Ecole CIMPA-UNESCO-Algerie El-Oued 2005

Geometries et Dynamiques Riemanniennes

et Pseudo-riemanniennes, et Applications Benoıt Kloeckner

Produits scalaires

pseudo-euclidiens

Les produits scalaires pseudo-euclidiens forment le modele ponctuel desgeometries riemanniennes et pseudo-riemanniennes. Apr‘es en avoir deve-lopp’e les proprietes elementaires on se propose d’etudier deux aspects liesa la geometrie pseudo-riemannienne : l’orientation du temps en signaturelorentzienne et la caracterisation de l’equivalence conforme par les conesisotropes.

On se place dans toute la suite sur un espace vectoriel reel E de dimensionfinie n.

1 Formes bilineaires et quadratiques

1.1 Definition

Definition 1 — Une application φ : E × E −→ R est appelee forme bi-lineaire symetrique sur E si elle est lineaire en chacune de ses variables etverifie

φ(x, y) = φ(y, x) ∀x, y ∈ E. (1)

Soit φ une forme bilineaire symetrique sur E. On definit sur E unefonction Qφ par

Qφ(x) = φ(x, x) ∀x ∈ E. (2)

On dit que Qφ est la forme quadratique associee a φ et que φ est la formepolaire de Qφ.

Comme φ et Qφ sont relies par l’identite de polarisation

φ(x, y) =1

4(Qφ(x + y) − Qφ(x − y)) ∀x, y ∈ E (3)

il y a unicite de la forme polaire.

1

Exemples :

1. Le produit scalaire canonique

(

(x1, . . . , xn); (y1, . . . , yn))

7−→ x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn

est une forme bilineaire symetrique sur Rn dont la forme quadratique

est :(x1, . . . , xn) 7−→ x2

1 + · · · + x2n.

2. L’application

(

(x1, x2); (y1, y2))

7−→ x1y2 + y1x2

en est une sur R2 qui a un comportement bien different : sa forme

quadratique est donnee par Q(

(x1, x2))

= 2x1x2, certains vecteurs ontdonc une image nulle ou negative.

3. La figure 1 represente les lignes de niveau (Q = constante) d’une formequadratique Q dite Lorentzienne (voir la section 4 pour une definition).

Fig. 1 – Exemple de forme quadratique

1.2 Representation matricielle

Definition 2 — Soit φ une forme bilineaire symetrique et B = (e1, . . . , en)une base de E. On note φi,j = φ(ei, ej). On appelle matrice de φ dans la

base B et on note MφB la matrice n × n dont les coefficients sont les φi,j.

Comme φ est symetrique, sa matrice M φB l’est egalement.

2

Si X et Y sont les vecteurs colonnes de Rn exprimant les coordonnees

dans la base B de vecteurs x =∑

xiei, y =∑

yiei de E, la bilinearite de φentraıne :

φ(x, y) = tXMφBY =

∑

i,j

φi,jxiyj. (4)

donc MφB determine entierement φ. C’est la seule matrice verifiant (4) pour

tous les couples de vecteurs de E.Soit B′ = (e′1, . . . , e

′n) une autre base de E, P ∈ GL(n, R) la matrice de

changement de base de B a B′ et X ′ les coordonnees de x dans B′, de sorteque X = PX ′.

On a alors φ(x) = tXMφBY = tX ′ tPMφ

BPX ′ donc :

MφB′ = tPMφ

BP. (5)

Ainsi, le rang de MφB ne depend pas de B.

Le determinant de MφB , lui, depend de B mais pas son signe (∈ {−1, 0, 1})

que l’on appelle parfois discriminant de φ.L’expression (4) montre qu’une forme quadratique est toujours (et en

toute base) un polynome homogene de degre 2 en les coordonnees du vecteurconsidere.

Inversement, l’identite de polarisation (3) permet de voir que tout po-lynome homogene de degre 2 est une forme quadratique.

2 Produits scalaires

2.1 Definition

Definition 3 — Soit φ une forme bilineaire symetrique sur E dont on noteQ la forme quadratique. On dit que φ est :– positive [resp. negative] si Q(x) > 0 [resp. 6 0] pour tout x ∈ E ;– definie positive [resp. definie negative] si Q(x) > 0 [resp. < 0] pour tout

x 6= 0 ;– non degeneree si aucun vecteur x 6= 0 ne verifie : ∀y ∈ E, φ(x, y) = 0.On appelle produit scalaire (pseudo-euclidien) une forme bilineaire syme-trique non degeneree.

Voir les figures 1 et 2 pour des exemples.On appelle produit scalaire euclidien un produit scalaire qui est defini

positif. Dans la litterature, la terminologie peut varier, il est donc importantde noter qu’ici « produit scalaire » signifie seulement « forme bilineairesymetrique non degeneree ».

