Probabilités et Statistique - Académie de Dijonmathematiques.ac-dijon.fr/_stages/lycee/probabilites_statistique/... · Estimation Probabilités et Statistique Académie de Dijon

Lois à densitéLoi normale

Utilisation de la loi normaleÉchantillonnage

Estimation

Probabilités et Statistique

Académie de Dijon

Formation académique 2012-2013

28 novembre 2012

Académie de Dijon Probabilités et Statistique



Estimation

IntroductionÉléments théoriquesLois uniformes, espéranceLoi exponentielle

Contenu

1 Lois à densité, loi uniforme, loi exponentielle

2 Introduction à la loi normale

3 Utilisation de la loi normale

4 Intervalle de fluctuation asymptotique pour une binomiale

5 Estimation




Estimation


Introduction de la loi uniforme sur [0 ;1[

selon le document d’accompagnement 2002

1. SoitΩ= E2 l’ensemble des réels de [0;1[ dont l’écriture décimalecomporte au plus deux chiffres après la virgule.On choisit au hasard un nombre dansΩ .a. Quelle est la probabilité de chaque nombre ?b. Quelle est la probabilité de l’événement A = x ∈Ω/x ∈ [0,3;0,7[ ?c. Si α et β sont deux éléments deΩ , quelle est la probabilité de

B = x ∈Ω/x ∈ [

α,β[

?

2. SoitΩ= Ek l’ensemble des réels de [0;1[ dont l’écriture décimalecomporte au plus k chiffres après la virgule. On choisit encore auhasard un nombre dansΩ . Mêmes questions.

3. SiΩ= [0;1[ , comment peut-on répondre aux mêmes questions ?




Estimation


Introduction à la notion de fonction de densité

Une enquête téléphonique auprès des clients d’une banque dont les mensualités de rembourse-ment de crédit à la consommation sont comprises entre 100 et 400 euros par mois a été réalisée.Partie AVoici la répartition des mensualités par classe d’amplitude 50

Intervalle [100 ;150[ [150 ;200[ [200 ;250[ [250 ;300[ [300 ;350[ [350 ;400[Fréquence 0,443 0,223 0,133 0,089 0,063 0,049

1. Tracer un histogramme d’aire totale égale à 1 unité.

2. On interroge au hasard une des personnes auprès desquelles a été réalisée l’enquête. On choisit

comme loi de probabilité sur l’univers de cette expérience aléatoire, la distribution des

fréquences donnée par le tableau et on appelle X la variable aléatoire qui représente le montant

mensuel du remboursement.

a. Quel est l’ensemble des valeurs prises par X ?b. Déterminer la probabilité de chacun des événements : (X < 200) ; (200 É X < 350)c. Pouvez-vous déterminer P (120 É X < 150) et P (180 É X < 220) ?

d. Que pensez-vous de la probabilité P (X = 168,17) ?




Estimation



Partie BVoici des résultats de l’enquête plus précis, les classes sont d’amplitudes 10.On note Ik l’intervalle [10k;10k +10[ avec k un entier compris entre 10 et 39.

I10 I11 I12 I13 I14 I15 I16 I17 I18 I190,121 0,101 0,085 0,073 0,063 0,056 0,049 0,044 0,039 0,035

I20 I21 I22 I23 I24 I25 I26 I27 I28 I290,032 0,029 0,026 0,024 0,022 0,021 0,019 0,018 0,016 0,015

I30 I31 I32 I33 I34 I35 I36 I37 I38 I390,014 0,013 0,013 0,012 0,011 0,011 0,010 0,010 0,009 0,009

1. Calculer P (120 É X < 150) et P (180 É X < 220) et comparer avec les résultats de la partie A.

2. Pouvez-vous calculer P (124,5 É X < 141,3) ?

3. Voici l’histogramme avec des intervalles d’amplitude 10, d’aire totale 1




Estimation



0 50 100 150 200 250 300 350 400 450

0.01




Estimation



On peut définir une fonction f10 en escalier sur l’intervalle [100;400[ à l’aide du tableausuivant :

x ∈ I10 I11 I12 I13 I14 I15 I16 I17 ...f (x) = 0,121 0,101 0,085 0,073 0,063 0,056 0,049 0,044 ...

On peut remarquer que l’aire sous la courbe de la fonction f10 est égale à l’aire del’histogramme et est égale à 1.Dans ce cas, pour tout réel a, b tel que 100 < a < b < 400, on peut définir la probabilité de

l’événement (a É X É b) par l’aire du domaine plan défini par

a É x É b

0 É y É f10(x)En utilisant des intervalles d’amplitude m de plus en plus petite, on peut construire deshistogrammes d’aire totale égale à 1 et une fonction continue et positive f tels que leshistogrammes seront de plus en plus proches du domaine plan « sous la courbe » de lafonction f .On appelle cette courbe : « courbe de tendance de l’histogramme ».Et ici on peut prendre la fonction f définie sur [100 ;400] par f (x) = 400

3x2 . On peut définir la

probabilité de l’événement (a É X É b) par l’aire du domaine plan défini par

a É x É b

0 É y É f (x)




Estimation



En utilisant des intervalles d’amplitude m de plus en plus petite, on peut construire deshistogrammes d’aire égale à 1 et une fonction continue f tel que les histogrammes seront deplus en plus proche du domaine plan « sous la courbe » de la fonction f .On appelle cette courbe : « courbe de tendance de l’histogramme ».Et ici on peut prendre la fonction f définie sur [100 ;400] par f (x) = 400

3x2 . On peut définir la

probabilité de l’événement (a É X É b) par l’aire du domaine plan défini par

a É x É b

0 É y É f (x)

a. Comment calculer la probabilité de la question 2) à l’aide de lafonction f ? Faire les calculs.

b. Justifier sans calcul les résultats suivants en donnant uneinterprétation des intégrales en termes de probabilités :

• ∫ 400100 f (t )dt = 1

• Pour tout réel a et b tels que 100 É a É b É 400, 0 É ∫ ba f (t )dt É 1.




Estimation


variable aléatoire suivant une loi à densité

DéfinitionSoitΩ un univers associé à une expérience aléatoire, et muni d’une probabilité, etX :Ω→R une variable aléatoire qui associe à chaque issue un nombre réel d’unintervalle I = [a;b] de R .On appelle fonction de densité de probabilité sur l’intervalle I , toute fonction f

définie, continue et positive sur I telle que∫ b

af (t )dt = 1 .

Une variable aléatoire suivant une loi à densité X sur un intervalle I est définiepar la donnée d’une fonction de densité de probabilité f définie sur I .(On étendra par la suite cette définition lorsque I est un intervalle quelconque.)La probabilité de l’événement X ∈ J est définie comme l’aire du domaineM(x, y), x ∈ J et 0 É y É f (x) où f désigne la fonction de densité de la loi et J unintervalle inclus dans I .

En particulier, si J = [α;β], on a : P (αÉ X Éβ) =∫ β

αf (t )dt .




Estimation


Exercices d’assimilation sur les lois à densité

a. Soit I = [1;10] et une variable aléatoire X dont la loi a pour densité f avecf (t ) =λt−2 .Déterminer λ .

b. Soit I = [1;+∞[ et une variable aléatoire X dont la loi a pour densité f avecf (t ) =λt−2 .Déterminer λ .

c. Soit I = [0;1] et une variable aléatoire X dont la loi a pour densité f sur I avecf (t ) = 2t .Calculer P (X ∈ [0,25;0,75]) .Calculer m tel que si on choisit un nombre dans I suivant cette loi, laprobabilité qu’il soit inférieur à m soit égale à 0,5.

d. Soit I = [0;+∞[ et une variable aléatoire X dont la loi a pour densité f avecf (t ) = 2e−2t .Calculer P (X ∈ [n,n +1]) .Calculer m tel que si on choisit un nombre dans I suivant cette loi, laprobabilité qu’il soit inférieur à m soit égale à 0,5.

Exercices tirés du cédérom d’accompagnement des programmes 2002




Estimation


Lois uniformes

Définition

Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur I = [a,b] si elleprend ses valeurs sur I et si sa densité est constante sur I .

Remarque

Cette constante vaut alors 1b−a et, pour tout intervalle J ⊂ I ,

P (X ∈ J ) = longueur de Jlongueur de I .

