Prova Meccaniche

Principali tipologiedi sforzi e di deformazioni

che possono agiresu un solido

Sforzo di Trazione

zE εσ sdot=

Allrsquoapplicazione di uno sforzo σσσσlungo la direzione z corrisponde una deformazione del solido lungo

la stessa direzione εεεεz

Per piccole deformazioni vale la relazione

E egrave detto ldquomodulo di elasticitagrave longitudinalerdquo

o ldquomodulo di Youngrdquo o semplicemente ldquomodulo elasticordquo del materiale

Allrsquoapplicazione di σσσσ si ha perograve anche una deformazione nelle altre direzioni εεεεx e εεεεy

Si definisce ldquocoefficiente di Poissonrdquo o ldquoModulo di Poissonrdquo il rapporto fra le deformazioni trasversali e longitudinali rispetto alla direzione di applicazione del carico

z

y

z

x

εεεε

εεεε

εεεε

εεεευυυυ minusminusminusminus====minusminusminusminus====

Per materiali perfettamente isotropi il modulo di Poisson teorico egrave pari a 025 Il valore massimo che puograve assumere egrave invece pari a 050

Tipici valori del modulo di Poisson variano fra 025 e 035

Sforzo di Taglio

γγγγττττ sdotsdotsdotsdot==== G

0Z

ytg

∆∆∆∆======== θθθθγγγγ

Allrsquoapplicazione di uno sforzo ττττcorrisponde una deformazione del solido individuabile tramite lrsquoangolo

θθθθ

Per piccole deformazioni vale la relazione

con

G egrave detto ldquomodulo di elasticitagrave tangenzialerdquo o ldquomodulo di tagliordquo del materiale

Per materiali isotropi vale la seguente relazione fra modulo elastico modulo di Poisson e modulo di taglio

)1(2 υυυυ++++sdotsdotsdotsdot==== GE

e G assume pertanto valori vicini a 04sdotsdotsdotsdotE

Applicazione di un carico monoassiale

di trazione su un provino che puograve avere geometrie

diverse

La prova avviene in controllo di

spostamentosi registrano lo

spostamento delle ganasce e la forza

applicata

(in alcuni casi si applicano estensometri

direttamente sul provino)

Prova di Trazione

Generalitagrave

Prova di Trazione

M

1 Deformazione elasticaLa deformazione egrave proporzionale al carico

applicato rimuovendo il carico non vi egravepresenza di deformazioni permanenti

2 Deformazione plasticaIl carico continua a crescere con lrsquoaumento della deformazione Rimuovendo il carico il provino mantiene una certa deformazione permanente

3 StrizioneErsquo il punto in cui la deformazione sul provino non egrave piugrave uniforme ma si localizza in una sua sezione Si ottiene il massimo dell carico applicato

4 RotturaIl provino si rompe in due parti

Le deformazioni elastica e plastica sono assistite da meccanismimicroscopici profondamente diversi

Generalitagrave

Prova di Trazione

Generalitagrave

Principali parametri che si possonoricavare da una curva di trazione

-Resistenza meccanica- Carico di snervamento- Carico di rottura

- Duttilitagrave- Allungamento uniforme- Allungamento a rottura

- Tenacitagrave- Area sottesa dalla curva

- Modulo elastico

Altri parametri- Strizione percentuale

( = riduzione drsquoarea a rottura)

snervamento

rottura

Allungamentouniforme

Allungamentoa rottura

Tenacitagrave

Modulo elastico

Analizziamo in dettaglio la deformazione elastica del provino e proviamo a

trovare un modo per correlare il modulo elastico di un materiale alle sue

proprietagrave microscopiche

Cosa succede quando si sposta un atomo dalla sua posizione di equilibrio

Possiamo schematizzare un legame fra due atomi come una molla che li unisce

Quando sposto un atomo dalla sua posizione di equilibrio nasceragrave quindi una forza di richiamo che opponendosi alla forza esterna cercheragrave di riportarlo alla posizione originale

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Cosigrave succede anche quando si sollecita un solidoAllrsquoinizio gli atomi vengono spostati dalle loro posizioni drsquoequilibrio aumentando la loro reciproca distanza lungo la direzione di applicazione del carico

Sono quindi i singoli legami atomo-atomo ad essere sollecitati

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Per definizione

20

20 r

F

rMN

FMN

A

Ftot ====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot

sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========σσσσ

N a

tom

iM a

tom

i

P atomi0

0

0

0

0

0

r

rr

rP

rPrP

l

ll minusminusminusminus====

sdotsdotsdotsdot

sdotsdotsdotsdotminusminusminusminussdotsdotsdotsdot====

minusminusminusminus====εεεε

Ci siamo quindi ricondotti alle variabili microscopiche

- Distanza interatomica r- Forza interatomica F

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Cerchiamo ora di capire come sono legate le variabili microscopiche trovate

La forza discende dallrsquoandamentodellrsquoenergia potenziale

Egrave lrsquoaumento di energia potenziale dovuto allrsquoallontanamento dei due atomi a far nascere una forza di richiamo fra essi

rArr

F vs εεεε

dr

rdUF

)(minusminusminusminus====

Attenzione ai segni Questa F egrave la forza esterna necessaria per imporre la deformazione

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Ci basta quindi trovare lrsquoandamento dellrsquoenergia potenziale con la distanza

interatomica

Un generico andamento puograve essere quello mostrato in figuraparte repulsiva e parte attrattiva la cui somma da origine ad una buca di potenziale

PotenzialeAttrattivo

Potenzialerepulsivo

nm r

B

r

ArUtot ++++minusminusminusminus====)(

mr

ArUattr minusminusminusminus====)(

nr

BrUrepul ====)(

con A e B gt 0 e n gt m

A e B dipendono dal materialen e m dipendono principalmente

dal tipo di legame

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

I parametri di cui disponiamo sono perograve solitamente la distanza interatomica e

lrsquoenergia di legame

Valgono le relazioni

0)(

0

0 ====minusminusminusminus========rrdr

dUrF

bUrU minusminusminusminus====)( 0

mbrU

mn

nA 0

minusminusminusminus====

nbrU

mn

mB 0

minusminusminusminus====

Risolvendo rispetto ad A e B si ottiene

++++

minusminusminusminus

minusminusminusminus====

nmb

r

rm

r

rn

mn

UrU 00)(

Da cui si ottengono le espressioni del potenziale e quindi della Forza

minusminusminusminus

sdotsdotsdotsdot

minusminusminusminus

sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====minusminusminusminus====

mn

br

r

r

r

rmn

mnU

dr

rdUrF 001)()(

hellipe della derivata della forza (che ci serviragrave fra poco)

++++minusminusminusminus

++++sdotsdotsdotsdot

minusminusminusminus

sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====

mn

br

rm

r

rn

rmn

mnU

dr

rdF 00

2)1()1(

1)(

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

00 rrd

d

d

dE

==

==ε

σ

ε

σ

ε2

0r

F====σσσσ

0

0

r

rr minusminusminusminus====εεεε

0

0

0 0

0

0

20 1

rr

rr

rr dr

dF

r

r

rrd

r

Fd

d

dE

====

====

====

====minusminusminusminus

========εεεε

σσσσ

Dalla definizione di modulo elastico ricordando le relazioni trovate in precedenza

si puograve scrivere

e quindi

bUr

nmE

30

====

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

4143410W

3042610Mo

2101538Fe

2091453Ni

1271085Cu

791064Au

72962Ag

70660Al

455650Mg

14327Pb

Modulo di Young (Gpa)

Temperatura di fusione

(degC)Metallo

Quindi tanto maggiore egrave lrsquoenergia di legame e quanto minore egrave la distanza

interatomica quanto maggiore egrave il modulo elastico

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

0A

F====σσσσ

0

0

l

ll minusminusminusminus====εεεε

Costruzione della curva di trazione attraverso i seguenti parametri

Si ottiene la cosiddetta curva ldquoingegneristicardquo mostrata in figura

Sta effettivamente diminuendo lo sforzo sul provino

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

La sezione del provino diminuisce allrsquoaumentare della deformazione

Lo sforzo ingegneristico rimane invece ldquoancoratordquo alla sezione inizialehellip

Vi egrave la necessitagrave di passare alle cosiddette coordinate ldquovererdquo

)1ln(ln0

0

++++================ intintintintintintintint εεεεεεεεεεεεl

l

l

dld

l

l

t

(((( ))))100

0

0

++++================ εεεεσσσσσσσσl

l

A

F

A

A

A

F

A

Ft

In questa zona le relazioni utilizzate non sono piugrave valide

====rArrrArrrArrrArr====

0

000

l

l

A

AAllA

Dove si egrave fatto uso della relazione

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

Per concludere la curva si fa uso di un dato post-trazione la riduzione drsquoarea

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

- A partire dalla riduzione drsquoarea a rottura si calcola lrsquoallungamento che il provino avrebbe se lrsquoallungamento fosse stato uniforme

- Si considera poi lo sforzo calcolato rispetto allrsquoarea a rottura

- La curva si fa procedere linearmente fino al punto di rottura

- Si idenifica il punto finale della curva

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione

In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile

intintintintintintintint sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========

2

1

2

1

εεεε

εεεε

εεεεσσσσ dlAFdlW

l

l

intintintint sdotsdotsdotsdot====

2

1

εεεε

εεεε

εεεεσσσσ dV

WrArr

Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo

Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale

Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)

Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico

Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost

Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura

I = Rm timestimestimestimes A

Prova di Trazione

Indice di Qualitagrave

Indice di Qualitagrave di acciai per auto

I = 5 divide 20 GPa

I = 50 divide 70 GPa

I = 30 divide 45 GPa

Prova di Trazione

Materiali per Auto

Punto di massimo della curva di trazione

Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la

deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione

Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata

rArr dF = 0

Dato che F=σσσσA possiamo scrivere

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ

σσσσ

σσσσd

A

dAminusminusminusminus====Al punto di massimo si avragrave allora

Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha

εεεεdl

dl

A

dAcioegraveAdlldAlAddVdV minusminusminusminus====minusminusminusminus========++++====sdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArr==== 0)(0

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione

εεεεσσσσ

σσσσd

d==== σσσσ

εεεε

σσσσ====

d

d

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)

Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione

Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione

ComportamentoElasto ndash plastico incrudente

ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo

nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon

K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento

εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====

nd

d====

εεεε

σσσσ

ln

ln

La relazione si puograve riscrivere come

Da cui deriva

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon

Scale logaritmiche

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione

DUTTILITArsquo

utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε

σσσσ====

d

d

si ottiene

1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk

d

dk εεεε

εεεε

σσσσεεεεσσσσ

nn knkd

dεεεεεεεεσσσσ

εεεε

σσσσsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotrArrrArrrArrrArr====

minusminusminusminus1

un εεεε====rArrrArrrArrrArr

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

RESISTENZA

Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n

εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(

nnn

nrottura

e

nkenke

sdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot====

minusminusminusminus

====

minusminusminusminus

εεεε

εεεεσσσσσσσσ

1

001

++++

++++====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot==== intintintintintintintint

nn

nn

nn

kdkd

V

Wεεεεεεεεεεεεσσσσ

TENACITArsquo

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio

Alcuni esempi

Sforzo di Trazione

zE εσ sdot=

Allrsquoapplicazione di uno sforzo σσσσlungo la direzione z corrisponde una deformazione del solido lungo

la stessa direzione εεεεz

Per piccole deformazioni vale la relazione

E egrave detto ldquomodulo di elasticitagrave longitudinalerdquo

o ldquomodulo di Youngrdquo o semplicemente ldquomodulo elasticordquo del materiale

Allrsquoapplicazione di σσσσ si ha perograve anche una deformazione nelle altre direzioni εεεεx e εεεεy

Si definisce ldquocoefficiente di Poissonrdquo o ldquoModulo di Poissonrdquo il rapporto fra le deformazioni trasversali e longitudinali rispetto alla direzione di applicazione del carico

z

y

z

x

εεεε

εεεε

εεεε

εεεευυυυ minusminusminusminus====minusminusminusminus====

Per materiali perfettamente isotropi il modulo di Poisson teorico egrave pari a 025 Il valore massimo che puograve assumere egrave invece pari a 050

Tipici valori del modulo di Poisson variano fra 025 e 035

Sforzo di Taglio

γγγγττττ sdotsdotsdotsdot==== G

0Z

ytg

∆∆∆∆======== θθθθγγγγ

Allrsquoapplicazione di uno sforzo ττττcorrisponde una deformazione del solido individuabile tramite lrsquoangolo

θθθθ

Per piccole deformazioni vale la relazione

con

G egrave detto ldquomodulo di elasticitagrave tangenzialerdquo o ldquomodulo di tagliordquo del materiale

Per materiali isotropi vale la seguente relazione fra modulo elastico modulo di Poisson e modulo di taglio

)1(2 υυυυ++++sdotsdotsdotsdot==== GE

e G assume pertanto valori vicini a 04sdotsdotsdotsdotE

Applicazione di un carico monoassiale

di trazione su un provino che puograve avere geometrie

diverse

La prova avviene in controllo di

spostamentosi registrano lo

spostamento delle ganasce e la forza

applicata

(in alcuni casi si applicano estensometri

direttamente sul provino)

Prova di Trazione

Generalitagrave

Prova di Trazione

M

1 Deformazione elasticaLa deformazione egrave proporzionale al carico

applicato rimuovendo il carico non vi egravepresenza di deformazioni permanenti

2 Deformazione plasticaIl carico continua a crescere con lrsquoaumento della deformazione Rimuovendo il carico il provino mantiene una certa deformazione permanente

3 StrizioneErsquo il punto in cui la deformazione sul provino non egrave piugrave uniforme ma si localizza in una sua sezione Si ottiene il massimo dell carico applicato

4 RotturaIl provino si rompe in due parti

Le deformazioni elastica e plastica sono assistite da meccanismimicroscopici profondamente diversi

Generalitagrave

Prova di Trazione

Generalitagrave

Principali parametri che si possonoricavare da una curva di trazione

-Resistenza meccanica- Carico di snervamento- Carico di rottura

- Duttilitagrave- Allungamento uniforme- Allungamento a rottura

- Tenacitagrave- Area sottesa dalla curva

- Modulo elastico

Altri parametri- Strizione percentuale

( = riduzione drsquoarea a rottura)

snervamento

rottura

Allungamentouniforme

Allungamentoa rottura

Tenacitagrave

Modulo elastico

Analizziamo in dettaglio la deformazione elastica del provino e proviamo a

trovare un modo per correlare il modulo elastico di un materiale alle sue

proprietagrave microscopiche

Cosa succede quando si sposta un atomo dalla sua posizione di equilibrio

Possiamo schematizzare un legame fra due atomi come una molla che li unisce

Quando sposto un atomo dalla sua posizione di equilibrio nasceragrave quindi una forza di richiamo che opponendosi alla forza esterna cercheragrave di riportarlo alla posizione originale

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Cosigrave succede anche quando si sollecita un solidoAllrsquoinizio gli atomi vengono spostati dalle loro posizioni drsquoequilibrio aumentando la loro reciproca distanza lungo la direzione di applicazione del carico

