Q U E L Q U E S A P P L I C A T I O N S D E S D I S T R I B U T I O N S ~

par Maurice BOUIX Professeur ~ Ia Facul t6 des Sciences d'Alger.

~ O M M A I R E . - - Apr~s avoir rappelg rapidement les d~finitions et quelques propri~t~s des distributions 6 une et d plusieurs variables, on donne la d~finition de la /onction de Heaviside et de la distribution de Dirac dans le plan complexe ainsi que celles des pseudo-/onctions P/(z-~) et une relation importante entre deux dgri~,ges de la distribution de Dirac. On rappelle ensuite le tMor~me de L. Schwartz sur la convergence des s~ries trigonomgtriques au sens des distributions, et on indique qu'il se g~ngralise. On $tudie ensuite les ~quations dif[$rentielles lingaires : recherche d'une solution constituge par une distribution 6 support ponctuel, ~tude des [onctions de Green. On reprend enfin le m~me probldme pour les ~quations aux dgri~,~es partielles, en insistant plus particulidrement sur les distributions que l'on peut considgrer comme les sources des solutions. L'article n'a qu'un but indicati/ sur les m~thodes, et ne

contient pas de dgmonstration.

PLXN. - - Les /onctions g~ngralisges ou distributions. - - 2. La [onction de Heaviside et la distribution de Dirac dans le plan complexe. - - 3. Applications. - - 4. Les distributions et les sgries de [onctions orthogonales. - - 5. Les distributions et les gquations di~$rentielles. - - 6. Les distributions et les $quations aux dgrivges partielles. Bibliographie (14 rg/. ).

t . L E S F O N C T I O N S G ~ - N ] ~ R A L I S ~ E S O U D I S T R I B U T I O N S

I1 arrive souvent que dans une famille de fonc- tions d6pendant d'un param~tre, on ne trouve pas de fonction limite lorsque le param~tre prend certaines valeurs.

Ainsi consid6rons les fonctions suivantes qui d6- pendent de l'entier n, et qui sont les primitives les unes des autres.

n 'l 1/2 e_~z ,# t;(x) ; / .(x) = \ ~ /

M, / : g.(x) = -~- + f,,(t) dt ;

h,,(x) = ~ / L -- ~ + g.(t) dr,

/ : k,,(x) = - . ~ + h,~(t) dt.

,. :l/ o q FIO. J - l . I.

X

e i = f l ' l x }

FIG. 1-1. II.

,Y

Ces courbes sont repr6sent6es h la figure l . t . Lorsque n augmente ind6finiment, la fonction k~(x) tend vers une fonction k(x) continue h d6riv6e conti- nue, la fonction h,(x) tend vers une fonction h(x) continue ~ d6riv6e discontinue, la fonction g~(x) tend vers une fonction g(x) discontinue, mais les fonctions f~(x) et f~(x) n 'ont pas de forme limite qui soit une fonction.

V

i r

O

x

,, :__,

F I G . 1 - 1 . I I I .

~?~ 0 X -~t + (u) dudt h.--

FIG. 1-1. IV.

x t , ~

]~(x) = -'~§ /

dvdadt

FIQ. 1- t . V.

J 3 "X

Fro. t-1. - - La fonction [n, sa d6riv6e, et trois de ses pr imit ives successives.

* Conf6rence faite ~ une r6union du 26 f6vrier t962 de la Soci6t6 franqaise des 61ectroniciens et radio61ectrieiens (1 re section : l~.tudes g6n6rales ; groups des ma th6mat iques appliqu6es).

- - 2 2 8 -

t . 11 , n ot 9-10,1992]

Par une g6n6ralisation analogue ~ eelle qui permet la d6finition des hombres irrationnels h partir de suites de nombres rationnels, on d6finit ce que l 'on appelle les [onctions ggndralisdes ou distributives. L'ensemble de ces fonctions g6n6ralis6es contient l'ensemble des fonctions que l 'on a consid6r6es. Pour la plupart des applications h la Physique, il suffit de consid6rer l 'ensemble des fonctions conti- nues, et de le compl6ter avec une m6thode appropri6e par toutes les fonctions g6n6ralis6es limites des suites qu'on peut en extraire afin d 'obtenir l'en- semble des distributions utiles. Parmi les fonctions g6n6ralis6es, on trouve les fonctions localement int6- grables, des gtres math6matiques appel6s mesures et qui sous certains aspects peuvent 6tre assimil6s h des masses r6parties ou discr~tes, et des gtres math6- matiques nouveaux. Parmi les fonctions localement int6grables figurent les fonctions Continues par mor- c e a u x .

