Math. Z. (2006) 253: 263–280DOI 10.1007/s00209-005-0897-3 Mathematische Zeitschrift

William Alexandre

Problèmes d’extension dans les domainesconvexes de type fini

Received: 18 May 2005 / Published online: 14 March 2006© Springer-Verlag 2006

Résumé Soient donnés D un domaine borné de Cn , convexe, de type fini, X

une hypersurface complexe telle que X ∩ D soit non vide, connexe et transverseet φ ∈ L∞(D ∩ X) ∩ O(X ∩ D). Nous nous intéressons au problème suivant.Sous quelle(s) condition(s) existe-t-il � ∈ L∞(D) ∩ O(D) telle que �|X = φ.Nous allons donner une condition nécessaire à l’existence de l’extension � puissous une condition un peu plus forte nous montrerons la continuité d’un opérateurd’extension de type Berndtsson-Andersson.

Mathematics Subject Classification (2000) 32A35 · 32A26 · 32F32 · 32T25 ·32T27

1 Introduction

Considérons un domaine D de Cn , borné, pseudoconvexe et une variété complexe

X (par exemple X = {z ∈ Cn, f (z) = 0}, f holomorphe) telle que X ∩ D �= ∅.

D’après le théorème de Cartan toute fonction φ holomorphe sur X ∩ D admet uneextension holomorphe� à D tout entier. Qu’en est-il si on impose des conditions decroissances au bord ? On peut par exemple se demander si pourφ ∈ O(X)∩Lq(X),1 ≤ q ≤ ∞, il existe � dans O(D) ∩ Lq(D) telle que �|X = φ.

Si D est strictement pseudoconvexe, si X est sans singularité et si X ∩ bDest transverse la réponse est positive pour 1 < q ≤ ∞ (voir [6], [14]). Lorsqueq = ∞ la réponse est positive même sans l’hypothèse de transversalité (voir [3]).Cependant, si D n’est pas strictement pseudoconvexe, en général il n’en est rien.

Par exemple nous savons que lorsque D est un domaine borné convexe de typefini, X une variété complexe telle que X ∩ D �= ∅ et X ∩ bD soit transverse et

W. AlexandreL.M.P.A., Université du Littoral - Côte d’Opale, maison de la recherche Blaise Pascal,B.P. 699, 62 228 Calais Cedex, FranceE-mail: alexandr@lmpa.univ-littoral.fr

264 W. Alexandre

φ une fonction holomorphe définie et bornée sur X ∩ D, en général, il n’existepas de fonction � holomorphe et bornée sur D et dont la restriction à X soit φ.L’existence d’une telle extension dépend de la géométrie de l’intersection de X etdu bord de D. E. Mazzilli dans [15] donne une condition nécessaire à l’existenced’une extension bornée lorsque la donnée est bornée.

Par analogie à la définition du type au sens de D’Angelo, E. Mazzilli définit

N1(a, X) := sup�∈εa

sup

p > 0, lim sup

z→az∈�

d(z, bD)

|z − a|p< ∞

,

N2(a, X) := sup�∈γa

sup

p > 0, lim sup

z→az∈�

d(z, bD)

|z − a|p< ∞

où– a est un point de bD ∩ X ,– εa est l’ensemble des germes de courbes analytiques complexes régulières v en

a telles que v′(a) ∈ T Ca X , le plan tangent complexe en a à X ,

– γa est l’ensemble des germes de courbes analytiques complexes régulières en aet contenues dans X .E. Mazzilli remarque que l’on a toujours N2(a, X) ≤ N1(a, X), qu’en général

cette inégalité est stricte et montre qu’une condition nécessaire à l’existence d’uneextension bornée pour une donnée bornée est N2(a, X) = N1(a, X). Il montreaussi qu’un hyperplan satisfait cette condition et dans [10], K. Diederich et E.Mazzilli construisent pour un hyperplan complexe X quelconque un opérateurd’extension continu T : O(X ∩ D) ∩ L∞(X ∩ D) → O(D) ∩ L∞(D).

Dans cet article nous nous proposons d’étudier l’existence d’un opérateurd’extension continu T : O(X ∩ D) ∩ L∞(X ∩ D) → O(D) ∩ L∞(D) lorsqueD est un domaine convexe de type fini mais pour une variété X plus générale.Dans un premier temps nous allons donner une condition nécessaire à l’existenced’extensions bornées. Cette condition ne fera plus appel à des notions de “type”mais à la pseudodistance de McNeal que l’on associe à un domaine convexe de typefini. Ensuite, sous une hypothèse un peu plus forte, nous montrerons que l’opérateurde type Berndtsson-Andersson de [10], défini cette fois pour notre variété X , estici encore un opérateur d’extension continu. Mais avant cela nous devons fixerquelques notations.

2 Notations et préliminaires

Soit D un domaine borné de Cn , convexe, de type fini m et r une fonction définis-

sante de D choisie convexe et C∞ sur Cn . Nous supposerons que le gradient de

r ne s’annule pas dans un voisinage V du bord de D. Pour ζ ∈ V nous noteronsDr(ζ ) := {z ∈ C

n, r(z) < r(ζ )} et ηζ la normale unitaire extérieure en ζ à bDr(ζ ),le bord de Dr(ζ ).

Nous utiliserons les distances directionnelles suivantes

τ(ζ,w, ε) := sup{τ, r(ζ + λw) < ε + r(ζ ) ∀λ ∈ C, |λ| ≤ τ },où ζ est un point de C

n , w vecteur non nul de Cn et ε > 0.

Problèmes d’extension dans les domaines convexes de type fini 265

Pour ζ0 dans V nous noteronsw∗1, . . . , w

∗n une base ε-extrémale de McNeal en

ζ0 définie comme dans [5] et ζ ∗ = (ζ ∗1 , . . . , ζ

∗n ) désignera les coordonnées d’un

point ζ dans le repère centré en ζ0 et de base w∗1, . . . , w

∗n . Nous noterons

P∗ε (ζ0) := {ζ ∈ C

n, |ζ ∗i | < τ(ζ0, w

∗i , ε) i = 1, . . . , n},

le polydisque de McNeal centré en ζ0 et de pseudorayon ε.Nous associons à ces polydisques la pseudodistance de McNeal

δ∗(ζ, z) = inf{ε > 0, z ∈ P∗ε (ζ )}.

Les propriétés des bases ε-extrémales et de la pseudodistance sont valables unique-ment pour ε suffisamment petit et ζ et z suffisamment proches. Comme les estiméesque nous devrons produire sont locales, nous supposerons toujours ces conditionsréalisées.

Cette pseudodistance décrit fidèlement la géométrie complexe du bord d’undomaine convexe de type fini. Grâce à elle nous exprimerons les conditions néces-saires et les conditions suffisantes à l’existence d’extensions bornées. Cependantles bases de McNeal qui définissent cette pseudodistance ont un comportementqui peut être très chaotique (voir [13]) et pour effectuer nos calculs nous auronsbesoins de plus de stabilité lorsque ε varie. C’est pourquoi nous utiliserons aussiles bases de Yu qui vont hériter de certaines propriétés des bases extrémales.

Nous noterons w′1, . . . , w

′n une base orthonormale de Yu en ζ0 au sens de

[12]. Une telle base sera toujours choisie telle que ηζ0 = w′1. Nous représenterons

par (ζ ′1, . . . , ζ

′n) les coordonnées d’un point ζ dans le repère centré en ζ0 et de

base w′1, . . . , w

′n . Pour avoir un résumé des définitions et propriétés des bases

ε-extrémales de McNeal et des bases de Yu, nous renvoyons le lecteur aux articles[5], [8], [11], [12], [13],[19].