Soit φ une forme bilineaire symetrique sur E.On dit que φ est definie si elle est definie positive ou definie negative,

qu’elle est semi definie si elle est positive ou negative.

3

Fig. 2 – Une forme quadratique definie positive (a gauche) et une formedegeneree (a droite)

Il faut noter que φ est non degeneree si et seulement si elle est de rang n,i.e. si son discriminant est non nul. Si φ est definie, elle est necessairementnon degeneree.

Si φ est definie, positive ou negative, et si F est un sous-espace de E, larestriction de φ a F × F notee φ|F garde cette propriete. Mais si φ est nondegeneree, il peut tres bien exister un sous-espace F de E tel que φ|F soitdegeneree (il y en a meme toujours si φ n’est pas definie : la droite engendreepar un vecteur x non nul verifiant Q(x) = 0 en est un exemple). Ainsi unproduit scalaire non euclidien n’induit pas un produit scalaire sur tous lessous-espace de E. On introduit en consequence la terminologie suivante.

Definition 4 — On dit d’un sous-espace sur lequel la restriction de φ estnon degeneree qu’il est non degenere.De meme, on dit d’un espace sur lequel la restriction de φ est definie positive,definie negative, positive ou negative qu’il est lui-meme respectivement definipositif, defini negatif, positif ou negatif.

Voir les figures 3 et 4.L’inegalite de Cauchy-Schwarz φ(x, y)2 6 Q(x)Q(y) et l’inegalite tri-

angulaire Q(x + y)1

2 6 Q(x)1

2 + Q(y)1

2 , connues dans le cas euclidien,se prolongent au cas positif. L’inegalite de Cauchy-Schwarz est egalementvraie dans le cas negatif, mais est toujours fausse si φ n’est ni positive ninegative. L’inegalite triangulaire n’a pas de sens si Q n’est pas positive ; sa

generalisation naturelle |Q(x + y)|1

2 6 |Q(x)|1

2 + |Q(y)|1

2 est vraie si Q estnegative, mais elle est toujours fausse si Q n’est ni positive ni negative.

4

Fig. 3 – Un sous-espace non degenere (a gauche) et un sous-espace definipositif (a droite)

2.2 Orthogonalite et isotropie

Definition 5 — Soit φ une forme bilineaire symetrique sur E et x, y desvecteurs. On dit que x et y sont orthogonaux et on note x ⊥ y si φ(x, y) = 0.Un vecteur est dit isotrope s’il est orthogonal a lui meme.L’ensemble des vecteurs isotropes est appele cone isotrope de φ.L’ensemble des vecteurs orthogonaux a tous les vecteurs de E est appele lenoyau de φ.

La relation d’orthogonalite est bien entendu symetrique.Le cone isotrope est reduit a 0 si et seulement si φ est definie. Le noyau

est reduit a 0 si et seulement si φ est non degeneree.

Definition 6 — Soient F et G des sous-espaces de E. On dit que F et Gsont orthogonaux et on note F ⊥ G si tout vecteur de l’un est orthogonal atous les vecteurs de l’autre.On appelle orthogonal de F et on note F⊥ l’ensemble des vecteurs de E quisont orthogonaux a tous les vecteurs de F .On dit de F qu’il est totalement isotrope s’il est inclu dans le cone isotrope.

Le noyau de φ n’est rien d’autre que E⊥.La bilinearite de φ fait de l’orthogonal de F un sous-espace vectoriel de

E, mais en general ce n’est pas un supplementaire de F . On garde tout dememe du cas euclidien le resultat suivant.

Lemme 7 — Si φ est un produit scalaire et si F est un sous-espace de E,

on a dimF + dimF⊥ = n et(

F⊥)⊥

= F .

5

Fig. 4 – Un plan et sa droite orthogonale (a gauche), un plan degenere etsa droite orthogonale (a droite)

Demonstration : Soit (e1, . . . , ek) une base de F que l’on complete enune base (e1, . . . , en) de E. Un vecteur

∑

xiei de E est orthogonal a F si etseulement s’il verifie

n∑

j=1

φi,jxj = 0 ∀ 1 6 i 6 k

qui est un systeme lineaire de rang k car φ etant non degenere sa matriceest inversible. Donc la dimension de F ⊥ est n − k ou k est la dimension deF .

Il est clair que F ⊥ F⊥, donc F ⊆(

F⊥)⊥

. Mais dim(

F⊥)⊥

= n − (n −dimF ) = dimF donc en fait F =

(

F⊥)⊥

.

Lemme 8 — Soit φ un produit scalaire sur E et F un sous-espace. AlorsF est non degenere si et seulement si E = F ⊕ F ⊥. De plus F est nondegenere si et seulement si F⊥ l’est.

Demonstration : Comme dimF+dimF⊥ = n, E = F⊕F⊥ si et seulementsi F ∩ F⊥ = 0, donc si et seulement si il n’y a aucun vecteur non nul de Forthogonal a tous les vecteurs de F , ce qui est la definition d’un sous-espacenon-degenere.

