Variables et fonctions en mathématiques La λλλλ -notation, Fonction à plusieurs arguments Les systèmes λλλλ-applicatifs, Grammaire du λλλλ-calcul Notion de variables libres et liées,
Programmation fonctionnelle Lambda-calcul
Substitution Contraction Réduction Théorie propre du -calcul Forme normale Ordre de réduction Théorème de Church-Rosser ( première forme ) Théorème de Church-Rosser ( deuxième forme ) Fonctions récursives
Programmation fonctionnelle Lambda-calcul
Introduction
• Définition : — Le traitement est décrit par application de fonction. — Exemple : f[g(x, h(x), f(x-1, g(h(x-1), 2) ]
• Caractéristiques : — Facilité d'exprimer et de prouver les programmes. — Basé sur un système formel (Lambda-calcul) — Absence d'affectation — Absence de contrôle explicite ( GOTO, EXIT). les langages
fonctionnels ne sont pas impératifs. — calcul basé sur les fonctions.
Programmation fonctionnelle Lambda-calcul
Introduction
• Schéma de programme fonctionnel: Un seul type de contrôle implicite : Si Cond alors inst1 sinon inst2
Fsi.
• Les instructions peuvent être : conditionnelle, appel de fonction.
• Exemple Fact(n) : Si n = 0 alors 1 sinon mult(n, Fact(n-1)) Fsi
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• Exemple de langages fonctionnels:
• LISP ( Processor of Listes, Mac Carthy 1960) • ISWIN ( Landin 66) • FP ( Backus 78) • HOPE (80) • MIRANDA(85)
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Variables et fonctions en mathématiques : Inconvénient de la notation usuelle
• En mathématiques, la notation usuelle f(x) ne nous permet pas de distinguer entre la fonction elle-même et la valeur de la fonction pour une valeur déterminée de la variable.
• Ce défaut apparaît clairement dans les théories qui utilisent les fonctions de fonctions.
• Par exemple, dans les théories qui utilisent les opérateurs P et Q, l'application de l'opérateur P à la fonction f(x) est généralement notée P[f(x)]. Que signifie alors P[f(x+1)] ?
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La λλλλ-notation
• Si nous notons par M l'expression qui contient x qui indique la valeur de la fonction quand l'argument a la valeur x nous écrivons λλλλx(M) pour désigner la fonction elle-même. Cette formation est abstraction fonctionnelle.
• Pour désigner la valeur de la fonction pour la valeur 0 par exemple nous écrivons λλλλx(M) (0).
• Ainsi, λλλλx(x2) est la fonction carré.
• Autres abréviations : λλλλxM, µx.M
Fonction à plusieurs arguments
• Pour des fonctions à plusieurs arguments, nous pouvons aussi définir une abstraction fonctionnelle :
λλλλnx1x2....xn.M
• λλλλy(x+y) : désigne l'opération d'addition de l'argument y à x. ( x est alors fixe).
c'est f(y) = x+y
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Les systèmes λλλλ-applicatifs
• Un système λλλλ applicatif, défini de manière générales, est un système dans lequel les seules opérations sont l'abstraction fonctionnelle et des applications.
• L'application est représentée par une simple juxtaposition. Ainsi fab signifie f appliqué à a, puis le résultat appliqué à b.
Donc fab est (fa)b. fabc c'est ((fa)b)c De cette façon, les valeurs de fonctions à plusieurs variables sont
construites progressivement.
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Grammaire du λλλλ-calcul
• Syntaxe V = { x, y, ...} ensemble des variables. C = { a, b, ...} ensemble des constantes.
L --> C / op L --> V L --> ( L L ) associativité à gauche(application) L --> (λλλλV L) associativité à droite(abstraction fonctionnelle)
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Grammaire du λλλλ-calcul
• ( L L L ) c'est ( (L L) L ) • (λλλλxλλλλyL ) c'est (λλλλx (λλλλyL) )
• Exemple :
• (λλλλxx) est obtenu par abstraction : f(x) • ((λλλλxx)3) est obtenu par application : f(3)
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Notion de variables libres et liées
• Une occurrence d'une variable x dans Y est liée ssi x est à l'intérieur d'une partie de Y de la forme λλλλx.Z, sinon elle est libre.
