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Projet de Fin D’Etude Spécialité Génie Civil

Université Fédérale d’Uberlândia, Brésil

Etude de l’optimisation du renforcement par des fibres de carbones des dalles en béton armé munies de trémies, en utilisant l’optimisation topologique

Auteur : HANTZ Mathieu Elève ingénieur, INSA de Strasbourg, Spécialité Génie Civil Tuteur université d’accueil : CUNHA Jesiel Docteur en Comportement mécanique des matériaux, UFU, Uberlândia, Brésil Tuteur INSA : MOUHOUBI Saïda Docteur en Génie Civil, INSA de Strasbourg


HANTZ Mathieu Rapport de PFE 2

À mes parents et grands-parents…



Table des Matières RESUME _____________________________________________________________________ 5

REMERCIEMENTS ______________________________________________________________ 6

INTRODUCTION _______________________________________________________________ 7

1. SUJET ___________________________________________________________________ 8

1.1. RAPPEL DU SUJET ET CONTEXTE _____________________________________________________ 81.2. METHODOLOGIE DU PROJET _________________________________________________________ 9

2. CONNAISSANCES LIEES A LA COMPREHENSION DU SUJET ___________________________ 10

2.1. L’UTILISATION DE L’ACIER _________________________________________________________ 102.2. MATERIAUX COMPOSITES /FIBRE DE CARBONE ____________________________________________ 11

2.2.1. Historique ______________________________________________________________ 112.2.2. Définitions des matériaux composites _______________________________________ 132.2.3. Procédés de fabrication des résines ________________________________________ 142.2.4. Les fibres de carbone en matrice époxyde ___________________________________ 152.2.5. Les inconvénients de la fibre de carbone ____________________________________ 172.2.6. Applications des matériaux composites au génie civil _________________________ 192.2.7. Comportement mécanique des matériaux composites _________________________ 21

2.3. LE LOGICIEL ANSYS : ___________________________________________________________ 222.3.1. Présentation du logiciel __________________________________________________ 222.3.2. La prise en compte de la fissuration dans les calculs __________________________ 24

2.4. L’OPTIMISATION TOPOLOGIQUE _____________________________________________________ 252.4.1. Définition ______________________________________________________________ 252.4.2. Méthode des densités ____________________________________________________ 26

3. ETUDE DU MODELE DE REFERENCE ____________________________________________ 30

3.1. CARACTERISTIQUES DES MATERIAUX __________________________________________________ 303.2. CONDITIONS DE CHARGEMENT ET CONDITIONS D’APPUIS _____________________________________ 303.3. DEFINITION DU MODELE DE REFERENCE ________________________________________________ 31

3.3.1. Elément de béton _______________________________________________________ 313.3.2. Eléments en acier _______________________________________________________ 32

3.4. ETUDE DU MODELE ______________________________________________________________ 333.4.1. Critères à considérer _____________________________________________________ 333.4.2. Localisation des mesures _________________________________________________ 33

3.5. MISE EN ŒUVRE DE LA FISSURATION __________________________________________________ 373.6. EFFET DE LA FISSURATION SUR LA REPARTITION DES CONTRAINTES ______________________________ 37

4. ETUDE DES GEOMETRIES DE RENFORCEMENT CLASSIQUES __________________________ 40

4.1. DEFINITION GEOMETRIQUE DES MODELES DE RENFORCEMENT __________________________________ 404.1.1. Modèle de renforcement « en coin » ________________________________________ 404.1.2. Modèle de renforcement « en croix » _______________________________________ 414.1.3. Comparaison des deux géométries de renforcement ___________________________ 41

4.2. CHOIX D’UN SYSTEME DE REFERENCE POUR LES RENFORTS ___________________________________ 424.2.1. Influence du renforcement sur les contraintes _______________________________ 424.2.2. Influence du renforcement sur les déplacements _____________________________ 434.2.3. Bilan __________________________________________________________________ 44



5. OPTIMISATION DU RENFORCEMENT ___________________________________________ 45

5.1. ETUDE DES ZONES A RENFORCER PRIORITAIREMENT ________________________________________ 455.1.1. Définition géométrique du modèle _________________________________________ 455.1.2. Méthodologie du calcul ___________________________________________________ 455.1.3. Résultats du calcul ______________________________________________________ 465.1.4. Interprétation __________________________________________________________ 47

5.2. EFFET DE LA FISSURATION SUR L’OPTIMISATION TOPOLOGIQUE. _______________________________ 485.3. INFLUENCE DES CONDITIONS D’APPUIS. ________________________________________________ 485.4. DEFINITION ET ETUDE DES MODELES OPTIMISES ___________________________________________ 49

5.4.1. Les géométries de renforcements choisies ___________________________________ 505.4.2. Influence de la géométrie sur les résultats __________________________________ 515.4.3. Bilan de l’optimisation ___________________________________________________ 52

CONCLUSION ________________________________________________________________ 54

BIBLIOGRAPHIE ______________________________________________________________ 55

ANNEXES ___________________________________________________________________ 56

ANNEXE A : L’UNIVERSITE FEDERALE DE UBERLANDIA (UFU) _______________________________________ 57Localisation et chiffres clés _______________________________________________________ 57L’Université _____________________________________________________________________ 58La FECIV (Faculdade de Engenharia Civil) ____________________________________________ 58

ANNEXE B : MODELE CLASSIQUE « EN COIN » __________________________________________________ 59ANNEXE C : MODELE CLASSIQUE EN CROIX ____________________________________________________ 61ANNEXE D : MODELE OPTIMISE 1 __________________________________________________________ 63ANNEXE E : MODELE OPTIMISE 2 __________________________________________________________ 65ANNEXE F : MODELE OPTIMISE 3 ___________________________________________________________ 67



Résumé

De nos jours, il existe principalement deux méthodes de renforcement d’une dalle en béton armé lors de la création d’une trémie qui n’a pas été prévue lors du dimensionnement de la dalle. La première consiste à démolir la structure puis à la reconstruire entièrement. La seconde consiste à modifier la structure existante en lui adjoignant des renforts ou des supports supplémentaires (type poutres). C’est le renforcement qui nous intéresse ici, et plus particulièrement le renforcement par des bandes de matériaux composites (fibres de carbone ou fibre de verre associées avec une résine époxyde). Cependant, l’utilisation de ces matériaux de hautes performances demeure coûteuse et mal maitrisée, et repose principalement sur l’expérience et des dimensionnements approchés. Elle reste encore peu compétitive face aux méthodes plus anciennes, comme l’utilisation de renforts en acier par exemple.

Dans le cas de structure complexe la détermination de la distribution du renfort n’est pas évidente et l’expérience ne suffit plus. En ce sens, l’optimisation topologique offre une alternative intéressante. En montrant automatiquement les régions où appliquer le renfort, on minimise la quantité de matériau à utiliser, tout en garantissant l’utilisation maximum de ces renforts. Cette étude fondamentalement qualitative cherche à évaluer les apports de la méthode d’optimisation par rapport aux modèles mis en œuvre classiquement à l’heure actuelle.



Remerciements

Je tiens à remercier tout d’abord mon tuteur, M. Jesiel CUNHA pour l’aide qu’il m’a apportée, et la grande liberté qu’il m’a accordée dans la conduite de mon travail tout au long de ce projet. Ses conseils et les cours que j’ai pu suivre sous sa direction se sont révélés êtres une source d’enrichissement permanent, et m’ont permis de découvrir à la fois la recherche mais également le domaine des matériaux composites qui m’étaient jusqu’alors inconnus.

J’aimerai également remercier Mme Saïda MOUHOUBI pour son soutient et ses conseils dans la rédaction de ce mémoire et dans la préparation de ma soutenance.

Je tiens également à remercier Mme Raquel SANTINI LEANDRO RADE, et l’ensemble des personnes du service des relations internationales de l’Université Fédérale d’ Uberlândia (Annexe A). Grâce à eux, mon stage au sein de l’Université Fédérale d’Uberlândia a été source d’une formidable expérience pédagogique et culturelle.

Je remercie l’ensemble des brésiliens que j’ai rencontré tout au long de mon séjour pour leur accueil chaleureux, leur générosité et leur ouverture d’esprit. Ils m’ont permis de me sentir chez moi tout au long de mon séjour, et de profiter de chaque instant de cette incroyable expérience.

De façon plus personnelle, j’aimerais remercier ma famille pour le soutient qu’elle m’a apporté tout au long de ma scolarité, et plus particulièrement mes parents et grands parents qui ont su me faire comprendre l’importance de l’éducation, mais également les vertus de l’ouverture d’esprit et de la tolérance. Ils m’ont offert l’opportunité de m’orienter selon mes ambitions tout en m’épaulant dans mes choix et en restant à mon écoute. Je leur dois ce que je suis et ce mémoire leur est dédié.

Enfin, je voudrais remercier Marcelle GONÇALVES pour son aide tout au long de ce projet, son amour, son soutient et son écoute, ainsi que toutes les merveilles qu’elle m’a fait découvrir dans ce pays merveilleux qu’est le Brésil.



Introduction

Lorsqu’on emploie le terme de « construction », l’analogie avec la construction de bâtiments neufs est relativement fréquente. Mais les politiques urbanistiques actuelles tendent à limiter l’expansion des agglomérations. Ceci met au premier plan la nécessité de modifier l’attribution et donc la structure d’un bâtiment existant (ajout d’étages supplémentaires, utilisation industrielle d’un bâtiment, et dans notre cas mise en œuvre d’une trémie dans une dalle non dimensionnée initialement dans ce sens). Cette modification conduit à certains problèmes du point de vue structurel qui nécessitent généralement la mise en œuvre d’éléments de renfort.

Il existe de nombreuses techniques de réparation, de réhabilitation et de renforcement des structures. Une méthode récente, issue des progrès dans les sciences des matériaux offre aujourd’hui une alternative intéressante. Elle consiste à disposer des bandes de renfort en matériaux composites (fibre de carbone ou fibre de verre) en lieu et place des renforcements en acier. Comme nous le verrons, cette méthode est encore mal maitrisée.

Tout au long de ce projet, on cherchera à optimiser la quantité de matériaux composites apportés en utilisant la méthode de l’optimisation topologique, dans le but de renforcer une structure de dalle à trémie, en s’éloignant du dimensionnement actuel. On cherchera également à améliorer du même coup la compétitivité de la solution. Cette étude tiendra bien entendu compte des modèles existants et communément utilisés à l’heure actuelle lors de la mise en œuvre de la solution à base de matériau composite.

Cette étude est volontairement et profondément qualitative. Elle vise à démontrer l’intérêt de la méthode de l’optimisation face aux méthodes de dimensionnement classiques encore mises en œuvre aujourd’hui, reposant sur la logique. Le gain obtenu par cette méthode devra être significative, et justifier la mise en œuvre de cette optimisation en complément des méthodes de dimensionnement.

Par ailleurs, le dossier traite de l’apport de cette méthode pour des modélisations plus complexes, à savoir mettant en œuvre des conditions d’appuis plus exotiques.



