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REPUBLIQUE DU SENEGAL
UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP
ECOLE POL YTECHNIQUE DE THIES~""\ I~
DEPARTEMENT DE GENIE CIVIL . f'" ,A 1'--. ri/! j\"J) ."'VPROJET DE FIN D'ETUDES
En vue de l'obtention du diplôme d'ingénieur de conception
TITRE: CALCUL ET TECHNOLOGIE DES VOILES MINCES
AUTEUR: Martial MISSIHOUN
DIRECTEUR: Thomas AQUIN
DATE: JUILLET 1992
REMERCIEMENTS
J'ai l'hor'neur de remercier très sincèrement toutes les
personnes qui or,t contribué, de-près ou de loin, à la réalisation
de ce projet de fin d'études; et particulièrement
- Monsieur Thomas AQUIN, mon directeur de projet, qui a, de
tout temps, manifesté une disponibilité et une attention sans
faille dans le cadre de ce travail.
- Messieurs l~s professeurs de l'Ecole Polytechnique de Thiès,
qui ont su m'inculquer les prérequis nécessa!res à la réalisation
de ce projet.
Qu'ils trouvent ici l'expression de ma profonde et franche
reconnaissance.
Martial MISSIHOUN
Page i Remerciements
SOMMAIRE
Cette étud8 se rapporte au domaine très vaste des voiles
minces. Toutefois, nous n'avons pas abordé spécifiquement toutes
les formes, vu leurs diversités.
Cet ouvrage traite du concept général sur les voiles minces à
travers, entre autres, les conditions environnementales africaines'
avant de se spécial iser dans l'étude des p a r a b oLo Lde s hyperbol iques
qui sont des voiJ.es structuralement supérieures.
Les calcul'; étant très complexes, le programme IMAGES-3D
d' éléments f i n is a été utilisé pour l'analyse structurale. La
définition des différents modèles s'est donc fait avec les éléments
finis. Ces derni,=rs constituent également des domaines d'étude peu
expérimentés. Netls les avons présentés sommairement et clairement
en évitant autant que possible les considérations mathématiques
trop poussées.
Nous avon,; achevé notre étude par le design en béton armé du
modèle de toituI'e retenu.
Page ii Sommaire
Les discussions et les recommandations feront ressortir
d'avantageuses suggestions pour l'étape de mise en oeuvre et de
construction de la toiture.
Page iii Sommaire
AB8TRACT
This repoct deals with the broad field of thin shells which
derive some of their present interest from their structural
behaviour and inherent beauty.
This project includes an introduction to the study of various
thin shell form5 and an analysis of hyperbolic paraboloid shells.
Finite element analysis has been performed on roof model with an
IMAGES-3D prog'alllme. The model design has then been completed with
concrete design.
The resul tLng discussions and recommendations have led to
useful suggestions as to the best ways of constructing roofs of
this type.
Page iv Abstract
Remerciements
Sornrna Lre
Abs t rucc
TABLE DES MATIERES
i
ii
iv
TablE' des matières . . · ...· · . . . . . ...· v
Liste des symboles · · · . . . . · . viii
Table des annexes . . . . . . . . · . xi
Liste des figures . . . · · · . . . xii
Introduction 1
chapitre l
Chapitre 2
Géné~a1ités sur les voiles minces
1.1 Définitions. 4
1.2 A\antages et inconvenients
d0s voiles minces • 4
1.3 Classification des formes. 5
choix de forme en fonction
des bE30ins
4
13
Page v Table des matières
2.1 Dispositions pratiques de
ccnstruction des toitures , 13
2.2 Choix de forme, 15
Chapitre 3 Analyse de la forme retenue et choix
de 1", "léthode de calcul 17
3.1 I~troduction , 17
3.2 Analyse de la surface de définition
des hypars et leur géométrie , 17
3.3 Choix de la méthode de calcul, 23
Chapitre 4 COD~nrtement structural . 25
4.1 Introduction, 25
4.2 f..kS plaques en flexion, 26
4.3 Lcs effets de membrane sur
les hypars , 39
4.4 Comportement structural
des poutres , 41
Chapitre 5 Présentation et formulation avec
les éléments finis.......................... 43
5.1 JiJstorigue et définitions, 43
Page vi Table des matières
Chapitre 6
5.2 Intérprétation physique , 45
5.3 Procédure d'un calcul par
éléments finis 46
5.4 Détermination de la
mat r i ce de rigidité , 50
5.5 Formulation sur IMAGES-3D r 56
Résultats d'analyse structurale
et des'ign 60
6.1 Présentation des résultats de
l'analyse structurale du modèle, 60
6.2 Design, 63
Chapitre 7 Discussion et recommandations .
7.1 Discussion, 70
7.2 Recommandations, 71
Conclusion .
70
74
Bibl ic.graphie 75
Annexo l
Annexé 2
Page vii Table des matières
LISTE DES SYMBOLES
Nous citons ~i-après les principaux symboles utilisés dans ce
document; d' au r.re s seront définis au fur f't à mesure de leur
apparition dans Je texte.
k
[E]
f' e
dimensicns d'un voile mince dans le plan
section brute de béton
section d'armatures
rigidité en flexion de plaque
degré dE liberté (= "degree of freedom")
module d'élasticité
matricG d'élasticité
résist~nc0 à la compression du béton, MPa
figure
limite élastique de l'armature, MPa
module ct'élasticité en cisaillement
flèche ce paraboloide hyperbolique
désignation anglo-saxone du paraboloïde hyperbolique
constante caractéristique d'un paraboloïde hyperbolique
rectangLlaire (k = h/ab)
[K] matrice de rigidité globale de la strurture
[Ki] matrice de rigidité par élément
a,b
fig.
D
d i o , f.
E
hypar
Page viii Table des notations
Mx. My moment dA flexion par unité de longueur dans les plans
normaux à x et à y
Mxy moment de cors ion par unité de longueur dans le plan
normal ê x
nx ' ny efforts f'ormaux suivant x et y corespondant eux effets
de membrane
n,. n2 contraintes principales (effets de membrane)
p charge uniformément distribuée
P charge concentrée
Qx' Qy force de cisaillement par unité de longueur dans les plans
normaux ~ x et y
réf référenc'e (voir dans bibliographie)
r x ' r y rayon de courbure de la surface moyenne d2ns le
plan xz et yz
t épaissel.r de voile mince
u , v. w déplaceJ'ents suivant les axes x, y et z
Ue énergie de déformation
Ua densité ,l'énergie de déformation
v volume ~'intégration
V énergie p0~entielle totale par élément
vténergie potentielle totale de la structure entière
W énergie potentielle des forces extérieures.
{a} vecteur constante de fonction pôlynôme
Yxy' i,: i.. déformations en cisaillement dans les
Page ix Table des notations
ro
a" oz' 03
"t: xy' 't';" "(x
{o )
plans xy, yz et zx
déformations normales dans les directions x, y
et z
courbure
coefficient de poisson
contraintes normales dans les plans normaux à
x, y et z et parallèles aux directions x,y et z
respectivement
~ontraintes principales
contraintes de cisaillement dans les plans normaux
à x, y et z , et parallèles aux directions y, z et
x respectivement
vecteur déplacement du point d'application de
charge concentrée
Page x Table des notations
TABLE DES ANNEXES
1- Présentation Jes résultat~ d'analyse structurale
2- Justification des hypothèses sur le béton armé.
Page xi Table des annexes
LISTE DES FIGURES
Figure
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Poutres - cloisons .
Voiles p r i sna t Lque s .
Voiles pl .i s s e s ' .
Surface cor.o i da l e .
Conoïde
Paraboloï~e hyperbolique .
Paraboloïcie élliptique .
Coupole surbaissée .
Voile torique .
Surface dE définition d'un hypar .
Paraboloïôes hyperboliques complexes .
Géométri~ de la surface d'un hypar .
Repères choisis
Parabole", dans un hypar .
Elément de plaque non chargé .
Déflect i.or d'un élément plaque .
Déformaticns dans le plan .
Pente et c:ourbure d'une plaque mince fléchie .
ContraintEs dans le plan .
6
7
7
8
9
10
Il
11
12
18
19
18
21
22
27
27
29
31
33
Page xii Liste des figures
4.6
4.7
4.8
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.7
Efforts dus à la flexion dans une plaque 34
Efforts de membrane 39
Efforts sur les poutres de rives 42
ConventiOtl de signes pour les efforts dans
les poutr~s dans un repère local................ 62
Convention de signes pour les efforts dan3 les éléments
plaques scllicités normalement dans leur même plan 62
conve rvt.Lor. de signes pour les efforts dans
les éléments plaques sollicités en cisaillement 63
Ferraillage de la section d'hypar 66
Ferraillage pour poutre de rive 68
Ferraillase pour poutre intérieure 69
Page xiii Liste des figures
INTRODUCTION
C'est maintenant un fait établi que les voiles minces
constituent des éléments structuraux d'une grande efficacité.
Les propriétés structurales remarquables des voiles minces ont
été mises à contribution depuis l'antiquité dans la construction de
couvertures autoportantes et plus particulièrement dans la
construction navale. De nos jours, les voiles min~es constituent
les éléments stracturaux de base dans la construction aéronautique
et aérospatiale.
Eri génie civil, l'utilisation des voiles minces remontent à la
constru,ction des basiliques et des cathédrales. Dans ces cas, les,
voiles minces c(,nsistaient en voûtes cylindrique ou sphérique en
maçonn~rie. L'ap~ort du béton armé et la facilité de mise en oeuvre
de ce matériau ont permis la diversification des formes et des,
applications barrages voûtes à courburé simple ou double,
toitures d'églis0s, de salles d'exposition, d'arenes, de piscine,
d'usines, chât2éUX d'eau, réservoirs, silos, etc ...
Malgré tou~es ces réalisations cependant, les voiles minces en
dépit de leurs avantages structuraux, ne connaissent pas encore une
Page l Introduction
utilisation étendue. Deux obstacles principaux peuvent expliquer
cette situation le premier est économique et est lié aux
difficultés de réalisation des coffrages ; le second a été pendant
longtemps le manque de méthodes simples d'analyse, la seule méthode
précise disponlble ayant été la résolution des équations
différentielle~ qui est très complexe pour la plupart des formes.