• Variables libres • Soit X, Y dans L et soit x dans V et a dans C.
• Varlib(a) = {} • Varlib(x) = {x} • Varlib(XY)= Varlib(X) U Varlib(Y) • Varlib(λλλλxX)= Varlib(X) - {x}
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• Variables liées
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• X = ( (λλλλx(λλλλy.y) λλλλz.x) ) de la forme X = ( M N)
Varlib(X) = Varlib(λλλλy.y) - {x}Uvarlib(x)-{z} Varlib(y)- {y} - {x} U {x} - {z} {y} - {y} - {x} U {x} - {z} {} U {x} {x}
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X = ( (λλλλx(λλλλy.y) λλλλz.x) ) de la forme X = ( M N)
Varlié(X) = Varlié(λλλλy.y) +{x}UVarlié(x)+ {z} Varlié(y) + {y} + {x} U {} + {z} {} + {y} + {x} U {} + {z} { x, y, z }
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Notion de variables libres et liées
• Nous remarquons que x est liée dans M mais libre dans N. Nous pourrions écrire indifféremment
X = ( (λλλλt(λλλλy.y)) λλλλz.x))
car on peut toujours changer le nom de la variable liée.
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Changement de variable liée : (Alpha-conversion)
• Un changement de variable liée dans un terme X est le remplacement d'une partie de X de la forme λλλλy.Z, avec y non liée dans Z, par λλλλv.[v/y]Z pour tout v qui n'est ni libre ni liée dans Z.
• (Alpha) : Si y n'est pas libre dans M, alors λλλλx.M = λλλλy[y/x]M.
• Congruence : — X est congruent à Y ssi Y est le résultat d'application d'une série
de changements de variables liées. — La congruence est une relation d'équivalence.
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Substitution
• Soit N et M dans L et x une variable libre de M.
• [N/x]M : substituer N à x dans M. • [N/x]a = a • [N/x]x = N • [N/x]y = y si y # x • [N/x](M1M2) = [N/x]M1 [N/x]M2 • [N/x](µxM) = (λλλλxM)
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Substitution • [N/x]( λλλλyM) = x # y y non libre dans N c'est (λλλλy [N/x] M ) y libre dans N c'est λλλλz [N/x] ([z/y]M)
• Exemple : Prenons M = λλλλy.xy et N = y [t/x] λλλλy.xy = λλλλy.yt (1) [y/x] λλλλy.xy = λλλλy.yy (confusion) =[y/x] λλλλz.xz =λλλλz.zt ce qui est équivalent à(1)
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Contraction : Béta-conversion
• Une λλλλ -expression de la forme (λλλλ x.M) N s'appelle un Béta-radical ou Béta-rédex ou rédex.
avec (λλλλ x.M) une abstraction fonctionnelle et (λλλλx.M) N une application
• (Beta) : Si x n'est pas liée dans M alors (λλλλx.M) N = [N/x] M
• si λλλλ x.M est une fonction, son application à n'importe quel N doit être vue comme le résultat de la substitution de x par N dans M
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Contraction : Béta-conversion
• Ici aussi, il y a possibilité de confusion de variables. Supposons M = λλλλx.xy et N = y. La substitution de x par N sans tenir compte des variables liées
dans M nous donne λλλλy.yy Mais si nous transformons M en λλλλz.zy ( par (alpha) ) puis nous
substituons x par y nous obtenons finalement λλλλz.zy Il s'agit en d'autres termes d'une substitution aux occurrences
libre de x dans M. Donc, une telle confusion peut apparaître si une variable libre
dans N est liée dans N. Ainsi, l'objet Béta-rédex a pour contractant [N/x]M qui est une
Béta-contraction.
Remarques
• Les règles (Alpha) et (Béta) prises ensemble constituent la Beta- conversion.
• La règle (Alpha) prise seule constitue la Alpha-conversion.
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Réduction
• X se réduit à Y (=>) ssi Y est le résultat d'une série(éventuellement vide) de changement de variables liée et de contractions.
=> est réflexive et transitive.
