This article was downloaded by: [University of Alabama at Tuscaloosa]On: 20 December 2014, At: 03:50Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954 Registered office: MortimerHouse, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH, UK

Communications in Partial Differential EquationsPublication details, including instructions for authors and subscription information:http://www.tandfonline.com/loi/lpde20

PROPRIÉTÉ D'INDICE EN THÉORIE HÖLDÉRIENNE POURLE PROBLÈME EXTÉRIEUR DE DIRICHLETPierre Bolley a & Pham The Lai aa Département de Mathématiques et CNRS-UMR 6629 , Université de Nantes , 2, rue de laHoussinière, Nantes Cedex 3, F-44322, FrancePublished online: 07 Feb 2007.

To cite this article: Pierre Bolley & Pham The Lai (2001) PROPRIÉTÉ D'INDICE EN THÉORIE HÖLDÉRIENNE POUR LEPROBLÈME EXTÉRIEUR DE DIRICHLET, Communications in Partial Differential Equations, 26:1-2, 315-334, DOI: 10.1081/PDE-100001757

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COMMUN. IN PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS, 26(1&2), 315–334 (2001)

PROPRIETE D’INDICE EN THEORIEHOLDERIENNE POUR LE PROBLEME

EXTERIEUR DE DIRICHLET

Pierre Bolley∗ and Pham The Lai

Departement de Mathematiques et CNRS-UMR 6629,Universite de Nantes, 2, rue de la Houssiniere,

F-44322 Nantes Cedex 3, France

ABSTRACT

In this paper, some Fredholm properties of the Dirichlet prob-lem for the Laplace operator in an exterior domain are given inweighted Holder spaces. These results extend the correspondingapproach in weighted L p-Sobolev spaces.

Key Words: Fredholm properties; Laplace operator; Exteriordomains; Holder spaces.

1. LE RESULTAT

Des resultats d’indice pour des operateurs differentiels elliptiques dans Rn

sont donnes dans (1) relativement a des espaces de Holder avec poids a l’infini.Nous nous interessons dans cet article a des proprietes d’indice dans le meme cadreholderien pour des problemes exterieurs, plus particulierement pour le problememodele de Dirichlet associe au laplacien.

∗Corresponding author. E-mail: bolly@math.univ.nantes.fr

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Copyright C© 2001 by Marcel Dekker, Inc. www.dekker.com

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316 BOLLEY AND LAI

Dans le cadre des espaces de Sobolev avec poids construits a partir desespaces de Lebesgue L p, de nombreux resultats ont ete obtenus certains etant misen reference par exemple dans (2); citons en particulier (3) dont la methode dereduction au bord semblable a la theorie de (4) est adaptee ici au cadre holderien.

Cet article, dans lequel nous n’avons traite que le probleme exterieur deDirichlet associe au laplacien pour presenter simplement la methode, sera suivid’une generalisation a des operateurs d’ordre plus eleve et a coefficients variablescomme dans (1) qui etendra au cadre holderien les resultats obtenus en particulierpar (5) dans le cadre des espaces de Sobolev, ainsi que d’une etude du problemeexterieur de Dirichlet associe a l’equation de Helmholtz dans le cadre des espacesB et B∗ introduits par (6), qui etendra au cas du probleme exterieur les resultats de(7) obtenus dans R

n .Si ω est un ouvert borne de R

n et µ un nombre reel tel que 0 < µ < 1,l’espace de Holder Cµ(ω) est l’ensemble des fonctions u definies dans ω telles que

‖u‖Cµ(ω) = supx∈ω

|u(x)| + supx =y

x,y∈ω

|u(x) − u(y)||x − y|µ < +∞

Notant [u]µ = sup x =yx,y∈ω

|u(x)−u(y)||x−y|µ , une fonction u de Cµ(ω) se prolonge en

une fonction encore notee u bornee dans ω telle que

|u(x) − u(y)| ≤ [u]µ|x − y|µpour x, y ∈ ω.

Pour l entier ≥ 0, l’espace Cµ+l(ω) est l’ensemble des fonctions u telles que∂αu ∈ Cµ(ω) pour |α| ≤ l cet espace etant muni de la norme naturelle associee asa definition.

Par cartes locales de classe Cµ+l , nous pouvons alors definir la notiond’ouvert borne ω a bord de classe Cµ+l et l’espace Cµ+l() des fonctions declasse Cµ+l sur le bord de ω.

Si maintenant est un ouvert non borne de Rn et si de plus a est un nombre

reel, l’espace de Holder avec poids Cµa () est l’enseble des fonctions u definies

dans telles que

‖u‖Cµa () = sup

x∈

|〈x〉au(x)| + supx =y

x,y∈

|〈x〉a+µu(x) − 〈y〉a+µu(y)||x − y|µ < ∞

avec

〈x〉 = (1 + |x |2)12 .

Enfin pour l entier ≥ 0, 1 l’espace Cµ+la () est l’ensemble des fonctions

u telles que ∂αu ∈ Cµ

a+|α|() pour |α| ≤ l, cet espace etant muni de la normenaturelle associee a sa definition.

Dans ce qui suit ω est un ouvert borne de Rn a bord de classe Cµ+2, son

bord etant note , et est l’ouvert non borne complementaire Rn\ω, les ouverts

ω et etant supposes connexes et n etant suppose ≥ 2.

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PROPRIETE D’INDICE EN THEORIE HOLDERIENNE 317

designant le laplacien dans Rn et γ0 l’operateur trace sur qui a une

fonction continue sur associe sa restriction a , l’operateur

(, γ0) : u → (u, γ0u)

est alors un operateur lineaire continu de Cµ+2a () dans Cµ

a+2() × Cµ+2().Le resultat principal de ce travail est la propriete d’indice de cet operateur

donnee dans le theoreme suivant:

Theoreme. Pour des nombres reels a et µ avec 0 < µ < 1, les deux proprietessuivantes sont equivalentes:

1. l’operateur (, γ0) en tant qu’operateur de Cµ+2a () dans Cµ

a+2() ×Cµ+2() est un operateur a indice,

2. a + 2 − n /∈ N lorsque a > 0 ou −a /∈ N lorsque a ≤ 0. Dans ce casson indice est egal a

δn2 + (dimP(−a) − dimP(−a − 2)) − (dimP(a + 2 − n) − dimP(a − n)),

ou δn2 est le symbole de Kronecker egal a 0 si n ≥ 3 et a 1 si n = 2, et P(b) pourb ∈ R, est l’ensemble des polynomes en n variables de degre ≤ b, avecP(b) = 0si b < 0, et dim P(b) sa dimension.

