle d’une suite d’annuités de fin de

période actualisée sur période et complétée par l’annuité versée.

L’objet du présent chapitre est de terminer la valeur, à la date d’aujourd’hui d’une part

est d’autres part à l’échéance, de ces suites de Fux dans l’optique de judicieusement les

intégrer au sein du processus de décision des particuliers et des entreprises


1. Comprendre le concept des annuités.

2. Connaitre les différents types d’annuités et leur utilités..

3. Comprendre le principe d’annuité de début de période et anuité de fin de période.

5. Comprendre le lien entre anuités constantes de début de période et annuités constantes de

fin de période, pour effectuer les calcules de capitalisation et actualisation.

6. utiliser la formule de la valeur acquise de versement constant.

7. Connaitre la formule de la valeur acquise et actuelle d’annuité constante en debut de

période.


1. Concept générale et définition des annuités :

2. Les annuités constantes de fin de période.

3. Les annuités constantes de début de période .

4. Récapitulatif 6.

98

1/ Concept générale et définition des annuités :

1.1/ Définition :

Les particuliers et les entreprises durant leur existence adoptent de multiples discisions

nécessitant l’entrée et/ou la sortie de flux monétaire, on peut citer sans être exhaustif : (1)

- La constitution d’un capital.

- La préparation d’une retraite et sa consommation.

- L’évaluation de flux liés à des projets d’investissements.

- Le remboursement ou l’amortissement d’emprunt.

Ces décisions se réalisent par le biais d’annuités, de mensualités, de semestrialités, de

trimestrialités ou de tous autres versements ou retraits périodiques.

On désigne sous le vocable annuités, toute suite de flux monétaires perçus ou réglés à

intervalles de temps égaux. Autrement dit toute suite de règlements ou versement effectués

à intervalles constant et réguliers. Ces intervalles de temps séparant deux paiements

successifs portent le nom de période, celle-ci peut être une année (c’est le cas générale), un

semestre, un trimestre ou un mois. Considérant d’autres périodes que l’année, on peut

désigner les versements périodiques respectivement par semestrialité, trimestrialité,

mensualité …ect.(2)

Une suite d’annuités sera parfaitement définie lorsqu’on aura précisé : (3)

- La date du premier versement

- La période : durée constante qui sépare deux versements consécutifs.

- Le nombre (n) des versements

- Le montant de chacun de ces versements. L’origine d’une suite d’annuités se situera

une période avant le versement de la première annuité (qui donc n’est pas

nécessairement égale à une année).

Une suite d’annuités pourra être schématisée de la façon suivante :

Ces versements effectués de façon régulière ont généralement pour but :

- soit de constituer un capital (annuités de capitalisation ou de placement).

- soit de rembourser une dette, un emprunt (annuités de remboursement ou

d’amortissement).

(1)

Octave Jokung Nguéna, op-cit, p 29. (2)

Marie Boissonnade, Daniel Fredon, op-cit, p 41. (3)

Walder Masiéri, op-cit, p 94.

a1 a2 a3 an-1 an

1 2 3 n-1 n 0

Période Période

Origine

99

Remarque :

Le montant de chaque versement constitue le terme de l’annuité.

En toute rigueur, il serait préférable d’utiliser le terme "annuités" pour des versements

annuels et les termes "semestrialités", "trimestrialités" et "mensualités" dans les cas de

versements respectivement semestriels, trimestriels et mensuels.

L’étude des annuités consiste à déterminer la valeur actuelle ou la valeur acquise, à

une date donnée, d’une suite de flux. Elle prend en considération la date du premier

flux, la périodicité des flux, le nombre des flux et le montant de chaque flux.

Lorsque les annuités sont égales, on parle d’annuités constantes, alors que lorsque leur

montant varie d’une période à une autre, on parle d’annuités variables.

Les annuités peuvent être perçues ou versées en début de période ( ou à terme à échoir)

ou en fin de période( ou à terme échu).

1.2/ Classification des annuités :

Quatre principaux critères peuvent nous aider à analyser la typologie des annuités : (1)

A/ Selon le terme, on distingue :

- Annuité constante : elle est caractérisée par l’égalité des versements.

- Annuité variable : elle est caractérisée par l’inégalité des montants de versements.

B/ Selon le nombre de termes, on distingue :

- Les annuités certaines : le nombre de termes est déterminé à l’avance.

- Les annuités viagères : les termes sont payables pendant la vie d’une personne, de

telle sorte qu’elles cessent à une période bien définie mais inconnue à l’avance,

comme dans le cas d’une rente viagère dont le versement s’arrête lors du décès du

titulaire.

C/ Selon le moment de versement, on trouve : (les types auxquels on s’intéresse dans notre

chapitres)

- Les annuités de fin de périodes ( ou terme échu) : la date origine précède d’une

période la date du premier versement qui est donc effectué à e fin de la première

période.

- Les annuités de début de périodes (ou à terme à échoir) : la date origine coïncide

avec la date du premier versement qui est donc effectué au début de la première

période.

- Les annuités différées ou anticipées, quand la date origine est décalée dans le sens du

temps, ou en remontant le temps.

D/ Selon la coïncidence de paiement et de capitalisation, on distingue :

- Les annuités simples.

- Les annuités générales.

(1)


100

2/ Les annuités constantes de fin de période :

2.1/ Définition des annuités constantes :

On appelle annuités, des sommes payables à des intervalles de temps de même durée.

Lorsque le montant de chaque versement reste identique, on parle d’annuités constantes,

et sans aucun doute la modalité la plus usitée. Elle intervient dans la constitution des plans

d’épargne logement, dans l’achat de véhicules, le financement de scolarités, les loyers de

crédit-bail et dans l’investissement immobiliers. Son avantage réside dans la nécessité de ne

connaitre qu’une valeur, l’annuité constante.(1)

La valeur acquise ou la valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes dépend de la

date de versement c’est à dire début de période ou fin de période.

2.2/ le concept des annuités constantes de fin de période :

Une annuité est dite de fin de période (annuité d’amortissement ou de remboursement)

lorsque le terme échoit à la fin de chaque période de remboursement (2)

. Elle peut être

représentée graphiquement comme ci-dessous :

a a a

0 1 2 3 Fin de période

2.2.1/ Valeur acquise d’une suite d’annuités constantes de fin de période :

On appelle valeur acquise par une suite d’annuités constantes de fin de période, la

somme des annuités (Vn) exprimée immédiatement après le versement de la dernière

annuité.(3)

(1)

Octave Jokung Nguéna, op-cit, p 30. (2)

Ibid, p 30. (3)


a a a a

0 1 2 n-1 n

a

a(1+t)

a(1+t)n-2

a(1+t)n-1

Vn= ∑ la valeur acquise juste après

le dernier versement

101

Si on note par:

(Vn) : la valeur acquise par la suite des annuités

(a ): l’annuité constante de fin de période

(n ): le nombre de périodes (d’annuités)

(t): le taux d’intérêt par période de capitalisation

On a alors:

Vn = a + a(1+t) + a(1+t)2 + …..+ a(1+t)

n-2 + a(1+t)

n-1

Vn = a [ 1 + (1+t) + (1+t)2 + …..+ (1+t)

n-2 + (1+t)

n-1 ]

Il s’agit d’une suite géométrique de premier terme 1, de raison géométrique q = (1+t) et

comprenant n termes. La formule devient donc : (1)

La valeur de l’expression

est donnée par la table financière N°3.

La valeur acquise par une suite de versements identiques donne exactement le capital

disponible obtenu à l’échéance. Il s’agit du résultat de capitalisation de tous les versements

jusqu’à l’échéance.

2.2.1.1/calculs numérique sur la formule Vn :

Les calcules seront à partir des tables financières. Les taux seront supposés annuels, et la

période de la suite d’annuités sera à chaque fois l’année (2

.)

Problème 1 : calcul de la valeur acquise

Calculer la valeur acquise par une suite de 15 annuités constantes, égales chacune à

10000dz, taux de capitalisation 8,5%.

