Presentation de Pascal Omnes Laga Et Cea 15 Mai 2009

Introduction aux estimations a posteriori

pour la discretisation d’equations

elliptiques et application a laresolution d’un probleme

multi-echelles

P. Omnes1,2, Y. Penel1,2 et Y. Rosenbaum1,2

1. CEA, DEN, DM2S-SFME F-91191 Gif-sur-Yvette Cedex.2. Laga Universite Paris 13

15 Mai 2009

Estimations a posteriori

Plan

Plan

1 Objectifs des estimations a a posteriori

2 Cas des EF conformes pour le Laplacien

3 Cas du schema DDFV pour le Laplacien

4 Resultats numeriques

5 Conclusion et perspectives


Plan

Plan







Plan

Plan







Plan

Plan







Plan

Plan







Objectifs

Objectifs

Soit un probleme (continu) a approcher numeriquement (sur unmaillage constitue de Ti), et soit e l’erreur (dans une certainenorme) entre solution exacte et solution numerique.

0. e ≤ η ≤ Ke avec η = C(∑

Tiηα

i

)1/α(ici α = 2) avec ηi

calculable uniquement a partir de la solution numerique, desdonnees du probleme et de la geometrie du maillage, et dont lecout du calcul est negligeable.

1. Reduire le cout du calcul en raffinantle maillage de maniere adaptative, laou l’erreur (les ηi) est importante.


Objectifs

Objectifs (suite)

2. Garantir a l’utilisateur une borne superieure de l’erreur (pas deconstantes inconnues) avec une bonne efficacite (rapportestimateur/erreur proche de un) si possible independante desparametres (discontinuites, anisotropie).

3. Donner un algorithme d’adaptation de maillage qui assure quel’on pourra atteindre de facon optimale une erreur fixee parl’utilisateur.


EF pour Laplacien

Cas des EF conformes pour le Laplacien

Soit a resoudre −∆u = f sur Ω =⋃

i Ti avec u = 0 sur le bord.Trouver u ∈ V := H1

0 (Ω) tel que pour tout v ∈ V :

∫

Ω∇u · ∇v =

∫

Ωfv FVC

Approximation par EF conformes : Vh ⊂ V de dimension finie :trouver uh ∈ Vh tel que pour tout vh ∈ Vh :

∫

Ω∇uh · ∇vh =

∫

Ωfvh FVD

En particulier, pour tout vh ∈ Vh on a (FVC avec v = vh - FVD)∫

Ω(∇u −∇uh) · ∇vh = 0

(Orthogonalite de Galerkin).


EF pour Laplacien

Soit v := u − uh, on a

e2 :=

∫

Ω|∇v|2 =

∫

Ω(∇u −∇uh) · ∇v

Soit vh quelconque dans Vh, par Orthogonalite de Galerkin :

e2 =

∫

Ω(∇u −∇uh) · (∇v −∇vh)

=

∫

Ω∇u · (∇v −∇vh) −

∫

Ω∇uh · (∇v −∇vh)

=

∫

Ωf(v − vh) −

∑

Ti

∫

Ti

∇uh · (∇v −∇vh)

=

∫

Ωf(v − vh) −

∑

Ti

∫

Ti

(−∆uh)(v − vh) +

∫

∂Ti

∇uh · n(v − vh)


EF pour Laplacien

e2 =

∫

Ωf(v − vh) −

∑

Ti

∫

Ti

(−∆uh)(v − vh) +

∫

∂Ti

∇uh · n(v − vh)

=∑

Ti

∫

Ti

(f + ∆uh)(v − vh) −∑

s

∫

s[∇uh · ns]s(v − vh)

≤∑

Ti

||f + ∆uh||L2(Ti)||v − vh||L2(Ti)

+∑

s

||[∇uh · ns]s||L2(s)||v − vh||L2(s)

≤

(

∑

Ti

|Ti| ||f + ∆uh||2L2(Ti)

)1/2(∑

Ti

|Ti|−1||v − vh||

2L2(Ti)

)1/2

+

(

∑

s

|s| ||[∇uh · ns]s||2L2(s)

)1/2(∑

s

|s|−1||v − vh||2L2(s)

)1/2

Choix de vh ? Bonne approximation de v !


