Programme Maths ECS 1ère Année

Ministre de lenseignement suprieur et de la recherche, 2013 http://www.enseignementsup-recherche.gouv.fr

Annexe 1 Programmes des classes

prparatoires aux Grandes Ecoles

Filire : conomique et commerciale

Option : Scientifique (ECS)

Discipline : Mathmatiques-Informatique

Premire anne

Table des matires

Introduction 3

1 Objectifs gnraux de la formation 3

2 Comptences dveloppes 3

3 Architecture des programmes 4

Enseignement de mathmatiques du premier semestre 6

I - Raisonnement et vocabulaire ensembliste 6

1 - lments de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 - Raisonnement par rcurrence et calcul de sommes et de produits . . . . . . . . . . . . . 6

3 - Ensembles, applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

a) Ensembles, parties d'un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

b) Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

II - Nombres complexes et polynmes 7

1 - Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 - Polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

III - Algbre linaire 7

1 - Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

a) Matrices rectangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

b) Cas des matrices carres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 - Systmes linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 - Introduction aux espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . 8

IV - Suites de nombres rels 9

1 - Vocabulaire sur l'ensemble R des nombres rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 - Exemples de suites relles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 - Convergence des suites relles - Thormes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

V - Fonctions relles d'une variable relle 10

1 - Limite et continuit d'une fonction d'une variable en un point . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 - tude globale des fonctions d'une variable sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 - Drivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 - Intgration sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

cMinistre de l'enseignement suprieur et de la recherche, 2013http://www.enseignementsup-recherche.gouv.fr

1

VI - Probabilits sur un univers ni 13

1 - Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

a) Observation d'une exprience alatoire - vnements . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

b) Probabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

c) Probabilit conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

d) Indpendance en probabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 - Variables alatoires relles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 - Lois usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 - Complments de combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Enseignement de mathmatiques du second semestre 15

I - Algbre linaire 15

1 - Espaces vectoriels de dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 - Complments sur les espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 - Applications linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

a) Cas gnral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

b) Cas de la dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

c) Matrices et applications linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

d) Cas des endomorphismes et des matrices carres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

II - Complments d'analyse 17

1 - tude asymptotique des suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 - Comparaison des fonctions d'une variable au voisinage d'un point . . . . . . . . . . . . . 18

3 - Sries numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 - Intgrales sur un intervalle quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 - Drives successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6 - Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

7 - Dveloppements limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

8 - Extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

9 - Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

III - Probabilits sur un univers quelconque 21

1 - Espace probabilis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 - Gnralits sur les variables alatoires relles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 - Variables alatoires relles discrtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 - Lois de variables discrtes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5 - Introduction aux variables alatoires densit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6 - Lois de variables densit usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24


2

7 - Convergences et approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

a) Convergence en probabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

b) Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

Enseignement annuel d'informatique et algorithmique 26

I - lments d'informatique et d'algorithmique 26

1 - L'environnement logiciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

a) Constantes prdnies. Cration de variables par aectation. . . . . . . . . . . . . . 26

b) Constructions de vecteurs et de matrices numriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

c) Oprations lmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

d) Fonctions usuelles prdnies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2 - Graphisme en deux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 - Programmation d'algorithmes et de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

II - Liste de savoir-faire exigibles en premire anne 27

Introduction

1 Objectifs gnraux de la formation

Les mathmatiques jouent un rle important en sciences conomiques et en gestion, dans les domaines

notamment de la nance ou de la gestion d'entreprise, de la nance de march, des sciences sociales.

Les probabilits et la statistique interviennent dans tous les secteurs de l'conomie et dans une grande

varit de contextes (actuariat, biologie, pidmiologie, nance quantitative, prvision conomique, ...)

o la modlisation de phnomnes alatoires partir de bases de donnes est indispensable.

Les programmes dnissent les objectifs de l'enseignement des classes prparatoires conomiques et

commerciales et dcrivent les connaissances et les capacits exigibles des tudiants. Ils prcisent aussi

certains points de terminologie et certaines notations.

Les limites du programme sont clairement prcises. Elles doivent tre respectes aussi bien dans le

cadre de l'enseignement en classe que dans l'valuation.

L'objectif n'est pas de former des professionnels des mathmatiques, mais des personnes capables

d'utiliser des outils mathmatiques ou d'en comprendre l'usage dans diverses situations de leur parcours

acadmique et professionnel.

Une fonction fondamentale de l'enseignement des mathmatiques dans ces classes est de structurer la

pense des tudiants et de les former la rigueur et la logique en insistant sur les divers types de

raisonnement (par quivalence, implication, l'absurde, analyse-synthse, ...).

2 Comptences dveloppes

L'enseignement de mathmatiques en classes prparatoires conomiques et commerciales vise en par-

ticulier dvelopper chez les tudiants les comptences suivantes :


3

Rechercher et mettre en uvre des stratgies adquates : savoir analyser un problme,mettre des conjectures notamment partir d'exemples, choisir des concepts et des outils mathma-

tiques pertinents.

Modliser : savoir conceptualiser des situations concrtes (phnomnes alatoires ou dterministes)et les traduire en langage mathmatique, laborer des algorithmes.

Interprter : tre en mesure d'interprter des rsultats mathmatiques dans des situations concrtes,avoir un regard critique sur ces rsultats.

Raisonner et argumenter : savoir conduire une dmonstration, conrmer ou inrmer des conjec-tures.

Matriser le formalisme et les techniques mathmatiques : savoir employer les symbolesmathmatiques bon escient, tre capable de mener des calculs de manire pertinente et ecace.

Utiliser avec discernement l'outil informatique.

Communiquer par crit et oralement : comprendre les noncs mathmatiques, savoir rdigerune solution rigoureuse, prsenter une production mathmatique.

3 Architecture des programmes

Le niveau de rfrence l'entre de la lire EC voie scientique est celui de l'enseignement obligatoire

de la classe de terminale scientique. Le programme se situe dans le prolongement de ceux des classes

de premire et terminale de la lire S.

Il est indispensable que chaque enseignant ait une bonne connaissance des programmes du lyce, an que

ses approches pdagogiques ne soient pas en rupture avec l'enseignement qu'auront reu les tudiants

en classes de premire et de terminale.

Le programme s'organise autour de quatre points forts qui trouveront leur prolongement dans les tudes

futures des tudiants :

L'algbre linaire est aborde d'abord par le calcul matriciel, outil indispensable pour le calcul mul-tidimensionnel, puis par les espaces vectoriels. La pratique de l'algbre linaire permet de dvelopper

chez l'tudiant des capacits d'abstraction, mais aussi de renforcer sa dmarche logique indispensable

en mathmatiques.

L'analyse vise mettre en place les mthodes courantes de travail sur les suites et les fonctions etpermet de dvelopper la rigueur. On s'attache principalement dvelopper l'aspect opratoire. On

n'insiste donc ni sur les questions trop nes ou spcialises ni sur les exemples pathologiques . On

vite les situations conduisant une trop grande technicit calculatoire.

Les probabilits s'inscrivent dans la continuit de la formation initie ds la classe de troisimeet poursuivie jusqu'en classe de terminale. Le formalisme abstrait (axiomatique de Kolmogorov)

donnera de nouveaux outils de modlisation de situations concrtes.