(1)

Cheladi Herbadj, la gestion sous Excel VBA ; techniques quantitatives de gestion, Edition EYROLLES ,

Paris, 2012, p 213. (2)

Walder Msiéri, op-cit, p 96,98.

- Octave Jokung Nguéna, op-cit, p 31.

☛ Solution:

102

Problème 2 : calcul de l’annuité constante

Dans le but de se constituer un capital de 1000000dz pour le 15 mars 2010, un épargnant

envisage d’effectuer des versements annuels constants.

Premier versement 15 mars 2000, dernier versement 15mars 2010, le taux 10%.

- Calculer le montant du versement constant.

Problème 3 : calcul de taux

18 annuités de 5000dz chacune, ont une valeur acquise de 200000dz.determiner le taux

de capitalisation

Problème 4 : calcul du nombre d’annuités

Pour rembourser un crédit de 42710dz, on verse des annuités constantes de fin de

périodes, dont la valeur est de 5000dz, taux de capitalisation est de 10%. Déterminer le

nombre de ces annuités.

Nous savons que :

☛ Solution:

☛ Solution:

103

La lecture de la table financière N°3 montre que :

est égal à 8,542 pour une

valeur de (n) comprise entre 6 et 7 annuités, nous voulons (n) entier.

Diverses solutions peuvent être retenues. Nous nous arrêterons aux deux suivantes : (1)

première solution :

On verse 5 annuités de montant 5000 pour chacune et le reste par la 6ième

annuité.

La valeur acquise par les 5 premières annuités est de :

deuxième solution :

On verse 6 annuités de montant 5000 pour chacune et le reste par la 7ième

annuité.

La valeur acquise par les 6 premières annuités est de :

2.2.1.2/ Valeur acquise par une suite de (n) annuités constantes, exprimé (d)

périodes après versement de la ne annuités :

C’est le cas ou la partie versante n’a pas besoin immédiatement du capital constitué

après (n) versements (Vn), mais n’est pas en mesure de continuer ses versements. Elle laisse

donc le capital constitué porter intérêt au même taux pendant (d) périodes (on supposera (d)

entier).

La formule

n’est valable q’à l’instant succédant le dernier versement, si

l’instant d’observation est (d) années après le dernier versement, cette formule doit être

alors adaptée et devient : (2)

Exemple :

La valeur acquise, 6 ans après le dernier versement, par 15 annuités constantes de

1000dz chacune, capitalisation au taux annuel de 9% sera égale à :

Alors d’une manière générale :

(1)



104

Une formule qui suppose le recours aux tables financières N°3 et N°1.

2.2.1.3/ Valeur acquise dans le cas de versements constants non annuels :

Exemple 01 :

Calculer la valeur acquise par 16 semestrialités de chacune 1000dz. Taux semestriel

d’intérêt 3%.

Exemple 02 :

Calculer la valeur acquise par 84 mensualités de chacune 1000dz. Taux annuel 10%

2.2.2/ Valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes de fin de période :

On appelle valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes de fin de période, la somme

des annuités actualisées (V0) exprimée à la date origine.(1) le total exprimé une période

avant le versement de la première annuité (soit à l’origine de la suite) des valeurs actuelles

respectives de chacune de ces annuités, exprimé à cette date 0, en usant du taux d’escompte

(t), attaché à la même période que la suite d’annuités.

(1)

Benjamin Legros, op-cit, p 53, 56.

☛ Solution:

☛ Solution:

105

Si on note par:

(V0) = la valeur actuelle par la suite des annuités

(a) = l’annuité constante de fin de période

(n) = le nombre de périodes (d’annuités)

(t) = le taux d’intérêt par période de capitalisation

Alors:

V0 = a(1+t)-1

+ a(1+t)-2

+ …..+ a(1+t)-n+1

+ a(1+t)-n

V0 = a [ (1+t)-1

+ (1+t)-2

+ …..+ (1+t)-n+1

+ (1+t)-n

]

V0 = a (1+t)-1

[ 1+ (1+t)-1

+ …..+ (1+t)-n+2

+ (1+t)-n+1

]

On a donc une suite géométrique de premier terme 1, de raison géométrique

q = (1+t)-1

et comprenant n termes. La formule devient : (1)

les valeurs de l’expression

étant fournies par la table financière N°4 .

2.2.2.1/calculs numérique sur la formule V0 :

Calculs effectués à partir des tables financières, périodicité annuelle, taux annuel.(2)

Exemple 1: Calcule de V0

Calculer la valeur à l’origine d’une suite de 10 annuités constantes de montant 2000dz

chacune .taux d’escompte 5%.

(1)

Cheladi Herbadj, op-cit, p 213. (2)

Walder Msiéri, op-cit, p 103,106.

- Octave Jokung Nguéna, op-cit, p 32, 33.

a a a a

1 2 n-1 n

a(1+t)-1

a(1+t)-2

a(1+t)- n+1

a(1+t)

- n

0

V0= ∑

106

Exemple 2 : Calcule de l’annuité constante

10 annuités constantes, escomptées à 10%, ont pour valeur à l’origine 200000dz

- Calculer le montant de l’annuité.

Exemple 3 : Calcule du taux

Un emprunt de 150000dz a été remboursé par 11 annuités constantes de fin de périodes,

chacune d’une valeur 10000dz. Calculer le taux appliqué.

☛ Solution:

☛ Solution:

☛ Solution:

:

107

Exemple4 : Calcule de nombre d’annuités

Une machine coute 31185,945dz, réglée avec des annuités constantes de fin de période

de valeur 9000dz chacune, taux d’intérêt 6%.

- Calculer le nombre d’annuités.

2.2.2.2/ Valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes, (d) périodes avant

l’origine :

La formule de la valeur acquise étudiée précédemment n’est valable que pour une

période avant le premier versement.il est nécessaire d’adapter cette formule dans le cas

suivant : (1)

En désignant par ( ) la valeur cherchée nous écrirons :

(2)

(1)


Ibid, p 65.

☛ Solution:

-d -2 -1 0 1 2 n-1 n

a a a a

Valeur actuelle

cherchée

108

Procédé qui suppose le recours aux tables financières 4 et 2.

Exemple :

Calcule la valeur d’une suite d’annuités de chacune 2000dz, nombre d’annuités 10,

exprimée trois périodes avant l’origine. Taux 7%

2.2.3/ Echéance moyenne d’une suites d’annuités constantes de fin de période :

L’échéance moyenne d’une suite de (n) annuités est l’époque à laquelle la valeur

acquisse par la suite d’annuités est égale à la somme de (n) versements effectifs.

En d’autres termes, c’est un cas particulier de l’échéance commune où le versement

unique est égal à la somme des annuités constantes.

Désignons par (x) l’époque de cette égalité entre (n) annuités constantes, chacune de

valeur nominale (a), échéance respectives 1,2 , 3,4……,n, et le versement unique (n.a) = C.

Ecrivons cette équivalence au taux (t) à la date (0) : 1

Égalité qui permettra de déterminer l’échéance (x).

Exemple 1 :

Déterminer l’échéance moyenne de 10 annuités égales entre elles. Taux annule

d’escompte 9,5%, période : l’année

(1)

Walder Msiéri, op-cit, p 109.

☛ Solution:

☛ Solution:

109

3/ les annuités constantes de début de période :

3.1/ le concept des annuités constantes de fin de période :

Le raisonnement est toujours fait sur les annuités constantes.

La définition retenus jusqu’ici d’une suite s’annuités correspond au schéma suivant :

a a a a a

0 1 2 3 n-1 n

1ier

période 2iéme

période ne période

Les annuités peuvent, d’après ce schéma, être considérées comme versées en fin de

période, fin de période 1, fin de période 2, …., fin de période n.

Et la suite d’annuités aurait pu etre considéré comme répondant au schéma suivant :

a a a a a

0 1 2 3 n-1 n n+1

1ière

période 2ième

période ne période

Dans cette interprétation les (n) annuités peuvent être considérées comme versées en

début de période début de période 1, début de période 2, …., début de période n.

