ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Table des matières · 2018-07-14 · ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES NICOLAS RAYMOND Table des matières Introduction 2 1. Équationsdiﬀérentiellesscalaireslinéairesdupremierordre

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

NICOLAS RAYMOND

Table des matières

Introduction 21. Équations différentielles scalaires linéaires du premier ordre 21.1. Définitions 21.2. Résolution théorique 31.3. Résolution pratique 31.4. Cas des coefficients constants 42. Équations différentielles vectorielles linéaires d’ordre 1 52.1. Généralités sur les équations différentielles 52.2. Équations différentielles vectorielles linéaires d’ordre 1 63. Équations différentielles linéaires scalaires du second ordre 103.1. Généralités 103.2. Cas des coefficients constants 113.3. Quelques problèmes classiques 114. Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants 124.1. Étude théorique 124.2. Résolution de (E) quand A est diagonalisable 125. Équations différentielles non linéaires : exemples 145.1. Autour du théorème de Cauchy-Lipschitz 145.2. Notions sur les entonnoirs, échappement des solutions 145.3. Quelques exemples d’équations non linéaires 165.4. Un exemple pour traiter des équations différentielles : la méthode du tir 175.5. Un exemple d’étude qualitative de système non linéaire 195.6. Notions des méthodes numériques pour les équations différentielles 206. Rappels d’algèbre linéaire 246.1. Matrices, changements de bases 246.2. Endomorphismes, valeurs propres 257. Notions de la théorie des séries entières 267.1. Éléments de la théorie 267.2. Un exemple fondamental : l’exponentielle 27

Date: 31 août 2013.

1

2 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

Introduction. Dans de nombreux domaines (mathématiques, physique, chimie,biologie, etc.), on est amené à chercher des fonctions dont les dérivées vérifientcertaines relations. Ainsi est-ce le cas pour le principe fondamental de la dynamique(équation différentielle) :

d2M

dt2=−→F ,

pour l’équation des ondes (équation aux dérivées partielles) :

−∂2ψ

∂x2− ∂2ψ

∂y2− ∂2ψ

∂z2− 1

c2∂2ψ

∂t2= 0.

ou encore pour la célèbre équation de Schrödinger (équation aux dérivées partielles) :(−∆ + V (x))ψ = i∂tψ.

Dans ce cours, nous étudierons les équations différentielles (sujet déjà bien vaste !).Le problème général consistera, étant données des conditions initiales (position etvitesse par exemple) et une relation satisfaite par les dérivées d’une fonction (prin-cipe de la dynamique par exemple) à déterminer cette fonction inconnue et/ou sespropriétés.En particulier, nous ferons l’inventaire des méthodes classiques de résolutions, ainsique des problèmes divers qui apparaissent dans la théorie des équations différen-tielles.

1. Équations différentielles scalaires linéaires du premier ordre

1.1. Définitions.

Définition 1.1 (Forme générale de l’équation). On appelle équation différentiellescalaire linéaire d’ordre 1 toute équation différentielle de la forme :

(1.1) A(x)y′ +B(x)y = C(x),

où A,B,C sont trois fonctions continues de J ⊂ R à valeurs dans K, J étant unintervalle de R non réduit à un point.L’équation homogène associée à (1.1) est :

(1.2) A(x)y′ +B(x)y = 0.

Définition 1.2. Si A ne s’annule pas en un point x0 ∈ J , alors il existe un intervalleI ⊂ J tel que A(x) 6= 0 pour x ∈ I et alors (1.1) se met sous la forme dite "résolue"sur I :

y′ = −B(x)

A(x)y +

C(x)

A(x)= b(x)y + c(x).

Définition 1.3. Soit J1 ⊂ J un intervalle de R non réduit à un point. On dit quef est une J1-solution de (1.1) si, pour tout x ∈ J1, on a :

A(x)f ′(x) +B(x)f(x) = C(x).

Nous nous intéresserons donc aux couples (J1, f) qui résolvent l’équation (1.1). Si(J1, f) est une solution de (1.1) et si J2 ⊂ J1, alors (J2, f) est une J2 solution de(1.1).

Définition 1.4 (Solution maximale). On dit que (J1, f) est une solution maximalede (1.1) si et seulement si elle n’est la restriction à J1 d’aucune autre solutionqu’elle-même.

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 3

Dans la suite, nous allons porter essentiellement notre attention les solutions del’équation mise sous forme résolue.

1.2. Résolution théorique. Le cas scalaire linéaire a le bon goût d’être particu-lièrement simple à résoudre. Nous considérons donc l’équation :

(1.3) y′ = b(x)y + c(x), x ∈ I,

où b et c sont des fonctions continues sur I. Nous rappelons l’équation homogène :

(1.4) y′ = b(x)y, x ∈ I.

1.2.1. Propriétés élémentaires. Nous disposons des théorèmes élémentaires suivants :

Théorème 1.5. L’ensemble des I1-solutions de (1.4) est un K espace vectoriel.

Théorème 1.6. L’ensemble des I1-solutions de (1.3) est un K espace affine dedirection l’ensemble des I1-solutions de (1.4).

1.2.2. Résolution.

Théorème 1.7 (Équation homogène). Soit I1 un intervalle de R non réduit à unpoint. Les I1-solutions de l’équation homogène (H) forment un K e. v. de dimension1. De plus, les solutions maximales sont définies sur I et si une solution de (H)s’annule en un point, elle est identiquement nulle.

Théorème 1.8. Soit I1 un intervalle de R non réduit à un point. Les I1-solutionsde (E) forment une droite affine de dimension 1. De plus, les solutions maximalessont définies sur I.

Remarque 1.9. Si l’équation n’est pas mise sous forme résolue, on résout d’abordsur les intervalles où A ne s’annule pas, puis on se pose la question du recollementdes solutions.

1.3. Résolution pratique. La théorie du paragraphe précédent fournit les solu-tions de façon explicite. Cependant, il vaut mieux retenir le principe (très général)de la démonstration :

– on résout l’équation homogène (H),– on cherche une solution particulière de (E) : soit on en trouve une explicite, soiton utilise la méthode de variation de la constante (qui marche à coup sûr !).

Proposition 1.10 (Superposition des solutions). Considérons l’équation :

A(x)y′ +B(x)y =n∑i

Ci(x),

avec A,B,Ci continues sur I et avec A ne s’annulant pas sur I. Si yi est une solutionde

A(x)y′ +B(x)y = Ci(x),

alors,n∑i

yi est solution de (E).

Exemple : xy′ − y = ln(x) + 1.


Théorème 1.11 (Problème de Cauchy). On considère (E) avec A,B,C continuessur I et A ne s’annulant pas sur I. Alors, pour tout (x0, y0) ∈ I × K, il existe uneunique solution Y de (E) définie sur I qui vérifie Y (x0) = y0. De plus, toute solutionde (E) qui vérifie y(x0) = y0 est la restriction de Y à un intervalle contenant x0.

Remarque 1.12. Lorsque A s’annule sur I, tous les résultats précédents (structuredes solutions, existence, unicité) tombent en défaut : c’est le problème du raccorddes solutions définies sur les intervalles où A ne s’annule pas.Exemple : ty′ − αy = 1. Pour quelles valeurs de α existe-t-il des solutions sur R ?Que dire du problème de Cauchy : existe-t-il des solutions telles que y(0) = y0 ∈ R ?

1.4. Cas des coefficients constants.

Définition 1.13. On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre à co-efficients constants toute équation de la forme :

y′ + by = C(x), où C : I → K continue.

