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Lycée Français de DOHA Spécialité Première
Année 2020 – 2021 M. Evanno
Suites généralités
A) Suites numériques.
1. Notion de suite.
Définition :
Une suite (𝑢𝑛) est une fonction qui à tout entier naturel 𝑛 associe un nombre réel, noté 𝑢𝑛 tel que :
𝑢 ∶ 𝑛 ⟼ 𝑢𝑛
La suite se note 𝑢 ou avec des parenthèses (𝑢𝑛).
Le terme initial de la suite est 𝑢0 ou 𝑢𝑝 quand la suite commence à partir de l'indice𝑝.
Notations et vocabulaire :
• 𝑢𝑛 ou 𝑢(𝑛) est le terme général de la suite : c’est le terme de rang 𝑛.
• Attention à l’écriture indicielle : 𝑢𝑛+1 est le 𝑛 + 1ième terme c'est-à-dire le terme qui suit 𝑢𝑛
alors que 𝑢𝑛 + 1 est la somme du 𝑛ième terme et de 1.
2. Mode de génération d’une suite.
Définition :
Une suite peut être définie par un procédé aléatoire, par une formule ou par un algorithme :
1) Formule explicite : pour tout 𝑛 ≥ 𝑛0, 𝑢𝑛 = 𝑓(𝑛). Le terme général est fonction de l’indice 𝑛.
2) Formule de récurrence : pour tout 𝑛 ≥ 𝑛0, 𝑢𝑛+1 = 𝑓(𝑢𝑛). Le terme général est fonction du
terme précédent. Dans ce cas il faut indiquer le terme initial.
3) Algorithme : pour tout 𝑛 ≥ 𝑛0, l’algorithme renvoie un réel à partir d’un entier naturel.
Vidéo : calculer les premiers termes d’une suite
Exemples :
Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par : 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 5.
1) La suite 𝑢 telle que pour tout entier 𝑛 par : 𝑢𝑛 = −2𝑛 + 5.
La suite 𝑢 est alors définie par une formule explicite, on peut calculer directement n’importe
lequel de ces termes comme par exemple : 𝑢3 = −2 × 3 + 5 = −1.
2) La suite 𝑣 telle que pour tout entier 𝑛 par : 𝑣𝑛+1 = −2𝑣𝑛 + 5 et 𝑣0 = 2.
La suite 𝑣 est alors définie par une formule de récurrence, pour calculer un de ces termes on a
besoin de tous les précédents comme par exemple :
𝑣3 = −2 × 𝑣2 + 5 mais on connaît pas 𝑣2.
𝑣2 = −2 × 𝑣1 + 5 mais on connaît pas 𝑣1.
𝑣1 = −2 × 𝑣0 + 5 = −2 × 2 + 5 = 1.
On en déduit que : 𝑣2 = −2 × 𝑣1 + 5 = −2 × 1 + 5 = 3.
Et enfin : 𝑣3 = −2 × 𝑣2 + 5 = −2 × 3 + 5 = −1.
3) La suite 𝑤 telle que pour tout entier 𝑛 par : 𝑤𝑛+1 = {𝑤𝑛 ÷ 2 𝑠𝑖 𝑤𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑖𝑟
3𝑤𝑛 + 1 𝑠𝑖 𝑤𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑖𝑟 et 𝑤0 = 10.
La suite 𝑤 est alors définie par un algorithme qui permet de calculer directement n’importe
lequel de ces termes comme par exemple : 𝑤1 = 𝑤0 ÷ 2 = 5 ou 𝑤2 = 3𝑤1 + 1 = 16 .
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3. Représentation graphique d’une suite définie de façon explicite.
Soit 𝑓 une fonction définie sur [0 ; +∞[ et (𝑢𝑛) la suite définie sur ℕ par : 𝑢𝑛 = 𝑓(𝑛). Représenter
graphiquement la suite (𝑢𝑛) consiste à placer les points de coordonnées (𝑛 ; 𝑢𝑛) dans un repère.
