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Programmation linaire : maximisation

nonc du problme initial

Lentreprise Snowskate fabrique et distribue de nombreux articles de sport. Elle a lanc rcemment la fabrication de deux produits novateurs : deux modles de planches de surf spcialement conus pour glisser sur les surfaces synthtiques. Les dirigeants de Snowskate ont constat que les centres touristiques et parcs dattraction taient de plus en plus nombreux se doter de pistes synthtiques et souhaitent se positionner sur ce secteur porteur. Les deux modles intituls speeder et quickly passent successivement dans trois ateliers situs en ligne :

Atelier 1 : Fabrication d'un support partir de matires synthtiques. Atelier 2 : Glaage en fibre de verre. Atelier 3 : Peinture, finition et conditionnement.

La fabrication du modle speeder ncessite 2 heures de travail dans l'atelier 1, 3 heures dans le 2 et 2 heures dans le 3. Une unit du modle quickly ncessite 2 heures dans l'atelier 1, 2 heures dans le 2 et 4 heures dans le 3. Les capacits de chaque atelier sont limites de 70 heures de travail par semaine, le reste de la capacit de production tant consacr dautres produits.

La marge sur cot variable unitaire ralise sur la vente de chaque modle est respectivement de 30 et de 40 .

1) Dterminer les quantits optimales de chaque modle produire par semaine pour maximiser la marge sur cot variable totale.

2) Les dirigeants peuvent augmenter la capacit de production dun seul atelier de 10 heures par semaine. Quel atelier doivent-ils choisir pour maximiser la marge sur cot variable ?

Traduction de la situation

Contraintes :

+

+

+

704270237022

positift strictemenentier nombre positift strictemenentier nombre

; ; ;

yxyxyx

yx

Quantit maximiser : yx 4030 +

Rsolution laide dun tableur

Premire solution : tude des lignes de lignes de niveau de yx 4030 + et prise en compte des contraintes avec la fonction SI ALORS . SINON dun tableur.

La formule utilise dans la cellule B2 et recopie vers le bas puis vers la droite est : SI(((2*B$1+2*$A2)

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Y\X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 241 70 100 130 160 190 220 250 280 310 340 370 400 430 460 490 520 550 580 610 640 670 700 2 110 140 170 200 230 260 290 320 350 380 410 440 470 500 530 560 590 620 650 680 710 740 3 150 180 210 240 270 300 330 360 390 420 450 480 510 540 570 600 630 660 690 720 750 4 190 220 250 280 310 340 370 400 430 460 490 520 550 580 610 640 670 700 730 760 5 230 260 290 320 350 380 410 440 470 500 530 560 590 620 650 680 710 740 770 800 6 270 300 330 360 390 420 450 480 510 540 570 600 630 660 690 720 750 780 810 7 310 340 370 400 430 460 490 520 550 580 610 640 670 700 730 760 790 820 8 350 380 410 440 470 500 530 560 590 620 650 680 710 740 770 800 830 860 9 390 420 450 480 510 540 570 600 630 660 690 720 750 780 810 840 870 10 430 460 490 520 550 580 610 640 670 700 730 760 790 820 850 11 470 500 530 560 590 620 650 680 710 740 770 800 830 12 510 540 570 600 630 660 690 720 750 780 810 13 550 580 610 640 670 700 730 760 790 14 590 620 650 680 710 740 770 15 630 660 690 720 750 16 670 700 730 17 710 18

2) Lusage du tableur permet denvisager les diffrents scnarii :

Augmentation de la capacit du premier atelier

Seule la premire expression de la contrainte est modifie et devient : (2*B$1+2*$A2)

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Augmentation de la capacit du troisime atelier

Seule la troisime expression de la contrainte est modifie et devient : (2*B$1+4*$A2)

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Troisime tape : les rsultats obtenus ltape prcdente ne correspondent pas la solution optimale ; lutilisation de la fonction solveur (onglet outils , puis onglet solveur ) permet de maximiser la marge sur cot variable totale.

Entrer les paramtres du solveur :

Cliquer sur le bouton options et vrifier que la case modle suppos linaire est coche.

Il est alors possible de rsoudre la question 2 en modifiant les capacits maximales des ateliers.

A B C D E F 1

Atelier 1 Atelier 2 Atelier 3 Marge unitaire

Quantit optimale

2 Speeder 2 3 2 30 10 3 Quickly 2 2 4 40 11 4 Capacit

maximale 70 70 70

5 Capacit utilise 42 52 64

6 7 8 Marge

maximale 740

= E2*F2+E3*F3

=C2*$F$2+C3*$F$3

=D2*$F$2+D3*$F$3

=B2*$F$2+B3*$F$3