Nous avons vu que les solutions de l’équation homogène sont de la forme : y(x) =λe−bx et que les solutions de (E) sont définies sur I. Il y a des cas où on peutdéterminer une solution particulière sans recourir à la méthode de variation de laconstante.C(x) = P (x) où P est un polynôme. On cherche une solution particulière sous laforme Q(x).C(x) = P (x)eαx où P est un polynôme. On cherche une solution sous la formeeαxg(x).Exemple : y′ − y = (x+ 1)ex + sin(2x) + x cos(x) + 1

1+x2.


2. Équations différentielles vectorielles linéaires d’ordre 1

2.1. Généralités sur les équations différentielles. Soit E = Kp.

2.1.1. Définition et réduction au premier ordre.

Définition 2.1. On appelle système différentiel d’ordre n sous forme normale touteéquation différentielle de la forme :

(E) : y(n) = G(t, y, y′, · · · , y(n−1)),

où G est une application d’un ouvert U de R×En à valeurs dans E et y une fonctionCn à valeurs dans E.

(E) peut être ramenée à un système d’ordre 1 à l’aide du procédé suivant. Onpose :

y′ = z1, y′′ = z2, · · · , y(n−1) = zn,

ce qui s’écrit de façon équivalente :

y′ = z1, z′1 = z2, · · · , z′n−1 = zn.

y est solution de (E) si et seulement si (y, z1, · · · , zn−1, zn) est solution de :

y′ = z1,

z′1 = z2,

z′k = zk+1,

z′n = G(t, y, z1, · · · , zn−1).

Ainsi, nous nous restreignons à l’étude des systèmes différentiels d’ordre 1.

2.1.2. Le problème de Cauchy et sa formulation intégrale. Soit l’équation :

(E) : y′ = G(t, y),

avec G : U → E. Le problème de Cauchy consiste à savoir s’il existe une solution de(E) qui vérifie y(t0) = a0 où (t0, a0) ∈ U .

Théorème 2.2. Soient U un ouvert de R×E, G : U → E une application continue,I un intervalle de R et φ : I → E continue. Alors, on a équivalence :

(1) (I, φ) est solution de y′ = G(t, y) et y(t0) = y0.

(2)

∀t ∈ I, φ(t) = y0 +

∫ t

t0

G(s, φ(s))ds.

2.1.3. Solutions maximales.

Définition 2.3. Si (I, φ) et (J, ψ) sont eux solutions de y′ = G(t, y), on dit que(J, ψ) est un prolongement de (I, φ) si I ⊂ J et si φ est la restriction de ψ à I.

Définition 2.4. On appelle solution maximale de l’équation y′ = G(t, y) toute solu-tion (I, φ) qui n’est la restriction à I d’aucune solution (J, ψ) avec I sous-intervallestrict de J .


2.2. Équations différentielles vectorielles linéaires d’ordre 1.

Définition 2.5. On appelle équation différentielle vectorielle linéaire d’ordre 1 touteéquation différentielle de la forme :

(E) : y′ = a(t)y + b(t),

où a : I → L(E) et b : I → E sont continues.

En considérant une base de E, on peut réécrire cette équation sous la forme d’unsystème :

Y ′ = A(t)Y +B.

De même que dans le cas scalaire on définit l’équation homogène associée à (E) :(H) : y′ = a(t)y.

Une solution de (E) est un couple (J, φ) où J est un intervalle inclus dans I et φune fonction de classe C1 sur J telle que :

∀t ∈ J, φ′ = a(t)φ+ b(t).

2.2.1. Préliminaires sur les suites et séries de fonctions. On suppose que K = R ouC et on pose E = Kd. (X, d) désignera un espace métrique ; on pourra prendre pourX un intervalle de R et pour d la valeur absolue.

Définition 2.6. On dit qu’une suite de fonctions (fn) (à valeurs dans E) définiessur X et bornées converge uniformément vers une fonction f (bornée) sur X si etseulement si :

‖fn − f‖∞ = supx∈X‖fn(x)− f(x)‖ → 0, quand n→ +∞.

Proposition 2.7. Soit (fn) une suite de fonctions continues et bornées sur X etqui converge uniformément vers f sur X, alors f est continue sur X.

Démonstration. Soit x0 ∈ X. On veut estimer ‖f(x) − f(x0)‖ quand x → x0. Soitε > 0 et N ∈ N tels que pour tout n ≥ N :

‖fn − f‖∞ ≤ε

3.

On a :‖f(x)− f(x0)‖ ≤ ‖f(x)− fN(x)‖+ ‖fN(x)− fN(x0)‖+ ‖fN(x0)− f(x0)‖.

On trouve donc :

‖f(x)− f(x0)‖ ≤2ε

3+ ‖fN(x)− fN(x0)‖.

Pour ce N , on utilise l’hypothèse de continuité des fN en x0 : il existe α > 0 tel quepour tout x ∈ X tel que d(x, x0) ≤ α, on a :

‖fN(x)− fN(x0)‖ ≤ε

3.

�

Corollaire 2.8. Soit (fn) une suite de fonctions continues sur [a, b] et convergeantuniformément vers f sur [a, b], alors :

limn→+∞

∫ b

a

fn(t)dt =

∫ b

a

f(t)dt.


Définition 2.9. On dit qu’une suite de fonctions fn définies et bornées sur X vérifiele critère de Cauchy uniforme si, pour tout ε > 0, il existe N ∈ N tel que pour toutn,m ≥ N , on a :

‖fn − fm‖∞ ≤ ε.

Proposition 2.10 (Admis). Si une suite (fn) de fonctions bornées vérifie le critèrede Cauchy uniforme, alors elle converge uniformément vers une certaine fonctionbornée f .

Corollaire 2.11. Soit (fn) une suite de fonctions continues et bornées sur X. Onpose

FN =N∑n=0

fn.

Alors, si la série de terme général ‖fn‖∞ converge, alors (FN) vérifie le critère deCauchy uniforme et elle converge vers une fonction continue F .

2.2.2. Théorème de Cauchy-Lipschitz (cas linéaire). Nous allons à présent nous in-téresser à un théorème fondamental donnant l’existence et l’unicité d’une solutionau problème de Cauchy (dans le cas linéaire ; le cas général sera présenté plus tard).

Théorème 2.12. Soit a : I → L(E) et b : I → E deux applications continues surI. Alors, pour tout (t0, y0) ∈ I × E, l’équation :

(E) : y′ = a(t)y + b

admet une unique solution satisfaisant y(t0) = y0.

Démonstration. Nous cherchons une fonction continue y : I → E telle que :

∀t ∈ I, y(t) = y0 +

∫ t

t0

(a(s)y(s) + b(s))ds.

Supposons déjà que I est un segment. Nous allons construire une telle fonctionpar une méthode d’approximation. On définit par récurrence la suite de fonctionssuivante :

Y0(t) = y0,

Yn+1(t) = y0 +

∫ t

t0

(a(s)Yn(s) + b(s))ds.

On se pose donc la question de la convergence uniforme de Yn vers une certainefonction y sur I. Pour cela nous allons évaluer la norme de Yn+1 − Yn. Il est clairque :

Yn+1(t)− Yn(t) =

∫ t

t0

a(s)(Yn(s)− Yn−1(s))ds.

Ainsi, par continuité de a, nous pouvons majorer :

‖Yn+1 − Yn‖ ≤ α

∫ t

t0

‖Yn(s)− Yn−1(s)‖ds

Par ailleurs, nous avons :

‖Y1 − Y0‖ ≤ (α‖y0‖+ β)|t− t0|.


