poutre principale mixte simplement appuyée

Réf. document : SX015a-FR-EU Feuille 1 de 16 Titre

Exemple : poutre principale mixte simplement appuyée

FEUILLE DE CALCUL

Réf. Eurocode EN 1993-1-1, EN 1994-1-1 Réalisé par Arnaud LEMAIRE Date Août 2005

Vérifié par Alain BUREAU Date Août 2005

Exemple : poutre principale mixte simplement appuyée Cet exemple d'application concerne une poutre mixte simplement appuyée. Deux poutres secondaires sont supportées par cette poutre principale.

6,0 m

6,0 m

9,0 m

3,0 m 3,0 m

Les poutres secondaires sont représentées par deux charges concentrées :

1 1

1 1 1 : maintiens latéraux en phase de chantier

Exemple : poutre principale mixte simplement appuyéeC

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FEUILLE DE CALCUL


La poutre est un profilé en I laminé, en flexion par rapport à son axe fort. Cet exemple comprend :

- la classification de la section transversale,

- le calcul de la largeur participante de la semelle en béton,

- le calcul de la résistance au cisaillement d'un goujon à tête,

- le calcul du degré de connexion,

- le calcul de la résistance à la flexion,

- le calcul de la résistance au cisaillement,

- le calcul de la résistance au cisaillement longitudinal de la dalle,

- le calcul de la flèche à l'état limite de service.

Cet exemple ne comprend pas la vérification de la résistance de l’âme au voilement par cisaillement.

Coefficients partiels

• γG = 1,35 (charges permanentes)

• γQ = 1,50 (charges variables)

• γM0 = 1,0

• γM1 = 1,0

• γV = 1,25

• γC = 1,5

EN 1990

EN 1993-1-1

§ 6.1 (1)

EN 1994-1-1

§ 6.6.3.1

EN 1992-1-1


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FEUILLE DE CALCUL



Données Calcul d'une poutre mixte d'un bâtiment multi-étagé selon les données fournies ci-dessous. Les poutres d'appui ne sont pas étayées. Les nervures du bac acier sont parallèles à la poutre principale.

• Portée : 9,00 m

• Distance entre poutres : 6,00 m

• Epaisseur de la dalle : 14 cm

• Cloisons : 0,75 kN/m2

• Poutres secondaires (IPE 270) : 0,354 kN/m

• Charges d’exploitation : 2,50 kN/m2

• Charge de construction : 0,75 kN/m2

• Densité du béton armé : 25 kN/m3

Calcul avec un profilé IPE 400 – Nuance d’acier S355

Hauteur ha = 400 mm

Largeur b = 180 mm

Epaisseur de l’âme tw = 8,6 mm

Epaisseur de la semelle tf = 13,5 mm

Congé de raccordement r = 21 mm

Masse linéique 66,3 kg/m

z

z

y y

tf

tw

b

ha

Euronorme

19-57

Aire de la section Aa = 84,46 cm2

Moment d’inertie par rapport à l’axe y-y Iy = 23130 cm4

Module élastique de la section par rapport à l’axe y-y Wel,y = 1156 cm3

Module plastique de la section par rapport à l’axe y-y Wpl.y = 1307 cm3

Rayon de giration par rapport à l'axe z-z iz = 3,95 cm

Module d'élasticité de l'acier Ea = 210 000 N/mm2


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FEUILLE DE CALCUL



Bac acier Epaisseur de la tôle t = 0,75 mm

Epaisseur de la dalle h = 140 mm

Hauteur totale du bac acier à l'exclusion des bossages

hp = 58 mm

b1 = 62 mm b2 = 101 mm e = 207 mm

Connecteurs Diamètre d = 19 mm

Hauteur totale nominale hsc = 100 mm

Résistance ultime en traction fu = 450 N/mm2

Nombre de goujons n = 74, 1 rangée

(On ignore le goujon situé à la mi-portée de la poutre)

0,5hp

hp

hsc

h

b0

b1 b2

e

Classe du béton : C 25/30 Valeur de la résistance à la compression à 28 jours fck = 25 N/mm2

