Probabilités - Exercices corrigés avec rappels de cours

Adil ELMARHOUM Mohamed DIOURI

PROBABILITES Exercices corrigs avec rappels de cours

COLLECTION SCIENCES TECHNIQUES ET MANAGEMENT

PROBABILITES Exercices corrigs avec rappels de cours

Tous les droits sont rservs Dpt lgal N 2003/0049

I.S.B.N. 9954-409-41-6 Premire dition 2003

Deuxime dition 2008 Troisime dition 2014

Les livres de la collection Sciences et Techniques sont dits par les Instituts suprieurs du Gnie Appliqu

IGA de Rabat, Marrakech, Fs, El Jadida et Settat.

DEDICACE

Pour que la mmoire demeure Lorsquune me pleure une autre me

M D

SOMMAIRE

LIMINAIRE 7

CH. 1. PROBABILITES 9

1.1. Dfinitions. 9

1.2. Notion dexclusivit 10

1.3. Notion dindpendance. 11

1.4. Thorme de Bayse. 12

1.5. Enonces des exercices dapplication. 13

1.6. Solutions des exercices. 15

CH. 2. VARIABLE ALEATOIRE. 27

2.1. Dfinitions. 27

2.2. Distribution de probabilit. 28

2.3. Couple de variables alatoires. 29 2.4. Esprance mathmatique. 31

2.5. Ingalit de Bienaym Tchebychev. 33

2.6. Enoncs des exercices dapplication. 33

2.7. Solutions des exercices. 36

CH. 3. ANALYSE COMBINATOIRE ET CALCUL DES PROBABILITES.

54

3.1. Permutations. 54 3.2. Arrangements. 54 3.3. Combinaisons. 55 3.4. Enoncs des exercices dapplication. 56 3.5. Solutions des exercices dapplication. 59

CH. 4. LOIS DE PROBABILITE DISCRETES. 78 4.1. Loi Bernoulli. 78 4.2. Loi Binomiale. 78 4.3. Loi Polynomiale. 79 4.4. Loi Hypergomtrique. 80 4.5. Loi Hypergomtrique gnralise. 81 4.6. Loi de Poisson. 81 4.7. Enoncs des exercices dapplication. 82 4.8. Solutions des exercices dapplication. 85

CH. 5. LOIS DE PROBABILITE CONTINUES. 99 5.1. Loi normale. 99 5.2. La loi Khi deux de Pearson. 101 5.3. La loi de Student. 102 5.4. La loi de Fisher Snedecor. 103 5.5. Enoncs des exercices dapplication. 104 5.6. Solutions des exercices dapplication. 107

CH. 6. CONVERGENCE DES LOIS DE PROBABILITE LOIS DES GRANDS NOMBRES.

122

6.1. Convergence en probabilit. 122 6.2. Convergence en loi probabilit. 122 6.3. Enoncs des exercices dapplication. 124 6.4. Solutions des exercices dapplication. 126

TABLES STATISTIQUES 140

BIBLIOGRAPHIE 163

7

LIMINAIRE

Le calcul des probabilits nintervient pas uniquement, comme semble le croire une tradition tenace, pour le calcul des chances de gagner ou de perdre dans des jeux de hasard : lancement de ds, jeux de cartes, courses de chevaux, loterie nationale, etc. Il est vrai qu lorigine le dveloppement de la thorie des probabilits est d, en grande partie, aux calculs sur les jeux de hasard, mais par la suite, probabilits, lois de probabilits, lois statistiques ont t dveloppes pour introduire les statistiques dcisionnelles, savoir : chantillonnages, distributions, estimations, etc.

Ce livre est ainsi une introduction au livre sur les statistiques dcisionnelles puisquil renferme tous les chapitres que doit connatre un tudiant avant daborder les statistiques dcisionnelles, savoir : les calculs sur les probabilits, les variables alatoires discrtes et continues, les lois de probabilits et les lois statistiques de variables discrtes et continues.

Nous avons conu ce livre linstar de ce que nous avons fait pour notre livre sur la statistique descriptive : chaque chapitre commence par de brefs rappels de cours suivis dnoncs des exercices dapplication et se termine par les solutions proposes.

Tant ltudiant que les professeurs pourront ainsi trouver :

- Le premier, loccasion pour sentrainer, autant quil veut, et prparer, dans de meilleures conditions ses examens en probabilits ;

- Le second, un ensemble important dexercices dapplication pour illustrer son cours sur les probabilits.

8

En effet ltudiant et le professeur savent que la meilleure faon dapprendre et de faire apprendre une matire repose essentiellement sur la qualit et la quantit des cas pratiques tudis.

Adil ELMARHOUM Professeur chercheur

Mohamed DIOURI Fondateur de lIGA.

Casablanca, mars 2014 .

Probabilits. 10. Probabilits

9

CHAPITRE 1 PROBABILITES

1.1. DEFINITIONS.

1.1.1. Exprience et vnement alatoires.

La dfinition de la probabilit est lie aux notions dexpriences et dvnements alatoires.

Une exprience est dite alatoire lorsquon ne peut en prvoir exactement le rsultat, du fait que tous les facteurs qui dterminent ce rsultat ne sont pas matriss.

Un vnement alatoire est un vnement qui peut se raliser ou ne pas se raliser au cours dune exprience alatoire.

Exemples :

- Le jet dun d numrot de 1 6 est une exprience alatoire car le rsultat du jet est imprvisible. Lvnement avoir une face paire du d est un vnement alatoire car le rsultat du jet peut tre impair comme il peut tre pair.

- Le choix dune personne dans un groupe dindividus contenant des hommes et des femmes est une exprience alatoire car le rsultat du choix est imprvisible. Lvnement choisir une femme est un vnement alatoire car la personne choisie peut tre une femme comme elle peut tre un homme.

1.1.2. Dfinition classique de la probabilit.

Si au cours dune exprience alatoire on peut dnombrer tous les vnements possibles, et si pour chaque vnement on peut dterminer le nombre de cas favorables la ralisation dun vnement alatoire quelconque A, on dfinit classiquement la probabilit de lvnement A comme tant le rapport du nombre de cas favorables au nombre de cas possibles.

possibles cas de Nombrefavorables cas de Nombre)A(p =

Cette dfinition montre que la probabilit est toujours comprise entre 0 et 1. 0 p 1

La probabilit de tout vnement qui doit ncessairement se raliser au cours dune exprience alatoire est gale 1, il sagit dun vnement certain.


10

P(vnement certain) = 1

La probabilit de tout vnement qui ne peut pas se raliser au cours dune exprience alatoire est nulle, il sagit dun vnement impossible.

P(vnement impossible) = 0

1.2. NOTION DEXCLUSIVITE.

1.2.1. Evnements exclusifs.

Deux vnements alatoires dune mme exprience alatoire sont dits exclusifs ou incompatibles sils ne peuvent pas se raliser simultanment.

Si deux vnements alatoires A et B sont exclusifs alors :

p(A ou B) = p(A) + p(B) et p(A et B) = 0

Si deux vnements alatoires A et B ne sont pas exclusifs alors :

p(A ou B) = p(A) + p(B) p(A et B)

1.2.2. Evnements mutuellement exclusifs.

Plusieurs vnements alatoires associs une mme exprience alatoire sont dits mutuellement exclusifs ou mutuellement incompatibles sils sont exclusifs deux deux.

Si k vnements A1, A2, , Ak sont mutuellement exclusifs alors :

p(A1 ou A2 ou ou Ak) = p(A1) + p(A2) + + p(Ak)

Si trois vnements alatoires A, B, et C ne sont pas mutuellement exclusifs alors :

p(A ou B ou C) = p(A) + p(B) + p(C) p(A et B) p(A et C) p(B et C) + p(A et B et C)

1.2.3. Evnements complmentaires.

Plusieurs vnements alatoires associs une mme exprience alatoire sont dits totalement exclusifs ou complmentaires sils sont exclusifs deux deux et si lun deux doit ncessairement se raliser.

Si k vnements A1, A2, , Ak sont complmentaires alors :

p(A1 ou A2 ou ou Ak) = p(A1) + p(A2) + + p(Ak) = 1


11

1.3. NOTION DINDEPENDANCE.

1.3.1. Probabilit conditionnelle.

Considrons le cas de plusieurs expriences alatoires simultanes ou successives.

Soient deux vnements alatoires A et B non ncessairement exclusifs. La probabilit conditionnelle de lvnement A sous la condition B, est la probabilit de ralisation de lvnement A, lors dune exprience, sachant que lvnement B est dj ralis, lors dune exprience simultane ou antrieure. Elle est dsigne par :

)B(pB)et p(A )B/A(p =

Soient deux vnements alatoires A et B non ncessairement exclusifs. La probabilit conditionnelle de lvnement B sous la condition A, est la probabilit de ralisation de lvnement B, lors dune exprience, sachant que lvnement A est dj ralis, lors dune exprience simultane ou antrieure. Elle est dsigne par :

)A(pB)et p(A )A/B(p =

Cette dfinition conduit la formule de probabilit compose :

P(A et B) = p(A) p(B/A) = p(B) p(A/B)

On peut gnraliser cette formule plusieurs vnements. Ainsi pour trois vnements A, B, et C :

P(A et B et C) = p(A) p(B/A) p(C/A et B)

1.3.2. Evnements indpendants.

Deux vnements A et B sont indpendants si la probabilit de voir se raliser lvnement A ne dpend pas de la ralisation ou de la non ralisation de lvnement B. La probabilit de voir se raliser lvnement B ne dpend pas de la ralisation ou de la non ralisation de lvnement A.

p(A) = p(A/B) = p(A/non B)

p(B) = p(B/A) = p(B/non A)

Deux vnements A et B sont donc indpendants si :

p(A et B) = p(A) p(B)


12

Plusieurs vnements A1, A2, , Ak sont indpendants si :

p(A1 et A2 et et Ak) = p(A1) p(A2) p(Ak)

L'indpendance de plusieurs vnements deux deux n'entrane pas ncessairement l'indpendance de l'ensemble des vnements.

1.4. THEOREME DE BAYSE.

Soient E1, E2, , Ek, une srie de k vnements alatoires totalement exclusifs. chacun de ces vnements correspond une information initiale qui permet dvaluer priori les probabilits p(E1), p(E2), , p(Ek).

p(E1) + p(E2) + + p(Ek) = 1

Soit A un vnement quelconque pour lequel on connat priori les probabilits conditionnelles p(A/E1), p(A/E2), , p(A/Ek).

Les vnements E1, E2, Ek tant complmentaires, lvnement A doit se raliser ncessairement avec E1 ou E2 ou ... ou Ek.

p(A) = p[(A et E1) ou (A et E2) ou ou (A et Ek)]

p(A) = p(A et E1) + p(A et E2) + + p(A et Ek)

Par dfinition de la probabilit conditionnelle :

p(A et Ei) = p(Ei) p(A/Ei) (i = 1 k)

La probabilit de lvnement A est donc :

p(A) = p(E1) p(A/E1) + p(E2) p(A/E2) + + p(Ek) p(A/Ek)

=

=k

1iii )E/A(p)E(p)A(p

Le thorme de BAYES permet de calculer les probabilits conditionnelles posteriori p(E1/A), p(E2/A), , p(Ek/A).

