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PC*1/ PC*2 /PC DEVOIR SURVEILLE DE PHYSIQUE N°2 26 septembre 2015

Problème 1 : Etude expérimentale d’une machine thermique Le problème suivant propose une étude expérimentale d’une machine thermique ditherme utilisant la circulation forcée d’un fluide réfrigérant, le dichlorodifluorométhane CCl2F2 appelé aussi fréon R 12, entre une source chaude et une source froide. La puissance électrique fournie à la machine est transmise à un compresseur qui entraine le fluide à travers un condenseur, un détendeur, puis un évaporateur. Un schéma simplifié du dispositif est représenté ci- dessous.

Des appareils de mesure permettent de caractériser le fluide réfrigérant à différents stades du cycle, par son débit massique, sa température et sa pression. Le fluide réfrigérant subit les transformations suivantes : De A à B : Le fluide, en A, sous forme de vapeur sous pression, est mis en contact avec la circulation d’eau dans l’échangeur thermique de la source chaude, et subit une condensation isobare de l’état vapeur à l’état liquide. L’énergie libérée par la condensation est en partie transférée à l’eau dont la température augmente de Te à Tc .

De B à C : Le liquide subit une détente isenthalpique à travers une vanne d’expansion. Le fluide en C se trouve alors partiellement vaporisé.

De C à D : Le mélange liquide-vapeur est mis en contact avec l’eau en circulation dans l’échangeur thermique de la source froide, et se vaporise entièrement de façon isobare. L’énergie thermique nécessaire à cette vaporisation est partiellement apportée par l’eau dont la température diminue de Te à Tf . De D à A : Le fluide sous forme vapeur subit une compression adiabatique en recevant l’énergie mécanique du compresseur. On a reporté les mesures expérimentales dans le tableau ci dessous : - Compresseur : puissance électrique consommée : 500 W - Circulations d’eau Source chaude Débit massique Dmc = 72 kg.h-1 Te = 18,5 °C Tc = 28 °C

Source froide Débit massique Dmf = 40 kg.h-1 Te = 18,5 °C Tf = 6 °C


2 - Circulation du fluide réfrigérant Débit massique Dm = 25kg.h-1

Condenseur Pression en A : 10 bars TA = 64,0 °C TB = 42,0 °C

Evaporateur Pression en C : 2,5 bars TC = −7,0 °C TD = 0,0 °C Les températures sont mesurées à 0,5°C près et les pressions à 0,1 bar près. Les débits massiques sont obtenus à 10% près. Le constructeur précise que le compresseur a un rendement mécanique de l’ordre de 45%. La machine thermique est supposée avoir atteint son régime de fonctionnement stationnaire. On donne la capacité thermique de l’eau : ceau = 4,18.103 J.K-1.kg-1 Premier principe de la thermodynamique On considère un fluide circulant de façon stationnaire dans une canalisation avec le débit massique Dm et

recevant une puissance thermique Pth et une puissance mécanique Pméca . On note he et hs les enthalpies massiques du fluide à l’entrée et à la sortie de la canalisation. On néglige les variations d’énergie cinétique du fluide et les variations d’énergie potentielle de pesanteur. 1) a) Démontrer rapidement le premier principe de la thermodynamique appliqué au fluide en écoulement. b) En déduire la relation liant les enthalpies he , hs , et les paramètres de l’écoulement. Utilisation des diagrammes On se propose d’effectuer une étude détaillée des échanges thermiques effectués lors des transitions de phase du fluide réfrigérant. Les diagrammes thermodynamiques enthalpique p,h( ) et entropique T ,s( ) du dichlorodifluorométhane sont fournis. On utilise dans un premier temps le diagramme enthalpique. 2) a) Reporter la position des points A, B, C, et D sur le diagramme enthalpique p,h( ) . En déduire l’état physique du fluide dans chaque cas. b) Relever les enthapies massiques des points A, B, C, et D. 3) En déduire : a) la puissance Pc reçue par le fluide de la part de la source chaude.

b) la puissance Pf reçue par le fluide de la part de la source froide.

c) la puissance mécanique Pu fournie au fluide par le compresseur ; évaluer son rendement réel. Commenter. 4) Effectuer un bilan énergétique pour le cycle. Commenter. On souhaite confirmer ces résultats à l’aide du diagramme entropique.

