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PROJET D'APPLICATION PRÉSENTÉ A L'ÉCOLE DE TECHNOLOGIE SUPÉRIEURE
COMME EXIGENCE PARTIELLE À L'OBTENTION DE LA
MAÎTRISE EN TECHNOLOGIE DES SYSTÈMES M.ING.
PAR MOUSSA ABDOUNE
OPTIMISATION DE LA LOI DE COMMANDE ET ECHELONNEMENT DES GAMS D'UN AVION EN TANGAGE
MoNTRÉAL, NOVEMBRE 1999
C3droits réservés de Moussa Abdoune 1999
National Litirary l*i of Canada Bibliothéque nationale du Canada
Acquisitions and Acquisilions et Bibliographie Services setvices bibliographiques 395 Wellington Street 385, me WelhgtOn Onawa ON K I A ON4 Oitawa ON K I A ON4 Canada CaMde
The author has granted a non- exclusive licence allowing the National Library of Canada to reproduce, loan, distribute or sel1 copies of ths thesis in microform, paper or electronic formats.
L'auteur a accordé une licence non exclusive permettant à la Bibliothèque nationale du Canada de reproduire, prêter, distribuer ou vendre des copies de cette thèse sous la forme de microfiche/fïh, de reproduction sur papier ou sur format électronique.
The author retains ownership of the L'auteur conserve la propriété du copyright in this thesis. Neither the droit d'auteur qui protège cette thèse. thesis nor substantial extracts fkom it Ni la thèse ni des extraits substantiels may be printed or otherwise de celle-ci ne doivent être imprimes reproduced without the author's ou autrement reproduits sans son permission. autorisation.
CE PROJET D'APPLICATION A ÉTÉ EVALUÉ
PAR UN JURY COMPOSE DE:
M. Maarouf Saad , professeur-tuteur et professeur au Département de génie électrique A ItEcole de technologie supérieure
Mme Rwrandra Botez , professeur-cotuteur et professeur au Département de ghie de la production automatisée à l'École de technologie supérieure
Mme Ouassirna Akhrif, professeur au Département de génie électrique ii école de technologie supdrieure
M. Pascal Bigras, professeur au Département de génie de la production automatisé A l'École de technologie supérieure
IL A FAIT L'OBJET D'UNE P&SENTATION DEVANT CE JURY ET UN PUBLIC
LE 16 SEPTEMBRE 1999
A L'ÉCOLE DE TECHNOLOGIE SUPERIEURE
OPTIMISATION DE LA LOI DE COMMANDE ET ÉCHELONNEMENT DES GAINS D'UN AVION EN TANGAGE
Moussa Abdoune
(Sommaire)
Le design, l'intégration et le développement des systèmes de commande aéronautiques pour les avions modernes présentent une tache multidisciplinaire importante et ua facteur significatif dans le temps et le coût du développement. La compréhension des spécifications telles que celles de la norme MIL-STD-1797A, les caractéristiques générales du système de commande en tangage d'un avion, les techniques d'évaluation dans les domaines temporel et frëquenciel sont appliquées pour atteindre les performances de contrôle et les qualités de rnanauvrabilité désirées. La détermination des gains dans le processus du design du système de commande nécessite des modèIes de simulations d'ordres élevés et des techniques de calcul automatisées.
Le projet ci - présenté consiste en une problème de détermination des gains du contrôleur d'un avion en mouvement de tangage et en un échelonnement sur toute l'enveloppe de vol. L'analyse du systeme de commande, les spécifications du design, les méthodes d'optimisation et la fonction objective multicritère utilisée pour la mise en relief des paramètres de design choisis sont présentées en premier. Des améliorations ont été portées sur les techniques de solution et plus particulièrement au niveau de la combinaison des fonctions d'évaluation. Un modèle de fonction objective est réalisé pour l'échelonnement des gains sur toute l'enveloppe de vol pour un ensemble de points de vol à la fois pour remplacer la méthode du point par point.
Dans toutes les méthodes d'optimisation utilisées, on choisit les gains initiaux par estimation pour un (ou un ensemble de points) point de vol, les options qui sont associées à chaque méthode et les qualités de mamuvrabilité ou les spécifications du système de commande en leur assignant une pondération appropriée. Les gains obtenus, les performances atteintes par le système de commande en tangage de l'avion pour un point de vol donné ainsi que le nombre d'itérations et le temps alloué par la CPU sont donnés comme résultats finaux sous forme de tableaux.
Les recommandations les plus importantes sont reliées à une étude plus approfondie sur le compromis entre choisir une fonction d'évaluation ou une contrainte pour un critère de performance donné ainsi que l'utilisation des méthodes d'optimisation sans évaluation du gradient autre que celle de Nelder-Mead.
REMERCIEMENTS
Le travail réalisé entre daas le cadre de la technologie de commande active (ACT)
proposé par Bombardier Aéronautique. Cette dernière, voulant élargir ses outils dans la
commande optimale et dans l'échelonnement des gains sur l'enveloppe de vol, ce sujet
lui est d'une importance capitale dans la mesure où une étude comparative par rapport à
ce qui se fait au sein de son ddpartement est mise en relief.
Je remercie mes directeurs de recherche Monsieur Maarouf Saad et Mme Ruxandra
Botez pour leurs disponibilités et leurs aides précieuses. Je tiens aussi à remercier Mme
Ouassima Akhrif pour l'encouragement et l'intérêt qu'elle a porté aux travaux réalisés.
Je tiens à exprimer toute ma gratitude et mes remerciements à toute l'équipe de
Bombardier Aéronautique et particulièrement A Monsieur Fraser Macmillen sans qui ce
travail n'aurait pas vu le jour.
Page
............................................................................................................ REMERCIEMENTS i
LISTE DES TABLEAUX ................................................................................................... v .. ..................................................................................................... LISTE DES FIGURES v 11
.................................................................... LISTES DES ABRÉVIATIONS ET SIGLES x
iNTR.ODUCTION ........................... .. .............................................................................. 1
CHAPITRE 1-LA DYNAMIQUE LONGITUDINALE D'UN AVION ........................... 5
1 . 1 Introduction ............................................................................................................ 5
.................................... 1.2 Le sens des vitesses dans un système d'axes en mouvement 5
........................................................... 1.3 Développement des équations de mouvement 6
........................ 1.4 Le mouvement de l'avion par rapport A la terre .. ....... .. . 11
........................................ 1.5 Linearisation et séparation des équations du mouvement 13
................................................... .............. 1.6 Mouvement longitudinal d'un avion .. 13
............................................................ 1.7 tes équations du mouvement longitudinal 14
................................................................. 1.8 La solution des équations longitudinales 21
................ CHAPITRE 2-LES Q U A L ~ S DE MANOEIIVRABILITÉ D'UN AVION 22
2.1 introduction .............................................................................................................. 22
2.2 Définitions ................................................................................................................ 23
2.3 Les exigences sur les qualités de vols civil et militaire ......................................... 25
2.4 La norme MIL-STD-1797A ................................................................................. 27
.......... 2.5 Le système de commande et les qualités de manœuvrabilité longitudinales 28
2.5.1 La bande passante et le retard de phase ........................................................... 29
2.5.2 Le dropback .................... .. ........................................................................ 31
2.5.3 Les amortissements de périodes courte et longue ............................................ 32
CHAPITRE 3-L'OPTIMISATION EN COMMANDE DE VOL .................................... 33
3.1 Introduction .............................................................................................................. 33
3.2 Les fonctions objectives, les fonctions d'évaluation et les contraintes ................... 34
3.3 Les algorithmes d'optimisation utilisés .................................................................. 39
3.3.1 Les algorithmes de MATLAB ......................................................................... 39
3.3.2 Les méthodes sans contraintes ........................................................................ 40
3.3.2.1 L'algorithme Quasi-Newton .................................................................... 40
........................................... 3.3 2.2 La méthode du simplexe de Nelder-Mead 4 1
3.3.3 Les méthodes avec contraintes ......................................................................... 43
3.3.4 Les systèmes d'équations non linéaires ct . . . les moindres carrés non Ilneaires ..................................................................... 44
3.3.4.1 Les systèmes d'équations non linéaires .................................................. 44 3.3 .4.2 Les moindres carrés non linéaires ............................................................ 44
CHAPITRE 4- IMPLATATION DU PROBLEME D'OPTIMISATION ........................ 46
4.1 Introduction ............................................................................................................. 46
4.2 Les fonctions objectives, les fonctions d'évaluation et les contraintes .................... 47
4.3 Comparaison des méthodes d'optimisation ............................................................. 53 4.3.1 La méthode du simplexe de Nelder-Mead @im) ............................................ 55
4.3.2 La méthode Quasi-Newton (fiminu) ................................................................... 60
4.3.3 La méthode Gauss-NewtodLevenberg Marquardt (fmlve) .............................. 66
4.3.4 La méthode Gauss-Newtonkevenberg (leasfsq) .............................................. 69
4.3.5 La méthode de programmation quadratique séquentielle (constr) .................... 71
4.3.6 La méthode de progrmation quadratique séquentielle (minimm) ................... 73
.................. 4.3.7 La méthode de programmation quadratique séquentielle (attgoai) 75
4.4 La comparaison des méthodes avec contraintes de MATLAB et de MATRnur .... 78
CHAPITRE 5- ÉCHELONNEMENT DES GAINS SUR L'ENVELOPPE DE VOL ..... 80
............................................................................................................. 5.1 Introduction 80
.............................................................................. 5.2 Le positionnement du problème 81
............................................................................................................ 5.3 Le modèle 83
................................................................................................ 5.4 Les résultats obtenus 83
CONCLUSION ................................................................................................................. 88
RECOMMANDATIONS ................................................................................................. 93
BIBLIOGRAPHIE ............................................................................................................ 94
ANNEXES
.................................................. A : Schéma bloc du contrôleur d'un avion en tangage 96
............................... B : Résultats de l'échelonnement des gains sans le dépassement 9 8
................................ C : Résultats de l'écheiomement des gains avec le dépassement 117
D : Résultats de l'échelonnement des gains pour les deux groupes
....................................................................................................... de 60points de vol 136
LISTE DES TABEAUX
Page
1.1 Résumé de la nomenclature utilisée ........................................................................... 11
1.2 Définitions des dérivées de stabilité Longitudinales ................................................. 20
2.1 Grille d'évaluation de Cooper-Harper ....................................................................... 25
2.2 Le cahier de charge pour la commande en tangage .................................................... 30
4.1 Les estimations initiales pour les points de vol (points 39 et 50) ............................ 53
4.2 Les gains et les crithres de performance attendus par l'optimisation ........................ 54
4.3 Les résultats obtenus par fmins en utilisant la combinaison linéaire
des fonctions d'évaluation ........................ .. ......................................................... 56
4.4 Les résultats obtenus parfmins en utilisant la programmation multiniveaux
des fonctions d'évaluation ...................................................................................... 58
4.5 Les résultats obtenus parfinins en utilisant la combinaison linéaire
de la moyenne et de l'écart type des fonctions d'évaluation .................................... 59
4.6 Les résultats obtenus parfkinu en utilisant la combinaison
....................................................................................................... du paragraphe (a) 61
4.7 Les résultats obtenus parfiinu en utikisant [a combinaison
du paragraphe (b) ...................................... .. .............................................................. 64
4.8 Les résultats obtenus par fminu en utilisant la combinaison
du paragraphe (b 1) ..................................................................................................... 65
4.9 Les résultats obtenus parfsolve en utilisant la combinaison linéaire
des fonctions d'évaluation et la méthode de
Levenberg-Marquardt avec la recherche en ligne ................................................. 68
4.10 Les résultats obtenus par Ieasrsq par la méthode de Levenberg-Marquardt
.......................... en utilisant la combinaison linéaire des fonctions d'évaluation 70
4.1 1 Les résultats obtenus par constr avec la recherche en ligne
en utilisant la combinaison linéaire des fonctions d'évaluation .......................... 72
4.12 Les résultats obtenus par minima avec la recherche en ligne
en utilisant la combinaison linéaire des fonctions d'évaluation .......................... 74
4.13 Les résultats obtenus par attgoal avec la recherche en ligne
en utilisant la combinaison linéaire des fonctions d'évaluation ........................... 77
4.14 Les résultats de la comparaison des méthodes avec contraintes
........................................................................... de MATLAB et de MATRIXx. 79
5.1 Les coefficients des polynômes 5.1 après la première optimisation,
sans tenir compte du dépassement. ...................................................................... 85
5.2 Les coefficients des polynômes 5.1 après la première optimisation,
en tenant compte du dépassement ....................................................................... 86
5.3 Les coefficients des polynômes 5.1 pour 2 groupes de points de vot,
en tenant compte du dépassement ....................................................................... 87
LISTE DES FIGURES
Page
1.1 Les axes solidaires à l'avion par rapport à la terre ..................................................... 12
............................................ 2.1 Schéma bloc de la commande de l'avion en tangage 2 9
....................... 2.2 Les définitions de la bande passante (BR') et du retard de phase (Aq) 31
2.3 La définition du Dropback ......................................................................................... 32
4.1 La fonction d'évaluation qui représente le dropback ................................................. 48
4.2 La fonction d'évaluation qui représente la bande passante ....................................... 49
4.3 La fonction d'évaluation qui représente le retard de phase ....................................... 50
.......................................... 4.4 La fonction d'évaluation qui représente l'amortissement 51
4.5 La réponse temporelle de la vitesse angulaire en tangage a un
échelon unitaire pour les points 39 et 50 .................................................................. 55
4.6 La réponse indicielle de la vitesse angulaire en tangage pour
les points 39 et 50 trouvés avec fmins et la combinaison
...................................................................................................... du paragraphe (a) 57
4.7 La réponse temporelle de la vitesse angulaire en tangage à un échelon unitaire
pour le point 39 et pour les solutions trouvées avec fminu avec la combinaison
..................................................................................................... du paragraphe (a) 6 2
4.8 Réponse temporelle de la vitesse angulaire de tangage pour la solution
trouvée avec fiolve (Levenberg-Marquardt) ............................................................ 67
4.9 Réponse temporelle pou le point 50 pour les résultats
trouvés par attgoal ..................................................................................................... 76
Al Schéma bloc du contrôleur d'avion en tangage .................................................... 97
BI Le coût des points de vol de 39 à 58 ................................ ... ................................. 99
viii
B2 Les courbes des gains en fonction de la pression dynamique pour
les points de vol de 39 à 58 ................................................................................ 100 B3 Les performances pour chacun des points de vol de 39 à 58 ................................ 101 84 Le coùt des points de vol de 59 à 78 ................................................................. 102
B5 Les courbes des gains en Fonction de la pression dynamique pour
