ÉQUATIONS CARTÉSIENNES DES CONIQUES

Picchione Serge 2016-2017 / AM_OS

ÉQUATIONS CARTÉSIENNES DES CONIQUES

Table des matières

1.1 Rappels de géométrie analytique 1

1.2 Introduction aux coniques 5

1.3 L’ellipse 6

1.4 La parabole 19

1.5 L’hyperbole 25

1.6 Annexes 37

1.7 Corrections des exercices 49

Picchione Serge 2016-2017 / AM_OS

________________________________________________________________________________P.S. / 2016-2017 1 Équations cartésiennes des coniques / AM_OS

Avant Descartes, la mesure des angles , et ainsi que la longueur des côtés a, b et c étaient les seuls nombres de cette figure géométrique.

Après Descartes, les points du plan (ici les sommets du triangle) sont associés à des couples de nombres réels.

1 Équations cartésiennes des coniques

1.1 Rappels de géométrie analytique

Définition

Dans le plan, un repère orthonormé est constitué d'un point O, nommé origine, et de deux axes orientés Ox et Oy, perpendiculaires, munis d'une même échelle. Un point A du plan peut alors être représenté par deux coordonnées a1 et a2, ce qu'on notera par A(a1;a2).

Illustration : Remarque

Le fait d'associer à chaque point du plan un couple de nombres réels permet d'appliquer l'algèbre aux problèmes de la géométrie. On attribue généralement à Descartes (1596-1650) la paternité de cette utilisation de l'algèbre en géométrie. On la nomme géométrie analytique. L’idée de base de la géométrie analytique est que les études géométriques peuvent être réalisées au moyen de calculs algébriques. On peut dire pour simplifier que c’est de la géométrie sans dessin !

0 a1 x

a2

y

A(a1;a2)

C

A

B

a

b

c

A

B

C

a

b

c

x b1 c1 a1 0

a2

b2

c2

y


Propositions Soient A(a1;a2) et B(b1;b2) deux points du plan.

a) La distance entre A et B est donnée par :

2 2

1 1 2 2A;B = AB = b a b a

b) Le point milieu M entre A et B est définit par la condition suivante :

M appartient au segment [AB] et A;M M ;B .

Ses coordonnées sont : 1 1 2 2AB

a b a bM ;

2 2

Exemple Soient A(1;3) et B(2;5) deux points du plan.

On a : 2 2A;B 2 1 5 3 9 4 13 et AB AB

1 2 5 3M ; M 0,5 ; 4

2 2

Démonstration Illustration a) Thm. de Pythagore ( rectangle)

2 2 2

1 1 2 2

2 2

1 1 2 2

A;B = b a b a

A;B = b a b a

b) Thm. de Thalès ( semblables) Illustration

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 1 11

1 1 1 1 2 2

2 2 2 22

2 2

A;M1 m a m a

2 A;B b a b a

1 m a a bm

2 b a 2 a b a bM ;

1 m a a b 2 2m

2 b a 2

0 a1 b1

a2

b2

A(a1;a2)

B(b1;b2)

b2 - a2

b1 - a1

0 a1 b1

a2

b2

A(a1;a2)

B(b1;b2)

M(m1;m2) m2

m1


2 1 1 2 3 4 5 6 7x

4

3

2

1

1

2

3

4

y

A

B

Exercice 1

Les points A(4;6), B(6 ;10), C(6;1) et D(1;7) pris dans cet ordre sont les sommets d’un quadrilatère ABCD et M, N, P et Q respectivement les points milieux des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA].

a) Calculer les coordonnées des points M, N, P et Q.

b) Calculer la longueur des côtés du quadrilatère MNPQ. Que constatez-vous ? Réponses en valeur exacte.

c) Représenter, à l’aide de GeoGebra, le quadrilatère ABCD et le quadrilatère MNPQ dans le même repère. Que constatez-vous ? Définition

Un cercle (gamma majuscule) est un ensemble de points P situés à une même distance d'un point donné. Le point donné est le centre C du cercle et la distance donnée le rayon r du cercle.

Proposition Soit P(x;y) un point appartenant au cercle de rayon r et de centre C(c1;c2).

2 2 21 2P x; y x c y c r Équation cartésienne du cercle

Démonstration Illustration :

2 2

1 2

2 2 21 2

P x;y

C;P = r

x c y c r

x c y c r ( Thm.de Pythagore )

Exemples

a) 2 2x 3 y 4 est l’équation d’un cercle

de centre C(3;0) et de rayon r = 2 car on peut écrire :

2 2 22 2x 3 y 4 x 3 y 0 2 .

2 2A 3; 2 car 3 3 2 4

2 2B 3;1 car 3 3 1 4

b) 2 2x y 4x 4 y 1 est l’équation d’un cercle de centre C(2;2) et de rayon r = 3

car on peut écrire 2 22 2 2x y 4x 4 y 1 x 2 y 2 3 .

c) 2 2x y 4 0 n’est pas l’équation d’un cercle car on peut écrire

2 22 2x y 4 0 x 0 y 0 4 et 2r 4 ce qui est impossible.

C

P

r

P r

0 c1 x

c2

y

C(c1;c2)

P(x;y)

r


Remarques

a) est un cercle de rayon r et de centre C(0;0) l'équation cartésienne de est 2 2 2x y r .

b)

2 2

2 2 2 2 2 f

2 2 Équation exp liciteÉquation implicite

Deux fonctions

f x r xx + y = r y r x D r;r

f x r x

Exercice 2

Soit un cercle d'équation 2 2x 3 y 2 36 .

a) Donner le centre et le rayon de .

b) Est-ce que A(2 ;4) appartient à ?

c) Trouver les coordonnées des points de ayant pour abscisse x = 2.

d) Trouver les coordonnées des points de ayant pour ordonnée y = 0.

e) Par calcul, déterminer si B(8;4) est dans la cercle ou en dehors du cercle .

Réponses en valeur exacte. Exercice 3

1) Déterminer l'équation cartésienne du cercle :

a) de centre C(4;2) et de rayon r = 8.

b) de centre C(4;2) et passant par le point P(1;3).

c) de centre C(5;6) et tangent à l'axe des x.

d) qui a pour diamètre le segment joignant les point A(5;1) et B(3;7) et passant pas ces points.

2) Pour chaque cercle, donner un point P appartenant à et un point Q n'appartenant pas à . Justifier.

3) Représenter, à l’aide de GeoGebra , les 4 cercles et leurs centres dans un même repère. Exercice 4

1) Si cela est possible, déterminer le centre C et le rayon r des cercles suivants :

a) 2 2: x y 25 0 b) 2 2: x y 36 0

c) 2 2: x y 4x 6 y 4 0 d) 2 2: x y 10 y 9 0

e) 2 2: x y 8x 6 y 0 f) 2 2: x y 4x 2 y 9 0

g) 2 2: 2x 2 y 2x 10 y 11 0 h) 2 2: 4x 4 y 4x 4 y 6 0

Indication : Il faut compléter les carrés !

2 2 2 2 2 2

2 2 2

x y 6 x 8 y 0 x 6 x y 8 y 0 x 6 x 9 y 8 y 16 9 16

x 3 y 4 5

3) Représenter, à l’aide de GeoGebra , les cercles et leurs centres dans un même repère.

f+

f


1.2 Introduction aux coniques

Les sections coniques, appelées également coniques, sont les sections d’un cône circulaire droit à deux nappes et d’un plan ne passant pas par le sommet du cône (définition des Grecs). En modifiant l'inclinaison du plan, nous obtenons une ellipse, une parabole ou une hyperbole, comme le montre les figures. ( = angle du cône et = angle du plan)

Ellipse >

Parabole =

Hyperbole <

Voir l’animation avec le logiciel GeoGebra.

Les coniques représentent une partie très ancienne des mathématiques : on doit le premier traité un peu complet au mathématicien et astronome grec Apollonius de Perge (262-180 a.v. J.-C.) Né à Perge en Asie Mineure, il fut formé à Alexandrie dans la tradition d'Euclide. L'étude approfondie par les Grecs des sections coniques et de leurs propriétés, nous permettent d’établir aujourd'hui leurs définitions en termes de points et de droites, comme nous le ferons dans ce cour.

=


1.3 L'ellipse Proposition 1

Une ellipse est l’ensemble de tous les points P du plan dont la somme des distances à deux points fixes du plan F et F’ (les foyers) est une constante positive.

Démonstration Voir annexe 1 et animation GeoGebra. Remarque

Voici comment construire une ellipse sur une feuille de papier : piquer deux punaises dans le papier en n’importe quels points F et F ', et fixer les extrémités d’un bout de ficelle aux punaises. Après avoir passé la ficelle autour d’un crayon, le déplacer en maintenant la ficelle tendue, comme au point P de la figure ci-contre. La somme des distances d(P, F) et d(P, F ') est égale à la longueur de la ficelle et est donc constante ; ainsi, le crayon tracera une ellipse dont les foyers sont F et F '.

Équation cartésienne de l’ellipse centrée à l’origine (0;0)

Pour obtenir une équation simple d’une ellipse, on peut placer l’axe des abscisses sur la droite passant par les deux foyers F’ et F, avec le centre de l’ellipse placé à l’origine. Si F a pour coordonnées (c ; 0), avec c > 0, alors, F’ a pour coordonnées (–c ; 0). Ainsi, la distance entre F’ et F est d(F’, F)=2c. La somme constante des distances de P à F’ et F sera désignée par d(P, F)+d(P, F’)=2a. Pour obtenir des points qui ne se trouvent pas sur l’axe des abscisses, nous devons avoir 2a > 2c , c’est-à-dire a > c. Un point P(x; y) est sur l’ellipse si et seulement si d(P, F)+d(P, F’)=2a (voir proposition 1) :

Autrement dit :

2 2 2 2

2 22 2

d( P,F ) d( P,F ') x c y 0 x c y 0 2a

x c y 2a x c y

(formule de la distance entre deux points) Nous élevons au carré les deux membres de l’équation et simplifions :

22 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

x 2cx c y 4a 4a x c y x 2cx c y

a x c y a cx

Nous élevons encore une fois au carré les deux membres de l’équation et simplifions :

2 2 2 2 4 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 22 2 2

2 2 2

2 22 2 2 2 2 2 2

2 2

a x 2cx c y a 2a cx c x

x a c a y a a c

x y1 on divise par a a c

a a c

x y1 on pose: b a c avecb 0 car on a : a c a c a c 0

a b


b

c

a a

F

F' c 0

x

y

Vocabulaire / Remarques

L’ellipse E est l'ensemble des points P(x ; y) de 2

satisfaisant l’équation cartésienne 2 2

2 2

x y1

a b .

2 2

22 2

x yx ; y 1

a b

E

Le milieu du segment de droite F’F est appelé le centre de l’ellipse.

2 2 2

2 22 2 2

x 0 xPosons y 0 dans l ' équation de l ' ellipse : 1 1 x a x a

a b a

Par conséquent, les intersections avec l’axe des abscisses sont a et –a. Les points correspondants S(a;0) et S’(-a ;0) sur le graphique sont appelés les sommets de l’ellipse. Le segment de droite [SS’] est appelé le grand axe (axe focal) et d(S’;S)=2a.