5) a) Reporter la position des points A, B, C, et D sur le diagramme entropique T ,s( ) , et tracer le cycle. b) Calculer les entropies massiques des points A, B, C, et D. 6) a) Justifier comment l’on peut connaître l’énergie thermique massique reçue par le système au cours d’une évolution isobare en utilisant un diagramme entropique. b) En déduire une nouvelle mesure des puissances thermiques Pc et Pf reçues par le fluide lors de son passage dans le condenseur et l’évaporateur. Commenter. 7) La compression du fluide est elle isentropique ? Evaluer l’entropie produite par unité de temps dans le compresseur. Quelle est son origine ? 8) Mesurer l’enthalpie massique et l’entropie massique de liquéfaction à la pression de 10 bars. Quelle relation lie ces grandeurs ? 9) Préciser la composition du mélange liquide-vapeur au point C. On effectuera la mesure sur les diagrammes enthalpique et entropique. Conclure.


3 Efficacités thermodynamiques Les mesures précédentes de puissances thermiques et de puissance reçues par le fluide vont permettre d’estimer l’efficacité thermodynamique de la machine thermique, en tant que pompe à chaleur ou machine frigorifique. 10) a) Définir l’efficacité ePAC de la machine en tant que pompe à chaleur, et l’efficacité eMF de la machine en tant que machine frigorifique. b) Calculer numériquement ePAC et eMF . On souhaite à présent comparer ces efficacités à l’efficacité maximale obtenue en suivant un cycle de Carnot proche du fonctionnement de la machine et passant par B’= B et le point D’ d’entropie sD' = 0,70 kJ.kg-1.K-1.

et de température TD' = −6 °C. 11) Représenter le cycle de Carnot noté A' B' C' D' dans le diagramme entropique. 12) a) En déduire numériquement les efficacités de Carnot eC

PAC pour un fonctionnement en pompe à chaleur,

et eMFC pour un fonctionnement en machine frigorifique.

b) Comparer ces valeurs à l’efficacité théorique de Carnot. Conclure. On peut définir le rendement thermodynamique théorique de la machine thermique par le rapport de son efficacité expérimentale sur l’efficacité de Carnot. 13) Calculer le rendement thermodynamique théorique de la machine thermique proposée, en tant que pompe à chaleur et en tant que machine frigorifique. Conclure. Rendement global En pratique, la machine thermique reçoit directement la puissance électrique Pélec qui alimente le compresseur, tandis qu’elle fournit sa puissance thermique à la circulation d’eau. On souhaite donc estimer le rendement global de la machine, en ne tenant compte que des transferts énergétiques réellement effectués. 14) Déterminer les puissances thermiques reçues par l’eau à la source chaude et à la source froide. Commenter. 15) En déduire l’efficacité globale réelle, rapport des puissances utiles réelles sur la puissance dépensée, de la machine thermique en tant que pompe à chaleur ou en tant que machine frigorifique. Comparer à l’efficacité du cycle de Carnot correspondant et conclure.


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6 PROBLEME 2 : ANALYSE DE L’EFFET DE SERRE