Par dfinition de la probabilit conditionnelle :

)A(p)Eet A(p)A/E(p ii =

)E/A(p)E(p)E/A(p)E (p)A/E(pi

k

1ii

iii

=

=


13

1.5. ENONCES DES EXERCICES DAPPLICATION.

1.5.1. Expliquer pourquoi doit-il y avoir une erreur dans chacune des phrases suivantes : a) La probabilit qu'il pleuve demain est 0,67 et la probabilit qu'il pleuve ou qu'il neige est

0,55. b) La probabilit qu'un tudiant russisse son examen de statistique est 0,82 et la probabilit

qu'il russisse ses examens de statistique et mathmatique est 0,86. c) Les probabilits qu'une secrtaire fasse 0; 1; 2; 3; 4; plus de 4 erreurs lors d'un travail de

dactylographie sont respectivement 0,12; 0,25; 0,36; 0,14; 0,09; et 0,07.

1.5.2. Selon le dernier recensement 55 % de la population sont analphabtes et 51 % de la population sont de sexe fminin. Parmi les femmes, 68 % sont analphabtes.

Calculer la probabilit d'tre : a) Une femme analphabte. b) Une femme non analphabte. c) Un homme analphabte. d) Un homme non analphabte. e) Une personne est choisie au hasard parmi les analphabtes, quelle est la probabilit

qu'elle soit une femme ?

1.5.3. Un portefeuille comprend 3 actions et 2 obligations. a) On tire successivement et sans remise, chaque fois un titre. Quelle est la probabilit

d'avoir une action et une obligation ? b) On tire dans le portefeuille un titre et on note sa catgorie. Si c'est une action on la remet

dans le portefeuille sinon on ne la remet pas. On effectue un second tirage. Quelle est la probabilit d'avoir une action et une obligation ? 1.5.4. Trois familles comprennent respectivement 2 garons et 1 fille; 1 garon et 1 fille; 1 garon et 2 filles. Si on choisit au hasard et indpendamment un enfant de chaque famille, quelle est la probabilit que le groupe des trois enfants ainsi constitu runisse au moins 1 garon et 1 fille ? 1.5.5. Soit A, l'vnement tel qu'une famille a des enfants des deux sexes, et B, l'vnement tel qu'une famille a au plus 1 garon.

a) Montrer que A et B sont des vnements indpendants si une famille a 3 enfants. b) Montrer que A et B sont des vnements dpendants si une famille a 2 enfants.

1.5.6. Dans une population de 10000 personnes, il y a 45 % de fumeurs et 35 % sont atteintes de bronchite. De plus, 65% des personnes atteintes de bronchite sont des fumeurs.

a) Calculer la probabilit pour qu'une personne choisie au hasard dans cette population soit un fumeur bronchitique.

b) Calculer la probabilit pour quune personne choisie au hasard, dans cette population, soit un bronchitique non fumeur.

c) Calculer la probabilit pour qu'une personne choisie au hasard parmi les fumeurs soit atteinte de bronchite.


14

1.5.7. Pour juger de l'efficacit d'une campagne publicitaire ayant port sur un produit, on a sond 1500 personnes, 1000 dans la rgion du Nord et 500 dans la rgion du Sud. Les rsultats sont :

Rgions Connaissent le

produit et le consomment

Connaissent le produit et ne le

consomment pas

Ne connaissent pas le produit

Nord 80 150 770 Sud 50 130 320

Calculer les probabilits suivantes : a) probabilit de connatre le produit.

b) probabilit de connatre le produit et le consommer. c) probabilit de connatre le produit et ne pas le consommer. d) probabilit dtre du nord. e) probabilit dtre du sud. f) Quelle est la probabilit pour quune personne qui connaisse le produit soit

consommatrice de ce produit ? g) Quelle est la probabilit pour quune personne prise au hasard ne connaisse pas le

produit ?

1.5.8. Un avion de guerre passe au-dessus de 3 batteries antiariennes. Chaque batterie a une chance sur trois d'abattre l'avion. Quelle est la probabilit que l'avion soit abattu ?

1.5.9. Une usine s'adresse deux fournisseurs A et B pour l'approvisionnement d'un composant lectronique. Le contrle de conformit effectu sur un chantillon alatoire de composants lectroniques a donn la rpartition suivante des pourcentages de dfauts :

Fournisseur Rpartition du nombre de dfauts 0 dfaut 1 dfaut 2 dfauts Total A 60 % 35 % 5 % 100 % B 65 % 25 % 10 % 100 %

Sachant que 70 % des composants sont achets A et 30 % B : a) Calculer la probabilit pour qu'un composant ne prsente aucun dfaut.

b) Calculer la probabilit pour qu'un composant tir alatoirement et ne prsentant aucun dfaut, provienne de B.

1.5.10. Un chercheur en marketing doit valuer l'efficacit de l'utilisation et de la connaissance du nom d'un produit. Une tude de march a montr que le produit occupe 10 % du march et que 95 % des personnes ayant dj achets ce produit se rappellent le nom du produit, alors que seulement 20 % des non acheteurs le reconnaissent.

Une personne est choisie d'une manire alatoire parmi le groupe des consommateurs.


15

a) Quelle est la probabilit priori acceptable que la personne choisie soit un acheteur du produit ?

b) Sachant que la personne reconnat le nom du produit, quelle est la probabilit posteriori qu'elle fasse partie des acheteurs du produit ?

c) Sachant que la personne ne reconnat pas le nom du produit, quelle est la probabilit posteriori qu'elle fasse partie des acheteurs du produit ?

1.5.11. On dispose de deux sacs. Un sac en jute qui contient 20 pices d'or et 30 pices d'argent et un sac en cuir qui contient 20 pices d'or et 20 pices d'argent. On plonge la main dans lun des deux sacs et on en sort une pice d'or. Quelle est la probabilit pour qu'il s'agisse du sac en cuir ? 1.5.12. Les tudiants d'une cole sont rpartis en trois groupes de 30 %; 34 %; et 36 % des effectifs. Le taux d'absentisme est respectivement de 4 %; 2 %; et 7 %. Un tudiant choisi au hasard s'est rvl de bonne assiduit. Calculer la probabilit que cet tudiant appartienne au groupe 1.

1.5.13. Une classe dtudiants compte 20% dtrangers, 55% de filles parmi les trangers et 52% de filles parmi les nationaux, 5% dabsentisme chez les filles et 8% dabsentisme chez les garons et enfin 70% de malades parmi les filles absentes et 52% de malades parmi les garons absents.

On choisit une personne, au hasard, quelle est la probabilit pour a) quelle soit absente ? b) quelle soit absente et malade

1.5.14. 65 % des tudiants dune cole de gestion sont des scientifiques, et le reste sont des littraires. On sait par ailleurs, que le taux de russite des tudiants scientifiques est de 75 %, alors quil est de 55 % chez les littraires.

Si on choisit au hasard un tudiant, dterminer la probabilit : a) Pour quil soit scientifique, sachant quil a russi. b) Pour quil soit littraire sachant quil na pas russi.

1.5.15. Dans une urne contenant 9 boules numrotes de 1 9, on prlve successivement et avec remise 4 boules.

a) Calculer la probabilit de ne pas obtenir la boule numro 1. b) Calculer la probabilit dobtenir au moins une fois la boule numro 1. c) Combien doit-on prlever de boules pour que la probabilit dobtenir au moins une fois

la boule 1 soit gale 0,75 ?

1.5.16. Quelle est la probabilit pour que deux personnes au moins, parmi 5 personnes, choisies au hasard, soient nes le mme jour de la semaine ?

1.6. SOLUTIONS DES EXERCICES.

1.6.1. Solution de lexercice 1.5.1.

a) Soit p(P) la probabilit pour quil pleuve : on a p(P) = 0,67.


16

Soit p(N ou P) la probabilit pour quil pleuve ou quil neige : on a p(N ou P) = 0,55.

Soit p(N) la probabilit pour quil neige.

Les vnements P : il pleut et N : il neige sont exclusifs, puisquil ne peut pas pleuvoir et neiger, en mme temps, on doit avoir : p(N ou P) = p(P) + p(N) > p(P)

ce qui nest pas le

cas daprs lnonc.

b) Soit p(S) la probabilit que ltudiant russisse son examen de statistique : p(S) = 0,82.

Soit p(S et M) la probabilit que ltudiant russisse ses examens de statistique et de mathmatiques : p(S et M) = 0,86.

Soit p(M) la probabilit que ltudiant russisse son examen de mathmatique.

Les vnements S : russir son examen de statistique et M : russir son examen de mathmatique sont indpendants, on doit avoir p(S et M) = p(S) x p(M)

< p(S)

ce qui nest pas le

cas daprs lnonc.

c) On pose p(i) la probabilit que la secrtaire commette i faute(s) ( i < ou = 4 ) et p(5) la probabilit quelle commette plus de 4 fautes.

Les vnements (1), (2), (3), (4) et (5) sont exclusifs et complmentaires, on doit avoir p(1) + P(2) + p(3) + p(4) + p(5) = 1 ce qui nest pas le

cas daprs lnonc.


On pose : p(A) probabilit dtre analphabte : p(A) = 0,55

p(F) la probabilit dtre une femme : p(F) = 0,51

p(A/F) la probabilit dtre analphabte sachant quon est une femme : p(A/F) = 0,68

a) p(tre une femme analphabte) = p(F) x p(A/F) = 0,51 x 0,68 = 0,35

b) p(tre une femme non analphabte) = p(F) x (1 p(A/F)) = 0,51 x 0,32 = 0,16

c) p(tre un homme analphabte) = p(H) x p(A/H)

Avec : p(H) = p(tre une homme) = 1 p(F) = 0,49

p(A/H) = p(tre analphabte sachant quon est un homme)

Or p(A) = p(A/F) x p(F) + p(A/H) x p(H)


17

Donc p(tre un homme analphabte) = 0,55 0,68 x 0,51 = 0,20

d) p(tre un homme non analphabte) = p(H) x ( 1 p(A/H))

Or p(A/H) = [ p(A) p(A/F) x p(F) ] / p(H) = 0,41

Donc p(tre un homme non analphabte) = 0,49 x 0,59 = 0,29

e) p( tre une femme sachant quon est analphabte ) = p(F/A)

or p(F/A) = [p(A/F) x p(F)] / p(A) = 0,68 x 0,51 / 0,55 = 0,63


a) Les tirages sont sans remise, les vnements A : tirer une action et O : tirer une obligation sont donc dpendants. On a donc :

p(d'avoir une action et une obligation) = p(A et O) + p(O et A)

p(d'avoir une action et une obligation) = p(A) x p(O / A) + p(O) x p(A / O)

or p = (Nombre de cas favorables) / (Nombre de cas possibles)

p(d'avoir une action et une obligation) = (3/5) x (2/4) + (2/5) x (3/4) = 3/5 = 0,6

b) p = p[(A et O)/ si 1er tirage = A on la remet sinon on ne la remet pas)]

p = p[(tirer A puis O sachant quon a tir A et quon la remise) ou (tirer O puis A sachant quon a tir O et quon la pas remise)

p = p(A)xp(O/A) + p(O)xp(A/O)

p = (3/5)x(2/5) + (2/5)x(3/4) = 6/25 + 6/20 = 54/100 = 0,54


p(G) : probabilit de choisir un garon p(F) : probabilit de choisir une fille

p( choisir au moins 1 G et 1 F ) = p(G et G et F) + p(G et F et F) + p(G et F et G) + p(F et F et G) + p(F et G et F) + p((F et G et G)

On a ainsi list tous les cas possibles de tirer au moins une fille et un garon.


18

Avec par exemple : p(G et G et F) : probabilit de choisir 1 G dans la 1re famille, 1 G dans la 2me famille et 1 F dans la 3me famille.