Enfin, comme(

F⊥)⊥

= F , F est non degenere si et seulement si F ⊥

l’est.

2.3 Bases orthonormales

Soit φ une forme bilineaire. On appelle carre de x le nombre φ(x, x).

On appelle norme de x le nombre |φ(x, x)|1/2. Cette appelation est abusive,

6

puisqu’en general ce n’est pas une norme. Un vecteur est unitaire s’il est denorme 1.

On dit d’une famille de vecteurs de E qu’elle est orthogonale si les vec-teurs qui la composent sont deux a deux orthogonaux. Si φ est un produitscalaire et si de plus les vecteurs sont unitaires, on dit que la famille estorthonormale.

Dans le cas pseudo-euclidien, on voit facilement qu’une famille orthonor-male est toujours libre. Ainsi on appelle base orthonormale de E une familleorthonormale a n elements.

Proposition 9 — Tout produit scalaire admet une base orthonormale.

Demonstration : Soit φ un produit pseudo-euclidien. Comme φ est uneforme bilineaire non degeneree, il existe un vecteur e1 tel que φ(e1, e1) 6= 0.Quitte a remplacer e1 par un de ses multiples, on peut supposer que e1 estunitaire.

Raisonnons par recurrence sur la dimension n de E. Si E est de dimension1, (e1) en est une base, orthonormale pour φ. Si E est de dimension au moins2, comme l’espace 〈e1〉 engendre par e1 est non degenere, d’apres le lemme8 l’espace 〈e1〉⊥ est non-degenere et E = 〈e1〉 ⊕ 〈e1〉⊥. Alors φ|〈e1〉⊥ est unproduit pseudo-euclidien de dimension n − 1. Par hypothese de recurrenceil existe une base orthonormale (e2, . . . , en) de 〈e1〉⊥, et (e1, . . . , en) est unebase orthonormale de E.

De la meme maniere, on voit que toute famille orthonormale peut etrecompletee en une base orthormale car elle engendre un sous-espace nondegenere.

Soit (e1, . . . , en) une base orthonormale pour φ. La matrice de φ danscette base a pour coefficients φi,j = φ(ei, ej) = δj

i εj ou δ est le symbole de

Kronecker (δji vaut 1 si i = j et 0 sinon) et εj = φ(ej , ej) = ±1. Elle est

donc diagonale et tous ses coefficients diagonaux valent plus ou moins 1.On note p le nombre de 1 et q le nombre de −1 qui apparaissent parmi

les εj . Le couple (p, q) est appele signature de φ.

Lemme 10 — La signature de φ est bien definie, c’est-a-dire ne dependpas de la base orthonormale consideree.

Demonstration : Supposons qu’il existe une base orthonormee (e′1, . . . , e′n)

pour laquelle φ a une signature (p′, q′) 6= (p, q).Comme p+q = p′+q′ = n, on aurait p′ > p ou q′ > q. Quitte a considerer

−φ, on peut supposer p′ > p.Alors il existe un sous-espace E ′

+ de dimension p′ sur lequel φ est definiepositive et un sous-espace E− de dimension n − p sur lequel φ est definienegative. Comme p′ + n − p > n, E ′

+ ∩ E− 6= 0 et il existe un vecteur x telque φ(x, x) est a la fois strictement positif et strictement negatif, ce qui estabsurde.

7

Fig. 5 – Deux formes semi definies definies degenerees (signature (0, 1, 2) agauche, (2, 0, 1) a droite)

Finalement, ce qui precede permet d’etablir le resultat suivant.

Theoreme A — Soit φ un produit pseudo-euclidien. Alors il existe uneunique paire d’entiers (p, q), appelee signature de φ, telle qu’il existe unebase B de E dans laquelle la matrice de φ soit

Ip,q =

(

Ip 00 −Iq

)

(6)

ou Ik designe la matrice unite de dimension k.

On parle aussi de la signature d’une forme quadratique pour designer lasignature de sa forme polaire.

Remarque : On s’est limite au cas non degenere, mais on pourrait enoncerun resultat similaire pour une forme bilineaire symetrique quelconque : ilexiste une base dans laquelle sa matrice est diagonale avec des coefficientsdiagonaux egaux a 1, −1 ou 0. La signature comporte alors trois nombresp, q, r donnant respectivement le nombre de 1, de −1 et de 0 sur la diagonale.Le rang de la forme bilineaire consideree est p+q et c’est un produit scalairesi et seulement si r = 0.

La figure 1 montre une forme quadratique de signature (2, 1). La figure2 montre une forme de signature (1, 1, 1) et une forme de signature (3, 0).La figure 5 montre une forme de signature (0, 1, 2) et une forme de signature(2, 0, 1).

