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Modles changements de rgimes

Markovien

Jean Daniel DA ROCHA FERNANDES

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Exercice 1

La srie que j'ai choisie d'utiliser pour ce projet est le taux de croissance du PIB franais

depuis le premier trimestre de l'anne 1980 (j'ai dcid de ne pas repousser l'tude de cette

variable auparavant car les donnes n'taient pas fiables puisquavant cette date les donnes taient estimes) jusqu' juillet 2013.

Pour l'tude du taux de croissance du PIB franais, je dispose de 135 valeurs trimestrielles qui

proviennent du site de l'OCDE et qui sont disponibles sur la feuille Excel

"base_tauxCroissancePib-France".

Nous allons au cours de ce projet estimer cette variable l'aide d'un modle changement de

rgimes Markoviens sur des processus autorgressifs. Nous pourrons observer les

changements de rgimes, ici l'entre en rcession de l'conomie franaise.

Ci-dessous la reprsentation graphique de ma srie ainsi que les priodes de rcession

obtenues laide de la fonction Recession.

A l'aide de ces deux graphiques, nous pouvons remarquer que l'allure gnrale du taux de

croissance du PIB franais semble stationnaire et que durant la priode que nous tudions, la

France a connu trois priodes majeures de rcession.

La premire priode de rcession correspond la rcession des annes 1992-93 qui est due

des politiques montaires excessivement restrictives.

La deuxime priode correspond la priode de rcession suite la crise conomique due la

crise des subprimes qui a affect l'conomie mondiale en 2008.

1985 1990 1995 2000 2005 2010-2

-1

0

1

2

Taux de croissance trimestriel, en %, du PIB Franais

Taux d

e c

rois

sance e

n %

Annes

1985 1990 1995 2000 2005 20100

0.5

1

Rcessions Franaises

Annes

3

La dernire rcession qui a affecte la France fut la rcession due la crise de la dette en zone

Euro.

Avant de procder l'estimation de notre modle, nous devons nous assurer que notre srie

soit bien stationnaire.

Pour cela, je ralise les tests de Dickey Fuller et de Phillips Perron qui nous permettent de

dtecter si une srie est stationnaire en testant l'hypothse nulle que cette dernire prsente

une racine unitaire.

Pour ce faire, j'utilise les fonctions ADFtest et PPtest qui renvoient toutes les deux la valeur 1

si la srie tudie est stationnaire.

Ici l'appel de ces 2 fonctions retourne dans Matlab le rsultat suivant:

D'aprs nos 2 tests, notre srie est bien stationnaire, nous pouvons continuer l'tude du taux de

croissance du PIB franais.

Question 1: Estimation de modle AR(p)

Maintenant que nous nous sommes assur que notre srie soit bien stationnaire, nous allons

estimer le retard optimal pour raliser l'tude de notre modle.

Dans un premier temps, nous allons utiliser l'tude du corrlogramme partiel de la srie pour

dterminer une estimation de ce retard optimal.

Le corrlogramme partiel est obtenu l'aide de la fonction parcorr.

J'obtiens le rsultat suivant:

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Le nombre de retards obtenus grce cette mthode est de trois retards. Cette valeur est

stocke sur Matlab dans la variable intitule pmax.

Dans un second temps, j'utilise galement l'tude des critres d'informations AIC et BIC afin

de dterminer le retard optimal. Le retard optimal qui sera obtenu par cette mthode est le

retard qui minimise ces critres d'informations.

Les critres d'informations sont obtenus l'aide de la fonction aicbic.

Le retard optimal ainsi obtenu grce cette tude des critres d'informations est de deux.

Nous allons donc partir de maintenant estimer un modle de type AR(2).

Une fois le nombre de retards optimaux retenus, je ralise un test de Ljung Box afin de

dterminer si les rsidus sont corrls.