les points de vol de 59 à 78 ................................................................................ 103 B6 Les performances pour chacun des points de vol de 59 à 78 ................................. 104
87 Le coût des points de vol de 79 à 98 ...................................................................... 105 B8 Les courbes des gains en fonction de la pression dynamique pour
les points de vol de 79 à 98 ............................................................................. 106 B9 Les performances pour chacun des points de vol de 79 à 98 ................................. 107 B 10 Le coût des points de vol de 99 à 1 18 .................................................................. 108 B 1 1 Les courbes des gains en fonction de la pression dynamique pour
les points de vol de 99 à 1 18 .............................................................................. 109 B 12 Les performances pour chacun des points de vol de 99 à I 1 8 .............................. 110 B13 Le coût des points devolde 119à 138 .................................................................. 1 1 1 B 14 Les courbes des gains en fonction de la pression dynamique pour
les points de vol de 119 à 138 ............................................................................ 112 B 15 Les performances pour chacun des points de vol de 1 19 à 138 ............................. 113 B 16 Le coût des points de vol de 139 à 158 .................................................................. 114 B 17 Les courbes des gains en fonction de la pression dynamique pour
les points de vol de 139 à 158 ........................................................................... 115 B 18 Les performances pour chacun des points de vol de 139 à 158 ............................. 116 C 1 Le coût des points de vol de 39 à 58 .................................................................... 118
C2 Les courbes des gains en fonction de la pression dynamique pour
les points de vot de 39 à 58 ................................................................................ 119 C3 Les performances pour chacun des points de vol de 39 à 58 ................................. 120 C4 Le coùt des points de vol de 59 a 78 .................................................................... 121
CS Les courbes des gains en fonction de la pression dynamique pour
les points de vol de 59 à 78 ................................................................................ 122
C6 Les performances pour chacun des points de vol de 59 à 78 ................................. 123
C7 Le coût des points de vol de 79 à 98 ...................................................................... 124
C8 Les courbes des gains en fonction de la pression dynamique pour
les points de vol de 79 à 98 ................................................................................ 125
C9 Les performances pour chacun des points de vol de 79 à 98 ................................. 126
C 10 Le coût des points de vol de 99 à 1 18 .................................................................... 127
C 1 1 Les courbes des gains en fonction de la pression dynamique pour
les points de vol de 99 à 1 18 ............................................................................... 128
Cl2 Les performances pour chacun des points de vol de 99 a 118 ............................... 129
C 13 Le coût des points de vol de 1 19 à 138 .................................................................. 130
C l 4 Les courbes des gains en fonction de la pression dynamique pour
les points de vol de 119 à 138 ............................................................................ 131
C 15 Les performances pour chacun des points de vol de 1 19 a 138 ............................ 132
C l 6 Le coût des points de vol de 139 à 158 .................................................................. 133
C 17 Les courbes des gains en fonction de la pression dynamique pour
les points de vol de 139 à 158 ............................................................................. 134
C 1 8 Les performances pour chacun des points de vol de 139 à 158 ............................. 135
D 1 Les coûts des premiers 6Opoints de vol ................................................................. 137
D2 Les courbes des gains en fonction de la pression dynamique des
................................................................................. premiers 60 points de vol 138
D3 Les performances pour les premiers 60 points de vol ............................ .. ......... 139
D4 Les coûts des deuxièmes 60 points de vol .......................................................... 140
D5 Les courbes des gains en fonction de la pression dynamique des
deu.xièmes 60 points de vol ............................................................................. 141
D6 Les performances pour les deuxièmes 60 points de vol ......................................... 142
LISTE DES ABRÉVIATIONS ET DES SIGLES
Vitesse longitudinale de l'avion (Roulis)
Vitesse latérale de l'avion (Tangage)
Vitesse verticale de I'avion (Lacet)
Vecteur vitesse de l'avion
Quantité de mouvement angulaire de l'avion
Masse de I'avion
Moment de tangage
Vecteur unitaire pour Vt
Vitesse angulaire de I'avion (Roulis)
Vitesse angulaire de l'avion (Tangage)
Vitesse angulaire de l'avion (Lacet)
Vitesse angulaire de I'avion
1 , 1 1 et J Moment d'inertie
L Moment de roulis
N Moment de lacet
8 Angle de tangage
cp Angle de roulis
y Angle de lacet
Nz Accélération normale de l'avion
C* Loi de commande
Acp Retard de phase
DB Dropback
Bk Matrice du Hessien
Z Amortissement
Mach Nombre de Mach
C,, Dérivée de stabilité pour la variation de la portance et de la résistance
a la trainée en fonction de U
C,, Dérivée de stabilité pour la variation de la portance et de la résistance
à la traînée suivant l'axe longitudinal
Dérivée de stabilité pour la gravitation
Dérivée de stabilité pour la variation de l'angle d'attaque
Dérivée de stabilité pour l'effet de la vitesse angulaire en tangage sur
La résistance à la traînée
Dérivée de stabilité la variation de la force normale avec U
Dérivée de stabilité pour la tangente à la courbe de la force normale
Dérivée de stabilité pour l'effet sur la poussée de la queue
Dérivée de stabilité pour l'effet de la vitesse angulaire en tangage sur
la portance
Dérivée de stabilité pour l'effet de la poussée
Dérivée de stabilité longitudinale statique
C m Dérivée de stabilité pour l'effet de la variation de l'angle d'attaque
Cmq Dérivée de stabilité pour l'amortissement de tangage
td Retard de phase
'u Coeficient non dimensionnel pour la vitesse
' a Coefficient non dimensionnel pour l'angle d'attaque
NASA National Advisory Cornmittee for Aerodynarnics
BFGS Broyden Fletcher Goldfarb Shanno
La conception et l'évaluation de loi de commande pour un seul point de vol isolé sont
rendues très laborieuses en raison de nombreuses caractéristiques et contraintes de
conception. Ce processus doit être répété pour des dizaines (ou même des centaines) de
points de conception de la configuration qui sont évalués pour un système de commande
de toute l'enveloppe de vol. L'ingénieur d'études doit continuellement mettre a jour et
intégrer des améliorations dans le modèle mathématique lorsque les données des essais
matériels deviennent disponibles. Souvent, le cahier de charges change pendant les
phases de vol de l'avion, ce qui entraîne des changements dans les spécifications des lois
de commande.
Les nombreuses spécifications sur la commande et les qualités de manœuvrabilité du
modèle proposé ont donné une situation de compromis ou l'optimisation multicntere a un
grand rôle à jouer. De l'autre coté, le choix de la méthode d'optimisation est aussi
complexe que le problème lui-même. Cette complexité lui provient de la taille élevée du
modèle, de la présence des discontinuités, de la nature numérique des spécifications et de
l'absence de modèle analytique.
L'objectif visé en premier lieu dans cette étude est de définir des fonctions
d'évaluation pour chacun des critères de perfonnance, de combiner ces fonctions
d'évaluation et des contraintes afin de ressortir une fonction objective pour l'optimisation
de la loi de commande pour des points de vol isolés, d'appliquer les librairies
d'optimisation de MATLAB et de MATRIX'x et de choisir la meilleure méthode. Le
deuxième objectif est de ressortir un modèle de fonction objective pouvant inclure les
contraintes sur l'échelonnement des gains pour l'enveloppe de vol en fonction de la
pression dynamique.
Dans ce rappon, du chapitre 1 a 3, on présente les côtés théoriques de l'analyse du
système de commande, des spécifications du design, des méthodes d'optimisation et de
la fonction objective multicritere utilisée pour la mise en relief des paramètres de design
choisis pour un point de vol. Dans les chapitres 4 et 5, la présentation de l'application des
concepts théoriques des chapitres précédents sur l'optimisation de la loi de conunande
pour un point de vol et pour l'échelonnement des gains suivis des résultats obtenus.
Parmi toute la littérature qui traite le problème de trouver les gains des contrôleurs
d'avions en tangage, on ne peut retenir que celles qui le touchent du côté de l'application
de l'optimisation. 11 y a une grande catégorie qui traite le problème en ramenant le
modele de l'avion à un modèle réduit. Dans cette catégorie, on retrouve les deux articles
suivants :
1. [Srichander R. Dec. 19931 qui minimise la nonne Ii infini de la différence entre le
modèle réel et celui d'un modèle réduit à un système du deuxième ordre comportant
un zéro et qui reflète les critères de performances recherchés. L'optimisation se fait
sur une gamme de fkéquence choisie au préaiable. Ii est de toute évidence que dans
ce modèle réduit, on ne peut pas retrouver tous les modes si ce n'est que celui de la
période courte. Comme le rapprochement des deux modèles se fait sur la base de la
réponse en fréquence, on ne peut pas connaître les effets sur les critères de
perfomance dépendant du temps. Cependant cette méthode donne des solutions
optimales très rapidement dans le champ des solutions considéré.
2. [SpiIlman M. et Brett R. D. 19971 a utilisé la méthode d'optimisation Il, qui selon
l'article peut résoudre le problème de prise en considération des critères de
performances temporelles et qui ne le sont pas dans les méthodes H.2 et H infini. Cette
méthode minimise les amplitudes maximales de la sortie du système pour des entrées
inconnues mais bornées en amplitude. EUe est appliquée sur le modèle de contrôleur
discret.
Ces deux approches ne s'appliquent pas a notre problème où les deux types de critères
de performances du domaine fiéquenciel et ceux du domaine temporel coexistent.
La littérature qui traite les critères de performance dans une fonction coût et par
l'optimisation multiobjectif sont beaucoup plus mise en relief par les deux articles
suivants :
1. [Kreisselmeier G. et Steinheimer R. 19831 traite le problème de trouver des gains
d'un contrôleur en tangage qui restent les mêmes sur toute l'enveloppe de vol sans
tout de même faire appel a un échelonnement de gains. ii s'agit de trouver un
contrôleur a gains tixes qui satisfait un vecteur de critères de performance et un
indice de sensibilité. Cet indice de sensibilité matérialise l'effet du contrôleur a gains
fixes sur les différentes dynamiques du même avion sur plusieurs points de vol et il
doit ètre le plus petit possible pour que le contrôleur puisse accommoder les
variations de paramètres de la dynamique. Dans cette approche, le contrôleur ne peut
être fixé que lorsqu'une analyse en boucle ouverte sera complétée pour tous les points
de vol. L'approche ne peut pas être appliquée en présence d'un contrôleur choisi au
préalable.
2. [Tishler B. 19971 donne la description d'un outil spécialisé appelé CONDUIT
(Control Designer's united interface). Cet outil utilise la méthode de programmation
quadratique séquentieiie et la combinaison des fonctions d'évaluation se fait en
optimisant le cas le plus défavorable du vecteur de performances. Le problème est
traité en deux phases, la première ne prend en considération que les contraintes les
plus difficiles à satisfaire dans la deuxième phase, la solution de la première phase
sera la solution initiale pour une deuxième partie du problème qui inclut toutes les
contraintes du modèle.
CHAPITRE 1
LA DYNAMIQUE LONGITUDMALE D'UN AVION
1.1 Introduction
Pour obtenir la fonction de transfert de l'avion, il est nécessaire de commencer par
trouver les équations de son mouvement. Ces dernières sont obtenues par l'application
des lois de Newton du mouvement qui relient la somme des forces et des moments
externes aux accélérations linéaires et anguiaires du corps ou du système. Pour cette
application, on doit faire certaines hypothèses et définir les systèmes d'axes.
Le système d'axes solidaire à l'avion rigide, Figurel. 1, a pour origine le centre de
gravité de l'avion et il le suit dans ses mouvements. L'axe OX est pris selon la longueur
de l'avion et il est dirigé vers l'avant, l'axe OY selon la longueur de l'aile droite et il est
orienté vers l'extérieur et l'axe OZ vers le bas. La plupart des avions ont un plan de
symétrie par rapport à un plan vertical contenant I'axe longitudinal OX de l'avion. Ainsi,
si les axes OX et OZ sont dans le même plan, les produits d'inertie J, et J, seront nuls.
1.2 Le sens des vitesses dans un svstème d'axes en mouvement
La vitesse suivant I'axe OX est la composante du vecteur vitesse par rapport a un
système de référence pris dans I'espace le long de la direction instantanée de l'axe OX. A
chaque instant, l'avion a un vecteur vitesse par rapport à un système de référence dans
I'espace qui peut ttre décomposé en vecteurs U.V et W suivant les axes OX, OY et OZ
respectivement. Le même principe est utilise pour les vitesses angulaires P,Q et R par
rapport au.. &\es OX, OY et OZ respectivement. Il est à rappeler que c'est par rapport à
ce système de référence, Figure 1.1, que les lois de Newton sont appliquées.
1.3 Dévelop~ement des éauations de mouvement
La de~uième loi de Newton stipule que la somme des forces externes qui agissent sur
un corps est égale à la variation par rapport au temps de sa quantité de mouvement
linéaire et que la somme des moments externes qui agissent sur un corps doit être égale à
la variation par rapport au temps de sa quantité de mouvement angulaire. Cette loi peut
être exprimée par rapport au système de référence dans l'espace par les deux équations
vectorielles suivantes :
Ou V, est la vitesse de l'avion
La première équation ne peut être appliquée qu'A un système de masse constante, d'où
l'existence de l'hypothèse de masse invariante dans le temps. Les forces et les moments
externes sont composés de forces et de moments en régime permanent ou en équilibre et
des forces et des moments de perturbation par rapport à cette condition d'équilibre.
IF0 et ChIo sont Ies sommes des forces et des moments à l'équilibre. L'avion est
toujours considéré à l'équilibre avant qu'une perturbation ait lieu. Les sommes des forces
et des moments à l'équilibre sont alors égales à zero. Les forces d'équilibre sont la
portance, la résistance à la trainée, la poussée et la gravit5 et les moments d'équilibre
sont les moments résultant de la portance, de la poussée et de la résistance a la traînée
des différentes portions de l'avion. Initialement, l'avion est en vol non accétéré, les
perturbations lui proviennent de la défiexion des surfaces de contrôle ou des perturbations
atmosphériques. Sous ces conditions, les équations (1.1) et (1.2) peuvent s'écrire
comme suit :
Z M = ddf(m VJ ( 1.4)
IAM = dWdf (1.5)
Avant de dériver les équations de mouvement, il est nécessaire d'émettre les
hypothèses suivantes :
1. La masse de l'avion demeure constante lors d'une analyse dynamique
2. L'avion est un corps rigide
3. La terre est un systime de référence et I'atmosphère qui l'entoure lui est solidaire.
Cette dernière hypothèse n'est valable que pour l'analyse des systèmes de commande
des avions.
Dans le mouvement de l'avion par rapport a la terre, l'équation (1.4) peut tue
développée pour obtenir :
Où 1 V, dVidt représente le changement de vitesse linéaire dans le temps, o est la vitesse
angulaire totale de l'avion par rapport à la terre et l'opérateur x symbolise le produit
vectoriel. VI et o peuvent être écrites en fonction de leurs composantes :
CO= iP+ j Q + k R (1 -9)
Où i, j et k sont les vecteurs unitaires le long des axes de l'avion OX, OY et OZ
respectivement. Alors, a partir des équation (1.8) et (1.9), on peut écrire :
1 dV/dt = iU' + jY' + kW' (1.10)
EâF peut être récrite en fonction de ses composantes comme suit :
En égalisant les composantes des équations (1. IO), (1.1 1) et (1.12)' les équations du
mouvement linéaire sont obtenues
ZdF, = m ( O 1 + WQ- VR)
ZN,, = m (y1+ UR - WP) D F Z = m (W'+ VP - UQl
Pour trouver les équations de mouvement angulaire de l'avion, il est nécessaire de
trouver l'expression analytique de la quantité de mouvement angulaire H, qui est par
définition, pour un élément de masse dm tournant à une vitesse angulaire o par rapport à
son centre de rotation instantané de distance r est donné par : x
En remplaçant o et r par lews composantes et effectuant le produit vectoriei dans
I'iquation (1.14) on obtient :
Dans l'équation (1.15), on constate que les moments d'inertie de l'avion sont
exprimés d'une façon très apparente. Donc on peut l'écrire sous la forme suivante :
La variation de H par rapport au temps peut s'écrire comme suit :
Comme l'avion est supposé être un corps rigide de masse constante, la variation de ses
produits d'inertie est nulle
La somme des moments peut être écrite comme :
En remplaçant les équations (1.17), (1.18) dans (1.19), et en remplaçant H,, H, et Hr
par les expressions trouvées en (1.17), les équations de mouvement angulaire peuvent
s'écrire comme :
Les équations (1.20) et (1.13) représentent les équations complètes de mouvement pour
l'avion.