L'informatique est enseigne tout au long de l'anne en lien direct avec le programme de math-matiques. Cette pratique rgulire permettra aux tudiants de construire ou de reconnatre des

algorithmes relevant par exemple de la simulation de lois de probabilit, de la recherche de valeurs

approches en analyse ou d'outils de calculs en algbre linaire.

Il est important de mettre en valeur l'interaction entre les direntes parties du programme. Les

probabilits permettent en particulier d'utiliser certains rsultats d'analyse (suites, sries, intgrales...)

et d'algbre linaire et justient l'introduction du vocabulaire ensembliste.

Le programme de mathmatiques est organis en deux semestres de volume sensiblement quivalent.

Ce dcoupage en deux semestres d'enseignement doit tre respect. En revanche, au sein de chaque se-

mestre, aucun ordre particulier n'est impos et chaque professeur conduit en toute libert l'organisation


4

de son enseignement, bien que la prsentation par blocs soit fortement dconseille.

Dans le contenu du premier semestre, gurent les notions ncessaires et les objets de base qui serviront

d'appui la suite du cours. Ces lments sont accessibles tous les tudiants quelles que soient les

pratiques antrieures et potentiellement variables de leurs lyces d'origine, et la spcialit qu'ils auront

choisie en classe de terminale. Ces contenus vont, d'une part, permettre une approche plus approfondie

et rigoureuse de concepts dj prsents mais peu explicits au lyce, et d'autre part, mettre en place

certaines notions et techniques de calcul et de raisonnement fondamentales pour la suite du cursus.

En continuit avec les programmes du lyce, le concept de variable alatoire densit est prsent

ds la premire anne sur des exemples simples, et permet de justier l'introduction des intgrales

gnralises en analyse, de mme que l'tude des variables discrtes pour l'introduction aux sries.

L'algbre linaire est aborde, au premier semestre, par le biais du calcul : calcul matriciel, systmes

d'quations linaires. Des rudiments de vocabulaire gnral sur les espaces vectoriels sont introduits

lors du premier semestre. Ce choix a pour ambition de familiariser les tudiants avec le calcul mul-

tidimensionnel an de les prparer l'introduction de la notion abstraite d'espace vectoriel, qui sera

tudie essentiellement au second semestre.

En analyse, le premier semestre permet de consolider et approfondir des notions familires aux tu-

diants, comme les suites, les intgrales et les drives. Le second semestre gnralise les notions du

premier semestre en introduisant les sries et les intgrales gnralises, dans l'objectif de l'tude des

probabilits.

Pour les probabilits, on se place sur les espaces probabiliss nis au premier semestre, plus gnraux

au second semestre, les variables alatoires densit tant abordes au second semestre.

Le programme se prsente de la manire suivante : dans la colonne de gauche gurent les contenus

exigibles des tudiants ; la colonne de droite comporte des prcisions sur ces contenus, des applications

ou des exemples d'activits.

Les dveloppements formels ou trop thoriques doivent tre vits. Ils ne correspondent pas au cur

de formation de ces classes prparatoires.

La plupart des rsultats mentionns dans le programme seront dmontrs. Pour certains marqus

comme admis , la prsentation d'une dmonstration en classe est dconseille.

Les travaux dirigs sont le moment privilgi de la mise en uvre, et de la prise en main par les tudiants

des techniques usuelles et bien dlimites inscrites dans le corps du programme. Cette matrise s'acquiert

notamment par l'tude de problmes que les tudiants doivent in ne tre capables de rsoudre par

eux-mmes.

Le symbole I indique les parties du programme pouvant tre traites en liaison avec l'informatique.L'enseignement informatique est commun l'ensemble des lires des classes conomiques. Le logiciel

de rfrence choisi pour ce programme est Scilab.


5

Dans tout ce qui suit, K dsigne exclusivement R ou C.

Enseignement de mathmatiques du premier semestre

I - Raisonnement et vocabulaire ensembliste

1 - lments de logique

L'objectif est d'acqurir le vocabulaire lmentaire des raisonnements mathmatiques, mais tout expos

thorique est exclu. Les notions de ce paragraphe pourront tre prsentes en contexte au cours du

semestre, vitant ainsi une prsentation trop formelle.

Connecteurs : et, ou, non, implication, rci-

proque, contrapose.

Quanticateurs : , .

On prsentera des exemples de phrases math-

matiques utilisant les connecteurs et les quanti-

cateurs, et on expliquera comment crire leurs

ngations.

2 - Raisonnement par rcurrence et calcul de sommes et de produits

Emploi du raisonnement par rcurrence.

Formules donnant :

nk=0

qk,

nk=1

k.

Tout expos thorique sur le raisonnement par

rcurrence est exclu.

Exemple : formules donnant

nk=1

k2,

nk=1

k3.

Notations

,

.

Dnition de n!.Les tudiants doivent savoir employer les no-

tations

ni=1

ui etiA

ui o A dsigne un sous-

ensemble ni de N ou N2. I

3 - Ensembles, applications

L'objectif est d'acqurir le vocabulaire lmentaire sur les ensembles et les applications, en vue de

prparer l'tude des chapitres d'algbre linaire et de probabilit, mais tout expos thorique est exclu.

a) Ensembles, parties d'un ensemble

Appartenance. Inclusion. Notations , .Ensemble P(E) des parties de E. On pourra donner l'exemple de P({1, . . . , 6})an de faciliter l'introduction de la notion de

tribu.

Complmentaire. Notation A. La notation A est privilgier. En cas d'ambi-gut, on utilisera la notation {AE .Union, intersection. Notations

,

.

Distributivit. Lois de Morgan.

On fera le lien entre les oprations ensemblistes

et les connecteurs logiques usuels.

Dnition du produit cartsien d'ensembles. On introduira les notations R2 et Rn.

b) Applications


6

Dnition. Compose de deux applications.

Restriction et prolongement d'une application. Ces deux notions ne seront introduites que dans

les cours d'algbre linaire et d'analyse.

Applications injectives, surjectives, bijectives. On pourra donner des exemples issus du cours

d'analyse.

II - Nombres complexes et polynmes

1 - Nombres complexes

L'objectif de l'tude des nombres complexes est d'aboutir au thorme de d'Alembert-Gauss et la

factorisation dans R[X] et C[X] de polynmes coecients rels. La construction de C est horsprogramme et les acquis de la classe de terminale seront complts. On vitera toute manipulation

trop technique faisant intervenir les nombres complexes. Les rsultats concernant les racines n-mes del'unit ne sont pas exigibles des tudiants.

Notation algbrique d'un nombre complexe,

partie relle et partie imaginaire.

Conjugu d'un nombre complexe.

On donnera l'interprtation gomtrique d'un

nombre complexe.

Notation exponentielle. Module, argument.

Formules d'Euler et de Moivre.

Brve rvision de la trigonomtrie.

Formules donnant cos(a+ b) et sin(a+ b).Les racines n-mes de l'unit pourront tre tu-dies comme exemples d'utilisation de la nota-

tion exponentielle.

2 - Polynmes

La construction des polynmes formels n'est pas au programme, on pourra identier polynmes et

fonctions polynomiales. Les dmonstrations des rsultats de ce paragraphe ne sont pas exigibles.

Ensemble K[X] des polynmes coecientsdans K.Oprations algbriques.

Degr. Par convention deg(0) = .Ensembles Kn[X] des polynmes coecientsdans K de degr au plus n.