En particulier, pour la loi uniforme sur [0;1], la densité est égale à 1et, pour tout x de [0;1], P (X É x) = x.




Estimation


Lois uniformes

Définition

Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur I = [a,b] si elleprend ses valeurs sur I et si sa densité est constante sur I .

Remarque

Cette constante vaut alors 1b−a et, pour tout intervalle J ⊂ I ,

P (X ∈ J ) = longueur de Jlongueur de I .

En particulier, pour la loi uniforme sur [0;1], la densité est égale à 1et, pour tout x de [0;1], P (X É x) = x.




Estimation


Espérance d’une variable aléatoire suivant une loi àdensité

Définition

L’espérance mathématique d’une variable aléatoire suivant une loi

de densité f sur [a,b] est définie par : E(X ) =∫ b

at f (t )dt .

Théorème

L’espérance mathématique d’une variable aléatoire qui suit la loi

uniforme sur [a,b] est : E(X ) = a +b

2.




Estimation


Espérance d’une variable aléatoire suivant une loi àdensité

Définition

L’espérance mathématique d’une variable aléatoire suivant une loi

de densité f sur [a,b] est définie par : E(X ) =∫ b

at f (t )dt .

Théorème

L’espérance mathématique d’une variable aléatoire qui suit la loi

uniforme sur [a,b] est : E(X ) = a +b

2.




Estimation


Exercices autour de lois uniformes

Exercice 1 :Montrer que si une variable U suit la loi uniforme sur [0;1], alors la variableX = (b −a)U +a suit la loi uniforme sur [a,b].

Exercice 2 : (approfondissement)X et Y sont deux variables indépendantes* qui suivent chacune la loi uniformedans [0;1].Déterminer la loi des variables :

• S = X +Y ;

• T = min(X ,Y ) ;

• U = |Y −X | .

* : Attention, la notion de variables indépendantes n’est pas au programme.




Estimation


Exercices autour de lois uniformes

Exercice 1 :Montrer que si une variable U suit la loi uniforme sur [0;1], alors la variableX = (b −a)U +a suit la loi uniforme sur [a,b].

Exercice 2 : (approfondissement)X et Y sont deux variables indépendantes* qui suivent chacune la loi uniformedans [0;1].Déterminer la loi des variables :

• S = X +Y ;

• T = min(X ,Y ) ;

• U = |Y −X | .

* : Attention, la notion de variables indépendantes n’est pas au programme.




Estimation


Introduction aux lois à densité à partir de lois uniformes(séries S, STI2D)

Soit O(0,0) , I (1,0) , J (0,1) .On choisit au hasard un point M sur le segment [OI ] selon la loi uniformesur ce segment. Cela revient à dire que son abscisse x suit la loi uniformesur [0;1].On pose T =O J M , exprimé en degré.

1. Quelles sont les valeurs prises par T ?

2. Calculer P (a É T É b) , pour 0 É a É b É 45.

3. Vérifier qu’il existe une fonction continue f telle que, pour

0 É a É b É 45 , on a : P (a É T É b) =∫ a

bf (x)d x.

4. Mêmes questions si l’abscisse de M est choisie au hasard sur lademi-droite [0;+∞[ .




Estimation


Problème de la rencontre

Énoncé

Roméo et Juliette ont rendez-vous sur la Place aux Herbes de Vérone en-tre 8h et 9h du soir. Chacun des amoureux décide de façon aléatoire deson instant d’arrivée, dans la tranche horaire considérée.Sachant que chacun des deux n’attend pas l’autre plus d’un quartd’heure, on s’intéresse à la probabilité p que la rencontre ait lieu. (Onsuppose que p existe.)

Simulation Suivant la modélisation, on obtient1

4< p < 5

8ou p = 7

16




Estimation


Problème de la rencontre

Énoncé

Roméo et Juliette ont rendez-vous sur la Place aux Herbes de Vérone en-tre 8h et 9h du soir. Chacun des amoureux décide de façon aléatoire deson instant d’arrivée, dans la tranche horaire considérée.Sachant que chacun des deux n’attend pas l’autre plus d’un quartd’heure, on s’intéresse à la probabilité p que la rencontre ait lieu. (Onsuppose que p existe.)

Simulation Suivant la modélisation, on obtient1

4< p < 5

8ou p = 7

16




Estimation


Activité d’approche (modélisation discrète d’un processusde Poisson) (Séries S et STI2D)

On choisit n nombres entiers naturels au hasard dans l’intervalle [1,n] Soit X la variablealéatoire associée au plus petit de ces n entiers naturels.

1. Un exemple : 100 personnes arrivent au hasard à l’instant t ∈ [1;100], t entier naturel

X est la variable aléatoire associée à l’instant d’arrivée t0 de la première personne.

a. Simuler une expérience avec un tableur.

b. Simuler 1000 expériences. Simulation

2. Cas général : n est un entier naturel quelconque

a. Déterminer P (X = 1).b. Déterminer pour k entier naturel, k ∈ [1,n], P (X É k) .

c. Quelle est la limite de la suite (un ) définie par un =(

n−kn

)n?

d. En déduire que pour n suffisamment grand, P (X É k) ≈ 1−e−k

e. Déterminer une fonction f telle que∫ k

0f (x)dx = 1−e−k et telle que f soit une

densité de probabilité sur [0;+∞[. c ;




Estimation


Activité d’approche (modélisation discrète d’un processusde Poisson) (Séries S et STI2D)

On choisit n nombres entiers naturels au hasard dans l’intervalle [1,n] Soit X la variable aléatoire associée au plus petit deces n entiers naturels.

1. Un exemple : 100 personnes arrivent au hasard à l’instant t ∈ [1;100], t entier naturel

X est la variable aléatoire associée à l’instant d’arrivée t0 de la première personne.

a. Simuler une expérience avec un tableur.

b. Simuler 1000 expériences. Simulation

2. Cas général : n est un entier naturel quelconque

a. Déterminer P (X = 1).b. Déterminer pour k entier naturel, k ∈ [1,n], P (X É k) .

c. Quelle est la limite de la suite (un ) définie par un =(

n−kn

)n?

d. En déduire que pour n suffisamment grand, P (X É k) ≈ 1−e−k

e. Déterminer une fonction f telle que∫ k

0f (x)dx = 1−e−k et telle que f soit une densité de probabilité sur [0;+∞[.

c ;

Conclusion : on a étudié une variable aléatoire discrète qui tend asymptotiquement vers unevariable aléatoire qui suit la loi exponentielle




Estimation


loi exponentielle de paramètre λ (Séries S et STI2D)

Définition

Soit λ un réel strictement positif fixé. On dit que la variablealéatoire T à valeurs dans [0;+∞[ suit la loi exponentielle deparamètre λ si sa loi admet la densité f : x →λe−λx sur [0;+∞[.

C’est à dire, pour tout t Ê 0, P (T É t ) =∫ t

0λe−λx d x = 1−e−λt .

Théorème

Soit T une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle deparamètre λ . En admettant que son espérance est calculée par

E(T ) = limt→+∞

∫ t

0λxe−λx d x, on a : E(T ) = 1

λ.




Estimation


loi exponentielle de paramètre λ (Séries S et STI2D)

DéfinitionSoit λ un réel strictement positif fixé. On dit que la variable aléatoire T à valeurs dans [0;+∞[suit la loi exponentielle de paramètre λ si sa loi admet la densité f : x →λe−λx sur [0;+∞[.

C’est à dire, pour tout t Ê 0, P (T É t ) =∫ t

0λe−λx d x = 1−e−λt .

Théorème

Soit T une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle deparamètre λ . En admettant que son espérance est calculée par

E(T ) = limt→+∞

∫ t

0λxe−λx d x, on a : E(T ) = 1

λ.




Estimation


Loi de durée sans vieillissement (Séries S et STI2D)

Définition

Soit T une variable aléatoire définie sur [0;+∞[ . On pose, pour toutréel t Ê 0 , F (t ) = P (T É t ) et G(t ) = 1−F (t ) (fonction de survie). Ondit que T a une loi de durée de vie sans vieillissement si elle satisfaitaux deux axiomes suivants :

G est dérivable en 0 ; on pose alors G ′(0) =−λ, avec λ> 0(puisque G est décroissante) ;

pour tous t et h strictement positifs :P(TÊt )(T Ê t +h) = P (T Ê h)

ThéorèmeSoit T une variable aléatoire définie sur [0;+∞[ . Si T suit une loi exponentielle de paramètre λ , alors T a une loi de duréesans vieillissement.(Hors programme, Approfondissement) Réciproquement, si T a une loi de durée sans vieillissement, alors T suit une loiexponentielle de paramètre λ=−G′(0) , en posant G(t ) = P (T > t ) .