Toutefois C~ projet n'a pas la prétention de surmonter toutes
les difficultés se rapportant aux différentes formes de voiles
minces. Il a été conçu de manière à mettre à la disposition du
lecteur quelques outils, non moins principaux, pour l'analyse et le
design en béton armé d'un voile mince.
La matière couverte est présentée en sept chapitres comme
suit:
- le chapi~re 1 est une présentation générale des voiles
minces.
- le chapitre 2 traite du choix de forme en fonction des
besoins.
- le chapitre J est consacré à l'analyse de la forme retenue
et au choix de la méthode de calcul.
- le chapitre 4 présente le comportement structural de la
s t ruct.ure retenue à partir des théories de la résistance
des matériaux.
le chap,tre 5 est entièrement consacré à la présentation et
Page 2 Introduction
à la formulation avec les éléments finis.
- le chapitre 6 traite essentiellement du design du modèle
retenu.
Finalemsl't, le chapitre 7 est consacré à la discussion des
résultats et à quelques recommandations pertitentes.
Page 3 Introduction
GENERALITES SUR LES VOILES MINCES
1.1 - Définitions
Les voiles minces sont des structures spatiales dont
l'épaisseur est faible par rapport aux deux autres dimensions et
dans lesquelles les contraintes agissant paralleiement à la surface
moyenne sont pcèpondèrantes.
Les voiles minces peuvent se subdiviser en membranes et en
coques.
Les membranes se caractérisent par le fait que les contraintes
agissant sur unE' facette quelconque normale à la surface moyenne
sont constantes sur toute l'épaisseur du voile.
Les coques se caractérisent par le fait que les contraintes
agissant sur u~e facette normale à la surface moyenne varient sur
l'épaisseur du v~ile. Dans ce cas, les moments de flexion et de
torsion sollicltent la facette en plus des tensions.
1.2 - ~vantages et inconvenients des voiles minces
Les voiles mlnces présentent de nombreux avantages
- légèreté,
- économie dans les armatures, appuis et fondations,
Page 4 Chapitre 1
- couverture économique de grands espaces sans appuis
intermédiaires,
-esthétique des constructions.
L'inconven.i.ent majeur est le coût è-es coffrages. Et
secondairement il Y a la difficulté de calculs des efforts qui tend,
progressivement à être surmontée avec le développement des outils
informatiques.
1.3 - Classification des formes
1.3.1 critères de classification
Il existe divers modes de classification des formes données
aux voiles min(.:es :
- le mode d~ génération de la surface moyenne, qui définit les
surfaces de i:ranslation et les surfaces de révolution,
- le caractère de développabilité de la surface,
- le genre de surfaces : surfaces réglées ou non réglées,
le signe de la courbure gaussienne qui est le produit de
deux c c.u r bur e s principales en un point quelconque de la
surfacE.
Ce dernier critère sera utilisé dans le ~lassement établi ci-
dessous car il apparaît le plus général.
Page 5 Chapitre 1
1.3.2 Classification
1.3.2.1 Surfaces à courbure gaussienne nulle
Dans ce groupe de surfaces, un au moins des rayons de courbure
principaux est infini. C'est le cas des voiles plans:
- la poutre-cloison (fig. 1.1), dont la hauteur est comparable
à la portée
----~~----~---------~~
LillFigure 1.1 - Poutre-cloison
- les voiles prismatiques (fig. 1.2)
Page 6 Chapitre 1
Figure 1.2 - Voile prismatique
- les voilES plissés (fig. 1. 3)
Figure 1.3 - Voile plissé
Nous avon~ aussi dans ce groupe
Les voilee; cylindriques qui sont relè.tiv'ement faciles à
Page 7 chapitre 1
coffrer mais résistent moins bien aux ph é noraè ne s d'instabilité
élastique.
- Les voile,: coniques qui sont d'un emploi très rare vu leur
forme peu écononique.
1.3.2.2 Surfaces à courbure gaussienne négative
Il s'agit de voiles à double courbure, tels que pour chaque
point de la surface moyenne, les centres de courbure principaux se
situent de part ct d'autre du plan tangent. Ce plan coupe donc la
surface suivant deux lignes. Les principales surfaces sont :
. Les sur ',Oaces conoidales (fig. 1.4) ces surfaces sont
engendrées par une droite mobile s'appuyant sul." àeux directrices
située~ dans d·!e plans verticaux et astreinte à couper une droite
verticale fixe. Elles présentent d'intérêt pour la construction
d'auvents.
11
b/
/
~igure 1.4 - Surface conoidale
Page 8 Chapitre 1
- 'Les conoïdes (fig. 1.5)
"-._.-._-_.- ._-----------
Figure 1.5 - Conoide
- ,Les paraboloïdes hyperboliques c'est des surfaces,
doublement régl,~cs. Ils connaissent de nombreuses applications
(const~uctions industrielles, églises, auvents ... ) On leur
de la même façon que ceux des dalles
reconna'ît égale'.nent des1,
construisent j.r.rt t quen.errt
(voir fig. 1.6).
simplicités de coffrages qui se
Page 9 Chapitre 1
Figure 1.6 - Paraboloïde hyperbolique
1.3.L3 Surface à courbure gaussienne positive1
Les centres de courbure relatifs à un poillt quelconque de la
surface sont t~LS situés d'un même cOté du plan tangent.
La forme g(,nérale de ces surfaces est celle d'une coupole
Leur géométrie est, sans doute la plus utilisée dans la plupart des
toitures en voiles en Afrique. Quelques formes plus particulières
peuvent cependant être définies :1
i,- ~araboloides elliptiques (fig. 1.7) : la parabole qui fait
1partie! de lelT géométrie peut être de révolution ou à base
1
é Ll i p t i.que ,,
Page 10 Chapitre 1
,,,r
,
EigurJ2l. 7 - Paraboloïde élliptique
- 'Coup o Le s surbaissées (fig. 1.8)
Figure 1.8 - Coupole surbaissée
Ces dernières surfaces ont des rayons de courbure très grands
par rapport aux jimensions de l'aire à couvrir, de telle sorte que
Page 11 chapitre 1
les plans tangents sont tous voisins du plan horizontal; en général
les pentes ne dépassent nulle part 30% .
i '1- ,VOl es!
toriques (fig. 1. 9)
-----1
Yi.gure 1.9 - Voile torique
Page 12 Chapitre 1
CROIX DE FORME EN FONCTION DES BESOINS
2.1 DispositiollLlll"atigues de construction des toitures
Les besoins ressentis par les usagers se traduisent à travers
des diS~ositions optimales et pratiques de construction. La plupart
de ceJ disposlt'ons se rapporte à des impositions d'ordre
architJctural; je point de vue économique étant de prime abord à ne
. Il'pas neg 1ger.
2 .1.1 Po rrne de la surface à couvrir
Le type de voile à utiliser dépend de la forme de la surface1
à couvrir et de l'emplacement des points d'appuis que l'on peut
. ,1prevolrl'
1Dans le contexte rural, la plupart des toitures s' étend sur de
petitej portées et le nombre d'appuis doit être alors minimisé pour
I l t' l ' ,une so u lon p Ils economlque.
d i :1 ' t ,. 't l t t' d' t f . dLa lSpOSl lon (,es appuls e a cons ruc lon Olven avorlser e
grands, dégagements dans toutes les directions afin de maximiser
ll,
'occupatlon de la surface couverte.1,
Page 13 Chapitre 2
2;1.2 Eclairage
1
GrAce à leur intrados galbé et lisse, la plupart des voiles
minces loffre un ~ffet favorable sur l'éclairage car la lumière est
facilement réfléchie. Comme dans n'importe quelles toitures on peuti
prévoit un éc~"i.rage zéni tal en ménageant dans celles-ci des1
ouvertures. Dans le cas des voiles ces ouvertulGS sont recouvertes
1de coupoles tr~rslucides.1
cettesurportéeêtre
d'intenses pluies pendant
devraattention
Ecoulement des eaux pluviales
sériel Ise
1
2.11. 3
1Une1
d i spos i't.Lon . En effet notre sous-rég ion et en particul ier les
mil ieuJ ruraux conna issent en général
, 1
l 'h l ver;lnage.
Il Y a donc lieu de veiller à la dispos! tion des descentes
d' eau, Iq Ui doi ve.rt; év idemment être raccordées aux différents fonds
1de cuvette que forme la couverture. Comme ces descentes sont
PlacéeJ contre cu dans les colonnes, les points bas du voile mince
se sitJeront dor-e logiquement au dessus des appuis.
Lel fortes pentes ont un effet favorable sur l'étanchéité des
i t; 1 t ' 'l' t' d '1 'tOl ures e certalnes rea lsa lons e VOL es mlnces sans aucune
chape alphaltiQL2 ont donné entière satisfaction.
unL coupole ~~nversée, c'est à dire ayant la concavité vers le
h l . t' ,,' td' t' laut, presen e le grave lnconvenlen 'exlgeL un exu Olre centra
Page 14 Chapitre 2
et une canalisation qui encombreront sérieusement la surface
1couverte.
1Ainsi le choix du type de voile doit faciliter sans grandes
imPlicJtions le" évacuations d'eau pluviale et être tel que l'on
i t; l , , '1 ' " d ' t'SOl c e r t a Lri qu l ne pu i s s e Jamals se pro u i r e une s aqnat t on
d'eau lccidentelle qui créerait une sollicitation tout à fait
anorma~e et dangereuse de la structure.
2.1.4 Isolation thermique
Le voile mince n'a pas de réelles qualités d'isolants
thermiJues; le béton n'étant pas également un bon isolant. Quelque
soit IJ type de \'oile, il est généralement nécessaire d'y adjoindre
l, '1 'd' l d' d i l i f iun materlau lSO ant, pour ra Ulre es eper ltlons ca orl lques et
l " . d' h " b isurtout pour e v i. ter les con eris a t i on s . La caume pcur r a i t etre r cn
, , Jlndlquee.