Sono quindi i singoli legami atomo-atomo ad essere sollecitati

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Per definizione

20

20 r

F

rMN

FMN

A

Ftot ====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot

sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========σσσσ

N a

tom

iM a

tom

i

P atomi0

0

0

0

0

0

r

rr

rP

rPrP

l

ll minusminusminusminus====

sdotsdotsdotsdot

sdotsdotsdotsdotminusminusminusminussdotsdotsdotsdot====

minusminusminusminus====εεεε

Ci siamo quindi ricondotti alle variabili microscopiche

- Distanza interatomica r- Forza interatomica F

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Cerchiamo ora di capire come sono legate le variabili microscopiche trovate

La forza discende dallrsquoandamentodellrsquoenergia potenziale

Egrave lrsquoaumento di energia potenziale dovuto allrsquoallontanamento dei due atomi a far nascere una forza di richiamo fra essi

rArr

F vs εεεε

dr

rdUF

)(minusminusminusminus====

Attenzione ai segni Questa F egrave la forza esterna necessaria per imporre la deformazione

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Ci basta quindi trovare lrsquoandamento dellrsquoenergia potenziale con la distanza

interatomica

Un generico andamento puograve essere quello mostrato in figuraparte repulsiva e parte attrattiva la cui somma da origine ad una buca di potenziale

PotenzialeAttrattivo

Potenzialerepulsivo

nm r

B

r

ArUtot ++++minusminusminusminus====)(

mr

ArUattr minusminusminusminus====)(

nr

BrUrepul ====)(

con A e B gt 0 e n gt m

A e B dipendono dal materialen e m dipendono principalmente

dal tipo di legame

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

I parametri di cui disponiamo sono perograve solitamente la distanza interatomica e

lrsquoenergia di legame

Valgono le relazioni

0)(

0

0 ====minusminusminusminus========rrdr

dUrF

bUrU minusminusminusminus====)( 0

mbrU

mn

nA 0

minusminusminusminus====

nbrU

mn

mB 0

minusminusminusminus====

Risolvendo rispetto ad A e B si ottiene

++++

minusminusminusminus

minusminusminusminus====

nmb

r

rm

r

rn

mn

UrU 00)(

Da cui si ottengono le espressioni del potenziale e quindi della Forza

minusminusminusminus

sdotsdotsdotsdot

minusminusminusminus

sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====minusminusminusminus====

mn

br

r

r

r

rmn

mnU

dr

rdUrF 001)()(

hellipe della derivata della forza (che ci serviragrave fra poco)

++++minusminusminusminus

++++sdotsdotsdotsdot

minusminusminusminus

sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====

mn

br

rm

r

rn

rmn

mnU

dr

rdF 00

2)1()1(

1)(

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

00 rrd

d

d

dE

==

==ε

σ

ε

σ

ε2

0r

F====σσσσ

0

0

r

rr minusminusminusminus====εεεε

0

0

0 0

0

0

20 1

rr

rr

rr dr

dF

r

r

rrd

r

Fd

d

dE

====

====

====

====minusminusminusminus

========εεεε

σσσσ

Dalla definizione di modulo elastico ricordando le relazioni trovate in precedenza

si puograve scrivere

e quindi

bUr

nmE

30

====

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

4143410W

3042610Mo

2101538Fe

2091453Ni

1271085Cu

791064Au

72962Ag

70660Al

455650Mg

14327Pb

Modulo di Young (Gpa)

Temperatura di fusione

(degC)Metallo

Quindi tanto maggiore egrave lrsquoenergia di legame e quanto minore egrave la distanza

interatomica quanto maggiore egrave il modulo elastico

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

0A

F====σσσσ

0

0

l

ll minusminusminusminus====εεεε

Costruzione della curva di trazione attraverso i seguenti parametri

Si ottiene la cosiddetta curva ldquoingegneristicardquo mostrata in figura

Sta effettivamente diminuendo lo sforzo sul provino

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

La sezione del provino diminuisce allrsquoaumentare della deformazione

Lo sforzo ingegneristico rimane invece ldquoancoratordquo alla sezione inizialehellip

Vi egrave la necessitagrave di passare alle cosiddette coordinate ldquovererdquo

)1ln(ln0

0

++++================ intintintintintintintint εεεεεεεεεεεεl

l

l

dld

l

l

t

(((( ))))100

0

0

++++================ εεεεσσσσσσσσl

l

A

F

A

A

A

F

A

Ft

In questa zona le relazioni utilizzate non sono piugrave valide

====rArrrArrrArrrArr====

0

000

l

l

A

AAllA

Dove si egrave fatto uso della relazione

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

Per concludere la curva si fa uso di un dato post-trazione la riduzione drsquoarea

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

- A partire dalla riduzione drsquoarea a rottura si calcola lrsquoallungamento che il provino avrebbe se lrsquoallungamento fosse stato uniforme

- Si considera poi lo sforzo calcolato rispetto allrsquoarea a rottura

- La curva si fa procedere linearmente fino al punto di rottura

- Si idenifica il punto finale della curva

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione

In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile

intintintintintintintint sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========

2

1

2

1

εεεε

εεεε

εεεεσσσσ dlAFdlW

l

l

intintintint sdotsdotsdotsdot====

2

1

εεεε

εεεε

εεεεσσσσ dV

WrArr

Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo

Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale

Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)

Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico

Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost

Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura

I = Rm timestimestimestimes A

Prova di Trazione

Indice di Qualitagrave

Indice di Qualitagrave di acciai per auto

I = 5 divide 20 GPa

I = 50 divide 70 GPa

I = 30 divide 45 GPa

Prova di Trazione

Materiali per Auto

Punto di massimo della curva di trazione

Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la

deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione

Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata

rArr dF = 0

Dato che F=σσσσA possiamo scrivere

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ

σσσσ

σσσσd

A

dAminusminusminusminus====Al punto di massimo si avragrave allora

Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha

εεεεdl

dl

A

dAcioegraveAdlldAlAddVdV minusminusminusminus====minusminusminusminus========++++====sdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArr==== 0)(0

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione

εεεεσσσσ

σσσσd

d==== σσσσ

εεεε

σσσσ====

d

d

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)

Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione

Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione

ComportamentoElasto ndash plastico incrudente

ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo

nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon

K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento

εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====

nd

d====

εεεε

σσσσ

ln

ln

La relazione si puograve riscrivere come

Da cui deriva

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon

Scale logaritmiche

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione

DUTTILITArsquo

utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε

σσσσ====

d

d

si ottiene

1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk

d

dk εεεε

εεεε

σσσσεεεεσσσσ

nn knkd

dεεεεεεεεσσσσ

εεεε

σσσσsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotrArrrArrrArrrArr====

minusminusminusminus1

un εεεε====rArrrArrrArrrArr

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

RESISTENZA

Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n

εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(

nnn

nrottura

e

nkenke

sdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot====

minusminusminusminus

====

minusminusminusminus

εεεε

εεεεσσσσσσσσ

1

001

++++

++++====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot==== intintintintintintintint

nn

nn

nn

kdkd

V

Wεεεεεεεεεεεεσσσσ

TENACITArsquo

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio

Alcuni esempi

Sforzo di Taglio

γγγγττττ sdotsdotsdotsdot==== G

0Z

ytg

∆∆∆∆======== θθθθγγγγ

Allrsquoapplicazione di uno sforzo ττττcorrisponde una deformazione del solido individuabile tramite lrsquoangolo

θθθθ

Per piccole deformazioni vale la relazione

con

G egrave detto ldquomodulo di elasticitagrave tangenzialerdquo o ldquomodulo di tagliordquo del materiale

Per materiali isotropi vale la seguente relazione fra modulo elastico modulo di Poisson e modulo di taglio

)1(2 υυυυ++++sdotsdotsdotsdot==== GE

e G assume pertanto valori vicini a 04sdotsdotsdotsdotE

Applicazione di un carico monoassiale

di trazione su un provino che puograve avere geometrie

diverse

La prova avviene in controllo di

spostamentosi registrano lo

spostamento delle ganasce e la forza

applicata

(in alcuni casi si applicano estensometri

direttamente sul provino)

Prova di Trazione

Generalitagrave

Prova di Trazione

M

1 Deformazione elasticaLa deformazione egrave proporzionale al carico

applicato rimuovendo il carico non vi egravepresenza di deformazioni permanenti

2 Deformazione plasticaIl carico continua a crescere con lrsquoaumento della deformazione Rimuovendo il carico il provino mantiene una certa deformazione permanente

3 StrizioneErsquo il punto in cui la deformazione sul provino non egrave piugrave uniforme ma si localizza in una sua sezione Si ottiene il massimo dell carico applicato

4 RotturaIl provino si rompe in due parti

Le deformazioni elastica e plastica sono assistite da meccanismimicroscopici profondamente diversi

Generalitagrave

Prova di Trazione

Generalitagrave

Principali parametri che si possonoricavare da una curva di trazione

-Resistenza meccanica- Carico di snervamento- Carico di rottura

- Duttilitagrave- Allungamento uniforme- Allungamento a rottura

- Tenacitagrave- Area sottesa dalla curva

- Modulo elastico

Altri parametri- Strizione percentuale

( = riduzione drsquoarea a rottura)

snervamento

rottura

Allungamentouniforme

Allungamentoa rottura

Tenacitagrave

Modulo elastico

Analizziamo in dettaglio la deformazione elastica del provino e proviamo a

trovare un modo per correlare il modulo elastico di un materiale alle sue

proprietagrave microscopiche

Cosa succede quando si sposta un atomo dalla sua posizione di equilibrio

Possiamo schematizzare un legame fra due atomi come una molla che li unisce

Quando sposto un atomo dalla sua posizione di equilibrio nasceragrave quindi una forza di richiamo che opponendosi alla forza esterna cercheragrave di riportarlo alla posizione originale

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Cosigrave succede anche quando si sollecita un solidoAllrsquoinizio gli atomi vengono spostati dalle loro posizioni drsquoequilibrio aumentando la loro reciproca distanza lungo la direzione di applicazione del carico

Sono quindi i singoli legami atomo-atomo ad essere sollecitati

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Per definizione

20

20 r

F

rMN

FMN

A

Ftot ====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot

sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========σσσσ

N a

tom

iM a

tom

i

P atomi0

0

0

0

0

0

r

rr

rP

rPrP

l

ll minusminusminusminus====

sdotsdotsdotsdot

sdotsdotsdotsdotminusminusminusminussdotsdotsdotsdot====

minusminusminusminus====εεεε

Ci siamo quindi ricondotti alle variabili microscopiche

- Distanza interatomica r- Forza interatomica F

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Cerchiamo ora di capire come sono legate le variabili microscopiche trovate

La forza discende dallrsquoandamentodellrsquoenergia potenziale

Egrave lrsquoaumento di energia potenziale dovuto allrsquoallontanamento dei due atomi a far nascere una forza di richiamo fra essi

rArr

F vs εεεε

dr

rdUF

)(minusminusminusminus====

Attenzione ai segni Questa F egrave la forza esterna necessaria per imporre la deformazione

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Ci basta quindi trovare lrsquoandamento dellrsquoenergia potenziale con la distanza

interatomica

Un generico andamento puograve essere quello mostrato in figuraparte repulsiva e parte attrattiva la cui somma da origine ad una buca di potenziale

PotenzialeAttrattivo

Potenzialerepulsivo

nm r

B

r

ArUtot ++++minusminusminusminus====)(

mr

ArUattr minusminusminusminus====)(

nr

BrUrepul ====)(

con A e B gt 0 e n gt m

A e B dipendono dal materialen e m dipendono principalmente

dal tipo di legame

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

I parametri di cui disponiamo sono perograve solitamente la distanza interatomica e

lrsquoenergia di legame

Valgono le relazioni

0)(

0

0 ====minusminusminusminus========rrdr

dUrF

bUrU minusminusminusminus====)( 0

mbrU

mn

nA 0

minusminusminusminus====

nbrU

mn

mB 0

minusminusminusminus====

Risolvendo rispetto ad A e B si ottiene

++++

minusminusminusminus

minusminusminusminus====

nmb

r

rm

r

rn

mn

UrU 00)(

Da cui si ottengono le espressioni del potenziale e quindi della Forza

minusminusminusminus

sdotsdotsdotsdot

minusminusminusminus

sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====minusminusminusminus====

mn

br

r

r

r

rmn

mnU

dr

rdUrF 001)()(

hellipe della derivata della forza (che ci serviragrave fra poco)

++++minusminusminusminus

++++sdotsdotsdotsdot

minusminusminusminus

sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====

mn

br

rm

r

rn

rmn

mnU

dr

rdF 00

2)1()1(

1)(

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

00 rrd

d

d

dE

==

==ε

σ

ε

σ

ε2

0r

F====σσσσ

0

0

r

rr minusminusminusminus====εεεε

0

0

0 0

0

0

20 1

rr

rr

rr dr

dF

r

r

rrd

r

Fd

d

dE

====

====

====

====minusminusminusminus

========εεεε

σσσσ

Dalla definizione di modulo elastico ricordando le relazioni trovate in precedenza

si puograve scrivere

e quindi

bUr

nmE

30

====

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

4143410W

3042610Mo

2101538Fe

2091453Ni

1271085Cu

791064Au

72962Ag

70660Al

455650Mg

14327Pb

Modulo di Young (Gpa)

Temperatura di fusione

(degC)Metallo

Quindi tanto maggiore egrave lrsquoenergia di legame e quanto minore egrave la distanza

interatomica quanto maggiore egrave il modulo elastico

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

0A

F====σσσσ

0

0

l

ll minusminusminusminus====εεεε

Costruzione della curva di trazione attraverso i seguenti parametri

Si ottiene la cosiddetta curva ldquoingegneristicardquo mostrata in figura

Sta effettivamente diminuendo lo sforzo sul provino

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

La sezione del provino diminuisce allrsquoaumentare della deformazione

Lo sforzo ingegneristico rimane invece ldquoancoratordquo alla sezione inizialehellip

Vi egrave la necessitagrave di passare alle cosiddette coordinate ldquovererdquo

)1ln(ln0

0

++++================ intintintintintintintint εεεεεεεεεεεεl

l

l

dld

l

l

t

(((( ))))100

0

0

++++================ εεεεσσσσσσσσl

l

A

F

A

A

A

F

A

Ft

In questa zona le relazioni utilizzate non sono piugrave valide

====rArrrArrrArrrArr====

0

000

l

l

A

AAllA

Dove si egrave fatto uso della relazione

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

Per concludere la curva si fa uso di un dato post-trazione la riduzione drsquoarea

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

- A partire dalla riduzione drsquoarea a rottura si calcola lrsquoallungamento che il provino avrebbe se lrsquoallungamento fosse stato uniforme

- Si considera poi lo sforzo calcolato rispetto allrsquoarea a rottura

- La curva si fa procedere linearmente fino al punto di rottura

- Si idenifica il punto finale della curva

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione

In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile

intintintintintintintint sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========

