PCSI

Optique géométrique

PROBLEME 1: Constructions géométriques Pour chaque construction, le problème propose différentes réponses A, B, C et D. Déterminer dans chaque cas la bonneréponse en expliquant les raisons de votre choix sur votre copie. Les réponses non justifiées ne seront pas prises en compte.

1. On considère une lentille (L1) convergente (foyers objet F1 et image F'1) et un rayon incident quelconque représenté en traitplein. Déterminer le bon rayon émergent correspondant.

2. Même question avec une lentille (L2) divergente (foyers objet F2 et image F'2)

3. On connaît cette fois-ci le rayon émergent, déterminer le bon rayon incident correspondant.

1

4. Même question qu'au 3, mais cette fois-ci la lentille est divergente.

PROBLEME 2: Étude d'un système optique embarqué sur un satellite La télédétection par satellite est utilisée en météorologie, climatologie et cartographie. Ce problème s’intéresse àl’instrumentation optique embarquée sur un satellite pour l’observation de la terre et plus particulièrement la prise dephotographies numériques terrestres sur un capteur électronique photosensible depuis le satellite de télédétection.

A. Construction de l'image obtenue Afin d’étudier les images de la surface de la Terre par un dispositif optique, nous nous plaçons dans le cadre de l’optiquegéométrique et de l’approximation de Gauss. L’espace entre la Terre et le satellite sera considéré comme du vide pour le tracédes rayons lumineux.

1. Comment qualifie-t-on les rayons lumineux utilisés dans l’approximation de Gauss ? Quelles sont leurs deux propriétés ?

Le dispositif optique permettant la photographie est modélisé simplement par une lentille sphérique mince convergente L dedistance focale image f’ et un capteur.

2. Compléter le schéma de la figure 1 de l’annexe à rendre avec la copie en traçant avec soin la construction de l’image d’unobjet réel PM situé sur l’axe optique. Caractériser l’image P’M’ obtenue : réelle ou virtuelle, agrandie ou rétrécie, de mêmesens ou inversée.

Déterminer par le calcul la valeur algébrique OP ' en fonction de f’ et calculer le grandissement dans ce cas.

3. L’objet PM se situe maintenant sur Terre à une distance de 35.103 km du satellite. La distance focale image de la lentille Lest f' = 5 m.

3.1. Déterminer où se situe l'image de PM dans ce cas.

3.2. La taille des pixels du capteur est de 1μm . Quelle est la dimension du plus petit objet détectable sur Terre ?

3.3. L’emprise sur le sol terrestre de l’image réalisée est de 70 km. En déduire le nombre de pixels sur la largeur du capteur.

4. Compléter le schéma de la figure 2 de l’annexe à rendre avec la copie en traçant avec soin le prolongement des rayonslumineux provenant d’un objet réel situé à l’infini dont les rayons sont inclinés d’un angle α par rapport à l’axe optique.

B. Influence de la longueur d'onde Pour un milieu transparent comme le verre de la lentille mince utilisée, dans le domaine du visible, son indice de réfraction nvarie avec la longueur d’onde λ suivant la loi empirique de Cauchy :

n( λ)=A+B

λ2 où A = 1,5 et B = 3,8.103 nm2.

La distance focale image de la lentille L est donnée en fonction de son indice n par la relation :

f ' (λ)=C

n(λ)−1, C étant une constante positive.

Dans la suite, les notations adoptées sont synthétisées dans le tableau ci-après :

2

5. Montrer que l’expression de la distance focale image f J'

associée au rayonnement jaune peut s’écrire :

f J'=

CA−1(1+

B

( A−1)λJ2 )

−1

6. A partir des données numériques approximées, montrer queB

( A−1)λ J2≪1 en calculant une valeur approchée. Simplifier

alors l'expression précédente en utilisant le développement du type : (1+ε)α≈1+αε , vrai quand ε→0 .

7. Comparer sans calcul numérique les distances focales image f R' , f J

' , f B'

. Représenter sur votre copie un schéma

indiquant les positions des foyers images F R' , F J

' , F B' , et le centre optique O de la lentille L .