2 2 2

2 22 2 2

0 y yPosons x 0 dans l ' équation de l ' ellipse : 1 1 y b y b

a b b

Par conséquent, les intersections avec l’axe des ordonnées sont b et –b. Les points correspondants sont M(0;b) et M’(0;-b). Le segment de droite [MM’] est appelé le petit axe de l’ellipse et d(M’;M)=2b.

Le grand axe est toujours plus long que le petit axe, car a > b>0.

Les foyers se trouvent à la distance c de l’origine, où 2 2 2 2 2c a b c a b .

L’ellipse centrée en (0;0) est symétrique par rapport à l’axe des abscisses, à l’axe des ordonnées et à l’origine. En modifiant la position de F’ et F, mais en gardant la longueur de la ficelle constante, nous pouvons considérablement varier la forme de l’ellipse. Si F’ et F sont si éloignés que d(F’,F) est presque de la même longueur que la ficelle, l’ellipse est plate. Si d(F’,F) est proche de zéro, l’ellipse est presque circulaire. Si F’ = F, nous obtenons un cercle de centre F=F'. (Cas particulier) Autrement dit, si a b , on obtient l’équation :

2 2

2 22 2 2 22 2

x y1 x y a x 0 y 0 a

a a

qui est l’équation d’un cercle de centre C 0;0 et de rayon r a b .


Activité 1

Quelles sont les fonctions réelles nécessaires à GeoGebra pour tracer l’ellipse d’équation :

2 2

2 2

x y1

a b ?


Problème 1

On veut obtenir l’équation cartésienne de l’ellipse (trait continu) représentée ci-dessous centrée en (h;k) avec le grand axe (axe focal) parallèle à l’axe Ox. Idée : On va utiliser les transformations du plan.

On effectue une translation à l’aide du vecteur v (h;k)

de tous les points (x;y) de l’ellipse

d’équation 2 2

2 2

x y1

a b (centrée en (0 ;0) avec le grand axe confondu avec l’axe Ox).

On a : x ' x h x x ' h

y ' y k y y ' k

2 22 2

2 2 2 2

x ' h y ' kx y1 1

a b a b

Problème 2

On veut obtenir l’équation cartésienne de l’ellipse représentée ci-contre : centrée en (0 ;0) avec le grand axe (axe focal) confondu avec l’axe Oy. Idée : On va utiliser les transformations du plan.

On effectue une rotation d’origine O et d’angle 2

de tous les points (x;y) de l’ellipse d’équation 2 2

2 2

x y1

a b

(centrée en (0 ;0) avec les grand axe confondu avec l’axe Ox)

On a :

x ' x cos y sin2 2

y ' x sin y cos2 2

x ' y x y '

y ' x y x '

2 2 2 22 2

2 2 2 2 2 2

y ' x ' y ' x 'x y1 1 1

a b a b a b

Remarque : Plus généralement, la rotation de centre O et d’angle est donnée par la formule :

x' cos x sin y

y' sin x cos y

Explication : voir annexe 2

Equation de l’ellipse de centre (h;k) avec le grand axe parallèle à l’axe Ox

a

b

x

y

k

h 0

(x’;y’)

(x;y)

Equation de l’ellipse de centre (0 ;0) avec le grand axe parallèle à l’axe Oy

x

y

a

b

O


Tableau récapitulatif de quelques situations importantes

Ellipses (paramètres : a, b, c, h, k ; variables : x, y)

Orientation Centre en (h;k) Grand axe parallèle à l'axe Ox

Centre en (h;k) Grand axe parallèle à l'axe Oy

Transformation(s) ( h;k )T O( h;k ) / 2T R

Equation cartésienne implicite

2 2

2 2

x h y k1

a b

2 2

2 2

y k x h1

a b

Equation cartésienne explicite

2

2

x hy b 1 k

a

2

2

x hy a 1 k

b

Foyers F et F' F( h c;k ) ( c;0 ) ( h;k )

F '( h c;k ) ( c;0 ) ( h;k )

F( h;k c ) ( 0;c ) ( h;k )

F '( h;k c ) ( 0; c ) ( h;k )

Grand axe S et S' S( h a;k ) ( a;0 ) ( h;k )

S'( h a;k ) ( a;0 ) ( h;k )

S( h;k a ) ( 0;a ) ( h;k )

S'( h;k a ) ( 0; a ) ( h;k )

Petit axe M et M' M( h;k b ) ( 0;b ) ( h;k )

M '( h;k b ) ( 0; b ) ( h;k )

M( h b;k ) ( b;0 ) ( h;k )

M '( h b;k ) ( b;0 ) ( h;k )

Remarques : Le grand axe est toujours plus grand ou égal au petit axe (a b) et 2 2c a b Exemple 1

Soit l’équation cartésienne de l’ellipse : 2 24x 9 y 8x 36 y 4 0 .

2 2 2 24x 9 y 8x 36 y 4 0 4 x 2x 1 9 y 4 y 4 4 4 4 9

22 2 22 2

2 2

y 2x 1 y 2 x 14 x 1 9 y 2 36 1 1

9 4 3 2

.

On a donc une ellipse avec C 1; 2 , a 3 , b 2 , c 5 , F 5 1; 2 et F' 5 1; 2 .

Illustration


Exemple 2

Soit l’équation cartésienne de l’ellipse : 2 216 x 9 y 64x 18 y 71 0 .

2 2 2 216 x 9 y 64x 18 y 71 0 16 x 4x 4 9 y 2 y 1 71 16 4 9

22 2 22 2

2 2

x 2x 2 y 1 y 116 x 2 9 y 1 144 1 1

9 16 4 3

.

On a donc une ellipse avec C 2;1 , a 4 , b 3 , c 7 , F 2; 7 1 et F' 2; 7 1 .

Illustration


Exercice 5

Déterminer l’équation cartésienne implicite de l’ellipse pour laquelle : (réponses en valeurs exactes)

a) Les extrémités du grand axe sont en (13;0)A et ( 13;0)B et un des foyers est (12;0)F .

b) (0;0)C ; (0;4)F et 5a .

c) Les extrémités du grand axe sont en (7;3)A et ( 3;3)B et un des foyers est (6;3)F .

d) ( 1;2)C ; 5a et 3b avec le grand axe vertical.

e) (0;0)C , le grand axe sur l’axe des abscisses et passant par les points (4;3)P et (6;2)Q .

Exercice 6

Déterminer les coordonnées du centre C, des foyers iF et les valeurs de a et b des ellipses suivantes,

puis tracer leur graphique avec le centre et les foyers en utilisant GeoGebra :

(réponses en valeurs exactes)

a) 2 24x 9 y 36 b) 2 225x 16 y 400

c) 2 2x 4 y 6 x 32 y 69 0 d) 2 216 x 9 y 32x 36 y 92 0 Indication : Il faut compéter les carrés : 2 2x 4 y 6 x 32 y 69 0

2 2x 6 x 4 y 32 y 69

2 2x 6 x 4 ( y 8 y ) 69

2 2x 6 x 9 4 y 8 y 16 69 9 64

2 2x 3 4 y 4 4

............ Exercice 7

a) Soit l’équation cartésienne implicite de l’ellipse de centre h;k avec le grand axe parallèle

à l'axe Ox : 2 2

2 2

x h y k1

a b

i) Démontrer que l’équation cartésienne explicite est donnée par : 2

2

x hy b 1 k

a

.

ii) Quelle est sont domaine de définition ?

iii) Que représente le graphique de l’équation cartésienne explicite sur son domaine ? b) Soit l’équation cartésienne implicite de l’ellipse de centre (h;k) avec le grand axe parallèle

à l'axe Oy : 2 2

2 2

y k x h1

a b

i) Démontrer que l’équation cartésienne explicite est donnée par : 2

2

x hy a 1 k

b

.

ii) Quelle est sont domaine de définition ?

iii) Que représente le graphique de l’équation cartésienne explicite sur son domaine ?


Exercice 8 Un peu d'architecture !

Le Colisée de Rome, (en latin colosseum = très grand ) amphithéâtre construit par Vespasien et Titus (en grec amphiteatron = autour du théâtre ), servit de cirque (célèbres jeux du cirque et de combats de gladiateurs). Il n'est cependant pas circulaire : c'est une ellipse de grand axe 187 m et de petit axe 155 m. L'arène ( piste où se déroulaient les jeux) est aussi une ellipse de 85 m sur 53 m.

a) Établir l’équation cartésienne implicite et explicite de chaque ellipse avec son domaine de définition.

b) Représenter graphiquement à l’aide du logiciel GeoGebra et en utilisant les équations explicites, les 2 ellipses dans un même repère orthonormé. Indication :

Pour simplifier, les ellipses seront centrées en (0;0) avec le grand axe (axe focal) confondu avec l’axe des abscisses.


Exercice 9 Un peu d'architecture !

Un architecte est mandaté pour construire dans un grand bâtiment de l'ONU, une salle de conférence E1 de forme elliptique d'équation :

2 2400x 169 y 1600x 338 y 65' 831 0 (unité : le mètre)

Suite à une discussion avec le maître de l'ouvrage (propriétaire) il doit augmenter le grand axe de l'ellipse E1 de 4 m ce qui nous donne une nouvelle ellipse E2 (traitillé).

a) Déterminer la valeur du demi grand axe a' ainsi que du demi petit axe b' de l'ellipse E2 (traitillé)

de manière à ce que le rapport b

a soit proportionnel au rapport

b'

a' .

b) E2 possède-t-elle les mêmes foyers que E1 ? Justifier clairement.

c) Supposons que l'architecte ne possède pas d'ordinateur. Quelle méthode "manuelle" a-t-il a sa disposition pour tracer sur une feuille de papier sans repère l'ellipse E2 ? (Phrase en français et dessin explicatif)

d) Représenter graphiquement les ellipses E1 et E2 avec leurs foyers et leurs centres dans le même repère en utilisant GeoGebra.

x

y

E1

E2 C


1ère loi de Kepler

Après avoir passé de nombreuses années à analyser une énorme quantité de données empiriques, l’astronome allemand Johannes Kepler (1571-1630) formula trois lois qui décrivent le mouvement des planètes autour du Soleil.

La première loi stipule que l’orbite de chaque planète dans le système solaire est une ellipse dont le Soleil occupe un des foyers.

Illustration

Remarques

a) Distance minimale Soleil - planète = distance entre S et F.

b) Distance maximale Soleil - planète = distance entre F et S’.

L’excentricité e d’une ellipse

Les ellipses peuvent être très plates ou presque circulaires. Pour obtenir des informations concernant la rondeur d’une ellipse, nous utilisons parfois la notion d’excentricité, qui est définie comme suit, a, b et c ayant la même signification que précédemment :

L’excentricité e d’une ellipse est définie par :

dis tan ce entre le centre et un foyer ce avec 0 e 1

dis tan ce entre le centre et un sommet a

(I) Excentricité presque égale à 1.

(II) Excentricité presque égale à 0.

2 2(I) Si best prochede0 alors c a b a ( c est prochedea ), et l'ellipse est très platee 1 , .

