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Classe de Première STI2D - cours Marc Bizet - 1 - Probabilité - schéma de Bernoulli - loi binomiale 1. Probabilités Considérons une urne contenant des boules de 4 couleurs différentes : bleues (B), ivoires (I), rouges (R) et noires (N). Chaque boule porte les numéros 1 , 2 ou 3 . On effectue le tirage d’une boule « à l’aveugle », ces boules étant indiscernables au toucher. Une expérience aléatoire possède un univers constitué de toutes les évènements possibles, selon le critère observé. Si le critère porte sur la couleur : { } B,I,R,N Ω= Si le critère porte sur la valeur du numéro : { } 1 2 3 V ,V ,V Ω= Deux évènements A et B sont disjoints ou incompatibles si et seulement si A B =∅ : B et I par exemple. L’évènement contraire d’un évènement A d’un univers est l’évènement A constitué des éléments de n’appartenant pas à A : N B I R = ∪∪ par exemple. La probabilité d’un évènement A d’un univers est la somme de toutes les probabilité élémentaires qui constituent A. La probabilité de est 1 . Pour tout évènement A, ( ) 0 A 1 p . Un évènement élémentaire est un évènement possédant un seul élément : tirer une boule et observer sa couleur par exemple. L’évènement B possède donc 4 évènements élémentaires. L’équiprobabilité correspond au cas où tous les évènements élémentaires ont la même probabilité. Dans ce cas, la probabilité d’un évènement A est : () nombre d'éléments de A A nombre de cas possibles p = Par exemple : () 4 B 21 p = ou ( ) 1 6 2 V 21 7 p = = Pour tous évènements disjoints A et B, ( ) ( ) ( ) A B A B p p p = + Par exemple : ( ) () () 4 9 13 B I B I 21 21 21 p p p = + = + = ou ( ) ( ) ( ) 1 3 1 3 6 8 14 V V V V 21 21 21 p p p = + = + = Pour tout évènement A : ( ) ( ) A 1 A p p =

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Classe de Première STI2D - cours Marc Bizet

- 1 -

Probabilité - schéma de Bernoulli - loi binomiale

1. Probabilités

Considérons une urne contenant des boules de 4 couleurs

différentes : bleues (B), ivoires (I), rouges (R) et noires (N).

Chaque boule porte les numéros 1 , 2 ou 3 .

On effectue le tirage d’une boule « à l’aveugle », ces boules

étant indiscernables au toucher.

Une expérience aléatoire possède un univers Ω constitué de

toutes les évènements possibles, selon le critère observé.

Si le critère porte sur la couleur : B, I,R,NΩ=

Si le critère porte sur la valeur du numéro : 1 2 3V , V , VΩ=

Deux évènements A et B sont disjoints ou incompatibles si et seulement si A B∩ =∅ : B et I par

exemple.

L’évènement contraire d’un évènement A d’un univers Ω est l’évènement A constitué des éléments

de Ω n’appartenant pas à A : N B I R= ∪ ∪ par exemple.

La probabilité d’un évènement A d’un univers Ω est la somme de toutes les probabilité élémentaires

qui constituent A. La probabilité de Ω est 1 .

Pour tout évènement A, ( )0 A 1p≤ ≤ .

Un évènement élémentaire est un évènement possédant un seul élément : tirer une boule et

observer sa couleur par exemple. L’évènement B possède donc 4 évènements élémentaires.

L’équiprobabilité correspond au cas où tous les évènements élémentaires ont la même probabilité.

Dans ce cas, la probabilité d’un évènement A est :

( )nombre d'éléments de A

Anombre de cas possibles

p =

Par exemple : ( )4

B21

p = ou ( )16 2

V21 7

p = =

Pour tous évènements disjoints A et B, ( ) ( ) ( )A B A Bp p p∪ = +

Par exemple :

( ) ( ) ( )4 9 13

B I B I21 21 21

p p p∪ = + = + = ou ( ) ( ) ( )1 3 1 3

6 8 14V V V V

21 21 21p p p∪ = + = + =

Pour tout évènement A : ( ) ( )A 1 Ap p= −

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- 2 -

Pour tous évènements A et B : ( ) ( ) ( ) ( )A B A B A Bp p p p∪ = + − ∩

Exemples :

La probabilité de tirer soit une boule couleur ivoire, ou portant le numéro 1 est :

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1I V I V I V

9 6 3 12 4

21 21 21 21 7

p p p p∪ = + − ∩

= + − = =

La probabilité de tirer soit une boule qui ne soit pas noire, soit une boule portant le numéro 2 est :

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2N V N V N V

17 7 5 19

21 21 21 21

p p p p∪ = + − ∩

= + − =

Dans un arbre pondéré, la probabilité d’obtenir le résultat auquel conduit un chemin est égale au

produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin.

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2. Schéma de Bernoulli

Définition

On appelle épreuve de Bernoulli une expérience aléatoire dont on définit uniquement deux issues

possibles. La première issue est un "succès" de probabilité p et se note S , la seconde un "échec"

de probabilité 1 p− et se note S .

Lors du déroulement d'un jeu de plateau, un joueur est amené à lancer un dé tétraédrique ( 4 faces ).

S'il obtient 4 , son guerrier touche l'ennemi. Dans le cas contraire, il le manque.

Il s'agit d'une épreuve de Bernoulli dont le succès S est de toucher l'ennemi, avec ( ) 1

4p p S= = .

Lorsque l'on répète un certain nombre de fois la même épreuve de Bernoulli, on définit un schéma

de Bernoulli, que l'on illustre par un arbre.

Dans l'arbre qui suit, nous avons simulé les lancers successifs de 3 dés tétraédriques.