EF pour Laplacien

Choix de vh ? Par ex. moyenne de v autour des degres de liberte deVh (eventuellement ponderee par fonction de base associee).Alors : ∃C1(τ) et C2(τ) t.q. pour tout v ∈ V :

∑

Ti

|Ti|−1||v − vh||

2L2(Ti)

1/2

≤ C1||∇v||L2(Ω) = C1e

(

∑

s

|s|−1||v − vh||2L2(s)

)1/2

≤ C2||∇v||L2(Ω) = C2e

D’ou l’estimation a posteriori (basee sur les residus) :

e ≤ C1(∑

Ti

|Ti| ||f+∆uh||2L2(Ti)

)1/2+C2(∑

s

|s| ||[∇uh·ns]s||2L2(s))

1/2


EF pour Laplacien

e ≤ C1(∑

Ti

|Ti| ||f+∆uh||2L2(Ti)

)1/2+C2(∑

s

|s| ||[∇uh·ns]s||2L2(s))

1/2

Ne fait bien intervenir que la solution calculee uh (par le saut deses gradients), les donnees et la geometrie du maillage.

Les constantes sont difficiles a calculer (Verfurth 1999 ; Carstensenand Funken, 2000) et l’efficacite mauvaise (rapportestimateur/erreur entre 35 et 70 selon les cas tests).

On fait mieux depuis : pas de constante, ou alors connue, efficaciteproche de un (Vohralık 2006).


DDFV pour Laplacien

Cas du schema DDFV

Inconnues aux centres et auxsommets des cellules. On integre−∆u = f sur chacune des cellulesprimales et duales.Pour evaluer les flux, On construit∇hu sur chacune des cellules-diamants a partir des uT

i et des uPk

par la formule

(∇u)j :=1

2 |Dj|

[

uPk2

− uPk1

]

|A′j |n

′j +

[

uTi2 − uT

i1

]

|Aj |nj

Ti1

Pk2

Pk1

Ti2

n’A’A

n


DDFV pour Laplacien

Equivalence avec une methode d’elements finis

Sk2

Sk1

D j

i1G

i2G

i1 k1M

i2 k1M

i2 k2M i1 k2M

Soit u := (uT , uP ). Il existe une unique fonction uh dont larestriction a chaque cellule-diamant Dj est P 1(Dj) et telle que

uh(Miα kβ) =

1

2(uT

iα(j) + uPkβ(j)) ∀(α β) ∈ 1; 22


DDFV pour Laplacien

La propriete (∇uh)|Dj= (∇hu)j permet de demontrer que le

schema numerique est equivalent a

trouver uh ∈ Vh tel que ∀vh ∈ Vh,

∑

j

∫

Dj

∇uh · ∇vh =

∫

Ωfv∗h ,

et

v∗h :=1

2

(

∑

i

vTi θT

i +∑

k

vPk θP

k

)

ou θTi et θP

k sont les fonctions indicatrices des mailles Ti et Pk.

Elements finis non-conformes : fonctions de base sont P 1 parmorceaux sur les Dj et continues seulement aux points Miα kβ

.Second membre : “formule de quadrature”.


DDFV pour Laplacien

Estimation a posteriori (Laplace - Dirichlet homogene)

e2 =∑

j

∫

Dj

|∇u −∇uh|2 .

Decomposition de Hodge dans (L2(Ω))2, avec Φ nul sur Γ :

∇u −∇uh = ∇Φ + ∇× Ψ

Alors, e2 =∥

∥

∥∇Φ∥

∥

∥

2

0,Ω+∥

∥

∥∇× Ψ∥

∥

∥

2

0,Ωet

e2 =∑

j

∫

Dj

(∇u −∇uh) · ∇Φ +∑

j

∫

Dj

(∇u −∇uh) · ∇ × Ψ.