De manière analogue au cas des bases ε-extrémales nous allons définir unefamille de polydisques et une pseudodistance en utilisant les bases de Yu. Soient

P ′ε(ζ0) := {ζ ∈ C

n, |ζ ′i | < τ(ζ0, w

′i , ε) i = 1, . . . , n},

δ′(ζ0, z) = inf{ε > 0, z ∈ P ′ε(ζ0)}.

Soit (k1, . . . , kn) le multitype de bDr(ζ0) en ζ0. Par définition d’une base de Yu, pouri = 1, . . . , n l’ordre de contact complexe en ζ0 entre bDr(ζ0) et la droite complexe

portée par w′i passant par ζ0 est ki . Par conséquent nous avons τ(ζ0, w

′i , ε) � ε

1ki

pour i = 1, . . . , n, uniformément par rapport à ζ0 et la base de Yu w′1, . . . , w

′n

(voir [13])1.Nous allons maintenant voir que les polydisques et les pseudodistances définis

avec les bases de McNeal et avec les bases de Yu sont localement comparables.

Lemme 2.1 Il existe c0>0 suffisamment petit tel que pour ζ0, ζ ∈V , |ζ−ζ0|<c0,nous ayons

δ′(ζ0, ζ ) � δ∗(ζ0, ζ )

uniformément par rapport à ζ et ζ0.

1 Pour A, B ∈ R nous noterons A � B s’il existe c > 0 tel que A ≤ cB et A � B si A � B etB � A. Chaque fois nous préciserons la dépendance des constantes par rapport aux paramètresqui apparaîtront.

266 W. Alexandre

Preuve Soit ε > 0 tel que ζ soit dans P ′ε(ζ0) et soit (k1, . . . , kn) le multitype de

bDr(ζ0) en ζ0.En écrivant ζ = ζ0 + λv, v vecteur unitaire, nous avons d’après le théorème

2.22 de [13]

|λ|τ(ζ0, v, ε)

�

n∑

i=1

|ζ ′i |ε

1ki

.

Comme τ(ζ0, w′i , ε) � ε

1ki et comme ζ appartient à P ′

ε(ζ0) nous en déduisons que|λ|

τ(ζ0,v,ε)� 1. La proposition 3.1 (iii) de [8] implique alors que

1 �n∑

i=1

|ζ ∗i |

τ(ζ0, w∗i , ε)

.

Autrement dit il existe K > 0 uniforme par rapport à ζ0, ζ et ε suffisamment petit telque ζ appartienne à KP∗

ε (ζ0). D’après la proposition 3.1 de [8], il existe c(K ) > 0uniforme par rapport à ζ0 et ε tel que KP∗

ε (ζ0) soit inclus dans P∗c(K )ε(ζ0). Ainsi

δ∗(ζ0, ζ ) ≤ c(K )ε ce qui montre que δ∗(ζ0, ζ ) � δ′(ζ0, ζ ). On démontre de mêmel’inégalité réciproque.

Corollaire 2.2 Soit ζ ∈ V , un vecteur unitaire v ∈ Cn , λ ∈ C et ε > 0.

i) Pour tout k > 0 suffisamment petit il existe c(k) > 0 indépendant de ζ , v, λet ε tel que |λ| ≤ kτ(ζ, v, ε) implique δ′(ζ, ζ + λv) ≤ c(k)ε.

i i) Pour tout k > 0 suffisamment petit il existe c(k) > 0 indépendant de ζ , v,λ et ε tel que δ′(ζ, ζ + λv) ≤ kε implique |λ| ≤ c(k)τ (ζ, v, ε).

Preuve Soit w∗1, . . . , w

∗n une base ε-extrémale en ζ et soit (v∗

1 , . . . , v∗n) les coor-

données de v dans cette base.L’hypothèse |λ| ≤ kτ(ζ, v, ε) et la proposition 3.1 (iii) de [8] impliquent

l’inégalité∑n

i=1|λv∗

i |τ(ζ,w∗

i ,ε)� k. Ainsi il existe K > 0 indépendant de k, ζ , v, λ et

ε tel que ζ + λv appartienne à kKP∗ε (ζ ). La proposition 3.1 (i) de [8] implique

alors l’existence de C(kK ) > 0 tel que ζ + λv appartienne à P∗C(kK )ε(ζ ) et donc

δ∗(ζ, ζ + λv) ≤ C(kK )ε. Le lemme 2.1 permet alors de conclure que δ′(ζ, ζ +λv) � c(k)ε.

Réciproquement si δ′(ζ, ζ + λv) ≤ kε, d’après le lemme 2.1 et la proposition3.1 (ix) et (i) de [8] il existe c′(k) > 0 ne dépendant pas de ζ , v, λ et ε tel que ζ+λvappartienne c′(k)P∗

ε (ζ ). Ainsi pour tout i nous avons |λv∗i | ≤ c′(k)τ (ζ, w∗

i , ε) etla proposition 3.1 (iii) de [8] amène |λ| ≤ c(k)τ (ζ, v, ε).

Lemme 2.3 Soient ζ, ζ0 ∈ V et ε ≥ δ∗(ζ0, ζ ) > 0. Soit encore v un vecteur deC

n. Alors nous avons uniformément par rapport à ε, ζ0, ζ et v

τ(ζ0, v, ε) � τ(ζ, v, ε).

Preuve D’après la proposition 3.1 (ix) de [8] il existe K > 0 suffisamment grandet uniforme par rapport ζ0, ζ et ε tel que ζ appartienne à P∗

K ε(ζ0) et donc d’aprèsla proposition 3.1 (iv) de [8]

τ(ζ, v, K ε) � τ(ζ0, v, K ε). (2.1)

Problèmes d’extension dans les domaines convexes de type fini 267

D’après l’inégalité (3.7) de [10] nous avons K1m τ(ζ0, v, ε) � τ(ζ0, v, K ε) �

K τ(ζ0, v, ε). Nous avons de même τ(ζ, v, K ε) � τ(ζ, v, ε) uniformément parrapport à ζ0, ζ , v et ε ce qui avec (2.1) prouve le lemme.

Nous aurons aussi besoin de la fonction de support construite dans [7]. Elle estdéfinie de la manière suivante.

Pour ζ ∈ V nous choisissons une base orthonormale de Cn w1, . . . , wn telle

que w1 = ηζ . Nous posons rζ (ω) = r(ζ + ω1w1 + · · · + ωnwn) et

Fζ (ω) := 3ω1 + Kω21 − K ′

m∑

j=2

κ j M2 j ∑

|β|= jβ1=0

1

β!∂ j rζ∂ωβ

(0)ωβ

avec K , K ′, M > 0, κ j = 1 si j ≡ 0 mod 4, −1 si j ≡ 2 mod 4 et 0 sinon.Nous écrivons z ∈ C

n comme z = ζ + ω1,zw1 + · · · + ωn,zwn et définissonsF(ζ, z) par

F(ζ, z) := Fζ (ω1,z, . . . , ωn,z).

Théorème 2.4 Il existe un voisinage V de bD et des réels strictement positifs M,K , K ′, k′, c et R tel que pour tout ζ ∈ V , tout vecteur unitaire v ∈ T C

ζ bDr(ζ ) et

tout w = (w1, w2) ∈ C2, avec |w| < R, nous ayons

F(ζ, ζ + w1ηζ + w2v) ≤

≤ −∣∣∣∣ w1

2

∣∣∣∣ − K

2(�w1)

2 − K ′k′

4

m∑

j=2

∑

α+β= j

∣∣∣∣∂ j r(ζ + λv)

∂λα∂λβ

∣∣∣∣λ=0

∣∣∣∣ |w2| j

+c(r(ζ + w1ηζ + w2v)− r(ζ ))

lorsque r(ζ + w1ηζ + w2v)− r(ζ ) ≤ 0.