2. L’OPERATEUR ∆ DANS L’ESPACE Cµ+2a (Rn)

Rappelons les resultats suivants donnes dans (8). Tout d’abord concernantle noyau:

Proposition 2.1. Le noyau de l’operateur dans l’espace Cµ+2a (Rn) est

l’ensemble des polynomes harmoniques de degre ≤ −a

u ∈ P(−a); u = 0qui est de dimension finie egale a

dimP(−a) − dimP(−a − 2).

Concernant l’image:

Proposition 2.2. L’image de l’espace Cµ+2a (Rn) par l’operateur est l’ensemble

f ∈ Cµ

a+2(Rn);∫

Rn

f (x)h(x) dx = 0, h ∈ P(a + 2 − n), h = 0

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318 BOLLEY AND LAI

qui est un sous-espace de Cµ

a+2(Rn) de codimension finie egale a

dimP(a + 2 − n) − dimP(a − n)

si et seulement si a + 2 − n /∈ N lorsque a > 0 ou − a /∈ N lorsque a ≤ 0.

Par contre si a + 2 − n ∈ N lorsque a > 0 ou−a ∈ N lorsque a ≤ 0, l’imagede Cµ+2

a (Rn) par est un sous-espace de Cµ

a+2(Rn) de codimension infinie et quiest contenu dans l’ensemble

f ∈ Cµ

a+2(Rn);∫

Rn

f (x)h(x) dx = 0, h ∈ P(a + 1 − n), h = 0

.

D’ou le corollaire:

Theoreme 2.3. Les deux proprietes suivantes sont equivalentes:

1. l’operateur en tant qu’operateur de Cµ+2a (Rn) dans Cµ

a+2(Rn) est unoperateur a indice,

2. a + 2 − n /∈ N lorsque a > 0 ou −a /∈ N lorsque a ≤ 0.Dans ce cas son indice est egal a

(dim P(−a) − dim P(−a − 2)) − (dim P(a + 2 − n) − dim P(a − n)).

Rappelons aussi le resultat suivant de regularite globale donne dans (1):

Proposition 2.4. Si u ∈ Cµ+2loc (Rn) ∩ L∞

a (Rn) et si u ∈ Cµ

a+2(Rn), alors u ∈Cµ+2

a (Rn),

ou L∞a (Rn) est l’ensemble des u telles que supx∈R

n |〈x〉au(x)| soit fini.Nous aurons besoin du resultat suivant de prolongement:

Proposition 2.5. Si a + 2 − n /∈ N lorsque a > 0 ou −a /∈ N lorsque a ≤ 0, ilexiste un operateur Pa lineaire continu de Cµ

a+2() dans Cµ

a+2(Rn) tel que pourtout f ∈ Cµ

a+2()Pa f = f

Pa f ∈ (Cµ+2

a (Rn))

dans

Demonstration: Si a < −2 + n, un operateur lineaire continu Pa de prolonge-ment de Cµ

a+2() dans Cµ

a+2(Rn) convient puisque dans ce cas, est surjectif de

Cµ+2a (Rn) sur Cµ

a+2(Rn).Supposons donc a > −2 + n et soit h1, . . . , hr une base de polynomes har-

moniques de h ∈ P(a + 2 − n); h = 0, r etant la codimension de l’image deCµ+2

a (Rn) par dans Cµ

a+2(Rn).

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PROPRIETE D’INDICE EN THEORIE HOLDERIENNE 319

Notant (·, ·)L2(ω) le produit scalaire dans L2(ω), considerons des fonctionsgi ∈ L2(ω) telles que (gi , h j )L2(ω) = δi j pour i, j = 1, . . . , r ou δi j = 0 ou 1 suiv-ant que i = j ou i = j .

Pour ε > 0 donne, soit giε ∈ C∞0 (ω) telle que

‖gi − giε‖L2(ω) ≤ ε infj=1,...,r

‖h j‖−1L2(ω)

donc

(giε, h j )L2(ω) = δi j + (giε − gi , h j )L2(ω)

avec |(giε − gi , h j )L2(ω)| ≤ ε.Par consequent pour ε assez petit, la matrice ((giε, h j )L2(ω))i j est inversible.De la nous en deduisons qu’il existe des fonctions gi ∈ C∞

0 (ω) telles que

(gi , h j )L2(ω) = δi j pour i, j = 1, . . . , r.

En effet pour chaque i, gi est cherchee sous la forme gi = ∑rk=1 λik gkε ou les

cœfficients λik sont solutions du systeme

r∑k=1

λik(gkε, h j )L2(ω) = δi j

j = 1, . . . , r

ce systeme admettant une solution puisque la matrice ((gkε, h j )L2(ω))k j est in-versible.

Etant donne un operateur lineaire continu Qa de prolongement de l’espaceCµ

a+2() dans Cµ

a+2(Rn), posons alors pour f ∈ Cµ

a+2()

Pa f = Qa f −r∑

j=1

( ∫Rn

Qa f h j dx

)g j .

Cette fonction verifie alors

Pa f = f dans

Pa f ∈ Cµ

a+2(Rn)∫Rn Pa f h j dx = 0 pour j = 1, . . . , r.

De plus cet operateur lineaire Pa est continu puisque l’operateur Qa estcontinu et que nous avons l’inegalite

‖Pa f ‖Cµ

a+2(Rn ) ≤ ‖Qa f ‖Cµ

a+2(Rn )

(1 +

r∑j=1

‖h j‖L1−a−2(Rn )‖g j‖Cµ

a+2(Rn )

)

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320 BOLLEY AND LAI

3. L’OPERATEUR P SUR L’ESPACE Cµ+2(Γ) × Cµ+1(Γ)

Notant γ0 l’operateur trace sur et γ1 l’operateur de derivation normale ∂∂n

sur relativement au vecteur n unitaire normal a oriente vers l’exterieur de ω,considerons les espaces

B() = Cµ+2() × Cµ+1()

Ba() =

(u0, u1) ∈ B(); −∫

u0γ1h dσ +∫

u1γ0h dσ = 0,

h ∈ P(a + 2 − n), h = 0

Proposition 3.1. Ba() est un sous-espace ferme de B() de codimension fineegale a

dimP(a + 2 − n) − dimP(a − n).