2.2 Choix de forme
Outre les bccsoins ressortis par les dispositions étudiées
, 'd 1 t' l' b l h'" lprece emmen , 1 .. s ' .i mpos e a 50 umment un COl>: econonaque entre es
di ffére1ntes form 2S de voiles minces. Le cri t è r e principal sera
alors Ils facilités de coffrages; le traçage, le façonnage et la
mise enl place .
Page 15 Chapitre 2
Nous aurons a.l o r s des avantages à utiliser les surfaces
, l' l , t d ' l d' l d' d i t;reg ees 1 qu i son engen rees par e ep acement une r o i e
sUivanJ une loi bien définie. Ces surfaces répondent bien aux
besoinJ d'un grand dégagement de l'espace couvert et de facilités
d1évacJation des eaux pluviales.
1
Les coupoles surbaissées (fig. 1.8) et les paraboloïdes
hyperbdl iques (fig. 1,6) se prêtent beaucoup à ces genres de
1surfaces. Les seconds ont l'avantage d'avoir une belle géométrie
qui esJ moins cl;;ombrante. Toutefois le principal bénéfice qu 1ils
ioffrent, est qu'ils sont simples à coffrer et sont doublement
réglés.
LJ parabolclide hyperbolique que
1par hypar (appejlation anglo-saxone)
étude.
nous désignerons simplement
sera donc retenu pour notre
Toutefois, l~ plupart des théories que nous développerons par
l ,It l hl' , da sUll e sur es ypars sont argement represantatlves es
compor~ements des voiles en général.
F0ge 16 Chapitre 2
ANALYSE DE LA FORME RETENUE ET
CHOIX DE LA METHODE DE CALCUL
3.1 Introducticn
Les hypars deviennent de plus en plus populaires dans les
tOiturJs en volles minces. Cette large utilisation résulte de son
économJe, de sa simplicité structurale et de son caractère
esthétilque.
Lai double cc.:"rbure permet un transfert efficace des charges
aux suJports et toute section transversale (facette normale à la
1surface moyenne) est uniformément sollicitée.
3.2 Analyse de la ~urface de définitions des hypars et leur
qé10métrie
La surface d'un hypar classique peut être générée telle que
1 • 1 f il lllusrre la Iqure 3.1.
ce1tte su r ro ce est générée par la translation d'une parabole
générat·rice c orcav e vers le haut s'appuyant sur une parabole
1
directrice conc~ve vers le bas.
l i . .. d d' ~P USleurs varIétes e formes e tOIture peuvent etre
d · l 1. a' t' db" d d' f f é t f deve oppees par Ir e com .ina i sons e I eren es açons es
1
1
Page 17 Chapitre 3
quadrants de l~ surface de la figure 3.1. Nous avons par exemple
les figures de la page 19 (fig. 3.2).
E""...~ -,. 1 __
",," 1 --»" 1
" ',EF -:
"z
-- oc
1!
Figure 3.1 - Surface de définition d'un hypar
Anâlysons ]a géométrie de la surface d'un hypar à partir du
quadrant ABOH de la surface de la figure 3.2.d. Ce quadrant est1
schématisé à 1:1 figure 3.3 ci=_a!2.r:~_s,__. ._1 --------.
x
Figure 3.3 - Geométrie de la surface d'un hypar
Page 18 Chapitre 3
101
Ici
-_._-----
lb'
Idl
A
. "," "~. :.'." r.',",'
Figure 3.2 - Paraboloides hyperboliques complexes
Page 19 Chapitre 3
P (x, y, z) •
le triangle HA'A, la règle des triangles
h h===> C = x
a a
le triangle Edd'c c
===> Z = yb by
i hOr c = x
1 a
x
=
De même dansz
1
S6it un peint quelconque P de la surface. D'après la figure
13.3 nous avons:1
i 'd'coris i e r oris
1semblables donne1 c
====> Z'! h
(--- x)r' a
hxy
ab
hEn posant },
ab, nous avons la relation générale
zk
k xyh/ ab
(1 a-b)
Pour une analyse détaillée, faisons une rotation des axes ox
et 0'1 dl telle s or t e que ox et 0'1 deviennent respectivement ox 1 et,
0'1 ' et 1 que 0'1' :,oi t dans le même plan vert ical que OA. Cette
l , ."transformatlon c;onrrespondra a une rotatlon des anClens axes de1
'" = 45°[ (fig. 3.1).
i
Page 20 Chapitre 3
--~---'---+--'-i--"'" x
.S-'""
E'igure 3.4 - Repères choisisD'après la figure 3.4, nous avons :
x = xfcos cp - y'sin cp = 0.707 (x' - y' ) ( 2 )
Y = y'cos cp + x'sin cp = 0.707 (x' + y' ) (3 ),11
En substituant ( 2 ) et ( 3 ) dans ( 1) on a :
z = kxy = 0.5k (x' + y') (x' - y') = 0.5k [(x')2 _ (y')2 J
(4)
L'~quation (~) décrit la surface de l'hypar dans la nouveau
système' de coordonnées (0, x', y', z ) ,
LO~SqUe x' est constant, l'équation
z - J.5k (x,)2 = -0.5k (y')2
y' = -0.5k y'2 (5)
Nous avons alors l'équation d'une parabole dans le plan y'z
(fig. 3\5 section n-n).,
De la même manière, si y' est constant
z + o . 5k y' 2 = k X ,2
ou
Page 21 Chapitre 3
z' = 0.5k (x,)1 ( 6)
L'équation (6) est l'expression générale je parabole dans le
plan x'z (fig. 3.5 section m-m).
B-x'
-----y'
z
,.-",c~. -.---.. .1 "--..........
~ .,..:::'" '
. ,"
SECTION N-N A
z
,'-"", @ '".. --s:::::?'- -:t.__-_-.:~~---=-:~
A
SECTION M-M
x
X'
AM
~
H/
x'
Figure 3.5 - Paraboles dans un hypar
En résumé d'après les équations (5) et (6), toutes les1,
parabol~s dans les directions x' et y' ont la même courbure car ces
, ,1 l' f f i " k" '1 d i f f é dequatlons ont " meme coe lClent 0.5 . Mals a l erence e1
signe ihduit des orientations de concavité opposées. Les paraboles
parallèles au plan x' z ont une concav i té or ientée vers le haut!
tandis que cel~es parallèles au plan y'z sont concaves vers la bas
f ' 1( 19. 3.5).
1La surface des hypars peut être considérée dans les plans
verticaux de deux ensembles de paraboles, l'un étant
perpendiculaire à l'autre. Et les courbures sont identiques.,1
Page 22 chapitre 3
si dans l'Équation (4), z est constant, nous avons
z = zc = ().5k [(X,)2 - (y' )2] ou
l (en faisant cO.5k
-------)zo
( 7 )
Cette équation décrit dans le plan horizontal une hyperbole.1
En faisant var i,"r z , on a une famille d' hyperbole dans le plan
hor izonta1.
En conclus~on les résultats obtenus à partir des équations
(5), (6) et (1) traduisent l'appellation1
hyperbolique.
1
1
3.3 choix de l~ méthode de calcul1
de paraboloïde
L'inconvénient principal des voiles minces est la difficulté,
de calculs des efforts. Plusieurs théories et méthodes sont1
1
1
è Labo r-ee s , La j: lupart d'elles conduisent à des équations très
complexés néces~i~ant le recours à un ordinateur.
1Nous pouvons cit~r :1
- la théorie d2c membranes, basée sur l'hypothèse que l'épaisseur
du voilJ est suffisamment faible pour que l'on puisse admettre que1
les contraintes ne varient pas sur cette épaisseur.1
la th'éorie des coques, qui tient compte de la variation des1
contrai~tes sur l'épaisseur du voile et associe par conséquent, aux1
efforts ide membra ne , des moments de flexion et de torsion.
Page 23 Chapitre 3
Pour des calculs plus évolués et "exacts", plusieurs méthodes
numériques sont établies.
Dans les rccentes années, la méthode des différences finies a
largement simp~ifié la complexité des calculs en remplaçant les
différentes équations différentielles et les ccnd i tions aux limites
régissant les 3tructures en voiles minces par des équations
équivalentes ayant des coefficients tabulés.
De nos j our s la généralisation de l'utilisation de
l'ordinateur a permis l'emploi de la méthode des éléments finis qui
a l'avantage de décomposer les structures en de petits éléments
faciles à calcL,ler et d'introduire dans l'établissement des
équations un nombre fini de degrés de liberté et une forme discrète
des conditions ~'équilibre et de continuité.
Plusieurs oroq cammes ont été développés à cette fin. Nous
utiliserons, co~"pte tenu des moyens Loq.i s t i quec sur place, le
programme IMAGEE:-3D de Celestial Software de calcul par éléments
finis pour effectuer l'analyse structurale.
Page 24 Chapitre 3
COMPORTEMENT STRUCTURAL
4.1 Introduction
Les hypars ont un comportement structuralement complexe. En
effet, de nornl. r eux tests de chargement leur reconnaissent les
caractéristiques typiques de coques.
Des déf in l '.ions données au chapitre l, ncus pouvons dire
qu'une coque peut étre obtenue à partir d'une plaque en
transformant le plan moyen en une surface à simple ou double
courbure les hypothèses de distribution des contraintes et des
déformations des plaques sont donc valables pour les coques. Par
conséquent, d' urie part les hypars travaillent en flexion
(comportement de plaques) et d'autre part trans~ettent également
des efforts dan~: leur plan (effet membrane). Les résultantes des
contraintes agissant paralellement au plan moyen des hypars ont des
composantes norm"les à la surface et supportent de ce fait la plus
grande partie JE la charge; une raison économique pour le choix de
ces types de structure.
En élément fini, les difficultés liées au calcul des hypars
sont ccnt.ournèe.. du fait que nous pouvons supposer qu'on a de
petits éléments plats. L'approximation est d'autant meilleure que
Page 25 Chapitre 4
la taille des éléments décroit.
