Principe de la conversion électromécanique d’énergie dans un système électromagnétique élémentaire

Structure élémentaire monophasée

Calcul du couple par les forces de Laplace

Calcul du couple par les travaux virtuels

Mise en évidence de l’équivalence avec la pression tangentielle

Synthèse

Diaporama préparation à l’agrégation de Génie ElectriqueBernard MULTON

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Principe de la conversion électromécanique d’énergie dans un système électromagnétique élémentaire

Structure élémentaire tournante monophasée cylindrique (longueur axiale L) :

- 1 paire de pôles- inducteur à aimants permanents- induit à une spire concentrée sans encoches

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Bernard MULTON

Inducteur (ici rotor)

pôle nord

pôle sud

culasse

arbre de transmission ou vide

Induit (ici stator)Axe du champ inducteur

spire d ’induit

culasseAxe du champ induit

Principe de la conversion électromécanique d’énergie dans un système électromagnétique élémentaire

Calcul du couple par les forces de Laplace

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Bernard MULTON

LF

ld.I

BB

Bd.IFL ∧= l

Simple et pratique,mais…attention aux pièges et aux situations inapplicables

Induction dans l’entrefer due à l’inducteur

Axe de référence (induit)

θPoint Mdansl’entrefer

ξ

Hypothèse : créneaux parfaits

4

Sauf pour θ = 0 :la force de Laplace exercée sur un conducteurest constante :F = I.BMax.L

ξ

BMax

-BMax

π/2 π

B en M

-π/2

Bernard MULTON

B = BMax

I

F

Forces de Laplace

Axe de référence (induit)

θξ

5

F

Pour tout θ compris entre - π/2 et π/2 :la force de Laplace exercée sur chaque conducteur vaut : F = I.BMax.L

F

En application du principe de réaction :un couple électromagnétiques’exerce sur le rotor

cem = - 2.(I.BMax.L) .R

(sens contraire de θ)avec R rayon moyen de l’entrefer

Bernard MULTON

I -I

θ

F

FI -I

Alimentation - autopilotage

Pour θ compris entre 0 et π,la force de Laplace reste constante.

Si I = Cte, elle s’annule pour θ = 0 et θ = πet s’inverse au-delà.

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Bernard MULTON

Il faut donc commuter le courant en θ = 0 et θ = π :

- 2.(IMax.BMax.L) .R

autopilotage

L’inversion de la forme d’onde du courant inverse le couple

Valeur moyenne :Cem ≅ - 2.BMax.R.L.IMaxθ

iIMax

-IMax

0 π-π

- cem

2π

Principe de la conversion électromécanique d’énergie dans un système électromagnétique élémentaire

Calcul du couple par les travaux virtuels

Pour un système monophasé tournant, on peut écrire :(l’inducteur ne convertit pas d ’énergie ici : son flux ne varie pas lors de la rotation)

θ∂θ∂

=),i(Wc

'em

emcem : couple électromagnétique

où est la coénergie de l ’induit),i(W'em θ ∫ θφ=θ

i

0

'em di).,i(),i(W

avec φ le flux total embrassé par le bobinage l’induit

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Bernard MULTON

Principe de la conversion électromécanique d’énergie dans un système électromagnétique élémentaire

Calcul du couple par les travaux virtuels

i.)(),i( f L+θφ=θφHyp. régime linéaire

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Bernard MULTON

Si L = Cte, la coénergie vaut :

avec : le flux inducteur et L l’inductance propre)(f θφ

2f

'em i.i).(),i(W L

21

+θφ=θ

θθφ

=θ∂

θ∂=

d)(d.i),i(Wc f

'em

emLe couple électromagnétique s ’exprime :

Rq. Bobinage constitué de n spires concentrées

ni..n)(.n),i(.n),i( f P+θϕ=θϕ=θφ

θθϕ

=d

)(d.nic fem

Flux embrassé par la spire d’induit

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Bernard MULTON

Pour θ = 0 : flux maximal

Une seule spire : ϕ = φAxe de référence (induit)

θξ

ξ

BMax

-BMax

π/2 π

B (ξ)

-π/2Ce qui donne :

).2.(L.R.B.2)( Maxf θ−π=θϕ

∫θ+

π

θ+π

−

ξξ=θϕ2

2

d.L.R).(B)( [ ] [ ] ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++=

θ+π

π

π

θ+π

−

2

2Max

2

2Max BB.L.R

Flux embrassé par la spire d’induit

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Axe de référence (induit)

Bernard MULTON

Pour θ = 0 : flux maximal(une seule spire n=1 : ϕ = φ )

θ

φf =ϕ fϕf_Max

π/2 π-π/2

π=ϕ=φ .L.R.BMaxMax_fMax_f

θ = 0θ

θ = π/2

Dérivée de l’onde de flux inducteur Couple électromagnétique

Pour maximiser le couple, il faut maximiser le produit

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θ

φfφf_Max

π/2 π-π/2

Bernard MULTON

iIMax

-IMax

θθφ

d)(d.i f

- cem

θ0 π-π 2π

Même résultat qu’avecforces de Laplace

Cem ≅ - 2.BMax.R.L.IMax

L.R.B.2d

)(dMax

Max

f =θθφ

Principe de la conversion électromécanique d’énergie dans un système électromagnétique élémentaire

Calcul du couple par la pression tangentielle

Tenseur de Maxwell : composante tangentielle de la pression magnétiqueou « pression tangentielle »

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Bernard MULTONélément de surface d’entrefer (interface rotor-stator)

FH

t

n

θ.2θ

)HH.(2

2t

2nn −

µ=σ

tntnt H.B:encoreouH.H.µ=σ

De la pression tangentielle au couple électromagnétique

S.A. NASAR, « Handbook of Electric Machines », Mc Graw Hill 1987

Pression magnétique tangentielle Force résultante Couple électromagnétique

tnT H.B=σ ∫σ= dS.F TT R.Fc Tem =

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cela pour une position relative rotor-stator donnée et des valeurs de courants données :c’est le « couple instantané » cem.La valeur moyenne Cem du couple sera obtenue par moyennage sur un cycle complet.

Induction moyenne et densité linéique de courant

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Bernard MULTON

Be = BMax

Be = MaxB2π

ξ

BMax

créneaux

ξ

BMax

sinus

Sous un pôledans une position relative θrotor-stator donnée,induction moyenne d’entrefer Be :

Be équivalent à Bn

Densité linéique de courant :

R.2I

AL π= ∑

La « somme » des courants efficacesdans tous les conducteurs se trouvantsur l’induit représente égalementune charge thermique.

AL équivalent à Ht

Pression tangentielle en fonction de l’induction moyenne et de la densité linéique de courant

Cas élémentaire précédent :induction d’entrefer en créneauxcourant en créneaux fonction de la position rotor-stator (autopiloté)

Par la force de Laplace : FT=2.(IMax.BMax.L)

Be = BMax R.I

R.2I.2

R.2I

A MaxeffL π

=π

=π

= ∑Or : et

On obtient alors : L.R.2.A.BF LMaxT π=

L.R.2Se π=avec la surface d’entrefer :

LeT A.B=σDans ce cas très particulier : 15

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