Ces annuités sont dites annuités de début de période.(1)

Dé lors, les annuités de début de période se caractérisent principalement par le fait

que le versement de la première année intervient à l’époque (0), le deuxième à

l’époque(1), et le dernier interviendra à l’époque (n-1).(2)

(1)


Oscar Assoumou Ménye, op-cit, p 66.

110

Généralement le problème qui se pose pour les annuités de début de période est de

déterminer la valeur acquise à l’époque (n), et la valeur actuelle à l’origine (0), en les

déduisant aisément en utilisant le fait que la valeur actuelle d’une suite d’annuités de

début de période soit égale à celle d’une suite d’annuités de fin de période actualisée sur

une période et complétée par l’annuité versée à l’origine (1)

. c’est ainsi qu’a chaque

calcule on illustrera le calcule des valeurs acquises et actuelles d’ne suite d’annuité de

fin de période.

3.2/ Valeur acquise d’une suite d’annuité de début de période :

Exemple :

Un crédit est remboursé par 5 annuités constantes de 500dz chacune. Le taux de

l’emprunt est de 6%. Calculer la valeur acquise

On va distinguer deux cas :

Cas 1 : annuités de fin de période :

Cas 2 : annuités de début de période :

Il apparait que pour obtenir la valeur acquise d’une suite d’annuités de début de période,

il suffit de capitaliser la suite de fin de période pendant une période. Donc d’une manière

(1)

Octave Jokung Nguéna, op-cit, p 30.

0 1 2 3 4

a a a a

0 1 2 3 4

a a a

a

a

111

générale : valeur acquise d’une suite d’annuités constantes de début de période est de : (1)

Cela se justifier par le fait que les annuités de fin de période sont capitalisées pendant

(n-1) périodes, alors que celles de début de périodes le sont pendant (n) périodes, puisque :

( n – (n-1) = 1période).

3.3/ Valeur actuelle d’une suite d’annuité de début de période :

Exemple :

Reprenons le même exemple précédent, et calculons la valeur actuelle de l’emprunt.

On va distinguer deux cas :

Cas 1 : annuités de fin de période :

Cas 2 : annuités de début de période :

Il apparait que pour obtenir la valeur actuelle d’une suite d’annuités de début de période,

il suffit d’actualiser la suite de fin de période pendant une période. Donc d’une manière

générale : valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes de début de période est de : (2)

(1)

Cheladi Herbadj, op-cit, p 213. (2)

Oscar Assoumou Ménye, op-cit, p 66.

0 1 2 3 4

a a a a

-1

-1

a

a

0

0

a

a

1

1

a

a

2

2

a

a

3

3

112

Remarque : Dans ces deux cas le montant de l’emprunt (valeur actuelle) ne sera pas

identique car les modalités de versement sont différentes.

3.4/ la détermination du capital restant dû, après pième

versement :

Exemple :

Un capital remboursé par 15 annuités constantes de fin de périodes, chacune est de

500dz, et le taux d’intérêt est de 7%.

- Quel est le capital restant dû, immédiatement après le 9ième

versement ?15

D’une manière générale : un capital est prêté sur (n) annuités constantes de fin de

périodes, le capital restant dû immédiatement après le Pièmes

versements est :

☛ Solution:

En réalité j’ai effectué 9 versements et il me reste 6 versements à faire du 9ième

versement

au 15ième

versement ( le dernier). La question est de savoir quelle est la valeur de ses 6

annuités à l’époque 9.

0 1 2 3

500

500

500

9 10 11 15

500

500

500 500

6 annuités restantes

1 2 6 0

0 1 2 p n

a a a a

(n-p) annuités

113

Récapitulatif 6

☛ On désigne par le terme annuité, toute suite de règlements ou versement effectués à

intervalles constant et réguliers.

☛ Lorsque le montant de chaque versement reste identique, on parle d’annuités

constantes, et sans aucun doute la modalité la plus usitée.

☛ Les annuités peuvent être perçues ou versées en début de période ou en fin de période.

Les versements effectués ont pour but :

- constituer un capital, il s’agit d’annuités de placement (versement en début de période)

ou de capitalisation (versements en fin de période) ;

- rembourser une dette, c’est le cas des annuités de remboursements ou d’amortissements.

☛ La valeur acquise d’une suite d’annuité constante de fi de période est donnée par la

formule :

La quelle est valable juste après le dernier versement.

☛ La valeur actuelle d’une suite d’annuité constante de fi de période est donnée par la

formule :

☛ Pour obtenir la valeur acquise d’une suite d’annuités de début de période, il suffit de

capitaliser la suite de fin de période pendant une période, se qui donne la formule suivante :

☛ Pour obtenir la valeur actuelle d’une suite d’annuités de début de période, il suffit

d’actualiser la suite de fin de période pendant une période, se qui donne la formule

suivante :

114

Exercice N°1 :

Calculer l’annuité constante qui amortit en 6ans, au taux annuel de 8%, un prêt de

1000000dz, avec règlement mensuel, soit payable à terme échu, soit payable d’avance.

Exercice N°2 :

Pour l’achat d’une maison, un particulier paye, à la fin de chaque période, des

semestrialités constantes chacune de 9000dz, pendant 10ans. Cet achat lui reviens à

310000DA lors du dernier versement. Calculer le taux annuel dans ce cas.

Exercice N°3 :

Une personne verse, à intervalles réguliers égaux à 1 an, des sommes constantes de

montant 10000dz chacune, à un organisme de capitalisation. Taux d’intérêt : 10%.

Date du premier versement :1/12/2002, date du dernier versement :1/12/2017.

- Calculer le montant du capital constitué :

1/ à la date du 1/12/2017

2/ à la date du 1/12/2018. On rappelle que le dernier versement est daté du 1/12/2017. 3/ à la

date du 1/12/2022. Même hypothèse qu’en 2.

Exercice N°4 :

(n) annuités de 25000dz chacune, capitalisées à 11% ont une valeur acquise de

400000dz. Calculer (n). Donner deux solutions.

Exercice N°5 :

Une personne a entrepris d’effectuer des placements annuels de 20000dz chacun, les

1juillet de chacune des années 2000 à 2009 inclusivement. Ces placements étant prévus

devoir porter intérêt composé à 8,5% l’an.

A/ De quelle somme peut-elle espérer dispose à la date du 1juillet 2014, le capital constitué

en 2009 ayant continué à porter intérêt ?

B/ Immédiatement après avoir effectué le placement du 1 juillet 2005, la personne constate

que le capital déjà constitué, ainsi que les placements à venir, ne pourrons plus désormais

produire des intérêts qu’au taux de 7,5%. Dans ces conditions de quelle somme la personne

en question disposera-t-elle le 1juillet 2014 ?

D/ Dans les conditions du B, la personne considérée envisage d’effectuer des versements

supplémentaires constants les 1 juillet de chaque année des années 2010 à 2013

inclusivement de façon à obtenir le 1juillet 2014, la somme prévue en A. déterminer le

montant de ces versements supplémentaires constants.

Série d’exercices N°5 : [Annuités]

115

Exercice N°6 :

Une personne souhaite se constituer un capital de 200000dz pour le 1 janvier 2010. Pour

cela elle verse sur son compte, chaque début d’année, à partir du 1 janvier 2000 et jusqu’au

1 janvier 2009, une somme S constants.

- Quel doit être le montant de cette somme si le taux d’intérêt servi sur ce compte est

de 8% ?

Exercice N°7 :

Déterminer l’échéance moyenne d’une suite de 30 annuités constantes de 10000dz

chacune, taux 10,25% .

Exercice N°8 :

Une suite de 15 annuités est ainsi constituée :

5 annuités de 1000dz chacune

Puis 5 annuités de 1500dz chacune

Puis 5 annuités de 2000dz chacune

- Calculer la valeur acquise de cette série d’annuités, taux 11,5%.

Exercice N°9 :

Une personne désire emprunter 10000dz à un établissement financier. Elle peut

rembourser cet emprunt suivant plusieurs formules qui correspondant toutes au même taux

d’intérêt :

Formule 1 : payer capital et intérêts en une seul dois au debout de 2ans.