Par récurrence, nous déduisons que :

‖Yn+1(t)− Yn(t)‖ ≤ (α‖y0‖+ β)αn|t− t0|n

(n+ 1)!, ∀t ∈ I

Si h désigne la longueur de I, nous trouvons :

‖Yn+1(t)− Yn(t)‖ ≤ (α‖y0‖+ β)αnhn

(n+ 1)!, ∀t ∈ I

Or, la série∑

αnhn

(n+1)!est convergente, ainsi, par comparaison, nous avons montré que∑

(Yn+1(t)−Yn(t)) est une série normalement convergente sur I. La convergence estpar conséquent uniforme sur I Cette série est téléscopique :

N−1∑n=0

(Yn+1(t)− Yn(t)) = YN(t)− y0.

Cela prouve que Yn converge uniformément vers une certaine fonction I. Les Yn étantcontinues sur I, nous déduisons que y est continue sur I. Il ne reste plus qu’à passerà la limite pour trouver :

∀t ∈ I, y(t) = y0 +

∫ t

t0

(a(s)y(s) + b(s))ds.

Cela achève la preuve de l’existence. Passons à l’unicité. Soient y1 et y2 deux solutionsdu problème de Cauchy. Leur différence δ = y2 − y1 satisfait :

δ(t) =

∫ t

t0

a(s)δ(s)ds.

Par continuité sur un compact, il existe M > 0 tel que pour tout t ∈ I :

‖δ(t)‖ ≤M.

Par récurrence, nous avons donc :

‖δ(t)‖ ≤Mαn|t− t0|n

n!.

Il ne reste qu’à passer à la limite et nous déduisons que δ = 0. Cela achève la preuvede l’unicité.Le cas où I n’est pas compact s’obtient alors sans mal à partir du cas compact. �

2.2.3. Structure des solutions. Nous savons donc que les solutions de (E) existentet sont définies sur I. Examinons donc leurs propriétés.

Proposition 2.13. L’ensemble des solutions de (H) est un K-e. v. de dimensionp. L’ensemble des solutions de (E) est un espace affine de direction l’ensemble dessolutions de (H).

Choisissons désormais une base de E et considérons plutôt les systèmes :

Y ′ = A(t)Y.

Nous allons introduire une quantité commode pour savoir si p solutions de l’équationhomogène (H) forment une famille libre (et donc une base SH).


Wronskien de p applications à valeurs dans Kp.

Définition 2.14. On appelle wronskien de p applications Y1, · · ·Yp de I à valeursdans Kp la quantité :

w(t) = det(Y1(t), · · · , Yp(t)).

Proposition 2.15. Si (Y1, · · · , Yp) est lié, on a :

∀t ∈ I, w(t) = 0.

Proposition 2.16. S’il existe t0 ∈ I tel que w(t0) 6= 0, alors (Y1, · · · , Yp) est libre.

Wronskien des solutions de (H).

Théorème 2.17. Soient Y1, · · · , Yp p solutions du système homogène (H) : Y ′ =A(t)Y avec A continue sur I. Alors, on a :

∀t ∈ I, w′(t) = Tr(A(t))w(t).

En particulier, Y1, · · · , Yp est lié si et seulement si w est identiquement nulle si etseulement si w s’annule en au moins un point.

Variation des constantes. Supposons qu’on ait trouvé p solutions indépendantes de(H). Nous pouvons alors déterminer les solutions de (E).

Théorème 2.18. Soient Y1, · · · , Yp p solutions indépendantes de (H) sur I. Onpose :

Y (t) =

p∑i=1

λiYi(t), ∀t ∈ I.

Alors, on a :(1) Y est dérivable si et seulement si les λi sont dérivables.(2) Y est solution de (E) si et seulement si

∑pi=1 λ

′i(t)Yi = B(t).

Exemple : Résoudre : (t2 + 1)x′ = tx− y + 2t et (t2 + 1)y′ = x+ ty − 1.


3. Équations différentielles linéaires scalaires du second ordre

3.1. Généralités.

Définition 3.1. On appelle équation différentielle linéaire d’ordre 2 toute équationdifférentielle de la forme :

A(x)y′′ +B(x)y + C(x)y = D(x),

où A,B,C et D sont des applications de I dans K continues.

Dans la suite, nous nous intéressons aux solutions maximales de l’équation sousforme résolue. Écrivons le système linéaire d’ordre 1 associé à :

(E) : y′′ = b(x)y′ + c(x)y + d(x)

avec a, b, c et d continues sur I. (E) est équivalent à (S) :{y′ = uu′ = b(x)u+ c(x)y + d(x)

ou encore : [y′

u′

]=

[0 1c(x) b(x)

] [yu

]+

[0d(x)

].

Nous pouvons appliquer les résultats précédents pour obtenir en particulier :

Proposition 3.2. (1) Les solutions de (S) sont définies sur I.(2) Les solutions de (H) forment un K e.v. de dimension 2.(3) Pour tout (t0, a0, a1) ∈ I × K2, il existe une unique solution de (E) définie

sur I telle que y(t0) = a0 et y′(t0) = a1.

Résolution de (E). Dans le cas général, on ne sait résoudre ni (H) ni (E).(1) Si on connaît deux solutions indépendantes y1 et y2 de (H) et une solution

particulière de (E) y0, alors la solution générale de (E) est :

y = λ1y1 + λ2y2 + y0.

(2) Si on connaît une solution Y de (H) ne s’annulant pas sur J ⊂ I, alors onva pouvoir résoudre (E) sur J . On pose en effet y = zY et on est ramené àune équation du premier ordre.Résoudre : (t2 + 1)x′′ − 2x = 4t(t2 + 1) en remarquant que (H) possède unesolution polynômiale.

(3) Si on connaît deux solutions indépendantes y1 et y2 de (H), alors on peututiliser la méthode de variation des constantes. On commence par écrire lesystème associé :[

y′

u′

]=

[0 1c(x) b(x)

] [yu

]+

[0d(x)

].[

y1y′1

]et

[y2y′2

]sont deux solutions indépendantes de (H). On cherche alors

la solution générale sous la forme : Y = c1(x)Y1 + c2(x)Y2 et on trouve :

c′1Y1 + c′2Y2 =

[0d(x)

].

Il n’y a plus qu’à trouver c1 et c2 en inversant le système.


Résoudre : x2y′′ + xy′ − y = 2x en remarquant qu’il existe des solutions de la formexm avec m ∈ Z.

3.2. Cas des coefficients constants.

3.2.1. Propriétés générales.

Définition 3.3. On appelle équation différentielle linéaire du second ordre à coeffi-cients constants toute équation du type :

ay′′ + by′ + cy = D(x),

avec (a, b, c) ∈ K∗ ×K2 et D : I → K continue.

Les solutions de (H) sont définies sur R et forment un K e. v. de dimension 2. Lessolutions de (E) sont définies sur I et forment un plan affine.

3.2.2. Solutions de (H). On sait toujours calculer deux solutions indépendantes de(H). On remarque déjà que x 7→ erx est solution de (H) si et seulement si ar2 + br+c = 0. Deux cas se présentent.K = C. Si ∆ = b2−4ac 6= 0, alors il y a deux racines distinctes r1 et r2 et la solutiongénérale de (H) est de la forme :

y = λ1er1x + λ2e

r2x.

Si ∆ = 0, il y a une racine double r0. On pose y = zer0x et en remplaçant on trouve :z = λx+ µ.K = R. Si ∆ ≥ 0, cf. le premier cas. Si ∆ < 0, il y a deux racines complexesconjuguées :

r1 = α + iβ et r2 = α− iβ.Ces racines donnent lieu à deux solutions conjuguées :

y1 = eαx(cos(βx) + i sin(βx))

ety2 = eαx(cos(βx)− i sin(βx)).