2

1

2

1

εεεε

εεεε

εεεεσσσσ dlAFdlW

l

l

intintintint sdotsdotsdotsdot====

2

1

εεεε

εεεε

εεεεσσσσ dV

WrArr

Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo

Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale

Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)

Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico

Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost

Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura

I = Rm timestimestimestimes A

Prova di Trazione

Indice di Qualitagrave

Indice di Qualitagrave di acciai per auto

I = 5 divide 20 GPa

I = 50 divide 70 GPa

I = 30 divide 45 GPa

Prova di Trazione

Materiali per Auto

Punto di massimo della curva di trazione

Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la

deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione

Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata

rArr dF = 0

Dato che F=σσσσA possiamo scrivere

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ

σσσσ

σσσσd

A

dAminusminusminusminus====Al punto di massimo si avragrave allora

Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha

εεεεdl

dl

A

dAcioegraveAdlldAlAddVdV minusminusminusminus====minusminusminusminus========++++====sdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArr==== 0)(0

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione

εεεεσσσσ

σσσσd

d==== σσσσ

εεεε

σσσσ====

d

d

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)

Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione

Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione

ComportamentoElasto ndash plastico incrudente

ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo

nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon

K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento

εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====

nd

d====

εεεε

σσσσ

ln

ln

La relazione si puograve riscrivere come

Da cui deriva

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon

Scale logaritmiche

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione

DUTTILITArsquo

utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε

σσσσ====

d

d

si ottiene

1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk

d

dk εεεε

εεεε

σσσσεεεεσσσσ

nn knkd

dεεεεεεεεσσσσ

εεεε

σσσσsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotrArrrArrrArrrArr====

minusminusminusminus1

un εεεε====rArrrArrrArrrArr

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

RESISTENZA

Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n

εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(

nnn

nrottura

e

nkenke

sdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot====

minusminusminusminus

====

minusminusminusminus

εεεε

εεεεσσσσσσσσ

1

001

++++

++++====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot==== intintintintintintintint

nn

nn

nn

kdkd

V

Wεεεεεεεεεεεεσσσσ

TENACITArsquo

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio

Alcuni esempi

Applicazione di un carico monoassiale

di trazione su un provino che puograve avere geometrie

diverse

La prova avviene in controllo di

spostamentosi registrano lo

spostamento delle ganasce e la forza

applicata

(in alcuni casi si applicano estensometri

direttamente sul provino)

Prova di Trazione

Generalitagrave

Prova di Trazione

M

1 Deformazione elasticaLa deformazione egrave proporzionale al carico

applicato rimuovendo il carico non vi egravepresenza di deformazioni permanenti

2 Deformazione plasticaIl carico continua a crescere con lrsquoaumento della deformazione Rimuovendo il carico il provino mantiene una certa deformazione permanente

3 StrizioneErsquo il punto in cui la deformazione sul provino non egrave piugrave uniforme ma si localizza in una sua sezione Si ottiene il massimo dell carico applicato

4 RotturaIl provino si rompe in due parti

Le deformazioni elastica e plastica sono assistite da meccanismimicroscopici profondamente diversi

Generalitagrave

Prova di Trazione

Generalitagrave

Principali parametri che si possonoricavare da una curva di trazione

-Resistenza meccanica- Carico di snervamento- Carico di rottura

- Duttilitagrave- Allungamento uniforme- Allungamento a rottura

- Tenacitagrave- Area sottesa dalla curva

- Modulo elastico

Altri parametri- Strizione percentuale

( = riduzione drsquoarea a rottura)

snervamento

rottura

Allungamentouniforme

Allungamentoa rottura

Tenacitagrave

Modulo elastico

Analizziamo in dettaglio la deformazione elastica del provino e proviamo a

trovare un modo per correlare il modulo elastico di un materiale alle sue

proprietagrave microscopiche

Cosa succede quando si sposta un atomo dalla sua posizione di equilibrio

Possiamo schematizzare un legame fra due atomi come una molla che li unisce

Quando sposto un atomo dalla sua posizione di equilibrio nasceragrave quindi una forza di richiamo che opponendosi alla forza esterna cercheragrave di riportarlo alla posizione originale

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Cosigrave succede anche quando si sollecita un solidoAllrsquoinizio gli atomi vengono spostati dalle loro posizioni drsquoequilibrio aumentando la loro reciproca distanza lungo la direzione di applicazione del carico

Sono quindi i singoli legami atomo-atomo ad essere sollecitati

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Per definizione

20

20 r

F

rMN

FMN

A

Ftot ====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot

sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========σσσσ

N a

tom

iM a

tom

i

P atomi0

0

0

0

0

0

r

rr

rP

rPrP

l

ll minusminusminusminus====

sdotsdotsdotsdot

sdotsdotsdotsdotminusminusminusminussdotsdotsdotsdot====

minusminusminusminus====εεεε

Ci siamo quindi ricondotti alle variabili microscopiche

- Distanza interatomica r- Forza interatomica F

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Cerchiamo ora di capire come sono legate le variabili microscopiche trovate

La forza discende dallrsquoandamentodellrsquoenergia potenziale

Egrave lrsquoaumento di energia potenziale dovuto allrsquoallontanamento dei due atomi a far nascere una forza di richiamo fra essi

rArr

F vs εεεε

dr

rdUF

)(minusminusminusminus====

Attenzione ai segni Questa F egrave la forza esterna necessaria per imporre la deformazione

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Ci basta quindi trovare lrsquoandamento dellrsquoenergia potenziale con la distanza

interatomica

Un generico andamento puograve essere quello mostrato in figuraparte repulsiva e parte attrattiva la cui somma da origine ad una buca di potenziale

PotenzialeAttrattivo

Potenzialerepulsivo

nm r

B

r

ArUtot ++++minusminusminusminus====)(

mr

ArUattr minusminusminusminus====)(

nr

BrUrepul ====)(

con A e B gt 0 e n gt m

A e B dipendono dal materialen e m dipendono principalmente

dal tipo di legame

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

I parametri di cui disponiamo sono perograve solitamente la distanza interatomica e

lrsquoenergia di legame

Valgono le relazioni

0)(

0

0 ====minusminusminusminus========rrdr

dUrF

bUrU minusminusminusminus====)( 0

mbrU

mn

nA 0

minusminusminusminus====

nbrU

mn

mB 0

minusminusminusminus====

Risolvendo rispetto ad A e B si ottiene

++++

minusminusminusminus

minusminusminusminus====

nmb

r

rm

r

rn

mn

UrU 00)(

Da cui si ottengono le espressioni del potenziale e quindi della Forza

minusminusminusminus

sdotsdotsdotsdot

minusminusminusminus

sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====minusminusminusminus====

mn

br

r

r

r

rmn

mnU

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rdUrF 001)()(

hellipe della derivata della forza (che ci serviragrave fra poco)

++++minusminusminusminus

++++sdotsdotsdotsdot

minusminusminusminus

sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====

mn

br

rm

r

rn

rmn

mnU

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rdF 00

2)1()1(

1)(

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

00 rrd

d

d

dE

==

==ε

σ

ε

σ

ε2

0r

F====σσσσ

0

0

r

rr minusminusminusminus====εεεε

0

0

0 0

0

0

20 1

rr

rr

rr dr

dF

r

r

rrd

r

Fd

d

dE

====

====

====

====minusminusminusminus

========εεεε

σσσσ

Dalla definizione di modulo elastico ricordando le relazioni trovate in precedenza

si puograve scrivere

e quindi

bUr

nmE

30

====

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

4143410W

3042610Mo

2101538Fe

2091453Ni

1271085Cu

791064Au

72962Ag

70660Al

455650Mg

14327Pb

Modulo di Young (Gpa)

Temperatura di fusione

(degC)Metallo

Quindi tanto maggiore egrave lrsquoenergia di legame e quanto minore egrave la distanza

interatomica quanto maggiore egrave il modulo elastico

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

0A

F====σσσσ

0

0

l

ll minusminusminusminus====εεεε

Costruzione della curva di trazione attraverso i seguenti parametri

Si ottiene la cosiddetta curva ldquoingegneristicardquo mostrata in figura

Sta effettivamente diminuendo lo sforzo sul provino

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

La sezione del provino diminuisce allrsquoaumentare della deformazione

Lo sforzo ingegneristico rimane invece ldquoancoratordquo alla sezione inizialehellip

Vi egrave la necessitagrave di passare alle cosiddette coordinate ldquovererdquo

)1ln(ln0

0

++++================ intintintintintintintint εεεεεεεεεεεεl

l

l

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l

l

t

(((( ))))100

0

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++++================ εεεεσσσσσσσσl

l

A

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In questa zona le relazioni utilizzate non sono piugrave valide

====rArrrArrrArrrArr====

0

000

l

l

A

AAllA

Dove si egrave fatto uso della relazione

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

Per concludere la curva si fa uso di un dato post-trazione la riduzione drsquoarea

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

- A partire dalla riduzione drsquoarea a rottura si calcola lrsquoallungamento che il provino avrebbe se lrsquoallungamento fosse stato uniforme

- Si considera poi lo sforzo calcolato rispetto allrsquoarea a rottura

- La curva si fa procedere linearmente fino al punto di rottura

- Si idenifica il punto finale della curva

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione

In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile

intintintintintintintint sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========

2

1

2

1

εεεε

εεεε

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l

l

intintintint sdotsdotsdotsdot====

2

1

εεεε

εεεε

εεεεσσσσ dV

WrArr

Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo

Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale

Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)

Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico

Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost

Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura

I = Rm timestimestimestimes A

Prova di Trazione

Indice di Qualitagrave

Indice di Qualitagrave di acciai per auto

I = 5 divide 20 GPa

I = 50 divide 70 GPa

I = 30 divide 45 GPa

Prova di Trazione

Materiali per Auto

Punto di massimo della curva di trazione

Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la

deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione

Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata

rArr dF = 0

Dato che F=σσσσA possiamo scrivere

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ

σσσσ

σσσσd

A

dAminusminusminusminus====Al punto di massimo si avragrave allora

Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha

εεεεdl

dl

A

dAcioegraveAdlldAlAddVdV minusminusminusminus====minusminusminusminus========++++====sdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArr==== 0)(0

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione

εεεεσσσσ

σσσσd

d==== σσσσ

εεεε

σσσσ====

d

d

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)

Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione

Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione

ComportamentoElasto ndash plastico incrudente

ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo

nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon

K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento

εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====

nd

d====

εεεε

σσσσ

ln

ln

La relazione si puograve riscrivere come

Da cui deriva

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon

Scale logaritmiche

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione

DUTTILITArsquo

utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε

σσσσ====

d

d

si ottiene

1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk

d

dk εεεε

εεεε

σσσσεεεεσσσσ

nn knkd

dεεεεεεεεσσσσ

εεεε

σσσσsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotrArrrArrrArrrArr====

minusminusminusminus1

un εεεε====rArrrArrrArrrArr

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

RESISTENZA

Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n

εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(

nnn

nrottura

e

nkenke

sdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot====

minusminusminusminus

====

minusminusminusminus

εεεε

εεεεσσσσσσσσ

1

001

++++

++++====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot==== intintintintintintintint

nn

nn

nn

kdkd

V

Wεεεεεεεεεεεεσσσσ

TENACITArsquo

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio

Alcuni esempi

Prova di Trazione

M

1 Deformazione elasticaLa deformazione egrave proporzionale al carico

applicato rimuovendo il carico non vi egravepresenza di deformazioni permanenti

2 Deformazione plasticaIl carico continua a crescere con lrsquoaumento della deformazione Rimuovendo il carico il provino mantiene una certa deformazione permanente

3 StrizioneErsquo il punto in cui la deformazione sul provino non egrave piugrave uniforme ma si localizza in una sua sezione Si ottiene il massimo dell carico applicato

4 RotturaIl provino si rompe in due parti

Le deformazioni elastica e plastica sono assistite da meccanismimicroscopici profondamente diversi

Generalitagrave

Prova di Trazione

Generalitagrave

Principali parametri che si possonoricavare da una curva di trazione

-Resistenza meccanica- Carico di snervamento- Carico di rottura

- Duttilitagrave- Allungamento uniforme- Allungamento a rottura

- Tenacitagrave- Area sottesa dalla curva

- Modulo elastico

Altri parametri- Strizione percentuale

( = riduzione drsquoarea a rottura)

snervamento

rottura

Allungamentouniforme

Allungamentoa rottura

Tenacitagrave

Modulo elastico

Analizziamo in dettaglio la deformazione elastica del provino e proviamo a

trovare un modo per correlare il modulo elastico di un materiale alle sue

proprietagrave microscopiche

Cosa succede quando si sposta un atomo dalla sua posizione di equilibrio

Possiamo schematizzare un legame fra due atomi come una molla che li unisce

Quando sposto un atomo dalla sua posizione di equilibrio nasceragrave quindi una forza di richiamo che opponendosi alla forza esterna cercheragrave di riportarlo alla posizione originale

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Cosigrave succede anche quando si sollecita un solidoAllrsquoinizio gli atomi vengono spostati dalle loro posizioni drsquoequilibrio aumentando la loro reciproca distanza lungo la direzione di applicazione del carico

Sono quindi i singoli legami atomo-atomo ad essere sollecitati

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Per definizione

20

20 r

F

rMN

FMN

A

Ftot ====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot

sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========σσσσ

N a

tom

iM a

tom

i

P atomi0

0

0

0

0

0

r

rr

rP

rPrP

l

ll minusminusminusminus====

sdotsdotsdotsdot

sdotsdotsdotsdotminusminusminusminussdotsdotsdotsdot====

minusminusminusminus====εεεε

Ci siamo quindi ricondotti alle variabili microscopiche

- Distanza interatomica r- Forza interatomica F

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Cerchiamo ora di capire come sono legate le variabili microscopiche trovate

La forza discende dallrsquoandamentodellrsquoenergia potenziale

Egrave lrsquoaumento di energia potenziale dovuto allrsquoallontanamento dei due atomi a far nascere una forza di richiamo fra essi

rArr

F vs εεεε

dr

rdUF

)(minusminusminusminus====

Attenzione ai segni Questa F egrave la forza esterna necessaria per imporre la deformazione

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Ci basta quindi trovare lrsquoandamento dellrsquoenergia potenziale con la distanza

interatomica

Un generico andamento puograve essere quello mostrato in figuraparte repulsiva e parte attrattiva la cui somma da origine ad una buca di potenziale

PotenzialeAttrattivo

Potenzialerepulsivo

nm r

B

r

ArUtot ++++minusminusminusminus====)(

mr

ArUattr minusminusminusminus====)(

nr

BrUrepul ====)(

con A e B gt 0 e n gt m

A e B dipendono dal materialen e m dipendono principalmente

dal tipo di legame

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

I parametri di cui disponiamo sono perograve solitamente la distanza interatomica e

lrsquoenergia di legame

Valgono le relazioni

0)(

0

0 ====minusminusminusminus========rrdr

dUrF

bUrU minusminusminusminus====)( 0

mbrU

mn

nA 0

minusminusminusminus====

nbrU

mn

mB 0

minusminusminusminus====

Risolvendo rispetto ad A e B si ottiene

++++

minusminusminusminus

minusminusminusminus====

nmb

r

rm

r

rn

mn

UrU 00)(

Da cui si ottengono le espressioni del potenziale e quindi della Forza

minusminusminusminus

sdotsdotsdotsdot

minusminusminusminus

sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====minusminusminusminus====

mn

br

r

r

r

rmn

mnU

dr

rdUrF 001)()(

hellipe della derivata della forza (che ci serviragrave fra poco)