Ce théorème a été montré dans [7]. Cependant on peut avoir F(ζ, z) = 0 lorsque|ζ − z| > R. Pour éviter tout problème nous utiliserons la version globale S de [1].Seules les idées de [18] sont requises pour la construction de S. Comme dans lecas d’un domaine strictement pseudoconvexe (voir [18] p. 224, démonstration duthéorème 1.13) S satisfait

i) S est de régularité C∞ dans V × U , U voisinage de D et S(ζ, ·) est holomorphesur U .

ii) S(ζ, ζ ) = 0 pour ζ ∈ U ∩ V .iii) Il existe c > 0 telle que S(ζ, z) ≤ −c|ζ − z|m pour tout (ζ, z) ∈ V ×U avec

r(ζ ) ≥ r(z).iv) Sur {(ζ, z) ∈ V × U, |ζ − z| < R

2 }, il existe une fonction C∞ A telle que12 ≤ |A(ζ, z)| ≤ 3

2 et S = A · F . De plus A(ζ, z) = 11+(m′−v(ζ,z))F(ζ,z) où m′

est une constante et v une fonction bornée C∞ définie sur V × U .

Nous utiliserons ces résultats pour établir une condition nécessaire à l’existenced’une extension et pour montrer la continuité d’un opérateur d’extension. Avantcela, fixons encore les notations relatives à l’hypersurface X .

268 W. Alexandre

Nous noterons X une hypersurface complexe sans singularité de la formeX = {z ∈ W, f (z) = 0} où f est une fonction holomorphe sur un voisinageW de D. Nous supposons que X ∩ D est non vide et connexe et que X ∩ bD esttransverse, c’est à dire ∂ f (ζ ) ∧ ∂r(ζ ) �= 0 quel que soit ζ ∈ bD ∩ X . Pourtout ζ dans un voisinage de bD ∩ X tel que ∂ f (ζ ) �= 0 nous notons vζ :=

1√∑n

i=1

∣∣∣∂ f∂ζi(ζ )

∣∣∣2(∂ f∂ζ1(ζ ), . . . ,

∂ f∂ζn(ζ )) et nous posons vζ := vζ − 〈ηζ , vζ 〉ηζ où 〈·, ·〉

désigne le produit hermitien usuel de Cn . vζ n’est autre que la projection orthogo-

nale de vζ sur T Cζ bDr(ζ ) le plan tangent complexe à bDr(ζ ) en ζ . De plus, comme

X ∩bD est transverse, il existe c > 0 tel que |vζ | ≥ c pour tout ζ dans un voisinagede bD ∩ X .

3 Condition nécessaire d’existence d’une extension

Dans cette partie nous nous plaçons dans C3.

Théorème 3.1 Soit ζ0 ∈ bD ∩ X et u ∈ C3 un vecteur unitaire orthogonal à vζ0

tel que

sup|λ|>0

δ′(ζ0, ζ0 + f (ζ0 + λu)vζ0)

δ′(ζ0, ζ0 + λu)= +∞.

Alors il existe φ ∈ O(X ∩ D)∩ L∞(X ∩ D) n’ayant pas d’extension dans O(D)∩L∞(D).

Remarque 1 Un point ζ = ζ0 + λu + µvζ0 ∈ X avec 〈u, vζ0〉 = 0 satisfait|µ| � | f (ζ0 + λu)|. Le théorème (3.1) revient alors à dire que s’il existe unedirection complexe u selon laquelle X a un comportement non contrôlable enterme de pseudodistance dans la direction u, alors il existe une fonction dansO(X ∩ D)∩ L∞(X ∩ D) qui n’a pas d’extension dans O(D)∩ L∞(D). C’est parexemple le cas pour X = {ζ ∈ C

3, ζ2 = ζ n3 }, D = {ζ ∈ C

3, |ζ1|2+|ζ2|2+|ζ3|2q <1}, n, q ∈ N avec q > n ≥ 2, ζ0 = (1, 0, 0) et u = (0, 0, 1).

Preuve du théorème 3.1 Nous allons nous ramener à la situation de la proposition2.4 de [15]. Quitte à effectuer une rotation et une translation, nous pouvons toujourssupposer que ζ0 est l’origine de C

3 et que la base canonique e1, e2, e3 de C3 est

une base de Yu en ζ0. Nous notons (k1, k2, k3) le multitype en ζ0 de bDr(ζ0).Nous allons montrer que nous avons nécessairement u = e3, vζ0 = αe2 avec

α ∈ C∗.

La définition de δ′(ζ0, ζ0 + λu) nous indique que pour i = 1, 2, 3 nous avons

|λui | � δ′(ζ0, ζ0 +λu)1ki et qu’il existe i0 := i0(ζ0, λ) tel que |λui0 | � δ′(ζ0, ζ0 +

λu)1

ki0 . Ainsi nous avons

δ′(ζ0, ζ0 + λu) �

3∑

i=1

|λui |ki . (3.1)

Problèmes d’extension dans les domaines convexes de type fini 269

De même nous avons

δ′(ζ0, ζ0 + f (ζ0 + λu)vζ0) �

3∑

i=1

| f (ζ0 + λu)(vζ0)i |ki . (3.2)

Si u1 �= 0 alors δ′(ζ0, ζ0 + λu) � |λu1|, uniformément par rapport à λ. D’autrepart, | f (ζ0 +λu)| � |λ| uniformément par rapport à λ lorsque |λ| est suffisamment

petit. cela implique que sup|λ|>0δ′(ζ0,ζ0+ f (ζ0+λu)vζ0 )

δ′(ζ0,ζ0+λu) < +∞, ce qui est absurdedonc u1 = 0.

Puisque u1 = 0 nous avons 〈u, vζ0〉 = 〈u, vζ0〉 = 0 et par suite que | f (ζ0 +λu)| � |λ|2 uniformément par rapport à λ lorsque |λ| est suffisamment petit. Siu2 �= 0 alors δ′(ζ0, ζ0 + λu) � |λu2|k2 , uniformément par rapport à λ.D’autre part, nous avons δ′(ζ0, ζ0 + f (ζ0 + λu)vζ0) � |λ|2k2 ce qui implique que

sup|λ|>0δ′(ζ0,ζ0+ f (ζ0+λu)vζ0 )

δ′(ζ0,ζ0+λu) < +∞ ce qui est absurde.Par conséquent u2 = 0 et u = e3. Comme vζ0 et u sont orthogonaux, nous en

déduisons que vζ0 = αe2 avec α ∈ C∗ puis que ∂ f

∂ζ2(ζ0) �= 0 et ∂ f

∂ζ3(ζ0) = 0.

Le théorème des fonctions implicites holomorphes permet alors d’écrire Xlocalement sous la forme X ∩ B(ζ0, R) = {ζ ∈ B(ζ0, R), ζ2 = h(ζ1, ζ3)} oùR > 0 et h est une fonction holomorphe.