Or p(G et G et F) = p(1 G dans la 1re famille) x p(1 G dans la 2me famille) x p(1 F dans la 3me famille).

donc : p(G et G et F) = (2/3)x(1/2)x(2/3) = 4/18 p(G et F et F) = (2/3)x(1/2)x(2/3) = 4/18 p(G et F et G) = (2/3)x(1/2)x(1/3) = 2/18 p(F et F et G) = (1/3)x(1/2)x(1/3) = 1/18 p(F et G et F) = (1/3)x(1/2)x(2/3) = 2/18 p((F et G et G) = (1/3)x(1/2)x(1/3) = 1/18 p(choisir au moins 1 G et 1 F) = (4+4+2+1+2+1)/18 = 14/18 = 0,7778


a) Cas dune famille de 3 enfants.

p(A) = probabilit qu'une famille ait des enfants des deux sexes.

p(A) = p(G et G et F) + p(G et F et G) + p((F et G et G) + p(G et F et F) + p(F et G et F) + p(F et F et G)

Avec par exemple : p(G et G et F) : probabilit davoir 1 G pour le 1er enfant, 1 G pour le 2me enfant et 1 F pour le 3me enfant.

or p(G et G et F) = p(1 G pour le 1er enfant) x p(1 G pour le 2me enfant) x p(1 F pour le 3me enfant)

donc : p(G et G et F) = (1/2)x(1/2)x(1/2) = 1/8 p(G et F et G) = (1/2)x(1/2)x(1/2) = 1/8 p((F et G et G) = (1/2)x(1/2)x(1/2) = 1/8 p(G et F et F) = (1/2)x(1/2)x(1/2) = 1/8 p(F et G et F) = (1/2)x(1/2)x(1/2) = 1/8 p(F et F et G) = (1/2)x(1/2)x(1/2) = 1/8 p(A) = 6 x 1/8 = 6/8 p(B) = probabilit qu'une famille ait au plus 1 garon. p(B) = p(F et F et F) + p(G et F et F) + p(F et G et F) + p(F et F et G) p(B) = 4 x 1/8 = 4/8 p(A et B) = probabilit qu'une famille ait des enfants des deux sexes et ait au plus 1 garon. p(A et B) = p(G et F et F) + p(F et G et F) + p(F et F et G) p(A et B) = 3/8


19

Or p(A) x p(B) = 6/8 x 4/8 = 24/64 = 3/8

Ce qui fait que p(A et B) = p(A) x p(B), on peut donc conclure que A et B sont indpendants.

b) Cas dune famille de 2 enfants.

p(A) = probabilit qu'une famille ait des enfants des deux sexes. p(A) = p(G et F) + p(F et G)

Avec par exemple : p(G et F) : probabilit davoir 1 G pour le 1er enfant et 1 F pour le 2me enfant.

or p(G et F) = p(1 G pour le 1er enfant) x p(1 F pour le 2me enfant)

donc : p(G et F) = (1/2)x(1/2) = 1/4 p(F et G) = (1/2)x(1/2) = 1/4 p(A) = 2/4 = 1/2 p(B) = probabilit qu'une famille ait au plus 1 garon. p(B) = p(F et F) + p(G et F) + p(F et G) p(B) = 3/4 p(A et B) = probabilit qu'une famille ait des enfants des deux sexes et ait au plus 1 garon. p(A et B) = p(G et F) + p(F et G) p(A et B) = 2/4 = 1/2 p(A et B) p(A) x p(B), on peut conclure que A et B sont dpendants.

1.6.6. Solution de lexercice 1.5.6. Lnonc de lexercice peut se rsumer comme suit :

p(tre fumeur) = p(F) = 0,45 p(tre non fumeur) = p(NF) = 1 p(F) = 0,55 p(avoir une bronchite) = p(B) = 0,35 p(tre non bronchitique) = p(NB) = 1 p(B) = 0,65 p(tre fumeur en tant bronchitique) = p(F/B) = 0,65

a) p(fumeur bronchitique) = p(F et B) = p(B) x p(F/B) = 0,35 x 0,65 = 22,75%

b) p(bronchitique non fumeur) = p(B et NF) or p(B) = P(B et F) + p(B et NF) donc p(B et NF) = p(B) p(B et F) = 0,35 0,2275 = 12,25%

c) p(B/F) = p(B et F) / p(F) = 0,2275 / 0,45 = 0,5056


20


Reprenons le tableau des donnes :

Rgions Connaissent le

produit et le consomment

Connaissent le produit et ne le

consomment pas

Ne connaissent pas le produit

Nord 80 150 770 Sud 50 130 320

On convient des notations suivantes :

A : lvnement connatre le produit et

A lvnement ne pas connatre le produit.

B : lvnement consommer le produit

B lvnement ne pas consommer le produit.

N : lvnement tre du nord. S : lvnement tre du sud.

a) Probabilit de connatre le produit : p(A) = 273,01500

1305015080=

+++

b) Probabilit de connatre le produit et le consommer : p(A et B) = 087,01500

5080=

+

c) Probabilit de connatre le produit et ne pas le consommer.

p(A et

B ) = 187,01500

130150=

+

d) Probabilit dtre du nord : p(N) = 667,015001000

=

e) Probabilit dtre du sud : p(S) = 333,01500500

=

f) On a choisi une personne parmi ceux qui connaissent le produit, quelle est la probabilit quelle soit consommatrice de ce produit ?

p(B/A) = 319,0273,0087,0

)A(p)BetA(p

==

g) Une personne est choisie au hasard au sud : quelle est la probabilit quelle ne connaisse pas le produit.

p(

B /S) = 641,0333,0213,0

333,01500/320

)S(p)etSB(p

===


21


Soit A lvnement que lavion soit abattu.

Soient les vnements A1, abattre lavion avec la 1re batterie ; A2 abattre lavion avec la 2me batterie et A3 abattre lavion avec la troisime batterie.

p(A1) = p(A2) = p(A3) = 31

et A = A1 ou A2 ou A3

La probabilit pour que l'avion soit abattu est la probabilit pour quil soit abattu avec la 1re batterie ou avec la 2me batterie et donc rat par la 1re batterie ou avec la 3me batterie et donc rat par la 1re et la 2me batterie.

p(A) = p(A1) + p(

1A et A2) + p(

1A et

2A et A3)

p(A) = )31

32

32()

31

32(

31

++ = 2719


Reprenons le tableau des donnes :

Fournisseur Rpartition du nombre de dfauts 0 dfaut 1 dfaut 2 dfauts Total A 60 % 35 % 5 % 100 % B 65 % 25 % 10 % 100 %

p(A) = 0,70 et p(B) = 0,30

a) Probabilit pour qu'un composant ne prsente aucun dfaut.

p(0) = p(0 et A) + p(0 et B) = p(A) x p(0/A) + p(B) x p(0/B)

p(0) = 0,70 x 0,60 + 0,30 x 0,65 = 0,615

b) Probabilit pour qu'un composant tir alatoirement et ne prsentant aucun dfaut, provienne de B.

p(B/0) = 317,0615,0

65,030,0)0(p

)B/0(p)B(p)0(p

)0Bet(p=

=

=


Soient les vnements :


22

A : acheteur du produit : p(A) = 0,10 B : connaisseur du produit : p(B/A) = 0,95

de plus : p(B/A) = 0,95 et p(B /

A ) = 0,20

a) Probabilit que la personne choisie soit un acheteur du produit est : p(A) = 0,10

b) Probabilit posteriori qu'une personne reconnaissant le nom du produit, fasse partie des acheteurs du produit.

p(A/B) = )A/B(p)A(p)A/B(p)A(p

)A/B(p)A(p)B(p

)AetB(p

+

=

p(A/B) = 345,020,090,095,010,0

95,010,0=

+

c) Probabilit posteriori qu'une personne ne reconnaissant pas le nom du produit, fasse partie des acheteurs du produit.

p(A/

B ) = )A/B(p)A(p)A/B(p)A(p

)A/B(p)A(p)B(p

)BAet(p

+

=

p(A/

B ) = 007,0)2,01()1,01()95,01(10,0)95,01(10,0

=

+


Soient les vnements :

J : il sagit du sac en jute. C : il sagit du sac en cuir. O : il sagit dune pice dor. A : il sagit dune pice dargent.

Daprs les donnes : p( J ) = p( C ) = 21

= 0,5

p(O/J) = 5020

= 0,4 p(A/J) = 5030

= 0,6

P(O/C) = 4020

= 0,5 P(A/C) = 4020

= 0,5

Calculons : p(C/O) = )J/O(p)J(p)C/O(p)C(p)C/O(p)C(p+


23

p(C/O) =4,05,05,05,0

5,05,0+

= 0,556


Soient les vnements suivants :

G1 : tre un tudiant du groupe 1 : p(G1) = 0,30 G2 : tre un tudiant du groupe 2 : p(G2) = 0,34 G3 : tre un tudiant du groupe 3 : p(G3) = 0,36 A : tre un tudiant absent.

p(A/G1) = 0,04 ; p(A/G2) = 0,02 et p(A/G3) = 0,07

Bonne assiduit est le contraire de labsentisme.

Calculons : p = p(G1/

A )

p =)3G/A(p)3G(p)2G/A(p)2G(p)1G/A(p)1G(p

)1G/A(p)1G(p

++

p = )07,01(36,0)02,01(34,0)04,01(30,0)04,01(30,0

++

donc p(G1/

A ) = 0,301


On peut rsumer lnonc comme suit : soit les vnements

E : tre tranger, p(E) = 0,20 N : tre national, p(N) = 0,80 F : tre fille, p(F/E) = 0,55 et p(F/N) = 0,52 A : tre absent, p(A/F) = 0,05 et p(A/G) = 0,08 M : tre malade, p[M/(F et A)] = 0,70 et p[M/G et A )]= 0,52

a) p(A) = p((A et F) ou (A et G)) or p(A et F) = p(F) x p(A/F)

p(F) = p[(F et E) ou (F et N)]= p(E) x p(F/E) + p(N) x p(F/N) = 0,20.0,55+0,80.0,52 = 52,60%


24

donc : p(A et F) = p(F) x p(A/F) = 0,526.0,05 = 2,63%

de mme p(A et G) = p(G) x p(A/G)

et p(G) = p[(G et E) ou (G et N)] = p(E) x p(G/E) + p(N) x p(G/N) = 0,20.0,45 + 0,80.0,48 = 47,40%

donc p(A et G) = p(G) x p(A/G) = 0,474.0,08 = 3,79%

ce qui donne : p(A) = p[(A et F) ou (A et G)] = 0,0263 + 0,03792 = 0,0642 = 6,42%

b) p(A et M) = p(A) x p(M/A)

or p(M/A) = p[( M et F)/A ou (M et G)/A] = p[( M et F)/A] + p[(M et G)/A]

p[( M et F)/A] = p(M et F et A) / p(A) = p(F) x p[(M et A)/F] / p(A)

p[(M et A)/F] = p(A/F) x p(M/(A et F)) = 0,05 x 0,70 = 0,035

p[(M et G)/A] = p(M et G et A) / p(A) = p(G) x p[(M et A)/G] / p(A)

p[(M et A)/G] = p(A/G) x p(M/(A et G)) = 0,08 x 0,52 = 0,0416

donc : p(M/A) = [0,526 x 0,035 / 0,0642] + [0,474 x 0,0416 / 0,0642] = 0,5939 = 59,39%

p(A et M) = p(A) x p(M/A) = 0,0642 x 0,5939 = 3,81%


On peut rsumer lnonc comme suit : soit les vnements

S : scientifique, p(S) = 0,65 L : littraire, p(L) = 0,35 R : russir, p(R/S) = 0,75 et p(R/L) = 0,55

a) Probabilit pour quil soit scientifique, sachant quil a russi.

p(S/R) = p(S et R) / p(R) = [p(S) x p(R/S)] / p(R) p(R) = p(R et S) + p(R et L) p(R) = p(S) p(R/S) + p(L) p(R/L) = 0,65 x 0,75 + 0,35 x 0,55 = 0,68 p(S/R) = 0,65 x 0,75 / 0,68 = 0,7169

b) Probabilit pour quil soit littraire sachant quil na pas russi.

p(L/NR) = p(L et NR) / p(NR) = [p(L) x p(NR/L)] / p(NR)


25

p(NR) = 1 - p(R) = 1 0,68 = 0,32 p(L/NR) = 0,35 x (1 0,55) / 0,32 = 0,4922


a) Les tirages avec remise sont indpendants, la probabilit de ne pas obtenir la boule 1 est 8/9 pour chaque tirage.