On en déduit que Y1 = eαx cos(βx) et Y2 = eαx sin(βx) sont solutions de (H) et ellessont indépendantes.Résoudre : y′′ + 4y′ + 4y = 0 ; y′′ − 5y′ − 6y = 0 et y′′ + y′ + y = 0.

3.2.3. Solutions de (E). On connaît toujours une solution de (H) de la forme erx,on peut donc chercher les solutions sous la forme : y = erxz.Résoudre : y′′ − 6y′ + 9y = 3x2e−3x et y′′ + y = tan2(x).

3.3. Quelques problèmes classiques.

3.3.1. Problème des raccords : exemple. Examiner le raccord des solutions de : (t+1)y′′−2y′−(t−1)y = te−t en remarquant que et est solution de l’équation homogène.Résoudre le problème de Cauchy pour ces solutions...

3.3.2. Développement en série entière des solutions : exemple. Résoudre x(x−1)y′′+3xy′ + y = 0 en cherchant des solutions DSE en 0. Étudier les raccords.

3.3.3. Changement de variable ou de fonction inconnue : exemple. Résoudre : x2y′′+4xy′ + 2y = 0


4. Systèmes différentiels linéaires à coefficients constants

4.1. Étude théorique.

Définition 4.1. On appelle système différentiel linéaire du premier ordre à coeffi-cients constants tout système différentiel de la forme :

X ′(t) = AX(t) +B(t),

où A ∈Mn(K) et B : I → Kn est continue.

Proposition 4.2. Pour tout A ∈ Mn(K),∑

Ak

k!est une série convergente et sa

somme est notée eA. De plus, φt 7→ etA est dérivable et φ′(t) = Aφ(t) = φ(t)A.

En particulier, cette proposition prouve que les solutions de (H) sont définies surR et qu’elles sont toutes de la forme : X(t) = etAx0 où x0 ∈ Kn.

Proposition 4.3. Soit P ∈ GLn(K). Si on pose X = PZ, alors (E) est équivalenteà

Z ′(t) = P−1APZ(t) + P−1B(t).

4.2. Résolution de (E) quand A est diagonalisable.

4.2.1. Résolution de (H). Si A est diagonalisable, alors il existe P ∈ GLn(K) telleque

P−1AP = diag(λ1, · · · , λn).

En posant X = PZ, il vient :Z ′(t) = diag(λ1, · · · , λn)Z(t)

et donc, pour tout i ∈ {1, · · · , n} :z′i(t) = λizi(t).

On en déduit que zi(t) = µieλit. On rappelle que P = (V1, · · · , Vn) où les Vi forment

une base de vecteurs propres. Ainsi, on a :

X(t) =n∑i=1

µieλitVi.

Résoudre : y′1 = 5y1 + y2 − y3y′2 = 2y1 + 4y2 − 2y3y′3 = y1 − y2 + 3y3

4.2.2. Résolution de (E). De la même façon que précédemment, on est ramené àrésoudre :

z′i = λizi + ci(t)

où C(t) = P−1B(t).Une autre façon serait d’utiliser la méthode de variation des constantes.Résoudre : y′1 = 5y1 + y2 − y3

y′2 = 2y1 + 4y2 − 2y3 + ty′3 = y1 − y2 + 3y3

Remarque 4.4. Si les coefficients sont réels et si les valeurs propres de A ne sontpas réelles, on peut tout de même remarquer que les parties réelles et imaginairesd’une solution sont solutions de (H).


4.2.3. Résolution de (E) quand A est trigonalisable. Dans ce cas, il existe P ∈GLn(K) telle que

P−1AP = T,

avec T triangulaire supérieure. On est alors ramené à la résolution d’un système encascade.Résoudre : x′ = 2y + 2z

y′ = −x+ 2y + 2zz′ = −x+ y + 3z


5. Équations différentielles non linéaires : exemples

Dans la suite, E = Kn et nous nous intéressons à des équations différentielles dela forme :

X ′ = f(t,X),

où f est donnée et à valeurs dans E.

5.1. Autour du théorème de Cauchy-Lipschitz. Avant de donner un résultatd’existence et d’unicité pour cette équation, nous avons besoin d’une définition pré-liminaire.

Définition 5.1. Soit U un ouvert de I × E. Une application f : U → E est ditelocalement lispchitzienne par rapport à la deuxième variable si, pour tout (t0, x0) ∈ U ,il existe un voisinage V de ce point dans U et un réel positif k tel que pour toutx, y ∈ E et t ∈ I, si (t, x) ∈ V et (t, y) ∈ V , alors :

‖f(t, x)− f(t, y)‖ ≤ k‖x− y‖.Donnons tout de suite un critère pratique.

Proposition 5.2. Soit U un ouvert de I × E et f : U → E. Pour que f soitlocalement lispchitzienne par rapport à la deuxième variable , il suffit que f soitdifférentiable par rapport à cette variable et que ∂xf soit continue sur U .

Nous pouvons énoncer le théorème fondamental de cette section.

Théorème 5.3. Soit U un ouvert de R×E et f : U → E une application continueet localement lispchitzienne par rapport à la deuxième variable. Alors, pour tout(t0, x0) ∈ U , il existe un intervalle J de centre t0 et de longueur non nulle tel quel’équation différentielle :

X ′ = f(t,X)

admette sur J une unique solution telle que X(t0) = x0.

Examiner les exemples y′ = y1/3 et y′ = y2.

5.2. Notions sur les entonnoirs, échappement des solutions.

5.2.1. Solutions globales. Nous allons voir que les solutions maximales non globalesdu problème de Cauchy ne sont pas bornées.

Proposition 5.4 (Échappement faible). Soit f une fonction continue sur (a, b)×Eà valeurs dans E et localement lipschitzienne par rapport à la seconde variable. Soitφ une solution maximale de y′ = f(t, y) et définie sur (α, β). Si β < b, alors φ estnon bornée au voisinage de β.

Démonstration. On raisonne par l’absurde. Soit t0 ∈ (α, β) et M > 0 tel que‖φ(t)‖ ≤ M pour tout t ∈ [t0, β). Comme f est continue sur [t0, β] × Bf (0,M),elle y est bornée : il existe K > 0 telle que, pour tout (t, x) ∈ [t0, β] × Bf (0,M) :‖f(t, x)‖ ≤ K. Ainsi, on a :

‖φ′(t)‖ ≤ K, ∀t ∈ [t0, β].

Nous pouvons alors prolonger φ par continuité en β. Notons φ(β) = x0. En reprenantl’équation, on voit que φ′ admet f(β, φ(β)) comme limite en β. Ainsi prolongée φest solution de l’équation différentielle sur (α, β]. Soit alors ψ la solution maximalede l’équation y′ = f(t, y) telle que ψ(β) = x0. ψ permet alors de prolonger φ et c’estune contradiction. �


Nous donnons maintenant quelques critères pour obtenir la globalité des solutions.

Proposition 5.5. Soit f : I × E → E continue et localement lipschitzienne parrapport à la seconde variable. Supposons que pour tout compact K ⊂ I, il existeMK > 0 : ‖f(t, x)‖ ≤ MK pour tout (t, x) ∈ K × E. Alors les solutions maximalessont globales.

Proposition 5.6. Soit f : I × E → E continue et localement lipschitzienne parrapport à la seconde variable. Supposons que pour tout compact K ⊂ I, il existeC1(K), C2(K) telles que :

‖f(t, x)‖ ≤ C1(K)‖x‖+ C2(K), ∀(t, x) ∈ K × E.

Alors, les solutions maximales sont globales.