Nous renvoyons le lecteur aux ouvrages cit6s en r6f6rence pour des d6finitions plus pr6cises ; nous avons fait un expos6 des d6finitions et des principales

o T

T

Fro. I-2. I.

FIG. t-2. II.

Q U E L Q U R S A P P L I C A T I O N S D E S D I S T R I B U T I O N S 2/8

h l'orlglne et de la masse - - t ]~ plac6e h l'abscisse r lorsque r tend vers z6ro ; c'est dans ce sens qu'on rappelle parfois un doublet.

II est commode pour certains calculs d'associer la distribution T(x) h Fune quelconque des fonctions ~(x) ind6finiment d6rivables qui tendent rapidement vers z6ro pour x infini, de fa~on h former une g6n6ra- lisation du produit scalaire de deux fonctions ; on dit qu 'on applique la distribution T(x) h ia fonction q~(x) de l'espace ~ des fonctions ind6finiment d6rivabies h d6croissance rapide et qu'on obtient un hombre c. C'est la d6finition d'une [onctlonnelle. On 6crit

f'{x) = ~'(x)

< T . ~ > =c .

+• 2

- • 2

~(x) = _I + I~.(x) X 2

FIG. t-2. III.

I O X 2

Fro. 1-2. IV.

k{x] = x ~ sgn x

Fro. 1-2. V. Fro. 1-2. -- Repr6sentation seh6matique de la distribution 8(x), de sa d6riv6e et de trois fonctions primitives de a(x).

propri6t6s des distributions dans un article : (c Les distributions d 'une variable : relation entre deux d6- finitions, d6rivation, int6gration )) paru dans les Annales des T ~l~communieations [12].

Disons seulement ici qu 'une distribution extrg- mement importante est celle de Dirac qui peut 0tre consid6r6e comme la limite de la fonction f,(x) lorsque n augmente ind6finiment. On la note 8@). Si la fonction f~(x) repr6sente une densit6 lin6aire r6partie sur l 'axe Ox de - - co h -s 0% la masse de

cet axe est f,(x) dx .= 1, quel que soit n

(fig. 1.2). A la limite on peut dire dans ce sens que la distribution de Dirae repr6sente la masse ~ I plae6e ~ l'origine. La distribution de Dirae apparalt dans la th6orie des distributions comme la d6riv6e de la fonetion de Heaviside H(x) qui est 6gale it une cons- tante additive t ]2 pros, h la fonction g(x) ci-dessus ; H(x) = 0 pour x < 0, H(x) = I pour x > 0. La d6riv6e 8(x) de la distribution de Dirae est la limite au sens pr6c6dent de f~,(x) ; on peut l ' interpr6ter comme la l imite de l 'ensemble de la masse l # plae6e

- - 2 2 9 - -

Ce proc6d6 constitue l 'un des moyens de d6finir les distributions qui seront ainsi par d6finition des ((fonctionnelles lin6aires continues d6finies sur Fen- semble ~) des fonctions ~0(x) ind6finiment d6rivables h d6croissance rapide ,.

Si la distribution est une fonction f(x), on 6crit

< f.~p > =~_+~176 cp(x)dx.

Si la distr ibution T est cetle de Dirac 8(x), on 6erit

< 8. ~0 > = ~0(0)

qui constitue une d6finition de 8(x). Au sens des distributions, on peut d6river ind6-

finiment les fonctions continues et les distributions, et on a, si T' est la d6riv6e de T

< T'.q~ > = - - < T.q~' > .

Ainsi

< 8 ' . ~ > = - - < 8. ~ ' > - - - - $ ' (0) .

3/8

U n e des autres principales propri~t~s des distri- butions est que si la distr ibution T(x) est la somme d 'une s~rie de fonctions

= Z r

on peut d~river et int~grer terme h terme autant de lois que l 'on veu t au sens des distributions.

Les propri~t~s que nous venons d'~noncer pour les distributions d 'une variable se g~n~ralisent h plu- sieurs variables.

On d~finit ainsi pour deux variables, la fonctlon de Heaviside du premier quadran t

H(x, y) = H(x) H(y)

qul est ~gale h + I lorsque x ~ 0 et y > 0 et h z~ro lorsque au moins l 'une des quantit~s x ou y est n~gative. On vol t ais~ment que

52H(x, y) _ 8(x) 8(y) = 8(x, y). 5x ~y

C'est ]a distr ibution de Dirac de l 'origlne dans le plan xy. La distr ibution de Dirae du point A(a, b) se notera 8(x - - a, y - - b).