8. Qu’est-ce que le stigmatisme ? Peut-on parler de stigmatisme dans le cas présent ? Quelle phénomène observe-t-on ?

C. Défaut d’observation longitudinal L’aberration chromatique longitudinale ACL=F B

' F R' d’une lentille est définie par la distance algébrique qui sépare les

foyers images bleu et rouge.

9. Exprimer ACL en fonction de f R'

et f B'

. En supposant que f R'× f B

'= f J

' 2, monter que :

ACL

f J' 2

=1

f B'−

1

f R'

10. On définit le pouvoir dispersif K d’un verre par la relation : K =nB−nR

nJ−1. Montrer que ACL , K et f J

'vérifient une

relation simple. Application numérique : Déterminer ACL pour K = 1,4.10-2 et f J'=5 m . Commenter le résultat obtenu.

Défaut d’observation transversal

L’aberration chromatique transversale ACT du dispositif estdéfinie comme le rayon de la plus petite tâche lumineuse produitepar la superposition des faisceaux rouge et bleu provenant derayons parallèle à l’axe optique et passant par les extrémités dela lentille L de diamètre D.

Cette définition est illustrée sur la figure 3 ci-contre :

11. A partir d’une étude géométrique de la figure 3, établir deux expressions de ACT en fonction de D, f R'

et f B'

.et des

distances algébriques entre le point H et les foyers images F R' et F B

' .

12. Montrer que ACT ( f R'+f B

')=

D2

ACL .

13. On suppose en plus de l'hypothèse de la question 9 ( f R'× f B

'= f J

' 2 ) que f J'=

f R'+f B

'

2. Déterminer l'expression de

ACT en fonction du pouvoir dispersif K et du diamètre D de la lentille.

Correction des défauts Afin de limiter ces aberrations, une lentille sphérique mince L2 de centre optique O2 en verre flint (verre plus dispersif que la

lentille précédente) est ajoutée. L’indice n2 du verre flint suit également la loi de Cauchy : n2( λ )= A2+B2

λ2 , A2 et B2 étant

des constantes positives et A2 > 1.

Sa distance focale image est donnée par la relation : f 2'(λ)=

C2

n2(λ)−1 ,C2 étant une constante dont on cherche à

déterminer le signe.

Cette deuxième lentille est accolée à la première lentille L de centre optique O. On suppose par la suite que les points O et O 2

sont confondus.

3

Figure 3

La distance focale image du système { L + L2 } formé par les deux lentilles accolées est notée f T' .

14. Montrer que pour une longueur d'onde donnée : 1

f T'=

1

f '+

1

f 2' .

15. Déterminer l’expression de1

f T' en fonction de A, B, C, A2, B2, C2 et λ.

16. Établir une relation entre C, B, C2 et B2 permettant de supprimer totalement les aberrations chromatiques transversales etlongitudinales.

17. Quel est nécessairement le signe de C2 ? En déduire la nature convergente ou divergente de la lentille L2 ?

PROBLEME 3: Étude d’une lunette servant à observer les anneaux de Saturne Les montages optiques suivants sont réalisés à l’aide de différentes lentilles minces (Ln ), de vergence Vn , de distance focaleimage fn’, de foyers objet Fn et image Fn’ et de centre optique On .

Toutes les expériences sont réalisées dans l’air, et dans le cadre de l’approximation de Gauss. Tous les éléments optiques sontcentrés sur un même axe optique.

Tous les angles définis dans l'énoncé sont des angles orientés.

On considère une lunette afocale, constituée d’une première lentille (L1 ) de vergence V1 = 1 δ et d’une deuxième lentille (L2 )de vergence V2 = - 5 δ.

1. Préciser quelle lentille est l’oculaire et laquelle est l’objectif. Si elles sont convergente ou divergente. Que signifie le termeafocal ? Où sont les foyers objet et image de la lunette dans ce cas ?

2. On note e=O1 O2 , la mesure algébrique séparant les deux lentilles. Exprimer e en fonction des deux distances focalesimages des deux lentilles, puis la calculer en cm.