Demonstration: Si h1, . . . , hr est une base de h ∈ P(a + 2 − n); h = 0, lesformes lineaires

(u0, u1) → −∫

u0 γ1h j dσ +∫

u1 γ0h j dσ

sont continues sur B() et sont lineairement independantes. Il en resulte que Ba()est un sous-espace ferme de B() de codimension r

Notant E la solution elementaire du laplacien definie par

E(x) = c2 log |x | pour n = 2, E(x) = cn|x |−n+2 pour n ≥ 3

avec c2 = −1/2π pour n = 2 et cn = −(n − 2)σn ou σn est la mesure de la sphereunite Sn−1 de R

n pour n ≥ 3, introduisons maintenant l’operateur P de l’espaceB() dans C∞() defini pour (u0, u1) ∈ B() et x ∈ par

P(u0, u1)(x) = −∫

u0(y) γ1y E(x − y) dσ (y)

+∫

u1(y) γ0 E(x − y) dσ (y),

ainsi que l’operateur p de l’espace B() dans C∞(ω) defini pour (u0, u1) ∈ B()et x ∈ ω par la meme formule que pour P .

Rappelons les resultats classiques suivants concernant ces operateurs desimple et double couches [(9) par exemple]:

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PROPRIETE D’INDICE EN THEORIE HOLDERIENNE 321

Proposition 3.2. Pour (u0, u1) ∈ B(),

1. la fonction p(u0, u1) est harmonique dans ω et peut etre prolongee enune fonction encore notee p(u0, u1) de Cµ+2(),

2. la fonction P(u0, u1) est harmonique dans , peut etre prolongee en unefonction encore notee P(u0, u1) de Cµ+2

loc () et verifie P(u0, u1)(x) =O(E(x)) quand |x | tend vers +∞,

3. ces fonctions verifient les formules des sauts

γ0(P(u0, u1)) − γ0(p(u0, u1)) = −u0

γ1(P(u0, u1)) − γ1(p(u0, u1)) = −u1,

ou Cµ+2loc () est l’ensemble des fonctions u telles que φu ∈ Cµ+2()

pour tout φ ∈ C∞0 (Rn).

Precisons en particulier l’operateur P . Concernant son noyau:

Proposition 3.3. Pour (u0, u1) ∈ B(), les propositions suivantes sont equivalen-tes:

1. P(u0, u1) = 0 dans

2. − ∫

u0 γ1h dσ + ∫

u1 γ0h dσ = 0 pour tout polynome h harmoniquedans R

n .

autrement dit le noyau de l’operateur P dans B() est egal a ∩a Ba().

Demonstration: Soit tout d’abord (u0, u1) appartenant a B() tel que P(u0,

u1) = 0 dans .Comme γ0(P(u0, u1)) = γ1(P(u0, u1)) = 0, les formules des sauts donnent

donc

γ0(p(u0, u1)) = u0 γ1(p(u0, u1)) = u1.

Par consequent la formula de Green appliquee a p(u0, u1) dans ω permet d’endeduire que

−∫

u0 γ1h dσ +∫

u1 γ0h dσ = 0

pour tout polynome harmonique h. Ainsi (u0, u1) ∈ Ba() pour tout a.Inversement soit (u0, u1) ∈ ∩a Ba().Intoduisons la base orthonormale Ykj ; 1 ≤ j ≤ d(k), k ∈ N de L2(Sn−1)

formee des harmoniques spheriques Ykj de degre k, d(k) etant un entier [(10) parexemple].

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322 BOLLEY AND LAI

Pour n ≥ 3, la solution elementaire E(x − y) se decompose alors pour |y| <

|x | sous la forme

E(x − y) = cn

|x |n−2

+∞∑k=0

d(k)∑j=1

1

|x |k Yk j

(x

|x |)

|y|kYk j

(y

|y|)

ou pour x fixe = 0, la serie converge uniformement par rapport a y sur toute boulede centre O et de rayon < |x |, et ou pour chaque k et j fixes

|y|kYk j

(y

|y|)

est un polynome harmonique de degre k en y.Par consequent la serie de leurs derivees converge dans le meme sens, et en

particulier pour x fixe avec |x | grand,

γ1y E(x − y) = cn

|x |n−2

+∞∑k=0

d(k)∑j=1

1

|x |k Yk j

(x

|x |)

γ1y

(|y|kYk j

(y

|y|))

avec convergence uniforme par rapport a y sur .Par consequent

P(u0, u1)(x) = cn

|x |n−2

+∞∑k=0

d(k)∑j=1

1

|x |k Yk j

(x

|x |)

×(

−∫

u0(y)γ1y

(|y|kYk j

(y

|y|))

dσ (y)

+∫

u1(y)γ0

(|y|kYk j

(y

|y|))

dσ (y)

).

Comme par hypothese (u0, u1) ∈ Ba() pour tout a, il en resulte donc que

P(u0, u1)(x) = 0

ceci ayant lieu pour x ∈ avec |x | grand, done pour tout x ∈ car P(u0, u1) estanalytique.

Pour n = 2, la solution elementaire E(x − y) se decompose pour |y| < |x |sous la forme

E(x − y) = c2 log |x | + 1

2

+∞∑k=1

1

k

d(k)∑j=1

1

|x |k Yk j

(x

|x |)

|y|kYk j

(y

|y|)

ou pour x fixe = 0, la serie converge uniformement par repport a y sur toute boulede centre O et de rayon < |x |. Comme precedemment, ce developpement permetde montrer que P(u0, u1) = 0

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PROPRIETE D’INDICE EN THEORIE HOLDERIENNE 323

Corollaire 3.4. P(u0, u1); (u0, u1) ∈ Ba() est un sous-espace de l’ensembleP(u0, u1); (u0, u1) ∈ B() de codimension finie egale a

dimP(a + 2 − n) − dimP(a − n).

