Présentation de quelques concepts didactiques en

situation pour apprendre en mathématiques

Alfred Bartolucci

Il ne suffit pas de bien maîtriser sa discipline pour l’enseigner

Savoirs de référenceSavoirs Savants

Pratiques sociales

Savoirs effectivement

enseignés

Savoirs produits

Savoirs effectifs des élèves

Savoirs enseignables

Savoirs à enseigner

Transposition

didactique

Concepts fondamentaux

Obstacles ontologiques,

épistémologique, didactique

Objectif obstacleSituations

didactiques

Variables didactiques

Conceptions, représentations, projet personnel

Contrat et coutume didactique, effet

Topaze et Jourdain.

Savoirs sur les savoirs

Transposition didactique

• Le savoir de référence (nb, rapport, mesure)• Ce qui doit être enseigné (le prescrit) (pg et commentaires)• Ce que l’élève devrait maîtriser (attendu social)• Ce que je pense devoir enseigner (mes normes)• Ce que j’enseigne effectivement (mes pratiques)• Ce que l’élève « entend » (projet, écoute)• Ce que l’élève maîtriser réellement

?

• interpelle les rituels des activités coutumières

• questionne l’origine et la valeur des savoirs• introduit une analyse de pertinence et d’effectivité

LA PROPORTIONNALITE

Nombres relatifs

la classe de situations problèmes qui, pour lui, donnent son sens au concept.l'ensemble des signifiants qu'il est capable d'associer à ce concept : images mentales, expressions symboliques, ...les outils dont il dispose pour traiter des situations de mise en œuvre du concept.A côté de ces diverses conceptions (connaissances conceptuelles) l'élève dispose de représentations relatives à son rapport au savoir particulier.

Savoirs et conceptions de l’apprenant 1)1(2)1(2

Positifs et

négatifs

Etat de savoir d’un élève sur le concept de proportionnalitédiversité des exemples sur le concept.

Citer des exemples de situations de proportionnalité en expliquant et en justifiant

énoncé d’une définition personnelle.

Si tu devais dire ce qu’est une situation de proportionnalité que dirais-tu ?

liste des invariants opératoires du concept

Fais l’inventaire des propriétés qui concernent la proportionnalité.

étendue du champ de problèmes / situations donnant sens au concept.

Fais l’inventaire des catégories de problèmes qui concernent la proportionnalité.

ensemble des signifiants associés au concept.

Quelles sont les notations, les symboles associés à la proportionnalité?

les tensions entre concepts. La proportionnalité est liée à la multiplication : expliquer comment et pourquoi, en montrant les limites, les liens qu’a la proportionnalité avec les autres opérations, les longueurs, les aires.

taux d’efficacité fonctionnelle Score / performances à une variété significative d’activités impliquant la proportionnalité.

Ne pas confondre la liste d’objectifs• Additionner, soustraire, multiplier, diviser de tête.• Déterminer la distance réelle à partir de l’échelle d’une carte.• Déterminer, à partit de la mesure réelle et de la mesure sur le

dessin, l’échelle du dessin.• Réaliser un dessin à l’échelle.• Reconnaître que deux grandeurs sont proportionnelles.• Calculer une quatrième proportionnelle.• Calculer un taux, un coefficient de proportionnalité.• Appliquer un taux, compléter une facture.• Calculer une valeur après / avant augmentation / diminution

(proportionnalité).• Conversion d’unités (longueurs, aires, volumes, …)• Calculer une vitesse en m/s ou en km/h.• Déterminer la durée ou la distance d’un parcours.• Placer des nombres d’ordre de gradeur différent sur un axe.• Choisir la meilleur écriture pour conduire des calculs.

… et le réseau

Réseau de savoir-faire Calcul pensé

Dessiner à l’échelle

Calcul de distance réelle

Calculer l’échelle

Reconnaître 2 grandeurs

proportionnelles

Calculer un taux

Appliquer un taux

Calculer une valeur après / avant

augmentation / diminution

Convertir des unités

Placer un point sur une

graduation

Exploiter la relation d=vt pour calculer,

d, v ou t

4ième proportionnelle

Les activités gagnent à porter sur les liens inter-conceptuels

Fondamentaux

• Comparer Calculer

• Modéliser

• Raisonner

In dé te rm iné e

In connue

V a ria b le

Concepts

Une trame notionnelle ou/et de principes de fond

Notions et principes en réseau autour desquels s’articule la mise en œuvre des

contenus (notions) du programme.

Définie pour l’école obligatoire

Ne pas enseigner le formalismemais Apprendre à formaliser

• L’animal « canard »• Le mot « canard »• 3 Canards et 2

canards rassemblés• 3 + 2 • x• 2x + x

Abstraction croissante qui ne s’enseigne pas mais se construit par

avancées successives

LE NOMBRE

PERMANENCE

PROGRESSIVITE

Percevoir, exprimer, communiquer, formaliser la quantitéLes nombres définis par les problèmes qu’ils permettent de résoudre

ENJEU

D’APPRENTISSAGE

1

Vers l’abstraction pour

REEL MEZZO MODELE

b = a + c

b = 3/2xa

Exprimer un écart ou un rapport

S C H E M Ab

a

C

b

aProgressivité & permanence horizontale S

IMULTANÉITE

ENJEU

D’APPRENTISSAGE

2

Ne pas enseigner le formalisme

mais apprendre à formaliser

• On sait pour 3 combien pour 6 ?

