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Pour démarrer la classe determinale S
Tout ce qu’il faut savoir de la 1re S
Paul Milan28 novembre 2015
2
Table des matières
1 Second degré 71 Forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Racines du trinôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Factorisation, somme et produit des racines . . . . . . . . . . . . . . 84 Signe du trinôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Variation et représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Généralité sur les fonctions 111 Parité d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Variation d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Résolution graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Fonctions de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Sens de variation des fonctions associées . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 La fonction dérivée 151 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Dérivées des fonctions élémentaires. Règles de dérivation . . . . . . 163 Équation de la tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Suite 191 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Suite arithmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Visualisation d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Convergence d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 Programmation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5 Trigonométrie 251 Lignes trigonométriques des angles remarquables . . . . . . . . . . 252 Formules élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Formules de symétrie et de déphasage . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Formules d’addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Formules de duplication et de linéarisation . . . . . . . . . . . . . . 266 Cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 Équations trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6 Vecteurs dans le plan 291 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 Dans un repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3
TABLE DES MATIÈRES
7 Règles sur les inégalités 311 Opérations sur les inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 Inégalités classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4
TABLE DES MATIÈRES
5
TABLE DES MATIÈRES
6
Chapitre 1
Second degré
1 Forme canonique
Soit un polynôme du second degré : p(x) = ax2 + bx + c avec a 6= 0
Sa forme canonique est : p(x) = a
[
(
x +b
2a
)2
− b2 − 4ac
4a2
]
On pose ∆ = b2 − 4ac appelé le discriminant
Exemple : Déterminer la forme canonique de p(x) = 2x2 + 3x − 14
p(x) = 2(
x2 +32
x − 7)
=
[
(
x +34
)2
− 916
− 7
]
=
[
(
x +34
)2
− 12116
]
2 Racines du trinôme
Les solutions de l’équation p(x) = 0 dépendent du signe du discriminant ∆
• Si ∆ > 0, on a deux racines distinctes : x1 =−b +
√∆
2aou x2 =
−b −√
∆
2a
• Si ∆ = 0, on a une racine double : x0 = − b
2a
• Si ∆ < 0, pas de racine réelle.
Exemple : Résoudre : 2x2 + 3x − 14 = 0 on calcule ∆ = 9 + 112 = 121 = 112
on obtient :
x1 =−3 + 11
4= 2 ou x2 =
−3 − 114
= −72
7
CHAPITRE 1. SECOND DEGRÉ
3 Factorisation, somme et produit des racines
La factorisation de p(x) dépend du signe du discriminant ∆
• Si ∆ > 0, p(x) = a(x − x1)(x − x2)
La somme S et le produit P des racines valent alors : S = −b
aet P =
c
a
Si on connaît un racine évidente x1, alors x2 =P
x1
• Si ∆ = 0, p(x) = a(x − x0)2
• Si ∆ < 0, le trinôme ne se factorise pas.
Exemple : Factoriser p(x) = 2x2 + 3x − 14.
x1 = 2 est racine évidente car 2 × 22 + 3 × 2 − 14 = 0, P = −142
= −7 donc
x2 =P
x1= −7
2
On a alors : p(x) = 2(x − 2)(
x +72
)
= (x − 2)(2x + 7)
4 Signe du trinôme
• Si ∆ > 0, le trinôme est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de −aà l’intérieur.
x
p(x)
−∞ x2 x1 +∞
signe de a 0 signe de − a 0 signe de a
• Si ∆ = 0, le trinôme est nul en x0 et du signe de a ailleurs.
• Si ∆ < 0, le trinôme est du signe de a sur R.