Formule 2 : payer en 24 mensualités constantes et ce, dés la fin du premier mois après

l’emprunt.

Formule 3 : ne rien payer pendant la première année, puis payer 12 mensualités égales à

partir de la fin du 13ième

mois de l’emprunt.

- Avec la formule 1, la personne doit payer 12155dz. Quel est le taux annuel des intérêts ?

- Si elle choisit la formule 2, combien devra-t-elle payer par mois ?

- Calculer le montant de chacune des mensualités de la formule 3.

116

La bibliographie

117

Références bibliographiques :

André Farber et autres, Finance « Synthèse de cours et exercices corrigés, 2e édition, PEARSON

Education, France, 2009.

Aswath Damodaran, pratique de la finance d’entreprise, 1ièr

edition, Edition Se Boeck université,

Bruxelles, 2010.

Benjamin Legros, Mini Manuel de Mathématiques Financières, 2e Edition, DUNOD, Paris, 2016.

Beysul Aytaç, Cyrille Mandou, investissement et financement de l’entreprise, De Boeck

Supérieur, Belgique 2015.

Cheladi Herbadj, la gestion sous Excel VBA ; techniques quantitatives de gestion, Edition

EYROLLES , Paris, 2012.

Christelle Baratay, mathématiques financières « 2015-2016 : les point clés pour comprendre les

calculs financiers en finance et en gestion de l’entreprise », L’extenso édition, France, 2015.

Christian Cautier et autres, Mathématiques « cours et exercices corrigés », 2e Edition, DUNOD,

Paris.

Claire David, Sami Mustapha, Mathématiques Financières « Tout le cour en fiches, licence 1 »,

DUNOD, Paris, 2014.

Cthrine Deffains-Crapsky, Eric Rigamonti, Réussir le DSCG (2) Finance, Edition EYROLLES,

Paris, 2015.

Gérard Neuberg, Mathématiques financières et actuarielles « TD », DUNOD, Paris, 2012.

George Legros , mini manuel de fiance d’entreprise, DUNOD Edition, paris ,2010 .

Gilles Meyer, Finance d’entreprise « préparation complète à l’épreuve DCG6 », Vuibert, Paris,

2016.

Le Borgne Hervé, Calculs bancaires, Economica, Paris, 2003.

Mansouri Mansour, Système et Pratiques Bancaires en Algérie, Edition Distribution Houma,

Alger, 2005.

Marie Boissonnade, Daniel Fredon, Mathématiques Financières, 3e Edition, DUNOD, Paris, 2007.

Nathalie Taverdet-Popiolek, Guide du choix D’investissement, Edition D’organisation, Paris,

2006.

Octave Jokung Nguéna, Mathématiques et gestion financière « application avec exercices

corrigés, 1ière

édition, Edition De Boeck Université, Bruxelles, Belgique, 2004.

Oscar Assoumou Menye, Mathématiques Financières « cours, travaux pratiques, exercices et

corrigés, Editions connaissance et savoir, Saint-Denis, France, 2016.

Patrice Gensse, Nadine Ricci-Xelle, Finance d’entreprise, Edition NATHAN, Paris, 2011.

Philipe Michel, cours de mathématiques pour économistes, 2e Edition, Economica, Paris, 2001.

Pierre Devolder et autres, mathématiques financières, 2e Edition, Pearson, France, 2015.

Thierry Rolando, Jean-Claude Fink, Mathématiques Financières, VUIBERT, Paris, 2000.

Walder Masièri, Mathématiques financières « Aide- Mémoire », 2e Edition, DUNOD, Paris,

2008.

118

Exercices d’entrainement

119

I / Questions de réflexion :

- Notions Vrai/Faux

1. Si je place un capital à intérêt composé, l’intérêt obtenu sera supérieur à celui obtenu avec

un intérêt simple si la durée de placement est supérieure à 1 an.

2. Si je place un capital, il me faudra plus de temps pour le doubler si les intérêts sont

composés et moins de temps si les intérêts sont simples

3. Je dispose aujourd’hui d’un capital à placer et je souhaite le doubler en 10 ans. Le taux

d’intérêt de ce placement doit être plus élevé si les intérêts sont calculés simplement, plutôt

que de manière composée.

4. Si je place un capital sur une période de 6 mois, la somme obtenue à l’issue du placement

sera plus importante avec un intérêt simple qu’avec un intérêt composé.

5. Si je place un capital sur 5 ans, la somme obtenue à l’échéance du placement sera moins

grande avec un intérêt simple qu’avec un intérêt composé

II/ Exercices :

Exercice N°1 :

Le 6 octobre, un débiteur se met d’accord avec son fournisseur pour remplacer trois

traites de : 180 dz échéant le 3 novembre, 270 dz échéant le 14 novembre, 240 dz échéant le

29 novembre par deux traites de 300 dz échéant le 20 novembre et 393 dz échéant le 5

décembre.

A quel taux a été calculé l’escompte pour que ces deux modalités de paiement soient

équivalentes ?

Exercice N°2 :

Un débiteur a accepté une traite de 1 100 dz ayant encore 35 jours à courir. Il demande à

son créancier de la remplacer par une traite à 60 jours. Quelle doit être la valeur nominale de

cette nouvelle traite ? Taux d’escompte : 12 %.

Exercice N°3 :

Un commerçant propose, pour le règlement de la même commande, deux formules de

paiement :

- versement de 150 da au moment de l’achat et acceptation de trois lettres de change d’une

valeur nominale de 150 dz chacune, respectivement à 30, 60 et 90 jours d’échéance

- versement de 84 dz au moment de l’achat et acceptation de six lettres de change de même

valeur nominale, respectivement à 15, 30, 45, 60, 75 et 90 jours d’échéance.

Si le taux d’escompte est de 8,50 %, quelle doit être la valeur nominale de chacune des

traites de la seconde proposition pour que ces deux types de règlement soient équivalents le

jour de l’achat ?

120

Exercice N°4 :

Un matériel (livré deux mois après la commande) peut être payé de deux façons

différentes :

- au comptant le jour de la livraison

- en cinq versements : 240 dz à la commande, 480 dz un mois après la commande, 480 dz au

moment la livraison, 600 dz un mois après la livraison, 750 dz deux mois après la livraison.

Quel est le montant du paiement au comptant si ces deux modes de règlement sont

équivalents à la date de la livraison ? Taux d’escompte : 12 %.

Exercice N°5 :

Les mesures annuelles d’un phénomène économique, la première mesure ayant été

effectuée à la date zéro, font apparaitre chaque année un taux d’accroissement annuel

constant par rapport à l’année précédente. Sachant :

- Que la mesure du ce phénomène considéré s’est accrue de 303,88 entre la date 4 et la

date 5.

- Que la mesure de ce phénomène s’est accrue de 335,03 entre la date 6 et la date 7.

- Que la mesure de ce phénomène s’est accrue de 1444 entre la date 6 et la date n.

1/ Calculer le taux constant d’accroissement annuel.

2/ Calculer la mesure initiale d phénomène étudié.

3/ Calculer la durée n.

Exercice N°6:

- Calculer à la date du 15 octobre 2004 la valeur d’une suite d’annuités de chacune

12500dz. Date du premier versement 15octobre 2005, date de dernier versement 15octobre

2017.

- Calculer la valeur de cette même suite d’annuités à la date du 15 octobre 2002. Même

taux.

Exercice N°7 :

Un organisme financier vous propose pour 6 mois les deux types de placement suivants :

- Placement A : intérêts post compté au taux annuel de 5%.

- Placement B : intérêts précompté au taux annuel de 4,9%.

Quel placement choisissez-vous ?

Exercice N°8 :

Un artisan doit encaisser 2500dz dans un mois et 5000dz dans 2 mois. Un banquier

accepte de lui escompté ces deux traites. L(escompte global est de 100dz dont 6,25dz de

commissions.

- Quel est le taux de l’escompte ?

Exercice N°9 :

Un particulier réalise 3 placements :

- 3800 dz à 3,6% l’an pendant 150 jours.