L’effet de serre est un sujet de préoccupation majeur depuis une vingtaine d’années. Ce document a pour but de le définir et de quantifier ses effets et ses implications sur l’équilibre thermique de la Terre. Introduction Le rôle des gaz à effet de serre est connu depuis le XIXème siècle. En 1824, Joseph Fourier décrit son interprétation dans « Remarques générales sur les températures du globe terrestre et des espaces planétaires : « La température du sol est augmentée par l'interposition de l'atmosphère parce que la chaleur solaire trouve moins d'obstacles pour pénétrer dans l'air, étant à l'état de lumière, qu'elle n'en trouve pour repasser dans l'air lorsqu'elle est convertie en chaleur obscure ». Une explication moderne doit mettre en avant le bilan thermique de la Terre, la distribution en énergie des rayonnements du Soleil, de la Terre et du haut de l’atmosphère, ainsi que l’absorption, puis réémission du rayonnement par certaines molécules de l’atmosphère. Ce dernier point est au cœur de l’effet de serre qui maintient la Terre à une température moyenne « clémente » contribuant ainsi favorablement au développement de la vie. D’ailleurs, le chimiste Arrhenius (prix Nobel) suggérait en 1908 de nous épargner à tout jamais une nouvelle ère glaciaire en ajoutant une quantité adéquate de CO2 pour climatiser la planète et maintenir des températures favorables à une production agricole abondante. Cependant, cet optimisme utopique, contraste avec l’inquiétude grandissante de la communauté scientifique et de l’opinion publique. Aujourd’hui deux constats s’imposent : depuis le début de l’ère industrielle et surtout depuis les années 1950, la composition de l’atmosphère et le climat changent à un rythme accéléré. Nous mesurons une élévation de la concentration des gaz à effet de serre ainsi qu’une élévation des températures et des effets géoclimatiques remarquables comme la montée des eaux, la décroissance des volumes de glaces, des tempêtes violentes, etc.


7 L’équilibre thermique de la terre La surface de la Terre est chauffée essentiellement par le rayonnement électromagnétique du Soleil. Approximativement 30 % du flux solaire est réfléchi par la surface terrestre (8%) ou les hautes couches de l’atmosphère (22%) : c’est l’albedo, défini comme le rapport de l’énergie solaire réfléchie par une surface à l’énergie solaire incidente sur cette surface. Pour simplifier, on considérera que cet albédo est essentiellement du à la réflexion sur les hautes couches de l’atmosphère. Le reste est absorbé dans l’atmosphère ou par la surface du globe et converti en chaleur. En retour la surface terrestre transmet à l’atmosphère de la chaleur sous forme thermique (convection) et chaleur latente (essentiellement la vaporisation de l’eau au-dessus des océans), et sous forme de rayonnements électromagnétiques. Alors que certains rayonnements passent directement de la surface vers l’espace, d’autres sont absorbés par l’atmosphère. Enfin, l’atmosphère rayonne également de l’énergie. L’ensemble de ces processus maintient la Terre à une température d’équilibre moyenne de 288 K. Le modèle du corps noir Le modèle du corps noir permet de relier de façon simple la répartition en énergie d’un rayonnement avec la température de surface du corps émetteur. Ainsi, la « température effective » d’un astre est la température du corps noir qui émettrait dans l'espace la même quantité d'énergie que cet astre. En modélisant la Terre comme un corps noir à l’équilibre thermique, on peut définir une température effective moyenne terrestre. Pour une température T, la répartition en énergie du rayonnement électromagnétique du corps noir est donnée

par la loi de Planck : où h = 6,62.10-34 J.s est la constante de Planck,

J.K-1 la constante de Boltzmann, c =3.108 m.s-1 la vitesse de la lumière dans le vide, λ la longueur d’onde de l’onde émise, cst est une constante. Cette répartition peut se visualiser sur le graphique suivant, où les abscisses représentent les longueurs d’onde exprimées en µm :

En intégrant la loi de Planck sur tout le spectre, on obtient la puissance totale surfacique émise par un corps noir en équilibre thermique à la température T. Ce résultat constitue la loi de Stefan-Boltzmann avec

la constante de Stefan et la constante de Planck réduite.