Exemple : Résoudre 2x2 + 3x − 14 6 0. On a calculé x1 = 2 et x2 = −72
a = 2 > 0, on prend donc à l’intérieur des racines : S =
[
−72
; 2]
8
CHAPITRE 1. SECOND DEGRÉ
5 Variation et représentation
Si a > 0, la parabole est tournéevers le haut, on a donc les varia-tions suivantes :
x
p(x)
−∞ − b
2a+∞
+∞+∞
− ∆
4a− ∆
4a
+∞+∞
− ∆
4a
− b
2a
S
Si a < 0, la parabole est tournéevers le bas, on a donc les varia-tions suivantes
x
p(x)
−∞ − b
2a+∞
−∞−∞
− ∆
4a− ∆
4a
−∞−∞
− ∆
4a
− b
2a
S
9
CHAPITRE 1. SECOND DEGRÉ
10
Chapitre 2
Généralité sur les fonctions
1 Parité d’une fonction
Soit une fonction f définie sur un ensemble D f symétrique par rapport à l’origine.Soit C f sa courbe représentative. On dit que la fonction f est :• est paire ⇔ ∀x ∈ D f , f (−x) = f (x)
C f est alors symétrique par rapport à l’axe des ordonnées• est impaire ⇔ ∀x ∈ D f , f (−x) = − f (x)
C f est alors symétrique par rapport à l’origine
Remarque : La fonction carrée, f (x) = x2 est paire et la fonction inverse, g(x) =1x
est impaire
2 Variation d’une fonction
Soit I un intervalle (ouvert ou fermé, borné ou non). a et b deux réel de I
Soit f une fonction définie au moins sur I. On dit que :
• f est croissante sur I si, et seulement si : a < b ⇒ f (a) < f (b)
• f est décroissante sur I si, et seulement si : a < b ⇒ f (a) > f (b)
• f est monotone sur I si, et seulement si f est croissante ou décroissante sur I.
Remarque : On dit qu’une fonction croissante conserve la relation d’ordre etqu’une fonction décroissante inverse la relation d’ordre.
3 Résolution graphique
Soit C f la courbe représentative d’une fonction f .Pour résoudre graphiquement• f (x) = 0 on cherche les abscisses des points d’intersection de C f avec l’axe des
abscisses.• f (x) = m on cherche les abscisses des points d’intersection de C f avec la droite
horizontale y = m.• f (x) > 0 ou f (x) < 0 on cherche les abscisses des points de C f qui sont situés
au dessus ou en dessous de l’axe des abscisses.
11
CHAPITRE 2. GÉNÉRALITÉ SUR LES FONCTIONS
4 Fonctions de référence
Une fonction affine f est une fonction définie sur R par : f (x) = ax + b
Le signe du coefficient directeur a donne les variations de la fonction :
si a > 0 f est croissante si a < 0 f est décroissante
La représentation d’une fonction affine est une droite qui passe par le point (0; b)
La fonction carrée f est la fonction définie sur R par : f (x) = x2
La fonction carrée est décroissante sur R− et croissante sur R+.
La représentation de la fonction carrée est une parabole d’axe Oy dont le sommetest l’origine.
La fonction inverse f est la fonction définie sur R∗ par : f (x) =
1x
La fonction inverse est décroissante sur ]− ∞; 0[ et sur ]0;+∞[
La représentation de la fonction inverse est une hyperbole équilatère dont le pointde symétrie est l’origine et les asymptotes les axes de coordonnées.
La fonction racine carrée f est la fonction définie sur R+ par : f (x) =√
xLa fonction racine carrée est croissante sur R+
La représentation de la fonction racine carrée est la demi-parabole d’ordonnéespositives d’axe Ox.
Pour tout réel x positif ou nul, on a les relations suivante :
si x ∈ [0; 1], x26 x 6
√x et si x ∈ [1;+∞[,
√x 6 x 6 x2
Remarque : On observe que le rapportde ces fonctions s’inverse autour de 1comme le montrent les représentationssuivantes :On constate que :• si x < 1 la fonction carrée est en des-
sous de la fonction identité qui est endessous de la fonction racine carrée.
• si x > 1 la fonction carrée est au des-sus de la fonction identité qui est audessus de la fonction racine carrée.
1
2
3
1 2 3O
√x
x2
x
12
CHAPITRE 2. GÉNÉRALITÉ SUR LES FONCTIONS
5 Sens de variation des fonctions associées
Soit un réel k et deux fonctions u et v définies sur un intervalle I
Somme• u et v croissantes ⇒ u + v croissante• u et v décroissantes ⇒ u + v décroissante
Produit par un réel• Si k > 0 ⇒ u et k u ont mêmes variations• Si k < 0 ⇒ u et k u ont des variations contraires
Racine carrée et inverse• u positive sur I ⇒ u et
√u ont mêmes variations
• u non nulle sur I ⇒ u et1u
ont des variations contraires.