121

- 2400 dz à 2 ,4% l’an pendant 90 jours.

- 6000 à 3% l’an pendant 60 jours.

Déterminez le taux moyen de placement.

Exercice N°10 :

Deux capitaux différents de 1250dz, le premier est placé à un taux d’intérêt simple

inferieur de 3% au taux de placement du second.

Au bout deux années de placement, les deux capitaux ont acquis la même valeur.

- Calculer les deux capitaux et les deux taux, sachant que le premier capital rapporte

annuellement 5700dz.

Exercice N°11 :

En vue d’augmenter sa production, un boulanger décide d’acquérir un four à pain

automatique.

Il porte son choix sur un four valant 60000dz.

Les conditions de paiement sont :

- 20000 dz à la livraison.

- Le solde en trois traites trimestrielles d’égale valeur nominale. La première échéant 3

mois après la livraison, le taux est de 2,7% l’an.

1/ calculez le solde restant à payer.

2/ soit (A) la valeur nominale des traites, pour qu’il y ait équivalence le jour de la livraison,

la somme des valeurs actuelles de chaque traite doit être égale au solde à payer.

Ecrivez en fonction de (A) :

- La somme des valeurs actuelles des 3traites.

- L’équation d’équivalence.

- Résolvez cette équation et donnez la valeur de (A).

3/ calculez :

- Le total versé.

- L’économie réalisée si le boulanger avait pyé comptant le jour de la livraison.

Exercice N°12 :

On place un capital de 6000 dz au taux annuel de 3%. Un autre capital de 5850 est placé

au taux annuel de 5,4%. Soit (n) le nombre de mois de placement.

1/ Exprimez A1 et A2 les valeurs acquises respectivement par le capital de 6000dz et de

5850dz en fonction de (n) le nombre de mois de placement.

2/ représentez dans le même repère A1 et A2 pour (n) appartenant à l’intervalle [0 ; 24].

Commencez la graduation sur l’axe des ordonnées à 5800.

3/ déterminez graphiquement le nombre de mois de placement nécessaire pour que les deux

valeurs acquises soient égales. Vérifiez le résultat en résolvant une équation.

Exercice N°13 :

Un particulier investit 12000 dz dans deux placement différents..

- Le placement A rapporte 5% l’an durant 9 mois.

122

- Le placement B est de 8 mois à 3% l’an.

Le placement A rapporte 220 dz de plus que le placement B.

On désigne par ( x) le montant du placement A et par (y) le montant du placement B.

1/ Exprimez en fonction de x et de y :

- Le montant total de l’investissement.

- La différence de l’intérêt rapporté par les deux placement.

2/ Ecrivez le système de deux équations à deux inconnues correspondant.

3/ Résolvez ce système.

4/ Concluez en notant le montant du placement A et du placement B.

Exercice N°14 :

Une entreprise négocie avec la banque le 15 mai 2001 deux traites. Le taux d’escompte

appliqué est 5%.

1/ Recopiez et compétez le tableau ci-dessous :

2/ la commission fixée est de 4 dz par traite, la commission proportionnelle au temps est de

0,1%, commission indépendante du temps est de 1%. Calculez le montant dont sera crédité

le compte de l’entreprise.

Exercice N°15 :

Une personne a en sa possession 1.50.000 dz. En prévision de l’acquisition d’une

voiture, elle place cette somme pendant 9 mois à un taux de 4% l’an à intérêts simples à la

banque.

1/ Calculez l’intérêt rapporté par ce capital C : en 12 mois, en 1 mois et en 9 mois.

2/ calculez la somme d’argent que cette personne pourra retirer dans 9 mois, c’est-à-dire la

valeur acquise A par ce capital.

3/ on note I l’intérêt et n la durée du placement en mois..

- Exprimez I en fonction de n.

- Représentez graphiquement la fonction f définie par f(n) = I pour n appartenant à

l’intervalle [0 ; 12].

- Déterminez la valeur acquise par le capital en 8 mois.

Exercice N°16 :

Un commerçant signe un effet de commerce par lequel il s’engage à payer une facture de

15000 dz à son fournisseur dans 3 mois. La somme de 15000 dz s’appelle la valeur

nominale de l’effet.

Montant de

le traite en dz

Date de

négociation

Date

d’échéance

Nombre de

jours à courir

Valeur actuelle

en dz

1400 15/05/2016 19/06/2016

2100 15/05/2016 04/07/2016

Total :

123

Le fournisseur a deux solutions :

- 1ière

solution : il attend l’échéance des 3 mois et il encaisse alors les 15000dz.

- 2ime

solution : il négocie l’effet avec la banque et il encaisse les 15000 diminués

d’une certaine somme appelée agios.

On considère le cas ou, deux mois avant l’échéance, le fournisseur, ayant des problèmes

de trésoreries, négocie cet effet avec la banque. La banque crédite le compte de 14710,30

dz. Cette somme s’appelle la valeur nette.

1/ Calculez le montant de l’agio.

2/ Les agios sont constitués de l’escompte, des commissions

- La banque avance 15000 dz au fournisseur pendant deux mois. L’intérêt de cette

somme s’appelle l’escompte. Calculez le montant de l’escompte au taux de 8% l’an.

- Les frais correspondant à 0,5% de la valeur nominale.

3/ La valeur actuelle de la traite est la valeur nominale diminuée de l’escompte. Calculez la

valeur actuelle.

Exercice N°17 :

Un capital de X dz est placé à un taux d’intérêt composé annuel de 4%, simultanément

un capital de Y dz est placé à un taux d’intérêt simple annuel de 66%.

Sachant sue (X+Y) = 1200dz, et qu’à l’issus de 4 années de placement les deux capitaux

ont acquis la même valeur. Trouver les valeurs de X et de Y.

Exercice N°18 :

On considère deux règlement :

- 15000dz à l’échéance de deux ans.

- 30000dz à l’échéance de cinq ans.

a/ on substitue à ces deux règlement un règlement unique parvenant dans quatre ans.

- Calculer la valeur de règlement.

b/ on remplace ces deux règlements par deux autres de même valeurs nominale à échéance

respectives de trois et quatre ans, calculer la valeur commune de ces deux règlements.

c/ calculer l’échéance moyenne associée aux taux règlements initiaux, le taux l’escompte

est de 4%.

Exercice N°19 :

Souhaitant se constituer un capital de 50000dz à l’horizon de 1ier

janvier 2023, un

investisseur envisage plusieurs solutions de placement :

1ier

solution : placer successivement 10 annuités constantes du 1ier

janvier 2014 au 1ier

janvier 2023.

2ième

solution : placer successivement 5 annuités constantes du 1ier

janvier 2014 au 1ier

janvier 2018, puis laisser fructifier l’épargne constituée jusqu’au 1ier

janvier 2023.

124

3ieme

solution : placer tous les 3ans des capitaux dont les valeurs successives forment une

suite géométrique de raison 2 ( premier placement le 1ier

janvier 2014, dernier placement 1ier

janvier 2020).

- Calculer l’annuité constante associée à la première solution.

- Calculer l’annuité constante associée à la deuxième solution.

- Calculer la valeur des capitaux placés associés à la troisième solution. Le taux

d’intérêt composé est de 5%.

Exercice N°20 :

Le 20 mars une entreprise paye un fournisseur en lui signant une traite de 84000sz à

l’échéance du 4 avril. Le 2 avril, à la réception de nouvelles marchandises, l’entreprise signe

une seconde traite de 12000dz à ce même fournisseur à échéance du 17 avril.

1/ le 27 mars l’entreprise s’aperçoit qu’elle ne sera pas en mesure d’honorer le traite

venant à échéance le 4 avril et sollicite un report d’échéance à la date de 20 avril.

Dans le cas ou ce report d’échéance serait accepté, déterminer le montant de la nouvelle

traite que l’entreprise devrait signer.

2/ la 1ier

avril confrontée à de nouvelle difficultés financières, l’entreprise anticipe qu’elle

ne pourra en fait honorer aucune des deux traites signées et demande à son fournisseur leur

remplacement par une traite unique qui viendrait à échéance le 26 avril .