Module d'élasticité sécant du béton Ecm = 31 000 N/mm2

EN 1992-1-1

§ 3.1.3

Tableau 3.1


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FEUILLE DE CALCUL



Charge permanente : Afin de prendre en compte les nervures du bac acier, le poids de la dalle pour les poutres secondaire est calculé comme suit :

25 × 3,0 × (0,14 – 2

145,0106,0 + ×207,0058,0 ) = 7,86 kN/m

Charges concentrées durant la phase de chantier :

FG = (0,354 + 7,86) × 6,0 = 49,28 kN

Charges permanentes en phase finale :

Par conséquent, la valeur des charges concentrées sur la poutre principale est :

FG = (0,354 + 7,86 + 0,75 × 3,0) × 6,0 = 62,78 kN

Poids propre de la poutre principale :

qG = 9,81 × 66,3 × 10-3 = 0,65 kN/m

Charges variables (Charges d’exploitation) : Charges concentrées durant la phase de chantier :

FQ = 0,75 × 3,0 × 6,0 = 13,5 kN

Charges concentrées en phase finale :

FQ = 2,5 × 3,0 × 6,0 = 45,0 kN

Combinaison à l’ELU (Etat Limite Ultime) :

γG FG + γQ FQ = 1,35 × 62,78 + 1,50 ×45,0 = 152,25 kN

γG qG + γQ qQ = 1,35 × 0,65 = 0 877 kN/m

L'équation (6.10) est utilisée. Dans certains pays, l'Annexe Nationale peut spécifier l'utilisation des équations (6.10a) et (6.10b).

EN 1990

§ 6.4.3.2

Combinaison à l'ELU durant la phase de chantier :

γG FG + γQ FQ = 1,35 × 49,28 + 1,50 ×13,5 = 86,78 kN

γG qG + γQ qQ = 1,35 × 0,65 = 0,877 kN/m


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FEUILLE DE CALCUL



Diagramme du moment

465,6 kNm

M

Moment maximal à mi-portée :

My,Ed = 3,0 × 152,25 + 0,125 × 0,877 × 9,02 = 465,6 kNm

Moment maximal à mi-portée (phase de chantier) :

My,Ed = 3,0 × 86,78 + 0,125 × 0,877 × 9,02 = 269,2 kNm

Diagramme de l’effort tranchant

V

156,20 kN

Effort tranchant maximal aux appuis :

Vz,Ed = 152,25 + 0,5 × 0,877 × 9,0 = 156,20 kN

Effort tranchant maximal aux appuis (phase de chantier) :

Vz,Ed = 86,78 + 0,5 × 0,877 × 9,0 = 90,73 kN

Limite d’élasticité Nuance d’acier S355

L'épaisseur maximale est 13,5 mm < 40 mm; par conséquent : fy = 355 N/mm2

Remarque : L’Annexe Nationale peut imposer soit les valeurs de fy tirées du Tableau 3.1, soit celles de la norme du produit. Cela n'a pas d'importance dans ce cas.

EN 1993-1-1

Tableau 3.1

Classification de la section :

Le paramètre ε est fonction de la limite d’élasticité : 0,81 ][N/mm

235 2y

==f

ε

Remarque : La classification est faite pour la poutre non mixte. Dans le cas d’une poutre mixte, la classification est plus favorable pour l'âme.


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Semelle en console : semelle soumise à un effort de compression uniforme

c = (b – tw – 2 r) / 2 = (180 – 8,6 – 2 × 21)/2 = 64,7 mm

c/tf = 64,7 / 13,5 = 4,79 ≤ 9 ε = 7,29 Classe 1

EN 1993-1-1

Tableau 5.2

(page 2 sur 3)

Partie interne en compression :

c = ha – 2 tf – 2 r = 400 – 2 × 13,5 – 2 × 21 = 331 mm

c / tw = 331 / 8,6 = 38,5 < 72 ε = 58,3 Classe 1

La classe de la section transversale correspond à la plus élevée (c'est-à-dire la moins favorable) des classes de l’aile et de l’âme, en l’occurrence : Classe 1

Ainsi, il convient que les vérifications à l’ELU reposent sur la résistance plastique de la section transversale.