On d~finit aussi la fonct ion de Heaviside d 'un domaine A limit~ par une courbe ferm~e S (fig. i .3)

Fro. i-3. - - Le point courant P du domaine A.

t l si M(x, y) int~rieur h A HA(X, y) = 0 si M(x, y) ext~rieur h A.

On d~duit de cet te fonction de nomhreuses for- mules d 'analyse vectorielle relatives aux fonctions discontinues. En part iculier si M est le point courant

de S, s in est le vecteur unitaire de la normale orien- t~e vers l ' int~rleur du domaine A, et si 1 est une abscisse mesur~e sur la normale orient~e par le vec-

).

teur n , on peut ~crire

grad HA(x, y) = n 8(/).

Nous renvoyons h la r~f~rence I l l ] pour d 'autres formules d 'analyse vectorielle.

L 'aspect g~n~ral des applications qui vont suivre est domin~ par les deux remarques :

les distributions utilisdes en physique sont cons- titu~es le plus sou re s t par la superposition d 'une fonction et d 'un certain nombre de distributions de Dirac ou de leurs d~riv~es ;

les distr ibutions usuelles sont les d~riv~es d 'un certain ordre de fonctions continues ; on dit d 'une far plus precise que ce sont des distributions d'ordre finl.

Mo B O U I X [ANNALES DES TI~LI~COMMUNICATIONS

2. L A F O N ( ~ T I O N D E H E A V I S I D E E T LA D I S T R I B U T I O N DE DIRAC

D A N S LE P L A N C O M P L E X E .

I1 est int~ressant de g~n~raliser au plan complexe la d~finition des distributions, sur tout en r u e de leurs applications aux ~quations diff~rentielles Mais ici l 'espace (IZ)) des fonctions ind~finiment d~rivables dolt ~tre remplac~ par un espace beaucoup moins g~n~ral, car les fonctions ~0(z) auxquelles on (( appli- quera )) les distributions doivent ~trc r~guli~res dans tou t le plan complexe saul en un nombre fini de pbles, et tendre suffisamment r i t e vers z~ro lorsque lzl t end vers l 'infini ; on doit donc prendre pour ~(z) des fonctions rationnelles quotients de deux poly- nSmes dont l e degr6 du d6nominateur surpasse sufl]- samment celui du num6rateur pour que la (( d6crois- sancc rapide )) soit assur6e dans la mesure off on en aura besoin. On appellera r cet ensemble de fonctions.

On voi t ais6ment que la fonction

K,(z) = ( i - ~1z2)-11~ est une fonction h deux d~terminations qui tendent vers -I- l ou - - l lorsque augmente ind~finiment. Ces d~terminations s '~changent autour des points de hranchement z ---- ~ ~. On peut faire une coupure suivant le segment qui les joint, et representer cette fonct ion sur une surface de Riemann form~e de deux plans (fig. 2A). Lorsqu 'un point M d'affixe z

Fro. 2-1. -- La surface de ttiemann la fonetion K~(z).

d~crit un t ra je t sur eette surface, la d~terminat ion change ehaque fois quc le t ra je t devrai t rencontrer la eoupure.

Lorsque e tend vers z~ro, la surface canal qui joint les l~vres de la eoupure sc rgduit au segment

/// o/Y / /

r I J

3/o / 1 7

/ FIC. 2-2. - - La fonction de Riemann de la fonction de

Heaviside de plan c0mplexe. En trait piein ]e support de la fonction de Heaviside r6elle.

- - 230 - -

t. 17, n ~ 9-10, 1962]

qui joint les deux origines (fig. 2.2), et on volt que la fonction K~(z) a pour limite la fonction K(z) cons- tante , h deux d6terminations -F I et - - 1. Ces deux d6terminations s '6changent lorsque le t ra je t du point M passe par l 'origine. On appelle fonction de Heaviside du plan complexe la fonction

l l (2.1) H(z) = ~ + ~ K(z)

qui a pour d6terminations 0 et I. Si on se borne au domaine r6el, on retrouve la

fonction de Heaviside usuelle H(x), mais aussi une deuxi~me d6terminat lon sym6trique de Ia premiere i - - H ( x ) .

