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Activités et terminologie Calcul intégral Compléments Exercices

Primitives et Intégrales

HARAU C.

21 janvier 2007

HARAU C. Primitives et Intégrales

Activités et terminologie Calcul intégral Compléments Exercices

Plan

1 Activités et terminologie

2 Calcul intégral

3 Compléments

4 Exercices


Activités et terminologie Calcul intégral Compléments Exercices Activités Terminologie Exercice

Sommaire

1 Activités et terminologieActivitésTerminologieExercice

2 Calcul intégralSymbole et écritureInterprétation géométrique de l’intégraleApplication

3 ComplémentsPropriétésMoyenne

4 ExercicesFreestyle 2Onduleur



Activités

Correction du premier exercice du contrôle de Sciences.



Activités

Correction du premier exercice du contrôle de Sciences.

Étude du freinage

Le freinage est un mouvement rectiligne uniformément décéléré (a < 0) avec unevitesse initiale v0 :

v = at + v0

Le véhicule, lancé à 144 km/h, s’arrête en 10 secondes.1 Calculer l’accélération du mouvement et en déduire la loi des vitesses.2 Déterminer la loi horaire x(t) telle que x ′ = v , en utilisant le tableau des dérivées.3 Calculer la distance de freinage.



Sommaire







Terminologie

Primitive

F est une primitive de f sur un intervalle I si, pour tout x de I, on a F ′(x) = f (x).

Remarque : Quelle différence faire entre une primitive et la primitive.

Trouver les primitives sur ] −∞; +∞[ des fonctions suivantes :

f : x 7→ 1

g : x 7→ 3x2 h : x 7→ x − 2



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Freinage

Dans le cas du freinage, la vitesse est donnée par v(t) = −4t + 40. En sachant quex(t) est une primitive de v(t), trouver x(t) la loi horaire du mouvement.


Activités et terminologie Calcul intégral Compléments Exercices Symbole et écriture Interprétation géométrique de l’intégrale Application

Sommaire







Symbole et écriture

Définition de l’intégrale

On appelle intégrale de a à b d’une fonction f , le nombre I tel que :

I =

Z b

af (x)dx = [F (x)]ba = F (b) − F (a)

où F est une primitive de la fonction f

Remarque :

le symbole I =R b

a se lit somme de a à b ou intégrale de a à b

la lettre x du symbole dx peut-être remplacée par tout autre lettre (sauf a et b)



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Interprétation géométrique de l’intégrale

Soit une fonction f , et F une de ses pri-mitives.Notons A l’aire délimitée par

la courbe

l’axe des abscisses

les droites d’équations x = a etx = b

Si f (x) ≥ 0 sur [a; b] alors A =

Z b

af (x)dx

Si f (x) ≤ 0 sur [a; b] alors A = −Z b

af (x)dx



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Application

Freestyle

On considère la rampe ci-contre. Sachant que la courbesupérieur a pour équation0, 5 × (x − 2)4.Déterminer la quantité depeinture nécessaire pourrepeindre la rampe.



Calcul de volume de révolution

Volume d’un cône

On considère un cône de rayon R et de hauteur h, soit l’axe de révolution du cône(x ′Sx), d’origine le sommet et orienté vers le bas.

1 Compléter le schéma en y ajoutant h et R.2 Exprimer en fonction de x le rayon de la section de

cône coupée par un plan horizontal passant par x .3 En déduire f (x) l’aire de ce disque.4 Donner l’intervalle où évolue x .5 Trouver le volume V du cône sachant que

V =

Z H

0f (x)dx

S



Calcul de volume de révolution

Volume d’une boule

On considère une boule de rayon R , soit un axe de révolution (x ′Ox), d’origine lecentre sommet et orienté vers le haut.

1 Exprimer en fonction de x le rayon de la section dela boule coupée en x perpendiculairement à l’axepar un plan horizontal.

2 En déduire f (x) l’aire de ce disque.3 Donner l’intervalle où évolue x .4 Trouver le volume V de la boule sachant que

V =

Z R

−Rf (x)dx

O


Activités et terminologie Calcul intégral Compléments Exercices Propriétés Moyenne

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Relation de ChaslesZ c

af (x)dx =

Z b

af (x)dx +

Z c

bf (x)dx

Linéarité de l’intégraleZ b

a(f (x) + g(x))dx =

Z b

af (x)dx +

Z b

ag(x)dx

Z b

akf (x)dx = k

Z b

af (x)dx

Z b

af (x)dx = −

Z a

bf (x)dx



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La valeur moyenne f , d’une fonction f , sur un intervalle [a; b] est donnée par la relation

f =1

b − a

Z b

af (x)dx.




f =1

b − a

Z b

af (x)dx.

Valeur moyenne de la tension du secteur sur une période.

L’expression d’une tension alternative sinusoïdale est :

u(t) = 325 sin(ωt) avec ω =2π

T

Calculer alors la valeur moyenne de u sur une période T = 0, 02s.




f =1

b − a

Z b

af (x)dx.

Valeur moyenne de la tension du secteur sur une période.

L’expression d’une tension alternative sinusoïdale est :

u(t) = 325 sin(ωt) avec ω =2π

T

Calculer alors la valeur moyenne de u sur une période T = 0, 02s.

Correction

La moyenne de u est donnée par la relation : u =1

T

Z T

0Um sin(ωt)dt.

une primitive de u est U(t) = −Um cos(ωt)

ω

Donc u =1

0, 02

»

−Um cos(ωt)

ω

–0,02

0= 0


Activités et terminologie Calcul intégral Compléments Exercices Freestyle 2 Onduleur

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Freestyle

On considère à nouveau larampe ci-contre. Sachant quela courbe supérieur a pouréquation 0, 5 × (x − 2)4.Soit la droite d’équationd1 : y = 5 Déterminer laquantité de peinture néces-saire pour repeindre la rampesi elle est tronquée des partiesqui se trouvent au-dessus ded1.



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La figure ci-dessous est l’oscillogramme obtenu aux bornes d’un onduleur :

1 Quelle est la période T du signal observé ?2 Déduisez-en la pulsation ω.3 La fonction de base étant la fonction u définie par :

u(t) = 220√

2 sin(100πt),calculez la valeur moyenne u du signal soit

u =1

T

Z 0,018

0,008220

√2 sin(ωt)dt


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