1. Sujet

1.1. Rappel du sujet et contexte

Le sujet de ce projet traite de l’optimisation du renforcement des structures de type dalle en béton armé à l’aide de renforts en fibre de carbone, en utilisant la méthode d’optimisation topologique.

Au Brésil, les matériaux composites tels que les fibres de carbone sont principalement mis en œuvre sur les colonnes, les dalles et les poutres soumises à de la flexion.

Ce renforcement peut intervenir principalement dans deux cas de figures. En premier lieu, le renforcement d’une structure lors d’un changement d’affectation, ou dans le cas d’un rajout d’étages par exemple. En second lieu dans le cadre de la création de trémies dans une dalle afin de la renforcer.

Le procédé est basé sur le principe de matériaux résistants aux efforts de traction et judicieusement placé sur les zones tendues de l’élément à renforcer pour en augmenter les performances en fonctionnement. Il a essentiellement un rôle de renforcement structural aux efforts engendrés par les effets de flexion. La mise en œuvre directement sur le support permet de mouler la forme exacte de la pièce à renforcer, de ne pas manier des éléments lourds (comme des plaques par exemple) et encombrants, de ne pas avoir d’autre interface de collage avec le support que la matrice même du composite, et donc finalement de ne pas générer de concentration de cisaillement qui serait susceptible de provoquer des amorces de décollement dans les zones de faible épaisseur de la résine.

A l’heure actuelle, les études menées sur le renforcement des dalles à trémies, et plus généralement au niveau des dalles, sont toutes expérimentales. Aucun travail ne s’est véritablement intéressé à l’optimisation de ce procédé de renforcement. La plupart traite des modèles communément mis en œuvre, et tente d’expliquer leur logique et par là d’élaborer une formule régissant la quantité de renforts à mettre en œuvre en fonction des différents paramètres définissants la dalle. Un autre axe des recherches déjà entreprises est la caractérisation des pathologies de rupture de la liaison entre le matériau composite et la dalle en béton (EL MAADDAWY, 2008; ELGABBAS, 2010; ENOCHSSON, 2007).

La technique de renforcement des dalles par des fibres de carbone telle qu’elle est utilisée aujourd’hui repose principalement sur l’intuition et le savoir faire. Cependant, dans certains cas, la méthode est très imprécise. Par ailleurs, elle est relativement couteuse.

Dès lors, on comprend mieux l’intérêt d’optimiser ce renforcement, en mettant en œuvre des logiciels de modélisation numérique et d’optimisation. En effet, ces techniques présentent un certain nombre d’avantages, comme la possibilité d’analyser et de comparer de nombreuses solutions, la possibilité d’automatiser la recherche d’une forme optimale, mais également par l’absence d’essais expérimentaux à réaliser.



Il convient de déterminer une solution mathématique au problème. C’est pourquoi l’utilisation d’une méthode d’optimisation est nécessaire. Dans le cas de ce projet, la méthode choisie est l’optimisation topologique.

Le projet s’intéresse aux dalles munies de trémies. Pour ce type d’élément, il y a existence de zones de concentration de contraintes. Là encore, l’outil d’optimisation topologique offre l’avantage de faciliter les calculs de dimensionnement.

Au final, l’objectif principal de ce dossier est de déterminer, par comparaison des études traditionnelles et des résultats obtenus par l’optimisation pour différents critères, l’influence de ces critères, avec toujours la volonté de s’interroger sur les gains que l’on peut en tirer dans la pratique.

1.2. Méthodologie du projet

Le projet se déroule en trois temps. Tout d’abord, il est nécessaire de mettre en forme un modèle de dalle décrivant au mieux la majorité des cas rencontrés. Ce modèle démuni de renforcement, constituera une base immuable à partir de laquelle tous les modèles munis de renforts, qu’ils soient optimisés ou non, seront conçus. Un grand soin doit donc être porté à la fois au choix de la géométrie comme au choix des matériaux.

Dans un second temps, il est nécessaire de considérer les géométries de renforcement existantes. En effet, le but de ce projet étant l’amélioration des systèmes existants, il est essentiel de considérer ces derniers afin de bien comprendre leur logique, et le cas échant mettre en avant leurs limites.

Ensuite, le troisième point consiste en l’optimisation à proprement parler. Le principe de base est de partir du modèle aux éléments finis de la structure munie de renforts distribués dans un domaine donné, à savoir l’ensemble de la face inférieure de la dalle. On retire alors de la matière aux renforcements, jusqu’à ce qu’on obtienne un système optimisé. Afin de pouvoir mettre en œuvre une telle méthode, il est indispensable de fixer des paramètres clés, comme par exemple dans notre cas la maximisation de la raideur de la structure. Cette étape doit mener à la détermination d’un ou plusieurs modèles qualitativement meilleurs que le modèle classiquement mis en œuvre.

Tout au long de ces parties, l’ensemble des hypothèses choisies seront indiquées, et bien évidement expliquées, afin de permettre au lecteur de mieux s’approprier le raisonnement. Par ailleurs, l’ensemble des résultats des différents modèles mis en œuvre seront fournis en annexe.



2. Connaissances liées à la compréhension du sujet

Au moment de commencer le projet, il était nécessaire de réaliser un travail de recherche bibliographique. En plus de constituer le socle de l’étude, ce travail permet également de rappeler un certain nombre de notions mais surtout d’en détailler de nouvelles. En effet, le domaine des matériaux composites dans la construction, par exemple, n’a pas été abordé au cours de la formation. Par ailleurs, le projet nécessite la prise en main du logiciel ANSYS et la compréhension des méthodes d’optimisation.

2.1. L’utilisation de l’acier

Les problèmes rencontrés par une infrastructure vieillissante, couplés avec la révisions des normes structurelles répondant de façon mieux adaptée aux phénomènes naturels, a entrainé le besoin de développer une technologie de renforcement structurel efficace. Les critères prépondérants dans l’évaluation de cette technologie sont les suivants:

• diminuer la main-d'œuvre nécessaire et les coûts des matériaux, ainsi que le temps de réalisation et les contraintes de mise en œuvre sur site.

• Favoriser la durabilité à long terme, limiter la difficulté dans le choix des méthodes et du design et dans l’évaluation de l'efficacité.

Une méthode déjà établie depuis l’avènement de l’acier et fortement présente sur le marché pour la mise à niveau des structures en béton armé (BA), y compris les structures en béton précontraint, est le collage de plaques d'acier à la structure. L'idée a été proposée pour la réparation d'éléments en béton, et a été suivie par plusieurs années de recherche jusqu'à ce qu'il devienne une pratique de terrain maitrisée et efficace. Par exemple, des projets expérimentaux ont été menés afin d’étudier l'influence de plusieurs facteurs, tels que l’épaisseur de la plaque, le type d'adhésif à employer ou encore les conditions d'ancrage.

En général, le collage des plaques d'acier à des dalles en béton ou à des structures augmente à la fois la résistance et la rigidité et réduit efficacement les fissures. Toutefois, la corrosion de l'acier peut être un problème à long terme, car elle peut endommager le lien et éventuellement conduire à l'échec de la réparation et à la ruine de la structure. En outre, du cisaillement est susceptible de se développer après la formation de fissures de cisaillement en diagonale, ou lorsque la courbure de la poutre est augmentée.



Afin de renforcer des poutres en béton armé, on peut retrouver le collage de plaques d'acier doux sur la face en tension de la poutre. La technique de collage d'acier doux sur des poutres en béton armé et des dalles est souvent utilisée pour améliorer la performance à la flexion des structures existantes, car elle augmente la résistance et la rigidité des poutres et réduit la dimension des fissures dans le béton. Cette technique de collage présente d'autres avantages, comme il a été constaté dans la pratique, comme sa simplicité et son mode d’application relativement rapide, le fait qu’elle ne réduit pas significativement la hauteur de la structure, et également qu’elle puisse être appliquée alors que la structure est en usage.

Cette procédure est couramment utilisée sur les bâtiments et même les ponts en Belgique, en France, au Japon, en Pologne, en Afrique du Sud, en Suisse et au Royaume-Uni. Cependant, des tests expérimentaux récents montrent que ces plaques collées à l'extérieur ont tendance à « peler » suite à la formation des fissures de cisaillement diagonal ou lorsque la courbure de la poutre (ou de la dalle) est augmentée.

2.2. Matériaux composites /Fibre de carbone

2.2.1. Historique

Au cours de son histoire, l’homme a eu recours à de nombreux matériaux composites. Le bois est le premier matériau composite naturel utilisé par l’homme, fibre de cellulose dans une matrice de résine (lignine et hémicellulose). Par la suite, il a également utilisé le torchis pour ses propriétés d’isolation (fibre de paille dans une matrice de terre plastique).

Actuellement, les principaux matériaux composites utilisés par l’homme sont les fibres de verre, les fibres de carbone (dans l’aviation par exemple), le bois lamellé collé (utilisé en menuiserie, construction, ébénisterie), les cloisons de Placoplatre (très utilisé dans le bâtiment), le béton armé (en génie civil) ou encore la fibre d'aramide (ou Kevlar, principalement dans l’armée).

En réponse à la nécessité croissante de réparation ou de remplacement des structures en béton armé dans le monde, une nouvelle technologie de renforcement structural a émergé. Le développement continu de techniques de production toujours plus rentables comme les polymères de fibres de carbones (Fiber Reinforced Polymers, FRP) a progressé au point qu’aujourd’hui, ces « matériaux de l’espace » comme ils sont parfois appelés, sont prêts à s’intégrer au domaine de la construction. Cette réduction du coût des matières, couplée avec des économies de main d’œuvre inhérentes à son faible poids et à une haute résistance font du FRP une alternative intéressante et compétitive aux plaques d'acier pour le renforcement des structures. La tôle d'acier a été utilisée comme renforcement efficace durant les vingt dernières années. Cependant, le coût élevé de la main d’œuvre pour positionner les plaques en général lourdes, les difficultés liées à l’encombrement des plaques, et les préoccupations concernant la corrosion des plaques d'acier ont limité l'utilisation de cette technique, qui par ailleurs fait face à un autre problème : les fluctuations du cours des prix de l’acier.



En raison de son excellent rapport poids/résistance, d’un coût du matériau toujours plus faible, de la longueur quasiment illimitée de mise en œuvre, d’une installation comparativement bien plus simple , et de son inertie à toute forme de corrosion ou attaque extérieure, l'utilisation de FRP présente de nombreux avantage face à son concurrent.

Les principes d’application des plaques de FRP et de collage sur les structures sont très similaires aux principes utilisés lors de l'application de plaques d'acier collées. En général, la résistance au cisaillement, et la résistance axiale sont augmentées grâce à l'application externe de ce matériau à haute résistance à la traction (PIN, 2004). Le renforcement externe à l’aide de FRP est adapté à de nombreuses applications structurelles, telles que:

• L’augmentation de la capacité lors d'un changement d'utilisation.