2 2(II) Si best prochedea alors c a b 0 ( cest prochede0), 0 et l'ellipse est presquecirculairee , . Exemple

La plupart de ces orbites sont presque circulaires, ainsi leurs excentricités sont proches de 0. Par exemple, pour la Terre, e 0,017; pour Mars, e 0,093; pour Uranus, e 0,046. Les orbites de Mercure et de Pluton sont moins circulaires, avec des excentricités respectives de 0,206 et 0,249. De nombreuses comètes ont des orbites elliptiques, le soleil occupant un de leurs foyers.

Dans ce cas, l’excentricité e est proche de 1, et l’ellipse est très plate.

Soleil

Planète

F

F’

S’

S

trajectoire elliptique


Exercice 10 a) Supposons que la longueur du grand axe de l’orbite terrestre soit de 297’600’000 km et que son excentricité soit de 0,017.

i) Déterminer, la distance maximale et minimale entre la Terre et le Soleil.

ii) Représenter la trajectoire de la Terre autour du Soleil et la position du Soleil à l’aide de GeoGebra. L'origine du repère est le centre du Soleil. b) Nous utilisons l’unité astronomique de distance (UA), c’est-à-dire la distance moyenne entre la Terre et le Soleil, pour désigner de grandes distances (1 UA 148’800’000 km).

La comète de Halley a une orbite elliptique d’excentricité e = 0,967 dont le soleil occupe un des foyers. La plus petite distance à laquelle la comète s’approche du Soleil est 0,587 UA. i) Déterminer la distance maximale entre la comète et le Soleil, à 0,1 UA près.

ii) Représenter la trajectoire de la comète autour du Soleil et la position du Soleil à l’aide de Geogebra. L'origine du repère est le centre du Soleil.


F' F

Propriété de réflexivité de l’ellipsoïde et ses applications Définition

Considérons une surface obtenue par rotation d’une ellipse autour de son axe focal (FF').

La surface tridimensionnelle résultante est dite générée par l’ellipse et est appelée un ellipsoïde.

Les foyers de l’ellipsoïde sont les mêmes que les foyers de l’ellipse génératrice.

Voir l’animation avec le logiciel Geogebra. Proposition 2

Tout rayon (lumière, ondes électromagnétiques, ondes sonores, etc.) émis à partir du foyer F’ sera réfléchi par l’ellipsoïde vers le foyer F et réciproquement.

Démonstration voir annexe 3 et animation GeoGebra. Applications a) Durant les épidémies de peste au Moyen-Âge, certains prêtres avaient la rude tâche de confesser les malades. Comment s'en sortir sans (trop) risquer la contamination ?

La réponse : construire des salles d'hôpitaux dotées de voûtes en forme d'ellipsoïde !! b) La propriété de réflexivité de l'ellipsoïde est utilisée en médecine moderne dans un appareil appelé lithotripteur, qui désintègre les calculs rénaux au moyen d’ondes de choc sous-marines à haute énergie.

Après avoir pris des mesures extrêmement précises, l’opérateur positionne le patient de telle sorte que le calcul se trouve en l’un des foyers, et les ondes réfléchies brisent les calculs rénaux. Le temps d’hospitalisation avec cette technique est habituellement de 3-4 jours, au lieu de 2-3 semaines pour une intervention chirurgicale conventionnelle. De plus, le taux de mortalité est inférieur à 0,01%, comparé à 2-3% pour la chirurgie traditionnelle (voir exercice 4).


Exercice 11

a) La forme de base d’un réflecteur elliptique est un demi- ellipsoïde de hauteur h et de diamètre k, comme le montre la figure. Les ondes émises à partir du foyer F sont réfléchies par la surface vers le foyer F’ (voir propriété de réflexivité de l’ellipsoïde). i) Exprimer les distances d(S,F) et d(S,F’) en fonction de h et k.

ii) Un réflecteur elliptique haut de 17 cm doit être construit de telle sorte que les ondes émises à partir de F soient réfléchies vers F’ qui est à une distance de 32 cm de S.

Calculer le diamètre k du réflecteur et la position de F. b) On doit construire un lithotripteur haut de 15 cm et de diamètre 18 cm (voir figure ci-dessus). Des ondes de choc sous-marines à haute énergie seront émises à partir du foyer F qui est le plus proche du sommet S. i) Calculer la distance entre S et F.

ii) A quelle distance de S (dans la direction verticale) devrait se situer un calcul rénal ?

S


1.4 La parabole Proposition 3

Une parabole est l’ensemble de tous les points P du plan qui sont équidistants (même distance) d’un point fixe F (le foyer) et d’une droite fixe d (la directrice) du plan.

Démonstration voir annexe 4 et animation GeoGebra.

Équation cartésienne de la parabole de sommet S(0;0)

Pour obtenir une équation élémentaire d’une parabole, on peut placer l’axe des abscisses sur l’axe de la parabole, avec l’origine sur le sommet S, comme indiqué par la figure. Dans ce cas, le foyer F a pour coordonnées (p;0), p étant un nombre réel différent de 0, et l’équation de la directrice est x = – p. La figure montre le cas où p > 0. Par définition, un point P x; y est sur la parabole si et seulement si d P,F d P,P’

c’est-à-dire : 2 2 2 2 'd( P,F ) x p y 0 x p y y d( P,P )

(formule de la distance entre deux points) Nous élevons au carré les deux membres de l’équation et simplifions :

2 22 2 2 2 2 2 2x p y x p x 2 px p y x 2 px p y 4 px


La parabole P est l'ensemble des points P x; y de 2 satisfaisant l’équation 2y 4 px .

2 2x ; y y 4 pxP

L’axe focal de la parabole est la droite passant par F qui est perpendiculaire à la directrice d.

Le sommet de la parabole est le point S se trouvant sur l’axe focal, à égale distance entre F et d. Le sommet est le point de la parabole qui est le plus proche de la directrice.

La parabole de sommet S(0;0) est symétrique par rapport à l’axe des abscisses.

S(0;0)

P(x;y)

P

x

y

F(p;0)

d

x=-p

P'(-p;y)


Problème

On veut obtenir l’équation cartésienne de la parabole (trait continu) représentée ci-dessous : sommet en (h;k) avec l’axe focal parallèle à l’axe Oy et ouverture vers le haut. On effectue une rotation d’origine O

et d’angle 2 de tous les points

(x;y) de la parabole centrée en (0;0)

avec l’axe focal confondu avec l’axe Ox

et ensuite on effectue une translation

de vecteur v ( h;k )

de tous les points

(x’;y’) de la parabole centrée en (0;0)

avec l’axe focal confondu avec l’axe Oy.

Autrement dit :

on compose une rotation d’origine O d’angle 2 avec une translation de vecteur v ( h;k )

x' x cos y sin y2 2

y' x sin y cos x2 2

x' y

y' x

(rotation d’origine O d’angle 2 )

x'' x' h

y'' y' k

(translation de vecteur v ( h;k )

)

Finalement : x'' y h x y'' k

y'' x k y x'' h

2 22y 4 px x'' h 4 p y'' k x'' h 4 p y'' k

Tableau récapitulatif de quelques situations importantes Paraboles (paramètres : p, h, k ; variables : x, y)

Orientation Sommet en (h;k) Axe focal // à l'axe Ox Ouverture sur la droite

Sommet en (h;k) Axe // à l'axe Oy Ouverture vers le haut


Equation cartésienne implicite 2

y k 4 p x h 2x h 4 p y k


y 2 p x h k 21y x h k

4 p

Foyers F F( h p;k ) ( p;0 ) ( h;k ) F( h;k p ) ( 0; p ) ( h;k )

Directrice d x h p y p k

x

y

k

h 0

Équation de la parabole de sommet h;k avec l’axe

focal parallèle à l’axe Oy. Ouverture vers le haut.


Exemple 1

Soit l’équation cartésienne de la parabole : 22x y 8 y 22

2 2 22x y 8 y 22 2x 16 22 y 8 y 16 2( x 3 ) ( y 4 )

22y 4 2 x 3 y 4 2 x 3 .

On a S( 3; 4 ) , 1

4 p 2 p2

, 7

F ; 42

et l’équation de la directrice d est 5

x2

.

Exemple 2

Soit une parabole de sommet S( 4;2 ) et dont la directrice d à comme équation : y 5 .

Elle est de la forme 2( x 4 ) 4 p( y 2 ) . Or y p k 5 p 2 p 3

Donc l’équation cartésienne de la parabole est : 2( x 4 ) 12( y 2 ) .

Le foyer de la parabole à pour coordonnées : F( 4; 1)


foyer F

paraboloïde

sommet S

axe focal

Propriété de réflexivité d'un paraboloïde et ses applications Définition

Voir l’animation avec le logiciel Geogebra.

Proposition 4 Illustration :

Démonstration

voir annexe 5 et animation GeoGebra.

Considérons une surface obtenue par rotation d’une parabole autour de son axe focal (SF).

La surface tridimensionnelle résultante est dite générée par la parabole et est appelée un paraboloïde.

Le foyer du paraboloïde est le même que le foyer de la parabole génératrice.

Tout rayon (lumière, ondes électromagnétiques, ondes sonores, etc.) dont la direction est parallèle à l'axe focal du paraboloïde est réfléchi par celui-ci vers le foyer F du paraboloïde et réciproquement.

axe focal

S

F

P

F S axe focal

rayon


Applications

a) L'usage de miroirs concaves pour projeter la lumière remonte à l'Antiquité. Ces miroirs furent métalliques, en or, en bronze (airain), en argent. Les célèbres miroirs ardents d'Archimède qu'il aurait utilisé pour brûler les vaisseaux attaquant Syracuse, étaient (auraient été ?) fabriqués par juxtaposition de miroirs hexagonaux (à la façon des ballons de football d'aujourd'hui) afin d'obtenir une forme concave assimilable à un paraboloïde de révolution. b) De nos jours, la propriété de reflexivité du paraboloïde est utilisé dans la fabrication des projecteurs, des "spots"et des phares automobiles (l'ampoule est placée au foyer d'un réflecteur parabolique ), des miroirs de télescopes (un rayon lumineux arrivant sur le miroir parabolique parallèlement à son axe sera réfléchi vers le foyer.

c) Les formes familières des relais hertziens et des radars (armée, tours de contrôle des aéroports) sont des paraboloïdes. Une telle forme, on l'a vu précédemment, est capable de recevoir et de renvoyer (émetteur-récepteur ) dans une direction précise des faisceaux d'ondes radioélectriques. Les relais hertziens sont aussi utilisés afin de couvrir des régions accidentées. Enfin, plus récemment, nombreux sont les particuliers à posséder leur "parabole" pour recevoir la télévision par satellite. Le terme parabole est incorrect mais pour une fois que les mathématiques entrent à la maison, ne chicanons pas! d) La centrale thermique solaire de Kramer Junction est la plus grandre centrale solaire thermique au monde ; elle se situe dans le désert du Mojave en Californie. Cette centrale utilise la technologie des centrales à capteurs cylindro-paraboliques (CSP). Elle dispose de 5 champs de 33 MW (SEGS III à SEGS VII) pour une puissance totale de 165 MW.


