Problèmes, situations-problèmes en mathématiques : ?mes et... · d’articuler problèmes et situations-problèmes

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  • Problmes, situations-problmes en mathmatiques :un regard pluraliste

    paru dans Mathmatique et Pdagogie, n137, 13-48

    Maggy Schneider,Facults universitaires de Namur, Sedess de Lige

    Thme rcurrent dans les dclarations de principe sur lenseignement des mathmatiques, la rsolution de problmes est plus que jamais dactualit dans la rforme des comptences. Dans la foule, lexpression situation-problme envahit toutes les disciplines, aprs avoir constitu un emblme de renouveau dans lenseignement des mathmatiques depuis plus de vingt ans, sous limpulsion, en Belgique, de Nicolas Rouche.

    Le but de cet expos est dapprofondir ces concepts de problme et de situation-problme au sein de lenseignement des mathmatiques, pour pouvoir en discriminer les enjeux didactiques respectifs, au del dune premire distinction souvent faite entre problmes dintroduction et problmes dapplication (cf. e.a. J.P. Cazzaro et al., 2001). Mon analyse prendra la forme dune sorte de visite guide de lieux divers, en particulier la psychologie cognitive et la didactique, o les regards ports sur les problmes sont sensiblement diffrents. Cette confrontation permettra, me semble-t-il, de mieux discerner les contours de ce que ce quon pourrait appeler une situation-problme et den mieux apprhender le fonctionnement. De cette tude multidimensionnelle ressortira une manire darticuler problmes et situations-problmes dans le cadre dune valuation tant formative que certificative.

    1. De lide de difficult aux obstacles psychologiques

    Un premier sentiment que lon peut prouver lorsquon pense la rsolution de problme est exprim par Henri Poincar en ces termes: Ne dites pas: ce problme est difficile. Sinon, ce ne serait pas un problme. Tel sentiment me semble souvent associ, dans les propos de personnes que jai interroges, lide que rsoudre un problme, cest penser une solution qui ne simpose pas delle-mme, laquelle on ne peut aboutir sans sloigner considrablement des sentiers battus et de ses propres habitudes mentales, une solution originale, peut-tre simpliste lorsquon la considre a posteriori, mais laquelle on ne songe pas dinstinct: luf de Colomb en est une belle illustration.

    Cette faon dapprhender les problmes, dans les deux sens du verbe, touche aux proccupations des psychologues du comportement, ainsi nomms dans un trait de psychologie exprimentale des annes 80 (P. Fraisse et al., 1980). Parmi eux, P. Olron (1980) tudie limpact des attitudes et habitudes

  • du sujet qui font obstacle la rsolution de problmes. Par exemple, les restrictions mentales implicites que plusieurs expriences mettent jour, telles celle ralise par N.R.F. Maier propos du problme des neuf points. Il sagit de relier neuf points disposs en carr (Fig. 1) par quatre segments tracs sans lever le crayon du papier. La solution, illustre par la Fig. 2, exige que lon sorte des limites du carr. Or, de nombreuses personnes ne pensent pas le faire, voquant mme tort quon le leur a interdit, et prouvent donc des difficults rsoudre le problme. Un autre exemple classique est le problme des allumettes de K. Duncker qui consiste construire quatre triangles

    Fig. 1 Fig. 2

    quilatraux avec six allumettes sans chevauchement de celles-ci : la solution attendue est un ttradre, soit une figure de lespace. Or, beaucoup de sujets se restreignent doffice au plan pour chercher la solution sans que personne ne leur ait impos. Le blocage est tel quil peut subsister aprs une exploration combinatoire mettant en correspondance allumettes et triangles, ainsi quobserv par J.P. Cazzaro et al. (2001). La question souleve par ces exemples est bien celle des restrictions mentales implicites qui consistent simaginer des interdits que lnonc du problme ne stipule pas.

    Parmi les attitudes et habitudes de sujets confronts des problmes, P. Olron pointe galement la propension aborder et traiter comme un vrai problme un problme-pige, cest--dire une attrape qui a lallure dun problme comme lnonc suivant :Une chelle de corde longue de 10 pieds est accroche au bordage dun navire. Les chelons sont espacs dun pied et lchelon le plus bas touche la surface de la mer. La mare monte la vitesse de six pouces par heure. Quand les trois premiers chelons seront-ils recouverts par leau ? Nous reviendrons plus loin sur ce phnomne pour en montrer une autre interprtation, lie au champ de la didactique et, par l, la relativit dune lecture faite lintrieur dun cadre de recherche trop peu systmique car nincorporant pas daspects institutionnels.

    Je termine la visite rapide chez les psychologues du comportement en voquant les ventuels facteurs inhibiteurs ou facilitateurs dun nonc de problme ou de sa structure et leur possible impact sur sa rsolution. Ainsi, P. Olron incrimine la structure du carr des neuf points de N.R.F. Maier qui

  • induirait plus le trac de lignes horizontales ou verticales que celui des lignes obliques ncessaires sa rsolution.