Exemple : Déterminer les variations des fonctions f (x) =√
1 − x et g(x) =1
2 − x
• Pour f , on pose la fonction u(x) = 1 − x définie sur I =]− ∞; 1]. La fonctionu est affine de coefficient directeur −1 donc décroissante sur I. La fonction f estdonc décroissante sur I
• Pour g, on pose la fonction v(x) = 2 − x définie sur J = R − {2}. La fonctionv est affine de coefficient directeur −1 donc décroissante sur J. La fonction g estalors croissante sur ]− ∞; 2[ ou sur ]2;+∞[
13
CHAPITRE 2. GÉNÉRALITÉ SUR LES FONCTIONS
14
Chapitre 3
La fonction dérivée
1 Définition
C f
(T)
(AB)
⇐a + ha
f (a)
f (a + h)
h
bA
bB
O
Le coefficient directeur α de la droite(AB) est :
α =f (a + h)− f (a)
h
Si le point B se rapproche du point A (htend vers 0), la droite (AB) se rapprochede la tangente (T) à la courbe en x = a.Le coefficient directeur de cette tangenteest appelé nombre dérivé noté f ′(a).
f ′(a) = limh→0
f (a + h)− f (a)
h
Soit une fonction f définie sur un intervalle ouvert I et a un point de I.• On appelle taux d’accroissement (ou taux de variation) de la fonction f entre a
et a + h, le nombre t défini par :
t =f (a + h)− f (a)
h
• La fonction f admet un nombre dérivé, noté f ′(a), en a, si et seulement si, letaux d’accroissement de la fonction f en a admet une limite, c’est à dire :
f ′(a) = limh→0
f (a + h)− f (a)
hou encore f ′(a) = lim
x→a
f (x)− f (a)
x − a
Remarque : Le nombre dérivée au point a correspond au coefficient directeur dela tangente à la courbe au point a.
Soit une fonction f définie sur un intervalle I.Si la fonction f admet un nombre dérivé en tout point de I, on dit que la fonctionf est dérivable sur I. La fonction, notée f ′, définie sur I qui à tout x associe sonnombre dérivé est appelée fonction dérivée de f .
15
CHAPITRE 3. LA FONCTION DÉRIVÉE
2 Dérivées des fonctions élémentaires. Règles de dé-rivation
Fonction D f Dérivée D′f
f (x) = k R f ′(x) = 0 R
f (x) = x R f ′(x) = 1 R
f (x) = xn n ∈ N∗
R f ′(x) = nxn−1 R
f (x) =1x
R∗ f ′(x) = − 1
x2]− ∞; 0[ ou]0;+∞[
f (x) =1xn
n ∈ N∗ R
∗ f ′(x) = − n
xn+1]− ∞; 0[ ou]0;+∞[
f (x) =√
x [0;+∞[ f ′(x) =1
2√
x]0;+∞[
f (x) = sin x R f ′(x) = cos x R
f (x) = cos x R f ′(x) = − sin x R
Règle de dérivation.
Dérivée de la somme (u + v)′ = u′ + v′
Dérivée du produit par un scalaire (λu)′ = λu′
Dérivée du produit (uv)′ = u′v + uv′
Dérivée de l’inverse(
1v
)′= − v′
v2
Dérivée du quotient(u
v
)′=
u′v − uv′
v2
Dérivée de la puissance (un)′ = nu′un−1
Dérivée de la racine(√
u)′=
u′
2√
u
Remarque : Les fonctions polynômes et les fonctions rationnelles sont dérivablessur leur ensemble de définition.