Division euclidienne. Multiples et diviseurs. IRacines, ordre de multiplicit d'une racine.

Caractrisation de la multiplicit par factorisa-

tion d'une puissance de (X a).

Cas du trinme. I

Thorme de d'Alembert-Gauss. Rsultat admis.

Exemples simples de factorisation dans C[X] etR[X] de polynmes de R[X]. Les mthodes de-vront tre indiques.

III - Algbre linaire

L'objet de ce chapitre est de mettre en place l'outil vectoriel ds le premier semestre, an de confronter

rapidement les tudiants aux notions tudies dans le cours d'algbre linaire.


7

Dans un premier temps, on prsentera la notion de matrices et l'on familiarisera les tudiants la

manipulation de ces objets avant d'en aborder les aspects vectoriels.

L'tude de ce chapitre pourra tre mene en lien avec l'algorithmique en ce qui concerne le calcul

matriciel. I

1 - Calcul matriciel

a) Matrices rectangulaires

EnsembleMn,p(K) des matrices n lignes et pcolonnes coecients dans K.

Oprations dansMn,p(K). Addition, multiplication par un scalaire. IProduit matriciel. On pourra faire le lien entre le produit AB et leproduit de A avec les colonnes de B. ITranspose d'une matrice.

Transposition d'un produit.

Notation

tA.

b) Cas des matrices carres

Ensemble Mn(K) des matrices carres d'ordren coecients dans K.Matrices triangulaires, diagonales, symtriques,

antisymtriques.

Matrices inversibles, inverse d'une matrice.

Ensemble GLn(K).On admettra que pour une matrice carre, un

inverse gauche ou droite est l'inverse.

Inverse d'un produit. Transposition de l'inverse.

Formule donnant l'inverse d'une matrice carre

d'ordre 2.

2 - Systmes linaires

Tout dveloppement thorique est hors programme.

Dnition d'un systme linaire.

criture matricielle d'un systme linaire.

Systme homogne. Systme de Cramer.

Rsolution d'un systme linaire par la mthode

du pivot de Gauss.

La mthode sera prsente l'aide d'exemples.

On adoptera les notations suivantes pour le co-

dage des oprations lmentaires sur les lignes :

Li Li + aLj avec i 6= j , Li aLi (a 6= 0),Lj Li, Li aLi + bLj (a 6= 0, i 6= j). ICalcul de l'inverse de la matrice A par la rso-lution du systme AX = Y .

Inversibilit des matrices triangulaires, diago-

nales.

3 - Introduction aux espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels


8

Cette premire approche des espaces vectoriels permet d'introduire le vocabulaire et sera accompagne

de nombreux exemples.

Il sera possible, l'occasion d'autres chapitres en analyse ou probabilit, de rappeler la structure

d'espace vectoriel des ensembles les plus courants, an de familiariser les tudiants avec le vocabulaire et

les notions fondamentales, avant une tude plus approfondie des espaces vectoriels au second semestre.

Le programme se place dans le cadre des espaces vectoriels sur K. Les notions de corps, d'algbre etde groupe sont hors programme.

Structure d'espace vectoriel.

Sous-espaces vectoriels.

Cette tude doit tre accompagne de nombreux

exemples issus de l'algbre (espacesKn, espacesde polynmes, espaces de matrices), de l'analyse

(espaces de suites, de fonctions).

Combinaisons linaires.

Sous-espace engendr.

On ne considrera que des combinaisons li-

naires de familles nies.

Une famille nie d'un espace vectoriel E est ladonne d'une liste nie (x1, ..., xn) de vecteursde E. Le cardinal de cette famille est n.Dnition d'une famille libre, d'une famille g-

nratrice, d'une base.

On se limitera des familles et des bases de

cardinal ni.

Exemple de la base canonique de Kn.

IV - Suites de nombres rels

L'objectif de ce chapitre est de familiariser les tudiants ds le premier semestre avec des mthodes

d'analyse. La construction de R est hors programme et le thorme de la borne suprieure est admis.

1 - Vocabulaire sur l'ensemble R des nombres rels

Valeur absolue. Ingalit triangulaire.

Majorant, minorant, maximum, minimum,

borne suprieure, borne infrieure d'une partie

non vide de R.

Quand il existe, le maximum de A coincide avecla borne suprieure de A.

Thorme de la borne suprieure. Rsultat admis.

Partie entire d'un rel. Notation bxc. La notation E(.) est rserve l'esprance mathmatique.

2 - Exemples de suites relles

Suites arithmtico-gomtriques. On se ramenera au cas d'une suite gomtrique.

Suites vriant une relation linaire de rcur-

rence d'ordre 2 coecients rels. quation ca-

ractristique.

Cette partie pourra tre l'occasion d'illustrer,

dans un cas concret, les notions de famille libre,

gnratrice et de base. Dans le cas de racines

complexes conjugues et , on pourra intro-duire les suites (Re(n)) et (Im(n)). I

3 - Convergence des suites relles - Thormes fondamentaux


9

Limite d'une suite, suites convergentes. On dit que (un) converge vers ` si tout intervalleouvert contenant ` contient les un pour tous lesindices n, sauf pour un nombre ni d'entre eux.On donnera une dnition quantie de la li-

mite ` (traduction en , n0) sans en faire uneutilisation systmatique.

Gnralisation aux suites tendant vers .Unicit de la limite.

Oprations algbriques sur les suites conver-

gentes.

Compatibilit du passage la limite avec la re-

lation d'ordre.

Existence d'une limite par encadrement.

Suites monotones, croissantes, dcroissantes,

suites adjacentes.

Thorme de limite monotone. Toute suite croissante majore (respectivement

dcroissante minore) converge, la limite tant

la borne suprieure (respectivement infrieure)

de l'ensemble des valeurs de la suite.

Une suite croissante non majore (respective-

ment dcroissante non minore) tend vers +(respectivement ).Deux suites adjacentes convergent et ont mme

limite.

Rappel des croissances compares. Comparaisons des suites (n!), (na), (qn),(ln(n)b).

V - Fonctions relles d'une variable relle

En analyse, on vitera la recherche d'hypothses minimales, tant dans les thormes que dans les

exercices et problmes, prfrant des mthodes ecaces pour un ensemble assez large de fonctions

usuelles.

Pour les rsultats du cours, on se limite aux fonctions dnies sur un intervalle de R. Les tudiantsdoivent savoir tudier les situations qui s'y ramnent simplement.

L'analyse reposant largement sur la pratique des ingalits, on s'assurera que celle-ci est acquise

l'occasion d'exercices.

Aucune dmonstration n'est exigible des tudiants.

1 - Limite et continuit d'une fonction d'une variable en un point

Dnition de la limite et de la continuit d'une

fonction d'une variable en un point.

Unicit de la limite.

Limites droite et gauche.

Extension au cas o f est dnie sur I \ {x0}.Extension de la notion de limite en et auxcas des limites innies.

On adoptera la dnition suivante : f tant unefonction dnie sur I, x0 tant un lment de Iou une extrmit de I, et ` un lment de R,on dit que f admet ` pour limite en x0 si, pourtout nombre > 0, il existe un nombre > 0 telque pour tout lment x de I [x0, x0 +],|f (x) `| 6 ; ainsi, lorsque x0 appartient I,f est continue en x0, sinon f se prolonge en unefonction continue en x0.