F S axe focal

Mode de fonctionnement de la centrale thermique solaire 1) Les rayons lumineux du soleil sont réfléchis par des miroirs paraboliques sur un tube de Dewar dans lequel circule un fluide transporteur de chaleur (généralement de l’huile). Le fluide monte à une température de 400°C environ.

2) Le fluide calorifique est utilisé pour transformer l’eau en vapeur et la disperser dans une turbine.

3) La turbine actionne un générateur qui produit de l’électricité.

Exercice 12 (Calculs en valeurs exactes)

Déterminer l’équation cartésienne implicite de la parabole pour laquelle :

a) S( 0;0 ) F( 2;0 ) b) S( 0;0 ) F(0;5 )

c) S( 1;3 ) F( 1;3 ) d) F( 3;2 ) directrice d : y 4

e) l’axe focal est d’équation x 2 et passant par les points P( 4;5 ) et Q( 2;11) . Exercice 13

Déterminer les coordonnées du sommet S et du foyer F, puis tracer le graphique des paraboles

suivantes avec le sommet et le foyer en utilisant GeoGebra :

a) 2x 12y b) 2y 10x

c) 2x 6 x 8 y 25 0 d) 2y 16 x 2 y 49 0 Exercice 14

L’intérieur d’une antenne de satellite TV est formé d’une cuvette ayant la forme d’un paraboloïde (limité) dont le diamètre est de 3,6 m et la profondeur de 0,6 m, comme représenté par la figure suivante.

Calculer la distance entre le centre de la cuvette et le foyer Exercice 15

Le miroir d’un télescope à réflexion a la forme d’un paraboloïde (limité) de diamètre 20 cm et de profondeur 2,5 cm. A quelle distance du centre du miroir la lumière va-t-elle se concentrer ? Exercice 16

Le miroir d’une lampe de poche a la forme d’un paraboloïde de diamètre 10 cm et de profondeur 4 cm, comme le montre la figure. Où devrait être placée l’ampoule pour que les rayons lumineux émis soient parallèles à l’axe du paraboloïde ?


C

1.5 L'hyperbole

Proposition 5

Une hyperbole est l’ensemble de tous les points P du plan dont la différence (en valeur absolue) des distances à deux points fixes du plan (les foyers) est une constante positive.

Démonstration voir annexe 6 et animation GeoGebra.

Équation cartésienne de l’hyperbole centrée à l’origine (0;0) Pour obtenir une équation simple d’une hyperbole, on place l’axe des abscisses sur la droite passant par les deux foyers F’ et F, avec le centre de l’hyperbole placé à l’origine. Si F a pour coordonnées (c;0), avec c > 0, alors, F’ a pour coordonnées (– c;0). Ainsi, la distance entre F’ et F est d(F’,F)=2c et désignons la constante positive par 2a. Remarque :

« L’inégalité du triangle » appliqué au triangle F’FP donne l’inéquation 2a < 2c a < c (Se rappeler que pour les ellipses, nous avions a > c) Un point P x; y est sur l’hyperbole si et seulement si

d( P,F ) d( P,F ') 2a c'est-à-dire :

2 2 2 2

2 2 2 2

d( P,F ) d( P,F ') x c y 0 x c y 0 2a

x c y 0 x c y 0 2a

(formule de la distance entre deux points) En utilisant le type de procédure de simplification que nous avons utilisé pour établir l’équation d’une ellipse, nous pouvons réécrire l’équation précédente sous la forme :

2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

x y x y1 1

a c a a b

( on pose: b c a avec b 0 car on a : c a c a c a 0 )


L’hyperbole H est l'ensemble des points P x; y de 2 satisfaisant l’équation 2 2

2 2

x y1

a b .

2 2

22 2

x yx ; y 1

a bH

Le milieu du segment de droite F’F est appelé le centre C de l’hyperbole.

Les deux parties qui forment l’hyperbole sont appelées la branche droite et la branche gauche de l’hyperbole.


L’hyperbole centrée en (0;0) est symétrique par rapport à l’axe des abscisses, à l’axe des ordonnées et à l’origine.

Posons y 0 dans l' équation del' hyperbole :

2 2 2

2 22 2 2

x 0 x1 1 x a x a

a b a

Par conséquent, les intersections avec l’axe des abscisses sont a et –a. Les points correspondants S(a;0) et S’(-a;0) sur le graphique sont appelés les sommets de l’hyperbole. Le segment de droite [SS’] est appelé l’axe transverse (axe focal) et d(S’;S)=2a. Posons x 0 dans l' équation del' hyperbole :

2 2 2

2 22 2 2

0 y y1 1 y b y 1 b i b

a b b

Les solutions de l’équation étant « complexe » il n’y a pas d’intersections avec l’axe des ordonnées. Les points W(0;b) et W’(0;-b) ne sont pas sur l’hyperbole mais sont les extrémités du segment de droite [WW’] appelé l’axe non transverse et d(W’;W)=2b.

Les foyers se trouvent à la distance c de l’origine, où 2 2 2 2 2c a b c a b .

La résolution de l’équation : 2 2

2 2

x y1

a b par rapport à y nous donne : 2 2b

y x aa

Si 2 2x a 0 a x a il n’y a aucun point (x;y) sur la courbe. Les points (x;y) sont sur la

courbe si x a ou si x –a.

C


Proposition 6

Les droites b

y xa

sont des asymptotes obliques de l’hyperbole 2 2

2 2

x y1

a b .

Autrement dit : 2 2

x

b blim x x a 0

a a

(Quadrant 1)

Ces asymptotes sont d’excellents guides pour dessiner l’hyperbole :

Pour dessiner plus facilement les asymptotes, on commence par placer les sommets S(a;0) , S’(-a;0) ainsi que les points W(0; b) et W’(0 ; –b) .

On trace des droites verticales et horizontales passant par les extrémités respectives des axes transverse (axe focal) et non transverse ; on obtient le rectangle auxiliaire.

Les diagonales du rectangle auxiliaire obtenu ont pour pentes b/a et –b/a.

Ainsi, en prolongeant ces diagonales, nous obtenons les asymptotes obliques : b

y xa

.

On dessine ensuite l’hyperbole en utilisant les asymptotes comme guides. Démonstration (de la proposition 6 dans le quadrant 1)

2 2

x

2 2

x x

b bAvoir que: lim x x a 0

a a

b blim x lim x a (indéterminaton)

a a

Idée : on amplifie par le conjugué.

2 22 22 2

2 2

x x2 2 2 2

1

22 2 2

x

x 2 2 2 2

x x

b bb b x x ax x ab b a aa alim x x a limb b b ba a x x a x x aa a a a

lim bb b blim 0 ok !

b b b bx x a lim x lim x a

a a a a


Tableau récapitulatif de quelques situations importantes Hyperboles (paramètres : a, b, c, h, k ; variables : x, y)

Orientation Centre en (h;k) Axe transverse // à l'axe Ox

Centre en (h;k) Axe transverse // à l'axe Oy


Equation cartésienne implicite

2 2

2 2

x h y k1

a b

2 2

2 2

y k x h1

a b


2

2

x hy b 1 k

a

2

2

x hy a 1 k

b

Foyers F et F' F( h c;k ) ( c;0 ) ( h;k )

F '( h c;k ) ( c;0 ) ( h;k )

F( h;k c ) ( 0;c ) ( h;k )

F '( h;k c ) ( 0; c ) ( h;k )

Axe transverse S et S' S( h a;k ) ( a;0 ) ( h;k )

S'( h a;k ) ( a;0 ) ( h;k )

S( h;k a ) ( 0;a ) ( h;k )

S'( h;k a ) ( 0; a ) ( h;k )

Axe non transverse W et W'

W( h;k b ) ( 0;b ) ( h;k )

W '( h;k b ) ( 0; b ) ( h;k )

W( h b;k ) ( b;0 ) ( h;k )

W '( h b;k ) ( b;0 ) ( h;k )

Asymptotes obliques by x h k

a a

y x h kb

Remarque : 2 2c a b Exemple 1

Soit l’équation cartésienne de l’hyperbole : 2 29x 4 y 54x 16 y 29 0

2 2 2 29x 54x 4 y 16 y 29 9( x 6 x 9 ) 4( y 4 y 4 ) 29 81 16

2 2

2 2

9 x 3 4 y 2 36

x 3 y 21

4 9

On a :

a 2 ; b 3 ; c 13

C( 3; 2 )

F 13 3; 2 ; F ' 13 3; 2

3y ( x 3 ) 2

2


Exemple 2 Soit l’équation cartésienne de l’hyperbole : 2 22x y 4x 6 y 3 0

2 2 2 22x 4x y 6 y 3 y 6 y 9 2 x 2x 1 3 9 2

2 22 2 y 3 x 1

y 3 2 x 1 4 14 2

On a :

2C( 1;3 ) ;a 2 ; b 2 ; c 6 ; F 1; 6 3 ; F ' 1; 6 3 ; y ( x 1) 3

2

Exercice 17 (Calculs en valeurs exactes)

Déterminer l’équation cartésienne implicite de l’hyperbole pour laquelle :

a) S'( 5;0 ) S( 5;0 ) F( 13;0 )

b) C(0;0 ) F( 0;6 ) b 5

c) C( 2; 3 ) S(7; 3 ) 3 21

y x5 5

est une asymptote

d) C( 3;1) F( 3;5 ) S'( 3;4 )

e) Les deux asymptotes sont d’équations 1

y x2

et 1

y x 42

et l’axe transverse (axe focal) est horizontal. Exercice 18

Déterminer les coordonnées du centre, des foyers, les valeurs de a et b et les équations des asymptotes des hyperboles suivantes, puis tracer leur graphique avec le centre, les foyers et les asymptotes en utilisant GeoGebra :

a) 2 24x 9 y 36 b) 2 216 y 9x 144

c) 2 2x 4 y 6 x 16 y 11 0 d) 2 2144x 25 y 576 x 200 y 3776 0


Exercice 19

Quelle est l’équation cartésienne de l’hyperbole 2 2x y

12 2 après une rotation de 45

4

?

Indication : voir page 9 ; formule de la rotation de centre O et d’angle . Exercice 20

Compléter les étapes de calculs afin d’obtenir l’équation simplifiée de l’hyperbole : 2 2

2 2

x y1

a b

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 22 2 2 2 2 2 2

2 2

x c y 0 x c y 0 2a

x c y 0 x c y 0 2a

...................

x y1

a c a

x y1 ( on pose: b c a avec b 0 car on a : c a c a c a 0 )

a b

Exercice 21 En 1911, le physicien Ernest Rutherford (1871-1937) découvrit que, si des particules alpha sont projetées vers le noyau d’un atome, elles peuvent être repoussées par le noyau selon des trajectoires hyperboliques. La figure montre la trajectoire d’une particule qui se dirige vers l’origine le long de

la droite 1

y x2

et s’approche jusqu’à 3 unités du noyau.

a) Déterminer l’équation cartésienne implicite de la trajectoire.

b) Représenter à l’aide de GeoGebra la trajectoire de la particule dans un repère orthonormé.