Exemple :
Soit 𝑢 la suite définie sur ℕ par : 𝑢𝑛 = √2𝑛 + 6.
On a pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛 = 𝑓(𝑛) où 𝑓 est la
fonction définie sur [−3 ; +∞[ par : 𝑓(𝑥) = √2𝑥 + 6.
𝑢0 = 𝑓(0) = √6 ;
𝑢1 = 𝑓(1) = √8 ;
𝑢100 = 𝑓(100) = √206
Graphiquement, les termes de la suite 𝑢 sont les
ordonnées des points 𝐴𝑛(𝑛 ; 𝑢𝑛) d'abscisses entières de la
courbe 𝐶𝑓.
4. Représentation graphique d’une suite définie de par récurrence.
Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle 𝐼 et (𝑢𝑛) la suite définie sur ℕ par :
𝑢𝑛+1 = 𝑓(𝑢𝑛) et 𝑢0 = 𝛼.
Représenter graphiquement la suite (𝑢𝑛) consiste à placer les points de coordonnées (𝑢𝑛 ; 0) de la façon
suivante, dans un repère.
1) On place un point 𝐴0(𝑢0 ; 0) puis le point 𝐵0 ∈ 𝐶𝑓 d’abscisse 𝑢0.
2) On a alors 𝐵0(𝑢0 ; 𝑓(𝑢0)) d’où 𝐵0(𝑢0 ; 𝑢1) car 𝑢1 = 𝑓(𝑢0).
3) On place ensuite le point 𝐶0 sur la droite ∆ d’équation 𝑦 = 𝑥 ayant même ordonnée que 𝐵0.
4) On a alors 𝐶0(𝑢1 ; 𝑢1) car 𝑦𝐵0= 𝑢1 et 𝐶0 ∈ ∆ d’équation 𝑦 = 𝑥.
5) On projette le point 𝐶0 sur l’axe des abscisses pour obtenir le point 𝐴1(𝑢1 ; 0).
6) On recommence le procédé.
Exemple :
Soit 𝑢 la suite définie sur ℕ par : 𝑢𝑛+1 = √2𝑢𝑛 + 6 et 𝑢0 = −1.
Donc pour tout entier 𝑛 ≥ 0, 𝑢𝑛+1 = 𝑓(𝑢𝑛) où 𝑓 est la fonction définie sur [−3 ; +∞[ par :
𝑓(𝑥) = √2𝑥 + 6
𝑢1 = 𝑓(𝑢0) = 𝑓(−1) = √4 = 2
𝑢2 = 𝑓(𝑢1) = 𝑓(2) = √10
Graphiquement, 𝐵0(𝑢0 ; 𝑢1) ∈ 𝐶𝑓.
Pour déterminer 𝐵1(𝑢1 ; 𝑢2) il faut placer 𝑢1, l’ordonnée de 𝐵0 en abscisse.
On « reporte » donc 𝑢1 sur l'axe (𝑂𝑥) en utilisant la droite ∆: 𝑦 = 𝑥.
On poursuit de même pour construire 𝐵2(𝑢2 ; 𝑢3), 𝐵3(𝑢3 ; 𝑢4), …
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5. Sens de variation d’une suite.
Définition :
Une suite (𝑢𝑛) est croissante si et seulement si, pour tout entier 𝑛 on a :
𝑢𝑛+1 ≥ 𝑢𝑛 ou 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 ≥ 0.
Une suite (𝑢𝑛) est décroissante si et seulement si, pour tout entier 𝑛 on a :
𝑢𝑛+1 ≤ 𝑢𝑛 ou 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 ≤ 0.
Une suite (𝑢𝑛) est constante si et seulement si, pour tout entier 𝑛 on a :
𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 ou 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 = 0.
Vidéo : étudier les variations d’une suite
Théorème :
Si la suite est définie par une formule explicite 𝑢𝑛 = 𝑓(𝑛) on a :
• Si 𝑓 est croissante sur [0 ; +∞[ alors (𝑢𝑛) est croissante.