Dans notre analyse, nous aurons donc à étudier des éléments
plaques en flexion et les effets de membranes sur les hypars. Les
efforts résultants s'obtiendront par un couplage adéquat.
4.2 Les plagues ~n flexion
4.2.1 Com~ortement et hypothèses
Corrs i de r-oriu la plaque non chargée de la figure 4.1. Les
composantes de déplacements suivant les axes x, y et z seront
notées respectivement par u, v et w. Sous l'effet d'une quelconque
sollicitation, un chargement latéral par exemple, tout point A (xa '
Ya) de la surfacè ~oyenne a une déflection w (fig 4.2). De là les
hypothèses suivantes établies par Kirchoff sont valables à une
plaque mince avec: de petites déformations :
(1) - Les déplacements sont faibles par rapport à l'épaisseur
west petit suivant z
(2) - Toutes déformations dans le plan moyen sont nulles après,
flexion
(3) - Les po i.n t s: si tués sur une normale à la surface moyenne
de la plaque avarit; déformation s' y trouvent touj ours après
déformation
(4) - Les contrai~tes normales agissant sur des surfaces parallèles
Page 26 Chapitre 4
~ la surface moyenne sont négligeables.
Nous Suppos0ns, d'autre part, le bêton armê comme un matériau
continu, homoge~e, isotrope et élastique .
.-------+---.... x
----..1
Figure 4.1 - Elément de plaque non chargé
-----"""---"
z
m
A • x
n / TI/
rI 2
dW
dxdw
u=-zdx
rigure 4.2 - Déflection d'un élément plaque
Page 27 Chapitre 4
Toutes ces hypothèses nous permettent de réduire la complexité
liée à l'analyse structurale et de rapprocher un problème de plaque
en trois dimensions à un problème de deux dimensions. En effet avec
ces hypothèses, la plaque se comporte comme un empilage de
feuillets d'épai'oseur infinitésimale dz qui se trouvent chacun en
état plan de cor'traintes.
Nous faisons remarquer enfin que les toitures ne sont
habituellement sollicitées que par des charges \·ert~cales. Ainsi ne
prendrons-nous En compte ici que les charges suivants z.
Il est à noter, en plus, gue la géométrie des hypars n'offre
qu 1 une faible surface frontale au vent. De ce fait les
sollicitations de ce dernier seront alors négligeables.
4.2.2 Flel<ion simple des plaques
4.2.?l Déformations et déplacements
En considél:ant la géométrie des déformations (fig. 4.3) et en
tenant compte ~es hypothèses, nous avons voir suite page
suivante)
Page 28 Chapitre 4
1
1
'/1,
,w
1111
1
~ 1......~1 1
-'-T t - 1 -----,1_=_vi 1 1 \~d.,:.-,~j- -~-------~ ~<.
1 1 1
~
1f+~~'1)~. f j -+----
:s
i'igure 4.3 - Déformations dans le pléln
ov ow€, = E, = = 0
~, x oZ
,~v ow oU€Y Y" --- + 0 (Ba -f)
,;y ox oz
oU ov ow ov
Y'Y = - .._-- + y Y' = ---- + --- = 0oy ox oy éz
La relation (S-d) ====> W = W (x,y)
En intégrant. les expressions de y" et de yy,' nous obtenons:
U = -2
ow
ox+ Ua (x, y)
Page 29 Chapitre 4
v = -zow
oy+ v (x, y)o
D'après l'hypothèse (2) nous avons
D'où
u o (x, y) ~ v 0 (x, y)
u ~ -2
ox
v -Z
Sy
o
(9 a - b)
L'expressicn de u est représentée sur la figure 4.2.
En reportart les relations (9) dans 8 (a - cl nous obtenons:
o2w
-2
oxoy
(10 a - cl
1
Les relations 10 a à 10 c donnent les déformations en tout
point de la plac[ue.
Pour déter.'liner les courbures de la surface moyenne de la
plaque, on se rappelle que les déflexions w sont petites
(hypothèse 1). nans un tel cas, la pente de la surface dans une
Page 30 Chapitre 4
quelconque direction peut être supposée égale a l'angle que fait la
tangente a la surface dans cette direction avec le plan xy ainsi
suivant la direction x, si r, est le rayon de courbure, alors la
longueur de l'arc de cercle d'angle dB est r,dB (fig. 4.4).
--- ---------
:x
-------- ---
Figure 4.4 - Pente et courbure d'une plaque mincefléchie
On peut assimiler la longueur de l'arc a
( ox 2 -r ow2) = ox ( l + (ow/ox)2) oX-
Donc en notant. ro les courbures de la surface moyenne
l oB o(tanB)ro, = - ------- ou
r ox oX,
Page 31 Chapitre 4
S(Sw/Sx)_._-------- = -----
En faisane les mêmes raisonnements dans les plans yz et xy,
nous récapitulors comme suivant :
l= ------
l(11 a-cl
r ,
SxSy
A1partir des relations (10 a - c) et (Il a - cl, nous avons
les relations dËfonoations - courbures
Ex = -zrox
E y = -zroy (12 a-cl
y xy = _.? Z ra,~ xy
4.2.1.2 contraintes
Il convient ici de rappeler les relaticns q è né r a Less entre
contraintes et. déformations dans un état tridimensionnel de
contraintes: c'est la loi généralisée de Hooke (réf. 6 P.l??)
Ex = [ :rx - (a + Oz) l/E y xy = '( /GE = 1" (oY + Oz) l/E y xz = t.
xy/G (a)y 1< x xz
E z (a + Oy) J/E Yyz = "t' /G" yz
Les constantes E, et G représentent respectivement le module
Page 32 Chapitre 4
d'élasticité, le coefficient de poisson et le module de1
cisaillement.
iNous avons également la relation
EG
Dans le,• 1
(hg. 4.5)1
(13 )2 (1 +--t)
pldn xy les contraintes se schématis8nt comme suit
r~____')'t'liT.
"'" 1I<-------:--_..._-~----i t'):~1--_' 1fLi11
1C v
1•
"(~t. l~~1
i:11
i
1y:.
Pigure 4.5 - Contraintes dans le plan
Page 33 Chapitre 4
1
1Dans une l_,laque, nous représentons les contraintes et les,
iforceslpositivc3 comme suit (fig. 4.6)
3TxyTxy+--dv
3y .
---------- ------- - - ----
+-----dx--_
dx
1
)-----.- /1/2 /f-I'-/~--:::-----r1/2 z-L"---i~,L+__...Y
dz
;rx
r
l- - - - ....
dy J------
(a) (b)
loi + oM"dY,~ oy
Fig;lre 4a6
Q~+ °o~' dy
- Efforts
Cc 1
dans une plaque
En subst i t.uarrt Ez = Yyz = Y" = 0 dans les é qu a t.Lorrs (a) on
obtient aisément :
Œ,
E(E y
+ -rE )/ (1 - vi)y
+ '(E,)/(1 - "'(2) (14 a - c)
"é = Cyxy xy
Page 34 Chapitre 4
En exploitant les relations Il et 12, nous avons les équations
suivantes :
-EzŒ, = -.------ (ro,
1 - '[2+ -r ra )
y
-Ez 6 2w------(----
1 - -l 6x2
6 2w+ V----)
6y 2
-Ez-..------ (ra
l _.,,2 Y
-Ez= ..-----roxy xy
1 +'f 1 +'f
-Ez 6 2w------(---- +
l _" 2 6y 2
6x6y
(15 a-cl
Nous remarquons d'après les relations (15), que pour les
plaques en flexion toutes les contraintes s'annulent à la surface
moyenne et varient linéairement sur l'épaisseur de la plaque (fig
4.6 -b).
La distribl.tion des contraintes suivant l'épaisseur produit
des moments de flexion, des moments de torsion et des forces de
cisaillement verticales (fig. 4.6 -c).
Ces effor t; calculés par uni té longueur peuvent s' établ ir
comme suit
j t/2 jt/2zoxdydz dy zŒ,dz Mxdy-t/2 -t/2
Jt/2 Jt/2z c dxdz dx ZΠdz Mydx-t/2 1 -t/2 y
Poge 35 Chapitre 4
Les sollicitations définissants les termes de la relation 17
étant suivant ~ ne sont pas alors prépondérantes. Pour la
dérivation de c~s termes, nous renvoyons le lecteur ~ la référence
2 P.9-13.
En substi~~ant les relations (15) dans (16)
expressions suivantes, pour les moments
nous avons les
é 2\1 é 2w
M -D(ro, + froy) -D (---- + 'f----i,éx2 éy
é2w é2wMy - ~. (ro + -rro,) -0(---- +":':: (18 a-cly
é y 2 éx
é2wM -1) (1 - i") ro,y ~ -0(1 -y) ----
'yéx6y
avecEt3
D ----------- (19)12 (1 - 'J 2)
Page 36 Chapitre 4
La relatio~ (19) traduit la rigidité en flexion des plaques.
Nous pouvons donc dire que les plaques affichent une meilleure
rigidité que les poutres pour lesquelles D = Et3/12
En confron"':.ant les équations 15, 18 et 19, les contraintes
s'expriment comme suit
0x = 12Mx z/ t 3
o = 12M z/t3y y
ni = .'.2M z/t3-f.. xy ;..y
(20 a-cl
4.2.2.3 Equations caractéristiques des plaques à
faible déflection
Considérons l'élément présenté à la figure 4.6 -c, sollicité
par un chargement unifor~e p. Les efforts résultants sur chaque
face sont également représentés. Les variations des efforts avec la
position sont exprimées par le développement de Taylor au 1er ordre
pour Mx sur dx :lOUS avons Mx -t- (6Mx/ 6x) dx .
L'équilibre des forces suivant z donne
6Qx-Qxdy -+- Qxdy + ----dxdy - Qydx + Qydx +
6x
+ pd.'>:dy = 0
6Q----dydx
6y
6Qx 6Qy(21-a)=====> ----- + ----- + p 0
eX 6y
Page 37 Chapitre 4
De la même manière la condition d'équilibre des moments par
rapport aux axes x et y conduit respectivement à :
6MXY
6MyQy (21-b)+ ----- - = 0
6x 6y
6M 6MxXI'---_.- + ----- - Qx 0 (21-C)6y 6x
Nous avoru; négligé les moments se rapportant aux termes
infinitésimaux.