Estimation



DéfinitionSoit T une variable aléatoire définie sur [0;+∞[ . On pose, pour tout réel t Ê 0 ,F (t ) = P (T É t ) et G(t ) = 1−F (t ) (fonction de survie). On dit que T a une loi de durée de viesans vieillissement si elle satisfait aux deux axiomes suivants :

G est dérivable en 0 ; on pose alors G ′(0) =−λ, avec λ> 0 (puisque G est décroissante) ;

pour tous t et h strictement positifs : P(TÊt )(T Ê t +h) = P (T Ê h)

Théorème

Soit T une variable aléatoire définie sur [0;+∞[ . Si T suit une loiexponentielle de paramètre λ , alors T a une loi de durée sansvieillissement.(Hors programme, Approfondissement) Réciproquement, si T aune loi de durée sans vieillissement, alors T suit une loiexponentielle de paramètre λ=−G ′(0) , en posant G(t ) = P (T > t ) .




Estimation



DéfinitionSoit T une variable aléatoire définie sur [0;+∞[ . On pose, pour tout réel t Ê 0 , F (t ) = P (T É t ) et G(t ) = 1−F (t ) (fonction desurvie). On dit que T a une loi de durée de vie sans vieillissement si elle satisfait aux deux axiomes suivants :

G est dérivable en 0 ; on pose alors G′(0) =−λ, avec λ> 0 (puisque G est décroissante) ;

pour tous t et h strictement positifs : P(TÊt )(T Ê t +h) = P (T Ê h)

ThéorèmeSoit T une variable aléatoire définie sur [0;+∞[ . Si T suit une loi exponentielle de paramètre λ , alors T a une loi de duréesans vieillissement.(Hors programme, Approfondissement) Réciproquement, si T a une loi de durée sans vieillissement, alors T suit une loiexponentielle de paramètre λ=−G′(0) , en posant G(t ) = P (T > t ) .

Remarque : le paramètre λ s’interprète alors comme étant le flux constant de décroissance de T , puisque pour tout t , on a :

λ= G′(t )G(t ) . Si T représente une durée de vie, alors λ s’interprète comme le taux de « mort subite ».




Estimation


Simulation d’une loi exponentielle (Séries S et STI2D)

Exercice :

Soit λ un réel strictement positif donné.

Montrer que si une variable U suit la loi uniforme sur [0;1[,

alors la variable T =− 1

λln(1−U ) suit la la loi exponentielle de

paramètre λ .

Vérifier ce résultat à l’aide d’une simulation.Simulation




Estimation


Simulation d’une loi exponentielle (Séries S et STI2D)

Exercice :

Soit λ un réel strictement positif donné.

Montrer que si une variable U suit la loi uniforme sur [0;1[,

alors la variable T =− 1

λln(1−U ) suit la la loi exponentielle de

paramètre λ .

Vérifier ce résultat à l’aide d’une simulation.Simulation




Estimation

Moivre-LaplaceÉléments théoriques sur les lois normales

Contenu





5 Estimation




Estimation


Variable centrée réduite

On dit qu’une variable aléatoire est centrée si elle a une espéranceégale à 0, et réduite si elle a un écart-type égal à 1.On peut remarquer que si X est une variable aléatoire admettant

une espérance m et un écart-type σ> 0, alors la variable Z = X −m

σest la variable centrée et réduite de X .En particulier, si Xn suit la loi binomiale B(n, p), alors la variable

centrée réduite associée est Zn = Xn −np√np(1−p)

.

Ses paramètres (espérance et écart-type) ne dépendent ni de n nide p.




Estimation


Variable centrée réduite

On dit qu’une variable aléatoire est centrée si elle a une espéranceégale à 0, et réduite si elle a un écart-type égal à 1.On peut remarquer que si X est une variable aléatoire admettant

une espérance m et un écart-type σ> 0, alors la variable Z = X −m

σest la variable centrée et réduite de X .En particulier, si Xn suit la loi binomiale B(n, p), alors la variable

centrée réduite associée est Zn = Xn −np√np(1−p)

.

Ses paramètres (espérance et écart-type) ne dépendent ni de n nide p.




Estimation


Variable centrée réduite d’une variable binomiale

−10 10 20 30 40 50 60

0.15

0

B(50;0,68)

Simulation




Estimation


Vers le Théorème de Moivre-Laplace

Introduction

On a remarqué que pour les « grandes binomiales », le diagramme étaitsymétrique et avait une forme plus ou moins en « cloche ».Sur ce graphique, on a représenté la courbe représentative de la densité deprobabilité de la loi normale centrée réduite et les diagrammes en bâtonsdes variables aléatoires suivantes :

X suivant une loi binomiale B(n, p).

Y = X −np (Variable centrée). [invisible sur la diapositive]

Z = X−nppnp(1−p)

(Variable centrée réduite).

Le graphique est-il convaincant ?




Estimation



ActivitéSoit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n, p).On sait que E(X ) = np et que V (X ) = np(1−p)

On pose Z = X−nppnp(1−p)

, on montrera que E(Z ) = 0 et V (Z ) = 1.

1. Cas particulier : X ∼B(100,0,4)

On pose Z = X−40p24

a. Justifier que la variable aléatoire Z prend les valeurs suivantes : zk = k−40p24

,

où k est un entier naturel tel que 0 É k É 100.b. Quel est l’écart entre deux valeurs consécutives zk et zk+1 ?c. On désire représenter la variable Z par un histogramme d’aire totale égale

à 1 (comme une loi à densité), chaque rectangle sera centré en zk (définiedans la question a), de largeur 1

σ = 1p24

, d’aire P (Z = zk ) = P (X = k).

Montrer que la hauteur est P (X = k)×p24.




Estimation



Activité2. Cas général :

a. Justifier que la variable aléatoire prend les valeurs suivantes : zk = k−nppnp(1−p)

, où k est

un entier naturel tel que 0 É k É n.b. Quel est l’écart entre deux valeurs consécutives zk et zk+1 ?c. Représentation graphique :

On désire représenter la variable Z par un histogramme ( comme une loi àdensité),chaque rectangle centré en zk ( définie dans la question 1) , de largeur 1

σd’aire P (Z = zk ) = P (X = k).Montrer que la hauteur est P (X = k)×σ.

Avec geogebra, créer successivement

Un curseur n allant de 10 à 1000Un curseur p allant de 0 à 1Les nombres m = np et s= sqrt(np(1−p))Absci sse=Séquence[(k-m)/s,k,0,n]Pr oba=Séquence[Combinaison[n, k] pˆk (1 - p)ˆ(n - k), k, 0, n]OU Pr oba= Séquence[Binomiale[n,p,false],k,0,n]H= Barres[Absci sse, Pr oba*s]

Faire varier n et p. Que peut-on observer ?

d. On introduit la fonction f : x 7→ 1p2π

e− x2

2 . Représenter f sur la même figure que l’histogramme.

Que constate-t-on ?




Estimation




a. Justifier que la variable aléatoire prend les valeurs suivantes : zk = k−np√np(1−p)

, où k est un entier naturel tel que

0 É k É n.b. Quel est l’écart entre deux valeurs consécutives zk et zk+1 ?c. Représentation graphique :

On désire représenter la variable Z par un histogramme ( comme une loi à densité),chaque rectangle centré en

zk ( définie dans la question 1) , de largeur 1σ d’aire P (Z = zk ) = P (X = k).

Montrer que la hauteur est P (X = k)×σ.





e−x22 . Représenter f sur la même figure que

l’histogramme.Que constate-t-on ?




Estimation




a. Justifier que la variable aléatoire prend les valeurs suivantes : zk = k−np√np(1−p)

, où k est un entier naturel tel que

0 É k É n.b. Quel est l’écart entre deux valeurs consécutives zk et zk+1 ?c. Représentation graphique :

On désire représenter la variable Z par un histogramme ( comme une loi à densité),chaque rectangle centré en

zk ( définie dans la question 1) , de largeur 1σ d’aire P (Z = zk ) = P (X = k).