• Si 𝑓 est décroissante sur [0 ; +∞[ alors la suite (𝑢𝑛) est décroissante.
Exercice n°1 :
Calculer les termes 𝑢1 et 𝑢2 pour chacune des suites ci-dessous :
1) 𝑢𝑛 = 𝑛2 + 2𝑛
2) 𝑢𝑛+1 = 2𝑢𝑛 + 1 et 𝑢0 = 1
3) 𝑢𝑛 =1
𝑛 + 1
4) 𝑢𝑛 = 45 − 10 × 0,98𝑛
5) 𝑢𝑛+1 = 0,9𝑢𝑛 et 𝑢0 = 100
6) 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛2 − 1 et 𝑢0 = 2
7) 𝑢𝑛+1 =1
𝑢𝑛+ 𝑛 et 𝑢0 = 3
Exercice n°2 :
Une fonction 𝑓 est représentée ci-dessous.
On considère les suites définies par pour tout entier 𝑛 par :
{𝑢0 = −1
𝑢𝑛+1 = 𝑓(𝑢𝑛) et 𝑣𝑛 = 𝑓(𝑛).
Donner, par lecture graphique, les trois premiers termes des suites (𝑢𝑛) et (𝑣𝑛).
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Exercice n°3 :
La suite 𝑢 est définie sur ℕ* par :
𝑢𝑛 =1
𝑛(𝑛 + 1)
1) Vérifiez que pour tout entier 𝑛 ≥ 1 :
𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 =−2
𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
2) En déduire les variations de la suite 𝑢.
3) Vérifier que pour tout entier 𝑛 ≥ 1 :
𝑢𝑛 =1
𝑛−
1
𝑛 + 1
4) En déduire que pour tout 𝑛 ≥ 1 :
𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ + 𝑢𝑛 = 1 −1
𝑛 + 1
Exercice n°4 :
Etudier les variations des suites (𝑢𝑛) à l’aide du signe de la différence : 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛.
1) 𝑢𝑛 = 𝑛2
2) 𝑢𝑛 = −4𝑛 + 2
3) 𝑢𝑛 =𝑛
𝑛 + 2
4) 𝑢𝑛 = 2 × 0,9𝑛
5) 𝑢𝑛+1 = 0,9𝑢𝑛 et 𝑢0 = 100
6) 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛2 + 𝑢𝑛 + 𝑛 et 𝑢0 = 1
Exercice n°5 :
Soit (𝑢𝑛) la suite définie sur ℕ par 𝑢0 = 0 et 𝑢𝑛+1 = √3𝑢𝑛 + 4.
1) On donne ci-dessous la représentation de la fonction 𝑓 définie par : 𝑓(𝑥) = √3𝑥 + 4.
Représenter graphiquement les trois premiers termes de la suite (𝑢𝑛).
2) Quelle conjecture peut-on émettre sur la monotonie de la suite (𝑢𝑛) ?
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B) Comportement d’une suite à l’infini.
1. Suite Divergente.
Notation :
La suite (𝑢𝑛) diverge vers +∞ ou admet +∞ comme limite si 𝑢𝑛 finit par devenir toujours plus
grand que n’importe quel réel 𝑀 à partir d’un rang 𝑛0 suffisamment grand.
On note : lim𝑛→+∞
𝑢𝑛 = +∞.
Notation :
La suite (𝑢𝑛) diverge vers −∞ ou admet −∞ comme limite si 𝑢𝑛 finit par devenir toujours plus
petit que n’importe quel réel 𝑀 à partir d’un rang 𝑛0 suffisamment grand.
On note : lim𝑛→+∞
𝑢𝑛 = −∞.
Notation :
On dit que la suite (𝑢𝑛) diverge et n'admet pas de limite si elle ne se stabilise autour d'aucune
valeur réelle.