Demonstration: Tout d’abord notons que l’operateur P a le meme noyau dansBa() et dans B(). En effect en notant N le noyau de l’operateur P dans B()et Na le noyau de sa restriction a Ba(), l’inclusion Na ⊂ N resulte de l’inclusionBa() ⊂ B() et l’inclusion inverse N ⊂ Na resulte de la caracterisationprecedente de N .

De la, nous pouvons en deduire que l’ensemble P(u0, u1); (u0, u1) ∈ Ba()est un sous-espace de l’ensemble P(u0, u1); (u0, u1) ∈ B() de codimensionfinie egale a la codimension de Ba() dans B()

Concernant l’image de l’operateur P , nous avons le resultat de regularitesuivant:

Proposition 3.5. Pour (u0, u1) ∈ Ba(), alors P(u0, u1) ∈ Cµ+2a ().

Demonstration: La demonstration peut etre faite en utilisant le developpementen serie d’harmoniques spheriques precedent de E(x − y).

Elle peut etre faite egalement, et c’est ce que nous allons faire, en utilisantun developpement de Taylor de E(x − y).

Soit φ une fonction de C∞(Rn), egale 0 sur un voisinage de ω et a 1 sur unvoisinage de l’infini. Ainsi (φP(u0, u1)) appartient a C∞

0 (Rn), avec φP(u0, u1)dans Cµ+2

loc (Rn) puisque P(u0, u1) appartient a Cµ+2loc (). Par consequent si

φP(u0, u1) appartient L∞a (Rn), alors cette fonction appartient en fait a Cµ+2

a (Rn)d’apres la regularite globale de dans R

n rappelee dans la proposition 2–4.Ainsi pour obtenir le resultat de la Proposition 3.5, il suffit de montrer que

P(u0, u1) ∈ L∞a (), c’est-a-dire que 〈x〉a P(u0, u1)(x) est bornee dans .

Supposons d’abord que a < n − 2. Comme P(u0, u1)(x) = O(E(x)) quand|x | tend vers +∞, nous en deduisons immediatement le resultat dans ce cas.

Supposons maintenant que a ≥ n − 2. Par construction

P(u0, u1)(x) = −∫

u0(y)γ1y E(x − y) dσ (y) +∫

u1(y)γ0 E(x − y) dσ (y)

avec − ∫

u0 γ1h dσ + ∫

u1 h dσ = 0 pour h ∈ P(a + 2 − n), h = 0.Developpons E(x − y) pour |x | grand par la formule de Taylor avec reste

integral a l’ordre s avec 0 ≤ s − 1 ≤ a + 2 − n < s, sous la forme

∑|α|≤s−1

1

α!∂α E(x)(−y)α +

∑|α|=s

s

α!(−y)α

∫ 1

0∂α E(x − t y)(1 − t)s−1 dt.

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ORDER REPRINTS

324 BOLLEY AND LAI

Or pour chaque x = 0 fixe, le polynome

P(y) =∑|α|=t

1

α!∂α E(x)(−y)α

est un polynome harmonique en y de degre t . En effet si t < 2, le resultat estevident et si t = 2 + k avec k entier ≥ 0, alors

P(y) =∑|α|=t

1

α!∂α E(x)(−y)α = (−1)t

∑|β|=k

1

β!yβ∂βE(x) = 0

Par suite, compte-tenu des conditions d’orthogonalite avec les polynomesharmoniques de degre ≤ a + 2 − n, la fonction P(u0, u1)(x) se reduit a

∑|α|=s

s

α!

(−

∫

u0(y)γ1y

((−y)α

∫ 1

0∂α E(x − t y)(1 − t)s−1 dt

)dσ (y)

+∫

u1(y)

((−y)α

∫ 1

0∂α E(x − t y)(1 − t)s−1 dt

)dσ (y)

).

Comme ∂β E est homogene d’ordre −n + 2 − |β| pour |β| ≤ 1, il en resulte queP(u0, u1)(x) = O(|x |−n+2−s) quand |x | tend vers +∞.

Par definition de l’entier s, et puisque P(u0, u1) appartient a Cµ+2loc (), nous

en deduisons que P(u0, u1) ∈ L∞a ()

4. LE NOYAU DE L’OPERATEUR ∆ DANS L’ESPACE Cµ+2a (Ω)

On note Ka(, ) le noyau de l’operateur dans l’espace Cµ+2a (), c’est-

a-dire

Ka(, ) = u ∈ Cµ+2a (); u = 0 dans

et Ka(, Rn) le noyau de l’operateur dans l’espace Cµ+2

a (Rn).

Proposition 4.1. Si a + 2 − n /∈ N, alors

Ka(, ) = P(u0, u1); (u0, u1) ∈ Ba() ⊕ u|; u ∈ Ka(, Rn).

Demonstration: 1. Montrons d’abord l’inclusion

Ka(, ) ⊂ P(u0, u1); (u0, u1) ∈ Ba() + u|; u ∈ Ka(, Rn).

Soit u ∈ Ka(, ) et posons u0 = γ0u et u1 = γ1u.1.1. Montrons que (u0, u1) ∈ Ba().Si a < n − 2, ce resultat est vrai car B() = Ba() d’apres la proposi-

tion 3.1.

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PROPRIETE D’INDICE EN THEORIE HOLDERIENNE 325

Supposons maintenant a > n − 2. Soit φ une fonction de C∞(Rn) telle queφ(x) = 0 pour |x | ≥ 2 et φ(x) = 1 pour |x | ≤ 1, et posons φr (x) = φ( x

r ).Par definition de u et par la formule de Green dans , nous avons pour tout

polynome harmonique h et r assez grand

0 =∫

u(φr h) dx =∫

u(φr h) dx +∫

(γ0uγ1(φr h) − γ1uγ0(φr h)) dσ

=∫

uφr h dx +∑|α|=1

∫

u∂αφr∂αh dx +

∫

(γ0uγ1h − γ1uγ0h) dσ.