Montrer que la hauteur est P (X = k)×σ.





e−x22 . Représenter f sur la même figure que

l’histogramme.Que constate-t-on ?




Estimation



ActivitéFichier Geogebra obtenu




Estimation


Approche graphique du Théorème de Moivre-Laplace

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

0.2

0.4

0

f (x) = 1p2π

e−x2

2

Histogramme B(n, p)

n = 490

p = 0.25

Figure dynamique




Estimation


Planche de Galton




Estimation


Théorème de De Moivre-Laplace

Théorème (admis en Terminale)

Soit Xn une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n, p), et

Zn = Xn −np√np(1−p)

la variable centrée réduite associée à Xn .

Alors pour tous réels a et b tels que a É b,

limn→+∞P (a É Zn É b) =

∫ b

a

1p2π

e−x2

2 dx.

Remarque : Abraham De Moivre a démontré ce résultat en 1733 dans lecas particulier p = 0,5 , en utilisant de façon décisive la formule de Stirling(ce qui explique la présence du coefficient 1p

2π: voir le document

ressource). Le résultat a été généralisé en 1812 par Pierre-Simon deLaplace. Introduction en STI2D




Estimation


Théorème de De Moivre-Laplace

Théorème (admis en Terminale)

Soit Xn une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n, p), et

Zn = Xn −np√np(1−p)

la variable centrée réduite associée à Xn .

Alors pour tous réels a et b tels que a É b,

limn→+∞P (a É Zn É b) =

∫ b

a

1p2π

e−x2

2 dx.

Remarque : Abraham De Moivre a démontré ce résultat en 1733 dans lecas particulier p = 0,5 , en utilisant de façon décisive la formule de Stirling(ce qui explique la présence du coefficient 1p

2π: voir le document

ressource). Le résultat a été généralisé en 1812 par Pierre-Simon deLaplace. Introduction en STI2D




Estimation


loi normale centrée réduite

Définition

Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite, notéeN (0,1) si, pour tous réels a et b tels que a É b, on a :

P (a É X É b) =∫ b

a

1p2π

e−x2

2 dx.

La fonction f définie sur R par f (x) = 1p2π

e−x2

2 est appelée la

fonction de densité de la loi N (0,1).

Propriétés immédiates

La fonction f est continue sur R, paire.

L’aire totale sous la courbe de f est égale à 1, elle représente laprobabilité P (X ∈]−∞;+∞[).

Pour tout réel u, P (X É−u) = 1−P (X É u) = P (X Ê u), et siu > 0, P (−u É X É u) = 2P (0 É X É u).Académie de Dijon Probabilités et Statistique



Estimation



DéfinitionUne variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite, notée N (0,1) si, pour tous réels

a et b tels que a É b, on a : P (a É X É b) =∫ b

a

1p2π

e−x22 dx.


e−x22 est appelée la fonction de densité de la loi

N (0,1).


La fonction f est continue sur R, paire.

L’aire totale sous la courbe de f est égale à 1, elle représente laprobabilité P (X ∈]−∞;+∞[).

Pour tout réel u, P (X É−u) = 1−P (X É u) = P (X Ê u), et siu > 0, P (−u É X É u) = 2P (0 É X É u).




Estimation



DéfinitionUne variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite, notée N (0,1) si, pour tous réels

a et b tels que a É b, on a : P (a É X É b) =∫ b

a

1p2π

e−x22 dx.


e−x22 est appelée la fonction de densité de la loi

N (0,1).


La fonction f est continue sur R,paire.

L’aire totale sous la courbe de f estégale à 1, elle représente laprobabilité P (X ∈]−∞;+∞[).

Pour tout réel u, P (X É−u) =1−P (X É u) = P (X Ê u), et si u > 0,P (−u É X É u) = 2P (0 É X É u).

−4 −2 20

0.2

0.4

0

f (x) = 1p(2π)

e−x22




Estimation


Théorème

Si X est une variable aléatoire suivant la loi normale N (0,1) alors,pour tout réel α ∈ ]0,1[, il existe un unique réel positif uα tel queP (−uα É X É uα) = 1−α.

Démonstration (exigible)

...




Estimation


Théorème

Si X est une variable aléatoire suivant la loi normale N (0,1) alors, pour tout réel α ∈ ]0,1[, il existe un unique réel positif uαtel que P (−uα É X É uα) = 1−α.


Notons f la fonction définie sur R par f (x) = 1p2π

e−x22 .

Par symétrie de la courbe de f ( f est une fonction paire) :

P (−u É X É u) = 2∫ u

0f (x)dx.

Par théorème, f étant continue et positive sur I = [0;+∞[, la fonction F définie par

F (u) = 2∫ u

0f (x)dx est la primitive de 2 f sur I qui s’annule en 0.

Donc F est continue et strictement croissante sur I .De plus, lim

u→+∞F (u) = 1.

Comme α ∈]0;1[, 1−α ∈]0;1[. D’après le corollaire du théorème des valeursintermédiaires étendu aux intervalles non bornés, il existe un unique réel uα telque F (uα) = 1−α, c’est à dire tel que P (−uα É X É uα) = 1−α.




Estimation


Quelques valeurs à faire retenir en Terminale S

• u0,05 ≈ 1,96

• u0,01 ≈ 2,58.

Quelques valeurs à faire retenir en Terminale ES-L

P (X ∈ [−1,96;1;96]) ≈ 0,95

Théorème (Terminale S)

Soit X une variable aléatoire qui suit la loi N (0,1).On définit l’espérance par

E(X ) = limx→−∞

∫ 0

xt f (t )dt + lim

y→+∞

∫ y

0t f (t )dt .

Ainsi, E(X ) = 0




Estimation


loi normale de paramètres µ et σ2

Définition

Une variable aléatoire X suit une loi normale N (µ,σ2) si la variable

Z = X −µ

σsuit la loi N (0,1).

Dans ce cas µ est l’espérance de X et σ2 est la variance de X . (µ estaussi la valeur médiane).

La variable X est une variable aléatoire suivant une loi à densité,l’expression de cette densité est hors programme.

En STI2D, la loi binomiale B(n, p) est approchée par la loi normaleN (np,np(1−p) lorsque n est grand.Cette approximation ne doit pas être utilisée en série S ; on justifie avec lethéorème de Moivre Laplace dans le cas des variables centrées réduitesuniquement.




Estimation



Définition


Z = X −µ








Estimation



Définition


Z = X −µ








Estimation


Intervalles "un, deux, trois sigmas"

µµ−σ µ+σ

µ−2σ µ+2σ

µ−3σ µ+3σ

0,68

0,95

0,997




Estimation


Intervalles "un, deux, trois sigmas"

Propriété

Si une variable aléatoire X suit une loi normale N (µ,σ2) alors :

P (µ−σÉ X Éµ+σ) ≈ 0,68

P (µ−2σÉ X Éµ+2σ) ≈ 0,95

P (µ−3σÉ X Éµ+3σ) ≈ 0,997

Influence de µ et de σ




Estimation

CalculsExecices et applicationsSimulation d’une loi normale

Contenu





5 Estimation




Estimation


Calculs de seuils et probabilités avec les TICE

Loi normale : X ∼N (µ,σ2)

P = P (a É X É b), Q = P (X É b), α tel que P (X Éα) = pCalculatrices :TI :P :normalFRép(a,b,µ,σ)ou normCdf.α : 2nde FracNormale(p,µ,σ)ou invNorm.Casio :P : Ncd(a,b,σ,µ)α : InvN(p,σ,µ)

Tableurs :OpenOffice/LibreOffice :Q : =LOI.NORMALE (b ; µ ; σ)ou =LOI.NORMALE (b ; µ ; σ ; 1)α : =LOI.NORMALE.INVERSE(p ;µ ;σ)

Fiche papier

Autres outils :Geogebra :Q : Normale[µ,σ,b]α : InverseNormale[µ,σ,p]Algobox :Q : ALGOBOX_LOI_NORMALE(µ,σ,b)ALGOBOX_LOI_NORMALE_CR(b) renvoie la réponse pour

µ= 0 et σ= 1.