10

Oprations algbriques sur les limites.

Compatibilit avec la relation d'ordre.

Existence d'une limite par encadrement.

Prolongement par continuit en un point.

Si f admet une limite ` en x0 et si (un) est unesuite relle dnie sur I et tendant vers x0, alors(f(un)) tend vers `.

La caractrisation squentielle de la limite n'est

pas au programme.

Limite d'une fonction compose.

2 - tude globale des fonctions d'une variable sur un intervalle

Fonctions paires, impaires, priodiques.

Fonctions majores, minores, bornes, mono-

tones.

Thorme de limite monotone. Toute fonction monotone sur ]a, b[( 6 a < b 6 +) admet des limites -nies droite et gauche en tout point de ]a, b[.Comportement en a et b.

Fonctions continues sur un intervalle, oprations

algbriques, composition.

Fonction continue par morceaux. Une fonction f est continue par morceauxsur le segment [a, b] s'il existe une subdivisiona0 = a < a1 < < an = b telle que les restric-tions de f chaque intervalle ouvert ]ai, ai+1[admettent un prolongement continu l'inter-

valle ferm [ai, ai+1].On exclut toute tude approfondie des fonctions

continues par morceaux.

Thorme des valeurs intermdiaires.

L'image d'un intervalle (respectivement un seg-

ment) par une fonction continue est un inter-

valle (respectivement un segment).

Notations max[a,b]

f et min[a,b]

f .

Thorme de la bijection. Toute fonction continue et strictement mono-

tone sur un intervalle I dnit une bijection deI sur l'intervalle f(I). Sa bijection rciproqueest elle-mme continue et a le mme sens de va-

riation.

On utilisera ce rsultat pour l'tude des qua-

tions du type f(x) = k.En liaison avec l'algorithmique, mthode de di-

chotomie. IReprsentation graphique de la fonction rci-

proque.

3 - Drivation

Drives gauche et droite.

Drive en un point.

Interprtation graphique. I


11

Linarit de la drivation, drive d'un produit,

drive d'une compose. Exemples.

Fonctions drivables sur un intervalle, fonction

drive.

Notation f .

Drive d'un polynme.

Drivation des fonctions rciproques.

Thorme de Rolle.

galit et ingalits des accroissements nis. (1) Si m 6 f 6 M sur un intervalle I, alors :(a, b) I2, a 6 b,

m(b a) 6 f(b) f(a) 6M(b a).(2) Si |f | 6 k sur un intervalle I, alors :(a, b) I2, |f(b) f(a)| 6 k|b a|.Application, sur des exemples, l'tude de

suites rcurrentes du type : un+1 = f(un). Toutexpos thorique sur les suites rcurrentes gn-

rales est exclu. ICaractrisation des fonctions constantes et mo-

notones par l'tude de la drive.

Si f est une fonction drivable sur un intervalleI et si f > 0 sur I, f ne s'annulant qu'en unnombre ni de points, alors f est strictementcroissante sur I.Dnition et drivation de la fonction Arctan. L'tude de cette fonction se limitera strictement ces deux points.

4 - Intgration sur un segment

La construction de l'intgrale de Riemann est hors programme.

Primitive d'une fonction continue sur un inter-

valle.

Toute fonction continue sur un intervalle admet

une primitive sur cet intervalle.

Rsultat admis.

Intgrale d'une fonction continue sur un seg-

ment.

Relation de Chasles.

Si f est continue sur un intervalle I, pour tout(a, b) I2, on dnit l'intgrale de f de a bpar : b

af(t) dt = F (b) F (a),o F est une primitive de f sur I. Cette dni-tion est indpendante du choix de la primitive

F de f sur I.

Intgrale d'une fonction continue par morceaux

sur un segment.

Linarit, relation de Chasles, positivit et crois-

sance. Cas d'une fonction continue, positive sur

[a, b] et d'intgrale nulle.

Si f est continue sur [a, b] et a 6 b, baf(t)dt

6 ba|f(t)|dt.Intgration par parties.

Changement de variable. Les changements de variable non anes devront

tre indiqus aux candidats.


12

Sommes de Riemann pas constant. La convergence des sommes de Riemann ne sera

dmontre que dans le cas d'une fonction de

classe C1.Interprtation de l'intgrale en termes d'aire.

I

VI - Probabilits sur un univers ni

L'objectif de cette premire approche est de mettre en place un cadre simpli mais formalis dans

lequel on puisse mener des calculs de probabilits sans dicult thorique majeure.

Dans la continuit du programme de terminale, l'tude pralable du cas ni permettra de consolider

les acquis et de mettre en place, dans des situations simples, les concepts probabilistes de base, en ne

faisant appel qu'aux oprations logiques et arithmtiques lmentaires. C'est pourquoi, pour le premier

semestre, on se restreindra un univers ni, muni de la tribu P().On vitera pour cette premire approche un usage avanc de la combinatoire, et l'on s'attachera

utiliser le vocabulaire gnral des probabilits.

1 - Gnralits

a) Observation d'une exprience alatoire - vnements

Exprience alatoire.

Univers des rsultats observables, vne-ments. Oprations sur les vnements, vne-

ments incompatibles.

On dgagera ces concepts partir de l'tude de

quelques situations simples.

On fera le lien entre ces oprations et les connec-

teurs logiques.

Systme complet d'vnements ni. Une famille (Ai)iI , o I est un sous-ensembleni de N, est un systme complet si elle vrieles conditions deux suivantes :

Ai Aj = iI

Ai = .

b) Probabilit

Dnition d'une probabilit sur P(). Une probabilit sur P() est une application ad-ditive P valeurs dans [0, 1] et vriant P () =1.Cas de l'quiprobabilit.

Notion d'espace probabilis. Lors du premier semestre, on se restreindra la

tribu P().Formule de Poincar ou du crible pour deux et

trois vnements.

c) Probabilit conditionnelle

Probabilit conditionnelle. Notation PA. PA est une probabilit.(,P(), PA) est un espace probabilis.


13

Formule des probabilits composes. Si P (A) 6= 0, P (A B) = P (A)PA(B). Si P (A1 A2 . . . An1) 6= 0 alors :P

(ni=1

Ai

)= P (A1)PA1 (A2) . . . PA1A2...An1 (An).

Formule des probabilits totales. Si (Ai)iI est un systme complet ni, alors pourtout vnement B on a :

P (B) =iI

P (B Ai).

Formule de Bayes. On donnera de nombreux exemples d'utilisation

de ces formules.

d) Indpendance en probabilit

Indpendance de deux vnements. Si P (A) 6= 0, A et B sont indpendants si etseulement si PA(B) = P (B).On remarquera que la notion d'indpendance

est relative la probabilit.

Indpendance mutuelle de n vnements.Si n vnements A1, ..., An sont mutuellementindpendants, il en est de mme pour les vne-

ments Bi, avec Bi = Ai ou Ai.

2 - Variables alatoires relles

On introduit dans cette section la notion de variable alatoire relle dnie sur un univers ni. Les

variables alatoires sont alors valeurs dans un ensemble ni, ce qui simplie la dmonstration des

formules.

Une variable alatoire relle sur (,P()) estune application de dans R.On adoptera les notations habituelles telles que

[X I], [X = x], [X 6 x], etc.Systme complet associ une variable ala-

toire.

Fonction de rpartition d'une variable alatoire

X.FX(x) = P (X 6 x).