8

2.4 Traduction dans l’ecriture polynomiale

Soit φ un produit scalaire, Q sa forme quadratique, (ei)i une base ortho-normale. On note comme precedemment εi = Q(ei) = ±1.

Pour tout vecteur x ∈ E, comme φ est non degenere et que pour tout jon a φ(x − ∑

εiφ(x, ei)ei, ej) = 0,

x =

n∑

i=1

εiφ(x, ei)ei (7)

Ainsi on a

Q(x) =n

∑

i=1

εiφ(x, ei)2 (8)

et on voit que la forme quadratique de φ s’ecrit sous la forme Q =∑±l2i ou

les li forment une base du dual E∗ de E. Autrement dit, il existe une base deE dans laquelle on peut ecrire Q(x) =

∑±x2i ou les xi sont les coordonnees

de x dans la base en question.Donnons une methode pratique pour etablir une telle ecriture a partir

de la donnee de Q. Dans une base B = (ei)i quelconque, on peut ecrireQ(x) sous la forme d’un polynome homogene de degre 2 en (x1, . . . , xn), lescoordonnees de x dans B.

Si Q(x) admet un terme carre, de la forme ax2i , on ecrit (en se placant

dans le cas i = 1 pour simplifier l’ecriture)

Q(x) = ax21 + x1P1(x2, . . . , xn) + Q′(x2, . . . , xn)

ou P1 est un polynome homogene de degre 1 donc represente une formelineaire et Q′(x) est un polynome homogene de degre 2 en x2, . . . xn doncrepresente une forme quadratique sur l’espace engendre par e2, . . . , en. Onecrit ensuite

Q(x) = a|a|

(

√

|a|x1 +

√|a|

2a P1(x2, . . . , xn)

)2

− 14aP1(x2, . . . , xn)2 + Q′(x2, . . . , xn)

ou on observe que a|a| = ±1,

√

|a|x1 +

√|a|

2a P1(x2, . . . , xn) est une forme

lineaire sur E, − 14aP1(x2, . . . , xn)2 + Q′(x2, . . . , xn) est une forme quadra-

tique sur le sous-espace engendre par e2, . . . , en. Il suffit ensuite d’iterer leprocede.

Si Q(x) n’admet pas de terme carre et est non nul, il admet un termerectangle de la forme bxixj . On effectue alors le changement de variable

y =xi+xj

2 , z =xi−xj

2 , ce qui revient a se placer dans la base obtenue a partirde B en remplacant ei par ei + ej et ej par ei − ej . L’expression de Q(x)dans la nouvelle base presente alors un terme carre by2 et on est ramene aucas precedent.

9

On obtient bien une famille libre de formes lineaires, car dans la baseduale de B elle s’ecrit de facon etagee (la premiere forme est la seule adependre de x1, les deux premieres sont les seules a dependre de x1 et x2,etc.)

Cette methode fonctionne sans utiliser l’hypothese de non degenerescen-ce, et permet donc de demontrer la remarque du theoreme A.

2.5 Interpretation de la signature

Dans cette section on ne parle que de produits scalaire, mais on disposede resultats analogues dans le cas degenere.

Definition 11 — On dit que deux produits scalaires φ1 et φ2 sur des es-paces vectoriels E1 et E2 sont isometriques s’il existe un isomorphismeb : E1 −→ E2 qui envoie l’un sur l’autre, c’est-a-dire tel que pour toutcouple (x, y) ∈ E2

1 on ait φ1(x, y) = φ2(b(x), b(y)).

D’apres le theoreme A, deux produit scalaires sont isometriques si etseulement si ils ont meme signature. La signature traduit donc completementles proprietes d’un produit scalaire ; par exemple le discriminant de φ vaut(−1)q. Des signatures opposees (p, q) et (q, p) sont semblables puisque sil’une est la signature de φ, l’autre est celle de −φ. En general on se contentedonc d’etudier le cas ou p > q.

Proposition 12 — Soit φ un produit scalaire de signature (p, q). Alors ilest defini positif si et seulement si q = 0, il est defini negatif si et seulementsi p = 0.

Demonstration : Il suffit de voir que si p et q sont tous les deux non nuls,il existe necessairement un vecteur isotrope. Or il existe alors deux vecteursunitaires orthogonaux e+ et e− de carres respectifs 1 et −1. Alors e++e− estnon nul et la bilinearite donne φ(e++e−, e++e−) = φ(e+, e+)+2φ(e+, e−)+φ(e−, e−) = 1 + 0 − 1 = 0 donc e+ + e− est isotrope.

Proposition 13 — Soit φ un produit scalaire de signature (p, q). Alors pest la plus grande dimension possible pour un sous-espace defini positif, qest la plus grande dimension possible pour un sous-espace defini negatif etmin(p, q) est la plus grande dimension possible pour un espace totalementisotrope.

