Etude expérimentale : on applique une charge axiale au dispositif

Principe appliqué à l’essai de traction

Description

QUATRIEME PARTIE

Contraintes et déformations dues

aux charges axiales

LA TRACTION ET LA COMPRESSION

Cet essai destructif, pratiqué à température ambiante °C, consiste à imposer une déformation

croissante { vitesse constante et { mesurer l’effort nécessaire pour imposer cette déformation

Sous l’effet de cette force, l’éprouvette s’allonge d’une valeur = L-L0

On parle également d’allongement relatif % =

Avec les résultats on obtient un graphe donnant l’effort appliqué en fonction de l’allongement relatif.

Cependant on préfère tracer le graphe de la contrainte

en fonction de l’allongement.

Lu-L0 Lu

Rm

Ru

Re

Le point A est la limite d’élasticité (ou résistance élastique à la traction)

Le point B est appelé résistance à la traction (ou résistance à la rupture)

C’est la charge maximale atteinte durant l’essai de traction. A partir de ce point, la déformation

commence { se localiser sous forme de striction ce qui explique ensuite la baisse de l’effort nécessaire

à la traction.

Le point C correspond lui à la charge ultime, l{ où il y a rupture de l’éprouvette.

L’allongement relatif total est

Remarques :

Les limites élastique et de rupture dépendent

de la température. Cette propriété est utilisée

pour la mise en forme par déformation

plastique à chaud (forgeage)

En métrologie, on tient compte du fait qu’un

acier se dilate d’environ 1m/°C/10mm

La constante d’élasticité

Dans la première partie de la courbe, il y a proportionnalité entre la charge unitaire et la déformation :

c’est la loi de Hooke

Quelques valeurs usuelles de E

Matériau E (En GPa) Matériau E (En GPa) Polystyrène 3-3,5 AU4G 75 Magnésium métal 45 Bronze 124 Acier de construction 210 Plastique + fibres de C 150 Acier inox 203 Fonte FGS 160-190 Thomas Young (13 juin 1773-10 mai 1829), est un physicien, médecin et égyptologue britannique. Son excellence dans de nombreux domaines non reliés fait qu'il est considéré comme un polymathe, au même titre par exemple que Léonard de Vinci, Gottfried Leibniz ou Francis Bacon. Son savoir était si vaste qu'il fut connu sous le nom de phénomène Young. Il exerça la médecine toute sa vie, mais il est surtout connu pour sa définition du module d'Young en science des matériaux et pour son expérience des fentes d'Young en optique, dans laquelle il mit en évidence et interpréta le phénomène d’interférences lumineuses.

Source Wikipédia

La caractéristique d’élasticité est la pente de cette

droite : c’est le module d’élasticité E (ou encore

module de Young).

Module d’élasticité transversale

Dans le domaine OA on observe également une diminution de diamètre e de l’éprouvette (striction).

Cette striction est caractérisée par une relation de proportionnalité :

Le coefficient de proportionnalité est appelé coefficient de Poisson (Simon Denis Poisson 1781-

1840) et est sans dimension. Le signe moins correspond à la diminution de diamètre lorsque la

contrainte augmente.

On peut alors définir le module d’élasticité transversal G, lui aussi dépendant du matériau (pour les

aciers G=8.104 N.mm²)

Les limites conventionnelles

Il y a un passage progressif de l’élasticité linéaire { la déformation plastique. On peut mettre en

évidence, quand on amplifie les enregistrements au cours d’un essai de traction, un manque de

linéarité de la zone élastique. C’est pourquoi il est préférable de définir des limites conventionnelles

où on prend en compte problèmes de précision comme 0,2% par exemple

Tableau de limite d'élasticité en traction de matériaux usuels

Matière Nuance Re (MPa)