La probabilit de ne pas obtenir la boule numro 1 aprs les 4 tirages est : p1 = 4)

98( =

0,6243

b) On utilise lvnement contraire ne pas obtenir la boule 1 aprs les 4 tirages . La probabilit recherche est donc :

p2 = 1 p1 = 1 0,6243 = 0,3757

c) La probabilit de ne pas obtenir la boule 1 aprs n tirages est : p = n)98(

On cherche n tel que : 1 - n)98( = 0,75 => n)

98( = 0,25

=> log n)98( = log(0,25) => n log(8/9) = log(0,25)

)9/8log()25,0log(

n = = 11,77

Il faut donc prlever 12 boules


La probabilit pour que deux personnes au moins, parmi 5 personnes choisies au hasard, soient nes le mme jour de la semaine, est gale au complment de la probabilit pour que les 5 personnes soient nes dans des jours diffrents.

La premire personne peut tre ne nimporte quel jour de la semaine, soit une probabilit de

77

. La deuxime personne peut tre ne nimporte quel jour des 6 jours restants, soit une

probabilit de 76

. Mme principe pour les autres personnes dont les probabilits respectives

sont 73

et74

;75

.


26

La probabilit recherche est donc : %8573

x74

x75

x76

x771p ==

Il y a donc 85 % de chances pour que deux personnes au moins, parmi 5 personnes choisies au hasard, soient nes le mme jour de la semaine.

Probabilits 2. Variable alatoire

27

CHAPITRE 2 VARIABLE ALEATOIRE

2.1. DEFINITIONS.

Une variable alatoire X est une variable associe une exprience ou un groupe d'expriences alatoires et servant caractriser le rsultat de cette exprience ou de ce groupe d'expriences.

On distingue les variables alatoires qualitatives et les variables quantitatives qui peuvent tre soit discontinues ou discrtes soit continues.

2.1.1. Variable alatoire qualitative.

Une variable alatoire est qualitative si elle est exprime de faon non chiffre.

Exemple : Soit X la variable alatoire qui caractrise le rsultat de l'exprience alatoire "jet d'une pice de monnaie". X est une variable alatoire qualitative, elle ne peut prendre que les valeurs pile ou face.

Pour pouvoir viter de travailler sur des valeurs qualitatives, on a lhabitude daffecter un nombre chacune des valeurs qualitatives, par exemple pour le cas de la pice de monnaie, on pourrait affecter 1 pour la face pile et 0 pour lautre face , de mme pour le d on a lhabitude de numroter de 1 6 ses faces.

Par consquent nous pouvons toujours considrer que nous navons que des variables alatoires quantitatives.

2.1.2. Variable alatoire quantitative discontinue et variable alatoire quantitative continue.

Une variable alatoire est quantitative (discontinue ou continue) si elle est exprime de faon chiffre. La variable ne peut prendre que des valeurs entires, si elle est discontinue ou des valeurs relles, appartenant un intervalle, si elle est continue..

Exemples :

- Soit X la variable alatoire qui caractrise le rsultat de l'exprience alatoire "jet d'un d homogne". X est une variable alatoire quantitative discrte, elle peut prendre les valeurs entires 1, 2, 3, 4, 5, et 6.


28

- Soit X la variable alatoire qui caractrise le nombre de garons dans une famille de quatre enfants. X est une variable alatoire quantitative discrte, elle peut prendre les valeurs entires : 0, 1, 2, 3, et 4.

- Soit X la variable alatoire qui caractrise le poids dune personne choisie dans un groupe. X est une variable alatoire continue, elle peut prendre toutes les valeurs possibles pour le poids dune personne.

- Soit X la variable alatoire qui caractrise la taille dune personne choisie dans un groupe. X est une variable alatoire continue, elle peut prendre toutes les valeurs possibles pour le poids dune personne.

2.2. DISTRIBUTION DE PROBABILITE.

2.2.1. Cas dune variable alatoire discontinue.

La probabilit que la variable alatoire X prenne la valeur k est :

p(k) = p(X = k)

L'ensemble des valeurs admissibles k et des probabilits correspondantes p(k) constitue une distribution de probabilit discontinue. La relation entre k et p(k) est appele loi de probabilit.

Pour toutes les distributions de probabilits dont les valeurs k correspondent des vnements complmentaires, le total des probabilits est gal 1.

1)k(pmk

0k=

=

=

La distribution cumule des probabilits est appele fonction de rpartition :

F(k) = p(X k) = =

x

0k)k(p

0 F(x) 1

2.2.2. Cas dune variable alatoire continue.

Un intervalle continu contient une infinit de valeurs, de ce fait la probabilit 0)xX(p = . La notion de distribution de probabilit n'a donc plus de sens dans le cas dune variable alatoire continue. Par contre la fonction de rpartition conserve toute sa signification.

La fonction f(x), drive de la fonction de rpartition F(x), est appele fonction de densit de probabilit. Elle doit satisfaire la relation suivante :


29

+

= 1dx)x(f

La fonction de rpartition F(x) est dfinie par :

=

x

dt)t(f)x(F

La fonction de rpartition F(x) permet de dterminer la probabilit pour que X soit compris dans un intervalle [a , b]

P(a X b) = F(b) - F(a)

2.3. COUPLE DE VARIABLES ALEATOIRES.

Dans de nombreux cas, les rsultats des expriences alatoires peuvent tre caractriss par deux variables alatoires X et Y. On parle alors de couple de variables alatoires (X , Y). Ces deux variables peuvent tre toutes les deux discrtes, ou toutes les deux continues ou l'une discontinue et l'autre continue.

2.3.1. Couple de variables alatoires discontinues.

Dans le cas d'un couple de variables alatoires quantitatives discontinues (X , Y), les valeurs respectives de x pour X et de y pour Y sont des valeurs entires.

A chaque couple de valeurs (x,y) correspond une probabilit p(x,y) d'observer simultanment la valeur x pour X et la valeur y pour Y. p(X=x et Y=y) = p(x,y)

L'ensemble des valeurs admissibles (x,y) et des probabilits correspondantes p(x,y) forme une distribution de probabilit discontinue deux variables.

La fonction de rpartition F(x,y) est dfinie par : F(x,y) = p( X x et Y y)

Probabilits conjointes :

La probabilit p(xi , yj) est dite probabilit conjointe, sil sagit de la probabilit d'obtenir, en mme temps, la valeur x pour X et la valeur y pour Yj.

p(xi,yj) = p(X=xi et Y=yj)

Probabilits marginales :

La probabilit p(xi) est dite probabilit marginale de X, sil sagit de la probabilit d'obtenir la valeur xi quelque soit la valeur de Y.


30

)x(p)y,x(p ip

1jji =

=

p(yj) est dite probabilit marginale de Y. C'est la probabilit d'obtenir la valeur yj quelque soit la valeur de X.

)y(p)y,x(p jk

1iji =

=

Le cumul de toutes les probabilits conjointes p(xi , yj) est gal 1.

= ===

===

k

1i

p

1jj

k

1ii

p

1jji 1)y(p)x(p)y,x(p

Variables alatoires indpendantes :

Par extension de la notion d'indpendance de deux vnements alatoires, deux variables alatoires discontinues sont indpendantes, si pour tout couple de valeurs (x,y) on a :

p(x,y) = p(x) p(y)

2.3.2. Couple de variables alatoires continues.

Un couple de variables alatoires est continu si les deux variables X et Y sont continues, elles peuvent prendre n'importe quelle valeur relle appartenant un intervalle donn.

Un intervalle continu contient une infinit de valeurs. La probabilit d'obtenir exactement un rsultat donn est gnralement nulle.

0)y,x(p)y Yet xX(p ===

La notion de distribution de probabilit n'a donc plus de sens dans le cas continu. Par contre la fonction de rpartition conserve toute sa signification.

La fonction f(x,y), drive de la fonction de rpartition F(x,y), est appele fonction de densit de probabilit deux variables. Elle doit satisfaire la relation suivante :

+

+

= 1dydx)y,x(f


31

Fonctions de densit de probabilits en marginales :

La fonction de densit de probabilit de x est dfinie par : +

= dy)y,x(f)x(f

La fonction de densit de probabilit de y est dfinie par : +

= dx)y,x(f)y(f L'ensemble des valeurs admissibles (x,y) et la fonction de densit de probabilit

correspondante f(x,y) dfinissent une distribution de probabilit thorique continue deux variables.

La fonction de rpartition F(x,y) est dfinie par :

==x y

dudv)v,u(f)yYetxX(P)y,x(F

Par extension de la notion d'indpendance de deux vnements alatoires, deux variables alatoires continues sont indpendantes, si pour tout couple de valeurs (x,y) :

f(x,y) = f(x) f(y)

2.4. CARACTERISTIQUES D'UNE VARIABLE ALEATOIRE.

2.4.1. Esprance mathmatique.

On appelle esprance mathmatique la valeur moyenne de la variable, elle remplace la moyenne arithmtique dans le cas d'une variable statistique.

Cas discret : = )x(px)X(E

Cas continu : +

= dx)x(fx)X(E Proprits :

L'esprance d'une constante est la constante : E(a) = a

b)X(aE)bax(E +=+ , a et b tant 2 constantes. E(X + Y) = E(X) + E(Y) E(X - Y) = E(X) - E(Y) E(X Y) = E(X) E(Y), si les variables sont indpendantes.


32

2.4.2. Variance et cart-type.

Cas discret : V(X) = E[(X - E(X))] = )x(p))X(Ex( Cas continu : V(X) = E[(X - E(X))] =

+

dx)x(f))x(Ex( 2

L'cart-type est gal la racine carre de la variance : )X(V=

La variance est calcule partir de la formule dveloppe suivante : V(X) = E(X) - E(X)

Proprits :

La variance dune constante : V(a) = 0

)X(Va)baX(V =+ , a et b tant 2 constantes.

Si X et Y sont 2 variables indpendantes, on peut crire :

V(X + Y) = V(X) + V(Y) et V(X - Y) = V(X) + V(Y)

Variable centre rduite :

Une variable alatoire est dite : - centre si son esprance mathmatique est nulle ; - rduite si son cart-type est gal 1.

Toute variable alatoire peut tre transforme en une variable centre rduite par le

changement de variable : X =

)X(EX

2.4.3. Covariance d'un couple de variables alatoires.

COV(X , Y) = E(XY) - E(X) E(Y) Cas discret : = )y,x(p.y.x)XY(E . Cas continu :

+

+

= dydx)y,x(fxy)xy(E

Proprits :

La covariance de deux variables alatoires indpendantes est nulle


33

COV(X , Y) = 0

Soient : X' = aX + b et Y' = cY + d (a, b, c, et d sont des constantes quelconques).