uλ =cteλ5

1

exp hckBλT

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−1

kB =1,38.10−23

p = σT 4

σ = π2

60kB

4

c23 = h2π


8 L’absorption atmosphérique

Cette figure montre la répartition spectrale du rayonnement émis par le soleil et effectivement reçu à la surface de la Terre après avoir traversé l’atmosphère. Les quatre premières lignes indiquent les pourcentages d’absorption par différents gaz atmosphériques, et la cinquième le domaine de diffusion Rayleigh, où le rayonnement est absorbé avant d’être rediffusé On obtient ainsi une représentation spectrale de la transparence de l’atmosphère. Le rayonnement atmosphérique L’atmosphère étant absorbante pour le rayonnement, elle est aussi émettrice, conformément à la loi de Kirchhoff qui stipule que tout corps qui est absorbant pour un rayonnement électromagnétique est également émetteur de ce même rayonnement. L’atmosphère émet donc du rayonnement infrarouge, et ce dans toutes les directions. La moitié descend vers la surface du globe et sera absorbée par l’atmosphère elle même et la surface terrestre ; l’autre moitié se dirige vers l’espace. Tant que la quantité de gaz à effet de serre située au-dessus du point d’émission est suffisamment importante, tout le rayonnement ascendant émis au sein de l’atmosphère est absorbé. Ne sortira de l’atmosphère que le rayonnement émis à une altitude telle qu’il ne rencontre plus une quantité de gaz à effet de serre suffisante pour l’absorber complètement. Pour une concentration donnée de gaz à effet de serre, on peut définir une « altitude effective d’émission », qui est celle à laquelle sera émis, en moyenne, le rayonnement qui partira vers l’espace. Cette altitude effective, qui est actuellement de l’ordre de 5 km va croître avec la concentration en gaz absorbants. Cependant, alors que les gaz comme le CO2 ou le CH4 se retrouvent dans toutes les couches de l’atmosphère, la vapeur d’eau reste majoritairement à basse altitude, et sa concentration contribue peu à la valeur de l’altitude effective d’émission. Cas d’une modification des gaz absorbants Que se passe-t-il quand la concentration de gaz absorbant varie ? Prenons le cas du CO2 qui est bien mélangé dans l’atmosphère ; l’augmentation de la concentration de CO2 est la même sur toute la hauteur de la troposphère. L’altitude effective varie de façon à ce que la quantité intégrée de CO2 au-dessus de cette altitude reste constante. En l’absence de réaction du climat, on aurait donc émission à une température plus basse, donc un flux d’énergie sortante moindre ; le déséquilibre ainsi créé est appelé forçage radiatif. Le rétablissement de l’équilibre radiatif implique que le flux d’énergie émis reste le même, ce qui veut dire que la température de la nouvelle zone émettrice, à plus haute altitude, doit être la même que celle de l’ancienne zone émettrice. L’adjonction de CO2 n’affecte pas les conditions de stabilité verticale de l’atmosphère, le gradient thermique est conservé. Il faut donc que la température de toute la colonne atmosphérique augmente avec la concentration des gaz à effet de serre, y compris au voisinage de la surface. La concentration en CO2 avant l’ère industrielle, vers 1800 était de 280 ppmv (partie par million en volume) soit 0,0280 % du volume de l’atmosphère. Actuellement, la concentration est de 395 ppmv.


9 Les modèles repris par le GIEC ( Groupe d'experts Intergouvernemental sur l'Evolution du Climat) sont basés sur la formule empirique de G. Myhre publiée en 1998. La formule de Myhre modélise le forçage radiatif supplémentaire du au CO2 atmosphérique à la concentration C par rapport à la situation de référence choisie

