ProbabilitésProbabilités

• Programme de premièreProgramme de première

• Probabilités conditionnellesProbabilités conditionnelles

• IndépendanceIndépendance

ST2S 2007ST2S 2007

Extraits du programme de première STG 2007

page 4: …..L’objectif est d’entraîner les élèves à décrire quelques expériences aléatoires simples et à calculer des probabilités.

Il s’agit d’éviter tout développement théorique et d’introduire la notion de probabilité en s’appuyant sur la notion de fluctuation d’échantillonnage mise en évidence par simulation. On soulignera les propriétés des fréquences et la relative stabilité de la fréquence d’un événement donné lorsque l’expérience est répétée un grand nombre de fois.

L’usage de la calculatrice ou du tableur permet d’enrichir le champ des expériences aléatoires simples.

L’utilisation de sur des exemples simples de fonctions logiques (SI … ALORS… SINON) est recommandée en vue de la préparation de certains concours. (page 3)

Contenus Capacités attendues Commentaires

Vocabulaire des probabilités (cas discret) Univers, événements, événements élémentaires. Réunion, intersection, d’événements, événements disjoints (ou incompatibles), événement contraire. Probabilité d’un événement Cas où les événements élémentaires sont équiprobables. Sur des exemples simples, étude de cas où les événements élémentaires ne sont pas équiprobables.

Passer du langage probabiliste au langage courant et vice versa. Dans des situations élémentaires :

- reconnaître et réinvestir des situations de probabilités issues d’expériences aléatoires ( modèles d’urnes, différents types de tirages aléatoires…) ;

- calculer la réunion, l’intersection de deux événements, d’un événement contraire.

Seul le cas où l’ensemble des événements élémentaires est fini est au programme. Les symboles et et A doivent être connus des élèves, et il conviendra d’habituer ceux-ci à décrire ces événements à l’aide d’une phrase. La probabilité d’un événement est définie par addition de probabilités des événements élémentaires. Les dénombrements seront effectués uniquement sous forme schématisée. Les élèves seront entraînés à utiliser à bon escient les représentations telles que arbres, tableaux, diagrammes, … [….] En parallèle avec des activités expérimentales concrètes, on devra utiliser la calculatrice ou le tableur pour simuler ces expériences. .

Un exemple

Une urne contient six jetons, indiscernables au toucher, numérotés de 1 à 6. On tire deux jetons au hasard simultanément . Calculer la probabilité de tirer

a) Deux numéros consécutifs. b) Deux numéros dont la somme vaut 7

Corrigé succinct dans le même ouvrage:

Corrigé proposé: faire un dessin de l’urne Pour des tirages simultanés, l’ordre ne compte pas, chaque tirage peut être modélisé par un sous-ensemble de l’ensemble {1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6 } comportant deux éléments : Par exemple : {2 ;5} signifie qu’on a prélevé les jetons 2 et 5. L’univers est = {{1;2}, {1;3}, {1;4}, {1;5}, {1;6}, {2;3}, {2;4}, {2;5}, {2;6}, {3;4}, {3;5}, {3;6}, {4;5}, {4;6}, {5;6} } Il comporte 15 éléments.

Réponse a) Soit A : « tirer deux nombres consécutifs » A = {{1;2}, {2;3}, {3;4}, {4;5}, {5;6} } Comme il y a équiprobabilité des événements élémentaires, p(A) = corrigé du même type pour l’événement B.

3

1

15

5

Hasard et modélisation

Le problème des bancs. Un jardin public comporte 3 bancs à deux places chacun . Deux

personnes arrivent et s’assoient au hasard. Quelle est la probabilité qu’elles soient assises sur le même banc?

1

2

3 4

5

6

Autre univers, autre modélisation

Chaque personne tire au hasard le banc sur lequel elle s’assoit:

en notant B1, B2 et B3 les bancs:

exemple de résultat: (B1,B3),

Dans cette représentation, l’expérience est modélisée par deux tirages successifs avec remise dans une urne:

B2

B3B1

l’univers comporte 9 événements élémentaires équiprobables:

B1

B2

B3

B2

B2

B2

B1

B1

B3

B3

B3

B1

Choix de la 1ère

personne chc

Choix de la deuxième

9

3

15

3

Programme de terminale

Contenus Capacités attendues Commentaires

Probabilité Conditionnelle Conditionnement par un événement de probabilité non nulle. Indépendance de deux événements

Applications du conditionnement à la détermination de la probabilité d’événements issus de la vie courante ou d’autres disciplines. .

On justifiera la définition de la probabilité de A sachant B, notée PB(A), à l’aide de nombreux exemples (calculs fréquentiels…). En prolongement du programme de première on passera du langage probabiliste au langage courant et vice versa. On favorisera l’apprentissage de la lecture et l’exploitation de tableaux statistiques, de pourcentages… Un arbre de probabilité correctement construit constitue une preuve. On conviendra en conformité avec l’intuition que, pour des expériences indépendantes au sens courant du terme, la probabilité de la liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat. La formule P(A B)= P(A)P(B) doit être connue mais ne doit pas faire l’objet d’une utilisation systématique.