Demonstration : Il est facile en considerant une base orthonormee de voirqu’il existe un sous-espace defini positif de dimension p et un sous-espacedefini negatif de dimension q. De plus s’il existait un sous-espace definipositif ou negatif de dimension plus grande, comme dans la demonstrationdu lemme 10 il existerait un vecteur de carre a la fois positif et negatif.

10

Pour les sous-espaces isotropes, on utilise la methode de la demonstrationde la proposition 12. Soit l = min(p, q). Une base orthonormale nous donneen particulier une famille orthonormale libre de vecteurs

(e+1 , e−1 , e+

2 , e−2 , . . . , e+l , e−l )

ou les e+i sont de carre 1 et les e−i de carre −1. Alors la famille

(e+i + e−i )16i6l

est libre, orthogonale et formee uniquement de vecteurs isotropes donc l’es-pace qu’elle engendre est totalement isotrope de dimension l.

Maintenant s’il existait un espace totalement isotrope de dimension plusgrande, il intersecterait non trivialement tout espace defini (negatif ou posi-tif) de dimension maximale (> n− l) donc il existerait un vecteur de normea la fois nulle et strictement positive ou negative.

3 Groupes orthogonaux

Etant donne un produit scalaire φ sur E, on s’interesse au groupe O(φ)des endomorphismes qui preservent φ (on parle d’isometries).

Remarquons que preserver φ est equivalent a preserver sa forme quadra-tique Q. Un sens est evident, l’autre decoule de l’identite de polarisation.

Soit B une base de E et M la matrice de φ dans cette base. Alors siX et Y sont les vecteurs coordonnees d’elements x et y de E, on a vu queφ(x, y) = tXMY . Soit b une application lineaire de E dont on note B lamatrice dans la base B. Alors b preserve φ si pour tous les couples de vecteursde E on a φ(b(x), b(y)) = φ(x, y), autrement dit si tBMB = M .

D’apres le theoreme A il existe une base pour laquelle M = Ip,q ou (p, q)est la signature de φ. Ceci justifie la definition suivante.

Definition 14 — On note O(p,q) le groupe des matrices reelles carree Bde dimension n (ou n = p + q) telles que

tBIp,qB = Ip,q (9)

On note SO(p,q) le groupe des matrices de O(p,q) dont le determinantvaut 1. On note SO0(p,q) et on appelle groupe orthochrone la composanteconnexe de l’identite dans O(p,q).

On defini de facon semblable SO(φ) et SO0(φ).L’equation (9) montre que O(p,q) ⊆ GLn(R).On peut montrer (voir par exemple [1], chapitre 4) que O(p,q) est homeo-

morphe a O(p)×O(q)×Rpq et que par consequent il possede 4 composantes

connexes. Grace au theoreme A il est facile de voir que O(p,q) contient un

11

sous-groupe isomorphe a O(p) × O(q) et que SO0(p,q) contient un sous-groupe isomorphe a SO(p) × SO(q).

Comme dans le cas euclidien, on peut caracteriser les elements de O(p,q)par leur action sur les bases.

Proposition 15 — Soit (e1, . . . , en) une base de E orthonormale pour φ.Un endomorphisme a de E est une isometrie si et seulement s’il envoie(e1, . . . , en) sur une base orthonormale pour φ en respectant le carre de seselements (Q(a(ei)) = Q(ei) pour tout i).

Demonstration : Il suffit de considerer l’ecriture matricielle : l’action d’unendomorphisme correspond exactement a un changement de base.

On deduit de ce resultat une consequence importante : l’action de O(φ)est transitive sur les surfaces de niveau de Q, c’est-a-dire qu’etant donnesdeux vecteurs non nuls de meme carre il existe toujours un element de O(φ)qui envoit l’un sur l’autre.

Il n’y a donc pas de direction privilegiee, d’ « axe » du cone isotrope.

Theoreme B — Si φ est un produit scalaire de signature (p, q) avec p > 1et q > 1, alors SO0(φ) est egalement transitif sur les surfaces de niveau deQ.

Demonstration : pour fixer les idees, on va faire la demonstration dansle cas de deux vecteurs e et f de meme carre positif. Quitte a multiplier eet f par une meme constante, on suppose qu’ils sont unitaires.

On commence par completer e en une base orthonormee (ei)i ou e = e1

et les p premiers vecteurs sont de carre positif. Alors on peut ecrire

f =∑

i6p

xiei +∑

i>p

yiei

avec x21 + · · · + x2

p − y2p+1 − · · · − y2

n = 1. Comme SO(p) est transitif sur lasphere unite de l’espace euclidien de dimension p, il existe un element deSO0(φ) qui envoie e sur le vecteur

e′ =(

∑

x2i

)− 1

2∑

i6p

xiei

tout en fixant les ei pour i > p. On se ramene ainsi au cas ou e′ = e1 (voirfigure).