• Le renforcement passif en vu d’améliorer la résistance sismique.

• La limitation de la fissuration.

• Le renforcement des nouvelles ouvertures dans des dalles existantes.

Malgré ses promesses, l'utilisation des FRP dans le domaine du renforcement structurel est assez récente. Elle remonte à peu près à une vingtaine d’années. Il ya un réel besoin de tests en laboratoire et d’analyse justificatives pour élargir son utilisation. Par conséquent, l'utilisation des FRP doit être abordée avec prudence et avec jugement d'un ingénieur. En effet il n’existe pas de règlement clairement défini pour la conception en béton avec un renforcement en FRP à l'heure actuelle (ABVR, 2003).

Figure 1 : Exemple de renforcement d’une dalle par fibre de carbone. Source : TES technifor, 2011



2.2.2. Définitions des matériaux composites

La famille des matériaux composites regroupe l’ensemble des matériaux constitués de plus d’un matériau. L’idée de base est d’obtenir un matériau dont les caractéristiques sont meilleures que celles de ses constituants pris indépendamment. Dans le cas le plus général un matériau composite se compose de plusieurs phases discontinues réparties dans une phase continue :

• La matrice : C’est la phase continue. Elle constitue le corps du matériau, en assurant la cohérence du matériau, et en lui fournissant une cohérence au repos. Bien souvent, ce rôle est assuré par une résine ou un polymère. Dans le cas de ce matériau, la matrice est polymérique (Epoxyde).

• Les renforts : Les phases discontinues. Ils apportent au matériau ses caractéristiques mécaniques, surtout la résistance et la rigidité. Ici, les renforts sont les fibres de carbone, qui peuvent être réparties de façons différentes (de façon unidirectionnelle, bidirectionnelle ou aléatoirement) selon les besoins.

Figure 2 : Schéma d’un matériau composite. Source : Cunha (2009).

On identifie principalement deux classes de matériaux composites :

• Les composites à fibres • Les composites à particules (non étudiées dans ce mémoire)

Les composites à fibres

On parle de composite à fibres lorsque le renfort est constitué de fibres (continues ou discontinues) dans la matrice. La possibilité de modifier l’arrangement ou l’orientation des fibres permettent d’obtenir des matériaux adaptés à un cahier des charges spécifique. En effet, les matériaux composites à fibres offrent au concepteur la possibilité d’élaborer et de moduler à volonté le comportement mécanique et physique en jouant sur la nature



des matériaux, la proportion des constituants (dans le cas précis de notre étude, il est fréquent de considérer des matériaux ayant plus de 60% de fibres) ou encore l’orientation des fibres.

Cette grande adaptabilité en fait le type de matériau composite le plus répandu.

Figure 3 : Fibres vues au microscope électronique. Source : Wikipedia (2011).

2.2.3. Procédés de fabrication des résines

Les résines utilisées dans les matériaux composites transfèrent les sollicitations aux fibres et protègent ces dernières des attaques de l’environnement extérieur. Elles doivent être assez déformable et présenter une bonne compatibilité avec les fibres mais également avoir une masse volumique assez faible afin de conserver des caractéristiques mécaniques spécifiques élevées.

Il existe deux grandes familles de résine, les résines thermoplastiques et les résines thermodurcissables. Elles possèdent toutes les deux la faculté d’être moulées sous différentes formes (définitive ou semi-définitive).

Les résines thermoplastiques sont celles dont la fabrication atteint le plus gros tonnage. En effet leur faible coût de fabrication et leur caractère recyclable (par réchauffage) en ont fait les résines les plus répandues. Les résines thermodurcissables, en revanche ne peuvent être mise en forme qu’une seule fois. A l’issue de leur fabrication la structure géométrique ne peut être rompue que par l’apport d’une importante quantité d’énergie thermique. Cette propriété confère aux résines thermodurcissables de meilleures propriétés mécaniques et surtout thermomécaniques (meilleur résistance thermique).

On peut citer par exemple les résines polyesters insaturées, les plus répandues à cause de leur faible coût de production et qui présentent une rigidité élevée à température ambiante, ce qui la conduit à être utilisée pour les coques de bateaux, ou les corps de piscine par exemple, ou encore les Vinyle-ester, qui comparativement aux polyesters insaturés, possèdent de meilleurs caractéristiques mécaniques, ce qui leur confèrent une meilleure étanchéité ainsi qu’une meilleure résistance à la chaleur et aux attaques chimiques.



Tableau 1 : Caractéristiques mécaniques des résines. Source : Duplan (2010).

2.2.4. Les fibres de carbone en matrice époxyde

Sous formes linéiques, les fibres sont élaborées suivant un diamètre de quelques microns, cette dimension implique qu’elles ne peuvent être utilisées sous forme unitaire (mono filament). En pratique les fibres sont réunies en fils ou en mèches.

La fibre de carbone est un matériau se composant de fibres extrêmement fines, de 5 à 15 micromètres de diamètre. Elle est composée principalement d'atomes de carbone. Ceux-ci sont agglomérés dans des cristaux microscopiques qui sont alignés plus ou moins parallèlement à l'axe long de la fibre. L'alignement des cristaux rend la fibre extrêmement résistante par rapport à sa taille. Plusieurs milliers de fibres de carbone sont enroulées ensemble pour former un fil. Les principales caractéristiques des fibres de carbone sont leur faible densité (1,7 à 1,9), leur résistance élevée à la traction et à la compression, leur flexibilité, leurs bonnes conductivités électrique et thermique, leur tenue en température et leur inertie chimique (exceptée à l’oxydation).

PropriétéRésine

polyesterRésine

époxydeacier

Module d'élasticité (Gpa) 3,5 4,5 205

Coefficient de poisson 0,37 0,38 0,3Résistance en traction (Mpa)

80 100 500

Résistance en compression (Mpa)

100 150 500

Résistance au cisaillement (Mpa)

20 50 250

Déformation de rupture en traction (%)

2,5 5 15



Figure 4 : Schéma des renforcements par fibre de carbone et par tôle acier. Source : TES technifor, 2011

Il est intéressant de comparer la solution basée sur les fibres de carbone avec la solution d’un renforcement par l’acier. En effet, ce dernier est la méthode la plus couramment utilisée, et il semble judicieux de s’y ramener à titre de comparaison.

Tout d’abord, les fibres composites présentent un encombrement environ 4 fois moindre que la solution acier. De ce fait, les modifications n’entrainent pas de changement au niveau de l’esthétique. Par ailleurs, le croisement des bandes se fait sans engravures.

Ensuite, du point de vue du poids du renforcement, la fibre offre un poids 5 fois moins élevés, pour une résistance égale à celle d’un renforcement acier équivalent. Cela favorise donc sa mise en œuvre, car il n’y a aucun besoin en termes de levage ou d’étayage après collage. En outre, le renforcement n’alourdi pas la structure, ce qui n’entraine aucune surcharge pour la structure.

En ce qui concerne la résistance en traction, elle est 10 fois plus importante dans le cas des fibres seules. De ce fait, elle permet de réduire la consommation de lamelles de fibres. A titre d’ordre de grandeur, 1 kg de fibres de carbone est susceptible de reprendre les mêmes efforts que 50 kg d’acier.

Par ailleurs, la fibre de carbone est totalement immunisée contre la corrosion. Il n’y a donc aucun besoin en termes d’entretien ou de pose de protection anticorrosion après la mise en œuvre. En revanche, la fibre de carbone est sensible à l’oxydation, mais bien souvent la matrice époxyde joue le rôle d’enveloppe protectrice de la fibre.

Les fibres de carbone se présentant sous la forme de rouleau, la longueur de mise en œuvre est donc quasiment illimitée, là où la solution métallique est restreinte en raison du poids des éléments ou de leur encombrement lors du transport.



Enfin, le module d’élasticité de la fibre est légèrement inférieur à celui de l’acier, mais dans des proportions assez limitées, le module de la fibre valant 80% de celui de l’acier. Par ailleurs, elle possède une excellente tenue sur le long terme, grâce à un très bon comportement à la fatigue.

Le tableau 2 présente les principales différences pour un renforcement équivalent et arbitraire.

Tableau 2 : Bilan des avantages et inconvénients principaux de la fibre de carbone. Source : TES technifor (2011).

2.2.5. Les inconvénients de la fibre de carbone

Le principal désavantage de la fibre de carbone en est le coût, qui au kilo est bien plus élevé que celui de l’acier. Celui-ci est d’environ 15€/kilo pour un la fibre de carbone, contre moins de 0.5€/kilo pour l’acier. En ramenant ce ratio à une résistance équivalente, il faut 5 kilos d’acier pour un kilo de fibres. On arrive à un coût environ 6 fois supérieur pour la fibre de carbone.

Par ailleurs, le comportement transversal des fibres est relativement mauvais. Le matériau, de par sa nature isotrope conduit a des comportements complexes, et donc a des difficultés de modélisation et de conception. De plus, lors des expérimentations, cela complexifie également l’identification des propriétés du matériau.

La fibre de carbone possède de plus une mauvaise résistance aux chocs et à l’abrasion.



Dans le cadre de la problématique de santé publique et de développement durable, le matériau rencontre des difficultés de recyclage. En effet, le broyage est problématique étant donné que la structure du matériau est relativement proche de celle de l’amiante, et qu’une fois transformée en poussière, elle est susceptible de provoquer des cancers de la plèvre. Ce risque est davantage lié à la structure physique de la fibre qu’à sa structure chimique. C’est donc la granulométrie de la fibre qu’il est important de connaître (forme, diamètre, longueur). En effet si le diamètre de la fibre est inférieur à 3 microns, le risque pulmonaire est important (fibres dites respirables) ; si le diamètre est supérieur à 8 microns, le risque est quasiment nul ; entre les deux, il faut savoir être prudent et vigilant et prendre en compte le paramètre longueur/diamètre. Plus ce rapport est élevé, plus on est en présence de fibres réputées dangereuses car longues et fines pouvant pénétrer profondément dans l’arbre respiratoire (WIKIPEDIA, 2011).

Enfin, dans certains cas, la conductivité élevée du matériau peut conduire à des électrocutions, comme lorsqu’il est utilisé pour la construction d’un mat de voilier par exemple.

Elaboration des fibres de carbone.

Les fibres de carbone sont élaborées à partir d’un polymère de base appelé précurseur. Les précurseurs utilisés sont des fibres acryliques, elles sont élaborées à partir de poly acrylonitrile (PAN), et la qualité finale des fibres dépend en grande partie de la qualité du précurseur utilisé.

De façon globale le principe de fabrication repose sur le fait de faire subir aux fibres acryliques une décomposition thermique, sans fusion. Les procédés actuels utilisent des mèches de filaments acryliques assemblés sans torsion (entre 500 et 10000 filaments voir plus). On leur fait subir quatre traitements successifs : une oxydation, une carbonatation, une graphitassions et pour finir un traitement de surface que nous détaillerons par la suite.