Nous étudierons deux issues :

• ( ), ,1 2 3S S S , qui correspond à deux succès et un échec ;

• ( ), ,1 2 3S S S , qui correspond à un échec, suivi d'un succès, ponctué d'un échec.

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Pour la répétition d'expériences identiques et indépendantes, la probabilité d'une liste de résultats

est le produit des probabilités de chaque résultat.

Ainsi :

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,1 2 3 1 2 3

1 1 3 31

4 4 4 64p S S S p S p S p S p p p= × × = × × − = × × =

• ( ) ( ) ( ), ,1 2 3

3 1 3 91 1

4 4 4 64p S S S p p p= − × × − = × × =

Exercice

Un représentant de commerce propose à la vente un produit. Une étude statistique a permis

d'établir que, chaque fois qu'il rencontre un client, la probabilité qu'il vende son produit est de ,0 2 .

On considère les transactions indépendantes. Dans une matinée, il rencontre 3 clients. Représenter

la situation par un arbre pondéré, et déterminer la probabilité qu'il vende deux produits dans la

matinée.

Nous sommes en présence d'un schéma de Bernoulli, avec une répétition d'expériences

indépendantes, identiques, avec deux issue (vente : V , non-vente : V ).

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La probabilité de l'évènement E : "il vend 2 produits dans une journée" est

( ) , , , , , , , , ,

, ,

,

2

E 0 2 0 2 0 8 0 2 0 8 0 2 0 8 0 2 0 2

3 0 2 0 8

0 096

p = × × + × × + × ×

= × ×=

3. Loi binomiale

Définition

Soit X la fonction qui, à chaque issue d'un schéma de Bernoulli à n épreuves, associe le nombre de

succès obtenus. On dit que X est la variable aléatoire associée à ce schéma de Bernoulli.

Cette variable peut prendre pour valeurs les entiers de 0 (aucun succès) à n (uniquement des

succès).

Définition

On appelle " X k= " l'évènement "on obtient k succès" et ( )P X k= la probabilité de cet

évènement. On appelle loi de X la donnée de chacune des valeurs de ( )P X k= pour toutes les

valeurs de k de 1 à n . On dit que X suit une loi binomiale de paramètres n et p . Cette loi est

notée ( );n pB

Dans l'exemple du représentant de commerce :

On définit une variable aléatoire X qui suit une loi binomiale de paramètres 3n = (3 visites de

clients) et ,0 2p = (probabilité de vendre).

Avec la commande Casio :

BinomialCD ( ), .3 0 2 → ( ). , . , . , .0 512 0 384 0 096 0 008

Avec la commande Texas :

Menu DISTR - binompdf ( ), .3 0 2 ( ). , . , . , .512 384 096 008→

Nous traduisons ce résultat par un tableau récapitulatif :

k 0 1 2 3

( )P X k= ,0 512 ,0 384 ,0 096 ,0 008

Le résultat ( ) ,2 0 096P X = = fait écho à l'exemple du sous-chapitre 2.

Grâce à ce tableau, il est aisé de déterminer la probabilité pour ce vendeur de vendre au moins un

article , qui est l'évènement contraire de ne pas en vendre un seul :

( ) ( ) , ,1 1 0 1 0 512 0 488P X P X≥ = − = = − =

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Définitions

Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres ( );n p .

On appelle espérance mathématique de X , et on note ( )E X , le nombre : ( )E X n p= ×

On appelle variance de X , et on note ( )V X , le nombre : ( ) ( )1V X n p p= × × −

On appelle écart-type de X , et on note ( )Xσ , le nombre : ( ) ( ) ( )1X V X n p pσ = = × × −

Reprenons l'exemple de notre vendeur :

• ( ) , ,3 0 2 0 6E X = × = . Ce résultat n'indique pas qu'il est certain de vendre ,0 6 produit par

matinée de travail, mais que sur un grand nombre de matinée, il peut s'attendre à en vendre

,0 6 en moyenne.

• ( ) , , ,3 0 2 0 8 0 48V X = × × =

• ( ) , ,0 48 0 69Xσ = ≃

Exemple

Une compagnie aérienne constate sur l'une de ses lignes régulières, pour une personne ayant réservé

sa place sur un vol, la probabilité qu'elle se présente à l'embarquement est ,0 92p = . La compagnie

estime que la présence d'une personne est indépendante de la présence des autres voyageurs (c'est

un parti pris, puisque les gens peuvent voyager en famille, mais ce paramètre est pris en compte

dans le choix de p ). La compagnie prend 140 réservations alors que l'avion ne possède que 136

places assises (technique du surbooking). On souhaite déterminer la probabilité que la compagnie

soit prise en défaut, donc que plus de 136 personnes se présentent.

Chaque épreuve (vente d'un billet) a 2 issues : le voyageur se présente, ou pas. Il s'agit d'une épreuve

de Bernoulli. On répète 140 fois cette épreuve de manière indépendante. Il s'agit bien d'un schéma

de Bernoulli.

On définit la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès, c'est à dire le nombre de

personnes se présentant au décollage.

X suit une loi binomiale de paramètres ( ); ,140 0 92 .

Casio : BinomialCD ( ), , . .136 140 0 92 0 99675→ , et on lit la 136ème

valeur.

Texas : DISTR : binomcdf ( ), . ,140 0 92 136 .0 99675→

On a donc : ( ) ,136 0 997P X ≤ ≃ donc ( ) , ,136 1 0 997 0 003P X > = − = .

La compagnie prend peu de risques avec sa politique de "surbooking".

Déterminons l'espérance de X , qui correspond à la moyenne attendue de voyageurs se présentant

au décollage :

( ) , ,140 0 92 128 8E X n p= × = × = .