Exemple : Soit la fonction f définie et dérivable sur R, par : f (x) =2x + 5x2 + 1
En appliquant la dérivée du quotient :
f ′(x) =2(x2 + 1)− 2x(2x + 5)
(x2 + 1)2 =2x2 + 2 − 4x2 − 10x
(x2 + 1)2 =−2x2 + 10x + 2
(x2 + 1)2
16
CHAPITRE 3. LA FONCTION DÉRIVÉE
3 Équation de la tangente
L’équation de la tangente (Ta) en a à la courbe C f représentative d’une fonction fdérivable en a est égale à :
y = f ′(a)(x − a) + f (a)
Exemple : f définie et dérivable sur R par : f (x) = x3 − 3x2 + 3x + 4Déterminer l’équation de la tangente au point d’abscisse 2.
L’équation de la tangente au point d’abscisse 2 est : y = f ′(2)(x − 2) + f (2)On détermine l’expression de la dérivée : f ′(x) = 3x2 − 6x + 3On calcule ensuite : f ′(2) = 3 et f (2) = 6On obtient donc l’équation de la tangente suivante : y = 3(x − 2) + 6 ⇔ y = 3x
4 Sens de variation
Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I.
• Si la fonction dérivée f ′ est nulle, alors la fonction est constante.
• Si la fonction dérivée est strictement positive (sauf en quelques point isolé de Ioù elle s’annule), alors la fonction f est strictement croissante sur I.
• Si la fonction dérivée est strictement négative (sauf en quelques point isolé de Ioù elle s’annule), alors la fonction f est strictement décroissante sur I.
Exemple : Soit fonction f définie et dérivable sur R par : f (x) = −x3 + 3x2 + 2.Dresser son tableau de variation.
On calcule la dérivée : f ′(x) = −3x2 + 6x = 3x(−x + 2)
Les valeurs qui annulent la dérivée : f ′(x) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 2
Le signe de f ′(x) est celui d’un trinôme du second degré.
On obtient le tableau de variation suivant :
x
f ′(x)
f (x)
−∞ 0 2 +∞
− 0 + 0 −+∞+∞
22
66
−∞−∞
Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I.
• Si c ∈ I est un extremum local de f sur I alors f (c) = 0
• Si c ∈ I, f ′(c) = 0 et si f ′ change signe en c alors c est un extremum local de fsur I.
17
CHAPITRE 3. LA FONCTION DÉRIVÉE
18
Chapitre 4
Suite
1 Définition
Une suite numérique (un)n∈N est une succession de nombres réels ordonnés. Àun rang donné n, on associe un nombre réel un.
(un) : N −→ R
n 7−→ un
un est appelé le terme général de la suite (un).
On peut définir une suite (un) :
• De façon explicite : un = f (n) : un = 3n + 5
• De façon récurrente :
1) à un terme : u0 et un+1 = f (un) : u0 = 2 et un+1 = 3un − 2
2) à deux termes : u0, u1 et un+2 = f (un+1, un) : u0 = 2, u1 = 1 etun+2 = 2un+1 + un
• Par une somme de termes : un =n
∑k=0
Tn : un = 12 + 22 + · · ·+ n2 (somme des
carrés)
2 Variation
On dit qu’une suite (un) est strictement croissante si : ∀n ∈ N, un+1 > un
On dit qu’une suite (un) est strictement décroissante si : ∀n ∈ N, un+1 < un
Si une suite (un) est soit croissante, soit décroissante, la suite est dite monotone.
Remarque : Pour connaître les variations d’une suite (un), on étudie :
• Le signe de : un+1 − un
• Si tous les termes sont strictement positifs, on peut comparer de rapport :un+1
unà 1.
• Si la suite est définie de façon explicite, on peut aussi étudier le signe de la déri-vée de la fonction associée.