Déterminer quel serait le montant de l’effet de remplacement.

Exercice N°21 :

Une personne verse, à intervalles réguliers égaux à un ans, des sommes constantes de

montant 10000dz chacune, à un organisme de capitalisation , taux d’intérêt 10%, date du

premier versement 1/12/2002, date du dernier versement 1/2/2017.

- Calculer le montant du capital constitué à la date du 1/2/2018.

Exercice N°22 :

On remplace trois règlements respectivement :

- 10000dz à échéance de 2 ans.



Par un règlement unique è échéance de 4 ans.

- Calculer le nominal de ce règlement unique. Taux annuel d’escompte à intérêt

composé 9%.

Soit trois règlements respectivement :



- 3000dz à échéance de 4 anas.

125

Déterminer l’échéance moyenne de ces 3 règlements. Taux d’escompte à intérêt composé

8%.

Exercice N°23 :

1/ un capital de nominal 15000dz échéance de 5 ans est négocié, taux annuel d’escompte

6,5%.

- Calculer sa valeur actuelle à intérêt composé.

2/ un capital de 20000 dz, à échéance de 4 ans, est négocié, l’escompte correspondant est

égale à 4742,10dz.

- Calculer le taux annuel d’escompte à intérêt composé .

3/ un capital de nominal 25000dz est négocié, taux d’escompte à intérêt composé 8%, sa

valeur actuelle s’élève à 19111dz.

- Déterminer son échéance.

Exercice N°23 :

Calculer la valeur acquise par un capital de 1000dz placé à un aux t= 11,5%,

capitalisation annuelle des intérêts pendant :

1/ 7 ans

2/ 11 ans et 5 mois.

Exercice N°24 :

Les conditions d’escompte offertes par deux banques A et B sont les suivantes :

Banque A Banque B

Taux d’escompte 10% 9,8%

Taux de commission proportionnelle à la durée. 0,6% 7,7%

Taux de commission indépendante de la durée 0,5% 0,6%

Commission fixe 5 dz 4 dz

- En supposant un effet de valeur nominale 5000dz à échéance de 90 jrs, déterminer les

agios respectifs retenus par les deux banques et les valeurs nettes de négociation.

- le classement préférentiel des deux banques aurait il pu être inversé si la date

d’échéance avait été différente ?

Exercice N°25 :

On effectue chaque 1ier

janvier depuis 1 janvier 2000 un versement de 2000 dz dur un

compte. Le compte était rémunéré à 3% du 1 janvier 2000 au 1 janvier 2005 , depuis cette

date il est rémunéré à 4%.

126

- De combien d’argent disposerais- je au 1 janvier 2013 au moment de mon

versement ?

Exercice N°26 :

On verse 500dz chaque mois pendant 12 mois à un taux d’intérêt annuel de 5%.

- De quelle somme disposera- t – on trois mois après le dernier versement.

Exercice N°27 :

Une suite de 12 annuités se présente de la façon suivante :

4annuités égales chacune à (x) dz

Puis 4annuités égales chacune à 2(x) dz

Pius 4annuites égales chacune à 3(x) dz

La valeur à l’origine de ces annuités, estimée à 9,5%, s’élève à 184704,04dz.

- Calculer le montant de (x).

Exercice N°28 :

On considère un capital (A) constitué par le versement de (n) annuités de début de

périodes égales à (a) (intérêt composés au taux t)

- Exprimer (A) en fonction de (n), (a), (t).

- Quel sera la capital constitué au bout de 10 ans, au bout de 20 ans par le versement, au

bout de chaque année, de 10000 dz ( taux 5%).

Exercice N°29 :

Lors de la mise en vente d’un immeuble, une personne ne se porte acquéreur au prix de

350.000dz payable comme suit :

- 100.000dz comptant

- Le reste en 8 annuités égales, payable en fin d’année et calculées au taux de 5%.

Calculer le montant de chacune des annuités.

Exercice N°30 :

Les offres faites à un propriétaire pour une mise en vente sont les suivantes :

- 47500 dz payable comptant

- 62500 dz payable dans 5 ans

- Annuités de 4500 dz. Payables pendant 15 ans, le premier versement ayant lieu

immédiatement.

Quelle est l’offre la plus avantageuse pour le vendeur ? taux 4%.

127

Quelques propositions de sujets d’examen

128


EHEC

Niveau : 1ière

année Master Module : Mathématiques financières

Groupes : 1,2 ,3,4,5,6,7,8,9,10,11 Année Académique : 2014/2015

Durée : 1h30

Exercice N°1 :

On dépose en banque 10000dz productifs d’intérêts composés. Un an après on retire

10000dz, un an après ce retrait on dispose en banque, compte tenu des intérêts produit, de

806,25dz.

Calculer le taux annuel de capitalisation ?

Exercice N°2 :

Une personne doit encaisser, le 15 janvier 2020, une créance de 1000000dz. Le 15

janvier 2004 elle vend son titre de créance contre une somme payable au comptant et

représentant la valeur actuelle, à intérêt composé, et au taux annuel de 9%, de la créance

qu’elle devrait encaisser le 15 janvier 2020. La somme ainsi obtenue est investie

immédiatement dans un placement à intérêt composé à 10% l’an jusqu’au 15janvier 2020.

1/ Quel capital la personne obtiendra-t-elle le 15 janvier 2020 ?

2/ Déterminer à quelle date elle disposerait 1000000dz ?

3/ Quel prélèvement pourrait-elle effectuer sur la somme encaissée le 15 janvier 2004 pour

que le solde, placé dans les conditions indiquées, lui procure 1000000dz le 15 janvier

2020 ?

4/ En utilisant les résultats des trois questions précédentes, apprécier l’opportunité de

l’opération effectuée le 15 janvier 2004 ?

Exercice N°3 :

Le 31/12/2000 un individu a envisagé d’acheter un appareil payable par 6 annuités

constantes de 10000dz chacune, le premier versement aura lieu une année après l’achat.

Taux d’intérêt est de 8%

1/ Calculer le prix de l’appareil.

2/ Calculer la valeur globale payée par l’acheteur

3/ Immédiatement après le 3ième

versement les conditions ont changées, et l’individu

envisage de payer le reste de crédit en un seul versement une année après ce 3ième

versement,

déterminer le montant de ce dernier versement.

Exercice N°4 :

Quel deviens un capital de 10000dz placé pendant 6ans et 7 mois au taux de 5,5% par

ans.

Bon courage

Equipe pédagogique

Examen du premier semestre

129


EHEC

Niveau : 1ière


Groupes : 5,6,9,10,11 Année Académique : 2014/2015

Durée : 1H30

Exercice N°1 :

Calculer le taux de rendement brut d’un bon du trésor à 5 ans sachant que sa valeur

d’achat est de 8085dz et sa valeur de remboursement de 12874dz.

Exercice N°22 :

Une personne place à intérêt composé une somme de 20000dz à un taux (i) et une

somme de 50000dz à un taux (i’). Elle dispose après 4ans, capitaux et intérêts réunis, d’une

somme totale de 109199,13.

Si le capital de 20000dz avait été placé au taux (i’) et le capital de 50000dz au taux (i), le

total des deux valeurs acquises aurait été de 112159,56dz.

- Calculer les deux taux (i) et (i’).

Exercice N°3 :

Une personne verse a intervalle régulier égaux à 1, des somme constantes de montant de

10000dz chacune, à un organisme de capitalisation. Taux d’intérêt 10%. Date du premier

versement 1/12/2010, date du dernier versement 1/12/2025.

- Calculer le montant du capital constitué :

a/ à la date du 1/12/2025

b/ à la date du 1/12/2026. On rappelle que le dernier versement est daté du 1/12/2025.