3. A l’aide de la lunette précédente, un observateur regarde Saturne et son anneau le plus brillant depuis la surface de la terre.La planète Saturne est considérée pour l’observateur, comme un objet A situé à l’infini, et une portion de son anneau commeun point B situé également à l’infini. L’axe de la lunette est pointé vers A, de sorte que le faisceau lumineux issu de A soitconfondu avec l’axe optique de la lunette. Le faisceau lumineux issu de B fait un angle α par rapport à l’axe optique.

a) Grâce à la feuille de papier millimétré fournie en annexe, reproduire, à l’échelle 1/10, l’association des 2 lentillesmodélisant la lunette. Positionner les points O1, F1, F1’, O2, F2 et F2’. Tracer le rayon lumineux issu du point B en prenant, parsouci de lisibilité, un angle α d’environ 10°. Tracer l’image intermédiaire A1B1 de AB, puis positionner l’image définitive A’B’à travers la lunette. Quelle est la caractéristique du faisceau émergent ? L’image intermédiaire A1B1 est-elle un objet virtuel ouréel pour la deuxième lentille ?

b) Le rayon de l’anneau de Saturne est noté R et vaut environ 105 km. La distance entre Saturne et la Terre est notée D et vaut

environ 2.1012 m. On définit le grandissement transversal de (L1) par : (G t)1=A1 B1

AB ; Établir la relation donnant le

grandissement transversal en fonction de f 1' et/ou f 2

' , D et/ou R. Calculer le grandissement transversal.

c) On note α' l’angle d’inclinaison, par rapport à l’axe optique, du rayon émergent coïncidant au rayon incident incliné de

l’angle α. Soit G le grossissement de la lunette, défini par G=α 'α

; Établir la relation donnant G en fonction des distances

focales, puis calculer le grossissement.

d) Le pouvoir séparateur de l’œil (angle minimum entre deux rayons pour qu’ils puissent être distingués) est d’environ 10 -4

rad. Calculer α et α', puis préciser si on peut voir les anneaux à l’œil nu ? grâce à la lunette ?

e) On remplace l’œil par une caméra numérique assimilée à une lentille mince (L3) de vergence V3 = + 50 δ placée à 20 cmaprès (L2). La plaque photosensible (P) de la caméra est tapissée de cellules photosensibles (les pixels) distantes de d = 1µm .Où est donc située (L3) par rapport à (L2) ? Pour obtenir une image nette sur (P) où doit-on placer (P) par rapport à (L3) ?Donner aussi la valeur numérique de cette distance.

f) Préciser le nombre n de pixels de la caméra utilisés lors de l’observation d’un anneau de Saturne.

4

Annexe problème 2Nom prénom :__________________________

5

Objet réel à l'infini f'

Schéma 2

Axe optique

O

L

α

P

M

f'

Schéma 1

Axe optique

OObjet réel

L

2f'

Nom prénom :_____________________

6

Correction du problème 11) La bonne réponse est la B : le rayon incident passant par F1 donne un rayon émergent correctement tracé. Ce rayon incident caractérise le même objet à l'infini que le rayon incident proposé car les 2 rayons incidents sont //. Leur image est dans le plan focal image. Les rayons émergents se croisent dans le plan focal image en un point déterminé par le rayon en pointillés.

2) Aucune bonne réponse : tous les rayons incidents donnent des rayons plus convergents ce qui ne correspond pas à l'action d'une lentille divergente.

La bonne réponse est :

3) La bonne réponse est la B : le rayon incident passant par F1 donne un rayon émergent correctement tracé. Ce rayon incident caractérise le même objet à l'infini que le rayon incident proposé car les 2 rayons incidents sont //. Leur image est dans le plan focal image. Les rayons émergents se croisent dans le plan focal image en un point déterminé par le rayonen pointillés.