L’oxydation : Les fibres acryliques sont fusibles, c’est-à-dire qu’à une température donnée elles passent de l´état solide à l’état liquide. Cette phase a pour but de supprimer artificiellement le point de fusion. Cette opération est effectuée en chauffant les fibres à environ 300°C en atmosphère d’oxygène, il y a oxydation conduisant à une réticulation des chaines moléculaires.

La carbonatation : La deuxième phase, la carbonatation consiste à augmenter graduellement la température des fibres réticulées de 300°C à 1100°C environ en atmosphère inerte afin d’éliminer l’eau et l’acide cyanhydrique. On arrive ainsi à ne conserver que le carbone par ce procédé.

La graphitassions : Cette phase est utilisée lorsqu’on souhaite obtenir des fibres à module élevé. Elle consiste à réaliser une pyrolyse (décomposition d'un composé organique par la chaleur) des fibres en atmosphère inerte, jusqu’à une température avoisinant les 2600°C. Cette opération provoque une réorientation des réseaux hexagonaux de carbone suivant l’axe des fibres.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Chimie_organique�



Suivant le taux de graphitassions, on obtient des fibres à haut module (HM) ou très haut module (THM).

Le traitement de surface :

Figure 5 : Procédé de fabrication de la fibre de la fibre de carbone. Source : DUPLAN (2010).

Tableau 3 : Caractéristiques mécaniques des fibres de carbone. Source : DUPLAN (2010).

Il s’agit de la dernière étape du procédé d’élaboration, et consiste par le biais d’acide, nitrique ou sulfurique, d’oxyder chimiquement les fibres afin d’en accroitre la rugosité, et donc d’améliorer la liaison fibre résine (CUNHA, 2009).

Les propriétés exposées ici sont des valeurs moyennes fournies par les fabricants.

2.2.6. Applications des matériaux composites au génie civil En raison de leurs hautes propriétés mécaniques et de tous les avantages déjà

exposés précédemment par rapport aux matériaux traditionnels, les matériaux composites sont de plus en plus utilisés dans le génie civil. Ces nouveaux matériaux de hautes performances, font aussi bien leur apparition dans la réhabilitation que dans la conception et la réalisation de nouvelles structures.

Parmi les multiples applications des matériaux composites dans l’ingénierie civile, nous pouvons citer:

Propriétécarbone

HScarbone

HMacier

Module d'élasticité (Gpa) 295 725 205

Coefficient de poisson 0,2 0,2 0,3Résistance en traction (Mpa)

5500 2400 500

Déformation de rupture en traction (%)

1,2 0,5 15



• Construction d’édifices et d’ouvrage d’art léger;

• Renforcement structurel d’édifices existants, afin de respecter de nouvelle norme ou en prévision d’utilisation nouvelle d’un bâtiment (ajout d’étage, changement du type d’exploitation). Utilisation principalement dans ce cas de la fibre de carbone pour le renforcement de poutres, poteaux et dalles sous flexion et cisaillement;

• Réalisation de formes complexes de grande portée;

• Utilisation de produits dérivés du béton avec ajouts de fibre, béton armé

avec renfort en fibre de verre ou de carbone ;

• Elaboration de matériaux hybrides avec des matériaux traditionnels ;

• Transmission et distribution d’électricité temporaire et durable, pylônes électriques modulables et déplaçables;

• Structures destinées aux réservations d’eau;

• Panneaux pour murs et planchers;

• Produits dérivés du bois : bois aggloméré, lamellé collé, panneaux OSB, etc;

• Géotextiles: pour les opérations de drainage, stabilisation de sol,

construction de barrages.



2.2.7. Comportement mécanique des matériaux composites

Un composite renforcé uni-directionnellement est un matériau transversalement isotrope. Cette caractéristique implique la connaissance des 5 constantes élastiques indépendantes, afin de définir dans toutes les directions de l’espace les caractéristiques mécaniques de ce dit matériau. Ces 5 constantes sont les suivantes :

E1, E2 : module d’élasticité dans les directions 1 et 2 la direction 1 étant toujours la direction des fibres (conventionnel) et la direction 2 la direction perpendiculaire aux fibres

G12, G23 : modules de cisaillement respectivement dans les plans (1,2) et (2,3) ν12 : coefficient de poisson dans le plan (1,2)

Les données du fabricant pour le composite utilisé lors des simulations numériques sont les suivantes:

Lâmina de SIKA CARBODUR® S 512

• Base: fibre de carbone dans une matrice époxyde • Couleur : noir • Volume de fibre > 68% • Densité : 1,6g/cm3 • Résistance à la température > 150°C • Largeur d’une bande 50mm • Epaisseur 1,2mm • Module d’élasticité > 155 GPa • Résistance à la traction >2400 MPa • Résistance de rupture en traction : 3100 MPa • Déformation > 1,9%

On définit le repère (1 ; 2 ; 3) local aux composites unidirectionnels. Cependant ce repère ne coïncide pas toujours avec le système de référence global (x,y,z). Il est donc nécessaire de définir des matrices de passage faisant intervenir un paramètre angulaire θ afin de passer d’un système de référence à l’autre.

Figure 6 : Changement de référentiel. Source : Cunha (2009).



2.3. Le logiciel ANSYS :

2.3.1. Présentation du logiciel

ANSYS est le premier éditeur mondial dans le domaine du calcul par éléments finis. Les outils intégrés au logiciel permettent de résoudre les problèmes de validations produits de manière efficace. Ils permettent d’optimiser le processus de conception (gain de temps énorme) et donc de proposer des produits plus innovants (intégration d’une pré-analyse dans le cycle de conception), de qualité plus élevée tout en minimisant les coûts.

En effet, intégrer l'Analyse de Conception dans un bureau d'études, c'est lui permettre de décupler ses capacités d'innovation et de prendre une réelle avance technologique. L'outil de simulation se présente sous plusieurs niveaux de licences.

Les logiciels de calculs par éléments finis sont généralement peu accessibles car ils nécessitent des connaissances dans le calcul. L'interface WORKBENCH qui encapsule les différents niveaux de l'outil de simulation et ses modules a été conçue pour être utilisée sans avoir une formation basée sur les éléments finis.

L’interface est très intuitive, permettant une prise en main très rapide du logiciel. Les difficultés du calcul par éléments finis sont ici gommées, notamment par l’automatisation de la reconnaissance des zones de contacts et la génération du maillage. Ainsi, Ansys satisfera l’ensemble de la chaîne de conception : du concepteur du bureau d’étude qui pourra effectuer des calculs rapides de pré-dimensionnement à l’ingénieur de calcul qui réalisera des études plus précises (réponse spectrale, non linéarité…).

Il existe deux solutions pour effectuer les modélisations:

- réaliser un fichier .txt qu’ANSYS est capable de lire, en faisant «file », «Read input from »

- ou directement en utilisant les fonctions du préprocesseur afin de réaliser la structure, le maillage et les calculs.

Dans un souci de lisibilité et de traçabilité des codes utilisés on utilisera essentiellement la première méthode.

Figure 7 : Cycle de conception. Source : Digicad (2011).



Procédure générale ANSYS:

Réaliser un modèle éléments finis sur ANSYS peut se résumer aux trois grandes étapes suivantes

/ prep7• Entrer le type d’élément• Entrer les propriétés du matériau (module d’Young,

coefficient de poisson, densité,etc)• Entrer les données géométrique (épaisseur des plaques,

surface, volume, inertie, etc)• Générer le maillage• Entrer le chargement (forces statiques, gradient de

température, etc)• Entrer les conditions d’appuis

Finish

/solution• Entrer le type de calcul éffectué (statique,dynamique ,

etc)SolveFinish

/post1• Listing, impression et visualisation des résultats

Finish

Pre-

proc

esso

rSo

lutio

nPo

st

proc

esso

r

Figure 8 : Schéma d’utilisation classique d’ANSYS. Source : Cunha, 2009

La figure 9 expose le cheminement d’un calcul éléments finis sur ANSYS à travers un exemple de plaque en traction.



Figure 9 : Exemple de la modélisation d’une plaque en traction. Source : Duplan (2010).

2.3.2. La prise en compte de la fissuration dans les calculs

L’hypothèse de non fissuration repose sur la supposition d’un matériau parfaitement homogène. Or il est évident que ce cas ne saurait exister, car le béton lors de sa mise en forme, de sa prise ou encore de sa mise en chargement subit différentes contraintes internes et externes qui entrainent l’apparition de fissures.

Le logiciel nous permet de tenir compte de cette fissuration, de la quantifier et de l’orienter dans l’espace.

Cela implique cependant quelques modifications dans la programmation du volume de béton, à savoir principalement un passage d’un modèle SOLID45 à un modèle SOLID65 qui possède les mêmes caractéristiques géométriques et une répartition d’éléments égale au SOLID45 mais prend en compte la fissuration. Par ailleurs, il est nécessaire de spécifier à la modélisation cette volonté de prendre en compte la fissuration.



2.4. L’optimisation topologique

L’optimisation topologique considère la topologie de la pièce étudiée (nombre de composants, les bords, les trous, etc.) afin de l’optimiser en fonction d’un concept clé que l’opérateur impose. Elle est communément employée dans le milieu de l’automobile depuis le début des années 90. L’optimisation topologique est communément considérée en phase d’avant projet comme un moyen efficace et rapide d’optimisation. La méthode suppose l’introduction du calcul très tôt lors de la conception et accouche ainsi d’une solution adaptée aux contraintes imposées par le projet (SIGMUND, 2003).

Figure 10: Exemple de résultat d’optimisation topologique. Source : CALVEL (2004).

Afin de mieux comprendre l’optimisation topologique, nous allons nous intéresser aux différentes techniques qui existent en matière d’optimisation. Ensuite, ce rapport insistera plus particulièrement sur la méthode utilisée par ANSYS.

2.4.1. Définition

La recherche de ce qu’est la topologie d’une forme conduit à la définition suivante :

« Deux formes ont la même topologie si on peut passer de l'une à l'autre par une déformation continue. »

On définit :

Ω : Domaine ρ: Densité ω : Sous-domaine

De façon générale, il s’agit de répartir de façon optimale, un matériau de densité ρ et de propriété A dans un domaine Ω. En d’autres termes, la détermination du sous domaine ω de Ω, rempli de matière, qui est capable de reprendre un chargement F donné :

𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚[𝑓𝑓(𝜔𝜔)] 𝜔𝜔 ⊂ 𝛺𝛺



Il faut souligner que l’optimisation topologique travaille essentiellement

2.4.2. Méthode des densités

par

itérations successives.

L’optimisation topologique des structures continues est une avancée relativement nouvelle dans le domaine de l’optimisation structurale. La base de cette méthode repose sur les travaux de Bendsoe et Kikuchi (1988). Fondamentalement, la méthode repose sur le fait de distribuer un matériau à l’intérieur de domaines fixes prédéfinis, de telle sorte à maximiser ou inversement, minimiser une fonction objectif. Cette fonction est spécifiée par l’opérateur, pour répondre à un besoin du projet. Elle peut être, par exemple, la maximisation de la rigidité, (et donc par contraposée la minimisation de la souplesse), la maximisation de la résistance ou encore la minimisation de l’énergie de déformation.