EN 1993-1-1

Tableau 5.2

(page 1 sur 3)

Phase de chantier

Résistance en flexion La résistance de calcul en flexion d’une section transversale s’obtient par :

Mc,Rd = Mpl,Rd = Wpl,y fy / γM0 = (1307 × 355 / 1,0) / 1000

Mc.Rd = 463,98 kNm

My,Ed / Mc,Rd = 269,2 / 463,98 = 0,58 < 1 OK

EN 1993-1-1

§ 6.2.5

Coefficient de réduction pour le déversement Pour calculer le moment résistant au déversement d’une poutre non maintenue latéralement, il faut déterminer le coefficient de réduction pour le déversement. Le maintien fourni par la tôle d'acier est dans ce cas minime et par conséquent négligé. Le calcul suivant détermine ce coefficient par une méthode simplifiée pour le déversement. Cette méthode évite de calculer le moment critique de déversement élastique.

Elancement réduit L'élancement réduit peut être obtenu à l'aide de la méthode simplifiée pour l'acier de nuance S355 :

0,853 89

300/3,95 89/ z

LT ===iLλ

Voir NCCI

SN002


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FEUILLE DE CALCUL



Dans le cas de profilés laminés, 0,4 LT,0 =λ

Remarque : l’Annexe Nationale peut également donner la valeur LT,0λ . La valeur recommandée est 0,4.

Donc LT,0LT 0,853 λλ >= =0,4

EN 1993-1-1

§ 6.3.2.3 (1)

Coefficient de réduction Dans le cas d’un profilé laminé, le coefficient de réduction pour le déversement se calcule de la façon suivante :

1 2LT

2LTLT

LT

λβφφχ

−+= mais

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤

≤

2LT

LT

LT1

1.0

λχ

χ

où : ( )[ ] 1 0,5 LTLT,0LTLTLT

2λβλλαφ +−+=

EN 1993-1-1

§ 6.3.2.3(1)

αLT est le facteur d’imperfection pour le déversement. Lorsque l’on applique la méthode pour les profilés laminés, il faut choisir la courbe de déversement à partir du Tableau 6.5 :

Pour ha/b = 400 / 180 = 2,22 > 2 Courbe c (αLT = 0,49)

0,4 LT,0 =λ et β = 0,75

Remarque : L’Annexe Nationale peut donner les valeurs de LT,0λ et de β. Les valeurs recommandées sont respectivement 0,4 et 0,75.

EN 1993-1-1

Tableau 6.5

Tableau 6.3

On obtient : ( )[ ] 0,884 (0,853)0,75 0,40,853 0,49 1 0,5 2LT =×+−+=φ

et : 0,730 (0,853)0,75(0,884) 0,884

1 22LT =

×−+=χ

On vérifie ensuite : χLT = 0,730 < 1,0

et : χLT = 0,730 < 2LT / 1 λ = 1,374

Donc : χLT = 0,730


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Calcul du moment de résistance au déversement

Mb,Rd = χLT Wpl,y fy / γM1

Mb,Rd = (0,730 × 1307000 × 355 / 1,0) × 10-6 = 338,7 kNm

My,Ed / Mb,Rd = 269,2 / 338,7 = 0,795 < 1 OK

EN 1993-1-1

§ 6.3.2.1

Résistance au cisaillement La résistance plastique au cisaillement dépend de l’aire de cisaillement, qui se calcule grâce à la formule suivante :

Av,z = A – 2 b tf + (tw + 2 r) tf

Av,z = 8446 – 2 × 180 × 13,5 + (8,6 + 2 × 21) × 13,5 = 4269 mm2

EN 1993-1-1

§ 6.2.6 (3)

Résistance plastique au cisaillement

kN 874,97 1,0

10)3 / (3554269 )3 / (

3

M0

yzv,Rdz,pl, =

××==

−

γfA

V

Vz,Ed / Vpl,z,Rd = 90,73 / 874,97 = 0,104 < 1 OK

EN 1993-1-1

§ 6.2.6 (2)

Remarquons qu’il n’est pas nécessaire de vérifier la résistance au voilement par cisaillement lorsque :

hw / tw ≤ 72 ε / η

La valeur pertinente de η est : η = 1,2

hw / tw = (400 – 2 × 13,5) / 8,6 = 43 < 72 × 0,81 / 1,2 = 48,6

EN 1993-1-1

§ 6.2.6 (6)

EN 1993-1-5

§ 5.1 (2)

Interaction entre le moment fléchissant et l'effort tranchant Si Vz,Ed < Vpl,Rd / 2, l'effort tranchant peut être négligé.