Pour cela, j'utilise la fonction arima qui me permets d'estimer mon modle optimal, c'est

dire un AR(2). La fonction que j'utilise pour faire mon test de Ljung Box est la fonction

lbqtest.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Lag

Sam

ple

Part

ial A

uto

corr

ela

tions

Sample Partial Autocorrelation Function

5

Le rsultat obtenu est le suivant:

Question 2: Estimation du modle MS-AR(2)

Nous allons estimer un modle MS-AR(2) l'aide de la fonction simul_msar_projet.

Ci dessous le rsultat obtenu de notre simulation ainsi que les tats de rcessions simuls.

A l'aide des fonctions filtrage_projet et lissage_projet nous obtenons le graphique suivant (le

rsultat de l'estimation peut ncessiter plusieurs lancements du programme afin d'obtenir des

rsultats cohrents):

1985 1990 1995 2000 2005 2010-1

-0.5

0

0.5

1Simulation des Xt

Sim

ula

tio

n

Annes

1985 1990 1995 2000 2005 20100

0.5

1Etats de rcession

Eta

ts d

e r

cessio

n

Annes

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Les probabilits filtres et lisses "montrent" les changements de rgimes qui ont eu lieux

durant cette simulation. Les probabilits filtres et lisses issus du programme sont cohrentes

avec les donnes issus de notre srie. En effet, ces deux probabilits nous donnent la

probabilit d'tre dans le bon rgime l'instant t conditionnellement aux informations dont on

dispose.

On s'aperoit que le priode de rcession majeure au cours des annes 90 est bien repris par

notre modle, les autres rcessions tant galement signales mais d'une manire moins

significative.

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Ci dessus, le rsultat retourn par Matlab associ cette estimation:

Le code retour est gal 5 ce signifie que la convergence a bien eu lieu.

La premire colonne (DGP) reprsente les paramtres initiaux, ceux qui sont supposs ( part

pour les probabilits dont on a aucune information) expliquer la dynamique du modle MS-

AR. Nous avons dans lordre (de haut en bas) :

On constante sur le rsultat de cette vraisemblance que les coefficients de notre AR ne sont

pas significatifs.

Cependant tout le reste part est bien significatif car la tstat est suprieure 1.96 en valeur

absolue.

Par ailleurs les coefficients estims sont assez proche de ceux estims par le modle AR.

Exercice 2 Nous allons maintenant estimer un modle changement de rgimes prenant 3 valeurs

possibles.

Voici le modle en question:

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Question 1: Simulation de ce processus

Dans un premier temps, nous estimons notre modle laide de la fonction simul_msar_3. Nous obtenons le rsultat suivant:

Nous pouvons observer que lorsquil y a de fortes variations la baisse sur une priode consquente, caractristique des priodes de rcession, nous avons un changement de rgime.

Nous nous trouvons dans ce cas, comme nous le constatons sur le second graphique, dans

ltat 1. A contrario, un pic de notre srie correspond un tat dans le rgime 3.

Question 2: Caractristiques thoriques de ce processus

La formule utilise pour calculer les probabilits ergodiques est la suivante:

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-4

-2

0

2

4Simulation des Xt avec simul msar 3

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2001

1.5

2

2.5

3Etats avec Markov 3

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Ci dessous les caractristiques thoriques et relles de notre processus estim:

Les probabilits inconditionnelles de chaque rgime obtenues sont les suivantes:

Question 3: Estimation du modle sur la trajectoire simule

Les rsultats de l'estimation retourns par Matlab sont les suivants (le rsultat de l'estimation

peut ncessiter plusieurs lancements du programme afin d'obtenir des rsultats cohrents):

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Nous avons dans lordre (de haut en bas) :

-

Sigma

Nous avons bien un code retour suprieur 0, ici il vaut 5 donc la convergence a eu lieu.

Nous vrifions que notre rsultat est bien cohrent en vrifiant que nos probabilits sont deux

a deux infrieurs 1 et que chaque probabilit soit bien comprise entre 0 et 1.

On a bien :

+ = 0.9 + 0.1 = 1. + = 0.8 + = 0.6

Les valeurs estimes sont trs proches des vraies.

Les probabilits et et ne sont pas significatives.