pylone

1

DIMENSIONNEMENT DES STRUCTURES

MODULE F312

OBJECTIFS

• Comprendre et effectuer• Un calcul de dimensionnement• Un contrôle en rigidité ou en résistance

• Maitriser la démarche de calcul d’une structure• du point de vue cinématique (calcul des déformées)• du point de vue mécanique (calcul des contraintes)

• Analyser un état de déformation et de contrainte• Utiliser et comprendre les critères de résistances élastiques• Choisir un coefficient de sécurité• …

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Comportement sous chargement d’une structure

Dimensionnementen rigidité

Dimensionnementen résistance

Mécanicien concepteur

Déplacements inferieurs à des limitesfixées par le cahier des charges

Intégrité de la structure sous les sollicitations appliquées

• Répartitions des contraintes• Utilisation d’un Critère de résistance• Comparaison avec les performances possibles du matériau

constituant la structure

Dimensionnementen rigidité

Dimensionnementen résistance

PYLONE SUPPORTANT DES ANTENNES

La structure devra résister à la ruine

L’angle de dépointage des antennes doit rester inferieur à un seuil

3

1. DEFORMATIONS

2. CONTRAINTES

3. CRITERES DE RESISTANCES

4. LOIS DE COMPORTEMENT

PLAN DU COURS

Semaine 0

Semaines 3,5 et 9

Semaine 11

Semaine 13

1. INTRODUCTION

2. DEPLACEMENT ET DEFORMATION D’UN DOMAINE ELEMENTAIRE

3. INTERPRETATION DE LA DECOMPOSITION DU DEPLACEMENT

4. ETUDE DE LA MATRICE DE DEFORMATION

5. ELEMENTS PRINCIPAUX

6. EXTENSOMETRIE

CHAPITRE 1 : DEFORMATIONS

4

1. INTRODUCTION

• Comparaison d’une configuration « initiale » et d’une configuration « finale »

Instant initial Instant final

Action de forces extérieures

• Effort• Gradient de température

Déplacement de chacun des points du corps

NOTION DE DEFORMATION

1. INTRODUCTION

• Mouvements de corps rigide (translation, rotation)

• Mouvements relatifs d’un point par rapport à un autre point du même corps

Conservation des distances et des angles

Pas de modifications des distances mutuelles entre différents points du corps

AB

C A

B

C

A BC

Déformations du corps

NOTION DE DEFORMATION

5

1. INTRODUCTION





6. EXTENSOMETRIE



x

y

z

• Une particule P du solide S occupe à l’instant initial, une position P0 (x0,y0,z0)

• Apres chargement, à l’instant final, la particule occupe une position P1 (x1,y1,z1)

Etat initial

Etat final

Chargement

P0 P1

Le vecteur déplacement du point P

est une fonction vectorielle des 3

coordonnées initiales x,y et z du point P

6


• Hypothèses des petits déplacements

Le déplacement est petit : 1% de la plus grande dimension du solide

Le vecteur déplacement du point P est tangent à la trajectoire

• Hypothèses des petites déformations

Les dérivées partielles du déplacement par rapport aux variables x,y et zsont faibles :

HYPOTHESES :


x

y

z

• Une particule Q très voisine de la particule P occupe

Etat initial

Etat final

Chargement

P0 P1

Q0Q1

La différentielle de déplacement

provient de l’éloignement entrePo et Qo

entre et

A l’instant initial, une position Q0 (x0+dx,y0+dy,z0+dz)

A l’instant final, une position Q1

7


P0 P1

Q0Q1

• Les composantes du vecteur déplacement Q0Q1 sont :

RAPPEL


P0 P1

Q0Q1

Matriciellement,

Soit :

8


P0 P1

Q0Q1

MATRICE DE TRANSFORMATION


LA MATRICE T EST A COEFFICIENTS REELS

ELLE SE DECOMPOSE DE MANIERE UNIQUE EN LA SOMME :

D’UNE MATRICE SYMETRIQUED’UNE MATRICE ANTISYMETRIQUE

Matrice Symétrique Matrice Antisymétrique

9


P0 P1

Q0Q1

1 2 3

1. INTRODUCTION





6. EXTENSOMETRIE


10


P0 P1

Q0 Q1

TRANSLATION D’ENSEMBLE DES POINTS P ET Q

AUCUNE DEFORMATION

PREMIER TERME


P0 P1

Q0 Q1

TROISIEME TERME

11



RELATION DU TYPE :

TROISIEME TERME

12


EN POSANT :


P0 P1

Q0 Q1

ON PASSE DE Q0 A Q1 PAR UNE ROTATION

AUTOUR DE P0

D’ANGLE :

TROISIEME TERME

13


P0 P1

Q0 Q1

LES TERMES

N’INTRODUISENT PAS DE DEFORMATION DU MILIEU AUTOUR DE Po

SEUL LE SECOND TERME PEUT DEFORMER LE MILIEU


P0 P1

Q0 Q1

On note :