En déterminant Qx et Qy à partir des relations (21 - b) et
(21 - c ) , et en Les reportant dans (21 - a), ,ous obtenons:
621'\ 62M 62M
xy y(22)-------- + 2 ------- + ------- -p
6x2 6x6y 6y2
En introduisant dans l'équation (22) les expressions de ~x' ~y
et xy établies en (18), nous avons
5 t1w 6".-1 6'w P------ + 2 ------- + ------ = ----- ( 23)
6x4 6x26y2 6y4 D
C'est l'éq1lation différentielle caractéristique des plaques,
une relation fondamentale dans le calcul des plaques.
Page 38 Chapitre 4
4.3 Les effet2_ de membrane sur les hyoars (fig. 4.7)
Pour ce cas d'étude également, les équations sont établies en
se basant sur les hypothèses de Kirchoff énoncées précédemment. En
particulier les appuis et les poutres de rive sont supposés
absolument fixes.
~ /~~1P1,,
"f
----- .. -_.---
Figure 4.7 - Efforts de membrane
Les équations caractéristiques des effets de membrane sont
----- + ----- a6x 6y
6'( 5ny----- + -----
6x 6y2kt = -pit
a (24 a-cl
Page 39 chapitre 4
La résolution des équations (24) donne
n x
-p/2kt
fi (y)
f z (x)
-pab/2ht (25)
(26)
(27)
D'après les relations 25 è 27, nous remarquons que:
- L'effort de membrane
voile.
est le même sur toute l'étendue du
- La contr~inte nx est indépendante de x et est donc constant
le long de toute génératrice parallèle au plan directeur xoz,
De même, ny est constant le long de toute génératrice
parallèle au plan directeur yoz.
En général 'ES constantes normales nx
et ny
qui dépendent
uniquement des "onditions aux l imi tes sont négl igeables, de telle
sorte que vis è vis des effets de membrane nuu5 avons un cas de
cisaillement pJl
Les contraintes principales sont
n,ab
2ht(28)
Ce dernier résultat traduit bien les conclusions obtenues à
partir des équa t. ions (5) et (6) exprimant l'existence dans les
hypars de deux ensembles de paraboles de concavités opposées.
Page 40 Chapitre 4
4.4 comportement structural des poutres
D'après la définition de la surface des hypars, nous pouvons
chaque
et Qz
pour lanous avons,fa/2,
établir que les efforts s'exerçant autour de tout point de
hypar simple "'·2 réduisent à deux efforts tangentes Q,
déterminés par chacun des deux ensembles de paraboles.
Ces deux efforts Se composent en rives pour donner un effort
dirigé suivant celles-ci (fig. 4.8).
Au point de coordonnées x = y
flèche de la parabole mn
h fa fa hf2
z - * * -------a' 2 2 4
La portée de cette parabole est 1 , = fa 2
Cet arc p.raboligue équilibre l'effort p/2, sa poussée est
z Q,p
2
l 2,* -----
8d'où
P 2fZ a Z paZQI ----- * --------- * 4 -----
16 hfZ 2h
Ce qui signifie que les poussées de toutes les paraboles
parrallèles il. Ml: sont identiques, puisqu'indépendantes de f , Les
résulats sont i~entiques pour la parabole mo.
Ainsi sous des charges uniformément réparties, les poussées
égales Q, et Qz se composent sur la rive, il n'y a aucune poussée
au vide.
De ce qui précède, nous pouvons conclure pour l' hypar que
nous étudions que les poutres sont soll ici tées principalement
axialement. Les poutres intérieures sont comprimées tandis que les
Page 41 Chapitre 4
poutres extérielres sont sollicitées par des efforts en traction
que nous avons repris par des tirants. Ainsi en service, toutes les
poutres sont so'licitées en compression (voir annexe 1).
ac-- .-..._..- .- - - ----... _
pouh-ed~ rive.
i 0
F'ct ('CI- b oQ e,
-I-~""~, .,
)
r\,
J'igure 4.8 - Efforts sur les poutres de r ive
Page 42 Chapitre 4
PRESENTATION ET FORMULATION AVEC
LES ELEMENTS FINIS
5.1 Historigu~ et définitions
5.1.1 Historique (inspiré de la réf. 4)
Les premieres notions d'analyse des structures composées
d'assemblage de barres naquirent pendant la période de 1850 à 1875
grâce aux travaux de Maxwell, Castigliano, Mohr et autres. Ces
notions représentent la pierre angulaire de la méthodologie
présidant à l'ana~yse matricielle des structur~, qlii ne prit forme
que près de qu~tre vingt ans plus tard et sur laquelle repose
l'analyse par éléments finis.
Les progrès d·'.' la théorie et des techniques analytiques
nécessaires à l'~nalyse par éléments finis furent particulièrement
lents entre 18~'5 et 1920. Ce fût dû en grande partie à des
limitations d'ordre pratique portant sur la résolution des
équations algébriques de plus de quelques inconnues.
En 1960, Ruy Clouqh utilisa pour la prem i ère fois le terme
élément fini, dr.ns son memoire intitulé "The r i n i t c element method
in plane stress analysis". La méthode connue un grand sucees lié au
développement ces ordinateurs qui permettaient le traitement
Page 43 Chapitre 5
numérique d'un grand nombre d'opérations.
De nos jours, la méthode des éléments finis est utilisée dans
beaucoup d'autrE!s domaines que celui de l'analyse structurale
chaleur, hydraulique, mécanique des sols, etc ...
5.1.2 Définitions
En éléments finis, les structures constituent des systèmes
physiques caracterisés par des variables dépendant des coordonnées
spatiales et du temps. Notre étude se rapporte à un système
statique: les v~riables ne dépendent pas du temps.
Le nombre qe degrés de liberté (d.o~ d'un système physique
est le nombre d,. paramètres nécessaires pour définir le champ de
déplacement; le système est discret s'il possède un nombre fini de
d.o.f.; dans le cas contraire, il est continu. Une structure est
alors un système continu car il possède un nombre infini de points
où on peut définir les champs de forces, les champs de contraintes,
des déplacement~.
Alors que ~e comportement d'un système discret est décrit par
un système d'équ~tions algébriques dont la resolution peut être
fai te avec le" ·néthodes numériques, le comportement d' un système
continu est décrit par un système d'équations aux dérivées
partielles a s s oc i èe s aux conditions aux limites compte tenu de la
complexité de ces conditions, ces équations ne peuvent pas toujours
être résolues directement; il est nécessaire de les discrétiser.
Page 44 Chapitre 5
La méthode des éléments finis est une méthode numérique de
résolution approchée des problèmes de champs qui peuvent s'exprimer
sous forme var~ationnelle qu'on peut, à l'aide des méthodes
énergétiques de la mécanique des matériaux, exprimer qu'une
fonctionnelle prend une valeur stationnaire.
5.2 Interprét~c~on physique
La méthode des éléments finis est basée sur le principe
général bien c onnu désigné par l'expression "going from part to
whole" (partir du simple au global). Elle consiste à considérer la
structure comme un assemblage de plusieurs petites parties les
éléments finis. Ces éléments sont liés par un nombre fini de
conditions de contj.nuité exprimées aux points communs qui sont les
noeuds. Ces conllitions stipulent l'égalité de paramètres des divers
champs aux noeuds.
On s' Lrrteres s e au comportement d'un seul élément que l'on
exprime en fonction de sa géométrie et de ses propriétés physiques.
En choisissant de manière adéquate un champ de déplacements, il est
possible en uti'isant les théorèmes énergétiques d'en tirer une
matrice reliant les forces nodales aux déplacements nodaux de
l'élément il en ressort une relation matricielle générale
applicable à n'importe quel élément de la structure entière. La
matrice global (' de la structure est obt.eriue en appliquant une
technique d'assemblage.
Page 45 Chapitre 5
5.3 procédure9'un calcul par éléments finis
Elle compo~~e les étapes suivantes :
- idéalisation et discrétisation de la structure
- évaluaticn des propriétés des éléments
- résolutic)n de la structure discrétisée
5.3.1 Idéalisation et discrétisation de la structure
C' est l' er,,;emble des opérations a effectuer pour établ ir le
modèle mathématique représentant au mieux 10 s t z-uct.ure réelle.
Elles portent olr les deux aspects principaux suivants
- la topolcgie géométrie, conditions d'appui et charges
- la rhéolcgie lois constitutives des matériaux et les
constantes les définissant.
L'idéalisation consiste a rattacher la structure réelle a un
modèle connu de la mécanique des matériaux : choix de la théorie et
des équations constitutives décrivant le matériau.
La discréi:lsation est l'ensemble des opéra~ions préparatoires
a la résolution effective de la structure primairement idéalisées
elle consist,~ d'une part a découper fictivement la structure en
éléments simples et d'autre part a choisir le type de ces éléments.
Pratiquement, cc·tte étape est guidée par la topologie.
Page 46 Chapitre 5
Il importe de noter que l'idéalisation et les théories
proposées sont ~énéralement imparfaites, si bien que les résultats
ne sont tout à fait corrects que dans le cadre de ces
idéalisations.
5.3.2 Evaluation des propriétés des éléments
La discrétisation étant effectuée, il con~ien~ de se rappeler
que les élémen t.: finis sont l imi tés entre eux par des plans pour
éléments tridimensionnels. Etant entendu que l'assemblage des
éléments doit reconstituer la structure réelle toute entiére et son
précautions
l'élément
comportement, certaines
choix des propriétés de
doivent être prise
fini, c'est pourquoi
dans le
on doit
s'efforcer de respecter les conditions suivantes
on doit exprimer la compatibilité des déplacements ou
l'équilibre des forces tout le long des frontières séparant les
éléments, et nOll r'as en quelques points seuleme0t d~s frontières ou
noeuds. La mis~ a défaut de cette exigence se traduirait par des
concentrations c.e contraintes aux noeuds et des discontinuités de
déplacements et contraintes entre les noeuds.