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ee’

f

C

D

f−ce’

Passage de e a e′. C est le cone iso-trope, D le sous-espace defini positifengendre par les (ei)i6p.

On peut alors ecrire f = ce1+∑

i>p yiei. Alors f−ce1 est orthogonal a e1

et quitte a se placer dans une nouvelle base orthonormale on peut supposerque f s’ecrit f = ce1 + sen, avec necessairement c2 − s2 = 1.

Il existe donc un reel t0 tel que c = cosh(t0) et s = sinh(t0). La famille at

d’isometries definie par at(ei) = ei pour i 6= 1 et i 6= n, at(e1) = cosh(t)e1 +sinh(t)en et at(en) = sinh(t)e1 + cosh(t)en constitue un chemin continud’isometries entre l’identite a0 et at0 , qui envoie e′ sur f .

La situation est differente lorsque q = 1, ce cas est traite a la sectionsuivante.

4 Produits lorentziens

Un cas particulier est tres etudie car il est au cœur de la theorie de larelativite. Il s’agit du cas pseudo-euclidien le plus proche du cas euclidien,c’est-a-dire la signature (p, 1).

Definition 16 — On appelle produit scalaire lorentzien (ou parfois seule-ment produit lorentzien) un produit scalaire de signature (p, 1).

Remarque : On prefere parfois choisir (1, q) comme signature lorentzienne.

Un produit lorentzien a des droites isotropes mais pas de plan totalementisotrope. Il a des droites definie negatives mais aucun plan defini negatif.

Proposition 17 — L’ensemble des vecteurs de carre negatif n’est pasconnexe.

Demonstration : Dans une base orthonormee (ei)i, le carre d’un vecteurde coordonnees (xi)i s’ecrit x2

1 + · · ·+x2p −x2

p+1. Les vecteurs ep+1 et −ep+1

sont de carre −1 mais sont separes par l’hyperplan defini positif (xp+1 = 0).

On peut etre plus precis : l’ensemble des vecteurs de carre negatif com-porte exactement deux composantes connexes : chaque surface de niveaunegative est un hyperboloıde a deux nappes de codimension 1 (voir la figure1).

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Cela montre que la conclusion du theoreme B n’a pas lieu : l’action deSO0(p,1) n’est pas transitive sur l’ensemble des vecteurs de carre −1.

Cette propriete est fondamentale, car elle correspond a l’orientation dutemps.

Definition 18 — Soit φ un produit lorentzien sur E. On dit d’un vecteurx qu’il est :– de type temps si son carre est strictement negatif ;– de type lumiere si son carre est nul (i.e. si x est isotrope) ;– de type espace si son carre est strictement positif.On dit qu’un sous-espace est de type temps, lumiere ou espace si tout sesvecteurs non nuls sont de ce type.

Ainsi, un sous-espace isotrope est appele, dans le cas lorentzien, sous-espace (ou plutot droite puisqu’il est necessairement de dimension 1) de typelumiere. De meme on appelle cone de lumiere le cone isotrope.

Un choix d’orientation du temps correspond au choix d’une des deuxcomposantes de l’ensemble des vecteurs de type temps. Cette composanteest alors appelee avenir tandis que l’autre est appelee passe.

5 Equivalence conforme

Dans cette section on s’interesse aux produits scalaires a une constantemultiplicative pres.

Definition 19 — On dit que deux produits scalaires φ1, φ2 definis surle meme espace E sont conformement equivalents s’ils sont egaux a uneconstante multiplicative non nulle pres :

∃λ 6= 0, φ2(x, y) = λφ1(x, y) ∀x, y ∈ E. (10)

On appelle classe conforme une classe d’equivalence pour cette relation.

On peut preferer ne parler d’equivalence conforme que si λ est positive(sinon φ1 et φ2 peuvent avoir des signatures opposees), mais ca ne changepas fondamentalement le probleme.

Dans le cas euclidien, c’est la forme des ellipsoıdes donnant les surfacesde niveau qui determine la classe conforme d’un produit scalaire. Dans lecas pseudo-euclidien, le resultat suivant montre que le cone isotrope portetoute l’information.

Theoreme C — Deux produits scalaires φ1 et φ2 sont conformementequivalents si et seulement s’ils ont le meme cone isotrope.

Demonstration : Il est evident que si φ1 et φ2 sont conformement equi-valents, leur cones isotropes sont identiques.

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Inversement supposons qu’ils aient meme cone isotrope. On note Q1 etQ2 leurs formes quadratiques, (p, q) la signature de φ1 et on considere unebase orthonormee (e1, . . . , ep, f1, . . . , fq) de φ1 ou les ei sont de carre 1 etles fi de carre −1. On va montrer que dans cette base la matrice de φ2 estproportionnelle a celle de φ1.

Pour tout couple (i, j) convenable on a Q1(ei + fj) = Q1(ei − fj) = 0donc Q2(ei + fj) = Q2(ei − fj) = 0.