DDFV pour Laplacien

i1 =∑

j

∫

Dj

(∇u −∇uh) · ∇Φ

Soit Φ = (ΦTi ,ΦP

k ) quelconque mais nul sur Γ. On a

i1 =

∫

Ωf(

Φ − Φ∗h

)

−∑

j

∫

Dj

∇uh ·(

∇Φ −∇Φh

)

i1 =1

2

∑

i∈[1,I]

∫

Ti

f(

Φ − ΦTi

)

+1

2

∑

k∈[1,K]

∫

Pk

f(

Φ − ΦPk

)

−1

2

∑

i∈[1,I]

∑

s⊂

Ti

∫

s[∇uh · ns]s

(

Φ − ΦTi

)

(σ) dσ

−1

2

∑

k∈[1,K]

∑

s⊂

Pk

∫

s[∇uh · ns]s

(

Φ − ΦPk

)

(σ) dσ .


DDFV pour Laplacien

i2 =∑

j

∫

Dj

(∇u −∇uh) · ∇ × Ψ

Soit Ψ = (ΨTi ,ΨP

k ) arbitraire ; par orthogonalite continue etdiscrete :

i2 = −∑

j

∫

Dj

∇uh ·(

∇× Ψ −∇× Ψh

)

.

i2 = −1

2

∑

i∈[1,I]

∑

s⊂

Ti

∫

s[∇uh · τs]s

(

Ψ − ΨTi

)

−1

2

∑

k∈[1,K]

∑

s⊂

Pk

∫

s[∇uh · τs]s

(

Ψ − ΨPk

)


DDFV pour Laplacien

Soit Ti une cellule primale. Dans i1 on doit majorer

1

2

∑

i∈[1,I]

∑

s⊂

Ti

∫

s[∇uh · ns]s

(

Φ − ΦTi

)

(σ) dσ

t ik,1

t ik,2

Gi

Sk

s

∣

∣

∣

∣

∣

∫

s[∇uh ·ns]s

(

Φ−ΦTi

)

(σ)dσ

∣

∣

∣

∣

∣

≤ ‖[∇uh ·ns]s‖0,s

∥

∥

∥Φ−ΦT

i

∥

∥

∥

0,s

Pour chaque segment s, on ecrit une inegalite de trace sur chacundes deux triangles tik,1 et tik,2


DDFV pour Laplacien

∥

∥

∥Φ − ΦTi

∥

∥

∥

2

0,s≤

Cik,α

|s|

(

∥

∥

∥Φ − ΦTi

∥

∥

∥

2

0,tik,α

+ h2i

∥

∥

∥∇Φ∥

∥

∥

2

0,tik,α

)

.

Cik,α est calculable. Pour i fixe, par C-S discret sur les s ∈Ti

∣

∣

∣

∣

∣

∑

s∈

Ti

∫

s

[∇uh ·ns]s

(

Φ−ΦTi

)

(σ)dσ

∣

∣

∣

∣

∣

≤ Ciαi

(

∥

∥

∥Φ − ΦTi

∥

∥

∥

2

0,Ti

+ h2i

∥

∥

∥∇Φ∥

∥

∥

2

0,Ti

)1/2

avec

αi =

∑

s∈

Ti

1

|s|‖[∇uh ·ns]s‖

20,s

1/2


DDFV pour Laplacien

Choix de ΦTi : valeur moyenne de Φ ∈ H1 sur Ti :

∥

∥

∥Φ − ΦT

i

∥

∥

∥

0,Ti

≤ Kihi

∥

∥

∥∇Φ∥

∥

∥

0,Ti

(si Ti est convexe Ki = 1π )

∣

∣

∣

∣

∑

s∈

Ti

∫

s[∇uh ·ns]s

(

Φ−ΦTi

)

(σ)dσ

∣

∣

∣

∣

≤ Cηi

∥

∥

∥∇Φ∥

∥

∥

0,Ti

avec

η2i = h2

i

∑

s∈

Ti

1

|s|‖[∇uh ·ns]s‖

20,s


DDFV pour Laplacien

On traite de meme les termes sur les cellules duales. Par C-Sdiscret sur les Ti, on conclut, en notant η = (

∑

i η2i )

1/2

i1 ≤ η1

∥

∥

∥∇Φ∥

∥

∥

0,Ω.