α : ALGOBOX_INVERSE_LOI_NORMALE(µ,σ,p)ALGOBOX_INVERSE_LOI_NORMALE_CR(p) renvoie la

réponse pour µ= 0 et σ= 1.

Xcas :Q : normald_cdf(µ ;σ ;b)α : normald_icdf(µ,σ,p)Scilab :Q : loi_normale(b,µ,σ)α : cdfnor("X",µ,σ,p,1−p)




Estimation


Exercice : erreurs de mesure

On considère que la mesure de la résistance d’un conducteur, effectuée avec un ohm-mètre, est une variable aléatoire X qui suit une loi normale. Des relevés statistiquespermettent d’estimer que la moyenne est µ= 82 ohm et l’écart-type σ= 0,2 ohm.On mesure à nouveau cette résistance.Quelle est la probabilité qu’elle soit inférieure à 81 ohm ? comprise entre 81,7 et 82,5ohm ?Chercher à la calculatrice le réel x tel que P (X É x) = 0,9Déterminer le réel h tel que P (82−h É X É 82+h) = 0,95 .

Exercice

La durée de vie d’un appareil est modélisée par une variable aléatoire X suivant uneloi normale de moyenne et d’écart-type inconnus. Les spécifications impliquent que80% des appareils aient une durée de vie comprise entre 120 et 200 jours, et que 5%de la production ait une durée de vie inférieure à 120 jours.

a. Quelles sont les valeurs de µ et σ2 ?

b. Quelle est la probabilité d’avoir un appareil dont la durée de vie soit comprise entre 200jours et 230 jours ?




Estimation


Exercice : erreurs de mesure

On considère que la mesure de la résistance d’un conducteur, effectuée avec un ohm-mètre, est une variable aléatoire X qui suit une loi normale. Des relevés statistiquespermettent d’estimer que la moyenne est µ= 82 ohm et l’écart-type σ= 0,2 ohm.On mesure à nouveau cette résistance.Quelle est la probabilité qu’elle soit inférieure à 81 ohm ? comprise entre 81,7 et 82,5ohm ?Chercher à la calculatrice le réel x tel que P (X É x) = 0,9Déterminer le réel h tel que P (82−h É X É 82+h) = 0,95 .

Exercice

La durée de vie d’un appareil est modélisée par une variable aléatoire X suivant uneloi normale de moyenne et d’écart-type inconnus. Les spécifications impliquent que80% des appareils aient une durée de vie comprise entre 120 et 200 jours, et que 5%de la production ait une durée de vie inférieure à 120 jours.

a. Quelles sont les valeurs de µ et σ2 ?

b. Quelle est la probabilité d’avoir un appareil dont la durée de vie soit comprise entre 200jours et 230 jours ?




Estimation


Exercice : Gestion

Le restaurant d’un bateau de croisière assure 2 services successifs (à 19h30et à 21h30) pour le dîner de 1000 personnes. On suppose que chacune deces 1000 personnes choisit, au hasard et de manière indépendante, un desdeux services. Le restaurant dispose de n places. Soit X la variablealéatoire égale au nombre de personnes ayant choisi le premier service.

1. Quelle est la loi de X ? Quelle est son espérance µ ? son écart-type σ ?

2. En approchant Z = X −µ

σpar une loi normale, déterminer n le plus

petit possible pour que la probabilité de ne pouvoir accepter à l’un desservices toutes les personnes se présentant soit inférieure à 0,01.

3. En fait 60% des personnes en moyenne choisissent le deuxièmeservice. Combien faut-il alors prévoir de places au restaurant pouravoir les mêmes conditions ?




Estimation


Exercice :carte de contrôle lorsque le caractère étudié suit une loi normale

Pour contrôler la qualité de production d’une chaîne qui remplit des pots de moutarde de195 g (masse affichée sur l’étiquette), on modélise le prélèvement d’un échantillon de 5 potsdans la chaine de fabrication :On note Xi (1 É i É 5), les variables aléatoires qui à chaque pot prélevé associe la masse demoutarde qu’il contient. On suppose que les variables Xi suivent toutes une loi normaled’espérance µ= 195 et d’écart-type σ= 2,5.

On admet alors que la variable aléatoire M5 définie par M5 = X1+X2+X3+X4+X55 suit une loi

normale d’espérance µ= 195 et d’écart-type σ= 2,5p5

. Méthodologie

1. a. Déterminer les valeurs exactes des limite inférieure de surveillance (LIS) et limitesupérieure de surveillance (LSS) du processus de fabrication des pots de moutarde.

b. Déterminer les valeurs exactes des limite inférieure de contrôle (LIC) et limitesupérieure de contrôle (LSC) du processus de fabrication des pots de moutarde.




Estimation



1. ...

2. On a prélevé 20 échantillons de 5 pots de moutarde. La figure 1 donne, pour chaqueéchantillon, la moyenne des masses de moutarde contenue dans les pots. Les limites decontrôle et de surveillance sont aussi représentées.D’après les résultats obtenus figure 1, combien de fois l’alerte avec prélèvementimmédiat d’un nouvel échantillon a-t-elle été donnée ? Combien de fois le processusa-t-il été arrêté ?

figure 1 :Moyennes

obtenues pour 20échantillons de 5

pots de moutarde.

3. Suite à un déréglage du processus de fabrication, la moyenne µ de la loi normale que suivent les variables aléatoiresXi (1 É i É 5) et M5, subit un déréglage de + 4 grammes ; l’écart-type n’a pas été modifié.Calculer la probabilité que la moyenne du prochain échantillon soit située à l’extérieur des limites de contrôle.




Estimation



1. ...2. On a prélevé 20 échantillons de 5 pots de moutarde. La figure 1 donne, pour chaque échantillon, la moyenne des

masses de moutarde contenue dans les pots. Les limites de contrôle et de surveillance sont aussi représentées.D’après les résultats obtenus figure 1, combien de fois l’alerte avec prélèvement immédiat d’un nouvel échantillona-t-elle été donnée ? Combien de fois le processus a-t-il été arrêté ?

figure 1 :Moyennes obtenues

pour 20 échantillons de5 pots de moutarde.

3. Suite à un déréglage du processus de fabrication, la moyenne µ de la loi normale quesuivent les variables aléatoires Xi (1 É i É 5) et M5, subit un déréglage de + 4 grammes ;l’écart-type n’a pas été modifié.Calculer la probabilité que la moyenne du prochain échantillon soit située à l’extérieurdes limites de contrôle.




Estimation


Simulation d’une loi normale par sommation de variablesuniformes

Simulation à l’aide d’un tableurSimulation avec 12 variables uniformes

Simulation avec 48 variables uniformes

Remarque : Ces simulations constituent l’introduction de la loinormale en STI2D.

Définition de la loi normale




Estimation

Définition et démonstrationsPrise de décision

Contenu





5 Estimation




Estimation


Théorème

Si la variable aléatoire Xn suit la loi B(n, p), avec p dans l’intervalle]0;1[, alors pour tout réel α dans l’intervalle ]0;1[ on a :

limn→+∞P

(Xn

n∈ In

)= 1−α,

où In désigne l’intervalle

[p −uα

√p(1−p)p

n, p +uα

√p(1−p)p

n

]et uα désigne l’unique réel tel que P (−uα É Z É uα) = 1−α où Zsuit la loi normale N (0,1).


...




Estimation


Théorème

Si la variable aléatoire Xn suit la loi B(n, p), avec p dans l’intervalle ]0,1[, alors pour tout réel α dans l’intervalle ]0,1[ on a :

limn→+∞P

(Xnn

∈ In

)= 1−α,

où In désigne l’intervalle

[p −uα

√p(1−p)p

n, p +uα

√p(1−p)p

n

]et uα désigne l’unique réel tel que

P (−uα É Z É uα) = 1−α où Z suit la loi normale N (0,1).


D’après le théorème de Moivre-Laplace, on a

limn→+∞P (−uα É Zn É uα) = P (−uα É Z É uα) où Zn = Xn −np√

np(1−p).

Or :P (−uα É Zn É uα) =

P(np −uα

√np(1−p) É Xn É np +uα

√np(1−p)

),

P (−uα É Zn É uα) = P

(p −uα

pp(1−p)p

nÉ Xn

n É p +uα

pp(1−p)p

n

)




Estimation


Intervalle de fluctuation asymptotique

Définition

Xn étant un variable de loi B(n, p).Un intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire

Fn = Xn

nau seuil 1−α est un intervalle déterminé à partir de p et de

n et qui contient Fn avec un probabilité d’autant plus proche de1−α que n est grand.