Dans ce but, il est indispensable de bien définir au préalable le domaine d’étude, les conditions d’appuis ainsi que le chargement appliqué. Par la suite le domaine est discrétisé par éléments finis (ou autre méthode d’analyse numérique compatible avec les structure de forme complexe).

L’étape suivante consiste en un calcul algorithmique itératif, de distribution du matériau dans le domaine prédéfini, minimisant ou maximisant la fonction objective. On obtient alors une structure ayant une géométrie optimale. La figure ci-dessous montre les différentes étapes de l’optimisation.

Figure 11 : Procédé d’optimisation topologique en projet. Source : Adapté de E.C Nelli Silva

Il s’agit ici d’une méthode basée sur des calculs élément finis relativement simple communément appelé Méthodes des densités, utilisant uniquement la densité relative du

Domaine initial Domaine discrétisé Topologie obtenue

Interprétation, design Vérification

Fabrication



matériau de chaque élément du domaine de travail. Dans la partie qui suit nous exposerons les bases de la théorie de cette méthode.

Fondamentalement, le principe de cette méthode est de discrétiser par éléments finis le domaine de travail et de le remplir de façon homogène de matériau. L’idée fondatrice de cette méthode est de réorganiser le matériau, ou encore de changer la densité (ρ) dans chaque élément du domaine. Ainsi , les éléments obtenus sont des solides de densité égale ou voisine de 1, qui contiennent alors du matériau, et des éléments de densité voisine de 0 et donc où il n’apparait pas nécessaire de disposer du matériau.

Graphiquement comme nous pouvons le voir sur la figure n°11 :

• En blanc : éléments de vides = grande flexibilité

• En noir : éléments de matériaux solides = faible flexibilité

• En gris (couleur intermédiaire) : éléments dans l’état intermédiaire du matériau = flexibilité également intermédiaire.

Le résultat est une forme généralisée non exploitable et non « fabricable » en l’état. Il est alors nécessaire d’interpréter ces informations correctement, c’est à dire pénaliser les densités intermédiaires, en forçant les densités à prendre des valeurs proches de 0 ou 1.

Vient ensuite l’étape de design de la pièce qui doit là encore consister en un compromis entre le résultat de l’optimisation et la faisabilité de ce résultat.

L’étape finale consiste en la vérification (au niveau des contraintes notamment) sous un chargement afin de valider la géométrie finale de la pièce.

L’équation mathématique reliant la valeur des densités de chaque élément du domaine, aux propriétés effectives du matériau 𝐶𝐶(𝑥𝑥) est donnée par la relation suivante (Carbonari, 2003) :

𝐶𝐶(𝑥𝑥) = 𝜌𝜌(𝑥𝑥)𝐶𝐶0

Où 𝜌𝜌(𝑥𝑥) est la fonction de distribution continue des densités,0 ≤ 𝜌𝜌(𝑥𝑥) ≤ 1 et 𝐶𝐶0 est une constante mécanique du matériau du domaine, par exemple le module d’Young 𝐸𝐸0.

Mathématiquement la présence de densité intermédiaire pour la variable 𝜌𝜌(𝑥𝑥) atteste qu’il s’agit d’une solution du problème d’optimisation avec variables continues. Cependant, d’un point de vue pratique, les éléments de densité intermédiaire ne sont pas très intéressants, et rendent de sur quoi l’interprétation de la topologie difficile.

Pour éviter d’être incommodé par un excès d’éléments de densité intermédiaire, il est possible de les pénaliser de la façon suivante (CARBONARI, 2003):



𝐶𝐶(𝑥𝑥) = 𝜌𝜌(𝑥𝑥)𝛽𝛽𝐶𝐶0 (1)

Avec 𝛽𝛽 ≥ 1 le facteur de pénalisation, qui permet de réduire les densités intermédiaires dans la topologie finale.

La figure 12 montre le domaine du projet, les conditions d’appuis et le chargement.

Le domaine étant discrétisé par éléments finis, il est donc possible de connaitre les expressions d’équilibre de la structure :

𝐾𝐾 𝑈𝑈 = 𝐹𝐹

Où K est la matrice de rigidité globale, U est le vecteur déplacement et F le vecteur des forces appliquées.

La matrice globale K est en fait la somme des matrices de rigidité des éléments ke du domaine :

𝐾𝐾 = �𝑘𝑘𝑒𝑒𝑁𝑁

𝑒𝑒=1

Avec N le nombre d’élément du domaine discrétisé.

La variable de travail xe est la densité relative du matériau de l’élément e, nous pouvons donc écrire 𝜌𝜌 = 𝑥𝑥𝑒𝑒𝜌𝜌0 avec 𝜌𝜌0 la densité relative d’un élément solide du domaine (ici 𝑥𝑥𝑒𝑒 = 1 mais en théorie valeur comprise entre 0 et 1)

Cette formulation repose comme nous l’avons dit précédemment sur la minimisation de la souplesse moyenne (compliance en terme ANSYS) de la structure, qui est équivalent à minimiser l’énergie de déformation. Nous verrons par la suite en quoi cette remarque a son importance. La flexibilité moyenne peut s’écrire de la façon suivante :

𝑆𝑆 = 𝐹𝐹𝑇𝑇𝑈𝑈 = 𝑈𝑈𝑇𝑇𝐾𝐾 𝑈𝑈 = ∑ (𝑢𝑢𝑒𝑒)𝑇𝑇𝑵𝑵𝑒𝑒=1 𝑘𝑘𝑒𝑒𝑢𝑢𝑒𝑒 (2)

charge

appuis

Domaine de travail

solide

vide

Figure 12 : Projet schématique d’optimisation topologique



En réécrivant l’expression (1), en prenant en compte le coefficient de pénalisation β des densités intermédiaires, on arrive à la relation suivante pour un élément :

𝑘𝑘𝑒𝑒 = (𝑥𝑥𝑒𝑒)𝛽𝛽𝑘𝑘0 (3)

En introduisant (3) dans l’équation (2) il en résulte :

𝑆𝑆 = �(𝑥𝑥𝑒𝑒)𝛽𝛽 [(𝑢𝑢𝑒𝑒)𝑇𝑇𝑘𝑘0𝑢𝑢𝑒𝑒]𝑁𝑁

𝑒𝑒=1

Le processus d’optimisation utilise la donnée du volume V(X) du matériau, est :

𝑉𝑉(𝑋𝑋) = 𝑥𝑥1𝑣𝑣1 + 𝑥𝑥2𝑣𝑣2 + ⋯+ 𝑥𝑥𝑁𝑁𝑣𝑣𝑁𝑁 = �𝑥𝑥𝑒𝑒𝑣𝑣𝑒𝑒 = 𝑋𝑋𝑇𝑇𝑣𝑣𝑁𝑁

𝑒𝑒=1

Où X est le vecteur des variables du projet et v le vecteur volumique des éléments.

Ainsi, nous pouvons mettre en équation le problème d’optimisation topologique selon Sigmund (2003) de la manière suivante :

La fonction à minimiser, la souplesse :

𝑆𝑆(𝑋𝑋) = 𝑈𝑈𝑇𝑇𝐾𝐾 𝑈𝑈 = �(𝑥𝑥𝑒𝑒)𝛽𝛽 [(𝑢𝑢𝑒𝑒)𝑇𝑇𝑘𝑘0𝑢𝑢𝑒𝑒]𝑁𝑁

𝑒𝑒=1

Devant respecter la restriction volumique imposée :

𝑉𝑉(𝑋𝑋)𝑉𝑉0

= 𝑓𝑓

Tout en respectant l’équilibre global de la structure donné par :

𝐾𝐾 𝑈𝑈 = 𝐹𝐹 → 𝐾𝐾 𝑈𝑈 = �(𝑥𝑥𝑒𝑒)𝛽𝛽 [𝑘𝑘0𝑢𝑢𝑒𝑒]𝑁𝑁

𝑒𝑒=1

= 𝐹𝐹

Ainsi que les restrictions latérales

𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑒𝑒 ≤ 𝑥𝑥𝑒𝑒 ≤ 𝑥𝑥𝑚𝑚𝑚𝑚𝑥𝑥𝑒𝑒 𝑒𝑒 = 1, … ,𝑁𝑁

Dans certains cas (comme celui de cette étude), lors qu’on minimise la souplesse (maximise la rigidité) on obtient également la maximisation de la résistance de la structure. C’est-à-dire que la forme optimale trouvée par l’optimisation topologique maximise simultanément la rigidité et la résistance (SIGMUND, 2003). Ceci est important du point de vue du dimensionnement de la structure.



3. Etude du modèle de référence

Le projet étant tourné vers l’optimisation d’une dalle de béton armé munie d’une trémie, les recherches se sont tournées dans un premier temps vers la mise au point d’un modèle cohérent, permettant de représenter le plus possible la réalité et qui constituera la référence pour l’étude des différentes géométries de renforcement étudiées.

3.1. Caractéristiques des matériaux

Il est important de détailler au préalable de la modélisation les paramètres des matériaux utilisés. Ces derniers sont donc les suivants :

• Béton :

•

Module d’élasticité de 2,38 x 1010 N/m² et coefficient de poisson de 0,2. Acier :

•

Module d’élasticité de 2,1 x 1011 N/m² et coefficient de poisson de 0,3. Fibres de carbone :

Module d’élasticité de 1,55 x 1011 N/m² et coefficient de poisson de 0,27.

3.2. Conditions de chargement et conditions d’appuis

L’objectif de ce projet est l’étude du renforcement. A la lecture des différents ouvrages, mais également en s’appuyant sur la logique, il apparait que les zones sollicitées seront situées à proximité de la trémie. Il n’est pas prévu d’étudier l’influence des conditions d’appuis dans un premier temps, et elles sont alors arbitrairement fixées à des appuis simples, répartis le long des 4 arrêtes inférieures externes de la dalle.

Par ailleurs, il est essentiel de définir un chargement raisonnable et tenant compte du poids propre de la dalle, ainsi que des charges d’exploitation. La valeur définie est de 6000 N / m². Là encore, c’est le cadre du projet qui impose le choix d’une charge uniformément répartie. En effet, le renforcement étudié répond mieux à un état de contrainte uniformément répartit, et la mise en œuvre d’une charge ponctuelle, pouvant par exemple provoquer le poinçonnement, s’éloigne de la problématique de l’étude.



3.3. Définition du modèle de référence

3.3.1. Elément de béton

L’élément consiste en une plaque de 5m x 5m munie d’une trémie de 1m x 1m centrée, de 12 cm d’épaisseur. L’enrobage a été fixé à 3 mm. Le type d’élément ANSYS choisi de base est SOLID45. En effet, il est essentiel lors de cette étude de considérer les contraintes de façon distincte pour les faces supérieures et inferieures de la dalle. Ainsi, un élément de type SHELL (à 2 dimensions) est insuffisant.