COV(X' , Y') = ac COV(X , Y)

2.5. INEGALITE DE BIENAYME TCHEBYCHEV.

Quelque soit la variable alatoire X, la probabilit d'un intervalle [E(X) - k , E(X) + k] a

pour borne infrieure k

11

L'ingalit de Bienaym Tchebychev scrit :

k11]k)X(EXk)X(E[p +


2.6.1. Une usine employant 30 personnes dont 4 ingnieurs, 10 techniciens et 16 ouvriers. a) On choisit de faon successive 3 employs : calculer la probabilit d'avoir un employ de

chaque catgorie professionnelle. b) On choisit de faon successive 3 employs et soit X la variable alatoire qui reprsente le

nombre d'ingnieurs choisis : donner la loi de probabilit de X.

2.6.2. Pour vendre un article, un producteur dcide de lancer une campagne publicitaire par insertion de photos dans des journaux spcialiss. Le nombre d'articles vendus aprs une parution est une variable alatoire dont la loi de probabilit est la suivante :

Nombre d'articles Probabilit 0

100 200

0,525 0,350 0,125

Le producteur fait 50 parutions indpendamment les unes des autres. Soit X le nombre d'articles vendus grce cette publicit. Calculer l'esprance et la variance de X.

2.6.3. Quatre tudiants dont aucun n'a tudi les sujets du cours passent un examen en deux questions. La question 1 a 4 rponses indiques dont une seule est juste. La question 2 en a 5, dont une seule est juste.

Soit la variable alatoire X qui dsigne le nombre d'tudiants qui ont au moins une rponse correcte.


34

a) Quelle est l'esprance et la variance du nombre d'tudiant qui ont au moins une rponse correcte ?

b) Calculer la probabilit que 2 tudiants au moins aient au moins une rponse correcte.

2.6.4. Dans un groupe de 10 mnages, le revenu annuel est distribu comme indiqu dans le tableau ci-dessous : (les units sont les mmes pour mari et femme)

Mnage 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Revenu du mari 10 15 15 10 10 15 20 15 20 20 Revenu de la femme 5 15 10 10 10 5 10 10 15 10

Un mnage est choisi au hasard, soit X le revenu du mari et Y le revenu de la femme. a) Donner la loi de probabilit du couple (X, Y), en dduire les lois marginales de X et de

Y. b) Calculer le coefficient de corrlation linaire entre X et Y. c) On note S le revenu total du mnage et W le revenu total du mnage aprs impt avec :

S = X + Y et W = 0,6 X + 0,8 Y

Donner la loi de probabilit du couple (S, W).

2.6.5. On est au rez-de-chausse d'un immeuble de 8 tages. Combien de temps pensez-vous pouvoir attendre, en moyenne, un ascenseur qui ne se trouve pas au rez-de-chausse, qui peut se trouver n'importe quel tage avec la mme probabilit et qui met 5 secondes pour passer d'un tage l'autre, son dmarrage et son arrt sont instantans. Chiffrer l'cart type de votre temps d'attente.

2.6.6. Pour une demande alatoire X de denres prissables, un grossiste commande y tonnes de denres chaque jour. La loi de probabilit de X est la suivante :

Demande en tonnes : x 0 1 2 3 4 5 6

probabilits 0,02 0,15 0,25 0,30 0,15 0,10 0,03

1) On demande de a) Calculer la probabilit que le grossiste vende moins de 3 tonnes de denres dans la

journe. b) Calculer le nombre moyen de tonnes vendues chaque jour. c) Calculer l'cart type.

2) Le grossiste gagne 5000 dh par tonne vendue et perd 2000 dh par tonne non vendue. Soit la variable alatoire G dont les valeurs sont gales au gain pour une commande y.


35

Construire un tableau donnant les valeurs de G pour une commande y = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 tonnes ainsi que les probabilits associes. Calculer l'esprance de G pour les mmes valeurs de Y.

2.6.7. Deux comprims sont choisis au hasard dans un flacon contenant 3 aspirines, 2 somnifres et 4 vitamines. Si X et Y reprsentent respectivement le nombre d'aspirines et le nombre de somnifres obtenus, dterminer la loi de probabilit du couple (X, Y).

2.6.8. Dterminer la loi de probabilit de la variable alatoire, nombre de garons d'une famille de 4 enfants.

2.6.9. Le nombre de gteaux qu'un ptissier peut vendre en un jour quelconque est une variable alatoire ayant la distribution de probabilit suivante :

x 0 1 2 3 4 5 P(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Ce ptissier sait qu'il y a un profit de 10 dh pour chaque gteau vendu et une perte de 4 dh pour chaque gteau non vendu.

En supposant que chaque gteau ne peut tre vendu que le jour o il a t prpar : a) Quel est le profit auquel doit s'attendre le ptissier, le jour o il a prpar 5 gteaux ? b) Que serait ce profit attendu si le ptissier avait prpar 3 gteaux uniquement ?

2.6.10. On tudie la dure X des communications tlphoniques dont la fonction de rpartition est :

3) = 0,1 = 1 p(X 3) = 1 F(3) = 1 (1 - 3ke )


49

Ce qui donne 1,0e k3 = Soit -3k = Log(0,1) = -2,3 Soit k = 0,77


4x0sikx)x(F 2 =

a) Calcul de la valeur de k.

La fonction de rpartition est un cumul de probabilits.

1)x(F0 avec 1)0(F)4(F =

161k14xk1)4(F 2 ===

b) Calcul de E(X) et V(X)

Calculons la fonction de densit de probabilit f(x).

8x

.x161

x2)'x161(F'(x)f(x) 2 ====

=

sinon0

4x0si8x

f(x)

- Calcul de E(X) :

+

= dx)x(fx)X(E

+++=

0 4

0 4dx0.xdx

8x

.xdx0.x)X(E

++=4

0

2

0dx8x0)X(E

380

244

24x)X(E

34

0

3

==

=


50

- Calcul de V(x) : V(X) = E(X2) E(X)2

+

= dx)x(fx)X(E 22

+

++=4

0 4220 22 dx0.xdx

8x

.xdx0.x)X(E

=4

0

32 dx

8x)X(E

8032x)X(E

4

0

42

=

=

98)

38(8)X(E)X(E)X(V 222 ===

Lcart type de x est :

94,098)X(V ===

c) Calcul de )3x1(P

211x

1613x

161)1(F)3(F)3x1(P 22 ===


1000x

e1000

1)x(f = pour x > 0

+

+ +

===0 0

1000x

1000x

dxe.x1000

1dxe1000

1.xdx)x(f.x)X(E Calculon

s, en utilisant la mthode dintgration par parties

+

01000

x

dxex La mthode dintgration par parties est base sur la formule suivante :

[ ] =bab

a

ba

dx)x(g)x('f)x(g)x(fdx)x('g)x(f On pose : 1)x('fx)x(f ==

1000x

1000x

e1000)x(ge)x('g ==


51

++

=00

1000x

dx)x('g)x(fdxex

+

+

=

01000

x

0

1000x

dxex)1000(x1ex1000

dxe100000

1000x

+

+=

+

=

0

1000x

e)1000(x1000

22 1000)10(1000 ==

heures10001000x1000

1)X(E 2 ==

La dure de vie attendue dune ampoule est 1000 heures.


1x0sibxax)x(f 2 +=

a) Calcul des constantes a et b

f(x) est une fonction de densit de probabilit, elle remplit donc la condition :

+

=+=1

02 1dx)bxax(1dx)x(f 1

3xb

2x

a

1

0

32

=

+

6b2a313b

2a

=+=+ a233

2a36b ==

On a daprs les donnes : 32)x(E =

+

=+=1

02

32dx)bxax(x

32dx)fx(x

32

4xb

3ax

32dx)bxax(

1

0

431

032

=

+=+


52

8b3a432

4b

3a

=+=+

12a8a

299a48)a

233(3a4 ==+=+

2a = et 02x233b ==

1x0six2)x(f =

b) Calcul de lcart type

22 )X(E)X(E)X(V =

+

= dx)x(fx)X(E 22

21

4x2dxx2dxx2.x)X(E

1

0

41

031

022

=

===

181)

32(

21)X(V 2 == => Lcart type : 2357,0

181

==


>

p = 1 / 216

Il y a 1 chance sur 216 pour que le rsultat dun jet de 3 ds soit 18, soit un peu plus que 0,46%.


Les variables x, y et z sont des variables alatoires discrtes, rsultats dexpriences alatoires.

Les variables x et y sont des variables alatoires discrtes, quiprobables ; elles peuvent prendre les valeurs 1 ou 0 avec 1/2 de chance pour chaque chiffre.

On applique la formule gnrale de la probabilit et qui est :

Probabilits 3. Analyse combinatoire et calcul de probabilits

72

p = Nombre de cas favorables / Nombre de cas possibles

a) Nombre de cas favorables = 1

Il ny a quune seule faon davoir 2 comme rsultat, cest que les rsultats des deux jets soient faces.

Nombre de cas possibles = 2 x 2 = 4

Donc p = 1 / 4 = 25%

Il y a 25% de chance pour que le rsultat des 2 jets soit face chaque fois.

b) Nombre de cas favorables = 2

Il y a 2 faons davoir 1 comme rsultat, cest que les rsultats des deux jets soient : (1 ;0) ou (0 ;1).

Nombre de cas possibles = 2 x 2 = 4

Donc p = 2 / 4 = 50%

Il y a 50% de chance pour que le rsultat des 2 jets soit face, une seule fois.

c) Pour dterminer la loi de probabilit de z, il suffit de calculer les probabilits, pour ce faire, nous avons :

p(z = 0) = 1 / 4 p(z = 1) = 1 / 2 p(z = 2) = 1 / 4

d) Daprs la loi que nous venons dtablir, nous avons :

p(0 < z 2) = p((z = 1) ou (z = 2) = 1/2 + 1/4 = 3 / 4 = 75%

Il y a 75% de chance pour que le rsultat des 2 jets dune pice de monnaie soit strictement suprieur 0 et infrieur ou gal 2.


On applique la formule gnrale de la probabilit et qui est :


a) Nombre de cas favorables = C1040 x C1020


73

Les combinaisons C1040 x C1020 donnent les nombres de possibilits de slectionner 10 postulants parmi les 40 du sud et les 10 autres parmi les 20 restants.

Nombre de cas possibles = C2060

La combinaison C2060 donne le nombre de possibilits de slectionner 20 postulants parmi 60.

Donc == 2060

1020

1040

CCCp 0,0374

Il y a 3,74 % de chances pour que 10 slectionns parmi les 20 soient du Sud.

b) Entre 16 et 18 slectionns soient du Sud, c'est--dire 16, 17 ou 18.

Donc 2060

420

1640

CCCp = + 20

60

320

1740

CCC

+ 2060

220

1840

CCC

p = 0,0726+ 0,0241 + 0,0051 = 0,1018

Il y a 10,18 % de chances pour quentre 16 et 18 slectionns soient du Sud.


Pour calculer les probabilits des diffrentes figures nous utiliserons la formule gnrale.