Puisque sup|λ|>0δ′(ζ0,ζ0+ f (ζ0+λu)vζ0 )

δ′(ζ0,ζ0+λu) = +∞, l’application λ �→ f (ζ0 + λu)

n’est pas identiquement nulle et il existe θ ∈ N tel que ∂θ f∂ζ θ3(ζ0) �= 0. De plus

θ ≥ 2 car f (ζ0) = ∂ f∂ζ3(ζ0) = 0 et comme sup|λ|>0

δ′(ζ0,ζ0+ f (ζ0+λu)vζ0 )δ′(ζ0,ζ0+λu) = +∞

nous avons k2θ < k3.Nous en déduisons que ∂ j h

∂ζj

3

(ζ0) = 0 pour j = 0, . . . , θ − 1 et ∂θ h∂ζ θ3(ζ0) = 0.

Ainsi h est de la forme h(ζ1, ζ3) = ζ θ3 h(ζ3)+ z1g(ζ1, ζ3) avec h(ζ0) �= 0.

Considérons alors la fonction φ définie sur X ∩ D par φ(z) = θ zθ−13

(−S(ζ0,z))θ−1k2θ

.

φ est holomorphe sur X ∩ D car − S(ζ0, z) > 0 pour tout z ∈ D.Vérifions que φ est bornée sur X ∩ D.Soit z ∈ D∩X . Quitte à choisir le réel R du théorème 2.4 plus petit encore, nous

pouvons supposer que X∩B(ζ0, R) = {z ∈ B(ζ0, R), z2 = zθ3h(z3)+z1g(z1, z3)}.Lorsque |ζ0 − z| > R

2 nous avons |S(ζ0, z)| � 1 uniformément par rapport àz et ζ0 car − S(ζ0, z) � |ζ0 − z|m . Ainsi φ(z) est borné indépendamment de zlorsque |ζ0 − z| ≥ R

2 .Ensuite lorsque |ζ0 − z| ≤ R

2 , dans [8] il a été démontré que pour z ∈ P∗ε (ζ0) \

c1P∗ε (ζ0) avec r(ζ0) ≥ r(z) on a |S(ζ0, z)| � ε (c1 est une constante positive

telle que c1P∗ε (ζ0) ⊂ P∗

ε2(ζ0)). Cela implique (voir proposition 3.1 (ix) de [8])

que |S(ζ0, z)| � δ∗(ζ0, z) et donc avec le lemme 2.1 nous obtenons |S(ζ0, z)| �δ′(ζ0, z) pour tout z ∈ D. D’autre part pour z ∈ X ∩ B(ζ0,

R2 ) nous avons z2 =

zθ3h(z3) + z1g(z1, z3) et |z2| � δ′(ζ0, z)1

k2 , |z1| � δ′(ζ0, z). Ainsi |z3| � (|z2| +|z1|) 1

θ � δ′(ζ0, z)1θk2 et nous en déduisons que |φ(z)| � 1 pour tout z ∈ X ∩ D tel

que |ζ0 − z| ≤ R2 .

270 W. Alexandre

Maintenant pour montrer que φ n’admet pas d’extension dans L∞(D)∩O(D)il suffit de procéder comme dans la proposition 2.4 de [15].

4 Opérateur d’extension continu

Nous travaillons maintenant dans Cn , n ≥ 3.

Théorème 4.1 Supposons qu’il existe un voisinage V de bD et c, α, λ0 > 0 telsque pour tout ζ de X ∩ V ∩ D, tout vecteur unitaire u avec 〈u, vζ 〉 = 0 et toutλ ∈ C avec c|r(ζ )| ≤ |λ| ≤ λ0 nous ayons

δ′(ζ, ζ + f (ζ + λu)vζ ) � δ′(ζ, ζ + λu)1+α (4.1)

uniformément par rapport à ζ , u et λ.Alors il existe un opérateur d’extension continu T : L∞(X ∩D)∩O(X ∩D) →

L∞(D) ∩ O(D).

Remarque 2 Comme la condition donnée par E. Mazzilli dans [15], la condition(4.1) est vérifiée avec α = 1 lorsque X est un hyperplan transverse. En effet, dansce cas vζ ne dépend pas de ζ et nous avons f (z) = 〈z − ζ, vζ 〉 pour tout z ∈ C

n

et tout ζ ∈ X. Considérons alors ζ ∈ X, u vecteur unitaire de Cn orthogonal

à vζ et notons (k1, . . . , kn) le multitype de D en ζ . Nous avons f (ζ + λu) =λu′

1(vζ )′1 où ici (u′

1, . . . , u′n) sont les coordonnées de u dans une base de Yu en ζ

et ((vζ )′1, . . . , (vζ )′n) celles de vζ .D’une part, comme nous l’avions vu dans la preuve du théorème 3.1 nous avons

δ′(ζ, ζ + f (ζ + λu)vζ ) �∑n

i=1 | f (ζ + λu)(vζ )′i |ki . Mais comme ki ≥ 2 pouri = 2, . . . , n et (vζ )′1 = 0, nous avons δ′(ζ, ζ + f (ζ + λu)vζ ) � |λu′

1|2.D’autre part δ′(ζ, ζ + λu) �

∑ni=1 |λu′

i |ki � |λu′1| d’où δ′(ζ, ζ + f (ζ +

λu)vζ ) � δ′(ζ, ζ + λu)2.Un raisonnement analogue montre que si D est un domaine convexe de type

2 (ce qui inclut à un biholomorphisme local près le cas des domaines strictementpseudoconvexe), la condition du théorème 4.1 est satisfaite avec α = 1 quelle quesoit l’hypersurface complexe X.

Remarque 3 La condition (4.1) ne dépend pas (à une constante multiplicativeprès) de la fonction f choisie pour représenter X. En utilisant les propriétés desbases ε-extrémales on peut montrer qu’elle ne dépend pas non plus de la fonctiondéfinissante r choisie pour D.

4.1 Construction de l’opérateur d’extension

Nous utilisons l’opérateur intégral de type Berndtsson-Andersson déjà utilisé dans[10].

Soit χ une fonction de troncature C∞ telle que χ(ζ ) = 0 si r(ζ ) > −η02

et χ(ζ ) = 1 si r(ζ ) ≤ −η0 où η0 > 0 est suffisamment petit pour que {ζ ∈

Problèmes d’extension dans les domaines convexes de type fini 271

Cn, |r(ζ )| ≤ η0} soit inclus dans le voisinage V du théorème 2.4. Soit encore

Q1, . . . , Qn les n fonctions données dans [2] qui satisfont pour tout (ζ, z) ∈ V × U

S(ζ, z) =n∑

i=1

Qi (ζ, z)(ζi − zi ).

Pour ζ, z ∈ D nous posons comme dans [10]

Q(1)(ζ, z) = 1

r(ζ )

(

(1 − χ(ζ ))

n∑

i=1

Qi (ζ, z)dζi + χ(ζ )

n∑

i=1

∂r

∂ζi(ζ )dζi

)

.

Nous décomposons f sous la forme

f (z)− f (ζ ) =n∑

i=1

hi (ζ, z)(zi − ζi )

où les hi sont des fonctions holomorphes. Comme dans [10] nous avons

Proposition 4.2 Pour tout N > 1, l’opérateur intégral E N défini pour φ ∈ O(X ∩D) ∩ L∞(X ∩ D) et z ∈ D par

E Nφ(z) :=∫

D∩Xφ(ζ )

× r(ζ )N+n−1

(r(ζ )+ (1−χ(ζ ))S(ζ, z)+ χ(ζ )

∑ni=1

∂r∂ζi(ζ )(zi − ζi )

)N+n−1

×(∂Q(1)(ζ, z))n−1 ∧ ∂ f (ζ ) ∧ ∑ni=1 hi (ζ, z)dζi

|∂ f (ζ )|2 dλ(ζ ),

où dλ est la mesure de surface sur X ∩ D, est un opérateur d’extension linéaire.De plus E Nφ est continu sur D \ (bD ∩ X).