++++minusminusminusminus

++++sdotsdotsdotsdot

minusminusminusminus

sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====

mn

br

rm

r

rn

rmn

mnU

dr

rdF 00

2)1()1(

1)(

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

00 rrd

d

d

dE

==

==ε

σ

ε

σ

ε2

0r

F====σσσσ

0

0

r

rr minusminusminusminus====εεεε

0

0

0 0

0

0

20 1

rr

rr

rr dr

dF

r

r

rrd

r

Fd

d

dE

====

====

====

====minusminusminusminus

========εεεε

σσσσ

Dalla definizione di modulo elastico ricordando le relazioni trovate in precedenza

si puograve scrivere

e quindi

bUr

nmE

30

====

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

4143410W

3042610Mo

2101538Fe

2091453Ni

1271085Cu

791064Au

72962Ag

70660Al

455650Mg

14327Pb

Modulo di Young (Gpa)

Temperatura di fusione

(degC)Metallo

Quindi tanto maggiore egrave lrsquoenergia di legame e quanto minore egrave la distanza

interatomica quanto maggiore egrave il modulo elastico

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

0A

F====σσσσ

0

0

l

ll minusminusminusminus====εεεε

Costruzione della curva di trazione attraverso i seguenti parametri

Si ottiene la cosiddetta curva ldquoingegneristicardquo mostrata in figura

Sta effettivamente diminuendo lo sforzo sul provino

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

La sezione del provino diminuisce allrsquoaumentare della deformazione

Lo sforzo ingegneristico rimane invece ldquoancoratordquo alla sezione inizialehellip

Vi egrave la necessitagrave di passare alle cosiddette coordinate ldquovererdquo

)1ln(ln0

0

++++================ intintintintintintintint εεεεεεεεεεεεl

l

l

dld

l

l

t

(((( ))))100

0

0

++++================ εεεεσσσσσσσσl

l

A

F

A

A

A

F

A

Ft

In questa zona le relazioni utilizzate non sono piugrave valide

====rArrrArrrArrrArr====

0

000

l

l

A

AAllA

Dove si egrave fatto uso della relazione

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

Per concludere la curva si fa uso di un dato post-trazione la riduzione drsquoarea

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

- A partire dalla riduzione drsquoarea a rottura si calcola lrsquoallungamento che il provino avrebbe se lrsquoallungamento fosse stato uniforme

- Si considera poi lo sforzo calcolato rispetto allrsquoarea a rottura

- La curva si fa procedere linearmente fino al punto di rottura

- Si idenifica il punto finale della curva

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione

In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile

intintintintintintintint sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========

2

1

2

1

εεεε

εεεε

εεεεσσσσ dlAFdlW

l

l

intintintint sdotsdotsdotsdot====

2

1

εεεε

εεεε

εεεεσσσσ dV

WrArr

Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo

Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale

Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)

Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico

Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost

Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura

I = Rm timestimestimestimes A

Prova di Trazione

Indice di Qualitagrave

Indice di Qualitagrave di acciai per auto

I = 5 divide 20 GPa

I = 50 divide 70 GPa

I = 30 divide 45 GPa

Prova di Trazione

Materiali per Auto

Punto di massimo della curva di trazione

Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la

deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione

Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata

rArr dF = 0

Dato che F=σσσσA possiamo scrivere

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ

σσσσ

σσσσd

A

dAminusminusminusminus====Al punto di massimo si avragrave allora

Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha

εεεεdl

dl

A

dAcioegraveAdlldAlAddVdV minusminusminusminus====minusminusminusminus========++++====sdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArr==== 0)(0

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione

εεεεσσσσ

σσσσd

d==== σσσσ

εεεε

σσσσ====

d

d

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)

Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione

Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione

ComportamentoElasto ndash plastico incrudente

ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo

nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon

K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento

εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====

nd

d====

εεεε

σσσσ

ln

ln

La relazione si puograve riscrivere come

Da cui deriva

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon

Scale logaritmiche

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione

DUTTILITArsquo

utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε

σσσσ====

d

d

si ottiene

1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk

d

dk εεεε

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nn knkd

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εεεε

σσσσsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotrArrrArrrArrrArr====

minusminusminusminus1

un εεεε====rArrrArrrArrrArr

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

RESISTENZA

Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n

εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(

nnn

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e

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====

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1

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nn

nn

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V

Wεεεεεεεεεεεεσσσσ

TENACITArsquo

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio

Alcuni esempi

Prova di Trazione

Generalitagrave

Principali parametri che si possonoricavare da una curva di trazione

-Resistenza meccanica- Carico di snervamento- Carico di rottura

- Duttilitagrave- Allungamento uniforme- Allungamento a rottura

- Tenacitagrave- Area sottesa dalla curva

- Modulo elastico

Altri parametri- Strizione percentuale

( = riduzione drsquoarea a rottura)

snervamento

rottura

Allungamentouniforme

Allungamentoa rottura

Tenacitagrave

Modulo elastico

Analizziamo in dettaglio la deformazione elastica del provino e proviamo a

trovare un modo per correlare il modulo elastico di un materiale alle sue

proprietagrave microscopiche

Cosa succede quando si sposta un atomo dalla sua posizione di equilibrio

Possiamo schematizzare un legame fra due atomi come una molla che li unisce

Quando sposto un atomo dalla sua posizione di equilibrio nasceragrave quindi una forza di richiamo che opponendosi alla forza esterna cercheragrave di riportarlo alla posizione originale

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Cosigrave succede anche quando si sollecita un solidoAllrsquoinizio gli atomi vengono spostati dalle loro posizioni drsquoequilibrio aumentando la loro reciproca distanza lungo la direzione di applicazione del carico

Sono quindi i singoli legami atomo-atomo ad essere sollecitati

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Per definizione

20

20 r

F

rMN

FMN

A

Ftot ====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot

sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========σσσσ

N a

tom

iM a

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i

P atomi0

0

0

0

0

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r

rr

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l

ll minusminusminusminus====

sdotsdotsdotsdot

sdotsdotsdotsdotminusminusminusminussdotsdotsdotsdot====

minusminusminusminus====εεεε

Ci siamo quindi ricondotti alle variabili microscopiche

- Distanza interatomica r- Forza interatomica F

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Cerchiamo ora di capire come sono legate le variabili microscopiche trovate

La forza discende dallrsquoandamentodellrsquoenergia potenziale

Egrave lrsquoaumento di energia potenziale dovuto allrsquoallontanamento dei due atomi a far nascere una forza di richiamo fra essi

rArr

F vs εεεε

dr

rdUF

)(minusminusminusminus====

Attenzione ai segni Questa F egrave la forza esterna necessaria per imporre la deformazione

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Ci basta quindi trovare lrsquoandamento dellrsquoenergia potenziale con la distanza

interatomica

Un generico andamento puograve essere quello mostrato in figuraparte repulsiva e parte attrattiva la cui somma da origine ad una buca di potenziale

PotenzialeAttrattivo

Potenzialerepulsivo

nm r

B

r

ArUtot ++++minusminusminusminus====)(

mr

ArUattr minusminusminusminus====)(

nr

BrUrepul ====)(

con A e B gt 0 e n gt m

A e B dipendono dal materialen e m dipendono principalmente

dal tipo di legame

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

I parametri di cui disponiamo sono perograve solitamente la distanza interatomica e

lrsquoenergia di legame

Valgono le relazioni

0)(

0

0 ====minusminusminusminus========rrdr

dUrF

bUrU minusminusminusminus====)( 0

mbrU

mn

nA 0

minusminusminusminus====

nbrU

mn

mB 0

minusminusminusminus====

Risolvendo rispetto ad A e B si ottiene

++++

minusminusminusminus

minusminusminusminus====

nmb

r

rm

r

rn

mn

UrU 00)(

Da cui si ottengono le espressioni del potenziale e quindi della Forza

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sdotsdotsdotsdot

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mn

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hellipe della derivata della forza (che ci serviragrave fra poco)

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mn

br

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rn

rmn

mnU

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2)1()1(

1)(

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

00 rrd

d

d

dE

==

==ε

σ

ε

σ

ε2

0r

F====σσσσ

0

0

r

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0

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20 1

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dF

r

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====

====

====

====minusminusminusminus

========εεεε

σσσσ

Dalla definizione di modulo elastico ricordando le relazioni trovate in precedenza

si puograve scrivere

e quindi

bUr

nmE

30

====

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

4143410W

3042610Mo

2101538Fe

2091453Ni

1271085Cu

791064Au

72962Ag

70660Al

455650Mg

14327Pb

Modulo di Young (Gpa)

Temperatura di fusione

(degC)Metallo

Quindi tanto maggiore egrave lrsquoenergia di legame e quanto minore egrave la distanza

interatomica quanto maggiore egrave il modulo elastico

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

0A

F====σσσσ

0

0

l

ll minusminusminusminus====εεεε

Costruzione della curva di trazione attraverso i seguenti parametri

Si ottiene la cosiddetta curva ldquoingegneristicardquo mostrata in figura

Sta effettivamente diminuendo lo sforzo sul provino

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

La sezione del provino diminuisce allrsquoaumentare della deformazione

Lo sforzo ingegneristico rimane invece ldquoancoratordquo alla sezione inizialehellip

Vi egrave la necessitagrave di passare alle cosiddette coordinate ldquovererdquo

)1ln(ln0

0

++++================ intintintintintintintint εεεεεεεεεεεεl

l

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++++================ εεεεσσσσσσσσl

l

A

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Ft

In questa zona le relazioni utilizzate non sono piugrave valide

====rArrrArrrArrrArr====

0

000

l

l

A

AAllA

Dove si egrave fatto uso della relazione

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

Per concludere la curva si fa uso di un dato post-trazione la riduzione drsquoarea

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

- A partire dalla riduzione drsquoarea a rottura si calcola lrsquoallungamento che il provino avrebbe se lrsquoallungamento fosse stato uniforme

- Si considera poi lo sforzo calcolato rispetto allrsquoarea a rottura

- La curva si fa procedere linearmente fino al punto di rottura

- Si idenifica il punto finale della curva

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione

In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile

intintintintintintintint sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========

2

1

2

1

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l

l

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2

1

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WrArr

Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo

Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale

Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)

Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico

Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost

Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura

I = Rm timestimestimestimes A

Prova di Trazione

Indice di Qualitagrave

Indice di Qualitagrave di acciai per auto

I = 5 divide 20 GPa

I = 50 divide 70 GPa

I = 30 divide 45 GPa

Prova di Trazione

Materiali per Auto

Punto di massimo della curva di trazione

Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la

deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione

Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata

rArr dF = 0

Dato che F=σσσσA possiamo scrivere

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ

σσσσ

σσσσd

A

dAminusminusminusminus====Al punto di massimo si avragrave allora

Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha

εεεεdl

dl

A

dAcioegraveAdlldAlAddVdV minusminusminusminus====minusminusminusminus========++++====sdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArr==== 0)(0

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione

εεεεσσσσ

σσσσd

d==== σσσσ

εεεε

σσσσ====

d

d

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)

Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione

Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione

ComportamentoElasto ndash plastico incrudente

ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo

nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon

K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento

εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====

nd

d====

εεεε

σσσσ

ln

ln

La relazione si puograve riscrivere come

Da cui deriva

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon

Scale logaritmiche

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione

DUTTILITArsquo

utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε

σσσσ====

d

d

si ottiene

1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk

d

dk εεεε

εεεε

σσσσεεεεσσσσ

nn knkd

dεεεεεεεεσσσσ

εεεε

σσσσsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotrArrrArrrArrrArr====

minusminusminusminus1

un εεεε====rArrrArrrArrrArr

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

RESISTENZA

Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n

εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(

nnn

nrottura

e

nkenke

sdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot====

minusminusminusminus

====

minusminusminusminus

εεεε

εεεεσσσσσσσσ

1

001

++++

++++====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot==== intintintintintintintint

nn

nn

nn

kdkd

V

Wεεεεεεεεεεεεσσσσ

TENACITArsquo

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio

Alcuni esempi

Analizziamo in dettaglio la deformazione elastica del provino e proviamo a

trovare un modo per correlare il modulo elastico di un materiale alle sue

proprietagrave microscopiche

Cosa succede quando si sposta un atomo dalla sua posizione di equilibrio

Possiamo schematizzare un legame fra due atomi come una molla che li unisce

Quando sposto un atomo dalla sua posizione di equilibrio nasceragrave quindi una forza di richiamo che opponendosi alla forza esterna cercheragrave di riportarlo alla posizione originale

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Cosigrave succede anche quando si sollecita un solidoAllrsquoinizio gli atomi vengono spostati dalle loro posizioni drsquoequilibrio aumentando la loro reciproca distanza lungo la direzione di applicazione del carico

Sono quindi i singoli legami atomo-atomo ad essere sollecitati

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Per definizione

20

20 r

F

rMN

FMN

A

Ftot ====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot

sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========σσσσ

N a

tom

iM a

tom

i

P atomi0

0

0

0

0

0

r

rr

rP

rPrP

l

ll minusminusminusminus====

sdotsdotsdotsdot

sdotsdotsdotsdotminusminusminusminussdotsdotsdotsdot====

minusminusminusminus====εεεε

Ci siamo quindi ricondotti alle variabili microscopiche

- Distanza interatomica r- Forza interatomica F

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Cerchiamo ora di capire come sono legate le variabili microscopiche trovate

La forza discende dallrsquoandamentodellrsquoenergia potenziale

Egrave lrsquoaumento di energia potenziale dovuto allrsquoallontanamento dei due atomi a far nascere una forza di richiamo fra essi

rArr

F vs εεεε

dr

rdUF

)(minusminusminusminus====

Attenzione ai segni Questa F egrave la forza esterna necessaria per imporre la deformazione

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Ci basta quindi trovare lrsquoandamento dellrsquoenergia potenziale con la distanza

interatomica

Un generico andamento puograve essere quello mostrato in figuraparte repulsiva e parte attrattiva la cui somma da origine ad una buca di potenziale