5.2.2. Entonnoirs.

Définition 5.7. On dit que u : I → R est une sur-solution de x′ = f(t, x) si, pourtout t ∈ I :

u′(t) ≥ f(t, u(t)).

On définit de même les sur-solutions strictes (et les sous-solutions).

Proposition 5.8. Soit u : I → R une sur-solution stricte de x′ = f(t, x) et x : J →R une solution maximale. Soit t0 ∈ J . Si x(t0) ≤ u(t0), alors pour tout t ∈ J avect > t0, on a :

u(t) > x(t).

Proposition 5.9. Soit u : I → R une sous-solution stricte de x′ = f(t, x) etx : J → R une solution maximale. Soit t0 ∈ J . Si x(t0) ≥ u(t0), alors pour toutt ∈ J avec t > t0, on a :

u(t) < x(t).

Exemple : x′ = 1− x2 ; u(t) = t+ c.Les deux propositions précédentes restent valables sans l’hypothèse "stricte".

Définition 5.10. Soient u une sur-solution et v une sous-solution de x′ = f(t, x)sur I × R. On suppose que u > v. L’ensemble

{(t, x) ∈ I × R : ∀t ∈ I : v(t) ≤ x ≤ u(t)}

est appelé un entonnoir.

Proposition 5.11. Soit I = (a, b). Soit x : J → R une solution maximale dex′ = f(t, x) sur I ×R. Soit t0 ∈ J . Si v(t0) ≤ x(t0) ≤ u(t0), alors [t0, b) ⊂ J et pourtout t ∈ [t0, b) :

v(t) ≤ x(t) ≤ u(t).

5.2.3. Un exemple d’étude qualitative. On se propose d’étudier l’équation : y′ = y2−x. Pour tout (x0, y0), il existe une unique solution maximale y telle que y(x0) = y0.


Minoration du temps d’existence. Montrons que l’intervalle d’existence maximal estminoré. Supposons que cet intervalle ne soit pas minoré. Alors, y est définie sur] −∞, b[. Ainsi, la solution est strictement croissante sur ] −∞, 0] et elle s’annuledonc au plus une fois sur cet intervalle (par exemple en x1). Alors, y ne s’annule pasavant x1 et pour x ≤ x1 − 1, on a : y′(x) ≥ 1 et donc y tend vers −∞ en −∞. Maison a aussi : y′(x) ≥ y(x)2, pour x ≤ x1 et donc :

1

y(x)≥ 1

y(x1)− (x− x1).

On fait tendre x vers −∞ pour trouver une contradiction. Au voisinage de a, la solu-tion ne peut pas rester dans la parabole y2 ≤ x (elle doit s’échapper des compacts) ;ainsi, quand x tend vers a, la solution devient croissante. Le théorème d’échappementimpose donc que y tend vers −∞.Piégeage des solutions bornées. Dans la suite, on s’intéresse aux solutions bornéeset nous montrons qu’elles entrent dans un entonnoir.Supposons que y est bornée. Supposons qu’elle est croissante sur ]a, b[. Alors, on ay(x)2 ≥ x et donc b 6= +∞ ce qui entraîne l’explosion de y en temps fini. C’estcontradictoire. y ne peut donc pas rester croissante sur ]a, b[. Soit c le plus petit réelde ]a, b[ tel que : y′(c) = 0. En particulier, on a y(c)2 = c.Vérifions que la parabole y2 = x définit un entonnoir. u(x) =

√x vérifie u′(x) > 0 =

f(x, u(x)) ; ainsi, u est une sur-solution stricte. De même, v(x) = −√x est une sous-

solution stricte. La proposition de piégeage des solutions dans un entonnoir montreque pour tout t ∈ [c, b[, la solution reste dans l’entonnoir et donc que b = +∞.

5.3. Quelques exemples d’équations non linéaires.

5.3.1. Équations de Bernoulli et Riccati.Équation de Bernoulli. On appelle équation de Bernoulli toute équation différentiellenumérique de la forme :

(E) : y′ = A(x)yα +B(x)y,

où A et B sont des fonctions continues sur I. α est supposé différent de 0 et 1. Enessayant le changement de fonction

z = y1−α,

on est ramené à

(1− α)−1z′ = A(x) +B(x)z.

Notons que ce changement de fonction n’est licite que si y > 0. Il faut donc faireattention.

Remarque 5.12. Si α > 1, toute solution de (E) qui s’annule est identiquementnulle.

Exemple 1 : traiter le cas α = 2.Exemple 2 : traiter : x2y′ + y + y2 = 0, x > 0.


Équation de Riccati. On appelle équation de Riccati toute équation différentiellenumérique de la forme :

(E) : y′ = A(x)y2 +B(x)y + C(x),

où A, B et C sont des fonctions continues sur I. Nous sommes dans le cadre d’appli-cation du théorème de Cauchy-Lipschitz, mais on ne sait pas résoudre explicitementcette équation. Cependant, si on connaît une solution particulière y0 et si on pose :y = y0 + u, alors u vérifie une équation de Bernoulli (α = 2).

5.3.2. Équations à variables séparées.y′ = f(x) : f est supposée continue sur I à valeurs dans E. y est une solution si etseulement si y = F (x) + C.y′ = g(y) : Il s’agit d’une équation autonome (car la variable de dérivation ne figurepas explicitement). Si on suppose que g est C1 sur I, alors on a l’existence et l’unicitéd’une solution locale. Supposons que g ne s’annule qu’en un nombre fini de pointsy1 < · · · < yn. Alors, on remarque déjà que si yj est un zéro de g, alors y = yjest solution. Par unicité, on peut donc supposer que y vérifie yj < y < yj+1. Enconsidérant une primitive G de g−1, on obtient que les solutions sont données parG(y) = x + c. Comme G est strictement monotone, on peut l’inverser et retrouvery.Exemple : y′ = (y−2)2√y

(y−2)2+√y sur [0,+∞[.y′ = f(x)g(y) : On suppose que f est continue sur I et que g est C1 sur I de sorteque les hypothèses du théorème de C. L. soient satisfaites. Avec les notations duparagraphe précédent, sur ]yj, yj+1[, on a : G(y) = F (x) + C avec F une primitivede f sur I.Exemple : y′ = ex+y.

5.4. Un exemple pour traiter des équations différentielles : la méthodedu tir. Nous allons essentiellement donner des exemples de cette technique. Elleconcerne les équations différentielles avec des conditions aux limites qui ne sont pascelles de Cauchy-Lipschitz.Exemple 1 : Pour c 6= 0, résoudre x′ = cx avec x′(1) = 1.Le principe est d’introduire un paramètre de tir τ et de résoudre, en fonction de τle problème :

x′ = cx, x(0) = τ.

Dans ce cas, on trouve :xτ (t) = τect.

Il s’agit alors de sélectionner dans cette famille xτ les éléments qui vérifient la condi-tion aux limites. On calcule donc x′τ (1) = cτ et cela impose : τ = c−1 et nous avonsrésolu le problème.Exemple 2 : Résoudre x′′ + x = 0 avec x(0) = x(1) = 0.On introduit le paramètre de tir τ en résolvant le problème de Cauchy suivant :

x′′ + x = 0, x(0) = 0, x′(0) = τ.

Cela se résout sans difficulté :xτ (t) = τ sin t.

xτ (1) = 0 implique alors τ = 0 et seule la solution nulle fonctionne.


Exemple 3 : un peu de théorie spectrale. Déterminer les nombres λ pour lesquels ilexiste une solution non nulle du problème suivant :

x′′ + λx = 0, x(0) = 0, x(1) = 0.