L’intervalle In =[

p −uα

√p(1−p)p

n, p +uα

√p(1−p)p

n

]vu au

théorème précédent est donc un intervalle de fluctuationasymptotique de Fn au seuil 1−α.




Estimation


P

(Xnn ∈

[p −1,96

pp(1−p)p

n, p +1,96

pp(1−p)p

n

])en fonction de n

0.88

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1p = 0.5

En dynamique




Estimation



Utilisation

En pratique, quand n Ê 30, np Ê 5 et n(1−p) Ê 5, on considéreraque In est un intervalle de fluctuation "approché" de la variable Xn

n .

Remarque

• Définition :On appelle intervalle de fluctuation au seuil 1−α d’unevariable aléatoire X , tout intervalle [a,b] tel que :P (X ∈ [a,b]) Ê 1−α.

m Or si X suit la loi B(100;0,5), et α= 0,05, alorsP

( X100 ∈ I100

)≈ 0,9431. Donc l’intervalle de fluctuationasymptotique n’est pas nécessairement un intervalle defluctuation.




Estimation



Utilisation


n .

Remarque



( X100 ∈ I100





Estimation



Utilisation


n .

Remarque



( X100 ∈ I100





Estimation


Bilan sur les trois années de lycée

Trois résultats différents :

IF IF-AsymptotiqueSeconde Première Terminale[

p − 1pn

; p + 1pn

] [an , b

n

] [p −uα

pp(1−p)p

n, p +uα

pp(1−p)p

n

]Seuil 0,95 Seuil 0,95 Seuil variable (0,95 ou 0,99)

Méthode de calcul de première

• a est le plus grand entier tel que P (X < a) É 0,025,

• b est le plus petit entier tel que P (X > b) É 0,025.

(Autre caractérisation :a est le plus plus entier tel que P (X É a) > 0,025b est le plus petit entier tel que P (X É b) Ê 0,975).




Estimation


Bilan sur les trois années de lycée

Trois résultats différents :

IF IF-AsymptotiqueSeconde Première Terminale[

p − 1pn

; p + 1pn

] [an , b

n

] [p −uα

pp(1−p)p

n, p +uα

pp(1−p)p

n

]Seuil 0,95 Seuil 0,95 Seuil variable (0,95 ou 0,99)

Méthode de calcul de première

• a est le plus grand entier tel que P (X < a) É 0,025,

• b est le plus petit entier tel que P (X > b) É 0,025.

(Autre caractérisation :a est le plus plus entier tel que P (X É a) > 0,025b est le plus petit entier tel que P (X É b) Ê 0,975).




Estimation


Lien avec l’IF de seconde

Une première remarque

La fonction x 7→ x(1−x) admet pour maximum 14 pour x = 1

2 .

Donc comme u0,05 ≈ 1,96, on peut majorer uα

pp(1−p)p

npar 1p

n.

Donc l’intervalle In =[

p −uα

pp(1−p)p

n, p +uα

pp(1−p)p

n

]est contenu

dans l’intervalle I ′n =[

p − 1pn

, p + 1pn

].

o Ceci garantit que I ′n est un intervalle de fluctuationasymptotique, mais cela ne justifie pas que I ′n est un intervallede fluctuation (même lorsque n Ê 30, np Ê 5 et n(1−p) Ê 5).

Pour visualiser




Estimation


Justification de l’IF de seconde

Théorème (Terminale S, Approfondissement)

Si la variable aléatoire Xn suit la loi B(n, p), avec p dans l’intervalle]0;1[, alors il existe un entier n0 tel que

si n Ê n0 alors P(p − 1p

nÉ Xn

n É p + 1pn

)Ê 0,95.

Démonstration

...




Estimation




Si la variable aléatoire Xn suit la loi B(n, p), avec p dans l’intervalle ]0,1[, alors il existe un entier n0 tel que si n Ê n0 alors

P

(p − 1p

nÉ Xn

n É p + 1pn

)Ê 0,95.

Démonstration

Xn est un variable aléatoire qui suit la loi B(n, p), et Zn est la variablecentrée réduite de Xn . En majorant p(1−p) par 1

4

P(p − 1p

nÉ Xn

n É p + 1pn

)Ê P

(p −2

pp(1−p)p

nÉ Xn

n É p +2p

p(1−p)pn

).

De plus, P

(p −2

pp(1−p)p

nÉ Xn

n É p +2p

p(1−p)pn

)= P (−2 É Zn É 2).




Estimation




Si la variable aléatoire Xn suit la loi B(n, p), avec p dans l’intervalle ]0,1[, alors il existe un entier n0 tel que si n Ê n0 alors

P

(p − 1p

nÉ Xn

n É p + 1pn

)Ê 0,95.

Démonstration

Xn est un variable aléatoire qui suit la loi B(n, p), et Zn est la variablecentrée réduite de Xn . En majorant p(1−p) par 1

4

P(p − 1p

nÉ Xn

n É p + 1pn

)Ê P

(p −2

pp(1−p)p

nÉ Xn

n É p +2p

p(1−p)pn

).

De plus, P

(p −2

pp(1−p)p

nÉ Xn

n É p +2p

p(1−p)pn

)= P (−2 É Zn É 2).




Estimation



DémonstrationXn est un variable aléatoire qui suit la loi B(n, p), et Zn est la variable centrée réduite de Xn . En majorant p(1−p) par 1

4

P

(p − 1p

nÉ Xn

n É p + 1pn

)Ê P

(p −2

√p(1−p)p

nÉ Xn

n É p +2

√p(1−p)p

n

).

De plus, P

(p −2

√p(1−p)p

nÉ Xn

n É p +2

√p(1−p)p

n

)= P (−2 É Zn É 2).

Or d’après le théorème de Moivre-Laplace, en posant an = P (−2 É Zn É 2),lim

n→+∞an = P (−2 É Z É 2) = P (Z É 2)−P (Z <−2) = 2P (Z É 2)−1.

Or l = 2P (Z É 2)−1 Ê 0,9544.Donc, pour ε< 0,001, il existe un entier n0 tel que si n Ê n0 alorsan ∈]l −ε; l +ε[ donc comme l −ε> 0,95, an > 0,95.

Donc pour tout entier n Ê n0, P(p − 1p

nÉ Xn

n É p + 1pn

)Ê 0,95.

Pour visualiser Comparaison IFA et IF de seconde




Estimation



DémonstrationXn est un variable aléatoire qui suit la loi B(n, p), et Zn est la variable centrée réduite de Xn . En majorant p(1−p) par 1

4

P

(p − 1p

nÉ Xn

n É p + 1pn

)Ê P

(p −2

√p(1−p)p

nÉ Xn

n É p +2

√p(1−p)p

n

).

De plus, P

(p −2

√p(1−p)p

nÉ Xn

n É p +2

√p(1−p)p

n

)= P (−2 É Zn É 2).

Or d’après le théorème de Moivre-Laplace, en posant an = P (−2 É Zn É 2),lim

n→+∞an = P (−2 É Z É 2) = P (Z É 2)−P (Z <−2) = 2P (Z É 2)−1.

Or l = 2P (Z É 2)−1 Ê 0,9544.Donc, pour ε< 0,001, il existe un entier n0 tel que si n Ê n0 alorsan ∈]l −ε; l +ε[ donc comme l −ε> 0,95, an > 0,95.

Donc pour tout entier n Ê n0, P(p − 1p

nÉ Xn

n É p + 1pn

)Ê 0,95.

Pour visualiser Comparaison IFA et IF de seconde




Estimation


Prise de décision

Les enfants sont dits prématurés lorsque la durée gestationnelle estinférieure ou égale à 259 jours. La proportion de ces naissances est de6%. Des chercheurs suggèrent que les femmes ayant eu un travail péniblependant leur grossesse sont plus susceptibles d’avoir un enfant prématuréque les autres. Il est décidé de réaliser une enquête auprès d’un échantillonaléatoire de 400 naissances correspondant à des femmes ayant eu pendantleur grossesse un travail pénible.Les chercheurs décident a priori que si la proportion d’enfants nésprématurés dans cet échantillon est supérieure à la borne supérieurede l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 0,95 alors leurhypothèse sera acceptée.Finalement le nombre d’enfants prématurés est de 50.