Par conséquent, Vz,Ed = 90,73 kN < Vpl,Rd / 2 = 874,97 / 2 = 437,50 kN OK

EN 1993-1-1

§ 6.2.8 (2)

Phase finale

Largeur participante de la semelle en béton La largeur participante est constante entre 0,25 L et 0,75 L, où L est la portée. Depuis L/4 jusqu'à l'appui le plus proche, la largeur participante décroît linéairement. Les charges concentrées sont situées entre 0,25 L et 0,75 L.

EN 1994-1-1

§ 5.4.1.2


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La largeur participante totale est déterminée par :

∑+=eff,1 ei0 bbb

b0 est l'entraxe des connecteurs en saillie,

ici b0 = 0 ;

bei est la valeur de la largeur participante de la semelle en béton de chaque côté de l'âme. Elle est donnée par : bei = Le / 8 mais ≤ bi = 3,0 m

beff,1 = 0 + 9,0 / 8 = 1,125 m, alors beff = 2 × 1,125 = 2,25 m < 3,0 m

(figure 5.1)

Résistance au cisaillement d'un goujon à tête La résistance au cisaillement doit être déterminée par :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×=

V

cm2

V

2u

lRd

290480Min

γα

γπ Efddf

kP ck ,;/ ,

hsc / d = 100 / 19 = 5,26 > 4, donc α = 1

EN 1994-1-1

§ 6.6.3.1

Coefficient de réduction (kl)

Pour un bac acier dont les nervures sont parallèles à la poutre d'appui, le coefficient de réduction pour la résistance au cisaillement est calculé par :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 1-60

p

sc

p

0l h

hhb

k , mais ≤ 1

EN 1994-1-1

§ 6.6.4.1

Où : nr = 1

hp = 58 mm

hsc = 100 mm

b0 = 82 mm

Par conséquent, 61401-58

100588260l ,, =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=k ≤ 1 OK

25131000×2519×1×290

251419××450×80

Min×6140=22

Rd , ,

;,

/ ,,P

π 3.10−

( )kN7373kN6681Min×6140= ,;,,

PRd = 45,27 kN


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Degré de connexion Le degré de connexion est défini par :

fc,

c

NN

=η

Où : Nc est la valeur de calcul de l'effort normal de compression dans la semelle en béton

Nc,f est la valeur de calcul de l'effort normal de compression dans la semelle en béton avec connexion totale

EN 1994-1-1

§ 6.2.1.3 (3)

A l'emplacement de la charge :

L'effort normal de compression dans la semelle en béton représente l'effort pour une connexion totale.

Ac est l'aire de la section transversale de béton, si bien qu'à l'emplacement de la charge : Ac = beff hc

avec hc = h - hp = 140 – 58 = 82 mm

Ac = 2250 × 82 = 184 500 mm2

Par conséquent,

=1051

25×184500×850=850=850= 3

C

ckccdcfc, ,

,f

A,fA,Nγ

2614 kN

Etant donné que le moment maximal est atteint à peu près au niveau de la charge, il convient de placer les goujons entre l'appui et la charge concentrée. Des goujons doivent néanmoins être placés entre les charges concentrées.

e2

e1

3,0 m 1,5 m

31 goujons espacés à e1 = 95 mm et 6 goujons espacés à e2 = 220 mm


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Par conséquent, la résistance des connecteurs limite l'effort normal à la valeur maximale de :

1403 KN =2745×31=×= Rdc ,PnN

Par conséquent, 5370=26141403

==fc,

c ,NN

η

Le rapport η étant inférieur à 1,0, la connexion est partielle.