La nomenclature utilisée est résumée dans le Tableau. 1 . 1
Tableau 1.1
Le résumé de la nomenciatm utilisée
A.ws Dùections Noms vitesses linéaires angles vitesses
angulaires
Ox vers l'avant Roulis U cP P
OY vers l'aile droite Tangage V 0 Q OZ vers le bas Lacet W W R
1 Axes Moments d'inertie Produits d'inertie Forces Moments I
Ces conclusions sont basées sur les hypothèses suivantes :
1. Les axes OX et OY sont dans le plan de symétrie.
2. La masse de l'avion est constante.
3. L'avion est un corps rigide.
4. La terre est un système de référence.
1.4 Le mouvement de l'avion Dar rmwrt a ia terre
Pour décrire le mouvement de l'avion par rapport à la terre (système de référence), il
est nécessaire de spécifier les orientations des systèmes d'axes l'un par rapport a l'autre.
Cela peut ètre fait par les angles d'Euler. Considérons un système d'axes de la terre et ne
tournant pas avec la terre. Soient OXE et OYE dans le plan horizontal et OZE dans Le plan
vertical et orienté vers le bas. La Figure 1.1, nous montre les axes OX, OY et OZ par
rapport à la terre.
Figure 1 . 1 Les axes solidaires à l'avion par rapport à la terre
y : L'angle entre OXE et la projection de OX sur le plan horizontal
y' : La vitesse angulaire le long de OZE
8 : L'angle entre l'horizontal et l'axe OX mesuré dans le plan vertical
1 .S Linearisation et séuaration des éauations du mouvement
L'étude des équations (1.20) et (1.13) montre que six équations non-linéaires sont
nécessaires pour décrire le comportement d'un avion rigide. Sous cette forme, la solution
ne peut être obtenue que par l'utilisation d'un ordinateur analogique ou numérique ou par
l'intégration numérique manuelle. Cependant, dans la plupart des cas, en utilisant les
suppositions appropriées, il est possible de séparer les équations en deux groupes de trois
équations et ces dernières linéarisées peuvent donner des solutions analytiques précises.
1.6 Mouvement lonnitudinal d'un avion
Les six équations sont séparées en deux groupes de trois équations. Pour cela,
l'avion sera considéré en vol direct, à un niveau constant et non accélérée et par la suite
perturbé par la déflexion du gouvernail de profondeur. La déflexion va appliquer un
moment de tangage autour de l'axe OY, provoquant une rotation autour du mème axe et
qui va causer un changement dans les forces Fx et F:, mais aucun changement dans les
moments de roulis ou de lacet ou dans la force Fy; ainsi P=R=V=O et les équations IAF,
DL et ZAN peuvent être éliminées. Ce qui nous donnera :
-Fr= m(U' +WQ)
I F , = m(W' - UQ) DM= Q' Iy avec P = R = V = 0
Les équations (1 2 1 ) sont les équations longitudinales de l'avion
En regardant les trois équations qui restent, et plus particulièrement les équations
contenant L et N, on constate qu'un moment de roulis ou de lacet excite les vitesses
angulaires de rotation autour des trois axes; mis a part certains cas particuliers ou les
équations ne peuvent pas être découplées. Les suppositions qui permettent le découplage
de ces équations sont étudiées dans la dynamique latérale de l'avion.
1.7 Les équations du mouvement longitudinal
Les composantes des vitesses instantanées linéaires et angulaires par rapport aux axes
de l'avion sont désignées par U, ( fl P, Q et R. Comme ces valeurs incluent les valeurs
en l'équilibre et celles du changement par rapport au régime permanent, elles peuvent
être exprimées comme :
ou Uo, Vo etc.. .sont les valeurs à l'équilibre et u, v etc.. sont les vaIeurs de perturbations.
Dans les paragraphes précédents le système d'axes lié à I'avion a été discuté et l'axe OX a
été pris positif vers l'avant. L'axe OX pourrait être aligné selon i'axe longitudinal de
I'avion; cependant il est orienté dans la direction de la vitesse d'équilibre de l'avion, ce
qui fait que (Wo = 0) .
La variation de O et qui est égale à O, est provoquée par une rotation autour de L'axe OY,
alors q est la dérivée par rapport au temps de q = 0'. Sous ces conditions, C = Uo + u,
W = w et comme Uo est constante, U' = u ' et W ' = w '. Comme l'avion est initialement
en vol non accéléré, Qo doit être nul, alors Q = q. En faisant ces substitutions, les
expressions des forces de l'équation (1.2 1) deviennent :
En imposant des restrictions sur les petites perturbations autour de la condition
d'équilibre, le produit des variations sera petit par rapport aux variations elles-mêmes et il
peut être négligé. Cette hypothèse limite l'application des équations, mais elie Les réduit à
des équations linéaires.
Ainsi L'équation (1.23) peut être écrite avec l'équation des moment du tangage de
l'équation (1.2 1):
CAF, = m(u 7 U F x =m(w '-Ud = m(w ' - UoQ ')
CAM = q ' ly=O" Iy
Il est maintenant nécessaire de développer les moments et les forces appliqués et de les
exprimer en termes de leurs variations qui résuItent des perturbations. Ces dernières
forces sont d'origine gravitationnelle et aérodynamique. Par exemple, les composantes de
la gravité le long des axes OX et OZ sont en fonction de l'angle O comme il est montré
dans les équations (1 2 5 ) suivantes:
F, = - mg sin O et F, =mg cos O
Les variations de ces forces par rapport à O sont :
dF, /cW = - mg cos O et dFF /a= - mg sin 0
Les forces dans la direction de OX sont en fonction de U, W, W', O et 0'. Ainsi la
différentielle totale de F, peut être exprimée en moyennant les hypothèses que les
perturbations soient petites et que les dérivées partielles soient linéaires comme suit :
En multipliant et en divisant les trois premiers termes de l'équation (1.27) par Clo, on
obtient :
Comme les perturbations sont petites, alors U x Uo, dans ce qui va suivre l'indice O
sera enievé. Cependant, la valeur de I/ qui apparaît explicitement dans les équations de
mouvement est la valeur à l'équilibre U. Les rapports non dimensionnels UN, w / ü et
w/U sont définies comme suit :
(qui est la variation de l'angle d'attaque à partir de l'équilibre ) , et
w '/U = 'a '
en remplaçant ces notations dans l'équation (1.28), on obtient :
comme
En substituant cette expression pour C M , dans 1' équation (1.29)' en reprenant les termes
à la partie gauche de l'équation et en divisant par Sq, l'équation obtenue est :
m l l U aFx 1 aF, 1 aFx 1 aF, 1 aF, Fm - * - . a - - a w ---O ---O* = - (1.3 1) sq s q a ~ S q d a Sqaa . s q a e s q a e . ~q
où FM est une force aérodynamique, S est la surface de l'aile de l'avion, q est la pression
dynamique en Iblsq fi (q = 0,Sp L?) et p est la densitk de l'air. En substituant pour
(aF, 133 ) de l'équation (1.26) et en multipliant et divisant le 4' et 6' terme par U2U,
ou C est la corde aérodynamique moyenne [John H. Blackelock, 19911, l'équation (1.3 1)
devient :
Pour montrer comment l'équation (1.32) a été non dimensionalisée, le terme 'a' sera
analysé. On considére le terme :
Comme F, et Sq ont tous les deux les dimensions d'une force, en livre 16, les unités de
ces deux termes vont s'annuler, en laissant 2U/c et Va'. Les dimensions de ces derniers
termes sont lhec et sec, respectivement; donc la portion du terme en 'a' est non
dimensionnelle et elle peut être remplacée par un coefficient non-dimensionnel. Le reste
des termes en 'a', qui est (J2ü) 'a', est aussi non-dimensionnel. Le reste des termes est
traité de la même manière. Les coefficients sont appelés les dérivées de stabilité, et
malgré le grand nombre de ces coefficients, ceux qui sont utilisées dans ce texte sont
listés dans le Tableau 1.2 et ils suivent la nome NACA (National Advisory Cornmitee
for Aerodynamics). En introduisant ces termes dans l'équation (1 -32) , on obtient :
Des fois, mg/Sq est remplacé par -C, . Dans ce cas, l'équation (1.33) devient :
De la même façon, on peut obtenir les équations pour le calcul de Met F,. L'équation
F, peut s'écrire comme suit :
L'équation pour le moment de tangage M :
Ces équations de la dynamiques longitudinale (1.34), (1.35) et (1.36) supposent que :
1. Les axes X et Z se trouvent dans le plan de symétrie et l'origine du système des axes
est situé au centre de gravité de l'avion.
2. La masse de l'avion est constante.
3. L'avion est considéré rigide.
4. La terre est un repère fixe.
5. Les perturbations par rapport à l'équilibre sont petites,
6. L'écoulement est quasi stationnaire.
Ces équations exigent que l'axe des X soit orienté dans la direction de la vitesse de
I'avion pendant que l'avion soit en vol d'équilibre. Les dérivées de stabilité sont définies
dans le Tableau 1.2.
N.B. Il faut que ces équations soient non-dimensionnelles; ainsi les angles et leurs
dérivées doivent être mesures en radians .
Tableau 1.2
Définitions des dérivées de stabilité longitudinales
Syrnbol Définition commentaire
Variation de la portance et de la résistance à la
traînée en fonction de u
Variation de la portance et de la résistance à la
traînée suivant X
Gravitation
Négligée - - ---
Ëffet de la vitesse de rotation du tangage sur la
résistance à la traînée
Variation de la force nonnale avec u
Tangente de la courbe de la force normale
Effet sur la poussée de la queue
Effet de la vitesse de rotation du tangage sur la
portance
Effet de la poussée
Stabilité longitudinale statique
Amortissement du tangage
1.8 La solution des équations longitudinales
Le dénominateur des fonctions de transfert longitudinaies est obtenu A partir de la
solution homogène des équations dynamiques (1.34), (1.35) et (1.36), sans entrées
externes ( & = Cm = Cm 4) et sans tenir compte des conditions initiales. Les
transformt5es de Laplace des équations (1.34), (1.35) et (1.36) avec les hypoth4ses
suscitées et en négligeant LI, C, et C,,,,, sont :
C'est le ddtemiinant amtéristique du système d'équation (1.37) qui représente le
dénominateur des fonctions de transfert de la dynamique longitudinale. Cependant la
fonction de transfert totale dépend de l'entrée qu'on impose au système, pour plus de
détails voir [Blackelock J. H. ,19911.
2.1 Introduction
Dans le cas d'un avion piloté par un humain, l'interaction entre les entrées de
commande du pilote à partir de la cabine de pilotage et la réponse de l'avion doivent être
faites de façon à ce que le pilote réalise son objectif avec un effort mental et physique très
raisonnable. En d'autres mots, l'avion doit avoir des qualités de vol (qualités de
manœuvrabilité) trés acceptables à l'intérieur de l'enveloppe de vol.
11 est impératif a ce que les caractéristiques suivantes soient présentes sur toute
l'enveloppe de vol :
1- L'avion doit être mené d'une puissance de contrôle suffisante pour maintenir le
régime permanent, le vol en ligne droite et les qualités de manœuvrabilité nécessaires
à atteindre Ies objectifs fixés pour la mission.
2- L'avion doit être manœuvrable dans la transition d'une condition de vol vers une
autre.
3- L'avion doit avoir suffisamment de puissance de contrôle pour accomplir les
transitions suivantes :
Transition des opérations sur terre à des opérations en air (le décollage et la
montée)
Transitions des opérations de l'air vers le sol (l'approche, le touché du sol et
l'atterrissage)
Ces caractéristiques doivent être présentes que Ies moteurs soient allumés ou non.
CeIa inclut certaines conditions asymétriques de puissance qui peuvent
éventuellement avoir lieu. Cela est appelé la condition de vitesse minimum de
contrôle. Dans tes avions de combat, ces 3 conditions doivent avoir lieu même avec
un chargement d'armes asymétrique ou sous certaines conditions d'endommagement
dans le combat.
2.2 Définitions
Les efforts nécessaires a un pilote pour faire voler son avion, tout en respectant
les objectifs de sa mission, sont exprimés en activités de contrôle de la cabine de
pilotage et en force de contrale de la cabine de pilotage. Les amplitudes de la force
de contrôle de la cabine de pilotage et ses variations en fonction de certains
paramètres de mouvement ( vitesse, facteur de charge et glissement latérai) sont
d'une grande importance pour le pilote.
Les efforts mentaux nécessaires au pilotage d'un avion sont appelés les
compensations. Si un avion répond rapidement ou lentement à la commande du
pilote, ce dernier doit compenser ce comportement par l'ajustement de son propre
gain ou par "la conduite" de l'avion.
ii est évident que Ie pilote ne doit pas conduire excessivement son avion ni fournir
de très grands ni de mes petits gains sur un segment quelconque de sa mission.
Pour prédire si un avion possède les qualités de vol nécessaires, les trois
instructions suivantes sont exigées :
1) L'échelle d'évaluation avec laquelle le pilote doit évaluer un avion bien
détexminé et sur un segment donné de sa mission. A cette fin, l'échelle
d'évaluation de Cooper-Harper (voir Tableau 2.1) est développée. Cette
échelle est utilisée par des ingénieurs et des pilotes d'essais pour prédire les
qualités de vol d'un avion et les réponses aux questions doivent être en
anglais.
2) Les relations entre les caractéristiques de mouvement de l'avion, les forces
de contrôle de la cabine de piIotage et les mouvements de contrôle de la
cabine de pilotage d'une part et les qualités de vol (comme exprimdes par
Cooper-Harper) de l'autre. De telles relations sont définies dans les
exigences des qualités de vol des avions aussi bien militaires que civils. Ces
exigences sont appelées réglementations
3) Un modèle mathématique de I'avion à partir duquel on peut évaluer ces
quantités.
Tableau 2.1
Grille d'évaluation de Cooper-Harper
2.3 Les exigences sur les aualités de vols civil et militaire
Les références sur les exigences des qualités de vols militaires présentent des
barrières numériques pour un design qui conduit à une meilleure commodité pour une
mission bien déterminée.
Le but ultime de la réglementation est d'assurer une performance adéquate dans les
qualités et la sécurité des vols sans tenir compte des détails de l'implémentation des
systèmes de contrôle et du design. Les réglementations, telles qu'elles soient rédigées
aujourd'hui, s'adressent à des avions équipés de contrôles de cabine de pilotage qui
produisent essentiellement les moments de tangage, de lacet et de roulis. Si d'autres types
de contrôle de cabine de pilotage sont utilisés, les autorités qui s'occupent de La
certification peuvent imposer des exigences additionnelles ou d'autres alternatives.