En developpant on obtient

Q2(ei) + Q2(fj) + 2φ2(ei, fj) = 0

Q2(ei) + Q2(fj) − 2φ2(ei, fj) = 0

d’ou Q2(ei) = −Q2(fj) et φ2(ei, fj) = 0.Ainsi la matrice de φ2 dans la base (e1, . . . , ep, f1, . . . , fq) est de la forme

(

A 00 B

)

ou A et B sont des matrices carrees de dimension respective p et q et ouchaque coefficient diagonal de A est l’oppose de chaque coefficient diagonalde B. Donc il existe un reel λ tel que tous les coefficients diagonaux de Asoient egaux a λ et tous ceux de B a −λ.

De plus pour tout triplet (i, j, k) convenable on a Q1(ei +ej +√

2fk) = 0donc Q2(ei + ej +

√2fk) = 0.

En developpant on obtient

0 = Q2(ei) + Q2(ej) + 2Q2(fk) + 2φ2(ei, ej)

+2√

2φ2(ei, fk) + 2√

2φ(ej , fk)

= 2φ2(ei, ej)

donc φ(ei, ej) = 0 pour tous les (i, j) et A est diagonale.De meme on montre que B est diagonale.Enfin λ est non nul car sinon φ2 serait nulle et aurait tout E comme

cone isotrope.

Le signe de la constante λ est facile a determiner : si un quelconquevecteur de carre positif pour φ1 est egalement de carre positif pour φ2, alorsλ > 0, sinon λ < 0.

Exercices

1. Surfaces de niveau

Soient φ un produit scalaire de forme quadratique Q et x un vecteur nonnul. Montrer qu’au voisinage de x la surface de niveau de x est une sous-variete et que la direction de son espace tangent est exactement l’orthogonalde x.

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2. Espace des produits scalaires

On interprete l’espace Sym(n) des matrices n × n symetriques commel’espace des formes quadratiques sur R

n.

1. Montrer que le sous-ensemble SND(n) de Sym(n) correspondant auxproduits scalaires n’est pas connexe.

2. Montrer que la signature est une fonction localement constante surSND(n). En deduire les composantes connexes de SND(n).

3. Decrire l’adherence dans Sym(n) dechacune des composantes connexesde SND(n).

3. Espace des deformations d’une classe conforme

On considere l’espace vectoriel gl(n, R) des matrices reelles n × n, surlequel on definit une forme quadratique par T (A) = tr(A2).

1. Calculer la signature de T .

2. Calculer la signature de la restriction de T a l’espace sl(n, R) desmatrices de trace nulle et determiner l’orthogonal de sl(n, R) dansgl(n, R).

3. Soient p, q des entiers tels que p + q = n. Calculer la signature de larestriction de T a l’espace so(p, q) des elements M de gl(n, R) verifianttMIp,q + Ip,qM = 0.

4. On note D l’orthogonal de so(p, q) dans sl(n, R). Montrer qu’il estisomorphe a l’espace sl(n, R)/so(p, q), qu’on peut interpreter commel’espace des deformations infinitesimales d’une classe conforme de pro-duits scalaires de signature (p, q). Montrer que T induit un produitscalaire euclidien sur D si et seulement si p = 0 ou q = 0.

Corrections

1. La surface de niveau S de x est l’ensemble des points y verifiant φ(y, y) =φ(x, x). Comme φ est bilineaire symetrique, la differentielle au point x dey 7→ φ(y, y) est L : h 7→ 2φ(x, h). Comme φ est non-degeneree et x nonnul, cette forme lineaire est de rang 1. D’apres le theoreme des fonctionsimplicites, S est donc une sous-variete de E de dimension n − 1. De plus ladirection de l’espace tangent a S au point x est le noyau de L, c’est-a-direexactement l’orthogonal de x.

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2.

1. Le determinant d’une matrice est un polynome en ses coefficients, doncl’application determinant de Sym(n) dans R est continue. L’image deSND(n) par cette application est R\{0} donc comme l’image continued’un connexe est connexe, SND(n) n’est pas connexe.

2. Soit M ∈ SND(n) une matrice de signature (p, q) dont on note Q laforme quadratique. Soient E+ un sous-espace de E de dimension p surlequel M est definie-positive et E− un sous-espace de E de dimensionq sur lequel M est definie-negative.

Soit A+ l’application definie sur Sym(n) par N 7→ inf Q( txNx), oula borne inferieure est prise sur tous les vecteurs x ∈ E+ tels queQ(x) = 1. Alors A+ est continue et vaut 1 en M . Il existe donc unvoisinage V+ de M dans Sym(n) sur lequel A+ ne s’annule pas. Cevoisinage est donc forme de matrices symetriques dont la restriction aE+ est definie positive. De la meme facon on montre qu’il existe unvoisinage V− forme de matrices dont la restriction a E− est definienegative.