- les fonctLons décrivant les champs de déplacements (pour les
éléments déplacements que nous retiendrons pour notre étude) ou de
contraintes (pour les éléments équilibres) dans les éléments finis
n'étant pas con/u à priori, on doit faire des hypothèses sur ces
fonctions.
Page 47 Chapitre 5
Les fonctions décrivant un champ inconnu sont normalement des
fonctions polynômes de degré infini toutefois, on ne peut
utiliser que des fonctions polynômes de degré fini il apparait
que cette 't roncat.uz-e affecte la précision des résultats. c'est
pourquoi ces toric t i orrs doivent satisfaire à divers critères,
assurant la convergence de la solution approchée vers la solution
exacte.
Nous énonçons sommairement ces critères (présentés de façon
détaillée dans la référence 5 P.404-407)
Critère l le champ est continu et dérivable dans le domaine.
Critère 2 : le chiimp contient les modes rigides c'est à dire que la
fonction de dér'lcicement choisie doit être telle qu'elle ne permet
pas la déformaton d'un élément fini lorsque les déplacements de
ses noeuds sont la conséquence d'un mouvement de corps rigide.
critère 3 : le champ contient les modes homogènes ou mode de
déformation con"tante ; si les déplacements nodaux sont
compatibles avec un état de déplacement constante, on
doit obtenir r"c:llement ces déformations constantes dans tout
l'élément.
Critère 4 : le champ satisfait la condition aux limites
continuité le long des frontières des éléments.
Page 48 Chapitre 5
Pour les él~ments qui ne satisfont pas exactement au quatrième
critère, il e xi s t e le critère du "Patch 'Test" qui s'il est
satisfait assure la convergence (voir réf. 5 P.4Ü9)
5.3.3 Résolution de la structure discrétisée
La méthode de résolution souvent employée en éléments finis
est celle des déplacements. Elle découle de principes énergétiques.
La méthode de déplacements permet d'obtenir des équations qui
traduisent l'équilibre des noeuds. L'énergie étant quadratique, ces
équations sont 1 inéaires et la matrice de leurs coefficients
s' appelle la m.rt r icc de riqidi té de la structure elle est
symétrique et elle exprime les forces en fonction des déplacements.
Les opérations principales de l'analyse sont
a) Détermine~ la matrice de rigidité de chaque élément dans un
système d'axe p::opre à l'élément (local)
bl 'Transformer la matrice du système local au système global
relatif à la SClucture entière
c) Superpoé;er les matrices individuelles pour obtenir, par
assemblage, la ~atrice de rigidité de la structure complète (K)
d) Résoudr~ l'équation caractéristique (F) - (K) (Q) = (O)
e) Calculer les contraintes aux points désirés à partir des
déplacements no(aux Q.
Page 49 Chapitre 5
L'étape importante de la résolution est la détermination de la
matrice de rigidité que nous étudierons dans le point suivant.
5.4 Détermination de la matrice de rigidité
Notre stru~ture étant linéaire et élastique, nous utiliserons
la méthode de F:ayleigh-Ritz utilisant le principe de l'énergie
potentielle stationnaire et minimale.
5.4.1 principe de l'énergie potentielle stationnaire et
minimale
La conditicn générale d'équilibre d'un système peut s'obtenir
par dérivation du potentiel total par rapport aux déplacements.
Ainsi le principe de l'énergie potentielle ~0tale stationnaire
s'énonce
PARMI TOU'J'ES LES CONFIGURATIONS POSSIBLES COMPATIBLES
D' \,N S'{STEME DEFORMA BLE r POUR LA CONFIGURATION QUI
SA1ISFAIT LES CONDITIONS D'EQUILIBRE, L'ENERGIE
POTENTIELLE TOTALE EST STATIONNAIRE.
La valeur ss t a t Lonria i r e de l'énergie potentielle totale d'un
système déformable linéaire élastique correspond toujours à un
minimum quand l'équilibre est stable. Le principe de l'énergie
potentielle totala minimale montré par BIEZENO & CRAMMEL s'énonce
alors :
Page 50 Chapitre 5
PARMI TOUTES LES CONFIGURATIONS POSSIBLES COMPATIBLES
D' è1l'l SYSTE~1E DEFORMA BLE LINEAIRE ELASTIQUE, POUR LA
CONFICURATION QUI SATISFAIT LES CONDITIONS D'EQUILIBRE,
L'ENEFGIE POTENTIELLE TOTALE EST UN MINIMUM.
si on désigne par V cette énergie, ce principe s'écrit
5V = 0
L'énergie pot.e rrt Le Ll e totale V se compose de l'énergie de
déformation Ue Et de l'énergie potentielle des forces extérieures
W : v
5.4.2 Formt\lation générale de l'énergie f'0tfmtielle
5.4.2.1 Energie de déformation
L'expressicn de l'énergie de déformation ou énergie interne
pour un élément :
Ue .1 Uodv (30)v
où Ua est la densité d'énergie de déformation.
cons i dc r ons uri corps de volume unité avec des propriétés
élastiques
Pour un d0~lacement infinitésimal on a une variation de Ua de
5Uoe.
5U ( a) (5 E )o
Page 51 Chapitre 5
D'où
Sous forme matricielle, nous aurons
L'intégraticn de cette équation donne
tUo = a.5{E) [E](E} + (E) iOo}
où [E] est la matrice d'élasticité
(31 )
5.4.2.2 Energie potentielle des forces extérieures
Nous considérons les forces extérieures suivantes
- les forcE~ de surface
- les forces de volume
- les forcGs concentrées
{ PS}
(Pv)
{P j
Désignons par w le champ de déplacements choisl, nous avons
où (6) e';t la configuration des déplacements des points
d'applications de (P).
Le signe (-) r é s.rLte du fait que les charges extérieures perdent de
leur capacité à effectuer du travail.
Page 52 Chapitre 5
4.2.3 Energie potentielle totale
Des équations (29, 30, 31 et 32, nous avo",s
v f( 0 . 5 {f t [E ] ( E) + 1El\; (cr01 ) dvv
5.4.3 For~ulation de la matrice de rigidité
Avant la dctermination de la matrice gl00ale du système, on,
minimise l'éner0ic potentielle V pour chaque élément en procédant
à la d~rivaticn Je V par rapport aux degrés de liberté aux noeuds,1
retenus pour le modèle d'élément fini.1
L~s champ (e déplacement (wi est en général une fonction,
polyn6me et peu~ s'écrire
{W} ~ [G]{al (34)
OÙ (a) est le vecteur des constantes.1
Par différ0ntiation de (wl, on obtient les déformations
uni t.a i r'e s
En substitu&nt (34) et (35) dans (33), nous avons:
Page 53 Chapitre 5
t S 1;-(a) S (G] (PsJdS _ (O}' IP)
S(G{{PVJdVv
(36)
Le vecteur correspondant aux d.o.f. peut alors s'écrire
{ Ô 1 [ C] 1a l ou
(Ci) [C1]( O } (37)
E~ reportant (37) dans (36), nous avons:
-{O)liC']' j[;]'IPVldV
_ (Q) t [C;-' ]' ~ (G]' ( Ps )dS _ (0)' ( P) (38)
L'énergie ]:otentielle totale de la structure est la somme des
énergies potentielles de tous les éléments qui la compose :
v, = LVou
-(O}' L([C']t Sv(G]t(PV)dV)
- ( 0 }-l L (C 1]' f (G]' ( Ps )dS - (Q)' 1PJS
(39)
Page 54 Chapitre 5
1
1
OÜ (Ci) rep résente le vecteur des déplacements de toute la1
structure ..LJs équations d'équilibre sont celles qui vont satisfaire les
1
forme matricielle,
(40)
deviennent( 40)les équations!,
Sous
1,
,cond i ti'ons :
1
1
,1
Dé l'équation (41), nous déduisons la matrice de rigidité de1,
chaque 'élément,,
111
Et! puis 10s forces équivalentes aux noeuds sont :
(42)
(P 1 = [C']'cq i
1,on peut dorc écrire pour chaque élément
1 (Peql i + {Pl = [Kil {À) (44)
11
Pour toute la structure, l'équation (44) devient!
1 {P 1 -i {PI = [I<~] ID.} (45)1 eq
L'~quation (45) s'obtient pratiquement par le processus:
d'assemblage.1,,
Page 55 Chapitre 5
5.5 Formulation sur Images-3D
Le logiciel IMAGES-3D a été utilisé pour effectuer tous les
1calculs se rapportant El l'analyse structural e du voile mince
retenu.
L'analyse s'est portée sur le modèle réduit d'un hypar de 4m
x 4m de type "hipped roof" (fig. 3.2 -dl.
5.5.1 Présentation sommaire du logiciel
IMAGES-3D est un programme d'analyse par éléments finis de1
toute structure ~ri-dimensionnelle. Il effectue 3 types d'analyses:
statiqJe, modali' et dynamique.
DJns notre ~tude, seule l'analyse statique se~a faite car nous
n'avonJ que des chargements statiques.1
Bi1en que Le Loc i c i e I IMAGES-3D soit un outil souple de calcul
. .1. . " - :J' t . blen lngenlerle, " usager COl etre capa e:
- ~e génére~ un modèle adéquat et fonctionnel d'éléments finis
de la srructure El analyser,
- d'interpr8ter correctement les résultats de l'analyse,
- d' e xpLo icc r les résultats pour le dimensionnement de la
structure physique.
1po1ur e f f e c t.ue r toute analyse statique, l'équation
caractéristique que le programme établit et résoud est du type de
la relJtion (451, page 55, qui relie les vecteurs chargement et
Page 56 Chapitre 5
déplacement par l'intermédiaire de la matrice de rigidité.