Preuve Voir [10].

Remarque 4 Nous utilisons ici la même notation que dans [10] et [4]. Dans ladéfinition de l’opérateur E N on considère l’unique coefficient de la (n, n)-formeque l’on multiplie par dλ, la mesure de surface sur X ∩ D, puis on intègre surX ∩ D.

4.2 Preuve du théorème 4.1

Comme dans [10] nous allons ré-écrire E Nφ afin de faire apparaître le terme f (z)à l’intérieur de l’intégrale.

272 W. Alexandre

Proposition 4.3 Pour tout z ∈ bD \ X et tout N > 2 nous avons

E Nφ(z) =∫

X∩Dφ(ζ ) f (z)

r(ζ )N+n−1 ∑ni=1(Qi (z, ζ )dζi ) ∧ (∂Q(1)(ζ, z))n−1 ∧ ∂ f (ζ )

S(z, ζ )(

r(ζ )+(1−χ(ζ ))S(ζ, z)+χ(ζ )∑ni=1

∂r∂ζi(ζ )(zi − ζi )

)N+n−1 dλ(ζ ).

Preuve La preuve est essentiellement la même que celle de la proposition 3.1 de[10] car elle utilise surtout ∂ f (ζ ) �= 0 pour tout ζ ∈ X . Cependant, il faut pouvoirconstruire un prolongement hγ (φ) de φ à D qui ait les mêmes propriétés que lehγ (g) de [10], c’est à dire hγ (φ) doit appartenir à C∞(D) ∩ L∞(D) et pour tout

z ∈ D nous devons avoir |∂hγ (φ)(z)| ≤ Mγ

|r(z)| avec Mγ > 0 ne dépendant que deγ et tendant vers +∞ lorsque γ tend vers 0.

Nous procédons comme suit. Soitψ :{

X × C −→ Cn

(z, λ) �−→ z + λvz.Comme ∂ f (z) �=

0 pour tout z ∈ X , quel que soit z0 ∈ X , il existe un voisinage V (z0, 0) ⊂ X × C

de (z0, 0) et un voisinage V (z0) de z0 tels que ψ : V (z0, 0) → V (z0) soit unbiholomorphisme. Nous notons ϑ : X × C → X la projection canonique et

posons π0 :{

V (z0) −→ Xz �−→ ϑ ◦ ψ−1(z)

. π0 est holomorphe et π0(z) = z pour tout

z ∈ X ∩ V (z0).Comme X ∩ D est compact, il existe z1, . . . , z p ∈ X ∩ D tel que X ∩ D soit

recouvert par ces voisinages V (zi ). Soit V (X ∩ D) = ∪pi=1V (zi ) et soit χ1, . . . , χp

une partition de l’unité subordonnées au recouvrement V (z1), . . . , V (z p). Nousnotons a = supW |r | et b = infW\V (X∩D) | f | où W est le voisinage de D surlequel f est définie. Quitte à choisir W plus petit nous supposons que X ∩ W estinclus dans V (X ∩ D) de sorte que b > 0.

Pour 0 < γ < b2a nous posons

Lγ := {z ∈ W, | f (z)| < −γ r(z)}.De part sa définition Lγ est inclus dans D ∩ V (X ∩ D).

Soit encore χγ ∈ C∞(R) tel que χγ (x) = 1 si x < γ 2

16 et χγ (x) = 0 si x > γ 2

4 .Nous posons pour z ∈ D

hγ (φ)(z) := χγ

( | f (z)|2r(z)2

) p∑

i=1

χi (z)φ(πi (z)).

Alors hγ (φ) est bien définie et appartient à L∞(D) ∩ C∞(D), hγ (φ)(z) = φ(z)

pour tout z ∈ X ∩ D et |∂hγ (φ)(z)| � Mγ

|r(z)| où Mγ > 0 ne dépend que de γ ettend vers +∞ lorsque γ tend vers 0.

Il suffit maintenant de reprendre la preuve de la proposition 3.1 de [10].

Les propriétés des bases ε-extrémales, de la fonction de support ne sont vérifiéesque pour ε ∈]0, ε0] avec ε0 suffisamment petit. Nous supposons que ε0 > 0est suffisamment petit pour que quel que soit z ∈ bD et ε ∈]0, ε0] nous ayons

Problèmes d’extension dans les domaines convexes de type fini 273

P∗ε (z) ∩ D− η0

2= ∅ (η0 est le réel qui apparaît dans la construction de E N ).

Puisque E Nφ est continue sur D \ (bD ∩ X), pour prouver le théorème 4.1 ilsuffit de montrer que pour tout z ∈ bD \ X nous avons |E Nφ(z)| � ‖φ‖L∞(X∩D)uniformément par rapport à z.

D’autre part, comme la seule singularité du noyau de E N apparaît pour ζ = znous avons pour tout z ∈ bD \ X suffisamment proche de X

|E Nφ(z)| �∫

D∩X∩P∗ε0(z)

| f (z)φ(ζ )K (ζ, z)| dλ(ζ )+ ‖φ‖L∞(X∩D)

où

K (ζ, z)

=r(ζ )n+N−1 ∑n

i=1 Qi (z, ζ )dζi ∧(∂

(1

r(ζ )

∑ni=1 Qi (ζ, z)dζi

))n−1 ∧ ∂ f (ζ )

S(z, ζ )(r(ζ )+ S(ζ, z))n+N−1

Dorénavant nous fixons z0 ∈ bD \ X suffisamment proche de X pour que δ :=inf{δ∗(z0, ζ ), ζ ∈ X ∩ D} ≤ ε0. Comme P∗

δ2(z0) ∩ D ∩ X = ∅ nous avons

|E Nφ(z0)|�

∫

D∩X∩(P∗ε0(z0)\P∗

δ2(z0))

| f (z)φ(ζ )K (ζ, z0)| dλ(ζ )+ ‖φ‖L∞(X∩D) (4.2)

et il suffit de pouvoir majorer uniformément l’intégrale apparue dans (4.2).Comme dans [10,8,2] nous utilisons un recouvrement de P∗

ε0(z0) \ P∗

δ2(z0)

par des polydisques de McNeal “creusés”. Pour ε > 0 et i ∈ N nous posonsP(i)ε (z0) := P∗

2−i ε(z0) \ c1P∗

2−i ε(z0) où c1 > 0, qui ne dépend ni de z0, ni de i , ni

de ε, est donné par la proposition 3.1 de [8] de sorte que c1P∗2−i ε

(z0) ⊂ P∗2−i−1ε

(z0).Nous avons alors

P∗ε0(z0) \ P∗

δ2(z0) ⊂ ∪i0

i=0P(i)ε0(z0) (4.3)

où i0 satisfait 2−i0ε0 � δ uniformément par rapport à z0 et ε0.Nous devons maintenant estimer les différents éléments de K (ζ, z0) pour ζ ∈

P0ε (z0) ∩ X ∩ D et pour ε ∈ [ δ2 , ε0] donné.

Soit w∗1, . . . , w

∗n une base ε-extrémale en z0. Nous notons (ζ ∗

1 , . . . , ζ∗n ) les

coordonnées d’un point ζ dans le repère centré en z0 et de base w∗1, . . . , w

∗n . Nous

notons�∗ la matrice unitaire telle que ζ ∗ = �∗(ζ − z0). Nous exprimons le noyauK dans la base ε-extrémale en posant Q∗ = �∗Q de sorte que

∑ni=1 Qi dζi =

∑ni=1 Q∗

i dζ ∗i et

∑ni, j=1

∂Qi∂ζ j

dζ j ∧ dζi = ∑ni, j=1

∂Q∗i

∂ζ∗jdζ

∗j ∧ dζ ∗

i .