Comme r ≤ |x | ≤ 2r sur le support des fonctions φr et ∂αφr , si h est de degrek ≤ a + 2 − n alors∣∣∣∣∣

∫

uφr h dx +∑|α|=1

∫

u∂αφr∂αh dx

∣∣∣∣∣ ≤ C‖u‖Cµ+2a ()r

k−2−a+n

pour une constante C independante de r . Or k − 2 − a + n < 0 car k est un entier≤ a + 2 − n avec a + 2 − n non entier par hypothese. En faisant tendre r versl’infini dans la formule precedente, nous en deduisons que

−∫

γ0uγ1h dσ +∫

γ1uγ0h dσ = 0

pour tout polynome harmonique h de degre ≤ a + 2 − n. Autrement dit (u0, u1) ∈Ba().

1.2. Montrons que u + P(u0, u1) = v dans pour un v ∈ Ka(, Rn).

Definissons la distribution temperee v dans Rn par

〈v, φ〉D′(Rn )×D(Rn ) =∫

ω

p(u0, u1) φ dx +∫

(P(u0, u1) + u)φ dx .

La formule de Green dans les ouverts ω et permet d’ecrire

〈v, φ〉D′(Rn )×D(Rn ) = 〈v, φ〉D′(Rn )×D(Rn )

=∫

ω

p(u0, u1) φ dx +∫

(P(u0, u1) + u)φ dx

=∫

ω

p(u0, u1) φ dx +∫

γ0(p(u0, u1))γ1φ dσ

−∫

γ1(p(u0, u1))γ0φ dσ +∫

(P(u0, u1) + u)φ dx

−∫

γ0(P(u0, u1) + u)γ1φ dσ

+∫

γ1(P(u0, u1) + u)γ0φ dσ

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326 BOLLEY AND LAI

Les hypotheses sur la fonction u et les proprietes rappelees precedemment pour lesfonctions p(u0, u1) et P(u0, u1), permettent de deduire de la formule precedenteque

〈v, φ〉D′(Rn )×D(Rn ) = 0

pour toute fonction test φ, donc v = 0 dans Rn .

v est donc un polynome harmonique, qui verifie de plus par constrution

v = P(u0, u1) + u dans .

Or par hypothese pour u et par la proposition 3–5 pour P(u0, u1), ces fonctionsappartiennent a Cµ+2

a (), donc v| egalement.Ainsi v ∈ Ka(, R

n) et par consequent

u = −P(u0, u1) + v dans

avec (u0, u1) ∈ Ba() et v ∈ Ka(, Rn).

L’inclusion annoncee en 1 est ainsi verfiee.2. Inversement l’inclusion

P(u0, u1); (u0, u1) ∈ Ba() + u|; u ∈ Ka(, Rn) ⊂ Ka(, )

est vraie puisque chaque ensemble du membre de gauche est un sous-espace deKa(, ).

3. Montrons enfin que la somme est directe.De facon plus generale soit (u0, u1) ∈ B() tel que P(u0, u1) = v dans

pour un polynome harmonique v dans Rn , et montrons que ce polynome est nul.

Pour n ≥ 3, v(x) = P(u0, u1)(x) = O(|x |2−n) quand |x | tend vers l’infini,donc le polynome v est nul.

Pour n = 2, v(x) = P(u0, u1)(x) = O(log |x |) quand |x | tend vers l’infini,donc v est une constante. Montrons qu’elle est nulle.

Soit u une fonction de Cµ+2(ω) telle que γ0u = u0 et γ1u = u1. La formulede Green appliquee sur l’ouvert ω donne pour x fixe avec |x | grand

c2

∫ω

u(y) log |x − y| dy − c2

∫ω

u(y)y log |x − y| dy

= −c2

∫

u0(y)γ1 y(log |x − y|) dσ (y) + c2

∫

u1(y)γ0(log |x − y|) dσ (y)

= P(u0, u1)(x) = v

Ainsi

v = c2

∫ω

u(y) log |x − y| dy

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PROPRIETE D’INDICE EN THEORIE HOLDERIENNE 327

pour |x | grand, que nous decomposons sous la forme

v = c2

∫ω

u(y)(log |x − y| − log |x |) dy + c2 log |x |∫

ω

u(y) dy.

Or d’une part∫ω

u(y) dy =∫

γ1u dσ =∫

u1 dσ = 0

d’apres la formule de Green et le fait que (u0, u1) ∈ B(), et d’autre part∣∣∣∣∫

ω

u(y)(log |x − y| − log |x |) dy

∣∣∣∣≤

∫ω

|u(y)| ‖x − y|x‖z(x, y)

dy ≤∫

ω

|u(y)| |y|z(x, y)

dy

ou z(x, y) est un nombre compris entre |x − y| et |x |, et comme ω est borne, cettederniere integrale tend vers 0 quand |x | tend vers l’infini.

Comme v est constante, l’egalite precedente impose alors que cette constanteest necessairement nulle

Corollaire 4.2. Si a < −2 + n, alors P(u0, u1); (u0, u1) ∈ B() est un sous-espace de Ka(, ) de codimension finie egale a

dimP(−a) − dimP(−a − 2).

Demonstration: Si a + 2 − n /∈ N, alors P(u0, u1); (u0, u1) ∈ Ba() est unsous-espace de Ka(, ) de codimension dim P(−a) − dimP(−a − 2). En ef-fet l’application de restriction a est une bijection de Ka(, R

n) sur u|; u ∈Ka(, R

n) car les elements de Ka(, Rn) sont des polynomes. Par suite Ka(, R

n)et u|; u ∈ Ka(, R

n) ont meme dimension.Ensuite si a < −2 + n, alors B() = Ba() d’apres la proposition 3.1.Le corollaire 4-2 resulte alors de la remarque precedente

Corollaire 4.3. Si a > −2 + n avec a + 2 − n /∈ N, alors Ka(, ) est un sous-espace de P(u0, u1); (u0, u1) ∈ B() de codimension finie egale a

dimP(a + 2 − n) − dimP(a − n).