Un grand nombre d'avions a besoin de l'augmentation de la stabilité pour atteindre
les qualités de vol désirées. Pour de tels avions, la défaillance d'un système de contrôle a
des retombées directes sur les qualités de vols. Cela conduit a l'introduction dans la
réglementation le niveau acceptable des qualités de vols et certains types de défaillance.
Comme les avions sont de différentes grandeurs, de missions et de performances,
la réglementation militaire spécifie les qualités de vols adéquates à chaque combinaison.
La réglementation civile n'entre pas dans d'autant de détaib. Alors une autre basée sur le
poids et l'application de la mission est utilisée.
Les qualités de vol du pilote dépendent du type de l'avion et des phases de vol. Les
avions sont classifiés en fonction de leurs grandeurs et de leurs manoeuvrabilité comme
suit :
1: avions petits, poids maximal de 5000 kg
II : avions de poids moyen (5 000 kg - 30 000 kg)
et une manœuvrabilité modérée
III : avions larges, de poids minimum de 30 000 kg et d'une manœuvrabilité
modérée
IV: avions avec une grande manœuvrabilité
Les phases de vol sont divisées en 3 :A, B, C - [Parrag M., 19941 comme suit :
Phases non terniinaies du vol
Phase A : inclut les phases non-terminales du vol, celles qui incluent les
manœuvres rapides, le guidage de précision (precision tracking), ou le
contrdle précis de la trajectoire du vol.
Phase B : inclut les phases non-terminales de vol, accomplies par des
manœuvres graduelles sans contrôle précis de la trajectoire du vol.
Phases terminales du vol
Phase C : inclut les phases terminales du vol, accomplies par des
manœuvres graduelles avec contrôle précis de la trajectoire du vol, par
exemple : décollage, atterrissage, approche.
En générd, la phase A est associée aux avions militaires alors que les phases B et C
sont communes aux avions commerciaux et militaires
Les demandes pour la certification sont exprimées en termes de 3 valeurs pour les
paramètres de contrOle (ou stabilité). Chaque valeur est la condition r i t e nécessaire
pour satisfaire un des 3 niveaux d'acceptation, définis ci-dessous :
Niveau I :
Niveau 2 :
Niveau 3 :
Les qualités du vol sont adéquates pour la phase du vol.
Les qualités du vol sont adéquates pour accompIir la mission des phases du
vol, mais une augmentation dans la charge (workload) du pilote ou une
dégradation dans t'efficacité de la aission, ou tous les deux, existent.
Les qualités du vol sont telles que l'avion peut être commandé, mais la
charge du pilote (workload) est excessive ou l'efficacité de la mission est
inadéquate, ou les deux. Phase A est terminée en sécurité, phases B et C
peuvent être complétées.
Ces niveaux ont été d é t e d é s en considérant l'opinion de base du pilote sur les
qualités de vol d'un avion.
2.4 La norme MIL-STD-I 797A
La norme militaire MIL-STD-1797A contient les critères pour les quaiités de
manœuvrabilité utilises dans l'année de l'aire américaine. Les concepteurs d'avions
l'utilisent comme guide pour atteindre une dynamique d'avion acceptable. Cependant,
comme les critères sont larges, il est A retenir qu'atteindre les spécifications ne garantie
pas nécessairement un avion qui vole bien [Parrag M., 19941. Les spécifications requises
sont données en fonction des niveaux, des classes et des phases déjà définis. La plupart
des qualités de manœuvrabilité sont spécifiées en terme de fréquence, de l'amortissement
ou de constantes de temps pour les différents modes de la dynamique d'avion.
2.5 Le svstème de commande et les aualités de manœuvrabilité Ionnitudinales:
Dans les systèmes de contrôle augmentés, en plus des fréquences propres et des
amortissements, il est nécessaire de prendre en considération les exigences suivantes :
1. Identifier la variable primaire pour représenter la réponse
2. Choisir les états qui donnent le plus d'informations sur les sensations du pilote (ex :
accélération normale, vitesse angulaire en tangage, . . .etc.).
Le choix de l'accélération normale seule est insuffisant car elle est très faible en de
petites vitesses et le choix de la vitesse de rotation en tangage est insuffisant car son effet
est ûès faible en grandes vitesses. Donc la loi C* est mieux adaptée et elle est formulée
comme suit :
La loi CS de l'équation (2.1) est un résultat de mesurages pris au centre de gravité de
l'avion. Pour tenir compte de la "mesure " du pilote qui n'est pas au centre de gravité, il
est nécessaire de rajouter d'autres termes en fonction de q. [Harold N. Tobie, 1996 ]
Le système de contrôle donné par Bombardier a la configuration suivante :
1 , 4 1 Commande
Avion
Figure 2.1 Schéma bloc de la commande de l'avion en tangage
On Constate à la figure 2.1 que la loi de contrôle C* n'est pas appliquée comme
représentée par l'équation 2.1 h cause du contrôleur PI (proportionnel intégral) appliqué
sur la boucle de retour de la vitesse angulaire en tangage q.
Ce système est actuellement utilisé par Bombardier et le cahier de charge Reist D.,
Mcmillen F., 19981 pour les qualités de manœuvrabilité correspondant est résumé dans
le Tableau 2.2 suivant :
Tableau 2.2
Le cahier de charge pour la commande en tangage
I
Marges de stabilité 1 6dB et 45'
Critère Minimum à atteindre Idéalement
p0.75
>O. i
Amortissement du en période courte
Amortissement en période longue Bande passante
1 Bande passante pour 1 Niveau 2 Niveau 1 1
0.35<<1.3
>O.OS
L 1
>1.5 (Niveau 1)
Retard de phase
> 1.75 (bon Niveau 1)
trajectoire de vol Dropback de Gibsodq
Les critères pris en considération dans cette étude sont le dropback, la bande passante,
I ~ 0 . 2
Bonne réponse transitoire
le retard de phase et les amortissements en période courte.
c0.14
-0.2<DB/q<0.5
Atteindre 1% de la réponse indicielle en 3 secs
2.5.1 La bande Dassante et le retard de hase
O<DB/q<0.3
Ces critères sont basés sur la réponse en fréquence par rapport à la commande du
pilote (la force sur le manche). La bande passante matérialise le domaine dans lequel le
pilote peut exercer ses manœuvres sans fournir des efforts excessifs et le retard de phase
représente le temps nécessaire pour que la réponse du système de commande atteigne
50% de la consigne. Les calculs se font comme le montre la Figure 2.2
Figure 2.2 Les défuiitions de la bande passante (BCY) et du retard de phase (A#)
2.5.2 Le dropback
C'est la quantité qui matérialise la sensation du pilote lors du pilotage de son
avion en tangage. La définition utilisée pour le calcul du dropback est celle de Gibson
comme le montre la Figure 2.3. Le cdcul se fait sur la réponse indicielle pour l'angle de
tangage 8 qu'on intègre à la sortie correspondante à la vitesse de rotation de tangage et
après avoir éliminé les lignes et les colonnes correspondants a la vitesse longitudinale et à
l'angle de tangage des matrices d'état du système de commande.
Figure 2.3 La définition du dropback
2.5.3 Les amortissements de Dériodes courte et lonmie
Le mode de période longue ou le phugoide est composé principalement de
changements de la vitesse longitudinale, de l'angle de tangage et de l'altitude. Pour isoler
ce mode, on doit limiter le mouvement de l'avion aux degrés de libertés horizontal et
vertical avec un angle d'attaque constant.
Le mode de période courte consiste essentiellement en un mouvement de tangage
en réponse à l'entrée Ionginidinale du pilote, à la turbulence ou a des conditions initiales.
L'OPTIMISATION EN COMMANDE DE VOL
3.1 Introduction
La conception industrielle de loi de commande de vol comprend dans l'ordre, les
activités suivantes: dériver un modèle dynamique non linéaire de L'avion, analyser les
hypothltses du modèle et le comportement dynamique résultant au moyen de réglage et de
simuiation non linéaire, définir l'architecture du contrôleur, exécuter une première
conception pour une condition de vol appropriée et évaluer la loi de commande par
évaluation linéaire et non linéaire. En suite, ce processus est répété pour trouver des lois
de commande pour toutes les conditions de vol appropriées. En conclusion, un
échelonnement de gains (Gain scheduling) est conçu tel que l'avion puisse être
commandé sur toute son enveloppe de vol [Dieter Joos, Août 199q.
L'approche utilisée est un processus paramétrique interactif pour l'optimisation de la
loi de commande en tangage multi-critères d'un avion. Cette approche implique des
algorithmes d'optimisation en utilisant les variantes existantes dans les bibliothèques de
MATLAB et de MATRiXx.
L'analyse du système de commande, de la fonction multi-objective et des méthodes
d'optimisation utilisées. sont présentées. Les données utilisées pour optimiser la loi de
commande de l'avion en tangage sont fournies sous forme de matrices d'état de la
Une fois que la méthode a utiliser est fixée, on l'applique sur un autre modèle de fonction
objective, qui en plus des spécifications du contrôleur et des qualités de manœuvrabilité,
il inclut les contraintes permettant de tenir compte de la variation lisse des gains sur
l'enveloppe de vol afin de réaliser l'échelonnement des gains (Gain scheduling) en
fonction de la pression dynamique.
3.2 Les fonctions obiectives. les fonctions d'évaluation et les contraintes
Comme pour la plupart des problkmes réels, plus particulièrement ceux du design,
l'optimisation de plus qu'une fonction objective à la fois est nécessaire. Dans le système
de commande d'un avion en tangage, en plus des spdcifications liées au contrôie
proprement dit, il est nécessaire d'inclure les qualités de manœuvrabilité (Handling
Qualities). Or ces différentes fonctions objectives sont optimisées par la même aiternative
de choix de parametres (de gains), il est donc impératif de mettre un compromis
permettant de les contenir afin d'assurer un design satisfaisant.
L'optimisation multicntère est décrite mathématiquement comme suit :
représente les contraintes d'égalités et d'inégalités et les limites sur les variables. La
variable x représente le vecteur de paramètres d'optimisation (Gains du controleur).
Chacune des fonctions objectives f(x) est une fonction d'évaluation représentant un coût
scalaire qui met en relation l'indice de performance considéré avec les gains du
contrôIeur. Les fonctions d'évaluation utilisées dans notre cas sont de type sigmoid
unilatéral ou bilatéral.
Une fonction sigmoïde unilatérale est en forme de S " pressant la fonction " qui trace
une valeur réelle, qui peut être arbitrairement large dans la grandeur (positive ou
négative), en une autre valeur réelle qui se trouve dans une certaine marge étroite. La
forme mathématique pour la fonction sigmoïde particulière utilisée dans ces simulations,
et généralement utilisée dans beaucoup d'autres simulations de réseau de neurones[PMSI,
juin 19991, est la suivante :
Où X représente l'indice de performance considéré. Le résultat de cette fonction sigmoïde
se situe dans i'intervalle O a 1. Dans la littérature du calcul neural, le sigmoïde est désigné
parfois également sous le nom de la fonction logistique. La fonction bilatérale est de la
forme de deux fonctions sigmoïde disposées en symétrie par rapport à une droite passant
par le point le plus bas de la courbe.
Dans la plupart des cas, la fonction multi-objective (3.1) est résolue par la combinaison
des objectifs en un seul objectif scalaire dont le minimum est la solution du problème
initiai. Pour obtenir un seul objectif scalaire, il existe plusieurs techniques :
La sommation pondérée des fonctions qui est formulée comme suit :
Le choix de la pondération peut changer énormément la fonction objective (fonction
COQ) résultante et le mauvais choix peut conduire à un probkme très difficile a optimiser.
Pour des problèmes d'optimisation cornportants des critères de performance en
compromis, l'optimisation est d'autant plus dure pour l'utilisateur lui-même que pour
l'algorithme utilisé.
L'optimisation muiti-objective qui optimise chaque fonction objective se rapportant a
un seul critère de performance séparément (ATTGOAL de MATLAB). Cette
approche est parfois appelée la programmation par but (Goal programming), elle ne
peut être appliquée que si on peut se permettre de se fixer un objectif particulier a un
seuil voulu et d'optimiser pour les autres. Cette approche présente des difficultés
quant à la relation avec les contraintes et elle est de plus en plus dificile Iorsque le
nombre d'objectifs est supérieur ii deux.
La programmation multiniveaux est une méthode utilisée pour optimiser les objectifs
par ordre d'importance en passant successivement du plus important au moins
important jusqu'it ce que tous les objectifs soient optimisés. Cette méthode peut être
utilisée s'il existe une certaine hiérarchie dans les objectifs et que le compromis entre
les objectifs n'est pas de premiere importance. Cependant, lorsque le niveau de la
hiérarchie n'est pas très évident, le problème devient numériquement infaisable.
L'une des formulations de ce problème est donnée comme suit :
iUin(rnaxa,j;(x)) avec a, 2 O (2 -4) I
Avec i=i,2, ...J
La difficulté de cette méthode réside dans le fait que la combinaison finale de ce
problème peut donner lieu a de non-linéarités beaucoup plus élevées que celles du
problème original.
Les techniques suscitées peuvent être appliquées facilement pour un problème où les
fonctions objectives sont optimisées par la même alternative de choix de gains, comme
c'est le cas pour l'optimisation de la loi de commande pour un seul point de vol.
Cependant, dans le cas de l'échelonnement des gains (Gains Scheduling) sur l'enveloppe
de vol, les ensembles de fonctions objectives se rapportant à chacun des points sont
imbriqués pour décrire toute l'enveloppe de vol et ces ensembles reliés par la contrainte
du lissage de la courbe des gains n'admettent pas la même alternative de choix de
paramètres. Pour résoudre ce problème, en plus des techniques de solutions présentées
pour un ensemble de fonctions objectives, il est nécessaire de rajouter une technique qui
peut combiner ces ensembles entre eux. Dans l'dchelomement des gains, la méthode
utilisée est formulée comme suit :
Si on considère F,(xJ comme la combinaison scalaire des fonctions objectives f;(x,J
représentant un point de vol j et dont les variables de décision sont représentées dans le
vecteur de gains x, lui correspondant, on aura à optimiser pour les m points de vol
(l'enveloppe de vol) la combinaison des fonctions objectives :
Sujet à : g(x,,)M i~ =l, , . . ,m
avec p, comme pondération pour le problème global.
Dans ce cas particulier, on peut fonner une autre combinaison pour les fonctions
objectives F, de la forme suivante :
Optimiser : lmoyenne F,(xJ + Écart type de F,(x$ ( 3.6)
Sujeta : g(x@ i,j =ln ...,nt
Avec 3c comme seul facteur de pondération au problème global .
Cette formulation nous permet un passage très lisse entre les différents points de vol.