Proposition 4.4 Pour ζ ∈ P0ε (z0)∩ D ∩ X, i, j = 1, . . . , n nous avons uniformé-

ment par rapport à ζ , z0 et ε

|S(z0, ζ )| � ε,

|S(ζ, z0)+ r(ζ )| � ε.

274 W. Alexandre

Preuve La première inégalité a été démontrée dans [2]. La seconde a été démontréedans [9] pour la fonction de support locale. On la démontre de manière analoguepour S.

Proposition 4.5 Pour ζ ∈ P∗ε (z0) et i, j = 1, . . . , n nous avons uniformément

par rapport à z0, ζ et ε

|Q∗i (z0, ζ )| + |Q∗

i (ζ, z0)| � ε

τ(z0, w∗i , ε)

,

∣∣∣∣∣

∂Q∗i

∂ζ∗j

(z0, ζ )

∣∣∣∣∣� ε

τ(z0, w∗i , ε)τ (z0, w

∗j , ε)

.

Preuve L’estimation de |Q∗i (ζ, z0)| a été faite dans [2]. Celle de |Q∗

i (z0, ζ )| et∣∣∣∣∂Q∗

i

∂ζ∗j(z0, ζ )

∣∣∣∣ sont analogues.

La proposition suivante permet d’estimer f (z0) en utilisant l’hypothèse (4.1).L’estimation qu’elle fournit permet de se passer de l’hypothèse très restrictivede linéarité faite dans [10].

Soit ζ0 un point de X ∩ D satisfaisant δ∗(z0, ζ0) = δ.

Proposition 4.6 Quitte à choisir ε0 plus petit indépendamment de z0 et ζ , nousavons pour tout ζ ∈ X ∩ D ∩ P∗

ε (z0)

| f (z0)| � εαm τ(z0, vζ , ε)+ |〈z0 − ζ0, vζ 〉|

uniformément par rapport à z0, ζ et ζ0.

Preuve Soit λ ∈ C et u un vecteur unitaire de Cn tels que z0 = ζ + λu. Nous

posons v := u − 〈u, vζ 〉vζ . Nous avons

| f (z0)| ≤ | f (z0)− f (z0 − 〈λu, vζ 〉vζ )| + | f (ζ + λv)|� |〈z0 − ζ, vζ 〉| + | f (ζ + λv)|. (4.4)

Pour estimer | f (ζ + λv)| nous allons utiliser l’hypothèse (4.1) faites sur f . Pourcela nous devons commencer par estimer δ′(ζ, ζ + λv).

Nous fixons une base de Yuw′1, . . . , w

′n en z0 et notons (k1, . . . , kn) le multitype

de bD en z0. Nous notons encore (ζ ′1, . . . , ζ

′n) les coordonnées de ζ dans le repère

centré en z0 et de base w′1, . . . , w

′n , (u′

1, . . . , u′n) et (v′

1, . . . , v′n) les coordonnées

respectives de u et v dans la basew′1, . . . , w

′n . Nous avons donc λv′

i = −ζ ′i +〈z0 −

ζ, vζ 〉(vζ )′i .Soit ε := max(ε, |〈z0−ζ, vζ 〉(vζ )′i |ki ) > 0. Nous avons alors δ′(ζ, ζ+λv) � ε.

En effet, si v = 0, c’est trivial. Sinon d’après le lemme 2.3 nous avons d’unepart τ(ζ, v|v| , ε) � τ(z0,

v|v| , ε). D’autre part d’après le théorème 2.22 de [13]

1τ(z0,

v|v| ,ε)

�1|v|

∑ni=1

|v′i |

ε1ki

. Nous en déduisons que |λv|τ(ζ, v|v| ,ε)

�∑n

i=1|λv′

i |ε

1ki

puis par

la définition de ε que |λ||v| � τ(ζ, v|v| , ε). Le corollaire 2.2 implique alors queδ′(ζ, ζ + λv) � ε.

Il faut alors distinguer plusieurs cas.

Problèmes d’extension dans les domaines convexes de type fini 275

Tout d’abord lorsque δ′(ζ, ζ + λv) < c|r(ζ )|. Pour µ ∈ C tel que |µ| =τ(ζ, v, c|r(ζ )|) l’hypothèse (4.1) et le corollaire 2.2 donnent | f (ζ + µv)| �τ(ζ, vζ , (c|r(ζ )|)α+1). Le principe du maximum appliqué à la restriction de fà la droite complexe passant par ζ et portée par v implique alors que

| f (ζ + λv)| � τ(ζ, vζ , |r(ζ )|α+1).

Comme ζ appartient à P∗ε (z0) nous avons |r(ζ )| � ε et donc

| f (ζ + λv)| � τ(ζ, vζ , εα+1).

Maintenant l’inégalité (3.7) de la proposition 3.3 de [10] amène

| f (ζ + λv)| � εαm τ(ζ, vζ , ε). (4.5)

Lorsque δ′(ζ, ζ + λv) ≥ c|r(ζ )| l’hypothèse (4.1) et le corollaire 2.2 donnent

| f (ζ + λv)| � τ(ζ, vζ , δ′(ζ, ζ + λv)α+1)

� τ(ζ, vζ , εα+1).

En utilisant l’inégalité (3.7) de la proposition 3.3 de [10] nous obtenons

| f (ζ + λv)| � εαm τ(ζ, vζ , ε). (4.6)

Nous distinguons deux cas. Tout d’abord si ε = ε nous avons évidemment

| f (ζ + λv)| � εαm τ(ζ, vζ , ε). (4.7)

Si maintenant ε = |〈z0−ζ, vζ 〉(vζ )′i0|ki0 pour un i0 donné. Comme ζ appartient

à P∗ε (z0) nous avons |ζ − z0| � ε

1m . Ainsi ε � ε

1m et nous déduisons de (4.6)

| f (ζ + λv)| � εα

m2 τ(ζ, vζ , ε).

Maintenant d’après le théorème 2.22 de [13] nous avons τ(z0, vζ , ε) � ε

1ki0

|(vζ )′i0 |et d’après le lemme 2.3 τ(z0, vζ , ε) � τ(ζ, vζ , ε) d’où

| f (ζ + λv)| � εα

m2 |〈z0 − ζ, vζ 〉|. (4.8)

Avec (4.5), (4.7) et (4.8) nous obtenons

| f (ζ + λv)| � εα

m2 |〈z0 − ζ, vζ 〉| + εαm τ(ζ, vζ , ε). (4.9)

Avec (4.4) et le lemme 2.3 nous en déduisons que

| f (z0)| � |〈z0 − ζ, vζ 〉| + εαm τ(z0, vζ , ε). (4.10)

Pour conclure il faut encore estimer |〈z0 − ζ, vζ 〉|. Pour cela nous majorons〈z0 − ζ0, vζ 〉 et 〈ζ0 − ζ, vζ 〉.

276 W. Alexandre

D’une part nous avons |(ζ0)′1| � τ(z0, w

′1, δ). D’autre part d’après la

proposition 3.1 (v) τ(z0, w′1, δ) � δ car w′

1 = ηz0 est la normale unitaire à bD enz0. Comme δ ≤ 2ε, nous en déduisons que

|〈z0 − ζ0, vζ 〉| � |〈z0 − ζ0, vζ 〉| + ε. (4.11)

Pour obtenir l’inégalité recherchée, nous allons montrer que |〈ζ0 − ζ, vζ 〉| �εαm τ(ζ, vζ , ε).

