Programmation fonctionnelle Lambda-calcul A. Introduction Définition, Caractéristiques, Schéma fonctionnel, Quelques langages fonctionnels B. Lambda-calcul

Programmation fonctionnelleLambda-calcul

A. Introduction

Définition,

Caractéristiques,

Schéma fonctionnel,

Quelques langages fonctionnels

B. Lambda-calcul Variables et fonctions en mathématiques

La -notation,

Fonction à plusieurs arguments

Les systèmes -applicatifs,

Grammaire du -calcul

Notion de variables libres et liées,


B. Lambda-calcul Changement de variables

Substitution

Contraction

Réduction

Théorie propre du -calcul

Forme normale

Ordre de réduction

Théorème de Church-Rosser ( première forme )

Théorème de Church-Rosser ( deuxième forme )

Fonctions récursives


� Introduction

• Définition :— Le traitement est décrit par application de fonction.— Exemple : f[g(x, h(x), f(x-1, g(h(x-1), 2) ]

• Caractéristiques :— Facilité d'exprimer et de prouver les programmes.— Basé sur un système formel (Lambda-calcul)— Absence d'affectation— Absence de contrôle explicite ( GOTO, EXIT). les langages fonctionnels ne

sont pas impératifs.— calcul basé sur les fonctions.


� Introduction

• Schéma de programme fonctionnel:

Un seul type de contrôle implicite : Si Cond alors inst1 sinon inst2 Fsi.

• Les instructions peuvent être : conditionnelle, appel de fonction.

• Exemple

Fact(n) : Si n = 0 alors 1 sinon mult(n, Fact(n-1)) Fsi


� Introduction

• Exemple de langages fonctionnels:

• LISP ( Processor of Listes, Mac Carthy 1960)

• ISWIN ( Landin 66)

• FP ( Backus 78)

• HOPE (80)

• MIRANDA(85)


� Variables et fonctions en mathématiques : Inconvénient de la notation usuelle

• En mathématiques, la notation usuelle f(x) ne nous permet pas de distinguer entre la fonction elle-même et la valeur de la fonction pour une valeur déterminée de la variable.

• Ce défaut apparaît clairement dans les théories qui utilisent les fonctions de fonctions.

• Par exemple, dans les théories qui utilisent les opérateurs P et Q, l'application de l'opérateur P à la fonction f(x) est généralement notée P[f(x)]. Que signifie alors P[f(x+1)] ?


� La -notation

• Si nous notons par M l'expression qui contient x qui indique la valeur de la fonction quand l'argument a la valeur x nous écrivons x(M) pour désigner la fonction elle-même. Cette formation est abstraction fonctionnelle.

• Pour désigner la valeur de la fonction pour la valeur 0 par exemple nous écrivons x(M) (0).

• Ainsi, x(x2) est la fonction carré.

• Autres abréviations : xM, µx.M


� Fonction à plusieurs arguments

• Pour des fonctions à plusieurs arguments, nous pouvons aussi définir une abstraction fonctionnelle :

nx1x2....xn.M

y(x+y) : désigne l'opération d'addition de l'argument y à x. ( x est alors fixe).

c'est f(y) = x+y

x(y(x+y)) c'est f(x,y) = x +y

2xy.x+y ou x: y.x+y


� Les systèmes -applicatifs

• Un système applicatif, défini de manière générales, est un système dans lequel les seules opérations sont l'abstraction fonctionnelle et des applications.

• L'application est représentée par une simple juxtaposition. Ainsi fab signifie f appliqué à a, puis le résultat appliqué à b.

Donc fab est (fa)b.

fabc c'est ((fa)b)c

De cette façon, les valeurs de fonctions à plusieurs variables sont construites progressivement.


� Grammaire du -calcul

• Syntaxe

V = { x, y, ...} ensemble des variables.

C = { a, b, ...} ensemble des constantes.

L --> C / op

L --> V

L --> ( L L ) associativité à gauche(application)

L --> (V L) associativité à droite(abstraction fonctionnelle)


� Grammaire du -calcul

• ( L L L ) c'est ( (L L) L )

• (xyL ) c'est (x (yL) )

• Exemple :

• (xx) est obtenu par abstraction : f(x)

• ((xx)3) est obtenu par application : f(3)


� Notion de variables libres et liées

• Une occurrence d'une variable x dans Y est liée ssi x est à l'intérieur d'une partie de Y de la forme x.Z, sinon elle est libre.