Un autre ingrédient doit être ajouter pour compléter le problème et ce sont les
contraintes. On peut y distinguer deux types : des contraintes implicites et des
contraintes explicites, pour un problèmc d'optimisation en général, elles sont formulées
comme suit :
Optimiser : f(xl,x2, ... ,x,J
Sujet a de contraintes explicites : + xiSxi ,<xi aveci=l, ..., n
Et des contraintes implicites : k, Sg,(xJS hi avec i = I , ..., m
Les contraintes explicites sont aussi appelées contraintes de réglage et elles
représentent les limitations dans les paramètres d'optimisation par une bome supérieure
et une bome inférieure. Dans les contraintes implicites, les variables implicites gi sont
des fonctions de toutes les variables (paramètres) d'optimisation. Dans la théorie, ces
deux types de contraintes sont traitées plus ou moins de la même façon. La méthode la
plus commode et la plus commune à ces deux types de contraintes est celle des fonctions
de pénalité introduite dans la fonction objective directement. Une autre méthode est
d'inclure dans l'algorithme d'optimisation une routine qui élimine les points infaisables
de l'espace d'optimisation et d'en générer d'autres selon des régles prédéterminées.
En général, les contraintes rendent ie problème d'optimisation plus dificile à traiter et
d'une façon particulière, les contraintes implicites réduisent l'espace des solutions et elles
sont plus dificile à traiter.
Pour l'optimisation d'un seul point de vol, il est possible d'introduire directement les
contraintes explicites qui sont les bornes supérieures et inférieures des différents gains du
contrôleur dans la combinaison scalaire des fonctions objectives. C'est la raison pour
laquelle on est conduit à tenter l'utilisation des méthodes d'optimisation sans contraintes
en plus des méthodes avec contraintes. Cependant, dans le cas de l'échelonnement des
gains, la contrainte implicite qui force les gains des différents points de l'enveloppe de
vol à suivre une courbe lisse en fonction de la pression dynamique, l'utilisation des
méthodes d'optimisation avec contraintes s'impose.
3.3 Les aigorithmes d'o~timisation utilisés
Dans ce qui va suivre, les algorithmes sont divisés en deux classes qui sont les
algorithmes sans contraintes et ceux avec contraintes. Dans les méthodes sans
contraintes, on distingue les méthodes avec évaluation de la dérivée et les méthodes qui
se passent de l'évaluation des dérivées. La première catégorie qui est aussi connue
beaucoup plus sous le nom des méthodes à gradients trés utilisées dans le cas ou
l'information su . le gradient peut être trouvée aisément; ce qui revient à dire que la
fonction objective est continue dans le domaine d'optimisation. Par contre, les méthodes
qui n'utilisent pas le gradient sont beaucoup plus utilisées en présence de non-linéarités
élevées.
3.3.1 Les algorithmes de MATL,AB
La bibliothèque (Toolbox) d'optimisation de MATLAB contient un grand nombre de
méthodes qui sont interconnectées par la commutation ou le choix de l'option selon le
besoin de l'utilisateur. Les méthodes qui sont intéressantes pour cette étude, sont
expliquées brièvement ci- après.
3.3.2 Les méthodes sans contraintes
Deux sous-programmes sont fournis. Un met en application un algorithme Quasi-
Newton, en utilisant DFP ou BFGS pour mettre à jour le Hessien inverse approxime,
selon un commutateur mis en position par l'utilisateur. Des gradients peuvent être foumis
par l'utilisateur ; s'ils ne le sont pas, la méthode des différences finies est utiiisée. Le
deuxième sous-programme utilise l'algorithme du simplex de Nelder-Mead [Mary A.
Branch, 19961, pour lequel les dérivées ne sont pas nécessaires.
3.3.2.1 L'algorithme Ouasi-Newton
Cette méthode est utilisée lorsque le Hessien est difficile à évaluer. Au lieu
d'obtenir une estimée du Hessien en un seul point, cette méthode fait une approximation
à partir des gradients de tous les points déjà visités par l'algorithme. Soient xk l'itération
en cours et Bk la matrice du Hessien approximatif lui correspondant, le systéme linéaire
est résolu pour générer la direction dk . La prochaine itération est alors trouvée en faisant
une recherche en ligne le long de dk et en posant xk+r = xk + a d k . Le prochaiin Hessien
est amélioré par le théorème intégral. Si on d é h i
1 Ce théoréme implique sk jV2 f (xk + tsk)dt = yk
O
qui représente la matrice du Hessien moyen le long du segment [xk, xk+sk] . Ce résultat
conduit a la condition quasi-Newton
Cette condition devient suffisante par la mise à jour de Broyden qui est de la forme :
Le choix de ( ~ k =O donne la mise à jour de Broyden-Fletcher-GoIdfarb-Shanno (BFGS).
Dans la plupart des codes la différence dans l'implantation de la méthode réside dans la
façon de réaliser la mise à jour de la matrice du Hessien. Cette dernière peut être faite par
la décomposition de Cholesky pour B k OU par la mise ii jour de la matrice inverse de Bk.
Dans les deux cas, la mise a jour dans la résolution du système
présente le même nombre d'opérations qui est de n2 [ NEOS/OTC Man 19961.
3.3.2.2 La méthode du sirnolexe de Nelder-Mead
Cette méthode est très utile dans le cas où le gradient est très difficile à calculer ou
lorsque les valeurs de la fonction à optimiser contiennent du bruit. Pour un problème à n
dimensions, cette méthode maintient un simpiex de n+l points (Un triangle dans le cas
de 2 dimensions, ou une pyramide dans le cas de trois dimensions). Les simplexes, lors
de l'optimisation sont toujours en mouvement, en expansion, en contraction et en
distorsion. A partir d'un point initial, on crée le simplex qu'est un ensemble de point
pour lesquels la fonction objective est évaluée [Kuester J. L. et Mize J. H. 19731. Le point
qui présente le coût le plus élevé est remplacé par un nouveau point. Ce dernier doit être
choisi après le déroulement des opérations successives suivantes :
1. La distorsion définit le nouveau point comme étant la somme du barycentre du
simplexe et de la distance entre le barycentre et le point qui doit être remplacé.
La contraction dtfinit le nouveau point, dans le cas ou 1e coût du point calculé au pas
1 est le plus élevé, comme étant la différence entre le barycentre du simplexe et la
distance entre le barycentre et le point qui doit être remplacé. Si le coût du point
calculé au pas 1 est situé entre le coût plus bas et le coût plus élevé, la contraction
défmit le nouveau point comme étant la différence entre le barycentre du simplexe et
la distance entre le barycentre et le point définit par la distorsion. Si le coût du
nouveau point est amélioré, on déplace tous les points de la moitié de la distance vers
le point qui présente le meilleur coiit et on revient au pas 1
3. Si le point définit au pas 1 a le meilieur coût, l'expansion défiNt le nouveau point
comme étant la somme du barycentre du simplexe et de la distance entre le barycentre
et le point définit au point 1. Si ce point présente une amélioration on le garde comme
nouveau point et on revient au pas 1 autrement on garde le point définit au pas 1
comme nouveau point et on revient au pas 1.
4. Le processus s'arrête lorsque le critère de convergence est satisfait ou lorsque le
nombre d'itération est dépassé.
3.3.3 Les méthodes avec contraintes
Elles utilisent la programmation quadratique séquentielle (SQP). La fomule de BFGS
est employée pour mettre à jour une approximation du Hessien. La fonction de mérite de
Han est employée pour déterminer la longueur du pas à chaque itération.
Cette méthode est une généralisation de la méthode de Newton sans contraintes. A
chaque itération majeure, elle résout un problème quadratique. Dans sa forme standard,
elle remplace les fonctions objectives du problème A optimiser par une approximation
quadratique de la forme :
et elle remplace les contraintes par une approximation linéaire. Le pas dk est calculé par
la résolution du sous problème quadriitkpe par :
min {qk(d) : Ci(xk) + VCi(xk)Td 5 û,i E I Ci(xk) + VCi(xk)Td = 0,i E E )
3.3.4 Les svstèmes d'éauations non linéaires et
les moindres carrés non linéaires
La méthode de Newton et L'algorithme de Levenberg-Marquardt sont fournis.
L'utilisateur choisit l'algorithme en plaçant un commutateur selon ses besoins. Quant aux
moindres carrés non linéaires, on peut aussi y utiliser la méthode de Gauss-Newton.
3.3.4.1 Les svstèmes d'6auations non linéaires
Cette algorithme cherche la solution optimale locale au pro bleme
Où les barres doubles (1 !)représentent la nonne d'ordre 2. La méthode de Newton
modifiée est utilisée pour la résolution d'un tel problème. Pour une itération donnée, les
valeurs de f(x) et de son Jacobien sont calcdées et le pas de la prochaine itération est
alors trouvé en résolvant le système d'équations :
Et en posant
3.3.4.2 Les moindres carrés non linéaires
Le problème des moindres carrés non linéaires a la forme générale suivante :
Dans le bibliothèque d'optimisation de MATLAB, on peut y utiliser la méthode de
Gauss-Newton ou celle de Levenberg-Marquardt .
La méthode de Gauss-Newton a la particularité d'évaluer Le Hessien à partir de son
premier terme. Dans la variante de la recherche en ligne de celui-ci, la direction de
recherche dk pour une itération donnée, doit satisfaire ce qui suit :
La méthode de Levenberg-Marquardt est une modification de la méthode de Gauss-
Newton. Cette méthode utilise dans le calcul du pas de chaque itération, la résolution du
sous-problème
Pour &>O et une matrice d'échelle Dk, le rayon p de la région de confiance est
calculé selon la différence entre la valeur prédite de la fonction objective et sa vraie
valeur. Pour qu'un pas soit accepté, il faut que p soit supérieur à une certaine valeur qui
est prise généralement a 0.0001.
CHAPITRE 4
4.1 introduction
Afin de pouvoir comparer, non seulement les méthodes d'optimisation de MATLAB
entre elles, mais aussi avec la méthode OPTIMIZE utilisée dans MATRIXx, il est
nécessaire de prendre certaines mesures.
Étant donnée la différence dans les méthodes de l'approximation de Padé des éléments
de retard dans les deux environnements MATLAB et MATRIXx, la première mesure est
de normaliser la matrice d'état globale du contrÔIeur obtenue pour le même choix de
gains. Cette différence est solutiomée en subdivisant le schéma bloc du contrôleur en
branches variables qui comportent la dynamique de l'avion et les gains du contrôleur et
qui changent d'un point de vol à un autre et en branches invariables qui ne comportent
que la dynamique de l'actionneur et d'autres éléments matériels associés au contrôleur
comportant des éléments de retard. Ces demiéres branches sont linéarisées dans
l'environnement MATRIXx et les résultats ainsi obtenues sont stockées sous formes de
matrices d'état pour être utilisées dans Ies deux environnements. Cette méthode nous a
permis non seulement une normalisation pour la comparaison entre les méthodes mais
aussi un gain dans le nombre d'opérations nécessaires quant à l'obtention de la matrice
globale du mode1 d'état. Cependant, pour tout traitement des matrices d'état du modèle
global dans MATLAB, il est nécessaire de balancer et de comprimer les matrices d'état
du système pour augmenter la précision numérique dans les calculs.
Dans ce travail, plusieurs comparaisons ont été effectuées lors de la réalisation du
projet sur un grand nombre de points de vol et en considérant de différentes facettes dans
le calcul des performances de contrôle et de qualités de manœuvrabilité du système. Des
ajustements ont été apportés sur l'introduction de contraintes explicites sur les gains, sur
la limitation du dépassement et sur la méthode de calcul du Dropback. Les résultats de la
comparaison des méthodes d'optimisation utilisées ne sont concluant qu'une fois les
considérations à prendre sur le modèle de fonctions objectives sont complètement
cernées. Avec le problème initial, qui ne comportait pratiquement pas de contraintes et
de non linéarités additionnelles, toutes les méthodes d'optimisation pouvaient donner une
solution optimale locale satisfaisant plus ou moins les performances considérées et les
faiblesses de certaines méthodes surgissaient a fur et à mesure que la fonction objective
se complétait. Les résultats qui seront présentés dans ce chapitre de comparaison des
méthodes d'optimisation et dans le prochain qui traite l'échelonnement des gains sur
l'enveloppe de vol sont à la base d'une fonction objective qui prend en compte toutes les
exigences qu'il faut atteindre dans les performances de contrôle et de qualités de
manœuvrabilité.
Dans ce qui va suivre, les fonctions objectives, les fonctions d'évaluation et les
contraintes seront présentées en premier et en deuxième lieu la comparaison des
méthodes d'optimisation pour des points de vol isolés et en fonction de différentes
techniques de solutions présentées en théorie. Une fois que l'algorithme et la technique
de solution adéquate répondant le mieux A la solution du problème soient dégagés, dans
le chapitre qui va suivre, on passe à la réalisation de l'échelonnement des gains sur toute
l'enveloppe de vol en fonction de la pression dynamique.
4.2 Les fonctions obiectives. les fonctions d'évaluation et les contraintes
Les fonctions d'évaluation des critères de manœuvrabilité et de contrôle, étalonnées
selon les exigences fixées au préalable, sont représentées dans les figures : 4.1 pour le
dropback, 4.2 pour la bande passante, 4.3 pour le retard de phase et 4.4 pour
l'amortissement. Les symboles utilisés sont :
DB : Dropback, BW: Bande Passante, rd : Retard de phase, Z : L'amortissement,
** :ne s'applique pas
Figure 4.1 La fonction d'évaluation qui représente le dropback
On constate sur la Figure 4.1 que le dropback est centré autour de 0.1 ou le coût est nul
et il donne des coûts élevés en dehors de l'intervalle fixé dans le cahier de charge.
Figure 4.2 La fonction d'évaluation qui représente la bande passante
Sur la Figure 4.2, la bande passante est représentée par une fonction d'évaluation
unilatérale et on constate que pour des bandes passantes supérieurs à 2, on peut atteindre
des coûts trés bas. Cependant pour des bandes passantes inférieures à 2, le coût est élevé.
Figure 4.3 La fonction d'évaluation qui représente le retard de phase
Sur la Figure 4.3, on constate que le retard de phase ne peut être toléré que sur un
intervalle très étroit entre O et 0.2 et c'est la raison pour laquelle la courbe représentant la
fonction d'évaluation paraît presque linéaire.
Figure 4.4 La fonction d'évaluation qui représente l'amortissement
On constate sur la Figure 4.4 que l'amortissement est acceptable pour des valeurs
supérieures a 0.6 et le coût est de plus en plus élevé en bas de cette limite.
Les contraintes explicites qui sont les limites supérieures et infërieures des cinq gains
de contrôle sont ajoutées directement comme fonctions d'évaluation (pénalités) pour les
méthodes d'optimisation sans contraintes et comme contraintes dans le cas des méthodes
d'optimisation avec contraintes.
Le dépassement de la vitesse angulaire de tangage dans le cas de la réponse a
l'échelon unitaire représente une difficulté particulière quant a son introduction comme
fonction d'évaluation, car celui-ci ne s'apprête pas à une limitation systématique et il
rentre en conflit avec la définition du DROPBACK (DB) utilisée. C'est la raison pour
laquelle il est introduit comme pénalité limitant le dépassement à 30% dans les méthodes
sans contraintes. Dans ces dernières il est représenté comme fonction d'évaluation et
comme contrainte dans les méthodes qui le permettent.
4.3 Com~araison des méthodes d'o~timisation
Pour réaliser cette comparaison, on a choisi deux points de vol isolés et pour des
nombres de Mach différents. Ce choix est justifié par le fait que la détermination des
gains du contrôleur soit moins difficile pour des points de vol ayant des nombres de
Mach peu élevés et la difficulté augmente proportionnellement à ce dernier jusqu'aux
points qui possèdent des nombres de Mach de 0.88 et qui est le plus élevé de l'enveloppe.