Quelle est donc la conclusion ?




Estimation


Prise de décisionOn admet que dans la population d’enfants de 11 à 14 ans d’un départementfrançais le pourcentage d’enfants ayant déjà eu une crise d’asthme dans leur vieest de 13%.Un médecin d’une ville de ce département est surpris du nombre important d’en-fants le consultant ayant des crises d’asthme et en informe les services sanitaires.Ceux-ci décident d’entreprendre une étude et d’évaluer la proportion d’enfants de11 à 14 ans ayant déjà eu des crises d’asthme.Ils sélectionnent de manière aléatoire 100 jeunes de 11 à 14 ans de la ville.La règle de décision prise est la suivante : si la proportion observée est supérieureà la borne supérieure de l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%alors une investigation plus complète sera mise en place afin de rechercher les fac-teurs de risque pouvant expliquer cette proportion élevée.

1. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de laproportion de jeunes de 11 à 14 ans ayant eu une crise d’asthme dans unéchantillon de taille 100.

2. L’étude réalisée auprès des 100 personnes a dénombré 19 jeunes ayant déjàeu des crises d’asthme. Que pouvez-vous conclure ?




Estimation


Prise de décisionOn admet que dans la population d’enfants de 11 à 14 ans d’un départementfrançais le pourcentage d’enfants ayant déjà eu une crise d’asthme dans leur vieest de 13%.Un médecin d’une ville de ce département est surpris du nombre important d’en-fants le consultant ayant des crises d’asthme et en informe les services sanitaires.Ceux-ci décident d’entreprendre une étude et d’évaluer la proportion d’enfants de11 à 14 ans ayant déjà eu des crises d’asthme.Ils sélectionnent de manière aléatoire 100 jeunes de 11 à 14 ans de la ville.La règle de décision prise est la suivante : si la proportion observée est supérieureà la borne supérieure de l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%alors une investigation plus complète sera mise en place afin de rechercher les fac-teurs de risque pouvant expliquer cette proportion élevée.

1. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de laproportion de jeunes de 11 à 14 ans ayant eu une crise d’asthme dans unéchantillon de taille 100.

2. L’étude réalisée auprès des 100 personnes a dénombré 19 jeunes ayant déjàeu des crises d’asthme. Que pouvez-vous conclure ?




Estimation


Prise de décisionOn admet que dans la population d’enfants de 11 à 14 ans d’un département français le pourcentage d’enfants ayant déjà euune crise d’asthme dans leur vie est de 13%.Un médecin d’une ville de ce département est surpris du nombre important d’enfants le consultant ayant des crises d’asthmeet en informe les services sanitaires. Ceux-ci décident d’entreprendre une étude et d’évaluer la proportion d’enfants de 11 à14 ans ayant déjà eu des crises d’asthme.Ils sélectionnent de manière aléatoire 100 jeunes de 11 à 14 ans de la ville.La règle de décision prise est la suivante : si la proportion observée est supérieure à la borne supérieure de l’intervalle defluctuation asymptotique au seuil de 95% alors une investigation plus complète sera mise en place afin de rechercher lesfacteurs de risque pouvant expliquer cette proportion élevée.

3. Le médecin n’est pas convaincu par cette conclusion et déclare que lenombre de personnes interrogées était insuffisant pour mettre en évidencequ’il y avait plus de jeunes ayant eu des crises d’asthme que dans le reste dudépartement.Combien faudrait-il prendre de sujets pour qu’une proportion observée de19% soit en dehors de l’intervalle de fluctuation asymptotique ?

4. Représenter graphiquement la taille de l’échantillon nécessaire en fonctionde la valeur psup de la borne supérieure de l’intervalle de fluctuation auseuil de 95%.




Estimation


Surréservation :

Pour compenser le manque à gagner, une compagnie aérienne exploitantun avion de 300 places décide de faire de la surréservation (surbooking) enprenant pour chaque vol un nombre n de réservations supérieur à 300. S’ilse présente plus de 300 passagers à l’embarquement, les 300 premiers ar-rivés prennent leur vol et les autres sont dédommagés financièrement.On considère que les passagers sont mutuellement indépendants et onévalue la probabilité de désistement de chacun d’eux à 0.1.On note n le nombre de réservations prises par la compagnie pour un voldonné.On appelle Sn la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre d’a-cheteurs d’un billet se présentant à l’embarquement pour ce vol.




Estimation


Surréservation :1. Dans un premier temps, la compagnie décide de vendre 320 billets. Déterminer la

probabilité qu’il se présente exactement 300 passagers. Puis déterminer la probabilité qu’ilse présente un nombre de passagers inférieur ou égale à 300.

2. La compagnie veut augmenter le nombre de billets vendus tout en maîtrisant le risque liéau dédommagement.

On se propose donc de chercher une plus grande valeur pour n. Cette valeur devra vérifier

P (Sn É 300) Ê 0,95, de façon à réduire à peu de chose les frais de dédommagement.

a. Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique In de Snn au seuil 0,95.

b. Justifier que si la borne supérieure de In est inférieure ou égale à 300n alors

P (Sn É 300) Ê P(

Snn ∈ In

).

Nous admettrons que si la borne supérieure de In est inférieure ou égale à 300n alors

P (Sn É 300) Ê 0,95.c. En posant f (x) = 0,9x +0,588

px −300, déduire de la question précédente que tous les

entiers naturels n tel que f (n) É 0, permettent d’assurer que P (Sn É 300) Ê 0,95.d. En étudiant le signe de f (x), déterminer le plus grand entier vérifiant f (x) É 0.e. L’entier obtenu à la question précédente est-il l’entier le plus grand tel que

P (Sn É 300) Ê 0,95 ?(Vous justifierez votre réponse en déterminant l’entier le plus grand tel queP (Sn É 300) Ê 0,95 à l’aide d’un tableur ou d’une calculatrice).




Estimation

Vocabulaire et méthodeApproche en STI2D

Contenu





5 Estimation




Estimation


Exemple d’appel

Lors d’une élection, deux candidats sont en lice : A et B. On procèdeà un sondage (aléatoire, avec remise) auprès d’un échantillon de1000 personnes. 52% déclarent vouloir voter pour A.

1. Vous êtes journaliste, que devez-vous annoncer ?




Estimation


Position du problème

Population

On ne connaît pas la proportion pde votants pour A

ÉchantillonTaille n connue : n = 1000Fréquence fn connue :fn = 0,52

À partir de la fréquence observée fn dans un échantillon aléatoire (n tirages avecremise), on souhaite inférer un intervalle dans lequel se situe une proportioninconnue p, dans la population. Sous certaines conditions, ce sera possible :

avec un degré de précision donné par le rayon de l’intervalle (fourchette) ;

avec un seuil de certitude, appelé « niveau de confiance ».




Estimation


Méthodologie

En considérant que p est proche de f1000 = 0,52, n = 1000 est considéré commeassez grand (avec p = 0,5, il faut que n0 ≈ 600).[

p − 1p1000

; p + 1p1000

]est un intervalle de fluctuation de F1000 au seuil de 0,95.

Comme p − 1p1000

É F1000 É p + 1p1000

⇔ F1000 − 1p1000

É p É F1000 + 1p1000

,

P(p − 1p

1000É F1000 É p + 1p

1000

)Ê 0,95 entraîne que

P(F1000 − 1p

1000É p É F1000 + 1p

1000

)Ê 0,95.

Ainsi l’intervalle aléatoire[

F1000 − 1p1000

;F1000 + 1p1000

]a une probabilité

supérieure à 0,95 de contenir p.On en déduit que si on répète un grand nombre de fois l’expérience qui consiste àinterroger au hasard 1000 personnes, on obtient un très grand nombre

d’intervalles de la forme[

f1000 − 1p1000

; f1000 + 1p1000

]et que l’on devrait avoir au

moins 95% de ces intervalles, qui contiennent la proportion p inconnue. Simulation




Estimation


Méthodologie

Maintenant on choisit un échantillon ; dans notre exemple, la fréquence observéesur cet échantillon est f1000 = 0,52.L’intervalle correspondant à cette fréquence observée est[

0,52− 1p1000

;0,52+ 1p1000

]≈ [0,488;0,552].