19
CHAPITRE 4. SUITE
3 Suite arithmétique
Une suite arithmétique (un) est définie par :
• un premier terme u0 ou up
• une relation de récurrence : un+1 = un + r, r étant la raison de la suite
Une suite est arithmétique lorsque la différence entre deux termes consécutifs estconstante. On a alors : ∀n ∈ N, un+1 − un = r
Le terme général un d’une suite arithmétique s’exprime en fonction de n de lafaçon suivante :
• Si le premier terme est u0, alors : un = u0 + n r (croissance linéaire)
• Si le premier terme est up, alors : un = up + (n − p) r
Somme des termes
Somme des n entiers naturels : 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n + 1)
2Sn = u0 + u1 + · · ·+ un = (n + 1)× u0 + un
2= Nbre de termes × Σ termes extrèmes
2
Exemples : 1 + 2 + · · · + 100 =100 × 101
2= 5050, 1 + 3 + 5 + · · · + 99 =
50 × 1 + 992
= 2500
4 Suite géométrique
Une suite géométrique (un) est définie par :
• un premier terme u0 ou up
• une relation de récurrence : un+1 = q × un q étant la raison de la suite
Une suite est géométrique lorsque le rapport entre deux termes consécutifs estconstant. On a alors :
∀n ∈ N,un+1
un= q
Le terme général un d’une suite géométrique s’exprime en fonction de n de la façonsuivante :
• Si le premier terme est u0, alors : un = qn u0 (croissance exponentielle)
• Si le premier terme est up, alors : un = qn−p up
20
CHAPITRE 4. SUITE
Somme des termes
1 + q + q2 + · · ·+ qn =1 − qn+1
1 − q
Sn = u0 + u1 + · · ·+ un = u0 ×1 − qn+1
1 − q= 1er terme × 1 − qNbre termes
1 − q
Exemple : 3 + 6 + 12 + · · ·+ 3 × 210 = 3 × 1 − 211
1 − 2= 3(211 − 1) = 6141
5 Visualisation d’une suite
Pour visualiser une suite définie par ré-currence, on trace la fonction f et ladroite y = x qui permet de reporter lestermes sur l’axe des abscisses.
0.5
0.5O u0 u1 u2 u3
u4
u1
u2
u3
u4y = x
C f
6 Convergence d’une suite
On dit que la suite (un) a pour limite ℓ si, et seulement si, tout intervalle ouvertcontenant ℓ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
On note alors : limn→+∞
un = ℓ et l’on dit que la suite converge vers ℓ
On dit que la suite (un) a pour limite +∞ (resp. −∞) si, et seulement si, tout in-tervalle ]A;+∞[ (resp. ]− ∞; B[) contient tous les termes de la suite à partir d’uncertain rang.
On note alors : limn→+∞
un = +∞ resp. limn→+∞
un = −∞
On dit que la suite diverge vers +∞ (resp. −∞)
21
CHAPITRE 4. SUITE
Convergence d’une suite géométrique. Soit q un réel. On a les limites suivantes
• Si −1 < q < 1 alors limn→+∞
qn = 0
• Si q = 1 alors limn→+∞
qn = 1
• Si q > 1 alors limn→+∞
qn = +∞
• Si q 6 −1 alors limn→+∞
qn n’existe pas.
Exemples : une suite géométrique de raison 2 est divergente tandis qu’une suitegéométrique de raison 0,75 est convergente vers 0.
La suite Sn = 1 +12+
14+ · · ·+ 1
2n= 2
[
1 −(
12
)n+1]
converge vers 2.
22
CHAPITRE 4. SUITE
7 Programmation
Remarque : La fonction f et le terme initial A = u0 étant donnés.