Matrice symétrique

SECOND TERME

14


Composante i du vecteur déplacement

J ème variable

RELATION DEPLACEMENTS-DEFORMATIONS


15


P0

Q0

P1

Q1

LA PETITE TRANSFORMATION DE P0Q0 EN P1Q1 EST LA SOMME

• D’UNE TRANSLATION• D’UNE ROTATION• D’UNE DEFORMATION

L’ORDRE DANS LEQUEL S’EFFECTUELES TRANSFORMATIONS N’INTERVIENT PAS

1. INTRODUCTION





6. EXTENSOMETRIE


16


P0xy

z

On se place dans le repère (P0,x,y,z) entrainé dans la translation et la rotation

Par rapport à ce repère, P0P1 et w sont nuls

4. ETUDE DE LA MATRICE DE DEFORMATION : TERMES DIAGONAUX

ON CONSIDERE LA MATRICE

SOIT Q0 UN POINT VOISIN DE P0, Q0 SUR L’AXE [P0,X]

xdx

P0 Q0

17


x

P0 Q0 Q1

LE POINT Q0 SE DEPLACE DE SUR L’AXE

Q0 Q1


x

P0 Q0 Q1

TRADUIT L’ALLONGEMENT RELATIF DANS LA DIRECTION X

TRADUIT L’ALLONGEMENT RELATIF DANS LA DIRECTION Y

TRADUIT L’ALLONGEMENT REXLATIF DANS LA DIRECTION Z

DE MEME

(DILATATION LINEAIRE UNITAIRE SUIVANT L’AXE X, SANS DIMENSION)

18


?VARIATIONS DE

LONGUEUR

4. ETUDE DE LA MATRICE DE DEFORMATION: TERMES NON DIAGONAUX

ON CONSIDERE LA MATRICE

xdxP0

Q0

SOIT Q0 ET R0 DEUX POINTS VOISINS DE P0,

Q0 SUR L’AXE [P0,X] A UNE DISTANCE dx DE P0

R0 SUR L’AXE [P0,X] A UNE DISTANCE dy DE P0

R0

dy

19


LES VECTEURS DEPLACEMENT DE Q0 ET R0 SONT :

LE POINT Q0 SE DEPLACE DE SUR L’AXE DES y

LE POINT R0 SE DEPLACE DE SUR L’AXE DES x


P0 Q0

Q1

R0R1

L’angle initialement droit , vaut après déformation

traduit la demi-distorsion de l’angle initialement droit

x

y

DISTORSION

20


VARIATIONS DE LONGUEUR

DISTORSION ANGULAIRE


Allongement relatif et glissement dans une direction quelconque

21


Allongement relatif et glissement dans une direction quelconque

4. ETUDE DE LA MATRICE DE DEFORMATION : DEFORMATION D’UN CUBE

x

y

z

P

A

B

C

G

D

E

F

Cube unitaireinfiniment petitCOTE PA DU CUBE

A A’

22

4. ETUDE DE LA MATRICE DE DEFORMATION : DEFORMATION D’UN CUBE

x

y

z

P

A

B

C

G

D

E

F

Cube unitaireinfiniment petitCOTE PA DU CUBE

A A’

PA’

A’


CUBE PARRALLELEPIPEDE A FACE OBLIQUE

23


1. INTRODUCTION





6. EXTENSOMETRIE


24


0P 0Q0h

1Q

[ ] [ ] [ ]0000hh T

hh ⋅⋅= εε

[ ] [ ] [ ]0000ht T

ht ⋅⋅= εε

0P 0Q0h0t

1Q0t

?Distorsion nulle, uniquement une variation de longueur


25

5. ELEMENTS PRINCIPAUX : DEFORMATIONS PRINCIPALES

CALCUL DES VALEURS PROPRES

(Equation caractéristique)

(Polynôme de degré 3)

Déformationsprincipales

5. ELEMENTS PRINCIPAUX : DIRECTIONS PRINCIPALES

CALCUL DES VECTEURS PROPRES

Directionsprincipales

26


ECRITURE DE LA MATRICE DES DEFORMATIONS DANS UN REPERE PRINCIPAL

Dans un repère principal, un cube de coté unitése transforme en parallélépipède a facesrectangulaires


Cas particulier où une direction principale est connue a priori

IIIXz =

IIXIX

ϕ

x

y

27

1. INTRODUCTION





6. EXTENSOMETRIE


5. EXTENSOMETRIE

Mesure de l’état de déformationà la surface d’un corpsP

x

y

z

28

5. EXTENSOMETRIEMesure de l’état de déformation

à la surface d’un corps

Px

y

z

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

zz

yy

xy

xy

xx

zyxε

εε

εε

ε 00

00,,

Mesure directe

Mesure indirecte

Calculé avec la loi de comportement (Hooke)

3 variables indépendantes

5. EXTENSOMETRIE

29

5. EXTENSOMETRIE

*+

*

5. EXTENSOMETRIEMesure de l’état de déformation

à la surface d’un corps

Px

y

z

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

zz

yy

xy

xy

xx

zyxε

εε

εε

ε 00

00,,

Mesure directe

Mesure indirecte

Calculé avec la loi de comportement (Hooke)

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