Soit µ ∈ C et w ∈ Cn un vecteur unitaire tels que 〈w, vζ 〉 = 0 et ζ0 =

ζ + µw + 〈ζ0 − ζ, vζ 〉vζ . Nous avons

f (ζ0) = 0

= 〈ζ0 − ζ, vζ 〉∂ f (ζ )vζ + 〈ζ0 − ζ, vζ 〉O(|µ| + |〈ζ0 − ζ, vζ 〉|)+ f (ζ + µw).

Comme l’intersection bD ∩ X est transverse nous avons |∂ f (ζ )vζ | � 1 uni-formément par rapport à ζ .

D’autre part en utilisant l’inégalité triangulaire de la proposition 3.1 de [8],

nous obtenons δ∗(ζ0, ζ ) � δ∗(ζ0, z0) + δ∗(z0, ζ ) � ε. Ainsi |ζ − ζ0| � ε1m et

lorsque ε0 est suffisamment petit et z0 suffisamment proche de X nous avons

|〈ζ − ζ0, vζ 〉| � | f (ζ + µw)|. (4.12)

Comme nous avons δ∗(ζ0, ζ ) � ε, il existe K > 0 ne dépendant ni de ζ , ni deζ0, ni de ε tel que ζ appartienne à P∗

K ε(ζ0). De manière analogue à l’estimationf (ζ + λv) (voir (4.9)), on montre alors que

| f (ζ + µw)| � εα

m2 |〈ζ0 − ζ, vζ 〉| + εαm τ(ζ, vζ , ε).

Quitte à choisir ε0 encore plus petit (indépendamment de ζ et z0), nous obtenonsavec (4.12)

|〈ζ − ζ0, vζ 〉| � εαm τ(ζ, vζ , ε). (4.13)

En regroupant les inégalités (4.11) et (4.13) nous obtenons

|〈z0 − ζ, vζ 〉| � εαm τ(ζ, vζ , ε)+ |〈z0 − ζ0, vζ 〉| + ε. (4.14)

En plaçant (4.14) dans (4.10), nous obtenons

| f (z0)| � |〈z0 − ζ0, vζ 〉| + ε + εαm τ(z0, vζ , ε). (4.15)

Quitte à considérer un α > 0 plus petit que celui de l’hypothèse (4.1), nous avonsε � ε

αm τ(z0, vζ , ε) ce qui montre l’inégalité recherchée.

Corollaire 4.7 Pour tout ζ ∈ P0ε (z0)∩X∩D nous avons uniformément par rapport

à z0, ζ et ε

| f (z0)K (ζ, z0)|

�n∑

k=1

(εαm τ(z0, vζ , ε)+ |〈z0 − ζ0, vζ 〉|)| ∧n

j=1 dζ ∗j ∧ ∧n

j=1j �=k

dζ∗j ∧ ∂ f (ζ )|

∏nj=1 τ(z0, w

∗j , ε)

∏nj=1j �=kτ(z0, w

∗j , ε)

Problèmes d’extension dans les domaines convexes de type fini 277

Preuve K (ζ, z0) s’écrit comme combinaison linéaire de termes de la forme

r(ζ )n+N−1 Qν0(z0, ζ )dζ ∗ν0

∧ ∧n−1i=1

∂Q∗νi

∂ζ∗µi

(ζ, z0)dζ∗µi

∧ dζ ∗νi

∧ ∂ f (ζ )

r(ζ )n−1S(z0, ζ )(r(ζ )+ S(ζ, z0))n+N−1

et

r(ζ )n+N−1 Qν0(z0, ζ )dζ ∗ν0

∧ Qν1(ζ, z0)dζ ∗ν1

∧ ∂r∂ζ

∗µ1

(ζ )dζ∗µ1

r(ζ )n S(z0, ζ )(r(ζ )+ S(ζ, z0))n+N−1 ∧

∧n−1∧

i=2

∂Q∗νi

∂ζ∗µi

(ζ, z0)dζ∗µi

∧ dζ ∗νi

∧ ∂ f (ζ ).

Il suffit alors d’appliquer la proposition 3.1 (vii) de [8] et les propositions 4.4, 4.5et 4.6.

Proposition 4.8 Nous avons uniformément par rapport à z0 et ε

∫

X∩D∩P0ε (z0)

| f (z0)K (ζ, z0)|dλ(ζ ) � εαm + τ(z0,

z0−ζ0|z0−ζ0| , δ)

τ (z0,z0−ζ0|z0−ζ0| , ε)

.

Preuve Nous appliquons le corollaire 4.7 et commençons par majorer pour k =1, . . . , n

Ik =∫

X∩D∩P0ε (z0)

|〈z0 − ζ0, vζ 〉|| ∧nj=1 dζ ∗

j ∧ ∧nj=1j �=k

dζ∗j ∧ ∂ f (ζ )|

∏nj=1 τ(z0, w

∗j , ε)

∏nj=1j �=kτ(z0, w

∗j , ε)

dλ(ζ ).

La technique est essentiellement la même que dans [10]. Nous avons

|〈z0 − ζ0, vζ 〉||n∧

j=1

dζ ∗j ∧

n∧

j=1j �=k

dζ∗j ∧ ∂ f (ζ )|

�n∑

l=1

|(ζ0)∗l |

∣∣∣∣∂ f

∂ζ ∗l(ζ )

∣∣∣∣ |

n∧

j=1

dζ ∗j ∧

n∧

j=1j �=k

dζ∗j ∧ ∂ f (ζ )|

�n∑

l=1

|(ζ0)∗l ||

n∧

j=1j �=l

dζ ∗j ∧

n∧

j=1j �=k

dζ∗j ∧ ∂ f (ζ ) ∧ ∂ f (ζ )|.

278 W. Alexandre

Nous écrivons alors comme dans [10] ζ ∗j = x j + iy j et obtenons

|〈z0 − ζ0, vζ 〉||n∧

j=1

dζ ∗j ∧

n∧

j=1j �=k

dζ∗j ∧ ∂ f (ζ )|

�n∑

l=1l �=k

|(ζ0)∗l ||

n∧

j=1j �=k,l

dx j ∧dy j ∧(dxl − idyl)∧(dxk + idyk)∧d f (ζ )∧d� f (ζ )|

+|(ζ0)∗k ||

n∧

j=1j �=k

dx j ∧ dy j ∧ d f (ζ ) ∧ d� f (ζ )|. (4.16)

Chaque terme de cette somme peut-être traité de la même manière, c’est pourquoinous ne traiterons que le dernier. Pour cela remarquons que la mesure de surfacesur {ζ ∈ X ∩ D,

∧nj=1j �=k

dx j ∧ dy j ∧ d f (ζ )∧ d� f (ζ ) �= 0} peut-être estimée par

dx1dy1 . . . dxkdyk . . . dxndyn

| ∧nj=1j �=k

dx j ∧ dy j ∧ d f (ζ ) ∧ d� f (ζ )| .

Nous obtenons alors

∫

X∩D∩P∗ε (z0)

|(ζ0)∗k ||

∧nj=1j �=k

dx j ∧ dy j ∧ d f (ζ ) ∧ d� f (ζ )|∏n

i=1 τ(z0, w∗i , ε)

∏ni=1i �=kτ(z0, w

∗i , ε)

dλ(ζ )

�|(ζ0)

∗k |

τ(z0, w∗k , ε)

puis en traitant de même tout les termes apparus dans (4.16) nous obtenons

Ik �n∑

l=1

|(ζ0)∗l |

τ(z0, w∗l , ε)

.