Remarquons déjà que si λ = 0, seule la solution nulle convient.On résout donc :

x′′ + λx = 0, x(0) = 0, x′(0) = τ.

Si λ < 0, on trouve :xτ (t) =

τ√−λ

sinh(t√−λ).

La condition aux limites impose que τ = 0.Si λ > 0, on trouve sans mal :

xτ (t) =τ√λ

sin(t√λ).

La condition aux limites donne sin(√λ) = 0 et donc λ = n2π2. Ainsi, l’ensemble des

solutions est donné par :xτ (t) =

τ

nπsin(nπt).

Exemple 4 : un peu de théorie des cristaux liquides. Existe-t-il des solutions nonnulles de : φ′′ + sinφ cosφ = 0, x(0) = 0, x′(L) = 0 et qui s’annulent sans changerde signe ?On considère plutôt :

φ′′ + sinφ cosφ = 0, x(0) = 0, x′(0) = τ.

On trouve que :φ′(z)2 + sin(φ(z))2 = τ 2 = sin2(φ(L)).

Examinons les cas limites : τ = 0 et τ = 1. Pour τ = 0, on trouve la solution nulle.Pour τ = 1, on trouve :

φ′(z)2 = cos2(φ(z)).

On trouve comme solution

φ1(z) =π

2− 2 arctan(e−z),

mais elle ne satisfait pas la deuxième condition aux limites.On se restreint donc à τ ∈ (0, 1). On déduit déjà que

|φ(z)| ≤ arcsin τ.

Soit z0 le plus petit nombre strictement positif tel que φ′(z0) = 0. φ est strictementcroissante sur [0, z0] et φ(z0) = arcsin τ . Soit alors z1 le plus petit nombre plus grandque z0 tel que φ(z1) = 0. φ est décroissante sur [z0, z1] et φ′(z1) = −τ . Cela entraîneque φ est 2z1-périodique. En particulier, on doit avoir :

L = z0 + nz1.

Si n ≥ 1, on aurait z1 ∈ (0, L), ce qui contredirait l’hypothèse du changement designe. Ainsi, on a n = 0.On vient donc de montrer qu’il y avait une solution unique φτ,L strictement positiveet croissante sur (0, L). Nous pouvons exprimer son inverse :

φ−1τ,L(ψ) =

∫ ψ

0

dφ√τ 2 − sin2 φ

.


Par changement de variables, il vient :

φ−1τ,L(ψ) =

∫ sinψτ

0

1√1− t2τ 2

dt√1− t2

, ∀ψ ∈ [0, arcsin τ ].

Pour ψ = arcsin τ , on a :

φ−1τ,L(arcsin τ) =

∫ 1

0

dt√1− t2τ 2

√1− t2

= F (τ).

La condition aux limites donne :

F (τ) = L.

On remarque que F est continue et strictement croissante de π2à +∞. Cela détermine

une unique valeur de τ .

5.5. Un exemple d’étude qualitative de système non linéaire. Le but decette section est l’étude du système proie-prédateur de Volterra :

x′ = ax− bxy, y′ = −cy + dxy,

où a, b, c, d > 0 et avec données initiales x(t0) = x0 > 0 et y(t0) = y0 > 0.Le théorème de Cauchy-Lipschitz fournit l’existence d’une solution sur [t0, T [.Positivité des solutions. Montrons que x > 0 et y > 0 sur cet intervalle. Dans lecas contraire, il existerait s tel que x(s) = 0. Or, nous remarquons que x(t) = 0et y(t) = y(s)e−c(t−s) sont solutions du système avec données initiales x(s) = 0 ety(s) = y(s). L’unicité du théorème de Cauchy-Lipschitz impose donc x = 0, ce quicontredit la condition initiale x(t0) > 0. De la même façon, y ne peut s’annuler. Celaprouve la stricte positivité.Une intégrale première. On pose :

H(x, y) = by + dx− a ln y − c lnx.

Un calcul élémentaire fournit :

H(x(t), y(t)) = H(x0, y0), t ∈ [0, T [.

Globalité des solutions. La positivité des solutions donne :

x′ ≤ ax et y′ ≤ dxy.

On en déduit que

x(t) ≤ x0ea(t−t0),

puis :

y(t) ≤ y0ed∫ tt0x(u)du

.

On en déduit que x et y sont bornées au voisinage de T si T < +∞ ; par le théorèmede prolongement des solutions d’une équation différentielle, on en déduit que T =+∞.


Périodicité des solutions. On peut découper R∗+ × R∗+ en quatre cadrans autour de( cd, ab) (qui est une solution particulière du système : c’est un point d’équilibre).

Pour simplifier l’exposé, supposons que (x0, y0) appartienne au cadran supérieurdroit. Dans ce cadran x′ ≤ 0 et y′ ≥ 0. Si la solution reste dans ce cadran, alors, xest décroissante et y est croissante sur [t0,+∞[. x tend donc vers x1 ≥ c

det y vers

y1. Si y1 = +∞, alors x′ tendrait vers −∞ ce qui est contradictoire. De même, onen déduit que x′ et y′ tendent vers 0 (sinon, x et y auraient des limites infinies). Onen tire que x et y tendent respectivement vers c

det a

b. Mais, cela est est absurde,

puisque y0 > ab. On en déduit qu’il existe un temps t1 maximal d’existence de la

solution dans le cadran supérieur droit. Pour ce temps, on a : x(t1) = cd, y(t1) >

ab

et donc y′(t1) = 0, x′(t1) < 0. On entre ainsi dans le cadran supérieur gauche eton reproduit le raisonnement. Au bout d’un temps t4, nous sommes revenus dansle cadran de départ et y(t4) = y(t0) = a

b. Nous n’avons pour autant par encore

prouvé la périodicité. Il suffirait de montrer que (x(t0), y(t0)) = (x(t4), y(t4)) et onconclurait par le théorème de Cauchy-Lipschitz. Or, la conservation de l’énergie Hdonne :

H(x(t0), y(t0)) = H(x(t4), y(t4)).

C’est alors un calcul élémentaire qui prouve que y 7→ H(x, ab) est strictement crois-

sante sur [ cd,+∞[. Nous avons alors montré que les solutions sont T -périodiques,

avec T = t4 − t0.Moyennes des solutions. Enfin, un petit calcul montre que :

1

T

∫ T

0

x(u)du =c

det

1

T

∫ T

0

y(u)du =a

b.

5.6. Notions des méthodes numériques pour les équations différentielles.

5.6.1. Rappel sur la formule de Taylor avec reste intégral. On rappelle dans ce pa-ragraphe un ingrédient essentiel pour les approximations que nous allons effectuer.La formule de Taylor avec reste intégral consiste en la proposition suivante :

Proposition 5.13. Soit f ∈ Cn+1([a, b]). Alors, on a, pour tout k ∈ {0, · · · , n} :

f(b) = f(a) + f ′(a)(b− a) + · · ·+ f (k)(a)

k!(b− a)k +

1

k!

∫ b

a

f (k+1)(t)(b− t)kdt.

Démonstration. Elle se fait par récurrence sur k. Pour k = 0, cette formule est clairecar :

f(b)− f(a) =

∫ b

a

f ′(t)dt.

Supposons que la formule est satisfaite au rang 0 ≤ k < n. On peut donc écrire :

f(b) = f(a) + f ′(a)(b− a) + · · ·+ f (k)(a)

k!(b− a)k +

1

k!

∫ b

a

f (k+1)(t)(b− t)kdt.