Le nombre de cas possibles est le nombre de faons de choisir 5 cartes parmi 32 soit :

7.29.31.32.2.3.4.5

28.29.30.31.32C532 ==

a) Calcul des probabilits de diffrentes figures

Pour ce calcul, il est prfrable de commencer par les figures les plus remarquables.

a1) Probabilit de 2P

120133,029.31

10829.31

4.3.3.3C

CCCC)P2(p 532

124

24

24

28

====

Pour avoir 2 paires, il faut :


74

- Dabord choisir 2 hauteurs parmi 8 et aprs 2 fois 2 cartes parmi les 4 cartes de la mme hauteur (ce sont les 2 paires) ;

- Enfin choisir une 5me carte parmi les 24 cartes restantes lorsquon aura cart les 2 fois 4 cartes parmi lesquelles nous avons dj choisi les 2 paires.

a2) Probabilit de Qf

000079,07.29.31.2

1C

4.C)Qf(p 532

14

===

Pour avoir une Quinte floch, il faut :

- Dabord choisir une couleur parmi les 4 couleurs qui existent ; - Enfin choisir parmi les 8 cartes de la couleur 5 cartes qui se suivent et l on a 4

possibilits qui sont : 7-8-9-10-V ; 8-9-10-V-D ; 9-10-V-D-R et 10-V-D-R-As.

a3) Probabilit de Cr : 001112,029.31

1C

C.C.C)Cr(p 532

128

44

18

===

Pour avoir un Carr, il faut :

- Dabord choisir une hauteur parmi les 8 et aprs choisir 4 cartes parmi les 4 de mme hauteur (cest le carr) ;

- Enfin choisir la 5me carte parmi les 28 cartes restantes lorsquon aura cart les 4 cartes formant le carr.

a4) Probabilit de Fl : 006674,029.31

6C

CCCC)Fl(p 532

34

17

24

18

===

Pour avoir un full, il faut

- Dabord choisir une hauteur parmi 8 et aprs choisir 2 cartes parmi les 4 cartes de la mme hauteur (cest la paire) ;

- Enfin choisir une autre hauteur par les 7 restantes et aprs choisir 3 cartes parmi les 4 cartes de la mme hauteur (cest le Brelan).

a5) Probabilit de Brelan

053393,029.31

48

C

CCCCC)Br(p

532

14

14

27

34

18

===

Pour avoir un Brelan, il faut :

- Dabord choisir une hauteur parmi les 8 hauteurs existantes et aprs choisir 3 cartes parmi les 4 cartes de la mme hauteur (cest le Brelan) ;


75

Enfin choisir 2 hauteurs parmi les 7 hauteurs qui restent et aprs choisir de chacune des 2 hauteurs 1 carte parmi 4 (cest les 2 singletons).

On aurait pu constituer un brelan dune autre faon :

- Dabord choisir une hauteur parmi les 8 hauteurs existantes et aprs choisir 3 cartes parmi les 4 cartes de la mme hauteur (cest le brelan) ;

- Ensuite choisir 2 cartes parmi les 28 autres cartes restantes une fois quon a retir les 4 cartes parmi lesquelles on a choisi le brelan ;

- Enfin soustraire la probabilit dun full car lors de la deuxime tape on na pas cart la possibilit davoir une paire dans le choix de 2 cartes parmi les 28.

29.3148

29.316

29.3154

)Fl(pC

CCC)Br(p 532

228

34

18

==

=

a6) Probabilit dune couleur

001033,07.29.31.2

5,6C

)4C.(C)Cl(p 532

58

14

==

=

Pour avoir une couleur, il faut :

- Dabord choisir une couleur parmi 4 ; - Ensuite choisir 5 cartes parmi les 8 cartes de la couleur choisie ; - Enfin retirer les 4 possibilits davoir une suite de 5 cartes dans le choix de 5 cartes

parmi 8.

On aurait faire ce calcul dune autre faon : 7.29.31.2

13)Qf(pC

C.C)Cl(p 532

58

14

==

- Dabord choisir une couleur parmi 4 ; - Ensuite choisir 5 cartes parmi les 8 cartes de la couleur choisie ; - Enfin soustraire la probabilit dune Qf car la 2me phase nexclut pas cette possibilit.

a7) Probabilit dune paire

532

14

14

14

37

24

18

CCCCCCC)P1(p = - p(Cl) = 0,532894

Pour avoir une paire, il faut :


76

- Dabord choisir une hauteur parmi les 8 hauteurs existantes et aprs choisir 2 cartes parmi les 4 cartes de la mme hauteur (cest la paire) ;

- Ensuite choisir 3 hauteurs diffrentes parmi les 7 autres hauteurs restantes et aprs choisir 3 fois 1 carte parmi les 4 cartes des hauteurs choisies (cest les 3 singletons).

- Enfin soustraire la probabilit dune couleur car le mode opratoire choisi ncarte pas cette possibilit

a8) Probabilit dune Quinte

001033,07.29.31.2

13C

)4C.(4C

)4K.(4)Qt(p 532

58

532

54

==

=

=

Pour avoir une Quinte, il faut :

- Dabord choisir une suite parmi les 8 hauteurs existantes et l il ny a que 4 possibilits qui sont ; 7-8-9-10-V, 8-9-10-V-D, 9-10-V-D-R-A ;

- Ensuite il faut choisir 5 couleurs parmi les 4 couleurs existantes avec possibilit de rptition ;

- Enfin il faut retirer les 4 cas possibles pour que les 5 cartes ne soient pas toutes de la mme couleur.

b) Nous pouvons maintenant classer les 4 figures, en effet :

p (1P) > p (2P) > p (Br) > p (Fl) > P (Cr) > p (Cl) = p (Qt) > p (Qf)

Donc 1P < 2P < Br < Fl < Cr < Cl = Qt < Qf

c) Probabilit dune main sans figure ou main quelconque, Qc

532

14

14

14

14

14

58

CCCCCCC)Qc(p = - p(Cl) + p(Qf) = 0,283648

(N.B. : Ce rsultat est obtenu grce des calculs exacts).

Pour avoir une main quelconque, il faut :

- Dabord choisir 5 hauteurs parmi les 8 hauteurs existantes ; - Ensuite il faut choisir 5 fois une carte parmi les 4 cartes existantes dans les hauteurs

choisies ; - Enfin il faut viter les figures Cl, Qt et Qf car le mode opratoire ne les carte pas ; pour

ce faire il suffit de retirer p(Cl) et dajouter p(Qf). (Pour comprendre ce qui prcde, il suffit de se reporter aux calculs donnant p(Cl) ; p(Qt) et p(Qf).

Une autre faon de calculer la probabilit davoir une main quelconque consiste

P(Qc) = 1 [p(1P) + p(2P) + p(Br) + p(Fl) + P(Cr) + p(Q) + p(Qt) + p(Qf)] = 0,283648


77

(N.B. : Ce rsultat est obtenu grce des calculs exacts des toutes les autres probabilits dj trouves ).

En effet une main quelconque est la figure complmentaire de toutes les autres figures runies, lesquelles sont exclusives.

Remarquons que le fait de trouver chaque fois les mmes rsultats confirme la validit de tous les calculs de cet exercice.

Le classement des probabilits des diffrentes figures est :

p( 1P ) > p( Qc ) > p( 2P ) > p( Br ) > p( Fl ) > p( Cr ) > p( Cl) = p( Qt ) > p( Qf.)

De ce fait le classement des figures devient :

1P < Qc < 2P < Br < Fl < Cr < Cl = Qt < Qf

Voil ce que donnent les calculs comme classement !

Cependant il y a lieu de signaler quhabituellement, on classe la main figure Qc infrieure une main 1P et lon convient, avant chaque partie, de classer la main une Cl infrieure ou suprieure la main une Qt.


Pour calculer la probabilit nous utiliserons la formule gnrale.


Nombre de cas favorables = 1 Nombre de cas possibles : il sagit des applications de lensemble des 10 matchs dans

lensemble des 3 rsultats possibles. Il existe 310 = 59049 faons de remplir la feuille rponse.

La probabilit recherche est donc : p = 1/59049

Il y a une chance sur 59049 pour gagner ce jeu de toto foot si on joue une feuille.

Si lon joue 2 feuilles, les 2 vnements tant indpendants, on gagne si une des deux feuilles, au moins, est gagnante :

p(Feuille1 ou Feuille2) = p(Feuille1) + p(Feuille2) = 2. p(Feuille) = 2 / 59049

Il y a videmment 2 chances sur 59049 pour gagner ce jeu de toto foot si on joue 2 feuilles.

Probabilits. 4. Lois de probabilit discrtes L

78

CHAPITRE 4 LOIS DE PROBABILITE DISCRETES

Les lois thoriques essaient de dcrire des phnomnes statistiques dans le but de calculer la probabilit de certains vnements et donc d'avoir une certaine reprsentation de l'avenir.

4.1. LOI DE BERNOULLI.

La loi de Bernoulli intervient dans le cas d'une seule exprience alatoire laquelle on associe un vnement alatoire quelconque.

La ralisation de l'vnement au cours de cette exprience est appele succs et la probabilit de ralisation est dite probabilit de succs, dsigne par p. Par contre la non ralisation de l'vnement est appele chec et la probabilit de non ralisation est dite probabilit d'chec, dsigne par q.

q = 1 - p

La variable alatoire X qui caractrise le nombre de succs au cours d'une seule exprience alatoire est appele variable de Bernoulli : elle prend les valeurs entires 0 et 1 avec les probabilits respectives q et p.

Loi de probabilit d'une variable Bernoulli

x p(x) 0 1

q P

Total 1

Les caractristiques d'une variable Bernoulli sont :

E(X) = pp1q0)x(xp =+=

E(X) = pp1q0)x(px =+=

V(X) = E(X) - E(X) = p - p = p (1 - p) = pq

4.2. LOI BINOMIALE.

La loi binomiale intervient dans le cas de plusieurs expriences alatoires identiques et indpendantes auxquelles on associe un vnement alatoire quelconque.


79

Les probabilits p et q restent constantes au cours d'une suite d'expriences alatoires. C'est le cas des prlvements d'individus au hasard dans une population infinie ou le prlvement d'individus dans une population finie, lorsque les individus sont remis en place au fur et mesure des prlvements.

La variable alatoire X qui caractrise le nombre de succs au cours de n expriences alatoires indpendantes est appele variable binomiale : elle prend les valeurs entires de 0 n.

La probabilit d'obtenir k succs et donc (n-k) checs au cours de n expriences alatoires indpendantes est, pour k = 0, 1, ..., n :

knkkn

qp)k(p C =

La loi binomiale dpend de deux paramtres :

n = nombre d'expriences alatoires indpendantes ; p = probabilit de succs au cours de chacune des n expriences alatoires, p doit rester

constante.

Une variable alatoire X qui suit une loi binomiale de paramtres n et p, est note par :

L(X) = B(n , p)

Caractristiques d'une variable binomiale :

E(X) = np et V(X) = npq

4.3. LOI POLYNOMIALE.

La loi polynomiale est une gnralisation de la loi binomiale. Elle intervient dans le cas de plusieurs expriences alatoires identiques et indpendantes auxquelles on associe k vnements alatoires complmentaires quelconques. Les probabilits de succs respectives des k vnements sont dsignes par p1, p2, , et pk.

Avec 1pk

1ii =

=

Les probabilits de succs pi (i =1 k) restent constantes au cours d'une suite d'expriences alatoires.

Les variables alatoires X1, X2, , Xk dsignent respectivement les nombres de succs au cours de n expriences alatoires indpendantes pour chacun des k vnements. Chaque variable alatoire Xi peut prendre les valeurs entires de 0 n. Ces variables sont telles que :


80

nxk

1ii =

=

La probabilit d'obtenir m1 succs pour l'vnement 1, et m2 succs pour l'vnement 2, , et mk succs pour l'vnement k au cours de n expriences alatoires indpendantes est :

k21 m

km

2m

1k21

k21 ppp!m !m !m!n)m,,m,m(p KK

K

=

4.4. LOI HYPERGEOMETRIQUE.

La loi hypergomtrique intervient dans le cas de plusieurs expriences alatoires dpendantes auxquelles on associe un caractre tudi quelconque.