Maintenant nous utilisons la proposition 3.1 (iii) de [8] puis l’inégalité (3.8) de laproposition 3.3 de [10] pour aboutir à

Ik � |ζ0 − z0|n∑

l=1

|(ζ0)∗l |

|ζ0−z0|τ(z0, w

∗l , ε)

�τ

(z0,

ζ0−z0|ζ0−z0| , δ)

τ(

z0,ζ0−z0|ζ0−z0| , ε

) .

Pour conclure la preuve de la proposition il faut encore estimer pour k = 1, . . . , n

Jk =∫

X∩D∩P0ε (z0)

εαm τ(z0, vζ , ε)|∧n

j=1 dζ ∗j ∧ ∧n

j=1j �=k

dζ∗j ∧ ∂ f (ζ )|

∏nj=1 τ(z0, w

∗j , ε)

∏nj=1j �=kτ(z0, w

∗j , ε)

dλ(ζ ).

Comme l’intersection X ∩bD est transverse, si ε0 est suffisamment petit et z0 suff-isamment proche bD il existe i �= 1 (dépendant de z0) tel que pour tout ζ ∈ P∗

ε (z0)

Problèmes d’extension dans les domaines convexes de type fini 279

nous ayons∣∣∣∂ f∂ζ ∗

i(ζ )

∣∣∣ � 1 uniformément par rapport à z0, ζ et ε.

La proposition 3.1 (iii) de [8] nous donne alors τ(z0, vζ , ε) � τ(z0,w∗i ,ε)∣

∣∣∣∂ f∂ζ∗i

(ζ )

∣∣∣∣

�

τ(z0, w∗i , ε). En utilisant encore l’inégalité

∣∣∣∂ f∂ζ ∗

i(ζ )

∣∣∣ � 1 sur P∗

ε (z0) et en pro-

cédant comme précédemment nous obtenons alors

Jk �∫

X∩D∩P∗ε (z0)

εαm | ∧n

j=1j �=i

dζ ∗j ∧ ∧n

j=1j �=k

dζ∗j ∧ ∂ f (ζ ) ∧ ∂ f (ζ )|

∏nj=1j �=iτ(z0, w

∗j , ε)

∏nj=1j �=kτ(z0, w

∗j , ε)

dλ(ζ )

� εαm .

Nous pouvons maintenant achever la preuve du théorème 4.1. Pour établir l’inégalité(4.2) nous utilisons le recouvrement (4.3) et la proposition 4.8. Nous avons

|E Nφ(z0)| �i0∑

i=0

(2−iε0)αm +

i0∑

i=0

τ(

z0,ζ0−z0|ζ0−z0| , δ

)

τ(

z0,ζ0−z0|ζ0−z0| , 2−iε0

) . (4.17)

Comme la série∑

i≥0(2−iε0)

αm converge la première somme est bornée indépen-

damment de z0. Pour voir que la deuxième somme est également bornée on procèdecomme dans [10]. L’inégalité (3.7) de la proposition 3.3 de [10] implique que

i0∑

i=0

τ(

z0,ζ0−z0|ζ0−z0| , δ

)

τ(

z0,ζ0−z0|ζ0−z0| , 2−iε0

) �τ

(z0,

ζ0−z0|ζ0−z0| , δ)

τ(

z0,ζ0−z0|ζ0−z0| , 2−i0ε0

) .

En appliquant encore l’inégalité (3.7) de la proposition 3.3 de [10] et 2−i0ε � δ

uniformément par rapport à z0 on montre queτ(

z0,ζ0−z0|ζ0−z0 | ,δ

)

τ(

z0,ζ0−z0|ζ0−z0 | ,2−i0ε0

) est borné indépen-

damment de z0.

Remarque 5 L’hypothèse (4.1) a été formulée sous cette forme afin de clarifierles démonstrations. En effet, on peut remarquer que seule la convergence de lasérie

∑i≥0(2

−iε0)αm importe. C’est pourquoi dans (4.1) nous aurions pu mettre

n’importe quelle majoration pourvu que la série induite dans (4.17) soit toujoursconvergente.

Remarque 6 Si dans l’hypothèse (4.1) faite sur f nous avions euα = 0, la premièresomme de (4.17) aurait été

∑i0i=0 1 que l’on peut majorer au mieux par | ln δ|.

Ainsi, dans le cas α = 0 E Nφ(z0) semble croître comme | ln d(z0, X)| lorsque z0tend vers X (ici d(z0, X) est la distance euclidienne de z0 à X).

280 W. Alexandre

References

1. Alexandre, W.: Construction d’une fonction de support à la Diederich-Fornæss, PUB.IRMA, Lille 2001, Vol.54, No III

2. Alexandre, W.: Ck estimates for the ∂-equation on convex domains of finite type, à paraître3. Amar, E.: Extension des fonctions holomorphes et courants. Bull. Sci. Math. 107, 25–48

(1983)4. Berndtsson, B., Andersson, M.: Henkin-Ramirez formulas with weight factors. Ann. Inst.

Fourier 32, 91–110 (1982)5. Bruna, J., Charpentier, P., Dupain, Y.: Zero varieties for the Nevanlinna class in convex

domains of finite type in Cn . Ann. Math. 127, 333–365 (1998)6. Cumenge, A.: Sharp estimates for ∂ in convex domains of finite type. Prépublication du

lab. de math. E. Picard, Univ. Paul Sabatier, Toulouse 135, 1–22 (1998)7. Diederich, K., Fornæss, J.E.: Support functions for convex domains of finite type. Math.

Z. 230, 145–164 (1999)8. Diederich, K., Fischer B., Fornæss, J.E.: Holder estimates on convex domains of finite type.

Math. Z. 232, 43–61 (1999)9. Diederich, K., Mazzilli, E.: Zero varieties for the Nevanlinna class on all convex domains

of finite type. Nagoya Math. J. 163, 215–227 (2001)10. Diederich, K., Mazzilli, E.: Extension of bounded holomorphic functions in convex

domains. Man. Math. 105, 1–12 (2001)11. Fischer, B.: L p estimates on convex domains of finite type. Math. Z. 236, 401–418 (2001)12. Hefer, T.: Hölder and L p estimates for ∂ on convex domains of finite type depending on

Catlin’s multitype. Math. Z. 242, 367–398 (2002)13. Hefer T.: Extremal bases and Hölder estimates for ∂ on convex domains of finite type.

Mich. Math. J. 52, 573–602 (2004)14. Henkin, G.M.: Continuation of bounded holomorphic functions from submanifolds in

general position to strictly pseudoconvex domains. Math. USSR. Izv 6, 536–563 (1972)15. Mazzilli, E.: Un exemple d’obstruction géométrique à l’extension des fonctions holomor-

phes bornées. Progress in Mathematics, Vol. 188, 193–201 (2000)16. McNeal, J.D.: Convex domains of finite type. J. Functional Anal. 108, 361–373 (1992)17. McNeal, J.D.: Estimates on the Bergman kernels of convex domains. Adv. in Math. 109(1),

108–139 (1994)18. Range, R.M.: Holomorphic Functions and Integral Representations in Several Complex

Variables. Springer-Verlag, New York, 1986.19. Yu, J.: Multitypes of convex domains. Indiana Univ. Math. J. 41(3), 837–849 (1992)