Le voisinage V+ ∩ V− de M est donc forme de matrices de signature(p, q) (et est en particulier inclu dans SND(n)), on a donc montre quela signature est localement constante sur SND(n).

En particulier, deux matrices symetriques non degenerees de signaturesdifferentes ne sont pas dans la meme composante connexe de SND(n).

Notons Cp,q la composante connexe de la matrice Ip,q ; les composantesconnexes de SND(n) sont exactement les Cp,q. Pour le demontrer, ilsuffit de trouver un chemin continu reliant n’importe quelle matriceM de signature (p, q) a Ip,q. Or on sait qu’on peut ecrire M = tPIp,qPavec P ∈ GLn(R). De plus GLn(R) a exactement deux composantesconnexes par arc, celle de la matrice identite I et celle de −I. Si P estdans la premiere, il existe un chemin continu P (t) avec P (0) = P etP (1) = I. On dispose alors d’un chemin continu M(t) = tP (t)Ip,qP (t)avec M(0) = M et M(1) = Ip,q. De la meme facon, si P est dans lacomposante connexe de −I on utilise un chemin reliant P et −I pourconstruire un chemin reliant M et (−I)Ip,q(−I) = Ip,q, cqfd.

3. Ordonnons les signatures par la relation : (p′, q′) 6 (p, q) si p′ 6 p etq′ 6 q.

De la meme maniere qu’on a montre que la signature est localementconstante sur SND(n), on peut montrer qu’elle est localement crois-sante sur Sym(n).

De plus si on considere une matrice de signature (p, q) (avec p+q 6 n),il est facile en la conjuguant a Ip,q de voir qu’elle peut etre approcheepar des matrices de signature (p′, q′) pour toute signature (p′, q′) >

(p, q).

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Ainsi l’adherence dans Sym(n) de la composante connexe Cp,q deSND(n) est l’ensemble des matrices dont la signature est inferieureou egale a (p, q).

3.

1. Notons Φ : (A,B) 7→ tr(AB) la forme polaire de T . Un simple calculpermet de montrer que la forme bilineaire Ψ : (A,B) 7→ tr( tAB) estdefinie positive.

Par ailleurs toute matrice se decompose d’une unique facon en lasomme d’une matrice symetrique et d’une matrice antisymetrique. Au-trement dit si on note Sn l’espace des matrices symetriques et An celuides matrices antiymetriques, on a gl(n, R) = Sn ⊕An. Les dimensions

respectives de Sn et An sont n(n+1)2 et n(n−1)

2 .

Or Φ coıncide avec Ψ sur Sn et avec −Ψ sur An donc la signature de

T est(

n(n+1)2 , n(n−1)

2

)

.

2. Si on note S0n l’espace des matrices symetriques de trace nulle, on a

sl(n, R) = S0n ⊕An donc la restriction de T a sl(n, R) a pour signature

(

n(n+1)2 − 1, n(n−1)

2

)

.

Comme T est non degeneree et sl(n, R) est de codimension 1, l’ortho-gonal de sl(n, R) est une droite. Or Φ(I,M) = 0 si I est la matriceidentite et M une matrice de trace nulle. Donc l’orthogonal de sl(n, R)pour T est la droite des matrices scalaires.

3. On commence par remarquer qu’une matrice n×n appartient a so(p, q)si et seulement si elle est de la forme :

(

A BtB D

)

ou A est une matrice antisymetrique p × p, D est une matrice anti-symetrique q × q et B est une matrice p × q quelconque.

On en deduit que la restriction de T a so(p, q) est non degeneree et designature

(

pq,p(p − 1)

2+

q(q − 1)

2

)

=

(

pq,n(n − 1)

2− pq

)

.

4. Comme T est non degeneree sur sl(n, R) et sur so(p, q), D est unsupplementaire de so(p, q) dans sl(n, R) donc est isomorphe au quo-tient sl(n, R)/so(p, q).

De plus la signature de la restriction de T a D est(

n(n + 1)

2− 1 − pq, pq

)

=

(

p(p + 1)

2+

q(q + 1)

2− 1, pq

)

donc T induit un produit scalaire euclidien sur D si et seulement sip = 0 ou q = 0.

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References

[1] Rached Mneimne and Frederic Testard. Introduction a la theorie desgroupes de Lie classiques. Collection Methodes. [Methods Collection].Hermann, Paris, 1986.

[2] Barrett O’Neill. Semi-Riemannian geometry, volume 103 of Pure andApplied Mathematics. Academic Press Inc. [Harcourt Brace JovanovichPublishers], New York, 1983. With applications to relativity.

www.umpa.ens-lyon.fr/∼bkloeckn/ UMPA, ENS Lyonbkloeckn@umpa.ens-lyon.fr 46, allee d’Italie

69 364 Lyon cedex 07France

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