Les points choisis sont présentés ci après en fonction de leur numéros de repérage sur
l'enveloppe de vol et en fonction des nombres de Mach correspondants :
1. Le point 39 avec Mach = 0.25
2. Le point 50 avec Mach= 0.88
L'optimisation pour chacun des deux points est réalisée en utilisant les techniques
présentées en théorie pour la combinaison scalaire des fonctions d'évaluation pour la
détermination du coût a chaque itération et pour toutes les méthodes d'optimisation.
Une estimation des gains initiaux pour chacun des points et pour chacun des gains est
donnée comme le montre le Tableau 4.1
N.B. Il est à noter que les symboles utilisés pour les gains sont représentés sur le schéma
bloc du système de commande à l'Annexe A
Tableau 4.1
Les estimations initiales des gains pour
les points de vol (points 39 et 50)
IGains Point 39 Point 50
Les optimums locaux de chacun de ces deux points sont connus au préalable par un
grand nombre de choix d'estimations initiales pour les gains et par toutes les méthodes
d'optimisation dont disposent les deux environnements MATLAB et MATRIXx. Les
estimations initiales des gains du Tableau 4.1 sont choisis de telle sorte qu'ils soient
suffisamment éloignés des solutions désirées.
La solution attendue pour le point 39 doit être autour de l'un des deux minimums
locaux dont les gains et les performances du système sont présentées au Tableau 4.2 et les
réponses a un échelon unitaire de la vitesse angulaire du tangage pour chacune des
solutions a Ia Figure 4.5. Les deux solutions du point de vol 39 sont repérées par les
entêtes ((solution 39 a N et ((solution 39b D. La solution du point 50 qui est unique et elle
est représentée par ((solution 50 ».
Tableau 4.2
Les gains et les critères de performance attendus par l'optimisation
Gains solution 39 a solution 39b solution 50 Kn 0.9 1.13 0.65
Coût total 0.06 0.29 0.98
Les réponses temporelles de la vitesse angulaire de tangage à l'échelon unitaire sont
représentés à la Figure 4.5
Figure 4.5 La réponse temporelle de la vitesse angulaire de tangage
a un Cchelon unitaire pour les points 39 et 50
On constate que le dépassement pour toutes les solutions et pour tous les points de vol
ne dépasse pas 30% et que la consigne est approchée à moins de 5% autour de trois
secondes.
3.3.1 La méthode du sim~lexe de Nelder-Mead (finins)
Cette méthode est mise au point par les trois options suivantes :
1. Le critère d'arrêt sur les variables est choisi à : 0.01
2. Le critère d'arrêt sur le coùt est choisi a : 0.02
3. Le nombre maximum d'itérations est pris a : 500
a- En appliquant la combinaison linéaire des fonctions d'évaluation, l'équation (3.3)'
les résultats obtenus pour les gains, les critères de performance et le nombres
d'itérations (Niter) sont présentés dans Ie Tableau 4.3, quant au dépassement, il est
de 34% pour le point 39 et 200% pour le point 50, voir Figure 4.6
Tableau 4.3
Les résultats obtenus parfnrins en utilisant
la combinaison linéaire des fonctions d'évaluation.
1 Gains Point 39 Point 50 1
--
Niter 239 134 Coût max 0.05 0.8722 Coût total 0.058 1.92
Temps CPU 700 132
Temps en sacondes
Figure 4.6 les réponses indicielles de la vitesse angulaire de tangage
pour les points 39 et 50 trouvées avecfinins et
la combinaison du paragraphe (a).
On constate sur la Figure 4.6 que toutes les spécifications de qualités de
manœuvrabilité sont satisfaites pour les deux points de vol 39 et 50, par contre, pour le
point de vol 50, le dépassement est de 200 %. Pour ce point, la contrainte sur le
dépassement n'a pas pu être résolue et le coût total obtenu est principalement dû à Ia
pénalité représentant cette contrainte.
b- En appliquant la programmation multiniveaux des fonctions d'évaluation,
l'équation (3.41, les résultats obtenus pour les gains, les critères de performance et
le nombre d'itérations sont présentés dans le Tableau 4.4
Tableau 4.4
Les resultats obtenus parfmins en utilisant
la programmation multiniveaux des fonctions d'évaluation.
1 Gains Point 391
-- -
Niter 66 Coiit max 0.44 - -
Coût total 0.6 Temps CPU 200
On constate que les résultats obtenus sont exactement ceux qui sont attendus dans le
Tableau 4.1 pour le point 39 (solution a), par contre aucun tésultat tangible n'a été trouvé
avec cette technique de solution pour le point de vol 50.
c- En appliquant la combinaison linéaire de la moyenne et de l'écart type des
fonctions d'évaluation, l'équation (3.6) avec A=2, les résultats obtenus pour les
gains, les critères de performance et le nombre d'itérations sont présentés dans le
Tableau 4.5.
Tableau 4.5
Les résultats obtenus parfinins en utilisant la combinaison
linéaire de la moyenne et de l'écart type
des fonctions d'évaluation.
IGains Point 39 I
f Coût max 0.046 1 Coiit total 0.13 Temp CPU 287
N.B Aucune solution n'est trouvée pour le point 50 en se basant sur les hypothèses
émises pour la comparaison. Cependant, avec le changement de la condition initiale ou
l'élimination de la pénalité sur le dépassement, on finit par retrouver le minimum local.
4.3.2 La méthode Ouasi-Newton lfminul
Cette méthode est mise au point par les options suivantes :
1. Le critère d'arrêt sur les variables est choisi à : 0.01
2. Le critère d'arrêt sur le coût choisi a : 0.02
3. Le nombre maximum d'itérations choisi à : 500
4. Le choix des pas inférieur et supérieur pour l'estimation du gradient avec les
différences finies : (10"-10" ) à lo6 5. Le choix de la méthode en combinant les deux options suivantes :
Évaluation du Hessien selon : BFGS, DFP ou Direction descendante
Recherche : avec interpolation/extrapolation polynomiale cubique et
quadratique (recherche en ligne), ou cubique
Par cette méthode, il n'y a aucune solution tangible pour le point de vol 50, par contre,
des solutions sont trouvées pour le point de vol 39 moyennant les techniques de
combinaison des fonctions d'évaluation pour la détermination du coût scalaire et en
combinant les différentes variantes citées au point 5 du paragraphe ci-dessus.
a- En appliquant la combinaison linéaire des fonctions d'évaluation, équation (3.3), et
en choisissant la méthode Quasi Newton avec la mise a jour du Hessien par la
méthode BFGS et la recherche en ligne, les résultats obtenus pour les gains, les
critères de performance et le nombres d'itérations mer) sont présentés dans le
Tableau 4.6 et la réponse temporelle à [a Figure 4.7
Tableau 4.6
Les résultats obtenus parfntinw en utilisant la
combinaison du paragraphe (a)
Gains Point 39 Kff 1 .O55
Niter 278 Coût max 0.08 Coût total 0.2
Temp CPU 800
Figure 4.7, La réponse temporelle de la vitesse angulaire de tangage à un échelon unitaire
pour le point 39 et pour les solutions trouvées avec fminu avec la combinaison du
paragraphe (a)
Quoique le coût global obtenu soit un peu plus élevé que celui attendu, les
spécifications restent toujours respeciies et la réponse temporelle pour la vitesse
angulaire de tangage reste aussi dans des limites acceptables.
En passant de la méthode de la mise à jour du Hessien par la méthode du BFGS à la
méthode du DFP, les mêmes résultats sont retrouvés avec un nombre d'itération de 274
et pratiquement avec le même temps CPU. En conjuguant la méthode Quasi Newton avec
la mise à jour du Hessien par la méthode du BFGS et la recherche cubique le nombre
d'itérations a passé à 445 et le temps CPU a doublé sans atteindre le moindre optimum.
Aucun autre changement palpable au niveau des résultats ou au niveau du nombre
d'itérations n'est observé en essayant d'autres combinaisons de méthodes de mise à jour
du Hessien et des méthodes de recherche proposées par MATLAB pour cette technique
de combinaison de fonctions d'évaluation.
b- En appliquant la combinaison linéaire de la moyenne et de l'écart type des
fonctions d'évaluation, l'équation (3.6) avec un facteur de pondération de 2, pour
trouver le coût scalaire, les résultats obtenus par la méthode du Quasi-Newton avec
la mise à jour du Hessien par le BFGS et la recherche en ligne, pour les gains, les
critères de performance et le nombres d'itérations sont présentés dans le Tableau
4.7.
Tableau 4.7
Les résultats obtenus par fminu en utilisant la combinaison
du paragraphe (b)
1 Gains Point 39
Niter 204 Coût max 0.023 Coût totaI 0.048
Temp CPU 642
bl - Pour la même combinaison que celle du paragraphe b, et en passant de la mise à
jour du Hessien par la méthode du BFGS a celle du DFP, les mêmes résultats ont
été retrouvés avec un nombre d'itérations de 177 et un temps CPU de 444. Par
contre, d'autres résultats ont été trouvés pour le Quasi Newton avec la méthode du
DFP et la recherche en interpolation/extrapolation cubique comme le montre le
Tableau 4.8.
Tableau 4.8
Les résultats obtenus par fminu en utilisant
la combinaison du paragraphe b 1
Gains Point 39 Kn 1.019 Ki 0.5
mp 0.5 Km 2 Kfb o. 1 DB -0.033 BW 2.07 Td O. 18 2 1 0.99 22 0.99 23 ** Niter 283 Coût max 0.023 Coût total 0.048
Temp CPU 700
Aucune autre combinaison de méthodes pour fminu n'a donné de résultats qui puissent
être cités pour cette même technique de combinaison de fonctions d'évaluation.
c- En appliquant la programmation multiniveaw sur les fonctions d'évaluation,
l'équation (3.4), et en choisissant toutes les combinaisons des méthodes defminu,
on ne trouve aucun résultat tangible.
4.3.3 La méthode Gauss-NewtonlLevenbere Maruuardt lfsolve)
Cette méthode est mise au point par les options suivantes :
1. Le critère d'arrêt sur les variables est choisi à :0.01
2. Le critère d'arrêt sur le coût choisi à :0.02
3. Le nombre maximum d'itérations pris a 500
4. Le choix des pas inférieur et supérieur pour l'estimation du gradient avec les
différences finies : (10~-10q à 10".
5. Le choix de la méthode en combinant les deux options suivantes
Utilisation des algorithmes : Gauss-Newton ou Levenberg-Marquardt
Recherche : avec interpolatiodextrapolation polynomiale cubique et
quadratique(Recherche en ligne), ou cubique
a- En appliquant la combinaison linéaire des fonction d'évaluation équation (3.3)' et
en choisissant la méthode GaussNewton avec recherche en ligne aucun résultat
n'est trouvé. Les résultats obtenus par la méthode de Levenberg-Marquardt pour
les gains, les critères de performance et le nombres d'itérations mer) sont
présentés dans le Tableau 4.9 et la réponse temporelle à la Figure 4.8.
Figure 4.8 Réponse temporelle de la vitesse angulaire de tangage pour la solution trouvée
avecfiolve (Levenberg-Marquardt)
Tableau 4.9
Les résultats obtenus parfsolve en utilisant la combinaison linéaire des fonctions
d'évaluation et la méthode de Levenberg-Marquardt avec la recherche en ligne.
Gains Point 39 Ka 0.95 Ki 0.95
rop 0.62 I(N 2 h l 0.18 DB - 0.034 BW 2.09 Td 0.18 21 0.85 22 0.99 23 **
Pour la méthode de Levenberg-Marquardt avec recherche en interpolation
polynômiale cubique, les mêmes résultats ont été retrouvés après 150 itérations et un
temps CPU de 358.
On constate que le coût global est relativement élevé mais toutes les spécifications sont
satisfaites avec une réponse temporelle acceptable.
b- En appliquant la combinaison linéaire de la moyenne et de l'écart type des
fonctions d'évaluation, équation (3.6) avec h=2, aucun minimum n'est trouvé ni
pour la méthode de Gauss-Newton ni pour la méthode de Levenberg-Marquardt
c- En appliquant la programmation multiniveaux des fonctions d'évaluation,
équation (3.4)' aucune combinaison n'a donné de résultats palpables.
4.3.4 La méthode Gauss-NewtonLevenberg Marauardt (Leastsa)
Cette méthode est mise au point par les options suivantes :
1. Le critère d'arrêt sur les variables est choisi à :0.01
6. Le critère d'arrêt sur le coût choisi a : 0.02
7. Le nombre maximum d'itérations pris à : 500
8. Le choix des pas infërieur et supérieur pour l'estimation du gradient avec les
différences fuies : (1 0' - 1 oa) à 10'
9. Le choix de la méthode en combinant les deux options suivantes
Utilisation des algorithmes : Gauss-Newton ou Levenberg-Marquardt
Recherche : avec interpolation/extrapolation polynorniale cubique et
quadratique ou cubique.
Pour cette méthode (leustsq), les mêmes algorithmes d'optimisation sont utilisés que
pour ia méthode fsolve, et la différence fondamentale est dans le positionnement du
problème. Pour fsolve, il s'agit de ramener le problème à la risolution d'un système
d'équations non linéaires et pour la méthode leastsq, le problème résolu est celui des
moindres carrés non linéaires.
a- En appliquant la combinaison linéaire des fonction d'évaluation équation (3.3), les
résultats obtenus par la mithode de Levenberg-Marquardt pour les gains, les critères
de performance et le nombres d'itérations miter) sont présentés dans le Tableau
4.1 O.
Tableau 4.10
Les résultats obtenus par leastsq par la méthode de Levenberg-Marquardt et
la combinaison linéaire des fonctions d'évaiuation
1 -- - -
Gains point39
--
~ i t e r -
41 Coût m a 0.06 Coût total 0.1
Temp CPU 1 O0
N.B. 11 est à noter que exactement les mêmes résultats sont retrouvés pour les deux
méthodesfsolve et leastsq en comparant les mêmes choix de variantes.
4.3.5 La méthode de ÿ rom am mat ion quadrati~ue séouentielle fconsrr)
Cette méthode est basée sur la programmation quadratique séquentielle et elle est
mise au point par le choix des critères suivants :
1. Le critère d'arrêt sur les variables est choisi a : 0.01
2. Le critère d'arrêt sur le coût choisi à : 0.02
3. Le nombre maximum d'itérations choisi à : 500
4. Le choix des pas inférieur et supérieur pour l'estimation du gradient avec les
différences finies : (IO& -1r8) à lo4
5. Le critère de violation des contraintes est fixé à : 10"
6. Le choix de la méthode en combinant les deux options suivantes :
Recherche en ligne
Recherche directionnelle.
a. En appliquant la combinaison linéaire des fonctions d'évaluation équation (3.3)'
les résultats obtenus constr, recherche en ligne pour les gains, les critères de
performance et le nombres d'itération sont présentés dans le Tableau 4.1 1.
Tableau 4.1 1
Les résultats obtenus par consrr avec recherche en ligne en utilisant
la combinaison linéaire des fonctions d'évaluation.