4) La bonne réponse et la C: le rayon incident passant par O donne un rayon émergent correctement tracé. Ce rayon incident caractérise le même objet à l'infini que le rayon incident proposé car les 2 rayons incidents sont //. Leur image est dans le plan focal image. Les rayons émergents se croisent dans le plan focal image en un point déterminé par le rayon en pointillés

Correction problème 2Construction de l'image obtenue

1. Dans l’approximation de Gauss, les rayons sont paraxiaux , c’est-à-dire peu inclinés et peu écartés de l’axe optique (axe de révolution de l’instrument d’optique). On obtient alors un stigmatisme et un aplanétisme approchés.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Construction ci-contre, après avoir positionné F et F’.

L'image est réelle, renversée et de même taille que l'objet.

D'après la formule de Descartes:1

OP '−

1OP

=1f '

donc

1OP '

=1

OP+

1f '

=f '+OP

OP '×OPdonc OP '=

f '×OPf ' +OP

.

D'après le schéma : OP=−2 f ' donc OP '=f '×−2 f 'f '−2 f '

=−2 f ' 2

− f '=2 f ' .

La formule du grandissement est : γ=P ' M '

PM=

OP 'OP

on en déduit : γ=2 f '

−2 f '=−1 .

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. 1. OP = 35 000 km ; Ainsi OP >> f' donc : l’image est dans le plan focal image. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.2. Pour que 2 points soient discernables sur le détecteur, ils doivent se trouver sur 2 pixels différents. L'image la pluspetite discernable mesure P'M'min = 1μm. On se sert du grandissement pour déterminer la taille de l'objet correspondant.

∣γ∣=P ' M '

PM=

OP 'OP

(1) Donc PM min=P ' M ' min×OPOP '

AN : PM=1.10−6×35.106

5=

355

=7 m . La dimension du plus petit objet détectable sur la terre est de 7 m.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.3. PM = 70 km, d'après la question précédente on en déduit qu'il faut 10000 pixels sur la largeur du capteur. _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7

OF'

F

4. On prolonge d’abord le rayon passant par O qui n’est pas dévié.

Les autres rayons incidents lui étant parallèles, les rayons émergents se croisentdans le plan focal image. D’où la construction.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Influence de la longueur d'onde

5. f J'(λ J )=

Cn(λJ )−1

Or n( λJ )=A+B

λ J2

d'oùf J

'(λ J )=

C

A+B

λJ2 −1

=C

A−1×

1

1+B

λ J2(A−1)

=C

A−1×(1+

B

( A−1)λ J2 )

−1

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. B

( A−1) λ J2≈

4.103×10−18

(1,5−1)36.10−14≈0,02≪1 .

On alors (1+B

( A−1)λ J2 )

−1

≈1−B

( A−1)λ J2 d'où f J

' (λ J)=C

A−1×(1−

B(A−1)λ J

2 )______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

7. D’après le tableau, on a : λB<λ J <λR , donc :1λB

>1λ J

>1λR

et donc d'après la formule

établie dans lan question précédente : f R'>f J

'>f B

'. On a obtient le schéma ci-contre :

8. Stigmatisme : L’image d’un point est un point. La décomposition de la lumière par la lentille ne fait pas converger lesrayons en un point unique. Il n'y a pas stigmatisme dans le cas présent. On parle d' aberrations chromatiques. L'imageaura des contours irisés.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Défaut d’observation longitudinal

9. ACL=F B' F R

'=F B

' O+O F R'= f R

'− f B

' donc

ACL

f B'× f R

'=

f R'− f B

'

f B'× f R

' or f R'× f B

'= f J

' 2 ainsi

ACL

f J' 2

=f R

'− f B

'

f B'× f R

' d'où ACL

f J' 2=

1

f B' −

1

f R' .