I K~(z) on Si on d6rive par rappor t "h z la fonction

t rouve une fonction K~(z) qui a encore deux d6ter- minations qui s '6changent autour des deux m~mes points de branchement z = q:- z, mais qui tendent vers z6ro pour lzl infini. A la limite lorsque z tend vers z6ro, cette fonction devient la distribution de Dirac de l 'origine 3(z) qui a deux d6terminations oppos6es. On conserve la nota t ion 3(z) pour celle qui se confond avec ~(x) lorsque z reste r6el. On d6fi-

nirait h par t i r de ~ K~(z - - z0) la fonction de Heavi-

side H(z - - Zo) et la distribution de Dirac ~(z - - Zo). Si on (( applique )) la distr ibution ~(z - - Zo) h une

fonction ~(z) e C~, il faut pr6ciser sur quel contour C qui par t de l'infini et y abouti t . Si le contour C ne passe pas par Zo, on a

~(z-- Zo). 9(z) >[~ : / ~(z-- Zo) 9(z) dz = < O.

Si le contour C passe une fois par Zo, on a

~(z - zo). 9(z) > ]r -- f 8(z - zo) 9(z) dz = 9(zo) < j c

QUELQUES APPLICATIONS DES DISTRIBUTIONS 4 / 8

Cette int6grale conserve la m~lne valeur si le contour C se d6forme jusqu'h venir s 'appliquer sur Ox sauf au voisinage de l 'origine off il prend la forme d 'un pet i t demi-cercle. Or la fonction z -m prend des valeurs tr~s grandes sur Ox pros de l'ori- g ine ; les valeurs tr~s grandes de z-"~9(z) sur Ox doivent donc 6tre compens6s par des valeurs tr~s grandes sur le pet i t demi-cercle.

Lorsque m devient un entier positif ~, les valeurs de z-~ sur Ox pour x > 0 et x < 0 sont li6es d 'une fa~on simple, et on t rouve h la limite que

J~_L ~ z-~ 9(z)dz,

est la somme d 'une quanti t6 finie d6pendant de ~(z) et du terme complexe

in ~c~-~)(o)/(~.- j.)!. On peut donc met t re z -~ sous la forme de la

somme de deux distributions l 'une que l 'on appelle la pseudo-[onc t ion Pf(z -~) et l 'autre qui cont ient une d6riv6e de distr ibution de Dirac

( - - t ) t t - 1 i n . . . . . .

D'une faqon analogue cn appl iquant la distri- but ion z h 8(v+h)(z) h la fonction 9(z) ~ Ct, on d6- montre la formule impor tan te

(3.2) z h ~(v+h)(z) = (-- l) h (p + tt)l ~(v)(z), p!

h, p 6tant des entiers positifs. On t rouve aussi

(3.3) z (z) = 0, z h 3(v+h)(z)= 0.

4. L E S D I S T B I B U T I O N S E T L E S Si~ .RIES

D E F O N C T I O N S O R T H O G O N A L E S .

3. A P P L I C A T I O N S .

Si on consid~re la fonction z -m off m est un nombre r6el quelconque, cette fonction est mult lforme sauf pour m entier. Si on l 'applique h la fonction O(z) E Cq:

Fxc. 3-1. -- Le support de Pf(z--u).

sur un contour tel que C (fig. 3.1), on obt ient l'int6- gration usuelle duns le plan complexe

Z z--~ 9(z) dr.

On a vu que si une distr ibution est la somme d 'une s6rie de fonctions, on obt ient encore une distri- but ion en int6grant ou en d6rivant te rme h terme. Cela est vrai si la suite des fonctions suivant les- quelles on d6veloppe est une suite de fonctions ortho- norm6es.

En particulier l '6tude des s6ries t r igonom6triques est beaucoup simplifi6e si on la consid~re h ce point de rue . Si l 'on sait qu'il existe une 6galit6 au sens des distributions

ao (4.1) f(x) = ~- + a 1 cos x + b 1 sin x

+ . .. + a, cos nx + b, sin nx + . . .

on obt ient par simple int6gration ou d6rivation terme h te rme les primitives et les d6riv6es de f(x). Aut rement dit, si on a un moyen de savoir si une s6rie de fonctions tr igonom6triques du type ci- dessus est convergente au sens des distributions, on sera assur6 de la c o n v e r g e n c e des s6ries p r i m i t i v e s et d6riv6es. Ce moyen est le

- - 231

5/8

TMor~me de L. Schwartz. - - L a condition n~ces- saire et su[fisante pour que la sdrie

o o

(a~ cos nx + b~, sin nx)

converge au sens des distributions, c'est qu'i l existe un entier k tel que a, , ln ~ et b~ln ~ tendent vers zdro quand n augmente inddfiniment.