1 Gains Point 39 Point 50
1 K., 1.88 1.13 1
- -
Niter 54 60 +
CoUt max 0.023 0.9 Coût total 0.059 0.98
Temm CPU 90. 109 '
On retrouve exactement les mêmes résultats pour le point de vol 39 avec la recherche
directionnelle après 100 itérations. Pour le point 50, les mèmes résultats sont aussi
retrouvés et avec le même nombre d'itérations.
b. En appliquant la combinaison linéaire de la moyenne et de l'écart type des
fonction d'évaluation équation (5.6), les résultats obtenus pour la méthode consh;
avec recherche en ligne et directionnelle, pour les gains, les critères de
performance sont les mêmes que ceux du Tableau 4.1 1 et te nombre d'itérations
est de 35
c. En appliquant la programmation multiniveaux des fonctions à'évduation,
équation (3.4), les résultats obtenus par cette méthode pour le point 39 sont les
mêmes que ceux du Tableau 4.1 1 avec un nombre d'itérations de 64 et aucun
résultat n'est trouvé pour le point 50.
4.3.6 La méthode de ~rommmation auadratiaue séouentielle (minimar)
Cette méthode est mise au point par les critères suivants :
1. Le critère d'arrèt sur les variables est choisi à : 0.01
2. Le critère d'ardt sur le coût choisi à : 0.02
3, Le nombre maximum d'itérations choisi à : 500
4. Le choix des pas inférieur et supérieur pour l'estimation du gradient avec les
différences finies : (10" - 1 0 ~ ) A lo6
5. Le critére de violation des contraintes est fixé à : lw3
6. Le choix de la méthode en combinant les deux options suivantes :
Recherche en ligne
Recherche directionnelle
a. En appliquant la combinaison linéaire des fonctions d'évaluation équation (3.3),
les résultats obtenus par minima, recherche en ligne ou directionnelle pour les
gains, les critéres de performance et le nombres d'itérations sont présentés
dans le Tableau 4.12.
Tableau 4.12
Les résultats obtenus par minimm avec recherche en ligne en utilisant la
combinaison linéaire des fonctions d'évaluation.
Gains Point 39 Point 50 Kn 0.875 0.6738
Coût max 0.023 0.98 Coût total 0.059 1.1
b. En appliquant la combinaison linéaire de la moyenne et de l'écart type des
fonctions d'évaluation équation (3.61, les résultats obtenus pour la méthode
minima, avec recherche en ligne et directionnelle, p u r les gains, les critères de
performance sont les mêmes que ceux du Tableau 4.12 et le nombre d'itérations
est de 156 pour la recherche en Iigne et 60 pour la recherche directionnelle.
c. En appliquant la programmation multiaiveaux des fonctions d'évaluation,
équation (3.4), les résultats obtenus par cette méthode pour le point 39 sont Les
mêmes que ceux du Tableau 4.12 avec un nombre d'itérations de 84 et aucun
résuItat n'est trouve pour le point 50.
4.3.7 La méthode de ~ ro~ammat ion quadratiaue séauentielle (attmaf)
Cette méthode est mise au point par le choix des options suivantes :
1. Le critère d'arrêt sur les variables est choisi à : 0.01
2. Le critère d'met sur le coût choisi à : 0.02
3. Le nombre maximum d'itérations choisi à : 500
4. Le choix des pas inférieur et supérieur pour l'estimation du gradient avec les
différences finies : (106 - 1 0 ~ ) à lad 5. Le critkre de violation des contraintes est fixé A : 1 u3 6. Le choix de la méthode en combinant les deux options suivantes :
Recherche en ligne
Recherche directionnelle
7. Le nombre d'objectifs à atteindre, choisi A : 1
Cette méthode permet de résoudre un problème d'optimisation rnuitiobjectif sans la
moindre combinaison des différentes fonctions d'évaluation comme le montre le point 7
ci-dessus. Dans notre probléme d'optimisation, le nombre de fonctions d'évaluation
considérées change plusieurs fois au cours des itérations, suivant le nombre de modes que
le système comporte. C'est la raison pour laquelle le choix d'objectifs est en un seul
combiné, comme c'est le cas pour toutes les autres méthodes utilisées.
a. En appliquant la combinaison linéaire des fonctions d'évaluation, équation (3.3),
les résultats obtenus par artgoal, recherche en ligne pour les gains, les critères de
performance et Ie nombres d'itérations ( Niter ) sont présentés dans le
Tableau 4.13 et la réponse temporelle a la Figure 4.9.
Figure 4.9 Réponse temporelle pour le point 50 pour les résultats trouves par aftgoal.
Tableau 4.1 3
Les résultats obtenus par artgoal avec recherche en ligne en utilisant la combinaison
linéaire des fonctions d'évaluation.
1 Gains Point 39 Point 50
1 Niter 400 1 Coiit max 0.023 0.85 Coût total 0.059 0.88
Temps CPU 600
On constate A la Figure 4.9 que la réponse temporelle a un dépassement supérieur a
80% malgré que toutes les autres spécifications soient respectées, il reste que cette
contrainte violée laisse la solution non acceptable.
Pour Ia recherche directionnelle, on n'a pas trouvé de résultats.
b. En appliquant la combinaison linéaire de la moyenne et de I'écart type des
fonction d'évaluation équation (3.6), les résultats obtenus pour la méthode
aftgoal, avec recherche en ligne et directionnelle, pour les gains, les critères de
performance sont les mêmes que ceux du Tableau 3.5.1 et le nombre d'itérations
est de 150
c-En appliquant la programmation multiniveaux des fonctions d'évaluation, équation
(3.4)' les résultats obtenus par cette méthode pour le point 39 sont les mêmes que
ceux du Tableau 4.13 avec un nombre d'itérations de 75 et aucun résultat n'est trouvé
pour le point 50.
4.4 Comuaraison des méthodes avec contraintes de MATLAB et de MATRiXx
Pour faire cette comparaison, le point de vol 40 avec un Mach de 0.4 a été choisi par
BOMBAEUIIER AÉRONAUTIQUE ainsi que les estimations initiales des gains suivants:
Le gain Ki est fixé à 1.2 et Kpw à O, Pour les algorithmes de MATLAB, on a choisi la
recherche en ligne avec les critères suivants :
Sur les gains et sur le coût 10' et sur le nombre d'itérations 300
Sur la violation des contraintes B 10'
Le pas de calcul du gradient à 10"
Les mêmes conditions sont réunies dans OPTIMIZE de MATRLXx . La méthode de
combinaison des fonctions d'évaluation est du type linéaire de l'équation (3.4) :
Tableau 4.14
Les résultats de comparaison des méthodes avec contraintes
de MATLAB et de MATRlXx
Coût total 0.0361 0.0359 0.0361 0.0355
MATLAB
Itérations 5 0 50 50 1 40
MATRlXx
Il est de toute évidence que la méthode qui reste la plus adéquate à la résolution de ce
problème est conm de MTLAB.
Gains attgoal constr minimax optimize
CHAPITRE 5
ÉCHELONNEMENT DES GAiNS SUR L'ENVELOPPE DE VOL
5.1 Introduction
Après avoir comparé les méthodes d'optimisation, il ressort que la méthode CONSTR,
basée sur la programmation quadratique séquentielle avec contraintes et avec la recherche
en ligne est la plus commode pour I'écheiomement des gains sur toute l'enveloppe de
vol.
Dans ce chapitre, il ne s'agit plus de déterminer les gains du contrôleur pour un point
de vol isolé sans tenir compte des points qui lui sont voisins. Pour en faire, il est
nécessaire de formuler un problème d'optimisation qui peut mettre en relation tous les
gains du contrôleur pour un point de vol donné avec les gauis de tous les autres points de
vol. Cette relation doit tenir compte de l'un des paramètres physiques qui font que la
dynamique de l'avion change d'un point à l'autre (MACH, Pression dynamique, centre
de gravité...). Le principal paramètre considéré dans ce problème est la pression
dynamique.
La première méthode utilisée est celle de mettre une pénalité sur la tangente entre les
gains de mêmes types des points de vol qui se suivent par rapport à la pression. Cette
méthode a été rejetée à cause de l'inconvénient qu'elle présente comme non linéarités et
difficultés dans la maîtrise du sens de la tangente et les résultats obtenus ne peuvent pas
être utilisés. Cependant, la méthode qui fait passer un polynôme à variations lisses en
fonction de la pression dynamique semblait être le mieux adapté à ce genre de problèmes.
La dificulté est d'imaginer un polynôme qui peut contenir les gains de tous les points de
vol en fonction de la pression. Les polynômes essayés en premier était du type linéaire et
en deuxième lieu de type fractionnel. Les résultats les plus satisfaisant sont ceux trouvés
avec ces derniers polynômes.
Pour un point de vol isolé (k) donné, on doit satisfaire les spécifications de contrôle et
de qualités de manœuvrabilité lui correspondant de la même façon que pour le problème
d'optimisation présenté au chapitre précédent. Cependant, pour tous les points de vol,
chaque type de gain du point de vol (k) doit être aligné sur une courbe lisse avec les
autres gains de même type appartenant à d'autres points de vol en fonction de la pression
dynamique. Cet ensemble de courbes peut être représenté par des polynômes à
coefficients inconnus et dont les variables sont les pressions dynamiques du point
considéré p(k).
Le premier type de polynôme essayé est de la forme suivante :
Ce polynôme, lorsqu'il est d'ordre deux, il ne peut pas contenir tous les points de
l'enveloppe de vol. Lorsqu'il est d'ordre plus élevé, il passe par des zones de non
faisabilité qui arrêtent les itérations d'optimisation. Cependant une bonne connaissance
des estimations initiales des coefficients peut donner de meilleurs résultats.
Les polynômes de type fractionnels (hyperboliques) sont comme suit :
Gainfi) = a,/P"fi)+~~-~ /pn-' (kj + ... +a0
Ce polynôme est tronqué progressivement et essayé pour chacun des gains jusqu'à
l'obtention de la forme qui donne de meilleurs résultats et il est formulé comme suit :
Cette équation (5.3) a donné des résultats très satisfaisants sauf pour les points de vol
ayant le nombre de Mach de 0.88, le plus élevé dans l'enveloppe de vol.
Les contraintes sont au nombre de point de vols considéré multiplié par deux fois le
nombre de gains à déterminer. Toutes les contraintes sont du type implicite, c'est à dire
que chaque polynôme représentant un gain doit être compris entre sa borne supérieure et
sa bome inférieure. C'est à travers les coefficients des polynômes que les gains de chaque
point de vol sont déterminés. Les estimations initiales ne sont plus sur les gains mais
plutôt sur les coefficients des polynômes. Le choix des coefficients initiaux pour les
polynômes doivent être choisis de façon h ce qu'ils satisfassent le maximum de
spécifications pour un grand nombre de points de vol.
Les points de vol sont domes en 6 groupes de 20 points et la pression dynamique se
répète avec une périodicité de 20 points. C'est à dire que la pression dynamique du point
de vo 1 k est la même pour le point b20, k+40,. . .et k+ 100 avec k = 1 . . .20.
L'optimisation est donc réalisée sur 6 groupes de points de vol, chacun à la fois.
5.3 Le modèle
Les gains de chaque point de vol R sont calculés par l'équation (5.3) à partir des
données de la pression dynamique de chaque point. Le coût de chacun des points est dors
calculé à partir de la somme des fonctions d'évaluation, équation (5.4) suivante :
~ o û t ( k ) = E Y , (k) (5.4)
Avec i comme indice de la fonction d'évaluation EV se rapportant a un critère de
performance.
L'ensemble des coûts forme le vecteur coQt à optimiser par la combinaison linéaire de
la moyenne et de l'écart type de l'équation (5.5) :
Avec il comme facteur de pondération .
5.4 Les résultats obtenus
La première approche du problème est de trouver quelques points de vol dont les gains
peuvent satisfaire les coefficients des polynôme (5.6) et de généraliser la procédure pour
des groupes de 20 points qui se suivent dans l'enveloppe de vol. Les polynômes choisis
pour chacun des gains sont les suivants :
11 est à noter que l'échelle des pressions a été divisée par 30 pour permettre une
meilleure sensibilité numérique pour les coefficients des polynômes.
On peut constater que certains coefficients du système de polynômes sont fixés de
façon arbitraire et cela afin de déterminer les autres conditions initiales progressivement.
Durant la première étape, on a choisi les condiîions initiales pour les coefficients
manquants à O et l'optimisation est alors effectuée avec la méthode constr et en se servant
de la méthode de combinaison lindaire des fonctions d'&duation pour les points de vol
isolés et la combinaison linéaire de la moyenne et de l'kart type des coûîs individuels de
chacun des points. Les résultats ainsi obtenus ne présentent pas une solution finale
quoiqu'elle soit très proche, par contre c'est une étape qui nous permet de trouver les
estimations initiales au problème global . Le Tableau 5.1 montre un sommaire des
résultats obtenus pour chacun des coefficients.
Tableau 5.1
Les coefficients des polynômes 5.1 après la première
optimisation, sans tenir compte du dépassement
1 Points de vol al2 a21 a31 a41 a5 1
Le nombre d'itérations est de 60 et le temps CPU pour chaque itération est 39 en
moyenne. Les coûts, les spécifications et les courbes des gains en fonction de la pression
dynamique pour les 6 groupes de 20 points sont représentés dans L'Annexe B.
On constate sur ces résultats que pour la plupart des points dont le nombre de Mach est
inférieur a 0.88, toutes les spécifications de contrôle et de quditds de manceuvrabilité
sont atteintes à l'exception du dropback qu'est en dehors des limites acceptables pour un
certain nombre de points et le dépassement dont on n'a pas tenu compte.
Lorsqu'on a introduit la contrainte sur le dépassement et les valeurs des coefficients
obtenus à l'étape précédente comme estimations initiales, les résultats obtenus pour les
coefficients des polynômes sont donnés au Tableau 5.2 et les résultats ainsi obtenus sont
représentés dans l'Annexe C.
Tableau 5.2
Les coefficients des polyndmes 5.1 après la premiere
optimisation, en tenant compte du dépassement
[ Points de vol Coefficients des polynômes
Numéros a12 a21 a31 a41 a51 al1 a42 a22
Les coûts de certains points ont augmenté, par contre toutes ies spécifications de
contrôle et de qualités de manaeuvrabilité ont été atteintes à l'exception des points dont le
nombre de Mach est de 0.88. Généralement les points qui sortent A cette règle portent les
numéros 1 0 et 1 9 pour chaque série de 20 points.
Le rapprochement entre [es dures des courbes de l'échelonnement des gains pour les
groupes de points de vol 1'3 et 5 ainsi que celies de 2,4 et 6 donne l'idée de considérer
des groupes de 60 points en même temps. Les résultats obtenus pour chacun des groupe
de 60 points sont donnés au Tableau 5.3 et les courbes des caractéristiques, des coûts et
des critères de performances dans l'Annexe D.
11 est à noter que les groupes notés Groupe 1 et Groupe II sont composés de points de
vols qui sont dans L'ordre suivant :
Groupe 1 : De 39 à 58,79 à 98 et 119 à 138.
Groupe II : De 59 à 78,99 à 118 et 139 a 158.