7.1 Calcul des termes d’une suite
Deux programmes pour déterminer un terme particulier ou la liste des premierstermes d’une suite définie par récurrence :
Variables : N, I entiers A, U réelsf fonction
Entrées et initialisationLire A, NA → U
Traitementpour I variant de 1 à N faire
f (U) → Ufin
Sorties : Afficher U
Variables : N, I entiers A, U réelsL1 liste, f fonction
Entrées et initialisationLire A, NA → UListe L1 remis à 0U → L1(1)
Traitementpour I variant de 1 à N faire
f (U) → UU → L1(I + 1)
fin
Sorties : Afficher L1
7.2 Convergence ou divergence d’une suite
Dans le cas où la suite (un) est croissante. Deux programme permettant,• si la suite est convergente, de s’approcher de la limite en déterminant le rang n
à partir duquel la différence entre le terme et la limite vaut 10−P,• si la suite tend vers +∞, de déterminer le rang n de la suite à partir duquel les
termes sont supérieurs à un nombre M donné
Variables : N, P entiers A, U réelsf fonction
Entrées et initialisationA → U0 → N
Traitementtant que ℓ− U > 10−P faire
f (U) → UN + 1 → N
fin
Sorties : Afficher N
Variables : N entier A, U, M réelsf fonction
Entrées et initialisationA → U0 → N
Traitementtant que U 6 M faire
f (U) → UN + 1 → N
fin
Sorties : Afficher N
23
CHAPITRE 4. SUITE
24
Chapitre 5
Trigonométrie
1 Lignes trigonométriques des angles remarquables
α 0π
6π
4π
3π
2
sin α 012
√2
2
√3
21
cos α 1
√3
2
√2
212
0
tan α 0
√3
31
√3 ∞
2 Formules élémentaires
sin2 x + cos2 x = 1, ∀x ∈ R
1 + tan2 x =1
cos2 x, ∀x ∈ R −
{
kπ
2, k ∈ Z
}
3 Formules de symétrie et de déphasage
cos(−x) = cos x
cos(π − x) = − cos x
cos(π + x) = − cos x
cos(π
2− x
)
= sin x
cos(π
2+ x
)
= − sin x
sin(−x) = − sin x
sin(π − x) = sin x
sin(π + x) = − sin x
sin(π
2− x
)
= cos x
sin(π
2+ x
)
= cos x
4 Formules d’addition
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
sin(a − b) = sin a cos b − cos a sin b
25
CHAPITRE 5. TRIGONOMÉTRIE
5 Formules de duplication et de linéarisation
cos 2a = cos2a − sin2 a
= 2 cos2 a − 1
= 1 − 2 sin2 a
sin 2a = 2 sin a cos a
cos2 a =1 + cos 2a
2
sin2 a =1 − cos 2a
2
6 Cercle trigonométrique
π2
π
−π2
π6
π4
π3
2π3
3π4
5π6
− 5π6
− 3π4
− 2π3
−π3
−π4
−π6
+
+
+
+
+
+
12
√2
2
√3
2− 12−
√2
2−√
32
12
√2
2
√3
2
− 12
−√
22
−√
32
√3
3+
1+
√3+
−√
33
+
−1+
−√
3+
7 Équations trigonométriques
sin a = sin b ⇔{
b = a + 2kπ oub = π − a + 2kπ
26
CHAPITRE 5. TRIGONOMÉTRIE
cos a = cos b ⇔{
b = a + 2kπ oub = −a + 2kπ
27
CHAPITRE 5. TRIGONOMÉTRIE
28
Chapitre 6
Vecteurs dans le plan
1 Définitions
Un vecteur ~u est défini par une direction, un sens et une longueur (la norme de ~u)notée ||~u||.
•−→AB =
−−→CD ⇔ ABDC est un parallélogramme
• On définit l’addition de deux vecteurs a l’aide de la relation de Chasles :−→AB +−→
BC =−−→AC
• On définit le produit d’un vecteur par un réel par un vecteur de même directionλ~u
Colinéarité
• ~u et ~v colinéaires ⇔ ∃ k ∈ R, ~v = k~u
• A, B, C alignés ⇔ ∃ k ∈ R,−−→AC = k
−→AB
• (AB) // (CD) ⇔ ∃ k ∈ R,−−→CD = k
−→AB
2 Dans un repère
Dans un repère (O, ~ı, ~), on détermine un point ou un vecteur par deux coordon-nées : l’abscisse et l’ordonnée.
On obtient les relations suivantes :
•−→AB (xB − xA ; yB − yA)
• I milieu de [AB] : I(
xA + xB
2;
yA + yB
2
)
• AB =√
(xB − xA)2 + (yB − yA)
2
Deux vecteurs ~u(x; y) et ~v(x′; y′) sont colinéaires si, et seulement si,
det(~u,~v) = 0 ⇔∣
∣
∣
∣
x x′
y y′
∣
∣
∣
∣
= xy′ − x′y = 0
29
CHAPITRE 6. VECTEURS DANS LE PLAN
Équation cartésienne d’une droite : ax + by + c = 0La droite (AB) est l’ensemble des points M(x; y) tels que :
det(−−→AM ,
−→AB ) = 0 ⇔
∣
∣
∣
∣
x − xA xB − xAy − yA yB − xB
∣
∣
∣
∣
= 0
3 Produit scalaire
On appelle produit scalaire de deux vecteurs ~u(x; y) et ~v(x′; y′) le réel noté ~u · ~vdéfini par l’une des trois relations suivantes :
1) ~u ·~v =12
(
||~u +~v||2 − ||~u||2 − ||~v||2)
2) ~u ·~v = xx′ + yy′
3) ~u ·~v = ||~u|| × ||~v|| cos(~u,~v)
Propriétés :
Le produit scalaire est :• commutatif : ~u ·~v = ~v · ~u• bilinéaire : ~u(~v + ~w) = ~u ·~v + ~u · ~w et (a~u) · (b~v) = ab~u ·~v
Si ~u et ~v sont colinéaires alors : ~u ·~v = ±||~u|| × ||~v||. Le signe dépend du sens desdeux vecteurs.