On suppose que le titulaire de capital constitué le 1/12/2018n’a pas retiré ce capital.

c/ à la date du 1/12/2010. Même hypothèse qu’en b

Bon courage

Examen de rattrapage

130


EHEC

Niveau : 1ière


Groupes : 1,2 ,3,4,5,6,7,8,9,10 Année Académique : 2015/2016

Date : 02/02/2016 Durée : 1h30

Exercice N°1 :

A la date 02/02/2016 Amine a voulu connaitre son solde, pour la réalisation d’un projet

donc il s’est avéré, qu’il avait un solde de 200000 dz provenant de l’investissement d’un

capital depuis 15 ans, comme il détient deux effets commerciaux, de valeurs nominales

respectivement 500000dz à la date d’échéance de 5ans, 800000 dz à la date d’échéance de

3ans et il a un capital de 100000 dz. Sachant que le taux d’intérêt composé est de 8,5%.

Questions : calculer

1- Le capital investi depuis 15ans.

2- L’escompte et la valeur actuelle de chaque effet commerciale.

3- Le montant global que détient Amine.

Exercice N°2 :

Deux capitaux dont le total est de 20000dz sont placés :

- Le premier à t%, le second à (t+1)%

- Le revenu annuel du premier capital est de 1080dz, revenu annuel du deuxième

capital est de 800dz.


1- Les deux capitaux

2- Les deux taux

Exercice N°3 :

On place aujourd’hui un capital C0 au taux annuel (t). au bout de combien de temps sa

valeur acquise sera-elle égale au triple du capital placé pour (t) égale 5%, (t) égale 7%.

Exercice N°4 :

Les mesures annuelles d’un phénomène économique la première mesure été effectuée à

la date zéro font apparaitre chaque année un taux d’accroissement annuel constant par

rapport à l’année précédente, sachant :

- que la mesure du phénomène s’est accrue de 303.88 entre l’année 4 et l’année 5.

- que la mesure du phénomène s’est accrue de 335.03 entre l’année 6 et l’année 7.

- que la mesure du phénomène s’est accrue de 1444 entre l(année 6 et l’année n.


1- Le taux d’accroissement annuel

2- La mesure initiale du phénomène étudié

3- La durée n . Bon courage

Equipe pédagogique


131


EHEC

Niveau : 1ière


Groupes : 1,2 ,3,4,5,6,7,8 Année Académique : 2016/2017

Date : 18/01/2017 Durée : 1h30

Exercice N°1 :

On dépose en banque 10000 dz productifs d’intérêts composés. Un an plus tars on retire

10000dz. Une année après ce retrait, on dispose en banque compte tenu des intérêts produits

de 806,25dz.

Questions : calculer le taux d’intérêt annuel.

Exercice N°2 :

Deux capitaux X et Y dont le montant s’élève à 80000 dz sont placés le même jour pour

une durée de 6 ans à intérêt composé. Le capital X est placé au taux annuel de 8%,

capitalisation annuel des intérêts. Le capital Y est placé au taux semestriel de 3,75%,

capitalisation semestrielle des intérêts. A l’expiration des 6 années, le total des intérêts

produits s’élève à 46007,32 de.

Questions : calculer X et Y.

Exercice N°3 :

En vue d’augmenter sa production, un boulanger décide d’acquérir un four automatique.

Il porte son choix sur un four valant 60000dz, les conditions de paiement sont : 2000dz à la

livraison et le solde en trois traites trimestrielles de valeur nominale égale. La première à

échéance de trois mois après la livraison, le taux est de 2,7% l’an.

Question : calculer

1- Le solde restant à payer

2- Soit A la valeur nominale des traites pour qu’il y ait équivalence le jour de la livraison

la somme des valeurs actuelles doit être égale au solde à payer. Ecrivez en fonction de

A :

- Le somme des valeurs actuelles des trois traites.

- L’équation d’équivalence.

- Résolvez cette équation et donnez la valeur de A.

3- Calculer : a- le total versé, b- l’économie réalisés si le boulanger avait payé comptant

le jour de la livraison.

Exercice N°4 :

La négociation de deux effets respectivement 2000 dz à échéance de 2 ans et 2000dz à

échéance de 4ans produit une valeur nette totale de 3558,72dz.

Questions : calculer le taux d’escompte.

Bon courage

Equipe pédagogique


132


EHEC

Niveau : 1ière

année Master Module : Mathématique financière

Groupes : 1,2 ,3,4,5,6,7,8 Année Académique : 2016/2017

Date : 07/02/2017 Durée : 1h00

Exercice N°1 :

Un capital placé à 9% pendant une certaine durée a acquis une valeur de 17400dz. Placé à

10% pendant un an de moins ce même capital aurait fourni un intérêt de 4800dz.

Questions : calculer ce capital et la première durée de placement.

Exercice N°2 :

L’acheteur d’un terrain a le choix pour le règlement entre deux modalités

a/ payer comptant 175000dz

b/ accepter deux traites chacune 100000 dz à échéance de 2 ans et 3 ans.

Questions : Quelle modalité de paiement choisira-t-il ? taux d’escompte 6%.

Bon courage

Equipe pédagogique

Examen de rattrapage

133


EHEC

Niveau : 1ière

année Master Module : Mathématique financière

Groupes : 1/2/4/6 Année Académique : 2016/2017

Enseignante : Belaid

Exercice N°1 :

En 2000 une personne a contracté une vente d’une marchandise d’une valeur de

50000dz, payable après 5 ans, si le taux d’intérêt été de 10%, calculez donc les tranches de

paiement suivantes :

1/ Le jour de la signature du contrat de vente.

2/ Deux ans avant la signature du contrat de vente.

3/ Le jour prévu du paiement (l’échéance).

4/ Deux ans avant la date prévu de paiement.

5/ Un an après la date de paiement.

Exercice N°2 :

Le 6 septembre le débiteur de trois effets :

1000dz à échéance du 31 octobre

3000dz à échéance du 30 novembre

2000dz à échéance du 31 décembre

1/ Demande à son créancier, de remplacer ces trois effets par un effet unique à échéance du

15 décembre.

2/ Calculer la valeur nominale de cet effet unique, taux d’escompte est de 9%.

Exercice N°3 :

Aujourd’hui (date retenue comme date d’équivalence), un débiteur a le choix entre deux

modes de règlements d’une dette, en acceptant :

- soit trois traites : 180 dz à 30 jours, 275 dz à 60 jours et 420 dz à 90 jours ;

- soit deux traites : 480 dz à 46 jours et 392 dz à 61 jours.

- A quel taux d’escompte a été calculée cette équivalence ?

[Devoir N°1]