PotenzialeAttrattivo

Potenzialerepulsivo

nm r

B

r

ArUtot ++++minusminusminusminus====)(

mr

ArUattr minusminusminusminus====)(

nr

BrUrepul ====)(

con A e B gt 0 e n gt m

A e B dipendono dal materialen e m dipendono principalmente

dal tipo di legame

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

I parametri di cui disponiamo sono perograve solitamente la distanza interatomica e

lrsquoenergia di legame

Valgono le relazioni

0)(

0

0 ====minusminusminusminus========rrdr

dUrF

bUrU minusminusminusminus====)( 0

mbrU

mn

nA 0

minusminusminusminus====

nbrU

mn

mB 0

minusminusminusminus====

Risolvendo rispetto ad A e B si ottiene

++++

minusminusminusminus

minusminusminusminus====

nmb

r

rm

r

rn

mn

UrU 00)(

Da cui si ottengono le espressioni del potenziale e quindi della Forza

minusminusminusminus

sdotsdotsdotsdot

minusminusminusminus

sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====minusminusminusminus====

mn

br

r

r

r

rmn

mnU

dr

rdUrF 001)()(

hellipe della derivata della forza (che ci serviragrave fra poco)

++++minusminusminusminus

++++sdotsdotsdotsdot

minusminusminusminus

sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====

mn

br

rm

r

rn

rmn

mnU

dr

rdF 00

2)1()1(

1)(

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

00 rrd

d

d

dE

==

==ε

σ

ε

σ

ε2

0r

F====σσσσ

0

0

r

rr minusminusminusminus====εεεε

0

0

0 0

0

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20 1

rr

rr

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r

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Fd

d

dE

====

====

====

====minusminusminusminus

========εεεε

σσσσ

Dalla definizione di modulo elastico ricordando le relazioni trovate in precedenza

si puograve scrivere

e quindi

bUr

nmE

30

====

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

4143410W

3042610Mo

2101538Fe

2091453Ni

1271085Cu

791064Au

72962Ag

70660Al

455650Mg

14327Pb

Modulo di Young (Gpa)

Temperatura di fusione

(degC)Metallo

Quindi tanto maggiore egrave lrsquoenergia di legame e quanto minore egrave la distanza

interatomica quanto maggiore egrave il modulo elastico

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

0A

F====σσσσ

0

0

l

ll minusminusminusminus====εεεε

Costruzione della curva di trazione attraverso i seguenti parametri

Si ottiene la cosiddetta curva ldquoingegneristicardquo mostrata in figura

Sta effettivamente diminuendo lo sforzo sul provino

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

La sezione del provino diminuisce allrsquoaumentare della deformazione

Lo sforzo ingegneristico rimane invece ldquoancoratordquo alla sezione inizialehellip

Vi egrave la necessitagrave di passare alle cosiddette coordinate ldquovererdquo

)1ln(ln0

0

++++================ intintintintintintintint εεεεεεεεεεεεl

l

l

dld

l

l

t

(((( ))))100

0

0

++++================ εεεεσσσσσσσσl

l

A

F

A

A

A

F

A

Ft

In questa zona le relazioni utilizzate non sono piugrave valide

====rArrrArrrArrrArr====

0

000

l

l

A

AAllA

Dove si egrave fatto uso della relazione

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

Per concludere la curva si fa uso di un dato post-trazione la riduzione drsquoarea

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

- A partire dalla riduzione drsquoarea a rottura si calcola lrsquoallungamento che il provino avrebbe se lrsquoallungamento fosse stato uniforme

- Si considera poi lo sforzo calcolato rispetto allrsquoarea a rottura

- La curva si fa procedere linearmente fino al punto di rottura

- Si idenifica il punto finale della curva

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione

In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile

intintintintintintintint sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========

2

1

2

1

εεεε

εεεε

εεεεσσσσ dlAFdlW

l

l

intintintint sdotsdotsdotsdot====

2

1

εεεε

εεεε

εεεεσσσσ dV

WrArr

Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo

Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale

Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)

Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico

Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost

Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura

I = Rm timestimestimestimes A

Prova di Trazione

Indice di Qualitagrave

Indice di Qualitagrave di acciai per auto

I = 5 divide 20 GPa

I = 50 divide 70 GPa

I = 30 divide 45 GPa

Prova di Trazione

Materiali per Auto

Punto di massimo della curva di trazione

Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la

deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione

Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata

rArr dF = 0

Dato che F=σσσσA possiamo scrivere

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ

σσσσ

σσσσd

A

dAminusminusminusminus====Al punto di massimo si avragrave allora

Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha

εεεεdl

dl

A

dAcioegraveAdlldAlAddVdV minusminusminusminus====minusminusminusminus========++++====sdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArr==== 0)(0

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione

εεεεσσσσ

σσσσd

d==== σσσσ

εεεε

σσσσ====

d

d

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)

Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione

Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione

ComportamentoElasto ndash plastico incrudente

ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo

nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon

K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento

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nd

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σσσσ

ln

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La relazione si puograve riscrivere come

Da cui deriva

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon

Scale logaritmiche

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione

DUTTILITArsquo

utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε

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si ottiene

1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk

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Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

RESISTENZA

Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n

εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(

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nrottura

e

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1

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++++

++++====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot==== intintintintintintintint

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V

Wεεεεεεεεεεεεσσσσ

TENACITArsquo

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio

Alcuni esempi

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Cosigrave succede anche quando si sollecita un solidoAllrsquoinizio gli atomi vengono spostati dalle loro posizioni drsquoequilibrio aumentando la loro reciproca distanza lungo la direzione di applicazione del carico

Sono quindi i singoli legami atomo-atomo ad essere sollecitati

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Per definizione

20

20 r

F

rMN

FMN

A

Ftot ====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot

sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========σσσσ

N a

tom

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P atomi0

0

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0

0

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r

rr

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l

ll minusminusminusminus====

sdotsdotsdotsdot

sdotsdotsdotsdotminusminusminusminussdotsdotsdotsdot====

minusminusminusminus====εεεε

Ci siamo quindi ricondotti alle variabili microscopiche

- Distanza interatomica r- Forza interatomica F

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Cerchiamo ora di capire come sono legate le variabili microscopiche trovate

La forza discende dallrsquoandamentodellrsquoenergia potenziale

Egrave lrsquoaumento di energia potenziale dovuto allrsquoallontanamento dei due atomi a far nascere una forza di richiamo fra essi

rArr

F vs εεεε

dr

rdUF

)(minusminusminusminus====

Attenzione ai segni Questa F egrave la forza esterna necessaria per imporre la deformazione

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Ci basta quindi trovare lrsquoandamento dellrsquoenergia potenziale con la distanza

interatomica

Un generico andamento puograve essere quello mostrato in figuraparte repulsiva e parte attrattiva la cui somma da origine ad una buca di potenziale

PotenzialeAttrattivo

Potenzialerepulsivo

nm r

B

r

ArUtot ++++minusminusminusminus====)(

mr

ArUattr minusminusminusminus====)(

nr

BrUrepul ====)(

con A e B gt 0 e n gt m

A e B dipendono dal materialen e m dipendono principalmente

dal tipo di legame

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

I parametri di cui disponiamo sono perograve solitamente la distanza interatomica e

lrsquoenergia di legame

Valgono le relazioni

0)(

0

0 ====minusminusminusminus========rrdr

dUrF

bUrU minusminusminusminus====)( 0

mbrU

mn

nA 0

minusminusminusminus====

nbrU

mn

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minusminusminusminus====

Risolvendo rispetto ad A e B si ottiene

++++

minusminusminusminus

minusminusminusminus====

nmb

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r

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Da cui si ottengono le espressioni del potenziale e quindi della Forza

minusminusminusminus

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hellipe della derivata della forza (che ci serviragrave fra poco)

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mn

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1)(

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

00 rrd

d

d

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F====σσσσ

0

0

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0

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20 1

rr

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dF

r

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====

====

====

====minusminusminusminus

========εεεε

σσσσ

Dalla definizione di modulo elastico ricordando le relazioni trovate in precedenza

si puograve scrivere

e quindi

bUr

nmE

30

====

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

4143410W

3042610Mo

2101538Fe

2091453Ni

1271085Cu

791064Au

72962Ag

70660Al

455650Mg

14327Pb

Modulo di Young (Gpa)

Temperatura di fusione

(degC)Metallo

Quindi tanto maggiore egrave lrsquoenergia di legame e quanto minore egrave la distanza

interatomica quanto maggiore egrave il modulo elastico

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

0A

F====σσσσ

0

0

l

ll minusminusminusminus====εεεε

Costruzione della curva di trazione attraverso i seguenti parametri

Si ottiene la cosiddetta curva ldquoingegneristicardquo mostrata in figura

Sta effettivamente diminuendo lo sforzo sul provino

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

La sezione del provino diminuisce allrsquoaumentare della deformazione

Lo sforzo ingegneristico rimane invece ldquoancoratordquo alla sezione inizialehellip

Vi egrave la necessitagrave di passare alle cosiddette coordinate ldquovererdquo

)1ln(ln0

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In questa zona le relazioni utilizzate non sono piugrave valide

====rArrrArrrArrrArr====

0

000

l

l

A

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Dove si egrave fatto uso della relazione

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

Per concludere la curva si fa uso di un dato post-trazione la riduzione drsquoarea

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

- A partire dalla riduzione drsquoarea a rottura si calcola lrsquoallungamento che il provino avrebbe se lrsquoallungamento fosse stato uniforme

- Si considera poi lo sforzo calcolato rispetto allrsquoarea a rottura

- La curva si fa procedere linearmente fino al punto di rottura

- Si idenifica il punto finale della curva

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione

In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile

intintintintintintintint sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========

2

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2

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Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo

Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale

Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)

Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico

Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost

Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura

I = Rm timestimestimestimes A

Prova di Trazione

Indice di Qualitagrave

Indice di Qualitagrave di acciai per auto

I = 5 divide 20 GPa

I = 50 divide 70 GPa

I = 30 divide 45 GPa

Prova di Trazione

Materiali per Auto

Punto di massimo della curva di trazione

Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la

deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione

Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata

rArr dF = 0

Dato che F=σσσσA possiamo scrivere

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ

σσσσ

σσσσd

A

dAminusminusminusminus====Al punto di massimo si avragrave allora

Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha

εεεεdl

dl

A

dAcioegraveAdlldAlAddVdV minusminusminusminus====minusminusminusminus========++++====sdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArr==== 0)(0

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione

εεεεσσσσ

σσσσd

d==== σσσσ

εεεε

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Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)

Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione

Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione

ComportamentoElasto ndash plastico incrudente

ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo

nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon

K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento

εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====

nd

d====

εεεε

σσσσ

ln

ln

La relazione si puograve riscrivere come

Da cui deriva

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon

Scale logaritmiche

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione

DUTTILITArsquo

utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε

σσσσ====

d

d

si ottiene

1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk

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minusminusminusminus1

un εεεε====rArrrArrrArrrArr

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

RESISTENZA

Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n

εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(

nnn

nrottura

e

nkenke

sdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot====

minusminusminusminus

====

minusminusminusminus

εεεε

εεεεσσσσσσσσ

1

001

++++

++++====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot==== intintintintintintintint

nn

nn

nn

kdkd

V

Wεεεεεεεεεεεεσσσσ

TENACITArsquo

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio

Alcuni esempi

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Per definizione

20

20 r

F

rMN

FMN

A

Ftot ====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot

sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========σσσσ

N a

tom

iM a

tom

i

P atomi0

0

0

0

0

0

r

rr

rP

rPrP

l

ll minusminusminusminus====

sdotsdotsdotsdot

sdotsdotsdotsdotminusminusminusminussdotsdotsdotsdot====

minusminusminusminus====εεεε

Ci siamo quindi ricondotti alle variabili microscopiche

- Distanza interatomica r- Forza interatomica F

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Cerchiamo ora di capire come sono legate le variabili microscopiche trovate

La forza discende dallrsquoandamentodellrsquoenergia potenziale

Egrave lrsquoaumento di energia potenziale dovuto allrsquoallontanamento dei due atomi a far nascere una forza di richiamo fra essi

rArr

F vs εεεε

dr

rdUF

)(minusminusminusminus====

Attenzione ai segni Questa F egrave la forza esterna necessaria per imporre la deformazione

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Ci basta quindi trovare lrsquoandamento dellrsquoenergia potenziale con la distanza

interatomica

Un generico andamento puograve essere quello mostrato in figuraparte repulsiva e parte attrattiva la cui somma da origine ad una buca di potenziale

PotenzialeAttrattivo

Potenzialerepulsivo

nm r

B

r

ArUtot ++++minusminusminusminus====)(

mr

ArUattr minusminusminusminus====)(

nr

BrUrepul ====)(

con A e B gt 0 e n gt m

A e B dipendono dal materialen e m dipendono principalmente

dal tipo di legame

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

I parametri di cui disponiamo sono perograve solitamente la distanza interatomica e

lrsquoenergia di legame

Valgono le relazioni

0)(

0

0 ====minusminusminusminus========rrdr

dUrF

bUrU minusminusminusminus====)( 0

mbrU

mn

nA 0

minusminusminusminus====

nbrU

mn

mB 0

minusminusminusminus====

Risolvendo rispetto ad A e B si ottiene

++++

minusminusminusminus

minusminusminusminus====

nmb

r

rm

r

rn

mn

UrU 00)(

Da cui si ottengono le espressioni del potenziale e quindi della Forza

minusminusminusminus

sdotsdotsdotsdot

minusminusminusminus

sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====minusminusminusminus====

mn

br

r

r

r

rmn

mnU

dr

rdUrF 001)()(

hellipe della derivata della forza (che ci serviragrave fra poco)

++++minusminusminusminus

++++sdotsdotsdotsdot

minusminusminusminus

sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====

mn

br

rm

r

rn

rmn

mnU

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rdF 00

2)1()1(

1)(

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

00 rrd

d

d

dE

==

==ε

σ

ε

σ

ε2

0r

F====σσσσ

0

0

r

rr minusminusminusminus====εεεε

0

0

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0

20 1

rr

rr

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r

r

rrd

r

Fd

d

dE

====

====

====

====minusminusminusminus

========εεεε

σσσσ

Dalla definizione di modulo elastico ricordando le relazioni trovate in precedenza

si puograve scrivere

e quindi

bUr

nmE

30

====

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

4143410W

3042610Mo

2101538Fe

2091453Ni

1271085Cu

791064Au

72962Ag

70660Al

455650Mg

14327Pb

Modulo di Young (Gpa)

Temperatura di fusione

(degC)Metallo

Quindi tanto maggiore egrave lrsquoenergia di legame e quanto minore egrave la distanza

interatomica quanto maggiore egrave il modulo elastico

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

0A

F====σσσσ

0

0

l

ll minusminusminusminus====εεεε

Costruzione della curva di trazione attraverso i seguenti parametri

Si ottiene la cosiddetta curva ldquoingegneristicardquo mostrata in figura

Sta effettivamente diminuendo lo sforzo sul provino

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

La sezione del provino diminuisce allrsquoaumentare della deformazione

Lo sforzo ingegneristico rimane invece ldquoancoratordquo alla sezione inizialehellip

Vi egrave la necessitagrave di passare alle cosiddette coordinate ldquovererdquo

)1ln(ln0

0

++++================ intintintintintintintint εεεεεεεεεεεεl

l

l

dld

l

l

t

(((( ))))100

0

0

++++================ εεεεσσσσσσσσl

l

A

F

A

A

A

F

A

Ft

In questa zona le relazioni utilizzate non sono piugrave valide

====rArrrArrrArrrArr====

0

000

l

l

A

AAllA

Dove si egrave fatto uso della relazione

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

Per concludere la curva si fa uso di un dato post-trazione la riduzione drsquoarea