Donc…

Le programme sous-entend que l’indépendance s’utilise le plus souvent sous la forme : pB(A) = p(A) où B est un événement de probabilité non nulle

Un exemple d’introduction des probabilités conditionnelles

Sujet de bac 2004 :

Ont effectué un achat

N’ont pas effectué d’achat

Total

Ont bénéficié des Conseils d’un

vendeur

N’ ont pas bénéficié des conseils d’un

vendeur

Total

5OOO

4000

1000

2800 1200

800200

3000 2000

On choisit une personne au hasard dans cette On choisit une personne au hasard dans cette population, avec l’hypothèse d’équiprobabilité: population, avec l’hypothèse d’équiprobabilité:

événement A:  le client a acheté  événement A:  le client a acheté  événement B:  le client a bénéficié d’un conseil  événement B:  le client a bénéficié d’un conseil 

4000

1000

2800 1200

800200

3000 2000

A A Total

B

B

Total

5OOO

Sachant que la personne interrogée a bénéficié d’un conseil, quelle est la probabilité qu’elle achète un article?

A)(PB

5

4

5000

4000P(B)

5

3

5000

3000P(A)

7,04000

2800

P(B)

B)P(A

5000400050002800

5000

2800B)P(A

Définition : Si B est un événement de probabilité non nulle de l’univers , on peut définir une nouvelle probabilité sur l’univers , notée PB, par :

Pour tout événement A de : P(B)

B)P(AA)(PB

Remarque : cette définition ne nécessite pas qu’il y ait équiprobabilité sur .

On en déduit immédiatement : A)(PP(B)B)P(A B

Avec un arbre:Avec un arbre:

8,0)B(P

7,0A)(PB

B

B

A

A 2,0BP

A

A

3,0)A(PB

2,0A)(PB

8,0A)(PB

A)(PP(B)B)P(A B

Avec des diagrammes

B

A

BA

4000

3000 2800

CC:   le client a moins de 25 ans  :   le client a moins de 25 ans  

8,0)B(P

7,0A)(PB

B

B

A

A 2,0BP

A

A

3,0)A(PB

2,0A)(PB

8,0A)(PB

0,6C

C

C

C

0,4

0,5

0,5

0, 3

0,7

0,4

0,6

C

C

C

C

La même avec trois événements A,B,CLa même avec trois événements A,B,C

B

A

4000

3000

C

2260

Règles : A chaque niveau, les événements forment une partition de l’univers. les probabilités sur les branches secondaires sont toujours des

probabilités conditionnelles la probabilité d’un chemin (ou trajet) est le produit des probabilités

marquées sur ses branches ; la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins y

conduisant. Remarques : La somme des probabilités des branches primaires est égale à 1. La somme des probabilités des branches secondaires issues d’un même

nœud est égale à 1.

Exemple: le paradoxe des événements raresOn étudie un test de détection d’une maladie sur une

population qui comporte une proportion p=0,1 de personnes malades.

Si la personne est malade, la probabilité que le test soit positif est 0,99.

Si la personne n’est pas malade, le test est négatif avec une probabilité de 0,99.

1- Traduire le nombre 0,99 à l’aide de probabilités conditionnelles

2- On fait subir le test à une personne prise au hasard, quelle est la probabilité à 0,01 près qu’il soit positif?

3- Sachant qu’une personne de cette population a un test positif, quelle est la probabilité qu’elle soit malade?

0,99p(T))M(T)P(M M pp

0,01p)1((T))M(T)MP(M

pp

1) Le nombre 0,99 représente )(TPM et aussi )(TPM

T

M

M

T

p

1-p

0,99

0,01

2)

3)

Soit p(T) = 0,108p098,001,0T)Mp( T)p(Mp(T)

On cherche maintenant la probabilité sachant T de M

917,0108,0

099,0

p(T)

T)p(M(M)pT

Le paradoxeLe paradoxe

Ici 098p0,01

0,99p(M)pT

Avec p=0,001 sachant que la personne a un test positif, la probabilité qu’elle soit malade est d’environ 0,09, malgré la fiabilité des tests.

Indépendance:Exercice de 2004 modifié

A A Total

B 2400 1600 4000

B 600 400 1000

Total 3000 2000 5OOO

P(A)1000

600A)(Pet P(A)

5

3

4000

2400A)(P

BB

0,8

0,6

0,48

Définition: deux événements A et B sont Définition: deux événements A et B sont indépendants lorsque:indépendants lorsque:

p(B)p(A)B)p(A

Si p(B) est non nul, cela revient à

p(A)A)(pB :

Indépendance dans le cas d’équiprobabilitéIndépendance dans le cas d’équiprobabilité

B

A

BA

4000

3000 2400

5000

Si B est non vide, A et B sont indépendants si et seulement si la proportion de dans B est égale à la proportion de A dans BA

Deux utilisations de Deux utilisations de l’indépendancel’indépendance

1. Vérifier l’indépendance de deux événements

(exemple des naissances filles garçons)

BA

2. D’après les conditions de l’expérience, on sait que deux événements A et B sont indépendants, on en déduit la probabilité de

Quelques exemples Quelques exemples d’utilisation d’un tableurd’utilisation d’un tableur

1.1. Fréquences conjointes et indépendaFréquences conjointes et indépendancence

2. Simulation de tirages successifs 2. Simulation de tirages successifs sans remise: sans remise: trois tiragestrois tirages, , 100 simulations de trois tirages100 simulations de trois tirages

3. Le problème des anniversaires3. Le problème des anniversaires

SimulationsSimulations

1

2

3

4

3655

Quelle est la probabilité que, dans un groupe de n personnes, il y en ait au moins deux qui fêtent leur anniversaire le même jour?

FinFin