134

Table Des Matières

Introduction Générale…………………………………………………………A,B,C

Chapitre 1 : Rappels de mathématiques……………………………………..……4

Introduction du chapitre 1 …………………………………………………………5

1/ Notions générales de mathématiques………..……………………...……….6

1.1/ Fraction …………………………………………….……………………..6

1.2/ Puissance …………………………………………………………………..6

1.2.1/ Puissance entière …………………………………………….………….6

1.2.2/ Racine carrées ………………………………………………………….7

1.3/ Logarithme népérien ……………………………………………………….8

2/ Suites numériques ……………………………………………………………..8

2 .1/ Suites arithmétiques ……………………………………… ;…………….9

2.2 Suites géométriques ………………………………… ;….……………….10

Récapitulatif 1……………………………………………………………..…….….13

Exercices de synthèse …………………………………………….. ……….………14

Chapitre 2 : Intérêts simples……………………………….……………………....17

Introduction du chapitre 2 …………………………………..……………...……..18

1/ Le concept d’intérêt……………………...……………….……………………19

1.1/ Définition de l’intérêt ……….…………………………………………….19

1.2/ L’unité de temps …………………..……………… ;……………………19

1.3/ définition de taux d’intérêt (exprimé en pourcentage)…………..………19

1.4/ Capital ou Principal ……...……………………………………………….20

1.5/ Justification de l’intérêt ……………………………………. ;…..………..20

2/ L’intérêt simple ( Définition, calculs et champs d’applications) …………..22

2.1/ Définition de l’intérêt simple ………………………………….…………..22

2.2/ Formule fondamentale de l’intérêt simple …………………………..…….22

2.2.1/ Durée de placement exprimée en année ………………..…………..22

2.2.2/ Durée de placement exprimée en mois ………………………………22

2.2.3/ Durée de placement exprimée en jours ……………………………23

2.3/ Calculs sur la formule fondamentale …………………..……………….24

2.4/ Valeur acquise par un capital ……………………….…………………25

2.5/ Séquence de flux financiers ( valeur actuelle) ………………...…………26

2.5.1/ Représentation graphique de l’intérêt produit par un capital placé …27

2.5.2/ Représentation graphique de la valeur acquise par un capital …...27

2.6/ Taux moyen d’une série de placements effectués simultanément….29

2.7/ Terme échu, terme à échoir, taux effectif………………………….…….31

2.7.1/ Intérêts post-comptés ……………………………………………..…..31

135

2.7.2/ Intérêts précomptés ……………………………………………..……..32

2.7.3/ Taux effectif de placement ………………………………….……..33

2.8/ Méthode des Nombres et des Diviseurs fixes……………………………34

2.8.1/ Principe de la méthode ……………………………………..………34

2.8.2 / La règle …………………………………………………….…………34

2.8.3/ Calcul de l’intérêt global de plusieurs capitaux ……………………35

Exercices de réflexions ………………………………………………….. ;……….36

Récapitulatif 2……………………………………………………… ……………..37

Série d’exercices N°1 [Intérêts simples]……………………………………….…38

Chapitre 3 : Escompte et Equivalence des Capitaux à intérêts simples………42

Introduction du chapitre 3 ……………………………………………………….43

1/ Origine et définition d’un effet de commerce ……………………………….44

1.1/ Notion d’effet de commerce ………………………………………...……..44

1.2/ Typologie des effets de commerce ……………………………………….44

2/ Définition, et calcul de l’escompte commercial (Ec) ……………….………..45

2.1/ L’opération d’escompte ………………………………………………….45

2.2/ définition de l’escompte commercial ………………………….…………45

2.3/ Le calcule de Ec ………………………………………………………….46

2.4/ Valeur actuelle commerciale…………………………………………….47

2.5/ Problème sur l’escompte commercial……………………….....………….48

3/ Pratique de l’escompte . Agio et la Valeur Actuelle Nette ………………...49

3,1/ Définition de L’Agios …………………………………………………….49

3,2/ Les commissions …………………………………………………………49

3.3/ La valeur actuelle nette …………………………………….………………49

4/ Equivalence de capitaux. Dates d’équivalence ………………..…………..51

4.1/ Généralité ………………………………………………………………..51

4.2/ La notion d’équivalence………………………………….. ……………..51

4.2.1 /Equivalence de deux effets ……………………………………………51

4.2.2/ Equivalence de deux groupes d’effets ……………………….………53

4.3/ Problèmes pratiques posés par la notion d’équivalence. Renouvellement

d’un effet …………………………………………………………………..………..54

4.4/ Echéance commune de plusieurs effets ………………….………………55

4.5/ Echéance moyenne de plusieurs effets……………………………….…….56

Récapitulatif 3…………………………………………………….….……………58

Série d’exercices N°2 : [Escompte Commerciale]…………………….………….59

Chapitre 4 : L’intérêt composé et le duales Capitalisation et Actualisation..….63

Introduction du chapitre 4 …………………………………………………….…..64

1/ Principe et champs d’applications …………………………….…………….65

136

1.1/ Définition de l’intérêt composé …………………….…………………….65

1.2/ Formule des intérêts composés ………………………………..………..65

2/ Mécanismes et Logiques des Principes de capitalisation,

d’actualisation ……………………………………………………………………68

2,1/ Mécanisme et Logique de la Capitalisation ……………………..…….69

2.1.1/ Le principe de la capitalisation……………………..…….………69

2.1.2/ Les différents calculs de capitalisation………….………….70

2,2/ Mécanisme et Logique de l’actualisation ………………………..…….70

2.2.1/ Le principe de l’actualisation…………………………………..…..70

2.2.2/ Les différents calculs de l’actualisation …….……………..71

2.3/ Placement d’un capital sur l’axe des temps ………………..…………71

3/ Calcule de la valeur acquise dans le cas d’un nombre de période non

entier ………………………………………………………………………………..72

4/ Taux équivalents et taux proportionnels ………………………………….74

4,1/ le taux proportionnel …………………………………………….……..74

4.2/ le taux équivalent …………………………………………….………….74

5/ Les critères de décision d’investissement ………………………..………….77

5.1/Définition de l’investissement ………………………………………..…77

5.2/ Les méthodes financières du choix d’investissement……………..……..78

5.2.1/ La valeur actuelle nette (VAN) ……………………………………..79

5.2.2/ La méthode du taux de rentabilité interne (TRI) …………………….80

5.2.2.1/ La relation entre la VAN et le taux d’actualisation …………..82

5.2.2.2/ Comparaison entre la méthode de la valeur actuelle nette et celle

du taux de rentabilité ………………………………………………….………….83

Récapitulatif ……………………………………………………….……………..84

Chapitre 5 : Escompte et Equivalence des Capitaux à intérêts composés……..85

Introduction du chapitre 5 ………………………………………………………86

1/ formules fondamentales …………………………………….………………..87

2/ Problème pratique posés par la notion d’équivalence ……………………..88

2,1/ définition et propriétés ………………………………………………….88

2.1.1/ Définition …………………………………………………………....88

2.1.2/ Propriétés……………………………………………………………..89

2.2 / Problèmes à résoudre …………………………………….………………89

2.2.1/ Le calcule d’une valeur nominale………………………………..….8 9

2.2.2 Détermination d’une échéance ……………………………….………..92

3/ Problème d’échéance commune et échéance moyenne ……………………93

3.1/ Echéance commune ……………………………………………..…………93

3.2/ Echéance moyenne………………………………………………………..94

137

Récapitulatif 5……………………………………………………………..………..95

Série d’exercices N°3 :[Intérêts Composés]………………………………..…….96

Série d’exercices N°4 :[Escompte à Intérêts Composés]………………..……….99

Chapitre 6 : Les Annuités ……………………………………………..…………101

Introduction du chapitre 6………………………………………………………102

1/ Concept générale et définition des annuités ……………………..…………..103

1.1/ Définition ………………………………………………………….……….103

1.2/ Classification des annuités …………………………………….…………104

2/ Les annuités constantes de fin de période …………………………..………..105

2.1/ Définition des annuités constantes ……………………………………….105

2.2/ le concept des annuités constantes de fin de période …………..……….105

2.2.1/ Valeur acquise d’une suite d’annuités constantes de fin de période ….105

2.2.1.1/calculs numérique sur la formule Vn ………………….………….106

2.2.1.2/ Valeur acquise par une suite de (n) annuités constantes, exprimé (d)

périodes après versement de la ne annuités ……………………………..………108

2.2.1.3/ Valeur acquise dans le cas de versements constants non annuels…109

2.2.2/ Valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes de fin de période ….109

2.2.2.1/calculs numérique sur la formule V0 ……………………..………110

2.2.2.2/ Valeur actuelle d’une suite d’annuités constantes, (d) périodes avant

l’origine ……………………………………………………………………...…….112

2.2.3/ Echéance moyenne d’une suites d’annuités constantes de fin de

période ……………………………………………………………………………113

3/ les annuités constantes de début de période …………………………..…..114

3.1/ le concept des annuités constantes de fin de période ………….……….114

3.2/ Valeur acquise d’une suite d’annuité de début de période ………..…….115

3.3/ Valeur actuelle d’une suite d’annuité de début de période ………..…..116

3.4/ la détermination du capital restant dû, après pièmes

versement ……..…..117

Récapitulatif 6…………………………………………………………………….118

Série d’exercices N°5 : [Annuités]…………………..…………………..……….119

La bibliographie ………………………………………………………………….122

Exercices d’entrainement…………………………………………………………124

Quelques propositions de sujets d’examen…………………………………….133

Table Des Matières………………………………………………………………..140

Documents

Polycopié De Module : Mathématiques financières · ... elles se rattachent à l’analyse des opérations de prêts et d’emprunts ... le contenu du cours. Des exercices et des