avec = 280 ppmv : où a = 5, 25 W.m-2

Questionnaire 1) Comment peut-on traduire en l’état actuel de nos connaissances les termes « chaleur solaire », « chaleur obscure » , « obstacles » utilisés par Fourier ? 2) Quelle est la définition d’un corps noir ? Pourquoi est-il ainsi nommé ? Quelle est la couleur d’un corps noir ? 3) Existe-t-il d’autres sources d’énergie terrestre, même minoritaires, hormis le rayonnement solaire ? 4) En quoi le réchauffement climatique peut-il modifier l’albedo terrestre ? 5) La Terre est-elle légitimement assimilable à un corps noir ? La notion de température moyenne est-elle acceptable compte-tenu de la rotation terrestre ? 6) Vérifier la loi de Wien : , où C est une constante dont on déterminera la valeur numérique. 7) En déduire la longueur d’onde correspondant au maximum de la densité spectrale émise par le soleil dont la température de surface est de l’ordre de 6000 K. Commenter. Quelle définition évolutionniste peut-on donner au « domaine du visible » ? 8) Calculer la constante de Stefan et préciser son unité. 9) a) Déterminer la puissance totale rayonnée par le soleil, et sachant que le soleil est vu depuis la terre sous un angle apparent d’environ un demi-degré. En réalité, la valeur exacte que l’on retiendra pour la suite des calculs est de 385.1024 W.

b) En déduire la valeur de la constante solaire , définie comme la puissance solaire surfacique reçue en incidence normale au niveau de la terre avant de pénétrer dans l’atmosphère.

C0 F = aLn CC0

λmax .T =C

PSol ex =

A0


10 c) En moyennant sur les cycles diurnes et saisonniers, la puissance solaire surfacique moyenne ou psm reçue au niveau de la Terre avant de pénétrer dans l’atmosphère est égale à = 342 W.m-2. Justifier cette valeur. 10) Comment la loi de Wien peut elle fournir des connaissances en astronomie, sachant que certaines étoiles nous apparaissent plus rouges ou plus bleutées que le soleil ? 11) Que peut on dire de la transparence globale de l’atmosphère dans le domaine du visible ? pour l’ensemble du spectre ? 12) Quelle serait la température moyenne qui régnerait à la surface de la Terre en l’absence d’atmosphère ? On assimilera la terre à un corps noir, décompte fait de son albedo. Pourquoi peut-on dire que la température serait en fait plus basse encore ? Commenter. 13) Déterminer la longueur d’onde correspondant au maximum du rayonnement terrestre. Comment se comporte globalement l’atmosphère dans ce domaine spectral ? Commenter. 14) Evaluer la puissance surfacique moyenne qui est rayonnée par la surface de la Terre. Comparer à la puissance surfacique moyenne qui serait reçue de la part du soleil en l’absence d’atmosphère. En déduire la puissance surfacique moyenne rayonnée par l’atmosphère vers le sol. Justifier l’appellation de « forçage radiatif de l’atmosphère » pour ce terme ? 15) L’atmosphère rayonne autant vers le sol que vers l’espace. Comparer alors les puissances surfaciques moyennes reçues par la terre et réémises vers l’espace. En déduire la puissance surfacique moyenne rayonnée par la terre et traversant directement l’atmosphère sans être absorbée. Quelle est la fenêtre spectrale correspondant à ce rayonnement direct ? 16) Quels sont les gaz qui vont principalement déterminer l’altitude effective d’émission ? Justifier la réponse. 17) Comment évolue l’intensité du rayonnement émis par l’atmosphère avec l’altitude d’émission ? On se limitera au domaine de la troposphère où la température décroit linéairement d’environ 6K par km. Evaluer la variation relative de l’intensité du rayonnement si l’altitude effective d’émission s’élève de 100 m à partir d’une valeur initiale de 5 km. 18) Compléter le schéma suivant avec les valeurs numérique des puissances surfaciques moyennes afin d’établir le bilan radiatif total pour la terre.