On appelle θ = B̂AC, on a alors :
• Si 0 6 θ <π
2alors
−→AB ·
−−→AC > 0
• Si θ =π
2alors
−→AB ·
−−→AC = 0, ABC est alors rectangle en A
• Si θ >π
2alors
−→AB ·
−−→AC < 0.
30
Chapitre 7
Règles sur les inégalités
1 Opérations sur les inégalités
Pour tout a : x < y ⇔ x + a < y + a (même sens)Pour tout k > 0 : x < y ⇔ kx < ky (même sens)Pour tout k < 0 : x < y ⇔ kx > ky (sens contraire)
Pour x et y de même signe : x < y ⇔ 1x>
1y
(sens contraire)
Pour x > 0 et y > 0 : x < y ⇒ x2 < y2 (même sens)Pour x > 0 et y > 0 : x < y ⇔ √
x <√
y (même sens)Si f croissante sur I : x < y ⇔ f (x) < f (y) (même sens)Si f décroissante sur I : x < y ⇔ f (x) > f (y) (sens contraire)
Exemples :
• Sachant que 3 < x < 5, que peut-on en conclure pour1
3 − x?
3 < x < 5 ⇒ −5 < −x < −3 ⇒ −2 < 3 − x < 0 ⇒ 13 − x
< −12
• Comment montrer que pour tout x > 1,1x<
1√1 − x2
?
Pour tout x > 1
0 < x2 − 1 < x2 ⇒√
x2 − 1 <√
x2 ⇒√
x2 − 1 < x ⇒ 1√x2 − 1
>1x
Rappels :
• On peut toujours ajouter membre à membre deux inégalités.• On peut multiplier membre à membre deux inégalités si tous les termes sont
positifs.• On ne peut pas soustraire ou diviser membre à membre deux inégalités.
Encadrement de : x − y
On détermine d’abord un encadrement de −y, puis on effectue la somme membreà membre avec celui de x.
Exemple :
{
− 2 < x < 3− 4 < y < −1
⇒{
− 2 < x < 31 < −y < 4
⇒ −1 < x − y < 7.
31
CHAPITRE 7. RÈGLES SUR LES INÉGALITÉS
Encadrement de :x
y: (bornes de l’encadrement de x et y de même signe)
On détermine d’abord un encadrement de1y
, puis il faut s’arranger pour multiplier
membre à membre deux encadrements dont tous les termes sont positifs.
Exemples :
1)
{
8 < x < 93 < y < 4
⇒
8 < x < 914<
1y<
13
⇒ 2 <x
y< 3.
2)
{
−2 <x < −12 <y < 3
⇒
1 < −x < 213<
1y<
12
⇒ 13< −x
y< 1 ⇒ −1 <
x
y< −1
3
Méthode importante à connaître : (valable pour les fonctions et les suites)
Pour montrer que A < B, il est dans certains cas plus facile de calculer A − B, puisen étudiant son signe de montrer que A − B < 0.
Exemple : Comment montrer que si x < 1 alorsx − 8
2x − 9< 1 ?
Pour tout x < 1,x − 8
2x − 9− 1 =
1 − x
2x − 9< 0 car
{
1 − x > 02x − 9 < −7
2 Inégalités classiques
Pour tout x réel : −1 6 cos x 6 1 et −1 6 sin x 6 1
32