Demonstration: Si a > −2 + n, alors

Ka(, ) = P(u0, u1); (u0, u1) ∈ Ba()d’apres la proposition 4-1 car Ka(, R

n) = 0. Le corollaire 3.4 donne alors leresultat

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328 BOLLEY AND LAI

5. L’OPERATEUR TRACE γ0 SUR LE NOYAU Ka(∆,Ω)

Examinons d’abord dans un premier temps, l’operateur trace γ0 sur l’espaceP(u0, u1); (u0, u1) ∈ Ba().

Proposition 5.1. Si (n − 2)/2 < a < sup(1, n − 2), l’operateur trace γ0 est unisomorphisme de P(u0, u1); (u0, u1) ∈ Ba() sur Cµ+2().

Demonstration: 1. Rappelons d’abord un resultat sur le probleme de Dirichletexterieur en theorie L2 [(2) par exemple].

Soit W 10() le complete de C∞

0 () pour la norme

‖v‖W 10() =

( ∑|α|=1

‖∂αv‖L2()

) 12

.

Cet espace est identique a l’espace

v ∈ H 1loc(); ∂αv ∈ L2(), |α| = 1, γ0v = 0

ou H 1loc() est l’ensemble des v tels que φv ∈ H 1() pour tout φ ∈ C∞

0 (Rn), et estun espace de Hilbert pour la norme precedente. Plus precisement pour v ∈ W 1

0(),alors v

〈x〉 log〈x〉 si n = 2 et v〈x〉 si n ≥ 3 appartiennent a L2().

Pour tout f ∈ L2() a support dans , il existe d’apres le lemme de Lax-Milgram et l’inegalite de Poincare, une unique fonction u ∈ W 1

0() telle que∑|α|=1

∫

∂αu∂αv dx =∫

f v dx pour tout v ∈ W 10().

2. Montrons maintenant que l’operateur γ0 est injectif dans l’espaceP(u0, u1); (u0, u1) ∈ Ba().

Soit donc (u0, u1) ∈ Ba() tel que γ0(P(u0, u1)) = 0.Pour simplifier notons u = P(u0, u1). D’apres la proposition 3.5, u ∈ Cµ+2

a

() et donc ∂αu ∈ L2() pour |α| = 1 puisque∫

|∂αu|2 dx =∫

|〈x〉a+1∂αu|2〈x〉−2a−2 dx ≤ C∫ +∞

Rr−2a−3+n dr < ∞

pour des constantes C et R convenables. Ainsi u ∈ W 10().

De plus pour v ∈ C∞0 ()∑

|α|=1

∫

∂αu ∂αv dx (= −〈u, v〉D′()×D()) = 0.

D’apres le rappel fait en 1, il en resulte que u = 0.Ainsi γ0 est injectif des que (n − 2)/2 < a.

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PROPRIETE D’INDICE EN THEORIE HOLDERIENNE 329

3. Montrons ensuite que l’operateur trace γ0 est surjectif de l’espaceP(u0, u1); (u0, u1) ∈ Ba() sur Cµ+2().

Soit donc u0 ∈ Cµ+2(). Soit alors u ∈ Cµ+2comp(), c’est-a-dire u appartient

a Cµ+2() et est a support compact dans tel que γ0u = u0. D’apres le rappelfait en 1, il existe U ∈ W 1

0() telle que∑|α|=1

∫

∂α U ∂α v dx = −∫

u v dx pour tuot v ∈ W 10()

donc u = U + u verifie

u ∈ W 10() + Cµ+2

comp()∑|α|=1

∫

∂αu ∂αv dx = 0 pour tout v ∈ W 10()

γ0u = u0.

Ainsi u ∈ W 10() + Cµ+2

comp() ⊂ H 1loc(), verifie u = 0 dans et γ0u =

u0 sur avec u0 ∈ Cµ+2(). D’apres la regularite holderienne du probleme deDirichlet, il en resulte que u ∈ Cµ+2

loc ().Posons alors u1 = γ1u qui appartient a Cµ+1(). Comme dans la demon-

stration (etape 1–2) de la proposition 4.1, nous pouvons ecrire

u + P(u0, u1) = v dans

pour un polynome harmonique v.Or (u0, u1) ∈ Ba(). En effet si a < n − 2 alors Ba() = B() puisque

P(a + 2 − n) = 0, et si 0 < a < 1 quand n = 2 alors P(a + 2 − n) = C, etdonc il suffit de montrer dans ce cas que∫

u1 dσ = 0.

Pour cela soit φ une fonction de C∞(R2) telle que φ(x) = 0 pour |x | ≥ 2 etφ(x) = 1 pour |x | ≤ 1, et posons φr (x) = φ( x

r ).La formule de Green dans assure que pour r assez grand

0 =∫

u φr dx = −∑|α|=1

∫

∂αu ∂αφr dx −∫

γ1u dσ

Ainsi pour une constante C independante de r∣∣∣∣∫

γ1u dσ

∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∑|α|=1

∫

∂αu ∂αφr dx

∣∣∣∣∣ ≤ C∑|α|=1

( ∫r≤|x |≤2r

|∂αu|2 dx

) 12

quantite qui tend vers 0 quand r tend vers l’infini car u ∈ W 10(). Ainsi

∫

u1

dσ = 0.

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330 BOLLEY AND LAI

Par suite P(u0, u1) ∈ Cµ+2a () par la proposition 3.5 et donc en particulier

comme on l’a vu precedemment en 1, ceci implique que ∂α(P(u0, u1)) ∈ L2()pour |α| = 1. Par difference il en resulte que

∂αv ∈ L2() pour |α| = 1.

Comme v est un polynome, c’est que v est une constante.En particulier pour n ≥ 3, cette constante est necessairement nulle car u ∈

W 10() + Cµ+2

comp() donc u/〈x〉 ∈ L2(), et P(u0, u1) ∈ Cµ+2a () donc P(u0, u1)/

〈x〉 ∈ L2() (pour (n − 2)/2 < a); ainsi par difference v/〈x〉 ∈ L2(), ce quiimpose que v = 0 lorsque n ≥ 3.

Or (2v, 0) ∈ Ba() pour 0 < a < 1 et γ0(P(2v, 0)) = −v car∫

γ1 E(x −y) dσ (y) = 1

2 pour x ∈ et n = 2, donc nous avons trouve (u0, u1)(= (−u0 −2v, −u1)) ∈ Ba() tel que P(u0, u1) = u0 sur . Ainsi l’operateur trace γ0 estsurjectif

Examinons maintenant dans un deuxieme temps, l’operateur trace γ0 surl’espace P(u0, u1); (u0, u1) ∈ B().