Résineux courants C18 à C30 18 à 30

Bois lamellé-collé GL24 à GL32 24 à 32

Alliage d'aluminium Série 1000 à Série 7000 90 à 440

Acier de construction usuel non allié S235 à S355 235 à 355

Acier au carbone trempé XC 30 (C30) 350 à 400

Acier faiblement allié trempé 30 Cr Ni Mo 16 (30 CND 8) 700 à 1 450

Alliage de Titane TA 6V 1 200

Fibre de verre "E", Courant 2 500

Fibre de verre "R", haute performance 3 200

Fibre de carbone "HM", haut module de Young 2 500

Fibre de carbone "HR", haute résistance 3 200

Composites Fibre/matrice Verre ou Carbone 1 000 à 1 800

La limite élastique notée Re0,2% correspond au point où le

comportement cesse d’être élastique pour devenir plastique.

On choisit donc souvent Re0,2% qui correspond à un

allongement plastique de 0,2%. Ceci est lié aux méthodes de

mesure.

Re 0,2%

1- La traction simple

1.1. Définition et hypothèses

Une poutre est soumise à 2 forces directement opposées situées dans les sections aux extrémités et

qui tendent à allonger la pièce

Hypothèses :

- La poutre est rectiligne.

- Les forces sont uniformément réparties dans les sections aux extrémités.

- Les sections sont constantes ou uniformément variables.

- Les déformations transversales sont négligeables.

1.2. Torseur de cohésion

1.3. Contrainte normale

1.4. Loi de Hooke

Matériau ductile Matériau fragile (raide)

1.5. Condition de résistance

La contrainte appliquée au matériau doit impérativement rester inférieure à la limite pratique à

l’extension Rpe.

Pour des raisons de sécurité, cette limite prend un compte un coefficient de sécurité s. Ce coefficient

dépend du matériau, du type d’utilisation du solide étudié. Il traduit les incertitudes et le type de

construction réalisée.

La condition de résistance s’écrit :

1.6. Les concentrations de contraintes

S’il y a une variation brusque de la section, une des hypothèses de la RdM n’est plus vérifiée {

proximité de celle-ci, la contrainte ne varie plus lentement.

On applique alors un coefficient de concentration de contrainte Kt et la condition de résistance

devient alors :

Application

Une barre d’acier de 10 mm de diamètre reçoit une force de traction de 12560 N.

Quelle sera l’allongement de la barre sur 5 mètres si E = 210000 N/mm².

Quelle sera alors la contrainte dans cette barre ?

Solution :

L’allongement de la barre :Δ l = 3.8 mm

La contrainte sera égale à : 160 N/mm²

2- La compression simple

2.1. Définition

Une poutre est soumise à une sollicitation de compression simple (ou compression uni axiale)

si on applique à ses extrémités deux forces directement opposées qui la raccourcissent.

(Hypothèse de non flambage ; L0<8e avec e plus petite dimension transversale)

2.2. Torseur de cohésion

Les équations de la traction simple restent valables.

Selon les matériaux, les limites élastiques en compression et en traction peuvent être différentes.

Pour les aciers les limites Re sont identiques en traction et en compression.

Par contre pour les fontes et les bétons par exemple, il faut les différencier.

Exemple : Fontes Ret=20N/mm² Rec=150N/mm²

2.3. Condition de résistance

3- Le Flambage

C’est le cas de la compression simple quand la longueur de la poutre L>8e.

Si l’effort de compression F devient important, on observe que la poutre s’incurve { partir d’un effort

critique Fc . On arrive alors rapidement { la rupture. C’est le Flambage.

L’étude complète de cette sollicitation sera vue plus tard dans l’année.

Exercices Traction-compression Exercice 1

Une barre prismatique de section rectangulaire (25 mm x 50 mm) et de longueur l = 3.5 m est soumise

à une traction axiale de 90 kN. On observe un allongement de 1.2 mm

Calculer la contrainte axiale ainsi que l’allongement relatif.