Loi de probabilit d'une variable alatoire relle. La fonction de rpartition caractrise la loi

d'une variable alatoire.

Variable alatoire Y = g(X), o g est dniesur X(). tude de la loi de Y = g(X).On se limitera des cas simples, tels que

g(x) = ax+ b, g(x) = x2, . . .

Esprance d'une variable alatoire. E(X) =

xX()xP (X = x).

Thorme de transfert. E(g(X)) =

xX()g(x)P (X = x). Thorme

admis.

E(aX + b) = aE(X) + b.

Variance et cart-type d'une variable alatoire.

Cas particulier o V (X) = 0.Notations V (X) et (X).

Calcul de la variance.

V (aX + b) = a2V (X).Formule de Koenig-Huygens :

V (X) = E(X2) (E(X))2.Variables centres, centres rduites. Notation X pour la variable alatoire centrerduite associe X.


14

3 - Lois usuelles

Variable alatoire certaine.

Loi de Bernoulli, esprance et variance. Notation X B(p). Variable indicatrice d'unvnement. Notation 1A.

Loi binomiale. Notation X B(n, p).Coecients binomiaux, notation

(n

p

).

Formule du triangle de Pascal.

En lien avec le programme de terminale, le

nombre

(n

p

)sera introduit comme le nombre

de chemins ralisant p succs pour n rptitionsdans un arbre binaire. I

Formules

(n

p

)=

n!

p!(n p)! .(n

p

)=

(n

n p)et

(n

p

)=n

p

(n 1p 1

).

Formule du binme de Newton donnant (a+b)n. Lorsque a et b sont strictement positifs, onpourra faire le lien avec la loi B(n, aa+b). IEsprance et variance d'une variable de loi bi-

nomiale.

Loi uniforme sur [[1, n]], esprance, variance. Application, l'tude de la loi uniforme sur[[a, b]], o (a, b) Z2. Notation X U([[a, b]]).I

4 - Complments de combinatoire

Dnombrement des ensembles suivants :

parties d'un ensemble n lments ; parties p lments d'un ensemble n l-ments ;

p-listes d'un ensemble n lments ; p-listes d'lments distincts d'un ensemble n lments ; permutations d'un ensemble n lments.

On fera le lien entre les parties p lments d'unensemble n lments et le nombre de cheminsd'un arbre ralisant p succs pour n rptitions.On pourra utiliser la reprsentation arbores-

cente d'un ensemble de p-listes dans les pro-blmes de dnombrement.

Enseignement de mathmatiques du second semestre

I - Algbre linaire

L'objectif de ce chapitre est d'approfondir et complter les notions vues au premier semestre.

1 - Espaces vectoriels de dimension nie

Espaces admettant une famille gnratrice nie.

Existence de bases.

Si L est libre et si G est gnratrice, le cardinalde L est infrieur ou gal au cardinal de G.


15

Dimension d'un espace vectoriel. Notation dim(E).

Caractrisation des bases. Dans un espace vectoriel de dimension n, unefamille libre ou gnratrice de cardinal n est unebase.

Rang d'une famille nie de vecteurs.

Thorme de la base incomplte.

Dimension d'un sous-espace vectoriel. Si F est un sous-espace vectoriel de E et sidim(F ) = dim(E), alors F = E.

2 - Complments sur les espaces vectoriels

Somme de deux sous-espaces vectoriels.

Somme directe de deux sous-espaces vectoriels.

Sous-espaces vectoriels supplmentaires.

Somme et somme directe de k sous-espaces vec-toriels.

Tout vecteur de la somme se dcompose de ma-

nire unique.

Existence d'un supplmentaire en dimension -

nie.

Dimension d'une somme de deux sous espaces

vectoriels d'un espace vectoriel de dimension -

nie.

Dimension d'un supplmentaire. Si F et G sont supplmentaires,dim(F ) + dim(G) = dim(E).Caractrisation de E = F G par la dimensionet l'intersection de F et G.Dimension d'une somme directe de k espacesvectoriels.

Base adapte une somme directe.

Concatnation de bases de sous espaces vecto-

riels.

Caractrisation de sommes directes par conca-

tnation des bases.

3 - Applications linaires

a) Cas gnral

Dnition d'une application linaire de E dansF . Espace vectoriel L(E,F ) des applications li-naires d'un espace vectoriel E dans un espacevectoriel F .Compose de deux applications linaires.

Isomorphismes.

Un K-espace vectoriel est de dimension n si etseulement si il est isomorphe Kn.

Endomorphismes, espace vectoriel L(E) des en-domorphismes de E.Puissances d'un endomorphisme.

Noyau et image d'une application linaire.

Projecteurs associs deux espaces supplmen-

taires.

Caractrisation des projecteurs par la relation

p2 = p.

b) Cas de la dimension nie


16

Rang d'une application linaire. Si (e1, . . . , en) est une famille gnratrice deE alors la famille (f(e1), . . . , f(en)) engendreIm(f).Lien entre recherche de l'image et rsolution de

systme. IFormule du rang. Si E et F sont des espaces vectoriels, E tantde dimension nie, et une application linaire ude E dans F ,

dimE = dim(Ker u) + dim(Im u).Application la caractrisation des isomor-

phismes.

Formes linaires et hyperplans.

c) Matrices et applications linaires

Matrice d'une application linaire dans des

bases.

Si BE et BF sont des bases respectives de E etF , notation MatBF ,BE (f).Matrices lignes et formes linaires.

Vecteur colonne des coordonnes dans une base

BE .Interprtation matricielle de l'image d'un vec-

teur par une application linaire.

Lien du produit matriciel avec la composition

des applications linaires.

MatBG,BE (g f) = MatBG,BF (g)MatBF ,BE (f).

Rang d'une matrice. galit des rangs d'une application linaire et

de sa matrice dans des bases.

Une matrice et sa transpose ont mme rang. Rsultat admis.

d) Cas des endomorphismes et des matrices carres

Matrice d'un endomorphisme f de E dansla base B.Notation MatB(f).

Formule du binme pour deux endomorphismes

ou deux matrices carres qui commutent.

Automorphismes. Ensemble GL(E) des auto-morphismes de E.

Matrices inversibles, inverse d'une matrice.

Ensemble GLn(K).Lien avec les isomorphismes et avec GL(E).

Lien entre les isomorphismes de E et les ma-trices inversibles.

On pourra dmontrer que pour le produit ma-

triciel dansMn(K), l'inverse gauche est ga-lement un inverse droite.

Polynme d'endomorphisme, polynme de ma-

trice carre. Polynme annulateur.

Exemples de calcul d'automorphismes rci-

proques, d'inverses de matrices et de puissances

k-me d'une matrice par utilisation d'un poly-nme annulateur.

Toute thorie gnrale sur les polynmes annu-

lateurs est exclue.

II - Complments d'analyse


17

1 - tude asymptotique des suites

Suite ngligeable. Notation un = o(vn).On prsentera nouveau les croissances compa-

res rappeles au premier semestre.

Suites quivalentes. Notation un vn.un vn un = vn + o(vn).Compatibilit de l'quivalence avec le produit,

le quotient et l'lvation une puissance.

2 - Comparaison des fonctions d'une variable au voisinage d'un point

Fonction ngligeable au voisinage de x0. Notation f = o(g).