2. Suite Convergente.
Notation :
On dit que la suite (𝑢𝑛) converge vers 0 si 𝑢𝑛 peut être rendu aussi proche de 0 qu’on veut à partir
d’un rang 𝑛0 suffisamment grand.
On note : lim𝑛→+∞
𝑢𝑛 = 0.
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Exercice n°6 :
1) Déterminer intuitivement la limite lorsque 𝑛 tend vers +∞ des suites définies sur ℕ∗ par :
𝑢𝑛 =1
𝑛 ; 𝑣𝑛 = 3 −
1
𝑛 et 𝑤𝑛 = 2 +
1
𝑛+
1
𝑛2
2) Conjecturer, graphiquement, la valeur de lim𝑛→+∞
𝑢𝑛 des suites ci-dessous :
1er Cas : 2ième Cas :
Exercice n°7 :
On considère la suite (𝑢𝑛) définie sur ℕ∗ par :
𝑢1 = 0,25 et ∀𝑛 ∈ ℕ∗ 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 +1
√𝑛
1) Calculer les termes 𝑢2 et 𝑢3.
2) Montrer que (𝑢𝑛) est monotone.
3) On considère l’algorithme suivant :
a) Faire « manuellement » les calculs effectués par cet algorithme.
b) Traduire par une phrase ce que cet algorithme permet d’obtenir.
Exercice n°8 : Etude de variations particulières...
Déterminer la monotonie des suites suivantes :
1) ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑢𝑛+1 = −𝑢𝑛2 + 3𝑢𝑛 − 5 et 𝑢0 = 12
2) La suite (𝑢𝑛) est définie par :
∀𝑛 ∈ ℕ {
𝑢0 = 4
𝑢𝑛+1 =𝑢𝑛
1 + 𝑢𝑛2
On admet que ∀𝑛 ∈ ℕ : 𝑢𝑛 > 0
3) ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑢𝑛 = 𝑓(𝑛) où 𝑓 est la fonction définie sur ℝ par :𝑓(𝑥) = −2𝑥3
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Exercice n°9 :
On considère la suite (𝑢𝑛) définie pour tout entier naturel 𝑛 par son premier terme 𝑢0 = 1 et la
relation de récurrence :
𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + 6𝑛 + 5
1) Compléter l’algorithme suivant permettant de calculer les 𝑛 premiers termes de la suite où 𝑛
est fixé par l’utilisateur.
Indications :
• « 𝑓𝑜𝑟 𝑖 𝑖𝑛 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒(0, 𝑛 + 1, 1) » signifie « pour 𝑖 allant de 0 à 𝑛 avec un pas de 1 ».
Il est important de remarquer que la borne supérieure n’est pas intégrée au calcul !
2) À l’aide de cet algorithme, on obtient la table de valeurs suivante :
a) Conjecturer le sens de variations de la suite (𝑢𝑛)
b) Démontrer cette conjecture.
Exercice n°10 :
La suite (𝑢𝑛) est définie pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 3 par :
𝑢𝑛 =𝑛2
2𝑛
1) Calculer 𝑢3, 𝑢4 et 𝑢5.
Quelle conjecture peut-on émettre quant à la monotonie de (𝑢𝑛) ?
2) Montrer que pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 3 par :
𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 =−𝑛2 + 2𝑛 + 1
2𝑛+1
3) Résoudre, dans ℝ, l’inéquation : −𝑥2 + 2𝑥 + 1 ≤ 0.
4) En déduire que pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 3 par : 𝑢𝑛+1 ≤ 𝑢𝑛.
5) Que peut-on en déduire quant à la monotonie de (𝑢𝑛) ?
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Exercice n°11 :
On considère la suite (𝑢𝑛) définie pour tout entier naturel 𝑛, par :
𝑢𝑛 =𝑛 + 2
𝑛 + 1
1) Calculer 𝑢0, 𝑢1, 𝑢2 puis 𝑢99.
2) Exprimer, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛−1 en fonction de 𝑛.