Tableau 5.3
Les coefficients des polynômes 5.1 pour 2 groupes
de points de vol
Points de vol Coefficients des polynômes
Group 1 2.077 O 11.44 14.97 1.45 0.368 0.387 0.5
Group II -0.0039 1.73 17.038 -0.0039 1.6 0.443 0.443 0.3258
CONCLUSION
Dans ce projet, ce qui rend la comparaison difficile est le fait que l'optimisation
dépend des algorithmes utilisés, de la calibration des fonctions d'évaluation sur les
critères de performance, de la combinaison de ces fonctions d'évaluation en vu de trouver
le coût scalaire par rapport auquel se fait la minimisation et de l'introduction des
contraintes. Pour ces raisons, on ne peut comparer que les méthodes du même type entre
elles, c'est à dire les méthodes sans contraintes d'une part et les méîhodes avec
contraintes de l'autre.
On constate en premier lieu que les fonctions d'évaluation sont à la base de
l'optimisation que se soit pour les méthodes avec contraintes ou celles sans contraintes.
Dans cette dernière catégorie, le nombre de fonctions d'évaluation est beaucoup plus
élevé à cause de l'introduction des pénalités sur les bornes supérieures et inférieures des
cinq gains et sur le dépassement. C'est alors dans ces méthodes sans contraintes qu'on
peut constater le plus l'effet de chacune des trois techniques de solutions utilisées pour la
combinaison des fonctions d'évaluation pour obtenir le coût scalaire.
La combinaison linéaire des fonctions d'évaluation est la méthode la plus compatible
avec tous les algorithmes d'optimisation utilisés. Cet avantage lui provient de son
élargissement du champ de solutions, on peut obtenir le même coût scalaire pour de
différentes valeurs de fonctions d'évaluation. Cependant cet avantage peut devenir un
inconvénient si le minimum visé est un minimum global. Les autres inconvénients de
cette méthode apparaissent en présence des cas où la variation des gains sur un certain
incrément n'est pas suivie d'un changement dans le coût scalaire résultant et lorsque le
minimum trouvé favorise certains critères de performances au détriment de l'un ou de
plusieurs autres. Pour remédier aux insuffisances de cette première méthode, on a
introduit Ia technique de la combinaison linéaire de la moyenne et de l'écart type du
vecteur de fonctions d'évaluation. Cette technique est moins compliquée ii mettre au
point vue qu'etle ne comporte qu'un seul facteur de pondération et elle donne un meilleur
compromis entre les crittres de performance. Cependant, son principal inconvénient
réside dans le nombre d'itérations relativement &levé à l'approche du minimum et pour
les points de vol ou les passages entre tes différents modes sont fréquents. Quant a la
méthode de programmation multiniveaux, elle introduit des non-linhités très élevées et
il ne manifeste pas un avantage particulier dans ce problème tel qu'il est formulé.
Même avec l'inconvénient majeur rencontré dans les méthodes d'optimisation sans
contraintes et qui rdside dans les non-linkarites rajoutées au problème avec l'introduction
des pénalités, des soIutions pour des points de vol dont le nombre de Mach est peu élevé
sont trouvées tel est le cas pour le point de vol 39.
On constate que la méthode du simplexe de Nelder-Mead est compatible avec toutes
les trois techniques de solution utiIisées dans la combinaison des fonctions d'évaluation
pour des points de vol dont le nombre Mach est peu élevé et cela est dû à sa capacité de
supporter les non-linéarités à cause qu'elle n'utilise pas le calcul du gradient dans ses
itérations. Cette même méthode présente aussi l'avantage d'optimiser tous les crithces de
performance séparément et de laisser la fonction d'évaluation qui présente des difficultés
particulières à sa valeur maximale tel est le cas de la solution muvée pour le point de vol
50 (Tableau 4.3). Cet avantage ne donne pas une solution au problème mais il offre une
vision d'analyse sur la fonction d'évaluation à laquelle il faut changer la formulation,
dans le cas du (Tableau 4.3), on trouve que la fonction d'évaluation représentant le
dépassement est la plus incompatibke et elle reste à sa valeur maximale de 1 maigré que
tous les autres critères de performance soient optimisés. La traduction de cette méthode
dans l'environnement MATRiXx donne exactement les mêmes résultats que ceux de
l'environnement MATLAB ce qui donne une assurance que les résultats de calcul a
chaque itération sont les mêmes dans les deux environnements.
L'algorithme Quasi-Newton (Fninu) ne donne aucun résultat pour les points de vol
dont le nombre de Mach est élevé et il présente une grande difficulté quant a sa mise au
point à cause du grand nombre d'options que cela présente.
Les deux méthodes basées sur l'un des algorithmes, Gauss-Newton ou Marquardt-
Levenberg qui sont Bolve) et (leastsq), peuvent ne pas donner de minimums même pour
des points de vol dont le nombre de Mach est très petit et elles sont très sensibles au
choix des estimations initiales des gains. L'inconvénient majeur de ces deux méthodes
est que pour beaucoup de cas, la dernière itération qu'est la solution n'est pas injectée
dans la fonction objective pour une dernière vérification.
Les méthodes avec contraintes, toutes basées sur la méthode de la programmation
quadratique séquentielle, peuvent être vues comme appartenant à deux catégories
distinctes. La première catégorie est celles des méthodes qui supportent tes contraintes
explicites et les contraintes implicites en même temps et la deuxième est celte des
méthodes qui ne supportent que les contraintes explicites. A la premikre catégorie, on
peut associer la méthode (cons&) de MATLAB et la méthode (oprimire) de MATRJXx et
toutes les autres méthodes avec contraintes appartiennent A la deuxiéme catégorie. Dans
toutes ces mdthodes, le nombre de fonctions d'évaluation est très réduit par rapport à
celui des méthodes sans contraintes ce qui leur of ie l'avantage dans le degré de non-
linéarités peu élevé.
Dans la méthode (constr) de MATLAB, les contraintes implicites sont formulées
directement dans la fonction objective sous forme de contraintes d'inégalités et on n'a
besoin d'aucune connaissance préalable sur le domaine de faisabilité de ces contraintes.
Un message d'erreur est affiché si une contrainte s'avère non faisable. On trouve que
cette méthode donne des solutions adéquates après un nombre d'itérations très petit
comparativement à d'autres méthodes et les solutions locales sont atteintes pour tous les
points de vol.
La méthode (optimize) de MAT= présente une dificulté particulière quant a
l'introduction des contraintes implicites. On doit spécifier les bornes infërieure et
supérieure ainsi que le milieu de l'intervalle pour chacune des contraintes, alors que dans
ce problème d'optimisation qu'est purement numérique une ou plusieurs de ces données
peuvent manquer. Les solutions optimales sont atteintes pour tous les points de vol avec
un nombre d'itérations qui peut aller jusqu'au ûiple de celui de la méthode ( c o w ) de
MATLAB.
Dans la méthode (minima) et (attgoal) de MATLAB qui ne peuvent supporter que les
contraintes explicites, le dépassement ne peut pas être pris en considération. Pour
(minimm), mis à part cet inconvénient de contraintes implicites, il présente les mêmes
autres caractéristiques que (constr).
La méthode (attgoal) n'atteint pas les minimums pour tous les points de vol, vue
qu'elle est conçue pour minimiser un vecteur de fonctions d'évaluation sans la moindre
combiiaison pour obtenir le coût scalaire. Cette demiere ne peut pas être utilisée a cause
du changement de la longueur du vecteur des fonctions d'évaluation au cours des
itérations dû aux transitions entre les modes.
La méthode (constr) a fait le premier choix dans les méthodes d'optimisation traitées et
c'est la raison pour laquelle elle a été choisie pour l'échelonnement des gains. Dans ce
dernier, les deux techniques de combinaison des fonctions d'évaluation sont utilisées, la
combinaison linéaire des fonctions d'évaluation pour pouvoir profiter du grand c b p de
solutions qu'ele offre pour chacun des points de vol et la technique de la combiiaison
linéaire de la moyenne et de l'écart type du vecteur coût pour que les minimums ne soient
pas concentrés sur les points de vol dont les nombres de Mach est petit.
RECOMMANDATIONS
Les facettes qui ne sont pas traitées dans ce travail et sur laquelle l'optimisation se
repose sont celles de l'étude du choix des fonctions d'évaluation et des critères de
performance sur lesquels elles peuvent être appliquées et l'introduction des contraintes
sur les critères aux quelles elles ne s'appliquent pas.
À la lumière de la methode du simplexe de Nelder-Mead, les algorithmes
d'optimisation sans évaluation du gradient et qui peuvent supporter les contraintes
peuvent aussi faire l'objet d'une étude particulière et qui pourrait donner des résultats
forts intéressants.
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ANNEXE A
Schéma bloc du contrdeur d'un avion en tangage
ANNEXE B
Résultats de i'écheiomement des gains sans le de~assement
J
38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 Les points de vol de 39 B 59
Figure B1 : Le coût des points de vol de 39 à 58
"50 100 150 200 250 300 350 400 450 La pression dynamique en KPa
Figure 82 : Les courbes de gains en fonction de la pression
dynamique pour les points de vol de 39 a 58
h r Y .- 1
E 3 0.75
2 $ 0.5
3 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 1
G Y
I 0.75
g 0.5
0.25 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58
Les pi- de ml de 39 P 58
Figure 93 : Les performances pour chacun des points de vol de 39 a 58
58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 Les points de vol de 59 à 78
Figure B4 : Le coût des points de vol de 59 a 78
0.9 Kff
0.7
0.5 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Figure B5 : Les courbes de gains en fonction de la pression
dynamique pour les points de vol de 59 à 78
1
I
Kfbo.5
O .
1. .
T i T F "
'4
I(Ci $
50 100 150 200 250 300 350 400 450 La pression dynam'que en KPa
F
CI 1
3 - 0.75 E 8 0.5
0.25 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78
Les points de MI
Figure B6 : Les performances pour chacun des points de vol de 59 à 78
1 80 82 04 86 88 90 92 94 96 98 Les points de MI
Figure B7 : Le coiit des points de vol de 79 à 98
- 50 100 150 200 250 300 350 400 450
La pression dynanique en KPa
Figure 8 8 : Les courbes de gains en fonction de la pression
dynamique pour les points de vol de 79 à 98
Les points 6 MI
Figure B9 : Les performances pour chacun des points de vol de 79 à 98
- 98 100 102 104 106 108 110 112 114 116 118
Les points da vol
Figure B 10 : Le coût des points de vol de 99 à 1 18
1
0.75
0.5
0.25 98 100 102 104 106 108 110 112 114 116 118
Les points de MI
Figure B 12 : Les performances pour chacun des points de vol de 99 à 1 18
118 120 122 124 126 128 t30 132 134 136 138 Les points da MI
Figure B 13 : Le coût des points de vol de 1 19 a 138
Figure B 14 : Les courbes de gains en fonction de La pression dynamique pour les points
de vol del 19 à 138
1
H :: O rHi
-1 . 50 100 150 200 250 300 350 400 450
La pression dynanigve en Wa
- Y
c 1 % , 0.75
$ 0.5
$ 0.25 1 1 C!
F 0.75
$ 0.5
$ 0.25 118 120 122 124 126 128 130
Las points de vol
Figure BI5 : Les performances pour chacun des points de vol de 119 a 138
Points de MI
Figure B 16 : Le coût des points de vol de 139 à 158
Figure B17 : Les courbes de gains en fonction de la pression
dynamique pour les points de vol de 139 a 158
Ki 0.55
0.5 o.6 2 50 6 100 150 200 250 300 350 400 450
CL
1 ' L
O i i. b C C T
50 100 150 200 250 300 350 400 450 4
T T +
-
b T L
O 50 100 150 200 250 300 350 400 450 1
L 2 * O - F 4 = I 7 17
50 100 150 200 250 300 350 400 450 Pression dynamique en KPa
Figure B 18 : Les performances pour chacun des points de vol de 139 a 158
ANNEXE C
Résultats de l'échelonnement des gains avec le déuassement
46 48 50 Points de vol
Figure C l : Le coût des points de vol de 39 à 58
Points 6 MI
Figure C3 : Les performances pur chacun des points de vol de 39 a 58
1 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 Points de vol
Figure C4 : Le coût des points de vol de 59 à 78
iT 1
0.75
0.5
g 0.25 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78
Points de vol
Figure C6 : Les performances pour chacun des points de vol de 58 it 79
Points de wl
Figure C7 : Le coût des points de vol de 79 a 98
Figure C8 : Les courbes des gains en fonction de la pression
0.2
dynamique pour les points de vol de 79 à 98
1i 7 . 7
Klbo.l
H * O 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Pression dynamique en KPa
7 T
Points de MI
Figure C9 : Les performances pour chacun des points de vol de 79 à 98
V
98 10 10 10 10 10 11 11 11 11 11 Points de vol
Figure C 10 : Le coût des points de vol de 99 à 1 18
-. . . A
50 100 150 200 250 300 350 400 450 1
KfvJ .s
O 50 100 150 200 250 300 350 400 450
La pression dyMmque en KPa
Figure C 1 1 : Les courbes des gains en fonction de la pression
dynamique pour les points de vol de 99 à 1 18
h
V E 0.8
3 0.55
5 0.3 98 100 102 1M 106 108 110 112 114 116 118
Points de vol
Figure C 12 : Les performances pour chacun des points de vol de 99 a 1 18
118 120 122 124 126 128 130 132 134 136 138 Points de MI
Figure C 13 : Le coût des points de vol de 1 19 à 138
Figure C 14 : Les courbes des gains en fonction de la pression
dynamique pour les points de vol de 1 19 a 138
1 -
1 0.5 k.
0 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
C r
10
0 . 50 100 150 200 250 300 350 400 450
0.4 1
Kfb 0.2
O 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Pression dynamique en KPa
L B + % l + w n ., A
Figure C 15 : Les performances pour chacun des points de vol de 1 19 à 138
B 140 142 144 t46 148 150 152 154 156 158 Points de vol
Figure C 16 : Le coût des points de vol de 139 a 158
Figure C 17 : Les courbes des gains en fonction de la pression
0.45
dynamique pour les points de vol de 139 ii 158
* I - 'r
L
50 100 150 200 250 300 350 400 450 1
Kfio.s-
O
+,+
r ~r
50 100 150 200 250 300 350 400 450 Pression ûynamque en KPa
Points de MI
Figure C 1 8 : Les performances pour chacun des points de vol de 139 à 158
ANNEXE D
Résultats de l'échelonnement des nains mur les deux mouws de
60 points de vol
10 20 30 40 50 60 Les points de vol
Figure Dl : les coiits des premiers 60 points de vol
Wb:::
0.2
O 50 100 150 200 250 300 350 400 450
La pression dynamque en KPa
Figure D2 : les courbes de gains en fonction de la pression
dynamique des premiers 60 points de vol
Figure D3 : les performances pour les premiers 60 points de vol
Les points de vol
Figure D4 : les coûts des deuxièmes 60 points de vol
+ t - - - I I
! I !
i !
0.44 50 100 j50 200 250 300 350 400 450 1. 1 I
l !
i 1 I 1 f
I I I I i I
1 i i ! i
$ 0.5 1 !
l A! 1
! 1 - .A -
O 50 100 150 200 250 300 350 400 450
La pression dynamique en KPa
Figure D5 : les courbes de gains en fonction de la pression
dynamique des deuxièmes 60 points de vol
Les points de vol
Figure D6 : les performances pour les deuxièmes 60 points de vol