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

- A partire dalla riduzione drsquoarea a rottura si calcola lrsquoallungamento che il provino avrebbe se lrsquoallungamento fosse stato uniforme

- Si considera poi lo sforzo calcolato rispetto allrsquoarea a rottura

- La curva si fa procedere linearmente fino al punto di rottura

- Si idenifica il punto finale della curva

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione

In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile

intintintintintintintint sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========

2

1

2

1

εεεε

εεεε

εεεεσσσσ dlAFdlW

l

l

intintintint sdotsdotsdotsdot====

2

1

εεεε

εεεε

εεεεσσσσ dV

WrArr

Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo

Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale

Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)

Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico

Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost

Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura

I = Rm timestimestimestimes A

Prova di Trazione

Indice di Qualitagrave

Indice di Qualitagrave di acciai per auto

I = 5 divide 20 GPa

I = 50 divide 70 GPa

I = 30 divide 45 GPa

Prova di Trazione

Materiali per Auto

Punto di massimo della curva di trazione

Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la

deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione

Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata

rArr dF = 0

Dato che F=σσσσA possiamo scrivere

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ

σσσσ

σσσσd

A

dAminusminusminusminus====Al punto di massimo si avragrave allora

Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha

εεεεdl

dl

A

dAcioegraveAdlldAlAddVdV minusminusminusminus====minusminusminusminus========++++====sdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArr==== 0)(0

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione

εεεεσσσσ

σσσσd

d==== σσσσ

εεεε

σσσσ====

d

d

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)

Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione

Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione

ComportamentoElasto ndash plastico incrudente

ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo

nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon

K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento

εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====

nd

d====

εεεε

σσσσ

ln

ln

La relazione si puograve riscrivere come

Da cui deriva

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon

Scale logaritmiche

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione

DUTTILITArsquo

utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε

σσσσ====

d

d

si ottiene

1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk

d

dk εεεε

εεεε

σσσσεεεεσσσσ

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minusminusminusminus1

un εεεε====rArrrArrrArrrArr

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

RESISTENZA

Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n

εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(

nnn

nrottura

e

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minusminusminusminus

====

minusminusminusminus

εεεε

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1

001

++++

++++====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot==== intintintintintintintint

nn

nn

nn

kdkd

V

Wεεεεεεεεεεεεσσσσ

TENACITArsquo

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio

Alcuni esempi

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Cerchiamo ora di capire come sono legate le variabili microscopiche trovate

La forza discende dallrsquoandamentodellrsquoenergia potenziale

Egrave lrsquoaumento di energia potenziale dovuto allrsquoallontanamento dei due atomi a far nascere una forza di richiamo fra essi

rArr

F vs εεεε

dr

rdUF

)(minusminusminusminus====

Attenzione ai segni Questa F egrave la forza esterna necessaria per imporre la deformazione

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Ci basta quindi trovare lrsquoandamento dellrsquoenergia potenziale con la distanza

interatomica

Un generico andamento puograve essere quello mostrato in figuraparte repulsiva e parte attrattiva la cui somma da origine ad una buca di potenziale

PotenzialeAttrattivo

Potenzialerepulsivo

nm r

B

r

ArUtot ++++minusminusminusminus====)(

mr

ArUattr minusminusminusminus====)(

nr

BrUrepul ====)(

con A e B gt 0 e n gt m

A e B dipendono dal materialen e m dipendono principalmente

dal tipo di legame

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

I parametri di cui disponiamo sono perograve solitamente la distanza interatomica e

lrsquoenergia di legame

Valgono le relazioni

0)(

0

0 ====minusminusminusminus========rrdr

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mbrU

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Risolvendo rispetto ad A e B si ottiene

++++

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r

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rn

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Da cui si ottengono le espressioni del potenziale e quindi della Forza

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hellipe della derivata della forza (che ci serviragrave fra poco)

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Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

00 rrd

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F====σσσσ

0

0

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====

====

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========εεεε

σσσσ

Dalla definizione di modulo elastico ricordando le relazioni trovate in precedenza

si puograve scrivere

e quindi

bUr

nmE

30

====

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

4143410W

3042610Mo

2101538Fe

2091453Ni

1271085Cu

791064Au

72962Ag

70660Al

455650Mg

14327Pb

Modulo di Young (Gpa)

Temperatura di fusione

(degC)Metallo

Quindi tanto maggiore egrave lrsquoenergia di legame e quanto minore egrave la distanza

interatomica quanto maggiore egrave il modulo elastico

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

0A

F====σσσσ

0

0

l

ll minusminusminusminus====εεεε

Costruzione della curva di trazione attraverso i seguenti parametri

Si ottiene la cosiddetta curva ldquoingegneristicardquo mostrata in figura

Sta effettivamente diminuendo lo sforzo sul provino

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

La sezione del provino diminuisce allrsquoaumentare della deformazione

Lo sforzo ingegneristico rimane invece ldquoancoratordquo alla sezione inizialehellip

Vi egrave la necessitagrave di passare alle cosiddette coordinate ldquovererdquo

)1ln(ln0

0

++++================ intintintintintintintint εεεεεεεεεεεεl

l

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In questa zona le relazioni utilizzate non sono piugrave valide

====rArrrArrrArrrArr====

0

000

l

l

A

AAllA

Dove si egrave fatto uso della relazione

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

Per concludere la curva si fa uso di un dato post-trazione la riduzione drsquoarea

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

- A partire dalla riduzione drsquoarea a rottura si calcola lrsquoallungamento che il provino avrebbe se lrsquoallungamento fosse stato uniforme

- Si considera poi lo sforzo calcolato rispetto allrsquoarea a rottura

- La curva si fa procedere linearmente fino al punto di rottura

- Si idenifica il punto finale della curva

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione

In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile

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2

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Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo

Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale

Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)

Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico

Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost

Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura

I = Rm timestimestimestimes A

Prova di Trazione

Indice di Qualitagrave

Indice di Qualitagrave di acciai per auto

I = 5 divide 20 GPa

I = 50 divide 70 GPa

I = 30 divide 45 GPa

Prova di Trazione

Materiali per Auto

Punto di massimo della curva di trazione

Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la

deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione

Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata

rArr dF = 0

Dato che F=σσσσA possiamo scrivere

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ

σσσσ

σσσσd

A

dAminusminusminusminus====Al punto di massimo si avragrave allora

Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha

εεεεdl

dl

A

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Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione

εεεεσσσσ

σσσσd

d==== σσσσ

εεεε

σσσσ====

d

d

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)

Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione

Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione

ComportamentoElasto ndash plastico incrudente

ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo

nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon

K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento

εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====

nd

d====

εεεε

σσσσ

ln

ln

La relazione si puograve riscrivere come

Da cui deriva

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon

Scale logaritmiche

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione

DUTTILITArsquo

utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε

σσσσ====

d

d

si ottiene

1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk

d

dk εεεε

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σσσσsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotrArrrArrrArrrArr====

minusminusminusminus1

un εεεε====rArrrArrrArrrArr

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

RESISTENZA

Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n

εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(

nnn

nrottura

e

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minusminusminusminus

====

minusminusminusminus

εεεε

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1

001

++++

++++====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot==== intintintintintintintint

nn

nn

nn

kdkd

V

Wεεεεεεεεεεεεσσσσ

TENACITArsquo

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio

Alcuni esempi

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

Ci basta quindi trovare lrsquoandamento dellrsquoenergia potenziale con la distanza

interatomica

Un generico andamento puograve essere quello mostrato in figuraparte repulsiva e parte attrattiva la cui somma da origine ad una buca di potenziale

PotenzialeAttrattivo

Potenzialerepulsivo

nm r

B

r

ArUtot ++++minusminusminusminus====)(

mr

ArUattr minusminusminusminus====)(

nr

BrUrepul ====)(

con A e B gt 0 e n gt m

A e B dipendono dal materialen e m dipendono principalmente

dal tipo di legame

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

I parametri di cui disponiamo sono perograve solitamente la distanza interatomica e

lrsquoenergia di legame

Valgono le relazioni

0)(

0

0 ====minusminusminusminus========rrdr

dUrF

bUrU minusminusminusminus====)( 0

mbrU

mn

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Risolvendo rispetto ad A e B si ottiene

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r

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r

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Da cui si ottengono le espressioni del potenziale e quindi della Forza

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hellipe della derivata della forza (che ci serviragrave fra poco)

++++minusminusminusminus

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mn

br

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r

rn

rmn

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2)1()1(

1)(

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

00 rrd

d

d

dE

==

==ε

σ

ε

σ

ε2

0r

F====σσσσ

0

0

r

rr minusminusminusminus====εεεε

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20 1

rr

rr

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====

====

====

====minusminusminusminus

========εεεε

σσσσ

Dalla definizione di modulo elastico ricordando le relazioni trovate in precedenza

si puograve scrivere

e quindi

bUr

nmE

30

====

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

4143410W

3042610Mo

2101538Fe

2091453Ni

1271085Cu

791064Au

72962Ag

70660Al

455650Mg

14327Pb

Modulo di Young (Gpa)

Temperatura di fusione

(degC)Metallo

Quindi tanto maggiore egrave lrsquoenergia di legame e quanto minore egrave la distanza

interatomica quanto maggiore egrave il modulo elastico

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

0A

F====σσσσ

0

0

l

ll minusminusminusminus====εεεε

Costruzione della curva di trazione attraverso i seguenti parametri

Si ottiene la cosiddetta curva ldquoingegneristicardquo mostrata in figura

Sta effettivamente diminuendo lo sforzo sul provino

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

La sezione del provino diminuisce allrsquoaumentare della deformazione

Lo sforzo ingegneristico rimane invece ldquoancoratordquo alla sezione inizialehellip

Vi egrave la necessitagrave di passare alle cosiddette coordinate ldquovererdquo

)1ln(ln0

0

++++================ intintintintintintintint εεεεεεεεεεεεl

l

l

dld

l

l

t

(((( ))))100

0

0

++++================ εεεεσσσσσσσσl

l

A

F

A

A

A

F

A

Ft

In questa zona le relazioni utilizzate non sono piugrave valide

====rArrrArrrArrrArr====

0

000

l

l

A

AAllA

Dove si egrave fatto uso della relazione

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

Per concludere la curva si fa uso di un dato post-trazione la riduzione drsquoarea

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

- A partire dalla riduzione drsquoarea a rottura si calcola lrsquoallungamento che il provino avrebbe se lrsquoallungamento fosse stato uniforme

- Si considera poi lo sforzo calcolato rispetto allrsquoarea a rottura

- La curva si fa procedere linearmente fino al punto di rottura

- Si idenifica il punto finale della curva

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione

In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile

intintintintintintintint sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========

2

1

2

1

εεεε

εεεε

εεεεσσσσ dlAFdlW

l

l

intintintint sdotsdotsdotsdot====

2

1

εεεε

εεεε

εεεεσσσσ dV

WrArr

Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo

Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale

Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)

Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico

Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost

Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura

I = Rm timestimestimestimes A

Prova di Trazione

Indice di Qualitagrave

Indice di Qualitagrave di acciai per auto

I = 5 divide 20 GPa

I = 50 divide 70 GPa

I = 30 divide 45 GPa

Prova di Trazione

Materiali per Auto

Punto di massimo della curva di trazione

Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la

deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione

Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata

rArr dF = 0

Dato che F=σσσσA possiamo scrivere

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ

σσσσ

σσσσd

A

dAminusminusminusminus====Al punto di massimo si avragrave allora

Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha

εεεεdl

dl

A

dAcioegraveAdlldAlAddVdV minusminusminusminus====minusminusminusminus========++++====sdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArr==== 0)(0

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione

εεεεσσσσ

σσσσd

d==== σσσσ

εεεε

σσσσ====

d

d

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)

Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione

Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione

ComportamentoElasto ndash plastico incrudente

ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo

nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon

K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento

εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====

nd

d====

εεεε

σσσσ

ln

ln

La relazione si puograve riscrivere come

Da cui deriva

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon

Scale logaritmiche

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione

DUTTILITArsquo

utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε

σσσσ====

d

d

si ottiene

1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk

d

dk εεεε

εεεε

σσσσεεεεσσσσ

nn knkd

dεεεεεεεεσσσσ

εεεε

σσσσsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotrArrrArrrArrrArr====

minusminusminusminus1

un εεεε====rArrrArrrArrrArr

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

RESISTENZA

Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n

εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(

nnn

nrottura

e

nkenke

sdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot====

minusminusminusminus

====

minusminusminusminus

εεεε

εεεεσσσσσσσσ

1

001

++++

++++====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot==== intintintintintintintint

nn

nn

nn

kdkd

V

Wεεεεεεεεεεεεσσσσ

TENACITArsquo

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio

Alcuni esempi

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

I parametri di cui disponiamo sono perograve solitamente la distanza interatomica e

lrsquoenergia di legame

Valgono le relazioni

0)(

0

0 ====minusminusminusminus========rrdr

dUrF

bUrU minusminusminusminus====)( 0

mbrU

mn

nA 0

minusminusminusminus====

nbrU

mn

mB 0

minusminusminusminus====

Risolvendo rispetto ad A e B si ottiene

++++

minusminusminusminus

minusminusminusminus====

nmb

r

rm

r

rn

mn

UrU 00)(

Da cui si ottengono le espressioni del potenziale e quindi della Forza

minusminusminusminus

sdotsdotsdotsdot

minusminusminusminus

sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====minusminusminusminus====

mn

br

r

r

r

rmn

mnU

dr

rdUrF 001)()(

hellipe della derivata della forza (che ci serviragrave fra poco)

++++minusminusminusminus

++++sdotsdotsdotsdot

minusminusminusminus

sdotsdotsdotsdotminusminusminusminus====

mn

br

rm

r

rn

rmn

mnU

dr

rdF 00

2)1()1(

1)(

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

00 rrd

d

d

dE

==

==ε

σ

ε

σ

ε2

0r

F====σσσσ

0

0

r

rr minusminusminusminus====εεεε

0

0

0 0

0

0

20 1

rr

rr

rr dr

dF

r

r

rrd

r

Fd

d

dE

====

====

====

====minusminusminusminus

========εεεε

σσσσ

Dalla definizione di modulo elastico ricordando le relazioni trovate in precedenza

si puograve scrivere

e quindi

bUr

nmE

30

====

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

4143410W

3042610Mo

2101538Fe

2091453Ni

1271085Cu

791064Au

72962Ag

70660Al

455650Mg

14327Pb

Modulo di Young (Gpa)

Temperatura di fusione

(degC)Metallo

Quindi tanto maggiore egrave lrsquoenergia di legame e quanto minore egrave la distanza

interatomica quanto maggiore egrave il modulo elastico

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

0A

F====σσσσ

0

0

l

ll minusminusminusminus====εεεε

Costruzione della curva di trazione attraverso i seguenti parametri

Si ottiene la cosiddetta curva ldquoingegneristicardquo mostrata in figura

Sta effettivamente diminuendo lo sforzo sul provino

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

La sezione del provino diminuisce allrsquoaumentare della deformazione

Lo sforzo ingegneristico rimane invece ldquoancoratordquo alla sezione inizialehellip