Le système de navigation “ hyperbolique ” LORAN Pour le navigateur moderne, il n’est plus nécessaire de s’encombrer d’un sextant et d’être tributaire de l’apparition du soleil pour faire le point car des systèmes plus performants sont apparus depuis la fin de la seconde guerre mondiale. Activité Introduction au système de navigation LORAN. Le poste de garde-côtes A est à 320 km à l’est d’un autre poste B. Un bateau navigue le long d’une droite parallèle et à 80 km au nord de la droite reliant A et B. Des signaux radio sont émis à partir de A et B à la vitesse de 294 m/µs (mètre/microseconde). Sachant qu’à 13h00, le signal parti de B atteint le bateau 400 µs après le signal émis par A, localiser la position du bateau à ce moment-là.


Exercice 22 Le système de navigation “hyperbolique” L.O.R.A.N. (en anglais: LOng RAnge Navigation) comprend deux paires d’émetteurs radio situés sur terre ferme, tels que ceux situés en T, T’ et S, S’. Supposer que les signaux émis simultanément par les émetteurs en T et T’ atteignent un récepteur radio sur un bateau situé en un point quelconque P. La différence des temps d’arrivée des signaux peut être utilisée pour déterminer la différence des distances de P à T et de P à T’. Donc, P se trouve sur une des branches d’une hyperbole dont les foyers sont en T et T’. En répétant cette procédure pour l’autre paire d’émetteurs, nous voyons que P se trouve aussi sur une des branches d’une hyperbole dont les foyers sont S et S’. L’intersection des branches des deux hyperboles détermine la position de P. Il y en a en théorie quatre ! Considérons un système d’axe orthonormé dont le poste de garde-côtes T est à l’origine (0;0). Les coordonnées des autres postes de garde-côtes sont : T’(0;400) , S(30;-50) , S’(30; -500). (unité : le kilomètre) À 15h00, des signaux radio sont émis à partir de T, T’, S et S’ à la vitesse de 294 m/µs (mètre/microseconde). Le signal parti de T’ atteint le bateau 400 µs après le signal émis par T. Le signal parti de S’ atteint le bateau 650 µs après le signal émis par S. a) Déterminer les équations cartésiennes des deux hyperboles.

b) Déterminer les 4 solutions possibles pour P( x; y )en utilisant GeoGebra.

c) Utiliser GeoGebra pour représenter les coniques et déterminer ainsi le point P qu’il faut retenir. Exercice 23 Système de navigation “hyperbolique” L.O.R.A.N. Idem que l'exercice précédant mais avec les données suivantes :

T(0;0) , T’(0;400) , S(30;-50) , S’(430;-50). (unité : le kilomètre) À 15h00, des signaux radio sont émis à partir de T, T’,S et S’ à la vitesse de 294 m/µs. Le signal parti de T atteint le bateau 300 µs après le signal émis par T'. Le signal parti de S atteint le bateau 600 µs après le signal émis par S'.

x

y


Les systèmes satellitaires Afin de permettre une couverture mondiale (notamment en cas de conflit) l’idée de posséder des stations de positionnement en orbite autour de la terre à séduit les états-majors des deux superpuissances des années 1970. Cela à donné naissance au réseau américain GPS (Global Positioning System) et au réseau russe (ex-soviétique) Glonass. Ces réseaux permettent de déterminer la position d’un récepteur dans les 3 dimensions spatiales mais aussi en temps. Pour cela le récepteur reçoit la position (x;y;z) et l’heure t de 4 satellites différents, il en déduit sa propre position par le calcul de l’intersection d’hyperboloïdes dans un espace à 4 dimensions. La précision du positionnement obtenu dépend de la précision avec laquelle la position des satellites a été émise. Alors que pendant longtemps l’armée américaine limitait la précision du système GPS à une centaine de mètre, ce système atteint maintenant des précisions de l’ordre de 10 mètres, mais il peut être brouillé par les autorités américaines en cas de conflit. L’union Européenne prépare son propre système de positionnement satellitaire appelé Galileo. Les systèmes de positionnement satellitaire donnant une position en 3 dimensions, ils peuvent aussi être utilisés par las avions. Nous sommes maintenant bien loin des premiers navigateurs qui se repéraient en regardant la position du soleil et des étoiles dans le ciel. Aujourd’hui les navigateurs ont toujours besoin du ciel mais celui-ci leur envoie directement leur position. Cela n’interdit pas à ceux qui se trouvent en mer de regarder les étoiles… simplement pour admirer le spectacle !


Hyperboloïde et surfaces réglées Définition

Un hyperboloïde de révolution est une surface engendrée par la rotation d'une hyperbole autour de son axe transverse ou non transverse. Il peut être à une ou deux nappes suivant l'axe de rotation choisis. Les foyers de l’hyperboloïde sont les mêmes que les foyers de l’hyperbole génératrice.

Voir l’animation avec le logiciel Geogebra. Remarque

L'hyperboloïde à une nappe est une surface réglée, c'est-à-dire quelle peut s'obtenir par la réunion d'un ensemble de segments de droites. En fait elle est doublement réglée: engendrée par deux familles distinctes de droites. Bien entendu, l'exemple le plus simple de surface doublement réglée est le plan (ou un morceau de plan). Deux familles de droites orthogonales engendrent un plan. En architecture, l'hyperboloïde est la surface utilisée pour construire les tours de refroidissement des centrales nucléaires. Pour des raisons évidentes de sécurité, ces édifices doivent avoir une structure stable et solide. L'hyperboloïde étant une surface réglée, on peut facilement réaliser la tour de refroidissement en utilisant comme matériau du béton armé (tiges en acier entouré de béton). L'acier travail bien en traction et le béton en compression. Pour l'hyperboloïde, les tiges en acier constituant le béton armé sont des segments de droites (car surface doublement réglée) donc facile à mettre en oeuvre ; pas besoin de les courber. Les tiges en acier suivent donc deux directions et s'entrecroisent, en formant de multiples triangulations assurant ainsi une stabilité et une solidité hors pair à l'édifice. En plus d'une structure stable et solide la réduction de la section horizontale de l'hyperboloïde permet d'augmenter naturellement la vitesse d'évacuation de la vapeur d'eau (effet Venturi). Tour de Kobé (Japon). Centrale nucléaire de Nogent (France).

Hyperboloïde à une nappe

Axe non transverse


d

Propriété de réflexivité d'un hyperboloïde et ses applications

Proposition 7

Considérons un hyperboloïde à deux nappes.

Tout rayon (lumière, ondes électromagnétiques, ondes sonores, etc.) dirigé vers F (le long de la droite d1), sera réfléchi par l’hyperboloïde à partir de P vers F’ (le long de la droite d2).

Illustrations Démonstration Aucune ; voir animation GeoGebra.

Illustration d’un hyperboloïde à deux nappes

Axe transverse ( focal )


Exercice 24 Construction d'un télescope ! La conception du télescope de Cassegrain (remontant à 1672) utilise les propriétés de réflexion du paraboloïde et de l'hyperboloïde. Le télescope de Cassegrain (voir coupe) est constitué d'un miroir parabolique, avec son foyer en F1 et son axe est la droite d, ainsi qu'un second miroir, hyperbolique, dont l'un des foyers est aussi en F1 et l'axe transverse est sur d. Le deuxième foyer de l'hyperbole F2 est quand à lui, situé sur la parabole (lieu de focalisation des rayons lumineux qui arrivent parallèlement à l'axe commun). a) Sachant que l'équation cartésienne de la parabole est 2x 12 y , que L 2 et que l’origine du

repère se situe au foyer 2F ,déterminer l'équation cartésienne de l'hyperbole et les coordonnées

de ses deux foyers.

b) A l’aide de GeoGebra, tracer le graphique de la parabole et de l'hyperbole ainsi que leurs foyers. (l'origine du repère est le foyer F2).

F2

L


S

S1

2

1

F1

G1

P

S2 G2

F2

E

C

1.6 Annexes

Annexe 1 : Propriétés de l'ellipse

Soient :

l' ellipse E, définie par le cône C (de sommet S) et le plan formant avec l'axe du cône C un angle supérieur à l'angle du cône.

les sphères associées S1 et S2 (sphères de Dandelin tangentes au cône et à ).

les foyer F1 et F2 (c'est-à-dire les points de contact de S1 et S2 avec le plan ).

les plans 1 et 2 contenant respectivement les points de contact de S1 et le cône C et de S2

et le cône C. (1 et 2 sont deux plans parallèles).

Soit maintenant un point P de l'ellipse E. La génératrice PS est tangente à la sphère S1 au point

G1 1. La génératrice PS est tangente à la sphère S2 au point G2 2.

Les deux segments PF1 et PG1 sont deux segments tangents à la sphère S1 issus du même point P

donc 1 1PF PG car si d'un point P externe à une sphère S, on trace deux segments tangents à S

alors ils sont de mêmes longueurs. 2 2PF PG (mêmes arguments).

1 2 1 2 1 2PF PF PG PG G G

1 2G G a une longueur constante

quelle que soit la position de P sur

l'ellipse E car deux plans parallèles d'un même cône, déterminent sur les génératrices du cône une infinité de segments de mêmes longueurs.

En conclusion

Une ellipse est l’ensemble de tous les points P du plan dont la somme des distances à deux points fixes du plan F1 et F2 (les foyers) est une constante positive.


S

S1

2

1

F1

G1

P

S2

G2

F2


Annexe 2 : Rotations Rappel 2 x; y x et y Plan

Définition

Une transformation dans 2 est une fonction F de 2 dans 2 qui associe à chaque couple x;y un couple x '; y ' noté F x; y . Donc x '; y ' F x; y .

Illustration : Définition La rotation de centre O et d’angle , notée OR , est la transformation du plan qui

associe à tout point P du plan un point P ' tel que :

1) OP OP '

2) POP ' ( P ' appartient au cercle de centre O et de rayon OP )

Si 0 , la rotation se fait dans le sens antihoraire (sens trigonométrique). Si 0 , la rotation se fait dans le sens horaire (sens des aiguilles d’une montre). Remarque La rotation est une isométrie (conserve : les distances, les angles, parallélisme, …) Proposition

Si un point P(x;y) subi une rotation de centre O et d’angle alors les coordonnées du point P'(x';y') obtenu par cette transformation du plan sont données par la relation suivante :

x ' cos x sin y

y ' sin x cos y

Illustration

Remarque : Si on remplace par on applique la rotation inverse de la rotation voulue.