Afin de modéliser la trémie centrale, la couche de béton est en réalité composée de 4 éléments SOLID45 identiques répartis comme ci-après, sur la figure 13 :

1

2

3

4

1 m 5 m

1 m

5

m

Figure 13 : Vue en plan schématique de la répartition des éléments de béton

4 x 3 m

2 m

Trémie



Le rendu final de l’élément en béton sous ANSYS est représenté sur la figure 14.

Figure 14 : Modélisation de l'élément béton sous ANSYS

3.3.2. Eléments en acier

Ce projet ayant un objectif plus qualitatif que quantitatif, il a été choisi de ne pas réaliser le dimensionnement de la dalle ou des armatures. Il a donc été choisi forfaitairement de mettre en œuvre une plaque de béton, armée par un treillis soudé de barres de diamètre 5 mm, réparties tous les 10 cm, dans les deux directions, en partie basse de la dalle.

Les armatures étant unidirectionnelles, il a été choisi de mettre en œuvre des éléments de type BEAM3 à une dimension (la section étant une caractéristique intrinsèque au modèle).

La modélisation sous ANSYS est celle de la figure 15.

Figure 15 : Modélisation des armatures en acier sous ANSYS



3.4. Etude du modèle

3.4.1. Critères à considérer

Dans un premier temps, il est intéressant de fixer les critères que nous allons considérer. La principale conséquence d’un renforcement est la maximisation de la résistance du système. De ce fait, trois principaux critères ont été choisis.

• Le premier est la contrainte selon l’axe x et l’axe y sur la face inférieure de la dalle considérée, en un point qu’il nous reste à déterminer.

• Le second est la contrainte équivalente de Von Mises. Des contraintes et déformations en trois dimensions s'accumulent dans plusieurs directions. Une manière courante d'exprimer ces contraintes multidirectionnelles est de les résumer en contraintes équivalentes, également appelée contrainte de Von Mises. Un solide à trois dimensions dispose de six composants de contraintes. Dans ce cas, la combinaison des six composants de contrainte en une seule contrainte équivalente permet de reconstituer le système de contrainte réel.

• Le dernier est le déplacement vertical du point considéré, qui est un paramètre lié à la rigidité de la structure.

3.4.2. Localisation des mesures

Afin de fixer un point adapté aux mesures, il faut tenir compte de plusieurs paramètres. Ce point doit en effet :

• Être situé dans une zone où les contraintes et les déplacements considérés sont importants.

• Offrir des mesures représentatives de la réalité.

Pour cela, nous pouvons considérer les résultats de la dalle sans renforcement des figures 16,17 et 18.



Figure 16 : Répartition des contraintes selon x sur la face inférieure de la dalle

Figure 17 : Déplacement de la face inférieure de la dalle

Figure 18 : Contrainte de Von Mises sur la face inférieure de la dalle



Ces résultats conduisent à plusieurs conclusions. Tout d’abord, comme nous l’indique la figure 16, les répartitions des contraintes dans les directions x et y sont identiques à une rotation de 90° près. Ensuite, la figure 17 confirme le résultat attendu, à savoir que les déplacements verticaux sont bien maximisés vers le centre. Enfin, la figure 18 est celle nous apportant le plus d’information. En effet, les contraintes de Von Mises nous permettent de mettre en évidence la zone la plus sollicité, qui se trouve être les coins de la trémie. La contrainte se développe selon un bulbe orienté vers les coins extérieurs de la plaque. En tenant compte des informations précédentes, il apparait alors qu’un point situé sur la diagonale et à proximité immédiate du coin de la trémie serait le plus à même de répondre à notre premier critère. De ce dernier, on tirera donc la conclusion de considérer le point de coordonnée (x=2m, y=2m, z=0m) comme le point le plus adapté.

Cependant, dès lors que l’on considère les résultats obtenus au niveau du point et non plus de la surface, on obtient des résultats plutôt étranges. En effet, du fait que le point se trouve à la surface du béton, il appartient tout autant au matériaux qu’à l’espace vide environnant, et les valeurs, principalement celle des contraintes selon les directions x et y, n’ont plus aucun sens.

De ce fait, on s’intéresse alors à l’influence de la coordonnée x=y du point considéré sur la pertinence des valeurs considérées. On relève donc les valeurs des contraintes et des déplacements pour différents points répartis sur la diagonale pour x compris entre 1,5 m et 1,9m (représentés sur la figure 19).

Figure 19 : Répartitions des points de mesures potentiels

Par ailleurs, en vue des études ultérieures il est bienvenu de s’intéresser à l’influence de l’ajout d’armature sur les résultats, qui sont représentés sur les graphiques des figures 20 et 21.



Figure 20 : Evolution de la contrainte σx sur la diagonale de la dalle

On constate que l’évolution de la contrainte le long de la diagonale suit globalement une tendance logiquement à la hausse (comme observé sur la figure 18) lorsque l’on se rapproche du coin de la trémie. On observe également que le point limite x = y = 2 m ne sort de cette tendance, comme expliqué plus haut. Il apparait enfin que le point précédent, à savoir le point situé en x = y = 1,9 m convient parfaitement à la mesure, du fait non seulement de sa position mais également des résultats observés. Cependant, il reste à vérifier le point en se qui concerne les déplacements.

Figure 21 : Evolution des déplacements le long de la diagonale de la dalle

1,9

2

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

1,4 1,6 1,8 2

σx (

MPa

)

X (en m)

Valeurs de σx (= σy) en fonction de x (= y)

σx modèle béton seul

σx modèle béton+acier

-4,5

-4,3

-4,1

-3,9

-3,7

-3,5

-3,3

-3,11,4 1,6 1,8 2

Dép

lace

men

ts (

mm

)

X (en m)

Déplacements en fonction de x (=y)

Déplacements modèle béton seul

Déplacements modèle béton+acier



En ce qui concerne les déplacements, le défaut invoqué plus haut pour les contraintes intervient dans une moindre mesure mais subsiste. Là encore, le point précédent suit la tendance et convient donc à notre choix.

Pour la suite des mesures, le point x = y = 1,9 m sera donc le point de mesure pour tous les modèles étudiés.

Par ailleurs, il est intéressant de remarquer que dans le cas des contraintes, comme dans le cas des déplacements, la présence des armatures a un effet négligeable, et conduit à des écarts de l’ordre de 0.1 à 0.05 % selon les cas. Il est essentiel de souligner que ces armatures jouent bien un rôle dans la structure, principalement au niveau de la résistance en traction et également de la limitation de la fissuration. Il n’est ici pas nécessaire de mettre en œuvre un modèle si complexe. Aussi, dans tous les cas non fissurés, les modèles seront dépourvus d’armatures, afin de limiter le nombre d’éléments, et donc le temps de calcul pour le logiciel.

Le modèle de référence est donc finalement le modèle défini en (3.3.1.) à savoir la dalle de béton sans armatures.

3.5. Mise en œuvre de la fissuration

Les résultats obtenus avec le modèle définit en (4.3.) ne sont pas révélateur du comportement d’une dalle réelle. En effet, l’hypothèse de non fissuration repose sur la supposition d’un matériau parfaitement homogène. Or il est évident que ce cas n’est pas réel, car le béton lors de sa mise en forme, de sa prise ou encore de sa mise en chargement, subit différentes contraintes qui entrainent l’apparition de fissures. Il nous appartient donc de nous interroger tout d’abord d’un point de vue qualitatif sur les modifications apportées par cette fissuration au niveau des résultats et, le cas échéant, les quantifier.

3.6. Effet de la fissuration sur la répartition des contraintes

La mise en œuvre de la fissuration nécessite l’apport de modifications importantes au niveau des modèles étudiés. Ces modifications géométriques concernent principalement les éléments, et plus particulièrement leur nombre, et donc leur taille.

Dans un premier temps, l’intérêt se porte sur le développement de la fissuration pour le modèle démunis de renforts. Afin de montrer la cinétique du développement des fissures, on fait évoluer le chargement de la plaque, jusqu’à obtenir un état de fissuration tel que le logiciel considère le système comme un mécanisme et interrompe le calcul en annonçant une absence de convergence des calculs.

En dessous de 5500 N/m², le logiciel considère qu’il n’y a aucune fissuration. Au-delà, on observe le démarrage du phénomène, qui intervient, comme on l’attendait au



regard des résultats observés au niveau des contraintes dans la partie (3.4.2.), dans les angles de la trémie. Ce démarrage est illustré sur la figure 22.

Figure 22 : Amorce de la fissuration pour une charge répartie de 5500 N/m²

Lorsqu’on poursuit la montée en chargement, la fissuration se développe en direction des angles de la dalle. La fissuration intervient alors sous la forme de « bulbes », représentés sur la figure 23 pour un chargement fixé à 6000 N/m² (chargement nominal lors de l’étude sans fissuration).

Figure 23 : Développement de la fissuration pour une charge répartie de 6000 N/m²



On remarque pour cette charge, la fissuration ne semble pas intervenir au niveau du centre des arrêtes de la trémie.

En continuant à augmenter le chargement, les bulbes de contraintes tendent à se rejoindre, avant de parvenir à la fissuration totale de la dalle, pour une valeur de 9000 N/m² et l’arrêt des calculs au niveau du logiciel ANSYS.



4. Etude des géométries de renforcement classiques

Il est important de définir ce terme. Par « classique », il est sous entendu « utilisé couramment dans la construction à l’heure actuelle ». Ces modèles, issus de l’expérience et de la logique des ingénieurs ont fait leurs preuves dans le domaine du renforcement de dalle lors du dimensionnement. En ce qui concerne le cas d’étude de ce projet, on distingue principalement deux géométries. Soulignons qu’il existe bien entendu d’autres géométries plus élaborées, mais qui ne sont mises en œuvre que lorsque la géométrie de la dalle ne permet pas les renforts qui sont présentés ci-après, et qui couvrent 95% des cas courants. (Chavez, set. 2010)

4.1. Définition géométrique des modèles de renforcement

4.1.1. Modèle de renforcement « en coin »

La première géométrie est une géométrie de renforcement en coin. Elle consiste dans les faits à positionner les bandes de renforts comme sur la figure 24 de façon à renforcer prioritairement les coins inférieurs de la trémie. La longueur des bandes à été fixée à 1.13m (cette valeur étant liée à la répartition des éléments de 0.1mx0.1m qui constituent le modèle et donc à la valeur de la diagonale de ces éléments carrés, qui vaut 0.14 cm environ).

Figure 24 : Modélisation des renforts en fibre de carbone du cas de renforcement classique « en coin » Source : Adapté d’Enochsson (2007).