Ainsi la s6rie

+ c o s x + c o s 2 x + . . . + c o s n x + . . .

converge, il suffit de prendre k ---- 2. Elle repr6sente la distribution de Dirae p6riodique ~,=(x) constitu6e de masses unit6s plac6es aux points d'abscisses p. 2n avec p entier.

Cette distribution ~2=(x) est la d6riv6e de la fone- tion en escalier dont les marches ont pour amplitude l 'unit6

On g6n6ralise le th6or~me de L. Schwartz h des s6ries de fonctions orthonorm6es h condition de construire cette base de fonctions orthonorm6es par un proc6d6 un peu diff6rent du proe6d6 d'orthogo- nalisation de Schmidt.

5. LES D I S T I ~ I B U T I O N S

E T LES ~ U A T I O N S DIPFI~BENTIELLES.

Les deux applications des distributions aux 6qua- tions diff6rentielles dont nous parlerons seront les suivantes : d 'abord recherche d'une solution d 'une 6quation diff6rentielle lin6aire qui soit une combi- naison lin6aire d 'une distribution de Dirac et de ses d6riv6es, ensuite d6finition des fonctions de Green qui permet l '6tude des 6quations lin6aires avec second membre.

t o I~tant donn6e une 6quation diff6rentielle li- n6aire qui a un point singulier h l'origine, on peut la mettre sous la forme

du x~ ~x + Q(x)y = 0

avec Q(x) = qo + ql x + q~ x ~ + . . .

Si on cherche h quelle condition cette 6quation diff6rentielle admet pour solution la distribution

(5.t) ~0~(x) + ~ ' ( x ) + . . . + ~(~)(~),

on trouve que l 'on dolt avoir

r e = t ; q o e n t i e r > t t ; k = q o - - t ,

les coefficients ao, a~, . . . a, sont parfai tement d6- finis h u n facteur arbitraire pr~s.

On trouve de mgme que l '6quation diff6rentielle lin6aire du second ordre qui a une solution de la forme (5A) est du type

x ~ d ~y + ~1~- ff x d x e ( x ) + Q(x) y = 0,

off P(x) = p o + p ~ x + . . . , Q(x) = qo + q ~ z + . . . ;

M. BOUIX [A~m~ES DES T~.L~COMMUNXCATIONS

mais Po et qo doivent gtre li6s par une relation

q o - (k + 1) po + (k + 1) (k + 2) = 0,

k entier. Ces r6sultats sont en relation avec le th6or~me de

Fuchs et aussi avec les pseudo-fonctions. On trouve par exemple que l '6quation de Bessel

x~y " + xy ' + (-- ,~ + x ~) y = O.

admet comme solutions

pour ~ = I ~, v = 2 ~', v = 3 ~ + 4~".

2 ~ l~tant donn6e une 6quation diff6rentielle du type autoadjoint

(5.2) n(y) = ~ i (x ) ~ + n(x) y + Xh(x) y = r

on cherehe des solutions satisfaisant aux conditions aux linfites pour x = a e t x ~ b

(5.3) ll(y) = ohy(a) + e;y'(a) + ~ly(b) + ~iy'(b) = As ]~(y) = ~y(a ) + ~y ' (a ) + ~y(b) + ~;.y'(b) = A.,.

On d6montre le th~or~me : la solution y(x) de l'~quation (5.2) a second membre satis[aisant aux con- ditions aux l imites non homog~nes (5.3) est la somme d 'une solution Y(x) de l 'gquation h second membre qul satls]ait aux conditions aux l lmites homog~nes (A1 = A s = O) et d 'une solution y0(x) de l'gquation sans second membre qui saris/air aux conditions aux l imites non homog~nes.

La d6termination de yo(x) repose sur l '6tude de la solution yl(x) de l '6quation sans second membre assujettie aux conditions aux limites homog~nes. Dans le cas off X est quelconque, on ne trouve pas pour yl(x) de fonction diff6rente de z6ro. Mais pour une suite discrete de valeurs de ~,, appel6es valeurs propres du probl~me, on trouve des solutions yl(x) diff6rentes de z6ro, appel6es/onctions propres. Si ), n 'est pas valeur propre on trouve pour la fonction yo(x) une fonction bien d6termin6e que ron calcule

partir de deux solutions fondamentales de l'6qua- t ion sans second membre par la m6thode de Cauchy. Si )~ est valeur propre du probl~me, on trouve pour yo(x) soit une impossibilit6, soit une fonction d6finie

un coefficient pr~s. Pour d6terminer la fonction Y(x), on introdui t ce

qu'on appelle une fonction de Green qui est par d6finition une fonction de x qui satisfait ~ l '6quation diff6rentielle sans second membre en tout point x de l ' intervalle (a, b) saul en un point ~, et qui satis- fait aux conditions aux limites homog~nes. Cette fonction est not6e G~(x) ou G(~) et sa discontinuit6 en ~ est telle que

~[G~(x)] = d~ [A(x) G~(x)] + B(x) Gr

+ kh(x) Gi(x) = 3(x -- ~).