    Dans le cadre de ce texte, jutiliserai lexpression dobstacle psychologique pour dsigner de tels phnomnes dabord par rfrence la psychologie du comportement et puis aussi en raison dune analogie nave : lorsquon dit de quelquun quil a des problmes psychologiques, cest souvent pour dire quil en est encombr, cest--dire que ses problmes rtrcissent son champ de conscience tout comme le font les habitudes mentales. Sil me parat important de pointer ici ce type dobstacles, cest parce que ces derniers font cran dautres perspectives dutilisation des problmes dans lenseignement. On ne peut bien sr exclure de tels obstacles au dtour de certains contenus scolaires, comme nous le verrons ci-dessous, mais se polariser l-dessus pousse croire que la rsolution de problmes ne peut tre rserve qu quelques lves particulirement inventifs, capables de penser ct. Cela empche donc de concevoir que des organisations didactiques, prenant appui sur des rsolutions de problmes, puissent dboucher sur de relles constructions de savoirs, lchelle dune classe ordinaire. Et pourtant, un tel modle denseignement peut fonctionner sous certaines conditions, comme dvelopp la section 3.

    Il ne faudrait cependant pas ngliger les obstacles psychologiques qui peuvent tre renforcs en certaines circonstances. Les entreprises savent quel est le poids des habitudes mentales de leurs employs, elles qui, loccasion de brainstorming, soumettent lun ou lautre problme des personnes trangres lentreprise et donc libres de toute habitude dans la faon denvisager les solutions. De mme, dans le contexte scolaire, les lves peuvent tre confronts de tels obstacles. Jen donnerai deux exemples. Dans certains cas, tel que celui illustr par la Fig. 3, la construction de la section duncube par un plan dont on donne trois points suppose que lon prolonge des segments en droites. Or, le contexte mme du problme et sa solution font intervenir des figures gomtriques limites par essence: un polydre dont les faces sont des polygones et une solution polygonale compose de segments. La rsolution suppose donc dtendre ces figures au-del de leurs limites, cest--dire de passer outre une restriction induite par le problme lui-mme. Et lon peut observer prcisment que certains futurs professeurs qui schent pour la premire fois devant ce type de questions parviennent rsoudre le problme de manire autonome ds quon leur a spcifi que rien ninterdisait de prolonger des segments en droites.

  • Fig. 3

    Un deuxime exemple a trait au caractre inhibiteur dun nonc de problme sur les intrts composs o lon explique aux lves, qu la fin de lanne, on ajoute au capital les intrts de lanne coule. Ainsi que lont observ C. Hauchart et N. Rouche (1987), cette formulation provoque chez eux un calcul structure additive et retarde, voire bloque, la perception de la suite gomtrique sous-jacente que seul un calcul structure multiplicative peut faire apparatre.

    2. Des mthodes de rsolution de problmes existent-elles ?

    Les questions souleves supra, ainsi que dautres, traites par les psychologues du comportement, sont aujourdhui relayes par les psychologues cognitivistes qui tudient comment les humains peroivent, comment ils dirigent leur attention, comment ils grent leurs interactions avec lenvironnement, comment ils apprennent, comment ils comprennent, comment ils parviennent rutiliser linformation quils ont intgre en mmoire long terme, comment ils transfrent leurs connaissances dune situation une autre. (J. Tardif, 1992).

    2.1. Diffrentes phases de la rsolution dun problme

    En matire de rsolution de problmes, le champ dinvestigation de la psychologie cognitive est large : cela va des stratgies de rsolution de problmes et de la mtacognition ltude des conditions qui facilitent ou entravent le transfert des apprentissages dun problme un autre. En particulier, ce courant de recherches sintresse aux diffrentes phases de rsolution de problmes. Ainsi, A.H. Schnfeld (1989) distingue six tapes importantes dans la rsolution dun problme, quil soit mathmatique ou non: la lecture de lnonc, lanalyse du problme, lexploration des solutions possibles, la planification dune ou de plusieurs stratgies de solution, lapplication de la ou des solutions, la vrification de la solution en regard des donnes initiales. Dans le cadre dune rflexion sur la formation des concepts, A. Sfard (1991) identifie trois phases que lon peut rsumer trs brivement ainsi : intriorisation ou phase dappropriation du problme, condensation ou phase dclaircissement, de maturation, rification ou phase de clart. J.P. Cazzaro et al. (2001) exploitent ce dcoupage tant pour modliser la rsolution dun problme que pour construire des squences denseignement ou pour structurer des grilles dvaluation de la

  • comptence de rsolution de problmes. Je reviendrai au fur et mesure sur chacun de ces trois usages.

    2.2. Stratgies spcifiques et stratgies gnrales