Fonctions quivalentes au voisinage de x0. Notation f x0g.

f x0g f = g + o(g).Extension au cas x0 = .Compatibilit de l'quivalence avec le produit,

le quotient et l'lvation une puissance.

Comparaison des fonctions exponentielles, puis-

sances et logarithmes au voisinage de l'inni, des

fonctions puissances et logarithmes en 0.

On prsentera nouveau les croissances compa-

res rappeles au premier semestre.

3 - Sries numriques

Srie de terme gnral un.Sommes partielles associes.

On soulignera l'intrt de la srie de terme g-

nral un+1 un pour l'tude de la suite (un).IConvergence d'une srie, somme et reste d'une

srie convergente.

Combinaison linaire de sries convergentes.

Convergence des sries termes positifs dans les

cas un 6 vn et un vn.Rsultat admis.

Dnition de la convergence absolue.

La convergence absolue implique la convergence. On remarquera que toute srie absolument

convergente est la dirence de deux sries

termes positifs convergentes.

Convergence des sries dans le cas un = o(vn) o(vn) est une srie convergente termes positifs.Rsultat admis.

Convergence des sries de Riemann.

Convergence et formules de sommation des s-

ries gomtriques et de leurs deux premires d-

rives.

Srie exponentielle. ex =

+k=0

xk

k!. Ce rsultat pourra tre dmon-

tr l'aide de la formule de Taylor. I


18

4 - Intgrales sur un intervalle quelconque

On vitera toute technicit dans ce chapitre dont l'objectif est d'introduire les outils utiles l'tude des

variables alatoires densit.

Intgration sur un intervalle semi-ouvert.

Convergence de l'intgrale d'une fonction conti-

nue sur [a, b[ ( < a < b 6 +).

On dira que

baf(t) dt converge si

limxb

xaf(t) dt existe et est nie.

On pose alors

baf(t)dt = lim

x7b

xaf(t)dt.

Rgles de calcul sur les intgrales convergentes,

linarit, relation de Chasles, positivit, inga-

lits.

Cas d'une fonction continue, positive sur [a, b[et d'intgrale nulle.

Les techniques de calcul (intgration par par-

ties, changement de variables non ane) seront

pratiques sur des intgrales sur un segment.

Cas des fonctions positives. L'intgrale

baf(t)dt converge si et seulement si

x 7 xaf(t)dt est majore sur [a, b[.

Thormes de convergence pour f et g positivesau voisinage de b, dans les cas o f 6 g et f

bg.Thormes admis.

Dnition de la convergence absolue.

La convergence absolue implique la convergence. On remarquera que toute fonction continue est

la dirence de deux fonctions continues posi-

tives.

Thormes de convergence dans le cas f = o(g)avec g positive au voisinage de b.Thorme admis.

Extension des notions prcdentes aux int-

grales sur un intervalle quelconque.

Brve extension aux fonctions dnies et conti-

nues sur ]a1, a2[]a2, a3[ ]ap1, ap[.

Convergence des intgrales

+1

dt

t, b

a

dt

(t a) et +

0etdt.

5 - Drives successives

Fonction p fois drivable en un point. Notation f (p).

Fonctions de classe Cp, de classe C sur unintervalle. Oprations algbriques, formule de

Leibniz. Thorme de composition.

La drive (n+ 1)-me d'un polynme de degrau plus n est nulle.

6 - Formules de Taylor

Formule de Taylor avec reste intgral.

Ingalit de Taylor-Lagrange.

Ces formules seront donnes l'ordre n pourune fonction de classe Cn+1.


19

Application la caractrisation de la multipli-

cit d'une racine a d'un polynme P de R[X]par l'tude des drives P (k)(a).

7 - Dveloppements limits

L'tude des dveloppements limits ne constitue pas une n en soi et l'on se gardera de tout excs de

technicit dans ce domaine. La composition des dveloppements limits n'est pas au programme. On

se limitera, en pratique, des dveloppements limits au voisinage de 0.

Dnition d'un dveloppement limit. On fera le lien entre un dveloppement limit

l'ordre 1 et la valeur de la drive.

On pourra introduire et manipuler la notation

xn(x) avant l'utilisation ventuelle de la nota-tion o(xn).

Somme et produit de dveloppements limits.

Formule de Taylor-Young l'ordre n pour unefonction de classe Cn.Rsultat admis.

Application de la formule de Taylor-Young au

dveloppement limit de fonctions usuelles (ex-

ponentielle, logarithme, x 7 (1 + x) , sinus etcosinus).

8 - Extremum

Pour prparer l'introduction des notions de topologie du programme de deuxime anne, on insistera

sur la dirence entre la recherche d'extremum sur un segment et la recherche d'extremum sur un

intervalle ouvert.

Toute fonction continue sur un segment admet

des extrema globaux sur ce segment.

Dans le cas d'une fonction de classe C1 : condi-tion ncessaire d'existence d'un extremum local

sur un intervalle ouvert.

Dnition d'un point critique.

On pourra montrer que le rsultat tombe en d-

faut lorsque l'intervalle de dnition n'est pas

ouvert.

Condition susante d'existence d'un extremum

local en un point critique pour une fonction de

classe C2 sur un intervalle ouvert.

Ce rsultat sera dmontr grce au dveloppe-

ment limit l'ordre 2.

9 - Fonctions convexes

Tous les rsultats de cette section seront admis.

Dnition des fonctions convexes, fonctions

concaves.

Point d'inexion.

Une fonction est convexe sur un intervalle I si(x1, x2) I2, (t1, t2) [0, 1]2 tels que t1+t2 =1,

f(t1x1 + t2x2) 6 t1f(x1) + t2f(x2).Interprtation gomtrique. IGnralisation de l'ingalit de convexit.


20

Caractrisation des fonctions convexes de classe

C1.Les tudiants devront savoir que si f est declasse C1, alors f est convexe si et seulementsi l'une des deux propositions est vrie :

f est croissante ; Cf est au-dessus des tangentes.Caractrisation des fonctions convexes et

concaves de classe C2.

III - Probabilits sur un univers quelconque

Dans ce second temps de l'tude des probabilits, le vocabulaire gnral est adopt et complt (en par-

ticulier le vocabulaire espace probabilis et la notation (,A, P ) ), mais aucune dicult thoriquene sera souleve sur ce cadre. L'tude des variables alatoires et notamment celles des lois usuelles se

fera en lien troit avec la partie informatique du programme. I

1 - Espace probabilis

Tribu d'vnements ou -algbre d'vnements.Gnralisation de la notion de systme com-

plet d'vnements une famille dnombrable

d'vnements deux deux incompatibles et de

runion gale .

Notation A.On pourra donner quelques exemples signica-

tifs d'vnements de la forme :

A =+n=0

An et A =+n=0

An.

On fera le lien avec le cas des univers nis en

expliquant que P() est une tribu.On pourra introduire direntes tribus sur

{1, 2, 3, 4, 5, 6} et montrer que le choix de latribu dpend de l'exprience que l'on cherche

modliser.

Une probabilit est une application P dnie surla tribu A valeurs dans [0, 1], -additive telleque P () = 1.

Tribu engendre par un systme complet d'v-

nements.

Existence admise.

Notion d'espace probabilis.

Proprits vraies presque srement. vnement

ngligeable, vnement presque sr.

Notation (,A, P ).