La fonction G~(x) eat repr6sent6e par deux arcs de solutions r6guli~res de l '6quation sans second

~-- 232

t. 17, n ~ 9-10, 1962]

meinbre y~(x) et y~(x), valables respectivement dans les intervalles (a, ~) et (~, b), telles que y~(~) : y~(~) et que A(~) [y~(~) - y~(~)] = + 1. Si ~ n'est pas valeur propre d u probl~me, on trouve uue fonction de Green bien d6termin6e pour chaque valeur de darts (a, b ) .

On voit ais6ment que la solution Y(x) s'6crit partir de la fonction G~(x) sous la forme

Y(x) = / a G~(x) (I)(~) d~,

et par suite Ia solution y(x) cherch~e de (5.2) satis- faisant h (5.3) est

y(x) = yo(X) + --ffo~ G~(x) 0(~) d.~,

expression valable si yo(x) existe et si G~(x) existe. Les difficult6s de r~sotution du probl~me apparais- sent done d~s que k devient une valeur propre du probl~me.

QUELQUES APPLICATIONS DES DISTRIBUTIONS ~ / 8

surface ferm6e S et satisfaisant sur S h une condition lin6aire entre les valeurs de u et celles de ses d6ri- v6es. Mais la condition n'est relativement simple que si elle est de la forme

(6.6) )~(M) u(M) + tz(M) ngrad U(M) = v(M)

n 6tant le vecteur unitaire de la normale h S'dirig6 vers le domaine D, les fonctions k(M), ~t(M), '~(M) ~tant d6termin6es lorsque le point M d6crit la sur- face S. La plupart des probl~mes de physique ont cette forme, la composante tangentielle de grad u n ' intervenant pas. Le dom.aine D peut d'ailleurs atre soit l 'int6rieur de S, soit l 'ext6rieur (fig. 6.1).

S Nous n'avons pas cherch6 syst6matiquement les distributions h support ponctuel (combinaisons li- n6aires dc distributions de Dirac) qui seraient solu- tions de certaines 6quations aux d6riv6es partielles ]in,aires, problbme qu'il serait int6ressant de r6- soudre. Mais on peut remarquer que l '~quation des ondes

d~U I 3~U (6,1) )x ~' c~ ~t ~ = 0

admet les solutions

(6.2) ~(x-- Xo -- ct) e t 3(x + xo + ct)

qui repr6senteat des ~ impulsions ~ unit~s qui se d6- placent h la vitesse c de la propagation ; x 0 est une constante arbitraire.

On trouve de m~me pour l '6quation

1 ~ U = 0 (6.3) AU

c 2 bt 2 les solutions

(6.4) ~[~(x-- x0) + ~(y-- Yo) + y(z-- zo) + ct],

~, ~t, y Stant les composantes d 'un vecteur unitaire fixe, Xo, Yo, Zo 6tant des constantes. Ces solutions repr6sentent des perturbations impulsions plan~s ind6finies qui se propagent h la vitesse c.

I1 serait sans doute int6ressant de d6velopper ces consid6rations.

Lorsque I'on cherche des solutions p6riodiques de l '6quation des ondes, on pose

U(x, y, z, t) = e i~t u(x, y, z),

et la fonction u est une solution de l '6quation de Helmholtz

(6.5) Au + k~u = 0 (avec kc = ~).

Un probl~me int6ressant est de chercher une solu- t ion valable dans un domaine D limit6 par une

6. L E S D I S T R I B U T I O N S E T L E S I ~ . Q U A T I O N S A U X DI~.RIVi~..ES P A R T I E L L E S .

FIe;. 6 - 1 . - Lo d o m a i n e D l imit6 pa r la su r face S e t son

v e c t e u r n o r m a l in t6r ieur n .

Si le domaine D est l 'ext6rieur d 'une sph6re de rayon infiniment petit centr6 au point A de coor- donn6es a, b, e, on trouve que la fonetion

( 6 . 7 ) V~(P) = e~lk'lr satisfait h l '6quation de Helmho]tz dans tout l'es- pace saul en A. Dans cette expression P(x, y, z) est le point courant de l'espace ; r est d6fini par

----)'2 r ~ = A p = ( x - - a ) ~ + ( y - b ) ~ + ( z - c ) 2.