Comme k+1 < n+1, on f (k+1) est de classe C1 et on peut ainsi faire une intégrationpar parties :∫ b

a

f (k+1)(t)(b− t)kdt = −[

(b− t)k+1

k + 1f (k+1)(t)

]ba

+1

k + 1

∫ b

a

f (k+2)(t)(b− t)k+1.


Cela implique :∫ b

a

f (k+1)(t)(b− t)kdt =1

k + 1f (k+1)(a) +

1

k + 1

∫ b

a

f (k+2)(t)(b− t)k+1.

Il suffit alors de remplacer dans la formule supposée vraie par récurrence. �

5.6.2. Méthodes de quadrature pour les intégrales. Soit f une fonction suffisammentrégulière sur [α, β]. On va donner quelques méthodes d’approximation de

∫ βαf(x)dx.

Le cas écheant on donnera une estimation de l’erreur.De façon générale, on se donne une subdivision de [α, β] :

α = α0 < α1 < · · · < αk = β.

On note, pour i = 0, · · · , k − 1.

hi = αi+1 − αi.

On notera hmax = max(hi).Méthode des rectangles à gauche. Le principe est d’approcher l’intégrale par :

k−1∑i=0

hif(αi).

Estimons l’erreur.∫ β

α

f(x)dx−k−1∑i=0

hif(αi) =k−1∑i=0

∫ αi+1

αi

(f(x)− f(αi))dx.

Si f ∈ C1([α, β]), nous pouvons utiliser l’inégalité des accroissements finis :

|f(x)− f(αi| ≤M |αi − x|.

Il vient : ∣∣∣∣∣∫ β

α


hif(αi)

∣∣∣∣∣ ≤M

k−1∑i=0

∫ αi+1

αi

(x− αi)dx.

Ainsi, nous avons :∣∣∣∣∣∫ β

α


hif(αi)

∣∣∣∣∣ ≤ M

2

k−1∑i=0

(αi+1 − αi)2 =M

2(β − α)hmax.

On remarquera que cette méthode est exacte pour les fonctions constantes.Méthode des rectangles à droite. Le principe est d’approcher l’intégrale par :

k−1∑i=0

hif(αi+1).

Exercice : calculer l’erreur de la méthode.


Méthode du point milieu. Le principe est d’approcher l’intégrale par :k−1∑i=0

hif

(αi + αi+1

2

).

Estimons l’erreur.∫ β

α


hif(ci) =k−1∑i=0

∫ αi+1

αi

(f(x)− f(ci))dx.

Nous utilisons la formule de Taylor à l’ordre 1, au point ci (f est supposée C2) :

|f(x)− f(ci)− f ′(ci)(x− ci)| ≤M |x− ci|2.

Ainsi, nous écrivons :∣∣∣∣∣k−1∑i=0

∫ αi+1

αi

(f(x)− f(ci)− f ′(ci)(x− ci))dx

∣∣∣∣∣ ≤Mk−1∑i=0

∫ αi+1

αi

|x−ci|2dx ≤M

4(β−α)h2.

Nous remarquons : ∫ αi+1

αi

(x− ci)dx = 0.

Nous en déduisons : ∣∣∣∣∣∫ β

α


hif(ci)

∣∣∣∣∣ ≤ M

4(β − α)h2.

On remarquera que cette méthode est exacte pour les fonctions affines.Méthode de Simpson. Le principe est déja d’approcher f par des arcs de paraboles(voir les exercices). On approche alors l’intégrale par :

k−1∑i=0

hi

(1

6f(αi) +

4

6f(ci) +

1

6f(αi+1)

).

Exercice : estimer l’erreur.

5.6.3. Méthodes de résolution numérique pour les équations différentielles. On consi-dère :

(E) : y′ = f(t, y), y(t0) = y0.

y est aussi solution de l’équation intégrale :

y(t) = y0 +

∫ t

t0

f(s, y(s))ds.

On réalise une subdivision

t0 < t1 < · · · < tN = t0 + T.

On remarquera que :

y(tn+1) = y(tn) +

∫ tn+1

tn

f(s, y(s))ds.

On pose hn = tn+1 − tn pour 0 ≤ n ≤ N − 1 et hmax = max(hn).


Méthode d’Euler. La méthode d’Euler consiste en l’algorithme suivant :yn+1 = yn + hnf(tn, yn)

qui consiste à utiliser la méthode des rectangles à gauche.Méthode du point milieu. La méthode du point milieu pour les équations différen-tielles consiste à approcher l’intégrale précédente par la méthode du point milieu :

y(tn+1) = y(tn) + hnf(tn+ 12, y(tn+ 1

2)).

Il nous faut donc connaître y(tn+ 12). On utilise donc la méthode d’Euler. Cela mène

à l’algorithme :

yn+1 = yn + hnf

(tn +

hn2, yn+ 1

2

),

où :yn+ 1

2= yn +

hn2f(tn, yn).

Méthode de Runge-Kutta "classique". L’étudiant averti s’attend maintenant à ren-contrer la méthode de Simpson ! Nous donnons l’algorithme sans plus de justification.

pn,1 = f(tn, yn),

tn,2 = tn +hn2,

yn,2 = yn +hn2pn,1,

pn,2 = f(tn,2, yn,2),

yn,3 = yn +hn2pn,2,

pn,3 = f(tn,2, yn,3),

tn+1 = tn + hn,

yn,4 = yn + hnpn,3,

pn,4 = f(tn+1, yn,4),

yn+1 = yn + hn

(1

6pn,1 +

2

6pn,2 +

2

6pn,3 +

1

6pn,4

).


6. Rappels d’algèbre linéaire

6.1. Matrices, changements de bases. Soient E et F deux K-e.v. de dimensionsrespectives n et p. Soit u ∈ L(E,F ). Soient (e1, · · · , en) et (f1, · · · , fp) des bases deE et F . On écrit :

u(ej) =

p∑i=1

aijfi.

On appelle matrice de u dans les bases E et F le tableau suivant :

Matfeu = (ai,j).

Composition des applications linéaires.

Définition 6.1. On définit le produit des matrices de la façon suivante. SoientA = (ai,j) i = 1, · · · ,m

j = 1, · · · , pet B = (bij) i = 1, · · · , p

j = 1, · · · , n. Le produit AB est la matrice C de

terme général :

cij =

p∑k=1

aikbkj i = 1 · · ·m, j = n.

Soit G un K-e.v. de dimension m et g une base de G. Soit v ∈ L(F,G). On aalors :

Matge(vu) = Matgf v Matfeu.

Soit x ∈ E. On écrit

x =n∑i=1

xiei.

MatfeuX est le vecteur des coordonnées de u(x) dans la base f.Matrice inverse. Quand E et F ont même dimension, il se peut que u soit inversible ;dans ce cas, on définit :

(Matfeu)−1 = Matefu−1.

On vérifie facilement que :

(Matfeu)−1 Matfeu = Matfeu (Matfeu)−1 = In.

Matrice de passage. Soient e’ une autre base de E. On note

P = Matee’IdE.

Cette matrice est appelée matrice de passage de la base e vers la base e’. Soit X lescoordonnées de x dans la base e et X ′ les coordonnées de x dans la base e’. On adonc : X = PX ′.Changements de bases. Soient P = Matee’IdE et Q = Matff ’IdF . On a :

Q−1 MatfeuP = Matf ’e’u.


Endomorphismes. Supposons que E = F . Soit e une base de E. La matrice de udans la base e est la matrice carrée :

A = Mateeu.

On pose :

Tr(A) =n∑i=1

aii.

On vérifie que siB = Mate’e’u,

alorsTr(A) = Tr(B).

Cette quantité, invariante par changement de base, est appelée trace de u. Elle peutêtre définie indépendamment d’une base via le déterminant.