P

O

P

x

y

O

x

y

F


P

P'

O

x

y

1

1

u

z

v

w

Démonstration Etape 1)

Montons d’abord que pour et :

a) sin( + )=sin( ) cos( ) cos( ) sin( )

b) cos( + )=cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

Remarques : En général sin( + ) sin( )+sin( ) cos( + ) cos( )+cos( )

i) cos w v et sin u z

ii) Calculons u et v avec le théorème de Thalès (triangles semblables) :

cos( ) 1 sin( )

v sin( ) sin( ) et u cos( ) sin( )u sin( ) v

iii) Calculons w et z avec le théorème de Thalès (triangles semblables) :

1 cos( ) sin( )

z sin( ) cos( ) et w cos( ) cos( )cos( ) w z

iv) Finalement : cos( + )=cos( ) cos( ) sin( ) sin( )

et sin( + )=sin( ) cos( ) cos( ) sin( )

Etape 2)

x = cos( )I

y = sin( )

x' = cos( + )=cos( ) cos( ) sin( ) sin( )II

y' = sin( + )=sin( ) cos( ) cos( ) sin( )

x' = x cos( ) y sin( )I II

y' = y cos( ) x sin( )

P

x

y

O


T

'

(1)

(2)

(3)

(4)

Annexe 3 : Propriétés de réflexivité de l’ellipsoïde

Proposition

Tout rayon (lumière, ondes électromagnétiques, ondes sonores, etc.) émis à partir du foyer F’ sera réfléchi par l’ellipsoïde vers le foyer F et réciproquement.

Démonstration

a) Considérons A et B les deux foyers de l'ellipse et M un point de l'ellipse. Traçons la ligne AMB. Considérons également la tangente T à l'ellipse en M et N un point quelconque de T (figure 1). Le point N est situé à l'extérieur de l'ellipse donc, d'après la propriété constructive de l'ellipse AN+NB est strictement supérieur à AM+MB. En effet, la corde doit être allongée pour passer par N. Le point M est donc le point de la droite T assurant le minimum de AM+MB.

Montrons que si AM+MB est minimum pour T alors = ' . b) Considérons deux points A et B et une droite (par ex. la tangente T). Cherchons un point C de la droite tel que AC+CB soit minimale. On peut imaginer faire plusieurs essais et comparer les distances obtenues. Sans doute obtiendra-t-on une approximation de l'emplacement désirable. La solution invisible dans la figure 2, saute aux yeux dès qu'on pense à introduire un nouveau point : le symétrique B' de B par rapport à la droite (figure 3). Par symétrie les longueurs BC et B'C son égales donc les sommesAC+CB et AC+CB' aussi. Comme pour aller de A à B', on coupe forcément la droite , la plus coutre distance entre ces deux points est la ligne droite. Le point cherché est donc l'intersection de la droite et de la droite AB' c'est-à-dire D. Les angles sur la figure (4) au point C, anciennement D, sont tous égaux car les deux angles de droite par symétrie et celui de gauche car il est opposé par le sommet à celui du bas. c) Finalement (figure 1) AM est renvoyé en MB car la loi fondamentale de la réflexion : = ' s'applique dans ce cas. Ceci étant vrai pour tout M, nous obtenons donc que tous les rayons partis de A se réfléchissent sur l'ellipse et passent ensuite par B (figure 1).


S

J

H

p

F

Q P'

G

R

P

d

T

P

C

S

Annexe 4 : Propriétés de la parabole

Soient :

la parabole P, définie par le cône C (de sommet S) et le plan formant avec l'axe du cône C un angle égal à l'angle du cône.

la sphère associée S. (sphère de Dandelin tangente au cône et à ).

le foyer F (c'est à dire le point de contact de S avec le plan ).

le plan contenant respectivement les points de contact de S avec le cône C. la directrice d de la parabole (c'est à dire la droite d qui est l'intersection du plan sécant avec le plan parallèle ).

Soit maintenant un point P de la parabole, la génératrice PS est tangente à la sphère S au point R. Imaginons le plan p parallèle à , mais passant par P et le plan passant par le foyer F, le

sommet S et le centre de la sphère S ( est perpendiculaire à et p) .

On a : (P;d) (P ';d) P 'H Dans le plan , on trouve la situation suivante : les trois triangles SQT, JQP' et JGH sont semblables (par construction) et comme celui de sommet S est isocèle, les autres le sont aussi. On a donc P 'H QG .

QG PR car deux plans parallèles d'un même cône, déterminent sur les génératrices une infinité de segments de mêmes longueurs.

PR PF car si d'un point P

externe à une sphère S, on trace deux segments

tangents à S alors ils sont de mêmes longueurs. Finalement, par la propriété transitive de l'égalité : (P;d) PF

En conclusion

Une parabole P est l’ensemble de tous les points P du plan qui sont équidistants (même distance) d’un point fixe F (le foyer) et d’une droite fixe d (la directrice) du plan.


S

g

O

H

p

F

Q P'

G R

P

d

T


P

x

y

F(p;0) 0

Annexe 5 : Propriétés de réflexivité d'un paraboloïde Proposition Illustration :

Tout rayon (lumière, ondes électromagnétiques, ondes sonores, etc.) dont la direction est parallèle à l'axe du paraboloïde est réfléchi par celui-ci vers le foyer F du paraboloïde et réciproquement.

Démonstration Idée : Si on montre q'une parabole est le "cas limite" d'une ellipse lorsque la distance entre les

deux foyers de l'ellipse F1 et F2 tendent vers l'infini (avec F1 fixé), alors les propriétés de réflexivité de l'ellipse s'appliquerons aussi à la parabole (rayon émis en F2 se réfléchissent au foyer F1) et le fait que F2 se situe dans le "cas limite" à une distance infinie de F1 donc du sommet S de la parabole implique que les rayons émis en F2 arriverons parallèlement à l'axe du paraboloïde.

Considérons une ellipse avec un sommet à l'origine et les foyers en F1(p;0) et F2(p+2c;0), comme le montre la figure. Si Le foyer F1 est fixé et que P(x;y) se trouve sur l'ellipse, démontrons que y tend vers 4px lorsque c ∞. ( Lorsque c ∞ on a d(F1,F2) ∞)

22

2 2

22

22 2 2 22 2 2

x p c yEquation cartésienne de l 'ellipse centrée en(p c ; 0) : 1

a b

x p c yAvec a p c et b a c p c c : 1

p c p c c

2 2 2

2 22 2 2 2

Simplifions et isolons y :

x 2x p c y 2xp 2xc x1 1 y p 2pc

p 2pc p 2pc cp c

x S(0;0)

P(x;y)

P

y

F1(p;0) F2(p+2c;0)

E


2 2 2

22 2 2

2

2 2 22

2xp x 2xp x 2xp x2x 2x 2x2xp 2xc x c c c c c cy y y y

1 c 1 1 1 1c1

c p 2pc c cp pp 2pc 2p 2pc c

22

c

c c

2

2c

On calcule la limite :

2xp x2xp x lim 2x2x c c 2xc clim y lim y 4px1 1 1c 2pp 1 12p limc c p

2pc

Démonstration à l'aide du calcul différentiel Illustration a) Déterminons les équations de la tangente T et de la normale N à f en M

21y f (x) x

4p ( p > 0 ) est l'équation de notre parabole de sommet S(0,0) , d'axe (Oy).

Notons M=(a ,f(a)) le point d'impact du rayon lumineux ]ZM]. L'équation de la tangente au point (a ,f(a)) ( droite affine ) est donnée par :

y T(x) f '(a) (x a) f (a) (voir concept de dérivée)

'( )f a est la dérivée de f au point (a ,f(a)) et représente la pente de la tangente à f au point (a ,f(a)).

T(0) N(0)

a

f

x

y

F 0

i

z

f(a)

M

r = i

i

N T


Dans notre cas : 21 1 1

Si f (a) a alors f '(a) 2a a4p 4p 2p

(voir C.R.M. et cour 3ème Math. chapitre dérivée)

et l’équation de la tangente est : 21 1y T(x) a (x a) a

2p 4p

Par suite, celle de la normale est : 22p 1y N(x) (x a) a

a 4p Rappel :

1SiT N pente N

penteT

Par conséquent l'ordonnée de T (x = 0) est : 2 21 1 1T(0) a (0 a) a a

2p 4p 4p -f(a)

L'ordonnée de N (x = 0) est : 2 22p 1 1N(0) (0 a) a a 2p

a 4p 4p f(a) + 2p

b) Montrons que le milieu de [N(0);T(0)] est le foyer F=(p;0) et ne dépend pas de M=(a;f(a))

En effet, ses coordonnées sont : 0 0 (f (a) 2p) ( f (a))

y 0 et x p2 2

c) Géométriquement

Les angles MNF et NMZ sont égaux (alternes-internes) et, dans un triangle rectangle,

ici en TMN , la médiane [MF] issue de l'angle droit est égale à la moitié de l'hypoténuse

car le triangle MFN est isocèle (Thalès) et par suite : NMF =MNF= NMZ d) Physiquement

La loi fondamentale de la réflexion exprime que l'angle d'incidence i d'un rayon avec la normale à la surface réfléchissante est égal à l'angle de réflexion r. La boule de billard est un exemple concret, autre que lumineux..., de trajectoire réfléchie. Dans notre cas , l'angle d'incidence i du rayon ]ZM] avec la normale [MN] à la

surface réfléchissante est égal à l'angle de r réflexion : NMF = NMZ e) En conclusion

Le rayon ]ZM] parallèle à l'axe du paraboloïde, se réfléchit en [MF] et on retrouve ainsi la présence du foyer F , point d'accumulation de lumière, d'ondes ou de son suivant le cas.


S

S1

2

1 F1

G1

P

S2

G2

F2

C

H

Annexe 6 : Propriétés de l’hyperbole Soient :

l'hyperbole H, définie par le cône C (de sommet S) et le plan formant avec l'axe du cône C un angle inférieur à l'angle du cône.

les sphères associées S1 et S2 (sphères de Dandelin tangentes au cône et à ).

les foyer F1 et F2 (c'est-à-dire les points de contact de S1 et S2 avec le plan ).

les plans 1 et 2 contenant respectivement les points de contact de S1 et le cône C et de S2

et le cône C. (1 et 2 sont deux plans parallèles).

Soit maintenant un point P de l'hyperbole H. La génératrice PS est tangente à la sphère S1 au point

G11. La génératrice PS est tangente à la sphère S2 au point G22. Les deux segments PF1 et PG1 sont deux segments tangents à la

sphère S1 et issus du même point P

donc 1 1PF PG car si d'un point P

externe à une sphère S, on trace

deux segments tangents à S alors ils sont de mêmes longueurs. 2 2PF PG (mêmes arguments).

Selon la position de P, 2PF

peut être plus grand ou plus petit que 1PF .

La différence 1 2PF PF sera

respectivement positive ou négative. On considérera alors sa valeur absolue. Par conséquent,

2 1 2 1 1 2PF PF PG PG G G

1 2G G a une longueur constante quelle que soit la position de P sur l'hyperbole H car deux plans

parallèles d'un même cône, déterminent sur les génératrices une infinité de segments de mêmes longueurs. En conclusion :

Une hyperbole H est l’ensemble de tous les points P du plan dont la différence (en valeur absolue) des distances à deux points fixes du plan F1 et F2 (les foyers) est une constante positive.