Cette solution est appe!6e la solution fondamen- tale d'ordre z6ro.

On d6montre ais6ment que, si f(M) et g(M) sent deux fonctions de M sur la surface S fermSe, la fonction u(P) donn6e par l'int6grale

(6.s) u(P) = ~ [f(M) n .grad V~(M) -- Ve(M) g(M)] dS

repr6sente une solution de l '6quation de Helmholtz h l 'int6rieur et h l 'ext6rieur de S, mais que eette solution a sur S des discontinuit6s pour elle-m~me et pour sa d6rivfie normale, donn6es par

ui(M) -- ue(M) = f(M),

n-grad u,(M) -- n.grad u,(M) = g(M),

les indices i e t e indiquant les valeurs prises h l'int6- rieur et h l 'ext~rieur du domalne D vers lequel est

orient6e la normale n . Un cas particulier de cette formule est cello de

Kirchhoff que nous 6crirons en util isant la fonction de Heaviside du domaine HD(P) qui est 6gale h 1

233 - -

M, BOUIX

Iorsque ]e point P appart ient h D et ~ z6ro dans le cas contraire

(6.9) Hg(P) uP() = ~ Y s [u(M) n.grad V~(M)

-,- V~(M) n.grad u(M)] dS.

L'int6grale ayan t uno valeur nulle h l 'ext6rieur de D, les sauts de la fonction u et de sa d6riv6e normale se confondent avec leurs valeurs prises du c6t6 off elles ne sent pas nulles.

Pour le domaine ext6rieur, on volt ais6ment que, lorsque le point P s'61oigne h l'infini, la fonction u(P) tend vers z6ro comme l[r . I1 serait int6ressant d'essayer de r6soudre, comme nous l 'avons fait pour los 6quations diff6rentielles lin6aires, le probl~me de la recherche d 'une solution de l '6quation de Helmholtz h second membre

(6.10) A u + k 2 u= F(P)

qui satisfait h la condition (6.6). La th6orie permet de conclure h l 'existence de valeurs propres pour le param~tre k ~ ; lorsque k ~ n 'est pas valeur propre du probl~me homog~ne assoei6, on trouve une solution unique, et on peut 6crire cette solution "~ partir d 'une fouetion de Green, satisfaisant h la condition aux limites homog~ne sur S e t h l '6quation de Helmholtz homog~ne dans D sauf en un point

Po(xo, yo, %). La d6termination effective de la fonction de Green

repose sur la r6solution d 'une 6quation int6grale. Nous n'6crirons pas ici cos r6sultats qui ne parais- sent pas devoir avoir en Physique un domaine d'application darts toute sa g6n6ralit6. I1 est pr6f6- table d'observer que la fonction donn6e du second membre, f(P), repr6sente en r6alit6 ce que l 'on pourrait appeler los ~ sources ~) de la solution, et que dans les probl~mes pratiques los sources ne sent pas r6parties sur un volume, mais sent ponctuelles ou r6parties sur une courbe ou une surface.

Ainsi, si on reprend la relation (6.8) qui donne une solution de (6.5) discontinue sur S, et si on calcule le laplacien Au de la fonction discontinue au sens des distributions, on trouve que cette fonction discontinue est la solution unique au sens des distri- butions de l '6quation de Helmholtz ~ second membre

(6.11) Au + k~u = s

s 6tant la distribution dent le support est la sur- face S

(6.1~) s = [f(M) div n + g(M) + (n.grad l)u] a(t) + f(M)~'(/)

1 6tant une abscisse sur la normale. Si on a la relation

g(M)= (n. grad [)~

on trouve la source de la fonction donnae par la formule de Kirchhoff, nulle ~ l'ext6rieur de D.

I1 est int6ressant d'obtenir los sources des solu- tions fondamentales et en particulier cello de Va(P ).

Pour faire ce dernier calcul par exemple, on consi-

~ANNALES DES T]~L~COMMUNICATION$

d~re la fonction discontinue HV~(P) off H est la fonction de Heaviside de l 'ext6rieur de la sphere Z de rayon s centr~e en A.

On forme la source s pour cette solution HV~(P) et on l 'applique h la fonction ind6finiment d6rivable r y, z) h d6croissance rapide. On trouve que lorsque r tend vers zdro, cette expression a la valeur limite

lim < s. �9 > = -- 47re(a, b, c).