6.2. Endomorphismes, valeurs propres. On suppose que E = F et u ∈ L(E).

Définition 6.2. On dit que λ ∈ K est une valeur propre de u si et seulement siu− λId n’est pas inversible. Un élément non nul x qui vérifie u(x) = λx est appelévecteur propre de x associé à λ.

Proposition 6.3. λ est une valeur propre de u si et seulement si elle est racine dupolynôme : det(A − XIn) où A est la matrice de u dans une base quelconque. Enparticulier, il y en a un nombre fini.

Définition 6.4. On dit que u est diagonalisable si et seulement s’il existe une basedans laquelle la matrice A de u est diagonale. En d’autres termes, il existe une ma-trice inversible P telle que P−1AP est diagonale. Dans ce cas, les éléments diagonauxde u sont ses valeurs propres.

Définition 6.5. On dit que u est trigonalisable si et seulement s’il existe une basedans laquelle la matrice A de u est triangulaire supérieure. En d’autres termes, ilexiste une matrice inversible P telle que P−1AP est triangulaire supérieure. Dansce cas, les éléments diagonaux de u sont ses valeurs propres.

Proposition 6.6. Si K = C, tout endomorphisme est trigonalisable.


7. Notions de la théorie des séries entières

Soit (X, d) un espace métrique. On a vu que si (fn)n∈N est une suite de fonctionscontinues et bornées (à valeurs dans E = Kp) qui converge uniformément sur X versf , alors f est continue sur X.

7.1. Éléments de la théorie. On suppose connues les notions de convergence desséries numériques, notamment que la convergence de

∑|un| entraîne celle de

∑un

(via le critère de Cauchy).Il s’agit ici d’étudier les séries de fonctions de la forme

∑anz

n, avec z ∈ C. Oncommence par un lemme fondamental.

Lemme 7.1. S’il existe z0 tel que (anzn0 ) est bornée, alors, pour tout z tel que

|z| < |z0|, la série∑anz

n est absolument convergente et il y a convergence normale(et donc uniforme) sur le disque fermé D(0, r) avec 0 ≤ r < |z0|.

Démonstration. Si z0 6= 0, on a :

|anzn| ≤ |anzn0 |(∣∣∣∣ zz0

∣∣∣∣)n ≤M

(∣∣∣∣ zz0∣∣∣∣)n .

La comparaison avec la suite géométrique assure la conclusion. �

Définition 7.2. On appelle rayon de convergence de∑anz

n la borne supérieure del’ensemble des r tel que anrn soit bornée.

Théorème 7.3. Soit R > 0 le rayon de convergence de la série∑anz

n. Si R = 0, iln’y a convergence qu’en z = 0. Si R = +∞, la convergence normale a lieu sur toutepartie bornée de C. Si R est fini et non nul, il y a convergence absolue pour |z| < Ret convergence normale sur D(0, r) avec r < R et il y a divergence pour |z| > R.

Définition 7.4. Soit U un ouvert de C. On dit que f : U → C est dérivable enz0 ∈ U si le rapport

f(z)− f(z0)

z − z0possède une limite quand z tend vers z0. Cette limite est alors notée f ′(z0). Lorsquecette propriété est vérifiée en tout point de U , on dit que f est holomorphe sur U .

Les règles usuelles de dérivation (somme, produit, composée) sont valables pourles C-dérivées.

Lemme 7.5. Pour tout n ∈ N∗, z 7→ zn est holomorphe sur C et de dérivée z 7→nzn−1.

Lemme 7.6. Les séries∑anz

n et∑nanz

n−1 ont même rayon de convergence.

Démonstration. Soit R le rayon de convergence de∑anz

n et R′ celui de∑nanz

n−1.On remarque déjà que :

|anzn| ≤ n|an||z|n−1|z|.On en déduit que R ≥ R′. Il faut montrer l’inverse. Soit r1 < r2 < R et |z| ≤ r1. Onécrit :

|nanzn−1| ≤ n|an|rn−12

|z|n−1

rn−12

≤ r−12 |an|rn2n(r1r2

)n−1.

Ainsi, on a : R′ ≥ R. �


Théorème 7.7. Soit∑anz

n une série entière de rayon de convergence R > 0.Alors, f(z) =

∑+∞n=0 anz

n est une fonction holomorphe sur le disque de convergenceet on peut dériver terme à terme :

f ′(z) =∞∑n=1

nanzn−1.

Démonstration. On considère :f(z)− f(z0)

z − z0=∞∑n=0

un(z),

où

un(z) = anzn − zn0z − z0

= an

n−1∑k=0

zk0zn−k−1.

On trouve quelimz→z0

un(z) = nanzn−10 .

On peut toujours supposer que |z0| ≤ r et |z| ≤ r avec 0 < r < R et alors :|un(z)| ≤ n|an|rn.

On a donc convergence normale sur D(0, r) et donc convergence uniforme ; la sommede la série possède donc une limite quand z → z0. �

Remarque 7.8. Les séries entières sont indéfiniment dérivables sur leur disqueouvert de convergence.

7.2. Un exemple fondamental : l’exponentielle. La série∑

zn

n!est une série

entière de rayon de convergence infini. Elle définit donc une fonction holomorphesur C notée exp(z) ; il est aisé de vérifier les propriétés suivantes :

– exp′(z) = exp(z), pour tout z ∈ C,– exp(0) = 1,– exp(z) = exp(z), pour tout z ∈ C,– exp(z + z′) = exp(z) exp(z′), pour tout z, z′ ∈ C,– exp(z) 6= 0 pour tout z,– exp(z)−1 = exp(−z) pour tout z ∈ C,– | exp(ix)| = 1, pour tout x ∈ R,– Si φ : I → C est dérivable, alors t 7→ exp(φ(t)) est dérivable sur I et de dérivéet 7→ φ′(t) exp(φ(t)).

Cela demande un peu plus de travail de montrer que :

Proposition 7.9. exp : C→ C∗ est surjective.Démonstration. Pour z ∈ C qui n’est pas un réel négatif, on pose :

Z =

∫ 1

0

z − 1

1 + t(z − 1)dt.

On vérifie facilement que cette intégale est bien définie. On montre queexp(Z) = z.

Pour cela, on introduit :

f(u) =

∫ u

0

z − 1

1 + t(z − 1)dt.


u 7→ exp(f(u)) est dérivable sur R de dérivée f ′(u) exp(f(u)) = exp(f(u)) z−11+u(z−1) .

Ainsi, on peut écrire :exp(f(u))′(1 + u(z − 1)) = exp(f(u))(z − 1)

ou encore : (exp(f(u))

1 + u(z − 1)

)′= 0.

En prenant la valeur en 0, on trouve :exp(f(u)) = 1 + u(z − 1).

Alors, on a : exp(Z) = z. Tous les nombres complexes non négatifs sont donc atteintspar l’exponentielle. Si a ∈ R∗−, on écrit : a = i2b avec b = −a > 0. On peut écrireb = exp(Z). Mais, on peut aussi écrire i = exp(Z ′) et donc i2 = exp(2Z ′). Parconséquent, on a : a = exp(Z + 2Z ′). �

Il est facile de voir que :

Proposition 7.10. {x ∈ R : eix = 1} est un sous-groupe discret de (R,+). Songénérateur est par définition 2π.

On définit alors les fonctions cos et sin et on peut alors redémontrer toutes leurspropriétés bien connues...

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ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Table des matières · 2018-07-14 · ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES NICOLAS RAYMOND Table des matières Introduction 2 1. Équationsdiﬀérentiellesscalaireslinéairesdupremierordre