• Variables libres• Soit X, Y dans L et soit x dans V et a dans C.

• Varlib(a) = {}• Varlib(x) = {x}• Varlib(XY)= Varlib(X) U Varlib(Y)• Varlib(xX)= Varlib(X) - {x}



• Variables liées

• Varlié(a) = {}

• Varlié(x) = {}

• Varlié(XY)= Varlié(X) U Varlié(Y)

• Varlié(xX)= Varlié(X) U {x}


� Notion de variables libres et liées : Exemple

• X = ( (x(y.y) z.x) )

de la forme X = ( M N)

Varlib(X) =

Varlib(y.y) - {x}Uvarlib(x)-{z}

Varlib(y)- {y} - {x} U {x} - {z}

{y} - {y} - {x} U {x} - {z}

{} U {x}

{x}


� Notion de variables libres et liées : Exemple

X = ( (x(y.y) z.x) )

de la forme X = ( M N)

Varlié(X) =

Varlié(y.y) +{x}UVarlié(x)+ {z}

Varlié(y) + {y} + {x} U {} + {z}

{} + {y} + {x} U {} + {z}

{ x, y, z }



• Nous remarquons que x est liée dans M mais libre dans N. Nous pourrions écrire indifféremment

X = ( (t(y.y)) z.x))

car on peut toujours changer le nom de la variable liée.


� Changement de variable liée : (Alpha-conversion)

• Un changement de variable liée dans un terme X est le remplacement d'une partie de X de la forme y.Z, avec y non liée dans Z, par v.[v/y]Z pour tout v qui n'est ni libre ni liée dans Z.

• (Alpha) : Si y n'est pas libre dans M, alors x.M = y[y/x]M.

• Congruence :

— X est congruent à Y ssi Y est le résultat d'application d'une série de changements de variables liées.

— La congruence est une relation d'équivalence.


� Substitution

• Soit N et M dans L et x une variable libre de M.

• [N/x]M : substituer N à x dans M.

• [N/x]a = a

• [N/x]x = N

• [N/x]y = y si y # x

• [N/x](M1M2) = [N/x]M1 [N/x]M2

• [N/x](µxM) = (xM)


� Substitution• [N/x]( yM) = x # y y non libre dans N c'est (y [N/x] M ) y libre dans N c'est z [N/x] ([z/y]M)

• Exemple : Prenons M = y.xy et N = y [t/x] y.xy = y.yt (1) [y/x] y.xy = y.yy (confusion) =[y/x] z.xz =z.zt ce qui est équivalent à(1)


� Contraction : Béta-conversion

• Une -expression de la forme ( x.M) N s'appelle un Béta-radical ou Béta-rédex ou rédex.

avec ( x.M) une abstraction fonctionnelle et

(x.M) N une application

• (Beta) : Si x n'est pas liée dans M alors (x.M) N = [N/x] M

• si x.M est une fonction, son application à n'importe quel N doit être vue comme le résultat de la substitution de x par N dans M


� Contraction : Béta-conversion

• Ici aussi, il y a possibilité de confusion de variables.

Supposons M = x.xy et N = y.

La substitution de x par N sans tenir compte des variables liées dans M nous donne y.yy

Mais si nous transformons M en z.zy ( par (alpha) ) puis nous substituons x par y nous obtenons finalement z.zy

Il s'agit en d'autres termes d'une substitution aux occurrences libre de x dans M.

Donc, une telle confusion peut apparaître si une variable libre dans N est liée dans N.

Ainsi, l'objet Béta-rédex a pour contractant [N/x]M qui est une Béta-contraction.


� Remarques

• Les règles (Alpha) et (Béta) prises ensemble constituent la Beta-conversion.

• La règle (Alpha) prise seule constitue la Alpha-conversion.


� Réduction

• X se réduit à Y (=>) ssi Y est le résultat d'une série(éventuellement vide) de changement de variables liée et de contractions.