Vi egrave la necessitagrave di passare alle cosiddette coordinate ldquovererdquo

)1ln(ln0

0

++++================ intintintintintintintint εεεεεεεεεεεεl

l

l

dld

l

l

t

(((( ))))100

0

0

++++================ εεεεσσσσσσσσl

l

A

F

A

A

A

F

A

Ft

In questa zona le relazioni utilizzate non sono piugrave valide

====rArrrArrrArrrArr====

0

000

l

l

A

AAllA

Dove si egrave fatto uso della relazione

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

Per concludere la curva si fa uso di un dato post-trazione la riduzione drsquoarea

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

- A partire dalla riduzione drsquoarea a rottura si calcola lrsquoallungamento che il provino avrebbe se lrsquoallungamento fosse stato uniforme

- Si considera poi lo sforzo calcolato rispetto allrsquoarea a rottura

- La curva si fa procedere linearmente fino al punto di rottura

- Si idenifica il punto finale della curva

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione

In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile

intintintintintintintint sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========

2

1

2

1

εεεε

εεεε

εεεεσσσσ dlAFdlW

l

l

intintintint sdotsdotsdotsdot====

2

1

εεεε

εεεε

εεεεσσσσ dV

WrArr

Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo

Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale

Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)

Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico

Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost

Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura

I = Rm timestimestimestimes A

Prova di Trazione

Indice di Qualitagrave

Indice di Qualitagrave di acciai per auto

I = 5 divide 20 GPa

I = 50 divide 70 GPa

I = 30 divide 45 GPa

Prova di Trazione

Materiali per Auto

Punto di massimo della curva di trazione

Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la

deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione

Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata

rArr dF = 0

Dato che F=σσσσA possiamo scrivere

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ

σσσσ

σσσσd

A

dAminusminusminusminus====Al punto di massimo si avragrave allora

Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha

εεεεdl

dl

A

dAcioegraveAdlldAlAddVdV minusminusminusminus====minusminusminusminus========++++====sdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArr==== 0)(0

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione

εεεεσσσσ

σσσσd

d==== σσσσ

εεεε

σσσσ====

d

d

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)

Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione

Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione

ComportamentoElasto ndash plastico incrudente

ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo

nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon

K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento

εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====

nd

d====

εεεε

σσσσ

ln

ln

La relazione si puograve riscrivere come

Da cui deriva

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon

Scale logaritmiche

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione

DUTTILITArsquo

utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε

σσσσ====

d

d

si ottiene

1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk

d

dk εεεε

εεεε

σσσσεεεεσσσσ

nn knkd

dεεεεεεεεσσσσ

εεεε

σσσσsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotrArrrArrrArrrArr====

minusminusminusminus1

un εεεε====rArrrArrrArrrArr

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

RESISTENZA

Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n

εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(

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++++====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot==== intintintintintintintint

nn

nn

nn

kdkd

V

Wεεεεεεεεεεεεσσσσ

TENACITArsquo

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio

Alcuni esempi

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

00 rrd

d

d

dE

==

==ε

σ

ε

σ

ε2

0r

F====σσσσ

0

0

r

rr minusminusminusminus====εεεε

0

0

0 0

0

0

20 1

rr

rr

rr dr

dF

r

r

rrd

r

Fd

d

dE

====

====

====

====minusminusminusminus

========εεεε

σσσσ

Dalla definizione di modulo elastico ricordando le relazioni trovate in precedenza

si puograve scrivere

e quindi

bUr

nmE

30

====

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

4143410W

3042610Mo

2101538Fe

2091453Ni

1271085Cu

791064Au

72962Ag

70660Al

455650Mg

14327Pb

Modulo di Young (Gpa)

Temperatura di fusione

(degC)Metallo

Quindi tanto maggiore egrave lrsquoenergia di legame e quanto minore egrave la distanza

interatomica quanto maggiore egrave il modulo elastico

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

0A

F====σσσσ

0

0

l

ll minusminusminusminus====εεεε

Costruzione della curva di trazione attraverso i seguenti parametri

Si ottiene la cosiddetta curva ldquoingegneristicardquo mostrata in figura

Sta effettivamente diminuendo lo sforzo sul provino

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

La sezione del provino diminuisce allrsquoaumentare della deformazione

Lo sforzo ingegneristico rimane invece ldquoancoratordquo alla sezione inizialehellip

Vi egrave la necessitagrave di passare alle cosiddette coordinate ldquovererdquo

)1ln(ln0

0

++++================ intintintintintintintint εεεεεεεεεεεεl

l

l

dld

l

l

t

(((( ))))100

0

0

++++================ εεεεσσσσσσσσl

l

A

F

A

A

A

F

A

Ft

In questa zona le relazioni utilizzate non sono piugrave valide

====rArrrArrrArrrArr====

0

000

l

l

A

AAllA

Dove si egrave fatto uso della relazione

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

Per concludere la curva si fa uso di un dato post-trazione la riduzione drsquoarea

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

- A partire dalla riduzione drsquoarea a rottura si calcola lrsquoallungamento che il provino avrebbe se lrsquoallungamento fosse stato uniforme

- Si considera poi lo sforzo calcolato rispetto allrsquoarea a rottura

- La curva si fa procedere linearmente fino al punto di rottura

- Si idenifica il punto finale della curva

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione

In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile

intintintintintintintint sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========

2

1

2

1

εεεε

εεεε

εεεεσσσσ dlAFdlW

l

l

intintintint sdotsdotsdotsdot====

2

1

εεεε

εεεε

εεεεσσσσ dV

WrArr

Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo

Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale

Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)

Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico

Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost

Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura

I = Rm timestimestimestimes A

Prova di Trazione

Indice di Qualitagrave

Indice di Qualitagrave di acciai per auto

I = 5 divide 20 GPa

I = 50 divide 70 GPa

I = 30 divide 45 GPa

Prova di Trazione

Materiali per Auto

Punto di massimo della curva di trazione

Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la

deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione

Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata

rArr dF = 0

Dato che F=σσσσA possiamo scrivere

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ

σσσσ

σσσσd

A

dAminusminusminusminus====Al punto di massimo si avragrave allora

Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha

εεεεdl

dl

A

dAcioegraveAdlldAlAddVdV minusminusminusminus====minusminusminusminus========++++====sdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArr==== 0)(0

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione

εεεεσσσσ

σσσσd

d==== σσσσ

εεεε

σσσσ====

d

d

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)

Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione

Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione

ComportamentoElasto ndash plastico incrudente

ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo

nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon

K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento

εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====

nd

d====

εεεε

σσσσ

ln

ln

La relazione si puograve riscrivere come

Da cui deriva

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon

Scale logaritmiche

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione

DUTTILITArsquo

utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε

σσσσ====

d

d

si ottiene

1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk

d

dk εεεε

εεεε

σσσσεεεεσσσσ

nn knkd

dεεεεεεεεσσσσ

εεεε

σσσσsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotrArrrArrrArrrArr====

minusminusminusminus1

un εεεε====rArrrArrrArrrArr

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

RESISTENZA

Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n

εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(

nnn

nrottura

e

nkenke

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minusminusminusminus

εεεε

εεεεσσσσσσσσ

1

001

++++

++++====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot==== intintintintintintintint

nn

nn

nn

kdkd

V

Wεεεεεεεεεεεεσσσσ

TENACITArsquo

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio

Alcuni esempi

Prova di Trazione

Qualche approfondimento sul Modulo Elastico

4143410W

3042610Mo

2101538Fe

2091453Ni

1271085Cu

791064Au

72962Ag

70660Al

455650Mg

14327Pb

Modulo di Young (Gpa)

Temperatura di fusione

(degC)Metallo

Quindi tanto maggiore egrave lrsquoenergia di legame e quanto minore egrave la distanza

interatomica quanto maggiore egrave il modulo elastico

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

0A

F====σσσσ

0

0

l

ll minusminusminusminus====εεεε

Costruzione della curva di trazione attraverso i seguenti parametri

Si ottiene la cosiddetta curva ldquoingegneristicardquo mostrata in figura

Sta effettivamente diminuendo lo sforzo sul provino

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

La sezione del provino diminuisce allrsquoaumentare della deformazione

Lo sforzo ingegneristico rimane invece ldquoancoratordquo alla sezione inizialehellip

Vi egrave la necessitagrave di passare alle cosiddette coordinate ldquovererdquo

)1ln(ln0

0

++++================ intintintintintintintint εεεεεεεεεεεεl

l

l

dld

l

l

t

(((( ))))100

0

0

++++================ εεεεσσσσσσσσl

l

A

F

A

A

A

F

A

Ft

In questa zona le relazioni utilizzate non sono piugrave valide

====rArrrArrrArrrArr====

0

000

l

l

A

AAllA

Dove si egrave fatto uso della relazione

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

Per concludere la curva si fa uso di un dato post-trazione la riduzione drsquoarea

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

- A partire dalla riduzione drsquoarea a rottura si calcola lrsquoallungamento che il provino avrebbe se lrsquoallungamento fosse stato uniforme

- Si considera poi lo sforzo calcolato rispetto allrsquoarea a rottura

- La curva si fa procedere linearmente fino al punto di rottura

- Si idenifica il punto finale della curva

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione

In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile

intintintintintintintint sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========

2

1

2

1

εεεε

εεεε

εεεεσσσσ dlAFdlW

l

l

intintintint sdotsdotsdotsdot====

2

1

εεεε

εεεε

εεεεσσσσ dV

WrArr

Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo

Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale

Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)

Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico

Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost

Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura

I = Rm timestimestimestimes A

Prova di Trazione

Indice di Qualitagrave

Indice di Qualitagrave di acciai per auto

I = 5 divide 20 GPa

I = 50 divide 70 GPa

I = 30 divide 45 GPa

Prova di Trazione

Materiali per Auto

Punto di massimo della curva di trazione

Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la

deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione

Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata

rArr dF = 0

Dato che F=σσσσA possiamo scrivere

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ

σσσσ

σσσσd

A

dAminusminusminusminus====Al punto di massimo si avragrave allora

Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha

εεεεdl

dl

A

dAcioegraveAdlldAlAddVdV minusminusminusminus====minusminusminusminus========++++====sdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArr==== 0)(0

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione

εεεεσσσσ

σσσσd

d==== σσσσ

εεεε

σσσσ====

d

d

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)

Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione

Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione

ComportamentoElasto ndash plastico incrudente

ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo

nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon

K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento

εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====

nd

d====

εεεε

σσσσ

ln

ln

La relazione si puograve riscrivere come

Da cui deriva

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon

Scale logaritmiche

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione

DUTTILITArsquo

utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε

σσσσ====

d

d

si ottiene

1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk

d

dk εεεε

εεεε

σσσσεεεεσσσσ

nn knkd

dεεεεεεεεσσσσ

εεεε

σσσσsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotrArrrArrrArrrArr====

minusminusminusminus1

un εεεε====rArrrArrrArrrArr

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

RESISTENZA

Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n

εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(

nnn

nrottura

e

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1

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nn

nn

nn

kdkd

V

Wεεεεεεεεεεεεσσσσ

TENACITArsquo

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio

Alcuni esempi

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

0A

F====σσσσ

0

0

l

ll minusminusminusminus====εεεε

Costruzione della curva di trazione attraverso i seguenti parametri

Si ottiene la cosiddetta curva ldquoingegneristicardquo mostrata in figura

Sta effettivamente diminuendo lo sforzo sul provino

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

La sezione del provino diminuisce allrsquoaumentare della deformazione

Lo sforzo ingegneristico rimane invece ldquoancoratordquo alla sezione inizialehellip

Vi egrave la necessitagrave di passare alle cosiddette coordinate ldquovererdquo

)1ln(ln0

0

++++================ intintintintintintintint εεεεεεεεεεεεl

l

l

dld

l

l

t

(((( ))))100

0

0

++++================ εεεεσσσσσσσσl

l

A

F

A

A

A

F

A

Ft

In questa zona le relazioni utilizzate non sono piugrave valide

====rArrrArrrArrrArr====

0

000

l

l

A

AAllA

Dove si egrave fatto uso della relazione

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

Per concludere la curva si fa uso di un dato post-trazione la riduzione drsquoarea

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

- A partire dalla riduzione drsquoarea a rottura si calcola lrsquoallungamento che il provino avrebbe se lrsquoallungamento fosse stato uniforme

- Si considera poi lo sforzo calcolato rispetto allrsquoarea a rottura

- La curva si fa procedere linearmente fino al punto di rottura

- Si idenifica il punto finale della curva

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione

In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile

intintintintintintintint sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========

2

1

2

1

εεεε

εεεε

εεεεσσσσ dlAFdlW

l

l

intintintint sdotsdotsdotsdot====

2

1

εεεε

εεεε

εεεεσσσσ dV

WrArr

Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo

Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale

Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)

Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico

Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost

Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura

I = Rm timestimestimestimes A

Prova di Trazione

Indice di Qualitagrave

Indice di Qualitagrave di acciai per auto

I = 5 divide 20 GPa

I = 50 divide 70 GPa

I = 30 divide 45 GPa

Prova di Trazione

Materiali per Auto

Punto di massimo della curva di trazione

Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la

deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione

Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata

rArr dF = 0

Dato che F=σσσσA possiamo scrivere

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ

σσσσ

σσσσd

A

dAminusminusminusminus====Al punto di massimo si avragrave allora

Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha

εεεεdl

dl

A

dAcioegraveAdlldAlAddVdV minusminusminusminus====minusminusminusminus========++++====sdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArr==== 0)(0

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione

εεεεσσσσ

σσσσd

d==== σσσσ

εεεε

σσσσ====

d

d

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)

Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione

Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione

ComportamentoElasto ndash plastico incrudente

ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo

nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon

K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento

εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====

nd

d====

εεεε

σσσσ

ln

ln

La relazione si puograve riscrivere come

Da cui deriva

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon

Scale logaritmiche

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione

DUTTILITArsquo

utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε

σσσσ====

d

d

si ottiene

1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk

d

dk εεεε

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σσσσεεεεσσσσ

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εεεε

σσσσsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotrArrrArrrArrrArr====

minusminusminusminus1

un εεεε====rArrrArrrArrrArr

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

RESISTENZA

Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n

εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(

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minusminusminusminus

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1

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++++

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nn

nn

nn

kdkd

V

Wεεεεεεεεεεεεσσσσ

TENACITArsquo

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio

Alcuni esempi

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

La sezione del provino diminuisce allrsquoaumentare della deformazione

Lo sforzo ingegneristico rimane invece ldquoancoratordquo alla sezione inizialehellip

Vi egrave la necessitagrave di passare alle cosiddette coordinate ldquovererdquo

)1ln(ln0

0

++++================ intintintintintintintint εεεεεεεεεεεεl

l

l

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l

l

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0

0

++++================ εεεεσσσσσσσσl

l

A

F

A

A

A

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In questa zona le relazioni utilizzate non sono piugrave valide