3) Montrer que, pour tout entier naturel 𝑛, on a :
𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 =1
(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
En déduire le sens de variation de la suite (𝑢𝑛).
4) Soit 𝑎 un nombre réel dans l’intervalle ]1 ; 2]. Recopier et compléter sur la copie le programme
Python suivant pour qu’il permette de déterminer le plus petit entier naturel 𝑛 tel que 𝑢𝑛 ≤ 𝑎,
où 𝑎 est un nombre de l’intervalle ]1 ; 2].
Exercice n°12 :
Lors d’une réaction chimique, on étudie l’évolution de la concentration en 𝑚𝑜𝑙. 𝐿−1 d’un dérivé
chloré. Pendant 1 heure, on a relevé la concentration du dérivé chloré et obtenu le tableau ci-après :
𝒕 𝒆𝒏 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒆𝒔 0 10 20 30 40 50 60
𝑪𝒐𝒏𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒏 𝑴𝒐𝒍. 𝑳−𝟏 0,5 0,30 0,23 0,18 0,16 0,14 0,12
On souhaite modéliser cette situation de façon à estimer l’évolution de la concentration.
On note 𝑐𝑛 la concentration du dérivé chloré à l’instant 10 × 𝑛 minutes et on observe que les
données relevées conduisent à conjecturer que 𝑐𝑛+1 − 𝑐𝑛 est proportionnel à 𝑐𝑛2.
On obtient ainsi, pour tout entier naturel :
{𝑐0 = 0,5
𝑐𝑛+1 − 𝑐𝑛 = 𝑘𝑐𝑛2 où 𝑘 est un réel.
1) On sait que 𝑐1 = 0,3.
En déduire que 𝑘 = −0,8 et que la suite (𝑐𝑛) est définie par la formule de récurrence est donc :
𝑐𝑛+1 = 𝑐𝑛 − 0,8 × 𝑐𝑛2
2) Calculer 𝑐2 et 𝑐3 (on donnera des valeurs approchées à 10−3).
3) Démontrer que (𝑐𝑛) est décroissante.
4) Sur le graphique, donné sur la page suivante, on a représenté la droite d’équation 𝑦 = 𝑥 et la
représentation graphique de la fonction :
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 0,8𝑥2
Représenter sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite.
5) Répondre aux questions suivantes à l’aide de lectures graphiques :
a) la suite (𝑐𝑛) semble-t-elle convergente ou divergente ?
b) quelle semble être la valeur de lim𝑛→+∞
𝑢𝑛 ?
c) Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
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6) On donne l’algorithme ci-dessous :
a) Quelle valeur est affichée en sortie ?
On pourra compléter le tableau ci-dessous :
𝑛 0
𝑐 0,5
𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑉𝑟𝑎𝑖𝑒
b) Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
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Exercice n°13 : Factorielle (mentionnée dans le programme)
On pose (𝑢𝑛) la suite definie, pour tout entier 𝑛 ≥ 1 par :
𝑢𝑛 = 1 × 2 × 3 × … × 𝑛 = 𝑛!
1) Calculer 𝑢1, 𝑢2 et 𝑢3.
2) Déterminer une relation entre 𝑢𝑛+1 et 𝑢𝑛.
3) Etudier les variations de la suite (𝑢𝑛).
4) On veut déterminer la valeur de 𝑢50 à l’aide d’un programme.
Recopier et compléter ce programme donné sur la page suivante :
Indications :
• « 𝑓𝑜𝑟 𝑖 𝑖𝑛 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑒(2 , 51) » signifie « pour 𝑖 variant de 2 à 50 ».
Exercice n°14 : Suite de Fibonacci (mentionnée dans le programme)
Nous allons étudier un problème posé par Leonardo Fibonacci dans son ouvrage Liber Abaci.
On s’intéresse à l’évolution d’une population de lapins, comptant initialement un couple de lapins.
A un mois, les lapins ne sont pas encore adultes et ne se reproduisent pas.