=> est réflexive et transitive.

• Exemples : 1. ( x.xy)F => Fy 2. (x.y)F => y 3. (x.(y.yx)z)v)=> [v/x](( y.yx)z) == (y.yv)z => [z/y] (yv] == zv 4. (x.xxy)( x.xxy) => (x.xxy)( x.xxy)y => (x.xxy)( x.xxy)yy => ect...


� Théorie propre du -calcul

• L'ensemble des énoncés de la forme X >> Y qui sont vrai.

• Règles : Alpha, Béta, Axiome( X >> X)

et les règles de déductions :

1. X >> Y ==> ZX >> ZY

2. X >> Y ==> XZ >> YZ

3. X >> Y ==> x.X >> x.Y

4. X >> Y et Y >> Z ==> X >> Z


� Théorie propre du -calcul

• Formellement, nous dirons que X >> Y ssi il existe une preuve de cet énoncé utilisant uniquement les axiomes et les règles ci dessus.

• (Eta) : Si x n'est pas libre dans M,alors x.(Mx) = M

• (Tau) : Si x n'est pas libre ni dans M ni dans N alors

• Mx = Nx ==> M = N


� Forme normale :

• Un objet sera dit être dans une forme normale, d'une certaine µ-expression s'il ne contient aucun rédex. [ (x.M) N ]

• Dans l'exemple 3, zv est la forme normale de ( x.(y.yx)z)v)

• Le terme de l'exemple 4 n'a pas de forme normale.


� Ordre de réduction

• Ordre normal : Plus externe, plus à gauche dans le même niveau. ( par nom)

• par valeur : Plus interne, Plus à gauche dans le même niveau

• Il existe d ’autres ordres

• Deux chemins différents de réduction peuvent-ils aboutir à des formes normales différentes ?


� Théorème de Church-rosser première forme

• Si U=>X et U=>Y, il existe Z tel que X=>Z et Y=>Z.

• Corollaire :

Si U a des formes normales X et Y, alors X est congruent à Y ( On peut passer de X à Y par des changements de variables )


� Théorème de Church-rosser ( deuxième forme )

• Si E1 ==> E2 et Si E2 forme normale

alors il existe une suite de réduction de E1 à E2 selon l ’ORDRE NORMAL.

• L ’ordre normal garantit de trouver une forme normale si elle existe mais ne garantit pas de la trouver par un nombre minimum de réduction.


� Fonctions récursives

soit Fact = ( n. si (= n 0) 1 (* n (Fact ( - x 1) ) ) )

de la forme Fact = n. ( ….Fact …)

par une Béta-abstraction

Fact = ( fac .(n. ( …fac …))) Fact

Fact = H Fact (1)

avec H = ( fac .(n. ( …fac …)))

(1) implique que Fact est un point fixe de H.


� Fonctions récursives

• Il suffit donc de trouver un point fixe de H.

• On démontre que YH = H (YH) , c ’est à dire que YH est un point fixe de H.

• Y est appelé le combinateur du point fixe.

• Solution Fact = YH.


� Fonctions récursives : Exemple : Calcul de Fact 1 YH 1 = H (YH) 1 ( fac. n. si (= n 0) 1 (* n (fac ( - n 1 )))) YH 1 ( n. si (= n 0) 1 (* n ( YH ( - n 1 )))) 1 si (= 1 0) 1 (* 1 ( YH ( - 1 1 ))) * 1 ( YH 0 ) * 1 ( H (YH) 0 ) * 1 (fac. n. si (= n 0) 1 (* n (fac ( - n 1 )))) (YH) 0 ) * 1 ( n. si (= n 0) 1 (* n ( YH ( - n 1 )))) 0 * 1 (si (= 0 0) 1 (* 0 ( YH ( - 0 1 ))) * 1 ( 1) 1


� Fonctions récursives : Combinateur Y

• Y =( h . (x. h ( x x)) (x.h (x x)) )

• Montrons que YH = H (YH)

YH = ( h . (x. h ( x x)) (x.h (x x)) ) H

YH = (x. H ( x x)) (x.H (x x))

YH = H (x.H (x x) (x.H (x x)

YH = H ( YH )

Donc YH point fixe de H.

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