Déterminer la valeur du module de Young

Exercice 2

Les rails d’un tramway ont été soudés ensemble { la température de 10 °C.

Calculer les contraintes développées dans ces rails sous l’action du soleil, qui porte leur température {

38 °C.

Le coefficient de dilatation thermique de l’acier est de 12 10-6 °C -1.

E=210000N/mm²

Exercice 3

Calculer, { la limite de rupture, la longueur limite d’un câble suspendu, sans charge, pour l’acier et un

alliage d’aluminium.

Pour l’acier : ρ acier = 7800 kg/m3 ; Rm acier = 1400 N/mm2 ;

Pour l’aluminium : ρ alu = 2 700 kg/m3 ; Rm alu = 450 N/mm2.

Exercice 4

Une bague en acier AE 240 B de 100 mm de longueur, de 50 mm de diamètre extérieur et de 30mm de

diamètre intérieur, supporte une charge de 15000 daN en compression.

Déterminer la contrainte de travail de cette bague.

Si le coefficient de sécurité est de 2 et E = 210000 N/mm2, vérifier la résistance de l’acier. Justifier la

réponse.

Déterminer la longueur en charge de la bague.

Exercice 5

Deux tronçons (1) et (2) en matière plastique sont collés comme l’indique la figure ci-dessous. La

résistance à la rupture par traction de la colle est de 235 daN/cm2 pour des températures comprises

entre -60 °C et 120 °C. La section collée est rectangulaire et mesure 50 x 70 mm2

Déterminer l’effort de traction maximum de cet ensemble collé. (Réponse : Nmax = 82.25 kN)

Exercice 6

Deux barres d’acier identiques de 2.5 m de longueur sont assemblées par des broches (=articulation)

et supportent une masse de 50000 kg à leur extrémité comme représenté sur la figure ci-dessous.

Calculer la section des barres telle que la contrainte subie ne soit pas plus grande que 210 N/mm². On

donne le module de Young E = 210000 N/mm2.

Exercice 7

Un servomoteur est actionné par un piston de 200 mm de diamètre sur lequel agit une pression d’huile de 40 bars.

Calculer la contrainte de compression sur la tige du piston de 60 mm de diamètre. Calculer le diamètre des 6 goujons serrant la culasse du cylindre sachant que la contrainte admissible

dans le boulon est : σ adm boulon = 80 N/mm2.

Exercice 8

Une pièce métallique est soumise à des efforts de traction

P=36000N

Déterminer la valeur de la contrainte dans la section percée et

dans la section épaulée.

Le coefficient de contrainte sera déterminé { l’aide de l’annexe.

Exercice 9

Exercice 10

Exercice 11

Soit un mur de maçonnerie et sa fondation. Les masses volumiques sont les suivantes :

Pour la maçonnerie : ρmaç = 2000 kg/m3

Pour la fondation : ρfond = 2500 kg/m3

Les différentes contraintes admissibles sont :

Pour la maçonnerie : σ maç = 100 N/cm²

Pour la fondation : σ fond=1000N/cm²

Pour le sol : σ sol =50N/cm²

On demande de déterminer les largeurs la du mur et lb de la fondation. L’effort en tête du mur étant

de 300 kN/m courant.

Exercice 12

Un cylindre creux en fonte a un diamètre extérieur de 7.5 cm et un diamètre intérieur de 6 cm. Sur le

cylindre est appliquée une force axiale de compression de 50 kN.

Calculer la contraction totale sur une longueur de 50 cm.

Calculer également la contrainte normale sous cette charge.

Prendre comme module d’élasticité E=105000N/mm² et négliger le flambement latéral du cylindre.

CAS DES SYSTEMES HYPERSTATIQUES

Exercice 13

Exercice 14

ANNEXE : Détermination du coefficient de concentration de contrainte Kt

en traction et compression

Plaque percée

Plaque avec réduction

Source: guide du dessinateur les concentrations de contraintes-CETIM