====rArrrArrrArrrArr====

0

000

l

l

A

AAllA

Dove si egrave fatto uso della relazione

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

Per concludere la curva si fa uso di un dato post-trazione la riduzione drsquoarea

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

- A partire dalla riduzione drsquoarea a rottura si calcola lrsquoallungamento che il provino avrebbe se lrsquoallungamento fosse stato uniforme

- Si considera poi lo sforzo calcolato rispetto allrsquoarea a rottura

- La curva si fa procedere linearmente fino al punto di rottura

- Si idenifica il punto finale della curva

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione

In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile

intintintintintintintint sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========

2

1

2

1

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εεεε

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l

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2

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WrArr

Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo

Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale

Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)

Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico

Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost

Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura

I = Rm timestimestimestimes A

Prova di Trazione

Indice di Qualitagrave

Indice di Qualitagrave di acciai per auto

I = 5 divide 20 GPa

I = 50 divide 70 GPa

I = 30 divide 45 GPa

Prova di Trazione

Materiali per Auto

Punto di massimo della curva di trazione

Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la

deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione

Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata

rArr dF = 0

Dato che F=σσσσA possiamo scrivere

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ

σσσσ

σσσσd

A

dAminusminusminusminus====Al punto di massimo si avragrave allora

Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha

εεεεdl

dl

A

dAcioegraveAdlldAlAddVdV minusminusminusminus====minusminusminusminus========++++====sdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArr==== 0)(0

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione

εεεεσσσσ

σσσσd

d==== σσσσ

εεεε

σσσσ====

d

d

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)

Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione

Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione

ComportamentoElasto ndash plastico incrudente

ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo

nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon

K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento

εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====

nd

d====

εεεε

σσσσ

ln

ln

La relazione si puograve riscrivere come

Da cui deriva

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon

Scale logaritmiche

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione

DUTTILITArsquo

utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε

σσσσ====

d

d

si ottiene

1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk

d

dk εεεε

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σσσσεεεεσσσσ

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dεεεεεεεεσσσσ

εεεε

σσσσsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotrArrrArrrArrrArr====

minusminusminusminus1

un εεεε====rArrrArrrArrrArr

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

RESISTENZA

Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n

εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(

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nn

nn

nn

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V

Wεεεεεεεεεεεεσσσσ

TENACITArsquo

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio

Alcuni esempi

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

Per concludere la curva si fa uso di un dato post-trazione la riduzione drsquoarea

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

- A partire dalla riduzione drsquoarea a rottura si calcola lrsquoallungamento che il provino avrebbe se lrsquoallungamento fosse stato uniforme

- Si considera poi lo sforzo calcolato rispetto allrsquoarea a rottura

- La curva si fa procedere linearmente fino al punto di rottura

- Si idenifica il punto finale della curva

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione

In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile

intintintintintintintint sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========

2

1

2

1

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Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo

Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale

Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)

Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico

Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost

Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura

I = Rm timestimestimestimes A

Prova di Trazione

Indice di Qualitagrave

Indice di Qualitagrave di acciai per auto

I = 5 divide 20 GPa

I = 50 divide 70 GPa

I = 30 divide 45 GPa

Prova di Trazione

Materiali per Auto

Punto di massimo della curva di trazione

Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la

deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione

Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata

rArr dF = 0

Dato che F=σσσσA possiamo scrivere

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ

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A

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Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha

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Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione

εεεεσσσσ

σσσσd

d==== σσσσ

εεεε

σσσσ====

d

d

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)

Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione

Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione

ComportamentoElasto ndash plastico incrudente

ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo

nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon

K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento

εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====

nd

d====

εεεε

σσσσ

ln

ln

La relazione si puograve riscrivere come

Da cui deriva

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon

Scale logaritmiche

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione

DUTTILITArsquo

utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε

σσσσ====

d

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Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

RESISTENZA

Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n

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nn

nn

nn

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V

Wεεεεεεεεεεεεσσσσ

TENACITArsquo

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio

Alcuni esempi

Prova di Trazione

Curva di trazione ldquoverardquo

- A partire dalla riduzione drsquoarea a rottura si calcola lrsquoallungamento che il provino avrebbe se lrsquoallungamento fosse stato uniforme

- Si considera poi lo sforzo calcolato rispetto allrsquoarea a rottura

- La curva si fa procedere linearmente fino al punto di rottura

- Si idenifica il punto finale della curva

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione

In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile

intintintintintintintint sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot========

2

1

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1

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2

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WrArr

Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo

Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale

Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)

Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico

Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost

Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura

I = Rm timestimestimestimes A

Prova di Trazione

Indice di Qualitagrave

Indice di Qualitagrave di acciai per auto

I = 5 divide 20 GPa

I = 50 divide 70 GPa

I = 30 divide 45 GPa

Prova di Trazione

Materiali per Auto

Punto di massimo della curva di trazione

Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la

deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione

Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata

rArr dF = 0

Dato che F=σσσσA possiamo scrivere

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ

σσσσ

σσσσd

A

dAminusminusminusminus====Al punto di massimo si avragrave allora

Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha

εεεεdl

dl

A

dAcioegraveAdlldAlAddVdV minusminusminusminus====minusminusminusminus========++++====sdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArr==== 0)(0

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione

εεεεσσσσ

σσσσd

d==== σσσσ

εεεε

σσσσ====

d

d

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)

Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione

Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione

ComportamentoElasto ndash plastico incrudente

ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo

nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon

K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento

εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====

nd

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εεεε

σσσσ

ln

ln

La relazione si puograve riscrivere come

Da cui deriva

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon

Scale logaritmiche

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione

DUTTILITArsquo

utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε

σσσσ====

d

d

si ottiene

1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk

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Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

RESISTENZA

Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n

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TENACITArsquo

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio

Alcuni esempi

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

Abbiamo definito la tenacitagrave come lrsquoenergia necessaria per portare a rottura il provino e lrsquoabbiamo correlata con lrsquoarea sottesa dalla curva di trazione

In realtagrave ciograve egrave valido per la curva di trazione ldquoverardquo mentre nel caso di curva ingegneristica questa egrave solo la migliore approssimazione possibile

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WrArr

Ci stiamo riferendo agrandezze ldquovererdquo

Data la grande dipendenza della tenacitagrave da geometria del provino e modalitagrave di applicazione del carico lrsquoutilizzo dellrsquoarea sottesa dalla curva ldquoingegneristicardquo egrave comunque utile a fare confronti fra classi di acciai diverse o fra acciai diversi appartenenti alla stessa classe

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale

Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)

Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico

Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost

Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura

I = Rm timestimestimestimes A

Prova di Trazione

Indice di Qualitagrave

Indice di Qualitagrave di acciai per auto

I = 5 divide 20 GPa

I = 50 divide 70 GPa

I = 30 divide 45 GPa

Prova di Trazione

Materiali per Auto

Punto di massimo della curva di trazione

Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la

deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione

Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata

rArr dF = 0

Dato che F=σσσσA possiamo scrivere

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ

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Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione

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Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)

Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione

Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione

ComportamentoElasto ndash plastico incrudente

ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo

nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon

K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento

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La relazione si puograve riscrivere come

Da cui deriva

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon

Scale logaritmiche

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione

DUTTILITArsquo

utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε

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Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

RESISTENZA

Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n

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TENACITArsquo

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio

Alcuni esempi

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Tenacitagrave

La Tenacitagrave contiene in seacute sia la Resistenza che la Duttilitagrave del materiale

Queste due grandezze non sono perograve quasi mai scorrelate e al crescere di una solitamente decresce lrsquoaltra (almeno per acciai appartenenti ad una stessa classe)

Se si grafica infatti il carico di rottura in funzione dellrsquoallungamento a rottura per numerosi acciai di una stessa classe si troveragrave un andamento grosso modo iperbolico

Vale allora la relazione Rsdotsdotsdotsdotd = cost

Si definisce quindi ldquoIndice di Qualitagraverdquo il prodotto di Carico di Rottura e Allungamento a rottura

I = Rm timestimestimestimes A

Prova di Trazione

Indice di Qualitagrave

Indice di Qualitagrave di acciai per auto

I = 5 divide 20 GPa

I = 50 divide 70 GPa

I = 30 divide 45 GPa

Prova di Trazione

Materiali per Auto

Punto di massimo della curva di trazione

Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la

deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione

Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata

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Dato che F=σσσσA possiamo scrivere

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

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Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)

Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione

Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione

ComportamentoElasto ndash plastico incrudente

ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo

nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon

K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento

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La relazione si puograve riscrivere come

Da cui deriva

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon

Scale logaritmiche

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione

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utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε

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Analisi dellrsquoIncrudimento

RESISTENZA

Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n

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TENACITArsquo

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio

Alcuni esempi

Prova di Trazione

Indice di Qualitagrave

Indice di Qualitagrave di acciai per auto

I = 5 divide 20 GPa

I = 50 divide 70 GPa

I = 30 divide 45 GPa

Prova di Trazione

Materiali per Auto

Punto di massimo della curva di trazione

Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la

deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione

Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata

rArr dF = 0

Dato che F=σσσσA possiamo scrivere

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

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Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione

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Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)

Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione

Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione

ComportamentoElasto ndash plastico incrudente

ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo

nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon

K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento

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La relazione si puograve riscrivere come

Da cui deriva

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon

Scale logaritmiche

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione

DUTTILITArsquo

utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε

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Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio

Alcuni esempi

Prova di Trazione

Materiali per Auto

Punto di massimo della curva di trazione

Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la

deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione

Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata

rArr dF = 0

Dato che F=σσσσA possiamo scrivere

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

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Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

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Analisi dellrsquoIncrudimento

(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)

Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione

Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione

ComportamentoElasto ndash plastico incrudente

ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo

nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon

K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento

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nd

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ln

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La relazione si puograve riscrivere come

Da cui deriva

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon

Scale logaritmiche

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione

DUTTILITArsquo

utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε

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Analisi dellrsquoIncrudimento

RESISTENZA

Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n

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TENACITArsquo

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio

Alcuni esempi

Punto di massimo della curva di trazione

Risultato di due forze concorrenti- lrsquoincrudimento del materiale (lrsquoaumento dello sforzo per aumentare la

deformazione)- la diminuzione dellrsquoarea resistente del provino dovuta alla sua strizione

Da ciograve Considere propose che la strizione iniziasse al punto di massima forza applicata

rArr dF = 0

Dato che F=σσσσA possiamo scrivere

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

0)( ====++++====sdotsdotsdotsdot==== dAAdAddF σσσσσσσσσσσσ

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A

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Considerando che il volume rimane costante durante la deformazione plastica uniforme si ha

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Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione

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Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)

Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione

Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione

ComportamentoElasto ndash plastico incrudente

ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo

nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon

K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento

εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====

nd

d====

εεεε

σσσσ

ln

ln

La relazione si puograve riscrivere come

Da cui deriva

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon

Scale logaritmiche

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione

DUTTILITArsquo

utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε

σσσσ====

d

d

si ottiene

1minusminusminusminussdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====nn nk

d

dk εεεε

εεεε

σσσσεεεεσσσσ

nn knkd

dεεεεεεεεσσσσ

εεεε

σσσσsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotrArrrArrrArrrArr====

minusminusminusminus1

un εεεε====rArrrArrrArrrArr

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

RESISTENZA

Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n

εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(

nnn

nrottura

e

nkenke

sdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot====

minusminusminusminus

====

minusminusminusminus

εεεε

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1

001

++++

++++====sdotsdotsdotsdotsdotsdotsdotsdot====sdotsdotsdotsdot==== intintintintintintintint

nn

nn

nn

kdkd

V

Wεεεεεεεεεεεεσσσσ

TENACITArsquo

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio

Alcuni esempi

Prova di Trazione

Alcune considerazioni sulla Curva di Trazione ldquoverardquo

Si arriva quindi ad enunciare il ldquoCriterio di Considererdquo per la determinaizone del punto di strizione

εεεεσσσσ

σσσσd

d==== σσσσ

εεεε

σσσσ====

d

d

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)

Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione

Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione

ComportamentoElasto ndash plastico incrudente

ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo

nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon

K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento

εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====

nd

d====

εεεε

σσσσ

ln

ln

La relazione si puograve riscrivere come

Da cui deriva

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon

Scale logaritmiche

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione

DUTTILITArsquo

utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε

σσσσ====

d

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si ottiene

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Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

RESISTENZA

Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n

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V

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TENACITArsquo

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio

Alcuni esempi

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

(Fondamentale in tutti i settori industriali in cui egrave necessario prevedere il comportamento plastico dei materiali ad es stampaggio di lamiere nellrsquoindustria automobilistica)

Si definisce IncrudimentoIncrudimento lrsquoaumento dello sforzo necessario per aumentare la deformazione

Questa egrave una caratteristica dei materiali metallici non tutti i materiali presentano infatti fasi di incrudimento nella loro curva di trazione

ComportamentoElasto ndash plastico incrudente

ComportamentoElastico ndash perfettamente plastico

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo

nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon

K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento

εεεεεεεεσσσσ lnlnlnlnln nkk n ++++====++++====

nd

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εεεε

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La relazione si puograve riscrivere come

Da cui deriva

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon

Scale logaritmiche

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione

DUTTILITArsquo

utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε

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Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

RESISTENZA

Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n

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Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio

Alcuni esempi

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Si puograve approssimare la curva di trazione con una relazione del tipo

nk εεεεσσσσ sdotsdotsdotsdot====Detta Legge di Hollomon

K coefficiente di resistenzan coefficiente di incrudimento

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La relazione si puograve riscrivere come

Da cui deriva

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon

Scale logaritmiche

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione

DUTTILITArsquo

utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε

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Analisi dellrsquoIncrudimento

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Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n

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Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio

Alcuni esempi

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Esempio di curva interpolata utilizzando la Legge di Hollomon

Scale logaritmiche

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione

DUTTILITArsquo

utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε

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Analisi dellrsquoIncrudimento

Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio

Alcuni esempi

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Tramite i parametri della Legge di Hollomon egrave possibile ricavare tutte le grandezze caratteristiche della curva di trazione

DUTTILITArsquo

utilizzando la condizione di Considere σσσσεεεε

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Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n

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Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio

Alcuni esempi

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

RESISTENZA

Carico di rottura corrisponde allo sforzo alla strizione quando ε ε ε ε = n

εεεεεεεε σσσσσσσσσσσσεεεεσσσσσσσσ minusminusminusminussdotsdotsdotsdot====rArrrArrrArrrArrsdotsdotsdotsdot====++++==== ee inginginging )1(

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TENACITArsquo

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio

Alcuni esempi

Prova di Trazione

Analisi dellrsquoIncrudimento

Logicamente il modello di Hollomon non egrave lrsquounico che possa essere utilizzato Sono tanti i modelli teorici empirici o semiempirici che possono essere scelti per la modellazione della deformazione plastica di un acciaio

Alcuni esempi