A partir de deux mois, les lapins sont adultes, et chaque couple de lapins donne naissance à un
nouveau couple de lapins. On suppose que les lapins ne meurent pas.
On note 𝑢𝑛 le nombre de couples de lapins après 𝑛 mois. Ainsi 𝑢0 correspond au nombre de
couples de lapins initialement présent le premier mois. On a 𝑢0 = 𝑢1 = 1.
1) Combien y a-t-il de couple(s) de lapins le deuxième mois ? le troisième mois ?
2) Déterminer une relation entre 𝑢𝑛+2, 𝑢𝑛+1 et 𝑢𝑛.
3) Un élève a tapé le script ci-dessous :
Il a lancé ce script et il a obtenu : 𝑛 = 30. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.
4) Un élève a tapé le script ci-dessous :
Indications :
• « 𝑙𝑒𝑛(𝐿) » signifie « nombre d’éléments dans la liste 𝐿 ».
Qu’obtiendra-t-il s’il lance ce script ?
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Exercice n°15 : Suite de Syracuse (mentionnée dans le programme)
Soit (𝑆𝑛) la suite definie par 𝑢0 = 𝑎 et pour tout entier 𝑛 ≥ 0 :
𝑆𝑛+1 = {𝑆𝑛 ÷ 2 𝑠𝑖 𝑆𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑝𝑎𝑖𝑟
3𝑆𝑛 + 1 𝑠𝑖 𝑆𝑛 𝑒𝑠𝑡 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑖𝑟
1) Calculer les cinq premiers termes de la suite (𝑆𝑛), pour 𝑎 = 2 puis pour 𝑎 = 3.
2) La conjecture de Syracuse, non démontrée à ce jour, dit que la suite finit toujours par atteindre
la valeur 1 a un certain rang. L’objectif est de créer un algorithme permettant de déterminer la
plus petite valeur de 𝑛 telle que 𝑆𝑛 = 1.
a) Compléter le programme en Python ci-dessous :
Indications :
• « 𝑢 ! = 1 » signifie « 𝑢 différente de 1 ».
• « 𝑢 % 2 » signifie « reste de la division euclidienne de 𝑢 par un 2 ».
• « 𝐿. 𝑎𝑝𝑝𝑒𝑛𝑑(𝑆) » signifie « Ajouter 𝑆 en fin de liste »
b) Faire tourner le programme pour 𝑎 = 5, 𝑎 = 10 et 𝑎 = 15 et dire ce qu’il affiche.
Exercice n°16 : Avec un algorithme
Partie A
On considère l’algorithme suivant :
1) Justifier que, pour 𝑛 = 3, l’affichage obtenu est 11 pour 𝑢 et 21 pour 𝑆.
2) Reproduire et compléter le tableau suivant :
𝑉𝑎𝑙𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑒 𝑛 0 1 2 3 4 5 𝐴𝑓𝑓𝑖𝑐ℎ𝑎𝑔𝑒 𝑑𝑒 𝑢 11 𝐴𝑓𝑓𝑖𝑐ℎ𝑎𝑔𝑒 𝑑𝑒 𝑆 21
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Partie B
Soient (𝑢𝑛) et (𝑆𝑛) les suites définies sur ℕ par :
{𝑢0 = 1
𝑢𝑛+1 = 2𝑢𝑛 + 1 − 𝑛 et 𝑆𝑛 = 𝑢0 + 𝑢1 + ⋯ + 𝑢𝑛
1) Pour 𝑛 ∈ ℕ donné, que représentent les valeurs affichées par l’algorithme de la Partie A ?
2) Le but de cette question est d’exprimer 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛.
a) Recopier et compléter le tableau ci-dessous :
b) Quelle conjecture peut-on faire à partir des résultats de ce tableau ?
c) Vérifier que : ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑢𝑛 = 2𝑛 + 𝑛 convient comme forme explicite de (𝑢𝑛).
Exercice n°17 : QCM sur le chapitre.