Corollaire 5.2. L’operateur traceγ0 en tant qu’operateur de l’espace P(u0, u1);(u0, u1) ∈ B() dans Cµ+2() est un operateur a indice d’indice δn2.

Plus precisement cet operateur est un isomorphisme si n ≥ 3.

Demonstration: Fixons a tel que (n − 2)/2 < a < sup(1, n − 2).Par le corollaire 3-4, l’injection i de l’espace P(u0, u1); (u0, u1) ∈ Ba()

dans l’espace P(u0, u1); (u0, u1) ∈ B() est un isomorphisme si a < n − 2 pourn ≥ 3, et un operateur a indice d’indice −1 si 0 < a < 1 pour n = 2.

Or en notant γ0a l’operateur trace de P(u0, u1); (u0, u1) ∈ Ba() dansCµ+2() et γ0 l’operateur trace de P(u0, u1); (u0, u1) ∈ B() dans Cµ+2()nous avons

γ0a = γ0 i.

Nous en deduisons alors la propriete annoncee pour γ0 puisque γ0a est un isomor-phisme d’apres la proposition 5.1

Examinons enfin l’operateur trace γ0 sur le noyau Ka(, ).

Corollaire 5.3. Si a + 2 − n /∈ N, l’operateur trace γ0 en tant qu’opera-teur deKa(, ) dans Cµ+2() est un operateur a indice dont l’indice est

δn2 + (dimP(−a)− dimP(−a − 2))− (dimP(a + 2 − n)− dimP(a − n)).

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PROPRIETE D’INDICE EN THEORIE HOLDERIENNE 331

Demonstration: 1. Supposons a < n − 2.D’apres le corollaire 4.2, l’injection i de P(u0, u1); (u0, u1) ∈ B() dans

l’espace Ka(, ) est un operateur a indice dont l’indice est dim P(−a) −dimP(−a − 2).

Or en notant γ0 l’operateur trace de P(u0, u1); (u0, u1) ∈ B() dansCµ+2(), qui est un operateur a indice dont l’indice est donne par le corollaire 5.2,nous avons

γ0 = γ0 i.

Cette formule donne alors la propriete annoncee pour l’operateur trace γ0 ettant qu’operateur de Ka(, ) dans Cµ+2().

2. Supposons a > n − 2 avec a + 2 − n /∈ N.Dans ce cas d’apres le corollaire 4.3, l’injection i de l’espace Ka(, )

dans l’espace P(u0, u1); (u0, u1) ∈ B() est un operateur a indice dont l’indiceest − dimP(a + 2 − n) + dimP(a − n).

Or en notant γ0 l’operateur trace de P(u0, u1); (u0, u1) ∈ B() dansCµ+2(), qui est un operateur a indice dont l’indice est donne par le corollaire 5.2,nous avons la formule

γ0 = γ0 i.

La propriete annoncee s’en deduit comme precedemment

6. L’OPERATEUR (∆, γ0) DANS L’ESPACE Cµ+2a (Ω)

Par reduction de l’etude de l’operateur (, γ0) dans l’espace Cµ+2a () a

l’etude de l’operateur trace γ0 dans l’espace Ka(, ), noyau de l’operateur

dans l’espace Cµ+2a (), nous allons montrer le resultat suivant:

Theoreme 6.1. Les deux proprietes suivantes sont equivalentes:

1. l’operateur (, γ0) en tant qu’operateur de Cµ+2a () dans Cµ

a+2() ×Cµ+2() est un operateur a indice,

2. a + 2 − n /∈ N lorsque a > 0 ou −a /∈ N lorsque a ≤ 0.Dans ce cas son indice est egal a

δn2 + (dimP(−a)− dimP(−a − 2))− (dimP(a + 2 − n)− dimP(a − n)).

Demonstration: Pour simplifier les notations dans cette demonstra-tion, nousnote-rons (, γ0)a l’operateur (, γ0) en tant qu’operateur de Cµ+2

a () dansCµ

a+2() × Cµ+2(), Ker(, γ0)a son noyau et Im(, γ0)a son image, et nousnoterons γ0a l’operateur γ0 en tant qu’operateur de Ka(, ) dans Cµ+2(), Kerγ0a son noyau et Im γ0a son image.

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332 BOLLEY AND LAI

1. Tout d’abord concernant le noyau, les operateurs (, γ0)a et γ0a ont lememe noyau par definition, donc

dim Ker(, γ0)a = dim Ker γ0a,

ceci etant vrai pour tout a.2. Ensuite concernant l’image, nous supposons a + 2 − n /∈ N lorsque a > 0

ou −a /∈ N lorsque a ≤ 0.Soit λ1, . . . , λr des formes lineaires sur Cµ+2(), lineairement indepen-

dantes telles que

Im γ0a = h ∈ Cµ+2(); λ j (h) = 0, j = 1, . . . , rr etant la codimension de Im γ0a dans Cµ+2().

Definissons alors λ j sur Cµ

a+2() × Cµ+2() par

λ j ( f, g) = λ j (g − γ0v)

ou pour ( f, g) ∈ Cµ

a+2() × Cµ+2(), la fonction v est la restriction a d’une

fonction v ∈ Cµ+2a (Rn) telle que v = f avec f = Pa f ∈ Cµ

a+2(Rn) suivant lesnotations de la proposition 2–5.

Cette forme lineaire λ j est bien definie sur Cµ

a+2() × Cµ+2(), ne dependant

pas du relevement v de f . En effet si w ∈ Cµ+2a () avec w = f dans , alors

w − v ∈ Ka(, ), donc λ j (γ0(w − v)) = 0, c’est-a-dire λ j (γ0w) = λ j (γ0v).Soit alors ( f, g) ∈ Cµ

a+2() × Cµ+2() tel que λ j ( f, g) = 0 pour j =1, . . . , r , c’est-a- dire avec les notations precedentes, tel que λ j (g − γ0v) = 0pour j = 1, . . . , r . Il existe donc w ∈ Ka(, ) tel que g − γ0v = γ0w.