Thorme de la limite monotone. Pour toute suite croissante (An) d'vne-ments,

P

(+n=0

An

)= lim

n+P (An).

Pour toute suite dcroissante (An) d'vne-ments,

P

(+n=0

An

)= lim

n+P (An).


21

Consquences du thorme de la limite mono-

tone.

Pour toute suite (An) d'vnements,

P(

+n=0

An

)= lim

n+P

(nk=0

Ak

).

P(

+n=0

An

)= lim

n+P

(nk=0

Ak

).

Les dmonstrations de ces formules ne sont pas

exigibles.

On pourra donner comme exemple d'vnement

ngligeable la ralisation d'une suite innie de

pile lors d'un jeu de pile ou face.

Gnralisation de la notion de probabilit condi-

tionnelle.

Si A vrie P (A) 6= 0, alors (,A, PA) est unespace probabilis.

Gnralisation de la formule des probabilits

composes.

Gnralisation de la formule des probabilits to-

tales.

Indpendance mutuelle d'une suite innie d'v-

nements.

2 - Gnralits sur les variables alatoires relles

Dnition. Une variable alatoire relle sur (,A) est uneapplication de dans R telle que, pour toutrel x, { | X() 6 x} est dans la tribu A.On adoptera les notations habituelles [X I],[X = x], [X 6 x], etc.On pourra, l'aide d'exemples, illustrer com-

ment obtenir des vnements du type [X = x]ou [a 6 X < b] partir d'vnements du type[X 6 x].Fonction de rpartion d'une variable relle.

Proprits.

x R, FX(x) = P (X 6 x).FX est croissante et continue droite en toutpoint, limFX = 0, lim+FX = 1.

Loi d'une variable alatoire. La fonction de rpartition caractrise la loi

d'une variable alatoire. Rsultat admis.

3 - Variables alatoires relles discrtes

On commencera cette section en expliquant comment les rsultats vus prcdemment se prolongent

dans le cadre gnral et l'on insistera sur les problmes de convergence de sries que l'on rencontre lors

de l'tude de variables alatoires innies.

Dnition d'une variable alatoire relle discrte

dnie sur (,A).L'ensemble des valeurs prises par ces variables

alatoires sera index par une partie nie ou in-

nie de N ou Z.Caractrisation de la loi d'une variable alatoire

discrte par la donne des valeurs P (X = x)pour x X().


22

Tribu engendre par une variable alatoire dis-

crte.

La tribu AX des vnements lis X est latribu engendre par le systme complet ([X =x])xX(). Cette tribu est aussi appele tribu en-gendre par la variable alatoire X et constituel'information apporte par X.

Variable alatoire Y = g(X), o g est dniesur l'ensemble des valeurs prises par la variable

alatoire X. tude de la loi de Y = g(X).

Esprance d'une variable alatoire. Quand X() est inni, X admet une esprance

si et seulement si la srie

xX()

xP (X = x) est

absolument convergente.

Thorme de transfert. Quand X() est inni, g(X) admetune esprance si et seulement si la s-

rie

xX()

g(x)P (X = x) est absolu-

ment convergente, et alors E(g(X)) =xX()

g(x)P (X = x). Thorme admis.

E(aX + b) = aE(X) + b.

Moment d'ordre r (r N). Notation mr(X) = E(Xr).Variance et cart-type d'une variable alatoire

discrte.

Notations V (X) et (X).

Calcul de la variance.

V (aX + b) = a2V (X).Formule de Koenig-Huygens :

V (X) = E(X2) (E(X))2.Cas particulier o V (X) = 0.

Variables centres, centres rduites. Notation X pour la variable alatoire centrerduite associe X.

4 - Lois de variables discrtes usuelles

Lois discrtes usuelles valeurs dans un en-

semble ni sur l'espace probabilis (,A, P ).On gnralisera les lois B(p), B(n, p) et U([[a, b]])vues lors du premier semestre. ILoi gomtrique (rang d'apparition d'un pre-

mier succs dans un processus de Bernoulli sans

mmoire).

Esprance et variance.

Notation X G(p). ISi X G(p), pour tout nombre entier naturelnon nul k,

P (X = k) = p(1 p)k1.Loi de Poisson : dnition, esprance, variance. Notation X P(). I

5 - Introduction aux variables alatoires densit

Dnition d'une variable alatoire densit. On dit qu'une variable alatoire X est densitsi sa fonction de rpartition FX est continue surR et de classe C1 sur R ventuellement privd'un ensemble ni de points.

Toute fonction fX valeurs positives, qui ven-tuellement ne dire de F X qu'en un nombreni de points, est une densit de X.

Pour tout x de R, FX(x) =

x

fX(t)dt.


23

Caractrisation de la loi d'une variable alatoire

densit par la donne d'une densit fX .

Toute fonction f positive, continue sur R ven-tuellement priv d'un nombre ni de points, et

telle que

+

f(t)dt = 1 est la densit d'une

variable alatoire.

Rsultat admis.

Transformation ane d'une variable densit. Les tudiants devront savoir calculer la fonction

de rpartition et la densit de aX + b (a 6= 0).Esprance d'une variable densit.

Variables alatoires centres.

Une variable alatoire X de densit fX admetune esprance E(X) si et seulement si l'int-

grale

+

xfX(x)dx est absolument conver-

gente ; dans ce cas, E(X) est gale cette in-tgrale.

Exemples de variables alatoires n'admettant

pas d'esprance.

E(aX + b) = aE(X) + b.

6 - Lois de variables densit usuelles

Loi uniforme sur un intervalle. Esprance. Notation X U [a, b]. IX U [0, 1] Y = a+ (b a)X U [a, b].Loi exponentielle. Caractrisation par l'absence

de mmoire. Esprance.

Notation X E(). IX E(1) Y = 1

X E() ( > 0).Loi normale centre rduite, loi normale (ou de

Laplace-Gauss). Esprance.

Notation X N (, 2). IX N (, 2) X = X

N (0, 1) avec > 0.On attend des tudiants qu'ils sachent reprsen-

ter graphiquement les fonctions densits des lois

normales et utiliser la fonction de rpartition de la loi normale centre rduite.

7 - Convergences et approximations

a) Convergence en probabilit

Ingalits de Markov et de Bienaym-

Tchebychev pour les variables alatoires

discrtes.

Si X est une variable alatoire positive admet-tant une esprance, alors pour tout > 0 :

P (X > ) 6 E(X).

Pour toute variable X admettant esprance etvariance, pour tout > 0 :

P (|X E(X)| > ) 6 V (X)2.


24

Convergence en probabilit : si (Xn) et X sontdes variables alatoires dnies sur (,A, P ),(Xn) converge en probabilit vers X si, pourtout > 0, lim

nP ([|Xn X| > ]) = 0.

Notation XnP X.

Loi faible des grands nombres pour la loi bino-

miale.

Si (Xn) est une suite de variables alatoires tellequeXn B(n, p), alors ( 1nXn) converge en pro-babilit vers p. ILa loi faible des grands nombres permet une jus-

tication partielle, a posteriori, de la notion de

probabilit d'un vnement, introduite intuiti-

vement.

b) Convergence en loi

Dnition de la convergence en loi d'une suite

(Xn)nN de variables alatoires vers X.Notation Xn

L X.

Cas o les Xn et X sont valeurs dans N.