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

10. f ' (λ)=C

n(λ)−1d'où n(λ)=

C

f '(λ)

+1 d'où K =

C

f B'−

C

f R'

C

f J'

=f R

'− f B

'

f B' f R

'× f J

' d'où K =

ACL

f J' d'où

ACL=K f J'

.AN ACL=1,4 .10−2×5=7.10−2

=7 cm ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Défaut d’observation transversal

11. D'après Thalès

D2

f R'=

ACT

H F R'

et

D2

f B'=

ACT

F B' H

d'où

ACT=D2

×H F R

'

f R' et ACT=

D2

×F B

' H

f B'

_________________________________________________________________________________________

12. En additionnant les 2 expressions précédentes on obtient: ACT ( f R'+f B

')=

D2

×(H F R'+F B

' H )=D2

×F B' F R

'

d'où ACT ( f R'+f B

')=

D2

× ACL ._____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

8

L

F'J

O

F'RF'B

13. ACL=K f J' d'après la question 10, f J

'=

f R'+f B

'

2 d'où ACT=D4

×K .______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Défaut d’observation transversal 14. Soit A' l'image conjuguée de A à travers le système optique. On a alors :

La formule de conjugaison appliquée à L1 donne : 1

OA1

−1

OA=

1

f '

La formule de conjugaison appliquée à L1 donne : 1

OA'−

1OA1

=1

f 2'

En additionnant les 2 relations on obtient :1

OA'−

1OA

=1

f '+

1

f 2' .d'où

1f T

'=

1f '

+1f 2

' .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

15. 1

f T'=

1

f '+

1

f 2'=

n−1C

+n2−1

C=

A+B

λ2−1

C+

A2+B2

λ2−1

C2

d'où 1

f T' =

A−1C

+A2−1

C+

1

λ2( B

C+

B2

C 2) .

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

16. Pour supprimer les aberrations il faut f T' soit indépendante de λ soit :

BC

+B2

C 2

=0 .17. B C et B2 d'après l'énoncé

sont positifs, il faut donc que C2<0 . f 2'=

C 2

n2−1 la seconde lentille est donc divergente.

Correction problème 3 1. La lentille (L1) est l’objectif ; V1 = + 1 δ : C’est donc une lentille convergente.La lentille (L2) est l’objectif ; V2 = - 5 δ : C’est donc une lentille divergente.

Le terme afocal signifie qu’on obtient une image à l’infini, d’un objet situé à l’infini : Dans ce cas, les foyers objet et image du système optique sont rejetés à l’infini. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Pour que la lunette soit afocale, il faut que le foyer image de (L1) soit confondu avec le foyer objet de (L2) ; Ainsi :

F 1’ est confondu avec F2. e=O1O2=O1 F1

'+F2O2 D'où e= f 1

'+f 2

'. AN : e=1−

15=

45=0,8=80 cm

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. a)On doit calculer f 2'=

−15

=−0,2 m=−20 cm pour pouvoir faire la figure.

Le faisceau de lumière émergent est un faisceau de lumière parallèle : normal puisque l’image définitive doit être à l’infini.

9

+

D’après la construction ou les distances algébriques connues, l’image intermédiaire A1B1 se trouve dans le plan focal image de la lentille (L1) et est donc située derrière la lentille (L2) ; A1B1 est un objet virtuel pour (L2). __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.b) On sait que (G t)1=A1 B1

AB=

OA1

OAd'où (G t)1=

f 1'

−D. AN : (G t)1=

1−2.1012

=−5. 10−13.

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.c) Dans les conditions de Gauss : tanα=α=−A1 B1

f '1

et tanα '=α '=A1 B1

f '2

d'où: G=−f '1

f '2

. AN : G=5 .

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.d) tan α=α=RD

=108

2.1012=5.10−5<10−4

. On ne peut pas voir les anneaux à l’œil nu.

α '=G×α=2,5.10−4>10−4 . On peut voir les anneaux avec la lunette.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.e) L3 est une lentille convergente de distance focale f 3'=

150

=0,02 m=2 cm .

(L3 ) est dans le plan focal objet de (L2 ). Avant (L3), l’image est à l’infini, il faut donc placer (P) dans le plan focal image de (L3), soit à 2 cm de (L3), pour obtenir une photo nette.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.f) Le bord de l’anneau de Saturne est à la distance α′×f′3 ≈ 2,5.10−4×2.10−2=5.10−6 m; Le diamètre est donc : 10.10-6 m= 10μm; Cela utilise donc environ 10 pixels .

10