< A0 >

T0

340re sou340s un angle

apparent d’un Le soleil est vu depuis la terre sous un

Le soleil est vu depuis la terre sous un

151Le soleil est vu depuis la terre sous

atmosphère

sol


11 19) Calculer le forçage radiatif supplémentaire du au CO2 apparu depuis le début de l’ère industrielle. En déduire la variation de température moyenne de la terre depuis cette époque. Evaluer de même les variations de la température moyenne de la terre en considérant un doublement puis un triplement de la concentration en CO2 par rapport à . Commenter. PROBLEME 3 : MOGWAÏS ET GREMLINS Les mogwaïs sont de gentilles créatures, mais il faut respecter impérativement des conditions : en particulier, ne pas leur donner à manger après minuit, et ne pas les mouiller, faute de quoi, ils se transforment en méchants gremlins. Les gremlins ont la faculté de se dupliquer très rapidement. Le problème suivant étudie l’évolution d’une colonie de mogwaïs, puis de gremlins, dont le comportement collectif est similaire à celui de particules diffusantes. Pour plus d’informations, revoir le film Gremlins, tourné par Joe Dante en 1984.

On considère un élevage de mogwaïs dans un enclos cylindrique d’axe Ox , de section constante S. On note n( x,t ) la concentration de mogwaïs à l’abscisse x et à l’instant t. On admettra que leurs déplacements obéissent à la loi de Fick, avec un coefficient de diffusion Dm .

1) a) Etablir l’équation aux dérivées partielles vérifiée par n( x,t ) . b) On suppose les mogwaïs initialement regroupés à une extrémité de l’enclos de longueur L. Donner un ordre de grandeur du temps τm au bout duquel la colonie aura occupé tout l’enclos. Une personne mal intentionnée a regrettablement nourri les mogwaïs après minuit, et a rempli leur enclos d’eau ! On va étudier leur mutation en gremlins, puis l’évolution de cet élevage pris de panique. On garde les mêmes notations : n( x,t )est la concentration de gremlins à l’abscisse x et à l’instant t, et leur mouvement obéit encore à la loi de Fick, avec un coefficient de diffusion Dg .

2) Comparer Dm et Dg

En moyenne, chaque gremlin donne naissance à un autre gremlin au bout du temps τ. Par ailleurs, le phénomène de panique entraîne pour chaque gremlin une probabilité de mourir pendant la

durée τ égale à n( x,t )nC

, où nc est une concentration critique.

C0

mogwaïs gremlins


12 3) a) Montrer que le nombre de gremlins engendrés par unité de volume et de temps est proportionnel à n( x,t ) . b) Combien de gremlins meurent par unité de volume et de temps ? Montrer que ce nombre est proportionnel à n2( x,t ) c) Etablir l’équation aux dérivées partielles vérifiée par n( x,t ) . 4) Quelles sont les solutions stationnaires et uniformes de l’équation précédente ? A quoi correspondent-elles concrètement ? On les notera n1 et n2 avec n1 < n2 .

5) On suppose l’enclos « très long », et on cherche maintenant une solution de la forme n( x,t ) = f ( x − ct ) avec les conditions aux limites : lim

x→−∞n( x,t ) = n2 et lim

x→+∞n( x,t ) = n1 .

a) Que signifient concrètement ces conditions aux limites ? Que dire de limx→±∞

∂n( x,t )∂t

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

?

b) On pose u = x − ct . Quelles sont les limites de f ( u ) et f '( u ) pour x → ±∞ , à un temps fini ?

c) Etablir l’équation différentielle Dg f "( u )+ cf '( u )+ f ( u )τ

− f 2( u )τnc

= 0 vérifiée par f ( u ) .

6) Montrer que cette équation est analogue à celle, avec chaque terme homogène à une force, qui régirait le mouvement rectiligne d’un point matériel de masse m soumis à une force de frottement fluide (proportionnelle à la vitesse) et à une force conservative dont on précisera l’énergie potentielle associée. On pourra prendre Ep( 0 ) = 0

7) En utilisant l’analogie précédente et le théorème de l’énergie mécanique appliqué en x → ±∞ , établir

l’expression de c en fonction de ′f 2( u )du−∞

+∞

∫ , intégrale qu’on ne cherchera pas à calculer.

Dans quel sens la colonie se déplace-t-elle ? Quelle est la dépendance temporelle de la distance caractéristique de peuplement de l’enclos ? L’occupation de l’enclos est-elle plus rapide avec des gremlins ou des mogwaïs ?

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