Si (npn) tend vers un rel strictement positif ,convergence d'une suite de variables alatoires

suivant la loi binomiale B(n, pn) vers une va-riable suivant la loi de Poisson de paramtre .

Thorme limite central pour la loi binomiale et

pour la loi de Poisson.

Si (Xn) est une suite de variables ala-toires telle que Xn B(n, p) (respectivementXn P(n)), alors la suite de variables ala-toires centres rduites (Xn) converge en loi versune variable alatoire suivant la loi normale cen-

tre rduite. Thorme admis. I


25

Enseignement annuel d'informatique et algorithmique

I - lments d'informatique et d'algorithmique

L'objectif est d'initier les tudiants l'algorithmique et l'utilisation de l'informatique en mathma-

tiques au travers de thmes emprunts au programme pour comprendre, illustrer et clairer les notions

introduites. Ds qu'un calcul numrique est envisag, ds qu'un problme incite tester exprimenta-

lement un rsultat, ds qu'une situation alatoire peut tre modlise avec des outils informatiques, le

recours des algorithmes et des logiciels devra devenir naturel.

Le logiciel retenu pour la programmation dans ce programme des classes conomiques et commerciales

est Scilab.

L'utilisation du logiciel se fait en continuit avec le cours de mathmatiques et sera suivi d'une mise

en uvre sur ordinateur. Seules les notions de Scilab indiques dans le programme sont exigibles.

1 - L'environnement logiciel

a) Constantes prdnies. Cration de variables par aectation.

%pi %e

Aectation : nom = expression

L'expression peut tre du type numrique, ma-

tricielle ou du type chane de caractres.

Approximations de pi et e.// permet de commenter une commande.

b) Constructions de vecteurs et de matrices numriques.

Vecteurs lignes : [ , ,..., ]

Vecteurs colonnes : [ ; ;...; ]

Matrices n p : [ ,..., ;...; ,..., ]

c) Oprations lmentaires

Oprations arithmtiques :

+ - * /

Comparaisons - tests :

== > < >=

Fonctions rand La fonction grand pourra tre utilise avec les

paramtres correspondant aux lois de probabi-

lit prsentes dans le programme.

Fonctions matricielles : rank(A), inv(A), A' Extraction ou modication d'un lment, d'une

ligne ou d'une colonne d'une matrice.

On pourra utiliser les fonctions size(A), find

dans le cadre de simulations.

Pratique des oprations et des fonctions matri-

cielles dans des situations concrtes.

2 - Graphisme en deux dimensions

Courbes reprsentatives de fonctions usuelles,

de densits et de fonctions de rpartition.

Trac d'histogrammes.

On pourra utiliser les fonctions plot, plot2d,

bar, histplot, la fonction linspace(a,b,n)

et les oprations ./ , .* , .

3 - Programmation d'algorithmes et de fonctions

Les structures suivantes seront utilises :

Structure conditionnelle :

if ...then ...end

if ...then ...else ...end

Structures rptitives :

for k=...: :...end

while ...then ...end

Exemples : n!,

(n

p

).

Fonctions - arguments - retour de rsultats.

Fonction d'entre des donnes input()

Fonction de sortie de rsultat(s) disp()

Saisie au clavier - message indicatif possible.

Achage du contenu d'une variable l'cran

avec commentaire ventuel.

II - Liste de savoir-faire exigibles en premire anne

Calcul des termes d'une suite. Exploitation graphique des rsultats.

Calculs de valeurs approches de la limite d'une

suite ou de la somme d'une srie.

On utilisera des structures rptitives et condi-

tionnelles en exploitant l'tude mathmatique.

La dtermination du rang d'arrt du calcul r-

sultera directement de l'tude mathmatique ou

d'un algorithme qui en dcoule.

Calcul approch de la racine d'une quation du

type f(x) = 0.On utilisera direntes mthodes dont certaines

rsulteront d'une tude mathmatique (suites

rcurrentes, encadrements, dichotomie).

Calcul des valeurs approches d'une intgrale

par la mthode des rectangles.

Application au calcul de la fonction de rparti-

tion d'une variable alatoire suivant la loi nor-

male centre rduite.

Utilisation de la fonction rand pour simuler des

expriences alatoires lmentaires conduisant

une loi usuelle.

Loi binomiale, loi gomtrique.


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Simulation de phnomnes alatoires. Utilisation de la fonction grand

On pourra utiliser une simulation pour com-

parer exprimentalement une loi B(n, n

) (n

grand) avec la loi de Poisson.

On pourra utiliser une simulation pour compa-

rer exprimentalement une loi binomiale avec

une loi normale.

Rsolution de systmes AX = B.


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Maths_ECS1_misenforme.pdfIntroduction Objectifs gnraux de la formation Comptences dveloppes Architecture des programmes

Enseignement de mathmatiques du premier semestreI - Raisonnement et vocabulaire ensembliste1 - lments de logique2 - Raisonnement par rcurrence et calcul de sommes et de produits3 - Ensembles, applicationsa) Ensembles, parties d'un ensembleb) Applications

II - Nombres complexes et polynmes1 - Nombres complexes2 - Polynmes

III - Algbre linaire1 - Calcul matriciela) Matrices rectangulairesb) Cas des matrices carres

2 - Systmes linaires3 - Introduction aux espaces vectoriels et sous-espaces vectoriels

IV - Suites de nombres rels1 - Vocabulaire sur l'ensemble R des nombres rels2 - Exemples de suites relles3 - Convergence des suites relles - Thormes fondamentaux

V - Fonctions relles d'une variable relle1 - Limite et continuit d'une fonction d'une variable en un point2 - tude globale des fonctions d'une variable sur un intervalle3 - Drivation4 - Intgration sur un segment

VI - Probabilits sur un univers fini1 - Gnralitsa) Observation d'une exprience alatoire - vnementsb) Probabilitc) Probabilit conditionnelled) Indpendance en probabilit

2 - Variables alatoires relles3 - Lois usuelles4 - Complments de combinatoire

Enseignement de mathmatiques du second semestreI - Algbre linaire1 - Espaces vectoriels de dimension finie2 - Complments sur les espaces vectoriels3 - Applications linairesa) Cas gnralb) Cas de la dimension finiec) Matrices et applications linairesd) Cas des endomorphismes et des matrices carres

II - Complments d'analyse1 - tude asymptotique des suites2 - Comparaison des fonctions d'une variable au voisinage d'un point3 - Sries numriques4 - Intgrales sur un intervalle quelconque5 - Drives successives6 - Formules de Taylor7 - Dveloppements limits8 - Extremum9 - Fonctions convexes

III - Probabilits sur un univers quelconque1 - Espace probabilis2 - Gnralits sur les variables alatoires relles3 - Variables alatoires relles discrtes4 - Lois de variables discrtes usuelles5 - Introduction aux variables alatoires densit6 - Lois de variables densit usuelles7 - Convergences et approximationsa) Convergence en probabilitb) Convergence en loi

Enseignement annuel d'informatique et algorithmiqueI - lments d'informatique et d'algorithmique1 - L'environnement logiciela) Constantes prdfinies. Cration de variables par affectation. b) Constructions de vecteurs et de matrices numriques.c) Oprations lmentairesd) Fonctions usuelles prdfinies

2 - Graphisme en deux dimensions3 - Programmation d'algorithmes et de fonctions

II - Liste de savoir-faire exigibles en premire anne

Documents

Programme Maths ECS 1ère Année