De meme, on obtient une majoration du type i2 ≤ η2

∥

∥

∥∇Ψ

∥

∥

∥

0,Ω.

On se souvient que

e2 = i1 + i2 =∥

∥

∥∇Φ∥

∥

∥

2

0,Ω+∥

∥

∥∇Ψ

∥

∥

∥

2

0,Ω

Donce ≤

(

η21 + η2

2

)1/2


Resultats numeriques


Maillages non-conformes (Exemple inspire de Glowinski et al.)Ω = [−1; 1]2 et ω = [−1/4; 1/4]2

φ = cos(π2 x) cos(π

2 y) + 10χ(r) exp(1/ε2) exp[−1/(ε2 − r2)] ,

avec r =√

x2 + y2 ; χ(r) = 1 si r ≤ ε et χ(r) = 0 si r > ε etε = 1/4. Ω \ ω : carres de longueur S et ω : carres de longueurs = S/2p.

Maillage non-conforme S = 1/8 et S/s = 4



strategie de raffinement

Soit η2ext :=

∑

Ti⊂Ω\ω η2i et η2

int :=∑

Ti⊂ω η2i . Soit Next et Nint le

nombre de mailles dans Ω \ ω et ω.

Alors la methode etant d’ordre un pour e en fonction du pas dumaillage, on aura e ≈ C(Next + Nint)

−1/2. La strategie consistealors a minimiser e(Next + Nint)

1/2.

D’autre part, ηext ≈ C ′N−1/2ext et ηint ≈ C ′′N

−1/2int . Donc

raffinement dans ω seulement : e ≈ (η2ext + η2

int/4)1/2 pour

(Next + 4Nint) cellules.

raffinement dans Ω \ ω seulement : e ≈ (η2ext/4 + η2

int)1/2

pour (4Next + Nint) cellules.

raffinement dans ω et Ω \ ω : e ≈ 12(η2

ext + η2int)

1/2 pour4(Next + Nint) cellules.



On compare alors

Ci := (η2ext + η2

int/4)1/2(Next + 4Nint)

1/2,Ce := (η2

ext/4 + η2int)

1/2(4Next + Nint)1/2 et

Cie := (η2ext + η2

int)1/2(Next + Nint)

1/2

et on raffine

dans ω seulement si Ci = min(Ci, Ce, Cie),

dans Ω \ ω seulement si Ce = min(Ci, Ce, Cie),

dans ω et Ω \ ω si Cie = min(Ci, Ce, Cie).



0.1

1

10

100

1000

100 1000 10000

Err

eur

reel

le

Nombre d’elements

maillages possiblesraffinement uniforme

strategie proposee

1

10

100

1000

10000

100 1000 10000

Err

eur

estim

ee

Nombre d’elements

maillages possiblesraffinement uniforme

strategie proposee



On traite ici le cas d’un domaine avec fissure etu(r, θ) = r1/2 sin(θ/2)



−1/4N

uniformadaptive

−1/2N

0.001

0.01

0.1

1

10 100 1000 10000 100000

Err

or

Number of triangles

On recupere l’ordre optimal en nombre de triangles

8

10

12

14

16

10 100 1000 10000 100000

Effi

cien

cy

Number of triangles

adaptiveuniform


Conclusion et perspectives

Conclusion et perspectives

Pour l’elliptique lineaire, les estimations a posteriori, c’estfacile

Estimation a posteriori et adaptation de maillage

Robustesse vis-a-vis des coefficients

Problemes dependant du temps

Problemes non lineaires

Probleme de (Navier-)Stokes (these de Anh Ha LE)

Problemes hyperboliques et couplage avec elliptique

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