Vérification de la résistance à la flexion

Degré minimal de connexion Le degré minimal de connexion pour une section en acier symétrique (semelles identiques) est donné par :

( eL,-,f

030750355-1 y

min ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=η ) avec Le ≤ 25

EN 1994-1-1

§ 6.6.1.2

Le est la longueur de la zone de moment positif entre points de moment nul, exprimée en mètres; dans cet exemple : Le = 9,0 m

Par conséquent, ηmin = 1 – (355 / 355) (0,75 – 0,03 × 9,0) = 0,520

Et donc, ηmin = 0,520 < η = 0,537 OK

Moment de résistance plastique à l'emplacement de la charge La valeur de l'effort normal dans la section d'acier est calculée par :

2998 kN =0110×355×8446== 3M0yaapl, ,/ /fAN γ

Par conséquent, =2614×5370=×=> fc,capl, ,NNN η 1403kN

EN 1994-1-1

§ 6.2.1.2et

§ 6.2.1.3

Pour les connecteurs ductiles et la section transversale de la poutre en acier de Classe 1, le moment résistant MRd de la section transversale critique de la poutre à l'emplacement de la charge est calculé au moyen de la théorie rigide-plastique, si ce n'est qu'une valeur réduite de l'effort de compression Nc dans la semelle en béton est utilisée au lieu de l'effort Ncf.

La distribution des contraintes plastiques est donnée ci-dessous :


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cces

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teel






FEUILLE DE CALCUL



MRd

+

- Nc=η Nc,f= 1403 kN

Na= 2201 kN hn

hp 797 kN

La position de l'axe neutre plastique est : hn = 388 mm

La résistance de calcul en flexion de la section transversale mixte est donc :

MRd = 738 kNm

Donc, My,Ed / MRd = 465,6 / 738 = 0,63 < 1 OK

Résistance au cisaillement La résistance plastique au cisaillement est la même que celle d'une poutre en acier seule.

Par conséquent, kN 97,874 = Rdz,pl,V

Vz,Ed / Vpl,z,Rd = 156,20 / 874,97 = 0,18 < 1 OK

EN 1994-1-1

§ 6.2.2.2

Interaction entre le moment fléchissant et l'effort tranchant

Si Vz,Ed < Vpl,Rd / 2, l'effort tranchant peut être négligé.

Donc, Vz,Ed = 156,20 kN < Vpl,Rd / 2 = 874,97 / 2 = 437,50 kN OK

EN 1993-1-1

§ 6.2.8 (2)

Résistance au cisaillement longitudinal de la dalle Les contraintes plastiques de cisaillement longitudinal sont données par :

xh

FvΔ

Δ=

f

dEd

Où Δx = 9,0 / 2 = 4,5 m

EN 1992-1-1

§ 6.2.4

(figure 6.7)


réé

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is a

ux te

rmes

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FEUILLE DE CALCUL



La valeur de Δx est la moitié de la distance entre la section où le moment est nul et la section où le moment est maximal et nous avons deux aires pour la résistance au cisaillement.

ΔFd = Nc / 2 = 1403 / 2 = 701,5 kN

hf = h - hp = 140 – 58 = 82 mm

=4500×82

10×5701==

3

f

d ,xh

FvEd Δ

Δ1,9 N/mm2

Afin d'empêcher l'écrasement des éléments comprimés dans la semelle en béton, la condition suivante doit être satisfaite :

ffcdEd cossin θθν fv < avec [ ]250/16,0 ckf−=ν et θf = 45 °

5,45,05,1

252502516,0 =××⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −×<Edv N/mm2 OK

L'inégalité suivante doit être satisfaite pour l'armature transversale :

Asf fyd / sf ≥ vEd hf / cot θf où fyd = 500 / 1,15 = 435 N/mm2

Supposons que l'espacement des barres est sf = 200 mm et qu'il n'y a aucune contribution du bac acier

Asf ≥ =01×435200×82×91,

,71,6 mm2

Des barres de 10 mm de diamètre (78,5 mm2) espacées de 200 mm entre elles peuvent être utilisées pour ce calcul.