1) On considère la fonction Python suivante :
a) 𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢(500) = 4 b) 𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢(600) = 5
c) 𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢(300) = 3 d) 𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢(400) = 4
2) Soit la suite définie par : 𝑢0 = 2 et 𝑢𝑛+1 = 3𝑢𝑛 − 2 pour 𝑛 ∈ ℕ
a) 𝑢3 = 7 b) 𝑢3 = 10
c) 𝑢3 = 28 d) 𝑢3 = 4
3) Soit (𝑣𝑛) la suite définie par : 𝑣0 = 1 et 𝑣𝑛+1 = 4𝑣𝑛 + 2 pour tout entier 𝑛.
On veut déterminer la plus petite valeur de 𝑛 telle que 𝑣𝑛 est supérieur ou égal à 100 000.
On réalise pour cela le programme incomplet ci-dessous écrit en langage Python :
Pour que le programme retourne la valeur demandée, il faut compléter la partie en pointillé par :
a) 𝑉 == 100 000 b) 𝑉! = 100 000
c) 𝑉 > 100 000 d) 𝑉 < 100 000
𝑛 0 1 2 3 4 5 𝑢𝑛
𝑢𝑛 − 𝑛
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4) On considère la fonction Python ci-dessous :
Quelle valeur renvoie l’appel 𝑠𝑢𝑖𝑡𝑒(5) ?
a) 5 b) 8
c) 12 d) 17
5) On considère la suite (𝑈𝑛) définie par 𝑈0 = −2 et 𝑈𝑛+1 = 2𝑈𝑛 − 5.
Un algorithme permettant de calculer la somme 𝑆 = 𝑈0 + 𝑈1 + ⋯ + 𝑈36 est :
a)
b)
c)
d)
6) Soit (𝑢𝑛) la suite définie par 𝑢0 = 4 et pour tout entier naturel 𝑛 par : 𝑢𝑛+1 = 3𝑢𝑛 − 5.
On souhaite qu’à la fin de l’exécution de l’algorithme, la valeur contenue dans la variable 𝑢
soit celle de 𝑢5. Quel algorithme doit-on choisir ?
a)
b)
c)
d)
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C) Approfondissement : ces exercices ne seront pas traités en classe.
Exercice n°1 : Somme des 𝑛 premiers carrés
Pour tout entier 𝑛 ≥ 1, on note 𝑢𝑛 la somme des 𝑛 premiers carrés, c’est-à-dire :
𝑢𝑛 = 12 + 22 + 32 + ⋯ + 𝑛2
1) Calculer les trois premiers termes de la suite (𝑢𝑛).
2) Déterminer une relation entre 𝑢𝑛+1 et 𝑢𝑛.
3) On pose (𝑣𝑛) la suite definie pour tout 𝑛 ∈ ℕ par :
𝑣𝑛 =𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
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a) Montrer que 𝑢1 = 𝑣1.
b) Vérifier que la suite (𝑣𝑛) verifie la même relation de récurrence que (𝑢𝑛).
c) Conclure.
Exercice n°2 : Somme des 𝑛 premiers cubes
Dans cet exercice, on cherche a trouver une formule pour la somme des 𝑛 premiers cubes.
Pour tout entier 𝑛 ≥ 1 , on note :
𝑢𝑛 = 13 + 23 + 33 + ⋯ + 𝑛3
1) Calculer les trois premiers termes de la suite (𝑢𝑛).
2) Déterminer une relation entre 𝑢𝑛+1 et 𝑢𝑛.
3) On pose (𝑣𝑛) la suite definie pour tout 𝑛 ∈ ℕ par :
𝑣𝑛 = (𝑛(𝑛 + 1)
2)
2
a) Montrer que 𝑢1 = 𝑣1.
b) Vérifier que pour tout entier 𝑛 ≥ 1 , on a : 𝑣𝑛+1 = 𝑣𝑛 + (𝑛 + 1)3
c) Conclure.