On ne peut plus dire que la probabilité que la proportion p inconnue soit dansl’intervalle [0,488;0,552] est supérieure ou égale à 0,95.On dira que :

« [0,488;0,552] est un intervalle de confiance de la proportion p auniveau de confiance de 0,95 »

.




Estimation


Méthodologie

Maintenant on choisit un échantillon ; dans notre exemple, la fréquence observéesur cet échantillon est f1000 = 0,52.L’intervalle correspondant à cette fréquence observée est[

0,52− 1p1000

;0,52+ 1p1000

]≈ [0,488;0,552].

On ne peut plus dire que la probabilité que la proportion p inconnue soit dansl’intervalle [0,488;0,552] est supérieure ou égale à 0,95.On dira que :

« [0,488;0,552] est un intervalle de confiance de la proportion p auniveau de confiance de 0,95 »

.




Estimation


Synthèse

Définition :Un intervalle de confiance pour une proportion p à un niveau de confiance 1−α

est la réalisation, à partir d’un échantillon, d’un intervalle aléatoire contenant laproportion p avec une probabilité supérieure ou égale à 1−α . Cet intervalle

aléatoire est déterminé à partir de la variable aléatoire Fn = Xnn qui à tout

échantillon de taille n, associe la fréquence.

Remarque

On peut définir des intervalles de confiance au niveau de confiance1−α pour tout réel α appartenant à [0;1].Seul le cas où 1−α= 0,95 est au programme en terminale.




Estimation


Synthèse

Comment trouver les intervalles de confiance au niveau deconfiance de 0,95 ?On dispose en terminale de deux intervalles pour la valeur de p lorsqu’on aobservé une fréquence fn dans un échantillon de taille n :

En TS et TES :[

fn − 1pn

; fn + 1pn

].

En TSTI2D (TS et TES) :

[fn −1,96

pfn (1− fn )p

n; fn +1,96

pfn (1− fn )p

n

].

Ces intervalles de confiance sont utilisés lorsque n Ê 30, np Ê 5 et n(1−p) Ê 5,mais ne connaissant pas p, on vérifiera que n Ê 30, n fn Ê 5 et n(1− fn ) Ê 5




Estimation


Exemple d’appel (suite)

Lors d’une élection, deux candidats sont en lice : A et B. On procèdeà un sondage (aléatoire, avec remise) auprès d’un échantillon de1000 personnes. 52% déclarent vouloir voter pour A.

1. Vous êtes journaliste, que devez-vous annoncer ?

2. a) Quelle doit être la taille minimale d’un échantillon pour quel’intervalle de confiance au niveau de confiance de 95% ait uneamplitude maximale de 0,01 (1%) ?

b) Quelle doit être la taille minimale d’un échantillon où est observéeune fréquence de 0,52 pour que le journaliste puisse annoncer auniveau de confiance de 95% que le candidat A sera élu ?




Estimation


Exercices

Taux de satisfaction

Un opérateur téléphonique désire connaître la proportion de satisfaits parmi legrand nombre de ses abonnés. Pour cela, il interroge 400 abonnés choisis auhasard. Il constate que 345 sont satisfaits.Déterminer un intervalle de confiance de la proportion d’abonnés satisfaits chezcet opérateur, au niveau de confiance 0,95.

Elections présidentielles

Lors du premier tour des élections présidentielles de 2002, le dernier sondagepublié par l’institut BVA effectué sur 1000 électeurs qu’on suppose choisis demanière aléatoire, prévoyait : J. Chirac : 19% ; L. Jospin : 18% ; J.M. Le Pen : 14%.Les résultats ont été : J. Chirac : 19,88% ; L. Jospin : 16,18% ; J.M. Le Pen : 16,86%.

1. Déterminer pour chaque candidat l’intervalle de confiance au niveau deconfiance de 95% de la proportion d’électeurs votant pour lui.

2. Ce dernier sondage permettait-il de classer les trois candidats, au niveau deconfiance de 0,95 ?




Estimation


Exercices

Taux de satisfaction

Un opérateur téléphonique désire connaître la proportion de satisfaits parmi legrand nombre de ses abonnés. Pour cela, il interroge 400 abonnés choisis auhasard. Il constate que 345 sont satisfaits.Déterminer un intervalle de confiance de la proportion d’abonnés satisfaits chezcet opérateur, au niveau de confiance 0,95.








Estimation


Exercices





3. On considère le dernier sondage réalisé par l’institut IPSOS sur 1000 électeurs.Il prévoyait J. Chirac : 19,5% ; L. Jospin : 17% ; J.M. Le Pen : 13,5%.On considère qu’en regroupant les sondages BVA et IPSOS, on obtient unéchantillon de 2000 électeurs choisis aléatoirement.À partir ce nouvel échantillon, déterminer pour chaque candidat l’intervalle deconfiance au niveau de confiance de 95% de la proportion d’électeurs votantpour lui.




Estimation


Ne pas confondre l’intervalle de fluctuation et l’intervalle de confiance

On utilise l’intervalle de fluctuation lorsque :

Population

La proportion p estconnue ou supposée(on a une valeur dep )

Échantillon

Taille n connueFréquence fn inconnue

L’intervalle de fluctuation est utilisé pour une prise de décision

On utilise l’intervalle de confiance lorsque :




Estimation


Ne pas confondre l’intervalle de fluctuation et l’intervalle de confiance

On utilise l’intervalle de fluctuation lorsque :

Population

La proportion p estconnue ou supposée(on a une valeur dep )

Échantillon

Taille n connueFréquence fn inconnue

L’intervalle de fluctuation est utilisé pour une prise de décision

On utilise l’intervalle de confiance lorsque :

Population

On ne connaît pas la proportion p

Échantillon

Taille n connueFréquence fn connue

L’intervalle de confiance est utilisé pour une estimation




Estimation


Approche en STI2D, comparaison de deux proportions

On souhaite comparer les proportions p1 et p2 d’un même caractère, dansdeux populations distinctes, à partir de l’observation des fréquences f1 etf2 observées sur un échantillon de chacune des deux populations.La question posée est de savoir si la différence f1 − f2 est significative.

Méthodologie :

On détermine les intervalles de confiance au seuil de 0,95 propre à chaqueéchantillon I1 et I2.

En STI2D, on dispose de la formule In =[

fn −1,96√

fn (1− fn )n ; fn +1,96

√fn (1− fn )

n

]Règle de décision : Si les intervalles de confiance sont disjoints, onconsidère que la différence est assez significative pour affirmer que lesproportions ne sont pas égales.




Estimation


Exercices

Une entreprise fabrique une grande quantité de Smartphones sur deux chaînes deproduction situées dans deux ateliers.On prélève au hasard 600 Smartphones sur chacune des chaînes et on compte lenombre d’appareils conformes au cahier des charges.On constate que :Sur la première chaîne, 552 Smartphones sont conformes.Sur la seconde, 570 Smartphones sont conformes.

Peut-on conclure, au niveau de confiance de 0,95, que les deux chaînes produisentla même proportion de Smartphones conformes ?




Estimation


Exercices

Un laboratoire pharmaceutique veut tester l’efficacité d’un nouveau médicamentutilisé pour faire baisser le taux de cholestérol.Pour cela, on administre à 300 patients (groupe A), choisis de manière aléatoire, cenouveau médicament, puis à 300 autres patients (groupe B), choisis de manièrealéatoire, un placebo sans principe actif.Dans le groupe A, 234 ont vu leur taux de cholestérol baisser.Dans le groupe B, 201 ont vu leur taux de cholestérol baisser.

Peut-on en déduire, au niveau de confiance 0,95, que ce nouveau médicament estefficace ?




Estimation


Exercices

Une société d’assurance récemment arrivée sur le marché souhaite connaître sanotoriété auprès des adultes. Elle interroge 2500 personnes âgées de 18 ans et pluset constate que 342 personnes seulement connaissent son existence.Elle décide de lancer une campagne de publicité pendant un mois, à l’issueduquel elle interroge à nouveau 2500 personnes âgées de 18 ans et plus. 445personnes répondent alors qu’elles connaissent la société.

Peut-on en déduire, au niveau de confiance de 0,95 que la campagne de publicitéa été bénéfique ?


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