4.1.2. Modèle de renforcement « en croix »

La seconde géométrie est une géométrie « en croix ». Elle consiste dans les faits à positionner les bandes de renforts de façon à renforcer prioritairement les arrêtes inférieures de la trémie, tout en ancrant ces bandes en les faisant se poursuivre sur la face au-delà de la trémie (comme représenté sur la figure 25). La longueur d’ancrage a été fixée à la dimension de la trémie, soit 1 m de part et d’autre. Au final, la géométrie consiste donc en 4 bandes de 3 m x 0,1 m.

Figure 25 : Modélisation des renforts en fibre de carbone du cas de renforcement classique « en croix » Source : Adapté de Enochsson, (2007)

4.1.3. Comparaison des deux géométries de renforcement

La face inférieure de la dalle en béton présente une surface totale de 24 m². Le modèle de renforcement « en coin » nécessite la mise en œuvre d’une surface de fibre de carbone de 0.63 m². Cette surface correspond à 2,63 % de la surface totale. Dans le même temps, le second modèle de renforcement, dit « en croix » mobilise une surface de matériaux de renfort de 1,20 m², soit quasiment le double de celle mis en œuvre dans



l’autre cas, et occupe alors 5,00 % de la surface inférieure de la dalle. Ces résultats sont reportés dans le tableau 4 ci-après pour plus de lisibilité.

Tableau 4 : Données géométriques des systèmes dits classiques

L’intérêt de considérer cette occupation de la surface disponible est double. Tout d’abord, il permet évidement de hiérarchiser les systèmes du point de vue des coûts des matières premières mises en œuvre pour le renforcement, ce qui est l’un des aspects clés de ce projet. Ensuite, on peut se souvenir que ces éléments de renforts peuvent être visibles, et la minoration de leur surface conduit donc à la minoration de l’impact visuel du renforcement.

4.2. Choix d’un système de référence pour les renforts

Avant de s’intéresser à l’optimisation du renforcement, il est bienvenu de modéliser ces systèmes avec le logiciel ANSYS, et de les comparer entre eux.

4.2.1. Influence du renforcement sur les contraintes

Globalement, la présence des renforts n’influe pas sur la répartition des contraintes du point de vue qualitatif, tant pour le renforcement « en coin » que celui « en croix ». Les figures représentants ces répartitions sont donc fournies en annexe B et C. En revanche, les résultats numériques sont bien distincts de ceux du modèle sans renforcement.

Rappel :

S 100*S/Stot

m2 % surf totClassique "en coin" 0,63 2,63Classique "en croix" 1,20 5,00

Surface renfort

Systèmes

Les mesures sont effectuées au point x = y = 1,9 m comme expliqué en (3.4.2.).

En terme de contraintes, on considèrera la contrainte σ x (=σy car le point est sur la diagonale) et la contrainte σVM (contrainte équivalente, ou contrainte de Von Mises). Pour les deux modèles, les résultats sont présentés dans le tableau 5.



Tableau 5 : Contrainte maximum en traction dans le béton

Bien évidement, les résultats du système « en croix » utilisant plus de matière pour le renforcement, les valeurs de contraintes sont moins importantes. Cependant, il faut souligner que là où l’aire est doublée, la diminution de contrainte n’intervient pas dans les mêmes proportions, comme le montre les résultats du tableau 6.

Tableau 6 : Comparaison des contraintes des modèles classiques avec le modèle sans renforcement

Ces résultats permettent d’affirmer qu’il existe de la matière mise en œuvre dans le cas de renforcement classique « en croix » qui ne joue aucun rôle au niveau des contraintes, et donc que ce système est plus éloigné du modèle optimisé recherché que le modèle « en coin ». Les fibres de carbone étant des matériaux couteux, ce type de conclusion est bien entendu à mettre en faveur du modèle « en coin ».

4.2.2. Influence du renforcement sur les déplacements

Les résultats en termes de déplacements sont légèrement inférieurs en présence de renforcement (comme attendu) mais dans des proportions très limitées, comme présenté dans le tableau 7.

Tableau 7: Résultats de mesures de déplacements pour les différents modèles



Ces résultats varient dans des proportions quantitativement trop faibles pour être véritablement exploitables, même s’il est essentiel de souligner que là encore, le gain du point de vue des déplacements du modèle « en croix » par rapport à celui du système « en coin » n’est pas proportionnel à l’augmentation de la surface de renfort mis en œuvre.

4.2.3. Bilan

Afin de conclure sur les modèles dits classiques, les différents résultats obtenus en (4.2.1.) et (4.2.2.) sont reportés dans le tableau 8.

Tableau 8 : Tableau bilan des résultats pour le système classique

Après l’étude des résultats, il a semblé opportun de considérer le système de renforcement en coin comme la référence des systèmes renforcés classiquement mis en œuvre. En effet, il est le système le plus proche du système optimisé vers lequel cette étude tend, et ainsi, il constitue la référence la plus cohérente en vu des comparaisons à venir avec les systèmes optimisés, aussi bien en termes de résultats des calculs qu’en termes d’optimisation des coûts des matériaux.



5. Optimisation du renforcement

5.1. Etude des zones à renforcer prioritairement

Le logiciel ANSYS permet la mise en place d’un processus itératif permettant la détermination des zones à renforcer préférentiellement. Pour cela, il est nécessaire de mettre en place une procédure d’optimisation. Cette procédure fonctionne de la façon suivante.

5.1.1. Définition géométrique du modèle

Le modèle étudié est la plaque de référence (voir chapitre 3.) munie d’un élément de surface appliqué sur l’ensemble de la face inférieure de la dalle. Cet élément est de type SHELL93. Il possède l’ensemble des caractéristiques du matériau « fibre de carbone ». Le rendu est représenté sur la figure 26.

Figure 26 : Rendu de l'optimisation sous ANSYS

5.1.2. Méthodologie du calcul

L’optimisation se fait par itérations successives. La procédure d’optimisation topologique d’ANSYS est celle décrite dans la section (2.4.). Avant le lancement du calcul, on doit fixer plusieurs paramètres :

• Le paramètre à optimiser. Dans notre cas, il s’agit de la raideur de la plaque. • La quantité de matière à retirer. Cette donnée, en pourcentage, permet au logiciel

de connaitre la surface totale à retirer lors de l’optimisation. Par exemple, l’étude



cherche à optimiser le modèle classique « en coin », pour lequel la surface de renforts représente 2,63% de la surface totale. Il faut donc fixer cette valeur à 97,37%.

À chaque élément, ANSYS attribue une valeur comprise entre 0 et 1. Les éléments pour lesquels la valeur est « 0 » ne nécessitent pas de renforcement et sont affichés en bleu. En revanche, ceux ayant la valeur « 1 » sont à renforcer. Ils sont affichés en rouge. Cependant, dans la pratique, les valeurs sont rarement de 0 et 1 après la première itération. A l’issue de cette dernière débute donc une seconde itération, qui améliore le résultat, en faisant tendre les valeurs proches de 1 vers 1, et celle proche de 0 vers 0. On comprend alors l’importance d’un nombre suffisant d’itérations, qui permet la convergence du calcul vers un état stable de répartition des renforts.

5.1.3. Résultats du calcul

Le calcul est effectué pour différentes dimensions d’éléments. On diminue en effet la taille des éléments le plus possible afin d’affiner les résultats. Le modèle le plus fin pour lequel la procédure continue à fonctionner possède des éléments de 6,25 cm de côté. Les résultats bruts pour ce modèle sont les suivants :

Figure 27 : Résultats bruts de l'optimisation

Du fait de la dimension et de la forme carrée des éléments, cette optimisation (figure 27) ne reflète pas réellement la surface à optimiser. Un résultat plus cohérent est susceptible d’être obtenu grâce au logiciel qui réalise une pondération de la valeur (de 0 à 1) de chaque élément en fonction des valeurs des éléments immédiatement en contact avec lui. Au final, les résultats pondérés sont représentés sur la figure 28.



Figure 28 : Résultat pondéré de l'optimisation

5.1.4. Interprétation

La figure 28 confirme que la géométrie en coin est plus adaptée. En revanche, il semble que la longueur des bandes puisse être optimisée. De plus, le modèle en croix a une géométrie qui s’éloigne énormément de la géométrie optimum, du fait de ces ancrages. Par ailleurs, en augmentant le nombre de couleurs dans l’affichage (Figure 29), on peut voir la position des éléments dont la valeur est comprise entre 0 et 1.

Figure 29 : Résultats brut et pondéré de l'optimisation avec plusieurs couleurs

Il apparait que dans les zones proches du centre de l’arrête de la trémie, le renfort est moins nécessaire que dans les coins.



5.2. Effet de la fissuration sur l’optimisation topologique.

Le calcul de la fissuration sous ANSYS est facile à mettre en place mais malheureusement très lourd à faire fonctionner. La fissuration est calculée mais dépend du cas de charge, du nombre d’éléments ou du matériau. Il est donc essentiel de s’interroger sur la pertinence des résultats obtenus.

De plus, l’optimisation étant un processus entrainant des calculs complexes, elle diminue elle aussi le nombre maximum d’éléments que l’on peut mettre en œuvre lors du calcul. De ce fait, lorsque l’on couple les deux mécanismes, le nombre autorisé d’éléments est très faible.

La conséquence est que le modèle le plus détaillé conciliant les deux calculs est muni d’éléments de 1m x 1m, ce qui est très insuffisant pour interpréter les résultats obtenus.

Le problème rencontré ne dépend ni de la méthodologie, ni du choix de la géométrie. Il est malheureusement lié au logiciel employé et à son mode de résolution des calculs. De ce fait, il est finalement impossible de considérer des résultats pertinents au problème de l’optimisation appliquée à une dalle fissurée.

5.3. Influence des conditions d’appuis.

Le cas d’étude étant classique et relativement simpliste, l’intérêt est de considérer l’influence de la complexité de la structure. Les résultats intuitifs deviennent bien moins « logiques » et l’apport de l’optimisation devient rapidement important.

Les résultats de l’optimisation obtenus pour des conditions d’appui de type appui simple conduisent à une localisation des zones à renforcer rapidement. Pour cela, on a considéré 3 nouveaux modèles. Le premier est muni d’encastrements sur ses quatre bords (Figure 30). Le second (Figure 31), d’encastrements sur trois bords et est libre sur le quatrième, alors que le dernier modèle (Figure 32) est muni d’encastrements sur deux bords opposés, et possède deux bords libres. Pour chaque figure, la représentation à droite indique le positionnement des renforts après optimisation.

Figure 30 : Géométrie et optimisation du modèle encastré sur 4 bords



De ce fait, en extrapolant à des structures plus complexes, ces résultats permettent de mettre en évidence que l’optimisation propose des résultats rapides et efficaces, mais surtout répondant à des cas de figures pour lesquels un dimensionnement classique serait impossible du fait de la géométrie, du chargement ou encore des conditions d’appuis.

5.4. Définition et étude des modèles optimisés

La figure 28 nous indique les zones dans lesquelles il est prioritaire de placer des renforts. Cependant, les renforts se présentent sous la forme de bande et la mise en œuvre ne permet pas de renforcer selon la géométrie indiquée. Il faut donc interpréter les résultats et les adapter à la pratique. Bien évidemment plusieurs configurations sont possibles. Le choix de placement des bandes de renfort dans la zone optimisée est basé sur le comportement de la structure dans cette région (répartition des contraintes, fissures, etc.).