S

S1

2

1 F1

G1

P

S2

G2 F2

________________________________________________________________________________________________ P.S. / 2016-2017 49 Corrections Coniques cartésiennes / AM_OS

1.7 Corrections des exercices

Équations cartésiennes des coniques

Correction exercice 1 a)

AB AB

4 6 6 10M ; M 5;2

2 2

BC BC

6 6 10 1N ; N 0;5,5

2 2

CD CD

6 1 1 7P ; P 2,5; 3

2 2

DA DA

1 4 7 6Q ; Q 2,5; 6,5

2 2

b)

2 2M ;N 5 0 2 5,5 37,25

2 2N;P 0 2,5 5,5 3 78,5

2 2P;Q 2,5 2,5 3 6,5 37,25

2 2Q;M 2,5 5 6,5 2 78,5

On constate que : M ;N P;Q et N ; P Q ; M


c)

On constate que : le quadrilatère MNPQ est un parallélogramme.

Remarque Théorème de Varignon : Pierre Varignon (1654-1722)

« En joignant les milieux d'un quadrilatère ABCD quelconque, on obtient un parallélogramme IJKL ».

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11x

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

y

A

M

B

C

P

D Q

N

L

D B

C

A

I

J K


Correction exercice 2

a) 22 2 2 2x 3 y 2 36 x 3 y 2 6

C 3 ; 2 r 6

b) 2 22 3 4 2 36 A

c) 2 2 2 22 3 y 2 36 25 y 2 36 y 2 11

y 2 11 y 11 2

Donc P 2 ; 11 2 et P 2 ; 11 2

d) 2 2 2x 3 0 2 36 x 3 32 x 3 32 x 32 3

Donc Q 32 3 ;0 et Q 32 3 ; 0

e) 2 2B ; C 3 8 2 4 61 7,81 r 6 donc B est en dehors du cercle.

(distance entre le point B et le centre C du cercle) Correction exercice 3

1) a) 2 2

a : x 4 y 2 64

b) 2 2 2 2 2 2b : x 4 y 2 r et r 5 5 50 donc 22 2

b : x 4 y 2 50

c) 2 2 2c : x 5 y 6 36 6

d) AB

5 3 1 7M ; C 1 ; 3

2 2

A ; B

rayon r 4 22

Donc 22 2

d : x 1 y 3 4 2

2) a) 2 2

aP 12; 2 car 12 4 2 2 64

2 2

aQ 4; 2 car 4 4 2 2 64

b) 2 2

bP 4 50; 2 car 4 50 4 2 2 50

2 2

bQ 4; 2 car 4 4 2 2 50

c) 2 2 2cP 5;0 car 5 5 0 6 6

2 2 2cQ 5;6 car 5 5 6 6 6

d) 2 22

dP 1 4 2 ;3 car 1 4 2 1 3 3 4 2

22 2

dQ 1;3 car 1 1 3 3 4 2


Correction exercice 4 1)

a) 2 22 2 2x y 25 0 x 0 y 0 5

C 0 ; 0 et r 5

b) 2 2 2 2x y 36 0 x y 36

2r 36 Impossible Ce n'est pas l'équation d'un cercle

c) 2 2 2 2x y 4x 6 y 4 0 x 4x y 6 y 4

2 22 2 2x 4x 4 y 6 y 9 4 4 9 x 2 y 3 3

C 2 ; 3 et r 3

d) 2 2 2 2x y 10 y 9 0 x y 10 y 9

2 2 22 2x 0 y 10 y 25 9 25 x 0 y 5 4

C 0 ; 5 et r 4

e) 2 2 2 2x y 8x 6 y 0 x 8x y 6 y 0

2 22 2 2x 8x 16 y 6 y 9 16 9 x 4 y 3 5

C 4 ; 3 et r 5

f) 2 2 2 2x y 4x 2y 9 0 x 4x y 2 y 9

2 22 2x 4x 4 y 2 y 1 9 4 1 x 2 y 1 4

2r 4 Impossible Ce n'est pas l'équation d'un cercle

g) 2 2 2 2 112x 2 y 2x 10 y 11 0 x x y 5 y

2

2 2

2 22

1 25 11 1 25x x y 5 y

4 4 2 4 4

1 5x y 1

2 2

1 5

C ; et r 12 2

h) 2 2 2 2 64x 4 y 4x 4 y 6 0 x x y y

4

2 2

22 21 1 6 1 1 1 1

x x y y x y 24 4 4 4 4 2 2

1 1

C ; et r 22 2


Correction activité 1 2 2

2 2

2 2

2 2

22 2

2

22

2

22

2

2

2

x y1

a b

y x1

b a

xy b 1

a

xy b 1

a

xy b 1

a

xy b 1

a

2

2

2

2

xf x b 1 demi-ellipse supérieure

aDonc Dom a;a

xf x b 1 demi-ellipse inférieure

a



a) 2 2

2 22 2

x ya 13 ; c 12 b 13 12 5 E : 1

13 5

b) 2 2

2 22 2

y xc 4 ; a 5 b a b 25 16 3 E : 1

5 3

c) 2 2

2 2

( x 2 ) ( y 3 )a 5 ; C( 2;3 ) ; F( 6;3 ) c 4 b 3 E : 1

5 3

d) 2 2

2 2

y 2 x 1E : 1

5 3

e) Du type : 2 2

2 2

x y1

a b .

2 2

2 2

16 91

a b36 4

1a b

à résoudre avec Geogebra : a 52 et 468

b 1336

2 2x y

152 13

Sinon "à la main" :

2 2 2 2 2 22 2 a b2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

16 91 I 16b 9a a ba b 16b 9a 36b 4a a 4b II

36 4 36b 4a a b1a b

2 2

16 9II I 1 b 13

4b b

22II a 4 13 a 52



a) 2 22 2

2 22 2

x 0 y 0x y4x 9 y 36 1 1

9 4 3 2

a 3 ;b 2 ; c 5 ; C( 0;0 ) ;F 5;0 ;F ' 5;0

b) 2 22 2

2 22 2

y 0 x 0x y25x 16 y 400 1 1

16 25 5 4

a 5 ;b 4 ; c 3 ; C( 0;0 ) ;F 0;3 ;F ' 0; 3

c) 2 2 2 2x 4 y 6 x 32 y 69 0 x 6 x 9 4( y 8 y 16 ) 69 9 4 16

22 2 2

2 22 2

y 4x 3 y 4 x 3( x 3 ) 4( y 4 ) 4 1 1

4 1 2 1

a 2 ;b 1; c 3 ; C( 3; 4 ) ;F 3 3; 4 ;F ' 3 3; 4

d) 2 2 2 216 x 9 y 32x 36 y 92 0 16( x 2x 1) 9( y 4 y 4 ) 92 16 4 9

2 2 2 2

2 22 2

x 1 y 2 y 2 x 116( x 1) 9( y 2 ) 144 1 1

9 16 4 3

a 4 ;b 3; c 7 ; C( 1;2 ) ;F 1; 7 2 ;F ' 1; 7 2



a.i)

2 2

2 2

x h y k1

a b

2 2

2 2

22 2

2

2

22

2

22

2

2

y k x h1

b a

x hy k b 1

a

x hy k b 1

a

x hy k b 1

a

x hy b 1 k

a

a.ii)

2

222

x h1 0 a x h 0 a x h a x h 0

a

x h-a h+a

a x h + + + 0 -

a x h - 0 + + +

22a x h - 0 + 0 -

Dom h a;h a

a.iii)

2

2

2

2

x hf x b 1 k demi-ellipse supérieure

aDonc Dom h a;h a

x hf x b 1 k demi-ellipse inférieure

a


b)

2 2

2 2

y k x h1

a b

2 2

2 2

22 2

2

2

22

2

22

2

2

y k x h1

a b

x hy k a 1

b

x hy k a 1

b

x hy k a 1

b

x hy a 1 k

b

2

2

2

2

x hg x a 1 k demi-ellipse supérieure

bDonc Dom h b;h b

x hg x a 1 k demi-ellipse inférieure

b



a)

"Grande ellipse / exterieur colisée " :

2 2 2

1 1 1 2 2 2

187 155 x y xa 93,5 ; b 77,5 E : 1 y 77,5 1

2 2 93,5 77,5 93,5

22 2

2

x1 0 93,5 x 0 ( 93,5 x )( 93,5 x ) 0

93,5

1Dom( E ) 93,5;93,5

"Petite ellipse / intérieur colisée " :

2 2 2

1 1 2 2 2 2

85 53 x y xa 42,5 ; b 26,5 E : 1 y 26,5 1

2 2 42,5 26,5 42,5

2Dom( E ) 42,5;42,5


a)

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

400x 169 y 1600x 338 y 65' 831 0

400( x 4x 4 ) 169( y 2 y 1) 65831 1600 169

400( x 2 ) 169( y 1) 67600

( x 2 ) ( y 1) ( x h ) ( y k )1 de la forme : 1 a 20 b 13

13 20 b a

Ellipse centrée en C 2;1 avec l'axe focal // à l'axe Oy.

On veut :

a' a 2 22 m et a a' 20 22 22 13

b' 14,3 mb b' 13 b' 20

.

b) 2 2c a b 231 et 2 2c' a' b' 279,51 Donc non ! c) Punaise aux foyers distantes de 2c' , ficelle tendue de longueur 2a' et crayon. d) Avec GeoGebra :

2 2

1 1 1 12 2

( x 2 ) ( y 1)E : 1 ; C 2;1 ; F 2;1 231 ; F ' 2;1 231

13 20

2 2

2 1 1 12 2

( x 2 ) ( y 1)E : 1 ; C 2;1 ; F 2;1 279,51 ; F ' 2;1 279,51

14,3 22



a)

Illustration :

Données : 2a 297' 600' 000 et e 0,017

i) a 148' 800' 000 km c e a 2' 529' 600 km

distance maximale a c 151' 329' 600 km

distance minimale a c 146' 270' 400 km

ii) 2 2b a c 148'778496,8 km

b)

i) c

e 0,967 c 0,967aa

et a c 0,587 a 0,967a 0,587 a 17,8 UA

et donc c 17,2 UA

distance maximale a c 17,8 17,2 35 UA

ii) 2 2b a c 4,6 UA

Soleil (au foyer)

Terre

a c

a

dmax dmin



Illustration :

a)

i) k 2b et h a

d( S;F ) a c et d( S ,F ') a c

or dans ce cas 2

2k ka h ; b ; c h

2 4

On a donc 2

2 kd( S;F ) h h

4 et

22 k

d( S ,F ') h h4

ii) Données : d( F ';S ) 32 cm et h 17 cm

Equation : 2 2 2

2 2k k k17 17 32 17 225 64 k 16

4 4 4 cm

2 2ka h 17 ; b 8 c a b 15

2

Si l’ellipse est centrée en (0 ;0) avec l’axe focal confondu avec l’axe Oy on a : F( 0; 15 )

b)

Données : k 18 cm et h 15 cm

i) 2

2 kd( S;F ) h h 3 cm

4

ii) 2

2 kd( S ,F ') h h 27 cm

4

F

a c

a

d(S ;F’) d(S ;F)

S

F’ C

b


Correction exercice 12 a) S( 0;0 ) h=0 et k=0

F( 2;0 ) p 2 et axe focal // à l’axe Ox (confondu) . « Ouverture sur la gauche ».

2y k 4 p x h 2y 8x

b) S( 0;0 ) h=0 et k=0

F( 0;5 ) p 5 et axe focal // à l’axe Oy (confondu) . « Ouverture vers le haut ».