1 d' l d 'l' t f" u : l dLes mo e e s: 'e emen s 1n1S Ut1 .i s e s par e programme ans
l'anal~se des voiles minces peuvent être triangulaires ou
quadr i l at.é r aux . Toutefois pour définir des éléments membrane +
plaque avec une procédure de génération rapide, les éléments
quadri]atéraux1
l '1AUSS1 es
~ont plus indiqués.
avons-nous utilisé autant que possible pour créer
nos différents ~odèles.
5.5.2 Cré0~ion des modèles et données d'entrée
5.5.2.2 ~as de chargement
La s oLl i c i t.a t i on principale de la structure est le poids
propre constitué uniquement des charges de gravité. Toutefois nous
considérerons trois cas d'analyse avec les charges de service
suivantes:
1- poids propre d~ la structure
2- charge concertrée P = 1000 N répartie symétriquement en 4 points
de la struture : 1er point noeud 25 (simulation d'ouvriers sur la
toiture avec CPC outils)
3- charge concer,trés P = 1000 N débalancée
asymétrique)
noeud 25 (chargement
4- charge concentrée P
49) •
1000 N au centre de la structure (noeud
Page 57 Chapitre 5
Les 3 cas de chargement retenu sont alors
1 -1- 21 -1- 41 -1- 3
On aurait pu prendre une charge concentrée P de l'ordre de
3500 N; ce qui intégrerait les spécifications ACNüR. Toutefois,
notre structure ~'étude, de part ses dimensions, demeure un modèle
réduit sur lequel des essais de chargement pourraient être
effectués. De to~te façon, une augmentation de la surcharge à 3500N
ne change pas l~ design suivant l'armature minimale.
5.5.2.1 Création des modèles
La décompo.,ltion en éléments finis a été effectuée avec des
éléments quad r .": atéraux à 6-d.o.f par noeud les trois
translations u, v, et w suivant respectivement les Rxes x, y et z
et les ,rotations correspondantes.
La' t onct i.on de déplacement correspondant il u et v peut se
mettre sous la forme (réf. 5 P. 414)
u (x, y) = a 1 -1- CYZx -1- a3y -1- CY 4X2 -1- a 5xy -1- cy6y2 -1- a 7x
3
2 2 3 3 3~ CYex y -1- açxy -1- a lOy -1- CY"X y -1- a 1Zxy
1
Pr~tiquemert, les fonctions de déplacement sont linéaires.
Le~ constantes [a] sont déterminées par le programme à partir
des con~itions limites aux 4 noeuds frontières de l'élément.
La, t oric t ion ·:le déplacement correspondant é, w o s t; déterminée à
partir de l'équEtion caractéristique (23) (P. 38).
Page 58 Chapitre 5
Les fonct iOClS de déplacement u et v ,,'ont aj ustées
automatiquement Dar le programme pour satisfaire les critères de
convergence énorcés précédemment.
Le niveau de raffinement 6 x 6 éléments par quadrant de
structure préser.té dans les résultats d'analyse (voir annexe 1) est
celui retenu après plusieurs essais d'analyse analyse avec des
élémen~s 3*3 puis 5*5. Les résultats de ces derniers se rapprochent
de ceux de 6*6.
Page 59 Chapitre 5
RESULTATS D'ANALYSE STRUCTURALE ET DESIGN
6.1 Présentaticn des résultats de l'analyse structurale du modèle
6.1.1 Justification de quelques données d'entrée
Choix des ..J:lQlLtres
Les toitures en voiles minces peuvent s'apparenter aux dalles
nervurées. Ainsi dans notre cas, les poutres sont de sections
petites et se comportent comme des poutrelles car compte tenu des
avantages structuraux des voiles minces, les efforts de flexion à
transmettre ne sont pas importants.
Poutre de rive : nous choisissons des étriers de 6 mm - des barres
de 12 mm - enrobase de 20 mm - espacement entre les barres 25 mm.
Nous pOUVIJ[S alors retenir la section 100 x 150.
Poutres intérieures: elles contribuent plus à l'obtention de la
géométrie de l' )'ypar qu'elles ne transmettent d'efforts.
Nous choislSSOI1S alors une section carrée de 100 x 100.
Choi,,-pe l'épaisseur t
D'après l'article 12.11.2.1 du CAN3-A-23-1, l'enrobage
minimale dans le CdS des voiles minces est de l~ mm. Nous prévoyons
des barres de 6 m~.
Page 60 Chapitre 6
On aura alors t = 2 * 15 + 2 * 6
t= 42 mm
Choisissons t = 50 mm.
Ce choix intègre parfaitement les considérations de
résistance, de construction, de stabilité et d'enrobage des aciers.
Choix ~e la flèche h
Pour ralsor d'esthétique et de la portée de la toiture,nous
retenons h = 800 mm.
6.1.2 Rés\lltats d'analyse
Nous avons présenté en annexe l, les résultats correspondant
aux 3 cas de ch~rgement. Pour chaque cas, nous avons :
- les déplacements correspondants aux d.o.f. en chaque noeud,
- les efforts dans les poutres,
- les c'on't r a.i n t es dans les éléments plaques et
- les réactions aux appuis.
Les converrt i cns de signes adoptées sont représentées aux
figures 6.1,6.2 et 6.3.
Page 61 Chapitre 6
-----------
1,-_._--'
figure 6.1 - Efforts dans les poutres dans
un repère local
'fn l'
u.. !.lu III
Figure 6.2 - Efforts dans les éléments
plaques sollicités normalement
dans leur même plan
P~ge 62 Chapitre 6
l'op
~igure 6.3 - Efforts dans les éléments
plaques sollicités en cisallle~ent
6.2 Design
6.2.1 Sollicitations critiques par cas de chargement
lor cas de chargeJllent
Facteurs de ma j cra t i on des efforts:
1.25 f) + 1.5 L 1.25 * 7574 + 1.5 * 1000
85741. 28
F = 1.28 * 0.7386 * 104 N = 9.5 KNPoutres de rive
Tirant F 1.28 * 8.3 KN = 10.62 KN
Poutres intérielŒes F' = 1.28 * 0.5274 * 104 N = 6.8 KN
Page 63 Chapitre 6
Plaques = critèrB de Von Mises (Elément 12)
~y = 1.28 * 1.1 MPa = 1.40 MPa
Fléchissement (max) = 3.035 mm
2e cas de charg~~ment
1.25 * 7574 + 1.5 * 250Facteur
78241. 26
Poutres de rive8 F = 1. 26 * 0.6630 * 104 l' = 8.35 KI'
Poutres intérieures F = 1. 26 * 0.4516 * 104 l' = 5.7 KI'
Tirant F = 1. 26 * 0.7588 * 10 4 N = 9.6 KI'
Plaques (n012)
Fléchissement (inox)
3e cas de chargEment
1.26 * 1.072 = 1.35 MPa
= 2.86 mm
Facteur1.25 * 28438 + 1.5 * 1000
--------------------------- = 1.2624438
6280 l' * 1.26 = 8.8 KNTirant
Poutre de rive
Poutre intérieure
F
F
F
1.26 * 6.276 KI'
1.26 * 5.129 KI'
7.91 I<N
6.46 KN
Plaques
Fléchissement (Inax)
Sy = 1.26 * 0.9275 = 1.16 MPa
= 2.545 mm
Paramètres de j.-"sign retenus :
Poutre de rive
Poutre intérieure
F
F
9.5 KN
6.8 KI'
Hypar sy (Von Mises) 1.40 MPa
Fléchissement (nlax) = 3.035 mm.
Page 64 chapitre 6
Calcul aux états limites ultimes
F' 400 MPay
f' 25MPac
6.2.2 Design de la coque
nous retenons (réf. 8 art. 19.3)
Vu les paramètres de design déduits de l'analyse structurale,
nous utiliserons dans les deux directions de l'hypar de l'armature
minimale, pour tenir compte des tractions, du retrait et des
variations de t~mpérature.
Le pourcentage minimale fixé par le Bulding Code (ACr 138) est
de 0.4 % de la ~Gction brute (A).9
Soient A = aire des armatures et b = largeur unitaires
A .. bt = 1000 x 50 = 50 000 mm29
A .. () . 4 X 10'2 X 50 000 = 200 mm2/ 171s
D'ou 7 # 6/m
1 m
Ce r c s u Lt;e'; est conforme aux articles 19.4 1-12 de la
référence 8. Ces articles sont relatives à l'espacement entre les
barres ( qui dolt être inférieur à 3t) et aux spécifications par
rapport à la section d'armature dans les voiles minces.
Etant donnÉ que l'épaisseur de la coque ne dépasse pas 80 mm,
il est recommandé de placer une nappe unique d'armatures dans
chaque sens (ré1.l, p.2J) (voir fig. 6.4).
Pour l'orientation des armatures, il serait recommandé
Page 65 Chapitre 6
idéalement de les placer parallèlement aux directions des
contraintes principales. Mais la réalisation de cette
recommandation "xigerai t pl us de précision et de temps pour les
constructions. Ce qui rendra les travaux de constructions plus
dispendieux.
/
/,/
/
,/
~j~ ~t: 7- # b
/ /// /
//
/!
/
J
,/
/
J
,/
/
/;
;'/
J/'
;-------,--------r-----o.
/,/
i
//;
/j .J
1
1
\..--------1
œoo
Iigure 6.4 - Ferraillage de la section d'hypar
En plus, la norme ACNüR CAN3-A23.3 dans son article 17.6.4
Page 66 chapitre 6
(réf.8), consid~re gue l'armature est dirigée suivant la ligne de
contrainte p r i nc i pa l e si l'angle entre les deux directions ne
dépasse pas 15'.
Pour notre cas les directions principales forment un angle de
45' par rapport à chaque arête.
En conséquence, nous disposerons perp€ndiculairement les
armatures suiva~t les axes x et y.
6.2.3 Design des pièces de rives
Pour a s su rer une répartition et une transmission efficace des
charges conjointement à l'action de l'hypar, nous nous proposons de
renforcer les poutres de rive en portant leur section à 150 mm x
150 mm. Ceci r2_'1idifie davantage le voile la structure s'en
trouve alors soulagée.