Vérifications à l'Etat limite de service

Formule de calcul de la flèche due à G + Q :

Qy

22

Q

Gy

22

y

4G

G

24)4(3w

24)4(3

384 5

FIE

aLa

FIE

aLaIE

Lqw

−×=

−×+=

Donc, w = wG + wQ


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FEUILLE DE CALCUL



Phase de chantier

Combinaison à l'ELS durant la phase de chantier : FG + FQ = 49,28 + 13,5 = 62,78 kN

qG = 0,65 kN/m

EN 1990

§ 6.5.3

Flèche durant la phase de chantier : Iy est le moment d'inertie de la poutre en acier.

492801023130 210000 24

)30004-90003(30001023130210000 384

900065,0 5 4

22

4

4

G ××××

×××+

×××××

=w

mm 3,272,261,1 G =+=w

mm 7,2135001023130 210000 24

)30004-90003(3000w 4

22

Q =××××

×××=

Donc, w = wG + wQ = 27,3 + 7,2 = 34,5 mm

La flèche sous (G+Q) est L/261

Phase finale

Combinaison à l’ELS

FG + FQ = 62,78 + 45,0 = 107,78 kN

qG = 0,65 kN/m

EN 1990

§ 6.5.3

Flèche durant la phase finale : Iy dépend du coefficient d'équivalence acier/béton (n), lequel est fonction du type de charge. Par simplification, on peut prendre :

n0 = Ea / Ecm = 210000 / 31000 = 6,77 pour les effets à court terme (Q)

Donc Iy = 82458 cm4 à mi-portée

Et n = 3Ea / Ecm = 20,31 pour les charges permanentes (G)

Donc Iy = 62919 cm4

EN 1994-1-1

§ 7.2.1


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FEUILLE DE CALCUL



Remarque : Il peut être utilisé à la fois pour les charges à court et long termes, un coefficient d'équivalence nominal (n) correspondant à un module d'élasticité effectif pour le béton Ec,eff considéré comme étant égal à Ecm / 2.

EN 1994-1-1

§ 5.4.2.2 (11)

wG = 27,3 mm

wcloisons = 13500106291921000024

30004-9000330004

2

××××

×××

)( 2

= 2,6 mm

45000×10×82458×210000×24

3000×4-9000×3×3000= 4

2

)(

w2

Q = 6,7 mm

Donc, w = wG + wcloisons + wQ = 27,3 + 2,6 + 6,7 = 36,6 mm

La flèche résultante sous (G+Q) est L/246

Remarque 1 : Il convient que le client spécifie la flèche maximale tolérée. L’Annexe Nationale peut préciser quelques valeurs limites. Dans le cas présent, on peut considérer que les résultats sont pleinement satisfaisants.

Remarque 2 : Concernant les vibrations, l’Annexe Nationale peut spécifier des limites concernant leur fréquence. Dans le cas présent, la flèche totale est faible et la masse plutôt élevée; l'expérience indique qu'il n'y a pas de problème de vibration.

EN 1993-1-1

§ 7.2.3


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Exemple : poutre principale mixte simplement appuyée SX015a-FR-EU

Enregistrement de la qualité

TITRE DE LA RESSOURCE Exemple : poutre principale mixte simplement appuyée

Référence(s)

DOCUMENT ORIGINAL

Nom Société Date

Créé par Arnaud LEMAIRE CTICM 29/08/05

Contenu technique vérifié par Alain BUREAU CTICM 29/08/05

Contenu rédactionnel vérifié par

Contenu technique approuvé par les partenaires STEEL :

1. Royaume-Uni G W Owens SCI 11/01/06

2. France A Bureau CTICM 11/01/06

3. Suède A Olsson SBI 11/01/06

4. Allemagne C Müller RWTH 11/01/06

5. Espagne J Chica Labein 11/01/06

Ressource approuvée par le Coordonnateur technique

G W Owens SCI 09/06/06

DOCUMENT TRADUIT

Traduction réalisée et vérifiée par : eTeams International Ltd. 12/03/06

Ressource traduite approuvée par : P.-O. Martin CTICM 17/03/06


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