• On sait pour 2 et 3, combien pour 5 ?

• Prendre une fraction de …• Reconnaître la

proportionnalité.• Quatrième proportionnelle• Durées, aires, Thalès …• Fonctions linéaires, affines

(proportionnalité des écarts).

Sens de la situation sans perception du « rapport »

Règles naturelles de proportion (discret)

Passage de a à b par la multiplication

Etendue des champs de pb et des règles

Linéarité (Passage au continu)

VERS LA PROPRTIONNALITE

M

E

Z

Z

O

PERMANENCE

PROGRESSIVITE

Multiplier les expériences et les activités

ENJEU

D’APPRENTISSAGE

3

Ne pas enseigner le formalisme

mais Apprendre à formaliser

• Des objets de diverses formes.

• Les formes géométriques.• Des étiquettes : carré, …• Un dessin de carré, …• Des « caractères » du

carré• Des propriétés attributs du

carré

Géométrie du toucher

Abstraction croissante qui ne s’enseigne pas …

Géométrie de l’observé

…Mais se construit par avancées successives

Géométrie du raisonné

LA GEOMETRIE

PERMANENCE

PROGRESSIVITE

Toucher, observer, raisonner

ENJEU

D’APPRENTISSAGE

4

Représenter en Géométrie : La Formeobjet – dessin – figure

Objet (à toucher)

Dessin (gribouillis puis précis à l’oeil)

Construction géométrique :Instruments et propriétés explicitesFigure géométrique : signifiante par codage

Forme à percevoir MEZZO

PERMANENCE

PROGRESSIVITE

ABSTRACTION

ENJEU

D’APPRENTISSAGE

5

Ne pas enseigner le formalismemais Apprendre à formaliser

• Le périmètre est la grandeur de la ficelle qui fait le tour

• Le périmètre se calcule en ajoutant 2 longueurs et 2 largeurs

• Traduction raccourcie Périmètre = 2 longueurs et 2 largeurs

• Traduction symbolique avec initiales P = 2 ( L + l)

• Expression symbolique y = 2x + 2z

Observations de faits

Formulations verbale

Traductions avec recherche d’économie : formules avec symboles

de calculs et lettres initiales des noms

Traduction symboliquelettre indéterminée

Traduire des relations numériques : LA FORMULE

PERMANENCE

PROGRESSIVITE

ABSTRACTION

ENJEU

D’APPRENTISSAGE

6

Traduire, transformer, traiter, interpréter …

MEZZO

Ne pas enseigner le formalismemais Apprendre à formaliser

• Dans une ferme il y a des chèvres et des poules. Il y a 34 pattes et 10 têtes. Combien ?

• Si les chèvres se mettent sur 2 pattes et les poules sur une patte on a moitié moins de pattes et autant de têtes. 17 pattes soit 7 pattes de plus que de têtes. Il y a 7 chèvres.

• x + y = 10 et 4x + 2y =34

SituationDifficulté à trouver une démarche de calculs

Exploration par essais erreurs

Schématisations figuratives vers symbolique

Traduction symboliqueTraduction conforme au

modèle algébriqueLa lettre inconnue

L’EQUATION : existe-t-il des valeurs pour que ?

PERMANENCE

PROGRESSIVITE

ABSTRACTION

La technique doit être au service du sens

ENJEU

D’APPRENTISSAGE

7

Obstacle :cœur des apprentissagesUn obstacle se caractérise par cinq paramètres :1.C'est une connaissance et non une absence de connaissance.2.Celle-ci permet de produire des réponses adaptées à certains problèmes ou classes de problèmes.3.Elle conduit à des réponses erronées dans d'autres situations.4.Très stable, elle présente une forte résistance à toute transformation et se manifeste de manière récurrente contre toute attente.5.La modification de cette connaissance est une nouvelle connaissance.

Psychologique EpistémologiqueDidactique Ontologique

Problèmes pour objectifs obstacles1. Tracer un rectangle de périmètre 14. Est-il possible de

tracer un rectangle ayant un périmètre plus petit que 14 et une aire plus grande que celle du rectangle tracé..

2. 3x4 = 12 Donner 10 autres produits (multiplications) égaux à 12.

3. On se sert de la suite des lettres de l'alphabet comme « file repère ». On a compté successivement G puis H objets. Combien de temps vous faut-il avec « cette file repère » pour énoncer le nombre total d'objets.

4. Comment effectuer la division de 145 par 12 en utilisant les touches + ou – ou x de la calculette mais sans utiliser la touche :

5. Quel est le nombre dont la division par 0,3 donne 0,4 ?

Comprendre le comportement d'un individu face à un problème

• Première position: En observant le comportement d’un individu face au problème, on est renseigné sur les connaissances de l'individu.