La probabilit de succs varie d'une exprience alatoire l'autre. C'est le cas des prlvements d'individus au hasard dans une population finie, lorsque les individus ne sont pas remis en place au fur et mesure des prlvements.

Dsignons par N l'effectif total de la population dans laquelle on prlve au hasard et sans remise n individus. La population est compose d'individus qui possdent le caractre tudi, le nombre de ces individus sera dsign par n1. n2 dsigne le nombre d'individus de la population qui ne possdent pas le caractre tudi.

N = n1 + n2

La variable alatoire X, qui caractrise le nombre d'individus prlevs qui possdent le caractre tudi, est appele variable hypergomtrique : elle prend les valeurs entires de 0 n.

La probabilit d'obtenir k individus possdant le caractre tudi parmi les n individus prlevs et donc (n-k) individus ne possdant pas le caractre tudi est, pour k = 0, 1, ..., n :

CCC

n

N

knn

kn 21)k(p

=

La loi hypergomtrique dpend de trois paramtres :

N = effectif total de la population ; n1 = nombre d'individus de la population qui possdent le caractre tudi ; n = nombre d'individus prlevs sans remise.

Une variable alatoire X qui suit une loi hypergomtrique de paramtres N, n1, et n est note par :


81

L(X) = H(N, n1 , n)

Caractristiques d'une variable hypergomtrique :

E(X) = np et V(X) = 1NnN

avec Nnp 1=

4.5. LOI HYPERGEOMETRIQUE GENERALISEE.

La loi hypergomtrique gnralise est une gnralisation de la loi hypergomtrique. Elle intervient dans le cas de plusieurs expriences alatoires dpendantes auxquelles on associe k caractres tudis. C'est le cas des prlvements d'individus au hasard dans une population finie, lorsque les individus ne sont pas remis en place au fur et mesure des prlvements.

Dsignons par N l'effectif total de la population dans laquelle on prlve au hasard et sans remise n individus. La population est compose d'individus qui possdent le 1er caractre tudi, le nombre de ces individus sera dsign par n1. n2 dsigne le nombre d'individus de la population qui possdent le 2me caractre tudi, , nk dsigne le nombre d'individus de la population qui possdent le kme caractre tudi.

N = n1 + n2 + + nk

Les variables alatoires X1, X2, , Xk dsignent respectivement les nombres d'individus prlevs qui possdent le 1er caractre, le 2me caractre, , et le kme caractre. Chaque variable alatoire Xi peut prendre les valeurs entires de 0 n. Ces variables sont telles que :

nxk

1ii =

=

La probabilit d'obtenir x1 individus possdant le 1er caractre, et x2 individus possdant le 2me caractre, , et xk individus possdant le kme caractre parmi les n individus prlevs est

CCCC

n

N

m

n

m

n

m

n

k21

k

k

2

2

1

1)m,,m,m(p

=

K

K

4.6. LOI DE POISSON.

La loi de Poisson intervient pour des phnomnes statistiques dont le nombre de ralisation varie de 0 l'infini et dont la frquence moyenne de ralisation est connue.

Exemple :

Nombre d'appels reus par un standard tlphonique. Nombre d'accidents de la circulation.


82

Nombre de visiteurs d'un centre commercial.

La variable alatoire X qui caractrise le nombre de ralisations de ce phnomne est appele variable de Poisson : elle prend les valeurs entires 0,1, 2, etc.

La probabilit d'obtenir k ralisations est, pour k = 0, 1, 2, ... : !kme)k(p

km =

La loi binomiale dpend d'un seul paramtre :

m = frquence moyenne du phnomne tudi.

Une variable alatoire X qui suit une loi de Poisson de paramtre m est note par :

L(X) = P(m)

Caractristiques d'une variable de Poisson :

E(X) = V(X) = m

La somme de deux ou plusieurs variables de Poisson indpendantes de paramtres respectives m1, m2, , mk est elle-mme une variable de Poisson de paramtre la somme des paramtres mi.

X1 = P(m1) X2 = P(m2) Xk = P(mk)

X1 + X2 + + Xk = P(m1 + m2 + + mk)


4.7.1. Dans un portefeuille comprenant 20 actions et 30 obligations, on prlve 7 titres au hasard. Quelle est la probabilit d'obtenir 4 actions dans le cas :

a) d'un tirage sans remise ; b) d'un tirage avec remise.

4.7.2. Des chambres air sont produites en srie et 5 % ont des dfauts. Un garagiste en achte 10.

a) Quelle est la probabilit que les 10 soient en bon tat ? b) On suppose qu'il annule sa commande si plus de 2 articles ont des dfauts. Quelle est la

probabilit qu'il annule sa commande ?

4.7.3. Un lot important de pices fabriques contient 1 % de pices dfectueuses. Quelle est la probabilit d'avoir dans un chantillon de 10 pices exactement 2 pices dfectueuses.


83

4.7.4. Un contrle rigoureux des ampoules lectriques fournies par un atelier a permis de constater que sur 14760 ampoules, il y avait 738 ampoules dfectueuses.

Soit X le nombre des ampoules dfectueuses figurant dans un lot de 60 ampoules. a) Indiquer la loi de probabilit de X. b) Quelle est la probabilit d'avoir plus de 3 ampoules dfectueuses dans un lot de 60

ampoules ? c) Quelle est la probabilit d'avoir 78 ampoules bonnes dans un lot de 80 ampoules ?

4.7.5. 30 tudiants dont aucun n'a tudi les sujets du cours passent un examen en deux questions. La question 1 a 4 rponses indiques dont une seule est juste. La question 2 en a 5, dont une seule est juste.

Soit la variable alatoire X qui dsigne le nombre d'tudiants qui ont au moins une rponse correcte.

a) Quelle est l'esprance du nombre d'tudiant qui ont au moins une rponse correcte ? b) Calculer la probabilit pour que 15 tudiants de la classe aient au moins une rponse

correcte.

4.7.6. Un satellite de tldtection effectue 6 passages par mois au-dessus d'une rgion donne. Les photos ralises lors des diffrents passages peuvent tre inutilisables, du fait notamment de la prsence d'une couverture nuageuse.

Quelle doit tre la probabilit d'obtenir une photo valable lors d'un passage donn pour que la probabilit d'avoir au moins une photo valable par mois soit de 0,9 ?

4.7.7. Un tudiant doit passer un examen, il a dix sujets apprendre, il n'en apprend que trois. Sachant qu'on lui posera deux questions :

a) Calculer la probabilit pour que les questions poses soient parmi les trois sujets appris. b) Combien aurait-il d au minimum apprendre de sujets pour que cette probabilit soit

suprieure ou gale 0,5 ?

4.7.8. Une socit achte des lots importants d'un composant lectronique. La dcision d'accepter ou de refuser ces lots est base sur un chantillon de 20 pices choisies au hasard. Sil y a une ou plusieurs pices dfectueuses parmi les 20 pices examines le lot est refus, autrement il est accept.

On considre un lot important ayant 1 % de pices dfectueuses : calculer la probabilit de refuser ce lot.

4.7.9. Une compagnie d'assurance automobile gre 1000 polices. On admet que chaque automobiliste a une probabilit de 0,004 d'avoir un accident durant l'anne. Soit X la variable alatoire qui dsigne le nombre d'accidents enregistrs.

a) Dterminer la loi de X et donner ses paramtres. b) Calculer l'esprance mathmatique et l'cart type de X. c) Chaque accident cote la compagnie 4000 dirhams ; soit la variable alatoire Y qui

dsigne le cot annuel total. Dterminer la loi de Y et calculer son esprance mathmatique et son cart type.


84

4.7.10. Un appareil lectronique utilise 20 transistors identiques dans sa fabrication. On admet que ces transistors sont les seules sources de panne de l'appareil. La probabilit qu'un transistor soit dfectueux est de 0,1. Ds qu'un appareil contient au moins deux transistors dfectueux, il tombe en panne.

a) Quelle est la probabilit qu'un appareil tombe en panne ? b) Jugeant l'appareil prcdant peu rentable, on en construit un autre dont la probabilit de

tomber en panne est gale 0,2. Sur un lot de 2000 appareils, quel est le nombre d'appareils en panne auquel doit-on s'attendre ? et avec quel cart type ?

4.7.11. Il a t constat que le nombre de bateaux qui mouillent dans un port est de 90 bateaux par mois. Calculer la probabilit que :

a) Aucun bateau ne mouille pendant 1 jour. b) Le nombre de bateaux qui mouillent est au moins gal 3 pendant un jour.

4.7.12. Une compagnie d'assurance a organis la gestion d'un certain type de risque sur la base d'une distinction gographique qui reflte une diffrence dans l'intensit de ce risque.

Pour la rgion du Nord, on peut considrer que le nombre de sinistres enregistrs au cours d'une semaine suit une loi de Poisson de paramtre gal 3. Pour la rgion du sud totalement indpendante de la rgion du Nord, le nombre hebdomadaire de sinistres suit une loi de Poisson de paramtre gal 2.

a) Quelle est la probabilit pour que dans une semaine donne, la compagnie ait indemniser 4 sinistres ?

b) Le cot moyen de l'indemnisation d'un sinistre est de l'ordre de 25000 dirhams. Calculer la probabilit pour que dans une semaine donne, la compagnie doive dbourser plus de 150000 dirhams.

c) Pour une semaine donne, calculer la probabilit d'avoir indemniser le mme nombre de sinistres dans chaque rgion, ce nombre commun tant strictement suprieur zro et infrieur 3.

4.7.13. Un mensuel lance une campagne publicitaire, pour susciter de nouveaux abonnements, en envoyant un spcimen gratuit des personnes susceptibles de s'abonner.

La probabilit pour que l'envoi d'un spcimen entrane un abonnement est gale 0,03. a) Sachant que le cot publicitaire par personne est de 2 dirhams et que le gain brut

escompt pour un abonnement est de 120 dirhams, calculer l'esprance mathmatique du gain pour un envoi de 10000 spcimens.

b) Calculer la probabilit que l'envoi de 10 spcimens donne plus de 1 abonnement.

4.7.14. Les chances d'effectuer la vente d'un certain produit lors d'une sollicitation tlphonique sont values 5 %. Au cours de 2 heures, une agence spcialise dans la vente de ce produit place 180 appels.

a) Combien de ventes peut-elle esprer obtenir au cours de 2 heures ? b) Quelle est la probabilit qu'elle russisse plus de 10 ventes ?

4.7.15. Une usine emploie 30 personnes dont 4 ingnieurs, 10 techniciens et 16 ouvriers.


85

a) On choisit de faon successive 3 employs : calculer la probabilit d'avoir un employ de chaque catgorie professionnelle.

b) On choisit de faon successive 3 employs et soit X la variable alatoire qui reprsente le nombre d'ingnieurs choisis : donner la loi de probabilit de X.

4.7.16. 2 comprims sont choisis au hasard dans un flacon contenant 3 aspirines, 2 somnifres et 4 vitamines. Si X, Y et Z reprsentent respectivement le nombre d'aspirines, le nombre de somnifres et le nombre de vitamines obtenus, dterminer la loi de probabilit du couple (X, Y).

4.7.17. Dterminer la loi de probabilit de la variable alatoire, nombre de garons d'une famille de 4 enfants. 4.7.18. Sur 60 candidats l'entre dans un tablissement, 40 sont du Sud. Si 20 candidats sont slectionns au hasard, calculer la probabilit pour que :

a) 10 slectionns soient du Sud. b) Entre 16 et 18 slectionns soient du Sud.