En plus d" cette dernière raison, sur le terrain nous ne
disposons, en général, que des agglos de 150 Th.~ d'épaisseur.
Les pout r os seront calculees comme des poteaux car solI ici tées
axialement, tout en conservant leurs spécifications.
L'armature minimale requise est 0.01 Ag
(Ag section totale de la poutre) (réf.8 art. 10.9.1).
Nous ne prenonA pas en compte l'excentricité de 10 % (fois
l'épaisseur de La pièce) car les efforts et les sections sont
petits.
Page 67 Chapitre 6
---- --------
Poutres de rive
A 150 x 150 = 22500 mm 2 d'où9
A = 0, o i x 22500 = 225 mm 2s
Prenons 4 # 10 (fig. 6. 5)
Les Li qe t ur e s sont des barres de 6 mm de diamètre et sont
espacés de 150 rrm.
i 40 !
:"---):
-Ai-!
~~------Î-----'" •40
---- ---"- ---
v
,,1
!
! ,!•
/~
" /4# 10
~>J
_________________...--J
Figure 6.S - Ferraillage pour p,utre de rive
Page 68 Chapitre 6
Poutres intérielres
Ag 100 x 100 = 10 000 mm2
d'où As = 0.01 x 10 000 = 100 mm2
Prenons 4 # 8 (fig. 6.6).
Les ligatures sont des barres de 6 mm de diamètre et sont
espacés de 100 IM.1-
1\,
i~oo
".-"" /;:·~I-l2.0
4#2>-,1
. 100 1<-.---------------....--)1i 1
<igure 6.6 - Ferraillage pour puutre intérieure
Page 69 Chapitre 6
DISCUSSION ET RECOMMANDATIONS
7.1 Discussion1
1,
iA i l'issue de notre étude, nous pouvons faire ressortir les
i
1
remarq~es suivantes
D'après l'analyse structurale et du design du modèle d' hypar
retenu,1 il est aisé de constater que les voiles minces ont
effectivement de larges capacités structurales; nous pouvons donc
1
avancerl que le voile, dans notre cas d' hypar, a une capacité
d'autoportance ~levée.
- Du pJint de v~e de la méthode de calcul utiJiséa, nous pouvons
considJrer nos r~sultats satisfaisants avec le deg:é de raffinement
atteinJ pour lES éléments. Cette méthode est d'ailleurs plus
précise l que cel] e très "simpliste" de la théorie membranaire.
- Le chbix de fCeme pallie parfaitement aux craintes vis à vis des
PhénomJnes d'instabilité; les flèches étant de l'ordre de quelques
1
mi Ll i mè't r e s . Toutefois pour confirmer, une analyse détaillée
pourra il être faite en consultant des références spécialisées.
- conclrnant 1,1 forme de voile mince, d'autres alternatives
.1 t . l . '.pourralen utl ament etre envlsagees.
1 d d . t ..Cepen ant n~us ne evrlons pas nous mon rer trop ambltleux
dans IJ choix d3 forme car un nombre important de voiles minces
Page 70 Chapitre 7
exige une technologie de construction assez mo~erne.
oJ, celle-ci fait défaut dans nos pays.
7.2 Recommandations
A travers les quelques recommandations que nous faisons ci-
après, nous v i so ns une implantation effective de la toiture en
voile mince et l'étude de son comportement en service afin de
pouvoi1 juger davantage de la cohérence des résultats obtenus dans
ce proJet.
1 - Le ~onstruct~ur devra veiller aux problèmes de coffrage et de
technologie.1
Cependant nous proposerons s' ag issant des coffrages,1
l'utili'sation :i
- ~oit un emploi répété de coffrages en contre plaqué.1
- ide pa nnuaux isolants droits constituant des coffrages
1perdus .j1
Le's co r f r auo c continus sont d'emblée exclus car ils seront1
sera deautre alternative ,très interessante d'ailleurs,2 -
d i spenôll cux . Le, prix de revient de l'ouvrage dépendra en grande,
partie ~e cette composante.
1
1
1
UnE;i
constrJire le voile au moyen d'éléments préfabriqués. La structure,
pourra 1 alors m:>mentanément être soutenue
démontable bien réglé et bien rigide.
par un échafaudage
Page 71 Chapitre 7
3 - Po~r l'armaLure on pourrait aussi avoir recours aux treillis
soudés btandards; ceci éviterait la construction du ferraillage sur
le cha~tier. Toit.e f o i s ces treillis métalliques ne sont pas pour
autant accessibles; il se poserait également un problème de
réalisation de gabarit de forme qui risquerait de fausser la
. t,l, p r évu e les armatures.repar ltlon pour
4 - Il
local,
(aut veiller à
entre le béton
ce qu'il ne se produise aucun collage,
et le coffrage.
même
5 - Il 1 faut veiller à la pose judicieuse des armatures à la mi
épaisseur partout dans le voile. Pour cela, il est conseillé1
d' util iis e r des s.uppo r t s posés sur le coffrage en soutenant les1
barres ~ leur h~c~our exacte.
6 - Bétonner autant que possible symétriquement et en progressant1
d l , l l ' ,es pa r t Les b ....s.s e s vers e haut sans a i s s e r aucune poche, n i
1 . ,
aucune surepalsseur.
7 Les repr i"es de bétonnage do i vent être particul ièrement
sOignéelS, étant donné la faible épaisseur du voile, afin d'éviter1
des défauts de r~sistance, d'étanchéité ou d'aspe,;t.
8 - Lalpréfabl-ication avec des plaques de fibro-ciment légères,
boulonn'ées
1
au .:hantier serait également un« interessante
Page 72 Chapitre 7
applic~tion dans une construction en voile mince qui pourra, très]
avantageusement, faire l'objet d'une expérimentation sur place.
Page 73 Chapitre 7
CONCLUSION
Au terme de ce travail de fin d'études, nous pouvons affirmer
que nous avons contribué, dans une certaine mesure, à mieux
vulgariser des structures spéciales de génie que sont les voiles
minces .:,
DU' même C()UP, nous nous sommes familiarisés un peu aux
méthodes et outils de calcul par éléments finis, qui constitueront,
sans aucun dout~, dans un proche avenir, la méthode de calcul par
excellence dans la plupart des grands travaux d'ingénierie.
L~s résultats de ce travail n'ont, toutefois, pas la
prétention d'être exempts de lacunes. Au contraire, nous attendons
la phase de mise en implantation pour pouvoir faire ressortir
c e Lle s-ec i et m;~eux apprec i e r nos résultats de design à travers des
essais 'en servicE. Ceci pourra véritablement 0ermattre d'établir1
des "normes 10';2 les" relatives aux structures en voiles minces.
Page 74 Conclusion
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ANNEXE l
ECLlI.... E: POI.,_ YTECHN I E!UE LH.::: r·'lDr,.lT·F~E:{:!jL. S / N ~ EIO 16~S:f. O~:~ /06 /(?2P(-iGE ::'~;6 F-:U~,\ l r}~::V'\19211 o 11 : :;~~j ~ OB
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= Copyrigh"t (c) 1984 Celestial 6fJftware Inc. ==Q=;=====~=:====~==~========:================:==:====:=
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Version 2~C) 07/01/9(1
1er CAS DE CHARGEMENT: 1+2 (voir p.S?)
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2e CAS DE CHARGEMENT, 1+4 (yoir p.57l
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SOLVE: BEAM LOADS/S1"RESSES Ve~s:iorl 2.(1 (,7/0J/9(1
2e CAS DE 1:~~AF~GEI1EI~1' ~ 1'~4 (voir p.57)
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ANNEXE 2
JUSTIFICATION DES HYPOTHESES DE CONTINUITE EN BETON ARME.
Cas d'étude sur la direction x
M = oS = Fd d'où
F= a E/d = ka avec k = constante
E = 6]/1 donc 61 = lE
si l -- longueur unitaire
61 = E et
dx = (dx g + dxd)/2
Nous avons représenté sur les pages suivantes les graphes
Efforts/Déplacements. De ces figures nous re~arquons
- la contin~ité des déplacements,
- dans der, :.ntervalles précis, les contraintes sont linéaires,
les contraintes n'étant pas élevées et les écarts très
faibles, nous p0uvons aisément assimiler leur continuité. En effet
l'erreur n'est p3S importante quand nous faisons une approximation
linéaire sur les graphes.
En conséquence, les hypothèses de continuité sur le béton armé
se justifient également en voiles minces comme pour les poutres par
exemple.
ANNEXE 2
JUSTIFICATION DES HYPOTHESES DE CONTINUITE EN BETON ARME.
Cas d'étude sur la direction x
M = aS = Fd d'où
F= a S/d = ka avec k = constante
E = 01/1 donc 01 = lE
si l longueur unitaire
01 = '0 et
dx = (dxg + dxd ) /2
Nous avons représenté sur les pages sui vantes les graphes
Efforts/Déplacen,ents. De ces figures nous remarquons
- la continuité des déplacements,
- dans des ,ntervalles précis, les contraintes sont linéaires,
les contraintes n' étant pas élevées et les écarts très
faibles, nous pouvons aisément assimiler leur continuité. En effet
l'erreur n'est o~s importante quand nous faisons une approximation
linéaire sur les graphes.
En conséqDe~ce, les hypothèses de continuité 3ur le béton armé
se justifient ég3lement en voiles minces comme pour les poutres par
exemple.
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Dire c tion #7 vers #43
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0.016045 005575 0.091305
Déploc ernents
009529 0058105 0.03778
DONNEES EFFORTS/DEPLACEMENTS SUIVANT X
Element dx ~,-----__s...ig,ma-x =Direction #1 vers #49
1 0.6546 0.2003--.-
8 0.36265 0.1127..
15 0.17305 0.222-
22 0.06356 0.15~~._.
29 0.0131 0.07859361-·---- 0.00014 0.35391
Direction #7 vers #43
611
1-- 16
'----- ----.:::~H
-0.0231710.016045
0.05675 0.13980.091305 0.2338
0.09629 0.16090.068105 0.01218
______Q.03778] 0.06152--