• Deuxième position : Certaines réactions d'individu apparemment aberrantes du point de vue de la connaissance ne le sont plus dés qu'on cherche à comprendre quelle idée il se fait de la situation dans laquelle il se trouve.

• Les comportements de toute personne sont déterminés par l'interaction entre la situation vécue et ses connaissances

• Contrat didactique : Ensemble des règles en général implicites qui déterminent les rôles respectifs de l'élève et du mâture dans la classe relativement au savoir.

• Repérer les règles du contrat c'est arriver à donner du comportement de l'élève des explications rationnelles et à intervenir alors qu'à priori ce comportement pourrait paraître irrationnel.

Chacun s’engage dans un problème à sa façon …

Vous devez aller puiser de l’eau à la rivière pour en verser 5 litres dans un évier. Vous disposez d’un seau de 7 litres et d’un seau de 3 litres. Comment procédez-vous ? (vous pouvez faire plusieurs voyages - ni l’évier ni les seaux ne sont gradués)

Je remplis à nouveau le pot de 7 litres

Avec le pot de 7 litres je remplis le pot de 3 litres, il reste 4 litres

Je vide le pot de 3 litres

Avec ce qui reste dans le pot de 7 litres je remplis le pot de 3 litres, il reste 1 litre

Je verse le litre qui reste dans l’évier

Je remplis le pot de 7 litres

Avec le pot de 7 litres je remplis le pot de 3 litres, il reste 4 litres

Je verse les 4 litres qui restent dans l’évier : ça fait 5 litres

Une procédure est toujours simple pour celui qui la comprise mais pour la comprendre il faut bien plus que la connaître et savoir la réciter ! Il faut

« l’évoquer », se la représenter, s’en donner un schème mental personnel intégrant un

ancrage notionnel, …

Situation didactique1 Temps d'effectuation seul (conflit cognitif: vivre un

enjeu).

2Temps de confrontation / coévaluation par binôme

(conflit socio-cognitif: mettre à l'épreuve ses conceptions)..

3

Temps de communication / d'argumentation en grand groupe (méta-cognition, conflit socio-cognitif : parler ses connaissances, les confronter pour leur donner le

statut de savoir).

4 Temps d'institutionnalisation (points de repères partagés par une communauté de scientifiques).

Il n’est pas suffisant d’écouter, de copier ni même d’être actif pour comprendre. On peut avoir été actif sans avoir appris !

Clarifications nécessaires en lien avec les mises en situations.

• Les concepts mathématiques n’ont de sens qu’en situations complexes. A l’origine ils ont pris progressivement forme dans des contextes « HORS » mathématiques. • Une approche métissée « découverte du monde », « repères culturels » et « abstraction/formalisation » est requise. • On apprend triplement découverte du monde, enracinement de sens et enrichissement notionnel.

• Avez vous déjà vu un maître nageur dans la piscine ?

• La réponse à cette question nous donne des réponses à d’autres questions …

?

Conséquence de l’hypothèse constructiviste sur les Apprentissages mathématiques :

Entrée par les situations complexes impliquant divers savoirs et une variété de

stratégies

Progression spiralée des apprentissages

1

4

7

2

3

9

10

11

8

5

12

6

SPIRALEEDécloisonné & croisé

1. Proportionnalité.2. Organisation et gestion de

données.3. Nombres entiers et

décimaux.4. Division, quotient.5. Figures planes, médiatrice,

bissectrice.6. Parallélépipède rectangle,

patron, représentation en perspective.

7. Symétrie axiale8. Longueurs, mesures,

durées.9. Angles.10.Aires : mesures,

comparaison et calculs.11.Volumes.12.Initiation au raisonnement

déductif.IllustrationProgramme de sixième

PRINCIPE

Approche en

interaction des savoirs

et le même savoir est

abordé en plusieurs fois

• Chaque chapitre n’est jamais traité d'un seul « bloc »… on revient à plusieurs reprises en des circonstances et avec des « voisinages notionnels » différents

• Tout est fait pour traiter de l’ancien au travers du nouveau, l’idée simpliste de révision est démontée

• On organise des opportunités pour croiser des savoirs de registres voire de disciplines différentes (réseaux de concepts, dialectique Outil - Objet).

Progressions spiralées Décloisonnée croisée

Première confrontationÀ la tâche complexe

Situations d’entraînement

Positionnement compétences d’année

Séances centrées sur des objectifs précis en réponse à des besoins

identifiés

Zone des apprentissages complexes

Zone des apprentissages ponctuels

Schéma d’organisation d’une séquence

Principes d’action conséquences

• Rapport à la DIFFICULTE.• Conceptions de ce qu’est APPRENDRE.

• Conceptions de ce qu’est REUSSIR.• Promotion du sentiment de COMPETENCE.• Conceptions de ce qu’est EVALUER.

Chef d’orchestre Contrôleur aérien

Instrumentiste Pilote

ENSEIGNANT

ELEVE