4.8. SOLUTIONS DES EXERCICES DAPPLICATION.

4.8.1. Solution de lexercice 4.7.1. a) Cas d'un tirage sans remise.

Soit X la variable alatoire qui dsigne le nombre dactions tires.

On effectue quatre tirages sans remise dans une population finie. Lvnement tirer une action correspond un succs dont la probabilit varie dun tirage un autre (tirage sans remise). Il sagit donc dune loi hypergomtrique de paramtres :

Effectif total de la population : N = 50 Nombre de succs dans la population : n1 = 20 Nombre dchecs dans la population : n2 = 30 Nombre de tirages : n = 7 et k = 4 L(X) = H(50, 20 , 7)

CCC

n

N

knn

kn 21)k(p

=

CCC750

330

420)4(p)4X(p === =

9988440040604845

= 0,1969

b) Cas d'un tirage avec remise.

Soit X la variable alatoire qui dsigne le nombre dactions tires.


86

On effectue quatre tirages avec remise dans une population finie. Lvnement tirer une action correspond un succs dont la probabilit ne varie pas dun tirage un autre (tirage avec remise). Il sagit donc dune loi binomiale de paramtres :

Nombre de tirages : n = 7 Probabilit de succs : p = (20 / 50) = 0,4 L(X) = B(7 , 0,4)

knkkn

qp)k(p C = p(X = 4) = 3447 )4,01(4,0)4(p C = = 0,1935

On remarque que la probabilit de succs dans un tirage sans remise est suprieure celle dans un tirage avec remise, ce qui est normal.


a) Probabilit que les 10 chambres air achetes soient en bon tat. Soit X la variable alatoire qui dsigne le nombre de chambres air en bon tat. Lvnement acheter une chambre air en bon tat correspond un succs dont la

probabilit ne varie pas. Il sagit donc dune loi binomiale de paramtres : Nombre de tirages : n = 10 Probabilit de succs : p = 1 - 0,05 = 0,95

L(X) = B(10 , 0,95) knkk

nqp)k(p C =

p(X = 10) = 0101010 )95,01(95,0)10(p C = = 0,5987

Il y a environ 60 % de chances que les 10 chambres air achetes soient toutes en bon tat.

b) Probabilit dannuler la commande. Le garagiste annule sa commande si plus de 2 articles ont des dfauts. Ce qui est quivalent

avoir moins de 8 articles en bon tat.

p(X < 8) = 1 p(X 8) = 1 [p(8) + p(9) + p(10)] 288

10 )95,01(95,0)8(p C = = 0,0746 199

10 )95,01(95,0)9(p C = = 0,3151 01010

10 )95,01(95,0)10(p C = = 0,5987 p(X < 8) = 1 (0,0746 + 0,3151 + 0,5987) = 0,0116

Il y a un risque de 1,16 % que le garagiste annule sa commande.


87


Soit X la variable alatoire qui dsigne le nombre de pices dfectueuses. Lvnement pice dfectueuse correspond un succs dont la probabilit ne varie pas. Il

sagit donc dune loi binomiale de paramtres :

Nombre de tirages : n = 10 Probabilit de succs : p = 0,01 L(X) = B(10 , 0,01)

knkkn

qp)k(p C = p(X = 2) = 82210 )01,01(01,0)2(p C = = 0,0042

Il y a un risque de 0,42 % davoir 2 pices dfectueuses.

4.8.4. Solution de lexercice 4.7.4. a) Loi de probabilit de X. X, le nombre des ampoules dfectueuses figurant dans un lot de 60 ampoules. Lvnement ampoule dfectueuse correspond un succs dont la probabilit ne varie pas

(population infinie). Il sagit donc dune loi binomiale de probabilit de succs :

p = (738 / 14760) = 0,05

b) Probabilit d'avoir plus de 3 ampoules dfectueuses dans un lot de 60 ampoules. L(X) = B(60 ; 0,05) p(X > 3) = 1 - p(X 3) = 1 [p(0) + p(1) + p(2) + p(3)]

0461,095,0x05,0xC 600060 = 1455,095,0x05,0xC 591160 = 2259,095,0x05,0xC 582260 = 2298,095,0x05,0xC 573360 =

p(X > 3) = 1 - (0,0461 + 0,1455 + 0,2259 + 0,2298) = 0,3527 Il y a un risque de 35,27 % davoir plus de 3 ampoules dfectueuses dans un lot de 60

ampoules.

c) Probabilit d'avoir 78 ampoules bonnes dans un lot de 80 ampoules. Avoir 78 ampoules bonnes dans un lot de 80 ampoules est quivalent avoir 2 ampoules

dfectueuses.

L(X) = B(80 ; 0,05) 1446,095,0x05,0xC)2(p 782280 ==

Il y a 14,46 % de chances davoir 78 ampoules bonnes dans un lot de 80 ampoules.


88


a) Esprance du nombre d'tudiant qui ont au moins une rponse correcte.

X dsigne le nombre d'tudiants qui ont au moins une rponse correcte.

Lvnement avoir au moins une rponse correcte correspond un succs dont la probabilit ne varie pas (les tudiants sont indpendants). Il sagit donc dune loi binomiale de paramtres :

Nombre de tirages : n = 30

Probabilit de succs : p = p (avoir au moins une rponse correcte.

La probabilit de rpondre juste la premire question est 1/4. La probabilit de rpondre juste la deuxime question est 1/5. La probabilit, p, quun tudiant ait au moins une rponse correcte est gale au

complment de la probabilit, q, que les deux rponses soient fausses.

Les questions tant indpendantes :

q = (1-1/4) x (1-1/5) = (3/5) = 0,6 p = 1 0,6 = 0,4 L(X) = B(30 , 0,4) E(X) = n x p = 30 x 0,4 = 12 tudiants

b) Probabilit que 15 tudiants de la classe aient au moins une rponse correcte.

15151530 6,04,0)15(p C = = 0,0783

Il y a une probabilit denviron 8 % que 15 tudiants de la classe aient au moins une rponse correcte.


X dsigne le nombre de photos valables pour les 6 passages.

Lvnement avoir une photo valable correspond un succs dont la probabilit ne varie pas (les passages sont indpendants). Il sagit donc dune loi binomiale de paramtres :

Nombre de passages : n = 6 Probabilit de succs : p L(X) = B(n, p)


89

Probabilit d'avoir au moins une photo valable par mois est de 0,9

p(X 1) = 0,9 => p(X < 1) = 0,1 => p(X = 0) = 0,1 600

6 )p1(p)0(p C = = 0,1 (1 p)6 = 0,1 p = 6 1,01 = 0,32

Il faut avoir 32 % de chance dobtenir une photo valable lors d'un passage donn pour que la probabilit d'avoir au moins une photo valable par mois soit de 0,9.


a) Probabilit pour que les questions poses soient parmi les trois sujets appris.

X dsigne le nombre de sujets poss et appris.

Lvnement question pose et appris correspond un succs dont la probabilit ne varie pas (les questions sont indpendantes). Il sagit donc dune loi binomiale de paramtres :

Nombre de questions : n = 2 Probabilit de succs : p = (3 / 10) = 0,3 L(X) = B(2 ; 0,3) p(X = 2) = 0222 7,03,0)2(p C = = 0,09

Ltudiant na que 9 % de chance pour que les questions poses soient parmi les trois sujets appris.

b) Nombre minimum de sujets apprendre pour que la probabilit que les sujets poss soient parmi les sujets appris soit suprieure ou gale 0,5.

p(X = 2) = 0222 )10n(1()

10n()2(p C = 0,5

100n

0,5 => n 50 => n 7

Ltudiant doit apprendre au minimum 8 sujets pour avoir plus de 50 % de chances pour que les questions poses soient parmi les sujets appris.


X dsigne le nombre de pices dfectueuses.


90

Lvnement pice dfectueuse correspond un succs dont la probabilit ne varie pas (lot important). Il sagit donc dune loi binomiale de paramtres :

Nombre de tirages : n = 20 Probabilit de succs : p = 0,01 L(X) = B(20 ; 0,01) Le lot est refus sil y a une ou plusieurs pices dfectueuses. p(X 1) = 1 p(0) = 1 - 200020 99,001,0C = 0,1821

Il y a un risque denviron 18 % de refuser le lot.


a) La loi de probabilit de X. X dsigne le nombre d'accidents enregistrs. Lvnement avoir un accident correspond un succs dont la probabilit ne varie pas

(population infinie). Il sagit donc dune loi binomiale de paramtres : Nombre dautomobilistes : n = 1000 Probabilit de succs : p = 0,004 L(X) = B(1000 ; 0,004)

b) Esprance mathmatique et cart type de X. E(X) = n x p = 1000 x 0,004 = 4 accidents V(X) = n x p x (1-p) = 1000 x 0,004 x 0,996 = 3,984

984,3= = 2 accidents

c) Chaque accident cote la compagnie 4000 dirhams ; soit la variable alatoire Y qui dsigne le cot annuel total. Dterminer la loi de Y et calculer son esprance mathmatique et son cart type.

Le cot annuel total est gal au cot dun accident multipli par le nombre daccidents. Y = 4000 X E(Y) = 4000 x E(X) = 4000 x 4 = 16000 dh V(Y) = 40002 x V(X) = 40002 x 3,984 = 63744000

63744000= = 7983,98 dh


a) Probabilit qu'un appareil tombe en panne ?

X dsigne le nombre de transistors dfectueux.

Lvnement transistor dfectueux correspond un succs dont la probabilit ne varie pas (population infinie). Il sagit donc dune loi binomiale de paramtres :


91

Nombre de transistors : n = 20 Probabilit de succs : p = 0,1 L(X) = B(20 ; 0,1) Ds qu'un appareil contient au moins deux transistors dfectueux, il tombe en panne. p(X 2) = 1 p(X < 2) = 1 [p(0) + p(1)] p(X 2) = 1 [ 200020 9,01,0C + 191120 9,01,0C ] = 1 (0,1216 + 0,2702) = 0,6082

Le risque que lappareil tombe en panne est denviron 61 %

b) Nombre d'appareils en panne auquel on doit s'attendre et son cart type. Y dsigne le nombre dappareils en panne. Lvnement appareil en panne correspond un succs dont la probabilit ne varie pas

(population infinie). Il sagit donc dune loi binomiale de paramtres :

Nombre dappareils : n = 2000 Probabilit de succs : p = 0,2 L(Y) = B(2000 ; 0,2) E(Y) = 2000 x 0,2 = 400 appareils V(Y) = 2000 x 0,2 x 0,8 = 320

320= = 18 appareils

Sur un lot de 2000 appareils, on peut sattendre avoir 400 appareils en panne avec un cart type de 18 appareils.


a) Probabilit pour quaucun bateau ne mouille pendant 1 jour.

Soit X la variable alatoire qui dsigne le nombre de bateaux qui mouillent par jour. Le nombre de bateaux qui mouillent par jour est, en moyenne 3 (90/30) X suit une loi de Poisson de paramtre 3 : L(X) = P(3)

p(0) = !03e 03

= 0,0498

Il y a une probabilit denviron 5 % pour quaucun bateau ne mouille pendant 1 jour.

b) Probabilit pour quau moins 3 bateaux mouillent pendant 1 jour.. p(X 3) = 1 p(X < 3) = 1 [p(0) + p(1) + p(2)]

p(X 3) = 1 [!0

Documents

Probabilités - Exercices corrigés avec rappels de cours