Par suite, la source s o de Va(P) est

s o = -- 4rc~(P-- A).

Si Va(P ) est solution de l '6quation de Helmholtz second mernbre

Au + k2u = -- 4 ~ ( P - - A)

la fonction "~ singulacit6 el, A

vA(P)

sera la solution de

Au + k2u = - - 4 n ~ ( P - - . 4 ) .

Cos r6sultats se g6n6ralisent aux syst6mes d'6qua- tions aux d6riv6es partielles et en particulier aux 6quations de Maxwell. Nous renvoyons le lecteur h nos articles cit6s en r6f6rence concernant les sources ponctuelles que l'on met en 6vidence darts ces appli- cations.

Manuscrit re~u le 21 mars t962.

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QUELQUES APPLICATIONS DES DISTRIBUTIONS ~/~

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N O T E S , I N F O R M A T I O N S , A C T U A L I T ~ S

R E V U E D E S P O S T E S

E T T ~ L I ~ C O M M U N I C A T I O N S D E F R A N C E

Sommaire du n o 1 (vol. 17) Janvier-F6vrier 1962

Pages

Laplus haute distinction de l 'Administration des Postes de la B6publique f6d6rale allemande est d6cern6e h M. Marcel FAucoN, Directeur g6n6ral des Postes . . 2

1962. ann6e z6ro des t616communicattons spatialcs, pal' M. J. VOGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

La transmission des donn6es, par M. Raymond R O Q U E T . t2 Edouard ESTAUNI/:, fonctionnaire des Postes et T616-

graphes, par M. COSTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ESTAUNI/:, une flamme, par M. ESCHOLIEn . . . . . . . . . . 26 Au 22 e salon du Photo Cin6 Club des P.T.T . . . . . . . 30 Exploration de la hautc atmosph6re h l'aide dc fus6es,

par M. FAYARD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Henri-Ren6 LAFON. Prix Tristan DER~ME . . . . . . . . . . . 36 Les bagatelles de la Poste (suite), par M. H. R. LAFON. 42 CHRONIQUE--]uridique : Le timbre pour la r6ponse, par

M e Bernard DEBRSY (p, 38) ; - - S T A T I S T I Q U E S (p. 39) ; - - PHILATEL1E (p. 63) ; - - L E G I S L A T I O N ET JURISPRUDENCE (p. 47) ; - - BIBLIOGRAPHIE ;-- (p. 53).

Sommaire du no 2 (vol. 17) Mars-Avril 1962

Pages Bienvenue h M. Jacques MAnETTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Le service T61ex, par M. CROZE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 La protection des porteurs de ch6ques, par M. J. GudruN. 9

L'information du public en mati6re de postes et t616com- munications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Sports P. T. T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Le G6n6ral Ferri6 (t868-1932), par M. DAVXD . . . . . . . . . . 32 Le Commandant Ferri6 ~ la Tour Eiffel, par

M. J.-J. VERDIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Le Service t616phonique international h Paris-Inter-

Archives, par M. BOUTH~Or~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . :~5 Les grands hommes des T616communications : Lee de Fo-

rest, par M. J. TnURIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Poste et police, par M. MEYEn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

CItRONIQUE--/uridique : Lcs limites d 'une clause attr i- butive de comp6tence imprim6e sur le papier ~ lettre d 'un commer~ant, par M e Bernard DEnRAy (p. 44) ; - - STA- TISTIQUES (p. 5`5) . - - PHILATELIE (p. 47) ; - LEGISLATION ET JURISPRUDENCE (p. 51 ) ; - - - BIBLIOGRAPHIE (p. 55).

Sommaire du no 3 (vol. 17) Mai-Juin 1962

Pages Perspectives du d6veloppement et du progr6s technique

du service postal au cours des quinze-vingt ans proehains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Les Postes et T616communications ~ la R6union, par M. GUINOT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15,

Le 45 e Salon, par M. DEvAux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Soci6t6 artistique des P. T. T. - - 5'5 e Salon . . . . . . . . . . 32 Le service des brigades de la Direction des services pos-

taux de la r6gion de Paris, par M. CEDELLE . . . . . . . 38

C H R O N I Q U E - ]uridique: Une nouvelle interpr6tation va-t-elle gtre donn6e h l 'article t87, w 2, du Code p6nal, par M e D~BnAY (p. 5`4) ; - - STATISTIQUES (p. 45) ; - - PHILATELIE (p. 46) ; - - LEGISLATION ET JURIS- PRUDENCE (p. 52) ; - - BIBLIOGRAPHIE (p. 57).

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