2( x h ) 4 p( y k ) 2x 20 y

c) S( 1;3 ) h=1 et k=3

F( 1;3 ) p 1 1 p 2

et axe focal // à l’axe Ox . « Ouverture sur la gauche ».

2 2y k 4 p x h y 3 8( x 1)

d) Axe focal // à l’axe Oy . « Ouverture vers le haut ».

F( 3;2 ) h 3 ; p k 2

directrice d : y 4 p k 4

2k 2 k 1 et p 3

2( x h ) 4 p( y k ) 2( x 3 ) 12( y 1)

e) Equation de la forme 2( x h ) 4 p( y k ) avec h 2 2( x 2 ) 4 p( y k )

Axe focal // à l’axe Oy . « Ouverture vers le haut ».

Système 2x2 :

2

2

4 2 4 p( 5 k )4;5 P 1 5 p kp 13 6 p p

2;11 P 4 11p kp 22 2 4 p( 11 k )

5 1

1 k 2 5 k k 32 2

2Conclusion : ( x 2 ) 2( y 3 )


Correction exercice 13 a) De la forme : 2( x h ) 4 p( y k )

2 12x 12 y S( 0;0 ) ; p 3 ; F( 0;3 )

4 « Ouverture vers le haut ».

b) De la forme : 2y k 4 p x h

2 10 5 5y 10x S( 0;0 ) ; p ; F ;0

4 2 2

« Ouverture vers la gauche ».

c) 2 2 2x 6 x 8 y 25 0 x 6 x 9 8 y 16 ( x 3 ) 8( y 2 )

De la forme : 2( x h ) 4 p( y k )

S( 3; 2 ) ; p 2 ; F( 3; 4 ) . « Ouverture vers le bas ».

d) 2 2 2y 16 x 2 y 49 0 y 2 y 1 16 x 48 ( y 1) 16( x 3 )

De la forme : 2y k 4 p x h

S( 3; 1) ; p 4 ; F(7; 1) « Ouverture vers la droite ».


Si S( 0;0 ) alors parabole du type 2y 4 px . Or le point 0,6;1,8 appartient à la

parabole 21,8 4 p 0,6 p 1,35 .

F( 0;1,35 ) et donc la distance est de 1,35 m.


2x 4 py 210 4 2,5 p p 10 F( 0;10 ) donc à 10 cm.


2y 4 px 2 2 25 255 4 p p F ;0

16 16

donc à 1,5625 cm.



a) S'( 5;0 ) S( 5;0 ) F( 13;0 )

Axe focal // à l’axe Ox (confondu)

2 2

2 22 2

x 0 y 0C( 0;0 ) ; a 5 ; c 13 ; b c a 12 1

5 12

.

b) C(0;0 ) F( 0;6 ) b 5

Axe focal // à l’axe Oy (confondu)

2 2

2 22 2

y 0 x 0c 6 ; b 5 ;a c b 11 1

511

.

c) C( 2; 3 ) S(7; 3 ) 3 21

y x5 5

est une asymptote

Axe focal // à l’axe Ox

3 21 3 b 3a 5 ; y x x 2 3 donc b 3

5 5 5 a 5

2 2

2 2

x 2 ( y 3 )1

5 3

.

d) C( 3;1) F( 3;5 ) S'( 3;4 )

Axe focal // à l’axe Oy

c 4 ; a 3 b 16 9 7

2 2

22

y 1 ( x 3 )1

3 7

e) Centre de l’hyperbole à l’intersection des deux asymptotes :

1 1

x x 4 x 4 ; y 2 C( 4;2 )2 2

2 2

2 2

b 1( x 4 ) 2 x

( x 4 ) ( y 2 )a 2 a 2; b 1 1b 1 2 1

( x 4 ) 2 x 4a 2



a) 2 2 2 2

2 22 2

x y x y4x 9 y 36 1 1

9 4 3 2

De la forme : 2 2

2 2

x h y k1

a b


2C( 0;0 ) ; a 3 ; b 2 ; c 13 ;F 13;0 ;F ' 13;0 ; y x

3

b) 2 2

2 2 y x16 y 9x 144 1

9 16

De la forme : 2 2

2 2

y k x h1

a b


3C( 0;0 ) ; a 3 ; b 4 ; c 5 ;F 0;5 ;F ' 0; 5 ; y x

4

c) 2 2 2 2x 4 y 6 x 16 y 11 0 x 6 x 9 4( y 4 y 4 ) 11 9 16 4

22

2 22 2

y 2( x 3 )( x 3 ) 4( y 2 ) 4 1

2 1

De la forme : 2 2

2 2

x h y k1

a b


C( 3;2 ) ; a 2 ; b 1 ; c 5 ;F 5 3;2 ;F ' 5 3;2 ; y 1 x 3 2

d) 2 2144x 25 y 576 x 200 y 3776 0

2 2144 x 4x 4 25( y 8 y 16 ) 3776 4 144 25 16 3600

2 2144 x 2 25( y 4 ) 3600

2 22 2x 2 x 2( y 4 ) ( y 4 )

1 125 144 144 25

De la forme : 2 2

2 2

y k x h1

a b


12C( 2;4 ) ; a 12 ; b 5 ; c 13 ;F 2;17 ;F ' 2; 9 ; y x 2 4

5



Quelle est l’équation cartésienne de l’hyperbole 2 2x y

12 2 après une rotation de 45

4

?

2 2x' x cos y sin x' x y4 4 2 2

2 2y' x sin y cos y' x y4 4 2 2

Sys. 2x2

Solution :

x' y'x

2x' y'

y2

Donc

2 2x' y' x' y'

2 2 12 2

2 2 2 2x' 2x' y' y' x' 2x' y' y'1

4 4

4

x' y'

4

f

1

1y' D

x'



2 2 2 2( x c ) y ( x c ) y 2a

2 2 2 2( x c ) y ( x c ) y 2a

2 22 2 2 2( x c ) y 2a ( x c ) y

2 2( x c ) y 2 2 2 2 24a 4a ( x c ) y ( x c ) y

2x 22xc c 2 2 2 24a 4a ( x c ) y x 22xc c

2 2 24xc 4a 4a ( x c ) y

2 2 2xc a a ( x c ) y

222 2 2xc a a ( x c ) y

2 2 2 4 2 2 2 2x c 2xca a a x 2xc c y

2 2 2x c 2xca 4 2 2 2a a x 2a xc 2 2 2 2a c a y

2 2 2 2 2 2 2 2x c a a y a c a ( on pose 2 2 2b c a )

2 2 2 2 2 2x b a y a b ( on divise par 2 2a b )

2 2

2 2

x y1

a b (équation cartésienne implicite)

Correction exercice 21 a) La trajectoire de la particule est une branche d’une hyperbole centrée en (0;0)

avec une asymptote oblique d’équation 1

y x2

.

Nous avons : 1 b a 3

C( 0;0 ) ; a 3; y x x b2 a 2 2

Donc : 2 2

22

x y1

3 32


Correction activité Introduction au système de navigation LORAN.

Rappel : d

v d v tt

et 1 2 1 2 1 2d d v t v t v t t v t

1 2d d d B;P d A;P 294 400 117' 600 m 117,6 km

A 13h00, le point P est sur la branche droite de l’hyperbole dont l’équation est 2 2

2 2

x y1

a b ,

formée de tous les points dont la différence des distances aux foyers A et B est 1 2d d .

Posons 1 2

117,6d d 2a a 58,8

2

Ici c 2 80 160 donc 2 2b c a 149

L’hyperbole à pour équation :

2 2

2 2

x y1

58,8 149

Posons : y 80 , l’ordonnée de P et calculons l’abscisse de P :

2 2 2

2 2 2

x 80 801 x 58,8 1 66,7

149 14958,8

Conclusion : La position du bateau à 13h00 est P 66,7;80 (en km)



Rappel : d

v d v tt

et 1 2 1 2 1 2d d v t v t v t t v t

a) Hyperbole T / T’:

d( P;T ') d( P;T ) 294 400 117,6 km

2a 117,6 a 58,8 ;

2 2F( 0;0 ) ; F '( 0;400 ) C( 0;200 ) ; c 200 ; b c a 36542,56

2 2

y 200 x 01

3457,44 36542,56

Hyperbole S / S’ :

d( P;S') d( P;S ) 294 650 191,1 km

2a 191,1 a 95,55 ;

2 2F( 30; 50 ) ; F '( 30; 500 ) C( 30; 275 ) ; c 225 ; b c a 41495,1975

2 2

y 275 x 301

9129,8025 41495,1975

b) On trouve 4 solutions avec GeoGebra :

2845,87;1077,34 , -560,286;17,9047 , 596 ,428;7,3497 , 3020,26 ;1130.87

c) d( P;T ') d( P;T ) 0 d( P;T ') d( P;T )

P est sur la branche inférieure de l’hyperbole T

d( P;S') d( P;S ) 0 d( P;S') d( P;S )

P est sur la branche supérieure de l’hyperbole S

Conclusion : On choisit finalement P( 596 ,428;7 ,3497 )



Rappel : d

v d v tt

et 1 2 1 2 1 2d d v t v t v t t v t

a) Hyperbole T / T’:

d( P;T ) d( P;T ') 294 300 88,2 km

2a 88,2 a 44,1 ;

2 2F( 0;0 ) ; F '( 0;400 ) C( 0;200 ) ; c 200 ; b c a 195,08

2 2

2 2

y 200 x 01

44,1 195,08

Hyperbole S / S’ :

d( P;S ) d( P;S') 294 600 176,4 km

2a 176,4 a 88,2 ;

2 2F( 30; 50 ) ; F '( 430; 50 ) C( 230; 50 ) ; c 200 ; b c a 179,5

2 2

2 2

x 230 y 501

88,2 179,5

b) On trouve 4 solutions avec GeoGebra :

348,2;110 , 425,7;305,6 , 59,9;7,246,1 , 97,7 ;150,7

c) d( P;T ) d( P;T ') 0 d( P;T ) d( P;T ')

P est sur la branche supérieure de l’hyperbole T

d( P;S ) d( P;S') 0 d( P;S ) d( P;S')

P est sur la branche droite de l’hyperbole S

Conclusion : On choisit finalement P 425,7 ; 305,6


Correction exercice 24 a)

Relations : 2 2 2pc ; L c a ; c a b

2

Donc : p

a L c L2

2 2

2 2 2 2 2 2 p pc a b b c a L L p L

2 2

Coordonnée du centre : p

C 0;2

donc p

h 0 ; k2

Finalement : Axe focal // à l’axe Oy

2

2 2

2

py

x 0 x 0p p2 1 y f x L 1L p L 2 L p L 2p

L2

Parabole : 2

1 2x 12 y p 3 Foyers : F ( 0;3 ) , F 0;0 .

Avec L 2 et p 3 nous avons 21 x 3

y f x 12 2 2

b) Voir fichier GeoGebra.

F2

L p L

c

c

a

a C

Notes personnelles _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

Notes personnelles _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________

Documents

ÉQUATIONS CARTÉSIENNES DES CONIQUES