La fonction u = v + w ∈ Cµ+2a () et verifie

u = f dans

γ0u = g sur

c’est-a-dire ( f, g) appartient a Im(, γ0)a . Ainsi

Im(, γ0)a ⊃ ( f, g) ∈ Cµ

a+2() × Cµ+2(); λ j ( f, g) = 0, j = 1, . . . , r

et par consequent

co dim Im(, γ0)a ≤ co lim Im γ0a .

Inversement soit λ j pour j = 1, . . . , r des formes lineaires sur Cµ

a+2() ×Cµ+2(), lineairement independantes telles que

Im(, γ0)a = ( f, g) ∈ Cµ

a+2() × Cµ+2(); λ j ( f, g) = 0, j = 1, . . . , rr etant la codimension de Im(, γ0)a dans Cµ

a+2() × Cµ+2().

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PROPRIETE D’INDICE EN THEORIE HOLDERIENNE 333

Pour g ∈ Cµ+2() telle que λ j (0, g) = 0 pour j = 1, . . . , r , il existe doncu ∈ Cµ+2

a () verifiantu = 0 dans

γ0u = g sur

c’est-a-dire g appartient a Im γ0a . Ainsi

Im γ0a ⊃ g ∈ Cµ+2(); λ j (0, g) = 0, j = 1, . . . , ret par consequent

co dim Im(, γ0)a ≥ co dim Im γ0a .

Ce qui donne l’egalite des codimensions et par suite la propriete d’indiceannoncee dans le theoreme, grace au corollaire 5.3.

3. Il reste a montrer la necessite des conditions sur le parametre a. Sup-posons donc que a + 2 − n ∈ N lorsque a > 0 ou −a ∈ N lorsque a ≤ 0.

Pour 0 < ε < 1 fixe, considerons la famille d’operateurs (t) a un parametret ∈ [−ε, +ε] definis par

(t) = 〈x〉t〈x〉−t

La multiplication par 〈x〉s etant un isomorphisme de Cµ+hb () sur Cµ+h

b−s () quelsque soient les parametres s, b et h, il en resulte que l’opera-teur ((t), γ0) est unoperateur a indice de Cµ+2

a () dans Cµ

a+2 × Cµ+2(), d’indice note ind((t), γ0)a ,si et seulement si l’operateur (, γ0) est un operateur a indice de Cµ+2

a+t () dansCµ

a+t+2() × Cµ+2(), d’indice note ind(, γ0)a+t , avec l’egalite

ind((t), γ0)a = ind(, γ0)a+t .

Pour t = 0, les etapes 1 et 2 precedentes montrent que (, γ0)a+t est a indicecar a + t + 2 − n /∈ N lorsque a + t > 0 ou −(a + t) /∈ N lorsque a + t ≤ 0, etdonnent son indice.

Si nous supposons de plus que l’operateur (, γ0) est un operateur a indicede l’espace Cµ+2

a () dans Cµ

a+2() × Cµ+2(), nous aurons alors une famille((t), γ0)−ε≤t≤+ε d’operateurs a indice de Cµ+2

a () dans Cµ

a+2() × Cµ+2().Comme l’application t → ((t), γ0) est continue de [−ε, +ε] dans l’ensembledes applications lineaires continues de Cµ+2

a () dans Cµ

a+2() × Cµ+2(), et quel’application indice A → indA est continue de l’ensemble des operateurs a indicedans l’ensemble des entiers relatifs, nous en deduisons que l’application t →ind((t), γ0)a est constante dans [−ε, +ε]. Or pour t = 0, nous avons

ind((t), γ0)a(= ind(, γ0)a+t )

= δn2 + (dimP(−a − t) − dimP(−a − t − 2))

− (dimP(a + t + 2 − n) − dimP(a + t − n)),

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334 BOLLEY AND LAI

d’ou il est facile d’en deduire que

ind((−ε), γ0)a < ind((+ε), γ0)a

si a + 2 − n ∈ N lorsque a > 0 ou −a ∈ N lorsque a ≤ 0. Ce qui contredit le faitque ind((t), γ0) est constant dans [−ε, +ε].

En consequence dans ce cas, l’operateur (, γ0) n’est pas un operateur aindice de Cµ+2

a () dans Cµ

a+2() × Cµ+2()

REFERENCES

1. Bolley, P.; Pham, T.L. Proprietes d’indice en theorie holderienne pour desoperateurs differentiels elliptiques dans R

n . J. Math. Pures Appl. 1993, 72,105–119.

2. Amrouche, C.; Girault, V.; Giroire, J. Dirichlet and Neumann Exterior Prob-lems for the n-Dimensional Laplace Operator. An Approach in WeightedSobolev Spaces. J. Math. Pures Appl. 1997, 76, 55–81.

3. Mac Owen, R.C. Boundary Value Problems for the Laplacian in an ExteriorDomain. Comm. in Partial Differential Equations, 1981, 6 (7), 783–798.

4. Seeley, R. Singulars Integrals and Boundary Value Problems. Amer. J. Math.1966, 88, 781–809.

5. Lockhart, R.; Mac Owen, R.C. Elliptic Differential Operators on Non Com-pact Manifolds. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, Ser. 4, 1985, 12, 409–447.

6. Agmon, S.; Hormander, L. Asymptotic Properties of Solutions of DifferentialEquations with Simple Characteristics. J. Analyse Math. 1976, 30, 1–38.

7. Agmon, S. A Representation Theorem for Solutions of the HelmholtzEquation and Resolvent Estimates for the Laplacian. In Res. Papers in Honorof J. Moser’s 60th Birthday; Rabinowitz, P.H., Ed. Academic Press, Inc.Boston, 1990; Vol. XII, 39–76.

8. Benkirane, N. Proprietes d’indice en theorie holderienne pour des operateurselliptiques dans R

n . C. R. Acad. Sci. Paris, 1988, 307 (1), 557–580.9. Dautray, R.; Lions, J.L. Analyse mathematique et calcul numerique, tome 2;

Masson: Paris, 1987.10. Lebedev, N.N. Special Functions and Their Applications; Dover: New York,

1972.

Received October 1999Revised May 2000

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