PROBLEME (Bordeaux 99) (12 points)L'unité de longueur est le centimètre.Données :Le triangle ABC est tel que AB = 6, AC = 8 et BC = 10;I est le milieu du segment [AB] et J le milieu du segment [AC] ;H est le pied de la hauteur issue de A.(codage de la figure)1. a) Démontrer que le triangle ABC est rectangle. b) Exprimer de deux façons l'aire du triangle ABC, et en déduire AH.2. Démontrer que les droites (IJ) et (BC) sont parallèles, et que IJ = 5.3. Soit D le point du segment [CJ] tel que CD = 2,5 et E le point d'intersection des droites (IJ) et (BD).a) Calculer DJ, puis EJ.b) Les droites (CE) et (AI) sont-elles parallèles?4. a) Calculer l'aire du triangle BCD.b) En déduire l'aire du triangle EJD.

Le triangle ABC est tel que AB = 6, AC = 8 et BC = 10;

I est le milieu du segment [AB] et J le milieu du segment [AC] ;

H est le pied de la hauteur issue de A.

68

10

Déjà codé

1. a) Démontrer que le triangle ABC est rectangle.

Puisque l’on connaît les longueurs des 3 côtés, il faut appliquer la réciproque du théorème de Pythagore.

68

10

BC ² = AB² + AC ² =

Le plus grand côté

68

10

10² = 100 6² + 8²

= 36 + 64 =100

On calcule séparémentAB² + AC ² = BC²

Donc le triangle ABC est rectangle en A d ’après la réciproque du théorème de Pythagore.

68

10

1. b. Exprimer de deux façons l'aire du triangle ABC

Aire (ABC) = Base hauteur

2

Aire (ABC) =

Aire (ABC) = Base hauteur

2

AB AC

2

Aire (ABC) = BC AH

2

Aire (ABC) =6 8

2= 24 Aire (ABC) =

10 AH

2= 5 AH

On obtient donc l ’équation :

24 = 5 AHL ’égalité reste vraie si on divise les 2 membres par un même nombre non nul.

5 5

D ’où AH =24

5= 4,8

et en déduire AH.

2. Démontrer que les droites (IJ) et (BC) sont parallèles, et que IJ = 5.

Dans le triangle ABC,

68

10

la droite qui joint le milieu I de [AB]

au milieu J de [AC]

(théorème des milieux qui est un cas particulier de la réciproque du théorème de Thales).

De plus IJ = BC/2 = 10/2 = 5cm

est parallèle au 3ème côté [BC]

5

68

10

5

2,5

Comme J est le milieu de [AC], JC = 8/2 = 4

Or CD=2,5 donc JD = 4 - 2,5 = 1,5

1,5

Calculer DJ

10

2,5

1,5

puis EJ.

Les triangles JDE et DBC sont tels que :

D (JC) ; D (BE) et (JE)//(BC) (cf question2)

D

D= =

D

D

D ’après le théorème de Thales, on a :

Sommet commun aux 2 triangles

J

C B

E

Points alignés

On vérifie que (JE) et (CB) sont bien les parallèles

JE

CB

1,5

2,5= =

DE

DB

JE

10

1,5

2,5= =

DE

DB

JE

10

1,5

2,5=

JE

10

1,5 10 = 2,5 JE

2,52,5

D ’où JE = 6

10

2,5

1,55

6

Les droites (CE) et (AI) sont-elles parallèles?

Les triangles JAI et JEC sont tels que :A,J,C et I,J,E sont alignés dans cet ordre.

JA

JC=

4

4

JI

JE=

5

6

JA

JC=

JI

JE

Donc d ’après la contraposée de la réciproque du théorème de Thales, (EC) et (AI) ne sont pas parallèles.