• Exemples : 1. (λλλλ x.xy)F => Fy 2. (λλλλx.y)F => y 3. (λλλλx.(λλλλy.yx)z)v)=> [v/x](( λλλλy.yx)z) == (λλλλy.yv)z => [z/y] (yv] == zv 4. (λλλλx.xxy)( λλλλx.xxy) => (λλλλx.xxy)( λλλλx.xxy)y => (λλλλx.xxy)( λλλλx.xxy)yy => ect...
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Théorie propre du λλλλ-calcul
• L'ensemble des énoncés de la forme X >> Y qui sont vrai. • Règles : Alpha, Béta, Axiome( X >> X) et les règles de déductions :
1. X >> Y ==> ZX >> ZY 2. X >> Y ==> XZ >> YZ 3. X >> Y ==> λλλλx.X >> λλλλx.Y 4. X >> Y et Y >> Z ==> X >> Z
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Théorie propre du λλλλ-calcul
• Formellement, nous dirons que X >> Y ssi il existe une preuve de cet énoncé utilisant uniquement les axiomes et les règles ci dessus.
• (Eta) : Si x n'est pas libre dans M,alors λλλλx.(Mx) = M
• (Tau) : Si x n'est pas libre ni dans M ni dans N alors • Mx = Nx ==> M = N
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Forme normale :
• Un objet sera dit être dans une forme normale, d'une certaine µ- expression s'il ne contient aucun rédex. [ (λλλλx.M) N ]
• Dans l'exemple 3, zv est la forme normale de (λλλλ x.(λλλλy.yx)z)v)
• Le terme de l'exemple 4 n'a pas de forme normale.
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Ordre de réduction
• Ordre normal : Plus externe, plus à gauche dans le même niveau. ( par nom)
• par valeur : Plus interne, Plus à gauche dans le même niveau
• Il existe d ’autres ordres
• Deux chemins différents de réduction peuvent-ils aboutir à des formes normales différentes ?
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Théorème de Church-rosser première forme
• Si U=>X et U=>Y, il existe Z tel que X=>Z et Y=>Z.
• Corollaire :
Si U a des formes normales X et Y, alors X est congruent à Y ( On peut passer de X à Y par des changements de variables )
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Théorème de Church-rosser ( deuxième forme )
• Si E1 ==> E2 et Si E2 forme normale alors il existe une suite de réduction de E1 à E2 selon l ’ORDRE
NORMAL.
• L ’ordre normal garantit de trouver une forme normale si elle existe mais ne garantit pas de la trouver par un nombre minimum de réduction.
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Fonctions récursives
soit Fact = (λλλλ n. si (= n 0) 1 (* n (Fact ( - x 1) ) ) ) de la forme Fact = λλλλn. ( ….Fact …) par une Béta-abstraction Fact = (λλλλ fac .(λλλλn. ( …fac …))) Fact Fact = H Fact (1) avec H = (λλλλ fac .(λλλλn. ( …fac …))) (1) implique que Fact est un point fixe de H.
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• Il suffit donc de trouver un point fixe de H.
• On démontre que YH = H (YH) , c ’est à dire que YH est un point fixe de H.
• Y est appelé le combinateur du point fixe.
• Solution Fact = YH.
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Fonctions récursives : Exemple : Calcul de Fact 1 YH 1 = H (YH) 1 (λλλλ fac. λλλλn. si (= n 0) 1 (* n (fac ( - n 1 )))) YH 1 ( λλλλn. si (= n 0) 1 (* n ( YH ( - n 1 )))) 1 si (= 1 0) 1 (* 1 ( YH ( - 1 1 ))) * 1 ( YH 0 ) * 1 ( H (YH) 0 ) * 1 (λλλλfac. λλλλn. si (= n 0) 1 (* n (fac ( - n 1 )))) (YH) 0 ) * 1 ( λλλλn. si (= n 0) 1 (* n ( YH ( - n 1 )))) 0 * 1 (si (= 0 0) 1 (* 0 ( YH ( - 0 1 ))) * 1 ( 1) 1
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• Montrons que YH = H (YH)
YH = ( λλλλh . (λλλλx. h ( x x)) (λλλλx.h (x x)) ) H YH = (λλλλx. H ( x x)) (λλλλx.H (x x)) YH = H (λλλλx.H (x x) (λλλλx.H (x x) YH = H ( YH )
Donc YH point fixe de H.