Figure 31 : Géométrie et renforcement du modèle encastré sur 3 bords

Figure 32 : Géométrie et optimisation du modèle encastré sur 2 bords opposés



5.4.1. Les géométries de renforcements choisies

Parmi les nombreuses géométries, le choix s’est porté sur les 3 géométries suivantes.

Géométrie optimisée 1

: (Figure 33) Le renforcement est raccourci et doublé afin de respecter la forme de « bulbe » observée sur la figure 28.

Géométrie optimisée 2 :

(Figure 34) Cette géométrie s’intéresse plus à renforcer l’angle de la trémie, tout en intervenant également le long des arrêtes à proximité de cet angle.

Figure 33 : Géométrie du modèle optimisé n°1




Géométrie optimisée 3 :

(Figure 35) Cette géométrie s’intéresse plus à l’effet du renfort central le long de l’arrête de la trémie (en bleu).

Le but de l’étude n’étant pas le dimensionnement, on évite de considérer des cas pour lesquels les renforts se superposeraient. En effet, l’objectif prioritaire est d’occuper l’espace défini par l’optimisation. Les surfaces de matériau mises en œuvre pour les géométries 2 et 3 sont identiques à la surface de renfort du modèle classique en coin. En revanche, la géométrie 1 utilise 25 % de matériau en moins que cette dernière.

5.4.2. Influence de la géométrie sur les résultats

La mise en œuvre des 3 géométries de renforcement ne modifient pas la répartition globale des contraintes et des déplacements. Les résultats sont disponibles en annexe D à F. En revanche, les mesures locales sont efficacement modifiées. Les mesures de contraintes et de déplacements réalisées sur les 3 géométries ont conduit aux résultats reportés dans le tableau 9, avec en rose le rappels des résultats précédents.

Tableau 9 : Contraintes et déplacements pour les systèmes optimisés




On remarque en premier lieu que les résultats des déplacements ne constituent pas un critère significatif de comparaison des systèmes. En effet, les différences sont de l’ordre du micromètre, qui n’a pas de sens dans la construction.

En revanche, les relevés des contraintes nous offrent de nombreuses informations :

• En comparant les géométries optimisées 2 et 3 avec la géométrie en coin, qui mettent tous les 3 une surface de renforts égale, on met en évidence une influence forte de la géométrie sur la limitation des contraintes.

• La géométrie 3 met en évidence le peu d’intérêt de renforcer le centre des arrêtes de la trémie, et vient en cela confirmer la conclusion émise en (4.1.4.), à savoir que le modèle optimisé nécessite prioritairement des renforts autour des angles de la trémie.

• La géométrie optimisée 1, enfin, offre des résultats supérieurs en tous

points à la géométrie en coin, ainsi qu’aux géométries optimisées 2 et 3, pour une surface de renfort inférieure de 25%

D’un point de vue qualitatif, il est plus simple de regrouper les résultats des 3 géométries optimisées et de les comparer au modèle classique en coin sous la forme de gain pour chaque mesure. Cette comparaison intervient dans le tableau 10.

Tableau 10: Gains des systèmes optimisés

à celle de ces 3 cas.

5.4.3. Bilan de l’optimisation

Il apparait clairement que les méthodes de renforcement actuellement mises en place sont surdimensionnées. En effet, si on ne peut affirmer que les modèles optimisés étudiés ici sont les meilleurs existants, il n’en reste pas moins que ces modèles ont montré qu’il est possible d’améliorer significativement les résultats tout en diminuant de façon importante la quantité de matière mise en œuvre, et donc les coûts mobilisés.

A ce niveau de l’étude, il semble donc que l’optimisation topologique est en mesure de fournir une amélioration conséquente en ce qui concerne la géométrie, mais également le coût de la méthode de renforcement, et donc favoriser un peu plus sa compétitivité



face au autres types de renforcements. La figure 36 représente le modèle optimisé que nous avons déterminé, et qui par ses performances conduit aux résultats développés tout au long de ce mémoire.

Figure 36 : Modèle optimisé 1 sous ANSYS, avec maillage et renforts



Conclusion

Ce projet a démontré l’apport considérable que constitue l’optimisation topologique au sein des méthodes de renforcement des dalles à trémies par des matériaux composites de type fibre de carbone. Ce gain est multiple. Il s’exprime tout d’abord en terme de quantité de matériaux mis en œuvre, et donc de coût mobilisé. Il a été montré que ces gains peuvent facilement atteindre des proportions de l’ordre de 25% par rapport aux modèles actuellement utilisés.

Ensuite, la facilité de mise en œuvre de l’optimisation grâce aux méthodes informatiques aux éléments finis constitue sans conteste un deuxième avantage. Il entraine un temps de calcul relativement faible, pour un coût là encore très limité.

Cependant le projet nécessiterait un complément conséquent, tant du fait des possibilités nombreuses de l’optimisation topologique que des problèmes rencontrés. A l’heure actuelle, il resterait à déterminer l’influence exacte des phénomènes de fissuration sur l’optimisation.

Un axe d’ouverture intéressant serait la généralisation de cette étude à d’autre conditions d’appuis, voir à d’autre types d’ouvertures, comme par exemple une ouverture circulaire.



Bibliographie

ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas, NBR 6118 : Projeto de estruturas de concreto – Procedimento, Março 2003

CALVEL, S. Conception d’organes automobiles par optimisation topologique, Toulouse, 2004

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CUNHA, J. Notas de aula da disciplina Materiais Compostos, Universidade Federal de Uberlândia, FECIV, 2009.

DIGICAD. Schéma d’intégration de l’analyse de conception. Disponible sur : <http://www.digicad.fr/ansys.htm> Accès le : 22 Mai 2011 DUPLAN,J. Etude de la distribution du renforcement des structures en maçonnerie par fibres de carbone, en utilisant l’optimisation topologique, Rapport de PFE, INSA de Strasbourg, 2010 EL MAADDAWY, T. ; SOUDKI, K. Strengthening of reinforced concrete slabs with mechanically-anchored unbonded FRP system, Construction and Building Materials 22 (2008) ELGABBAS, F. et al. Different CFRP strengthening techniques for prestressed hollow core concrete slabs: Experimental study and analytical investigation, Composite Structures 92 (2010)

ENOCHSSON, O. et al. CFRP strengthened openings in two-way concrete slabs – An experimental and numerical study, Construction and Building Materials 21 (2007)

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SIGMUND, O. ; BENDSOE, M.P. Optimization of structural topology, shape and materials, DTU, 2003.

SMITH, S.T. ; KIM, S.J. Strengthening of one-way spanning RC slabs with cutouts using FRP composites, Construction and Building Materials 23 (2009)

TES TECHNIFOR. Fiche de présentation du renfort de fibre de carbone. Disponible sur : <http://www.testechnifor.com/>. Accès le : 25 Fév. 2011



Annexes



Annexe A : L’Université Fédérale de Uberlândia (UFU)

Localisation et chiffres clés

Le triangle Mineiro (de mineiro, en portugais, adjectif désignant ce qui se rattache à l'État du Minas Gerais), est une région de l'ouest de l'État du Minas Gerais, lui-même situé au nord-ouest de la région « Sud-est » du pays, entre les rivières rio Grande et rio Paranaíba, qui se rejoignent pour former le rio Paraná. A titre de comparaison, l’Etat de Minas Gerais est à peine moins étendu que la France, pour une population d’environ 20 millions et demi d’habitants.

Figure 37: Etat de Minas Gerais, région du triangle Mineiro et en encart, état de Minas Gerais au Brésil. Source : Wikipedia, 2011

Le triangle Mineiro est l'une des régions les plus développées de l'État. On y trouve des villes modernes et bien structurées. Ses principales activités économiques sont l'industrie, le commerce (Uberlândia étant la première plateforme commerciale d’Amérique Latine) et l'agriculture, notamment les cultures du café, du maïs, du soja et de la canne à sucre, ainsi que l'élevage.

Les principales villes de la région sont Uberlândia, Uberaba, Patos de Minas, Ituiutaba, Patrocínio, Araxá, Frutal, Araguari, Monte Carmelo, Prata et Iturama. Uberlândia est la deuxième ville de l’état de par sa population et son activité économique. L’agglomération compte 635 000 habitants (recensement de 2008, aujourd’hui il est



probable que la ville compte environ 700 000 habitants) et s’étend sur une superficie de 4.116 km².

L’Université

L’université Fédérale de Uberlândia (UFU) a été reconnue « Universidade Federal » en mai 1978. L’UFU fait partie des meilleures universités de l’Etat de Minas Gerais. Elle est particulièrement reconnue dans le domaine du génie mécanique. Par ailleurs, l’Université jouit d’une excellente réputation aussi bien auprès des entreprises locales que nationales.

Le campus Santa Mônica, sur lequel se situe le département de Génie Civil, regroupe l’ensemble de la filière scientifique (FECIV Faculdade de Engenharia Civil, Mecatrônica, Mecânica, etc.) ainsi que les filières de Sciences Humaines, économiques et de Lettres.

La FECIV (Faculdade de Engenharia Civil)

Ce projet a été réalisé dans les locaux de la Faculté de Génie Civil (FECIV : Faculdade de Engenharia Civil), et plus particulièrement dans les laboratoires du Docteur Jesiel CUNHA et de son équipe.

Figure 38 : Bibliothèque de l'université Fédérale d'Uberlândia, campus Santa Monica



Annexe B : Modèle classique « en coin »

I. Déplacements pour le système de renforcement "en coin"

II. Contrainte σx pour le système de renforcement « en coin »



III. Contrainte σVM pour le système de renforcement « en coin »



Annexe C : Modèle classique en croix

IV. Déplacements pour le système de renforcement « en croix»

V. Contrainte σx pour le système de renforcement « en croix»



VI. Contrainte σVM pour le système de renforcement « en croix»



Annexe D : Modèle optimisé 1

VII. Déplacements pour le système de renforcement optimisé 1

VIII. Contrainte σx pour le système de renforcement optimisé 1



IX. Contrainte σVM pour le système de renforcement optimisé 1



Annexe E : Modèle optimisé 2

X. Déplacements pour le système de renforcement optimisé 2

XI. Contrainte σx pour le système de renforcement optimisé 2



XII. Contrainte σVM pour le système de renforcement optimisé 2



Annexe F : Modèle optimisé 3

XIII. Déplacements pour le système de renforcement optimisé 3

XIV. Contrainte σx pour le système de renforcement optimisé 3



XV. Contrainte σVM pour le système de renforcement optimisé 3

Documents

Projet de Fin D’Etude - Bienvenue sur Catalogue des ...eprints2.insa-strasbourg.fr/992/1/Hantz_Mathieu_Rapport_de_PFE_GC... · Etude de l’optimisation du renforcement ... premier