Quelques d~veloppements r~cents sur le probl~me de Dirichlet

D~di~ au prof. HELMUT HASSE ~ l'occasion de son 60ieme anniversaire

Par M. BRELOT, Paris

Vorgetragen im Mathematischen Seminar der Universitat Hamburg am 29. Januar 1958

1. Les diverses mdthodes donn~es au si~cle dernier pour rdsoudre le probl~me classique de Dirichlet faisaient routes des hypotheses restric- rives sur la fronti~re. I1 y a 50 ans, on remarqua que ces restrictions ~taient en partie n~cessaires; ZAREMBA et LEBESGUE donn~rent des exemples off le probl~me (avec donn~e-fronti~re continue) n'a pas de solution. Aussi songea-t-on ~ introduire pour ce probl~me une solution gdndralis~e qui existerait toujours, ce que WIENER explicita clairement vers 1924 de deux mani~res dquivalentes [12]. I1 fallait naturellement ensuite ~tudier cette solution ~ la fronti~re. Le probl~me ~tait ainsi d~compos~.

L'une des ddfinitions de Wiener ~tait inspir~e de la solution que PERRON [9] venait justement de donner du probl~me classique et qui d'ailleurs, d'apr~s les t ravaux ultdrieurs, traite le cas le plus g~n~ral c'est-g-dire n'introduit que des restrictions n~cessaires et suffisantes. L'id~e de cette rdsolution est, depuis 35 ans, la base de nombreuses recherches, d'extensions relatives g des donn~es-fronti~res discontinues,

diverses fronti~res ~ abstraites~, ou ~id~ales(, ou ~ des conditions aux limites analogues sans fronti~re. I1 y a d'autres m~thodes comme celle des projections d~rivant des travaux de GAuss, DIRICHLET, RIEMANN, HILBERT et fort g~n~ralisde aujourd'hui, mais le champ des applications n'est pas le m~me. L'id~e de PERRoN-WIENER convient peut-~tre mieux aux donn~es-fronti~re gdndrales. J e rappellerai d 'abord les premiers r~sultats maintenant classiques de cette m~thode. Puis nous verrons comment ce point de vue, cette structure de raisonnement peuvent ~tre conserves dans des cas bien plus g~n~raux. On arrivera ainsi consid~rer des fonctions dont des cas particuliers sont les solutions d'dquations de type elliptique et des conditions-fronti~re pour des espaces topologiques tr~s g~ndraux.

2. Cas classique euclidien

On sait (voir [10]) que, dans un ouvert w de l'espaee euclidien R ", une fonction r~elle v e s t dite surharmonique au sens large si

1 ~ v e s t semi-continue infdrieurement

Quelques ddveloppements r6cents sur le probl~me de Dirichlet 49

2 ~ co

3 ~ dans tout domaine sph~rique (boule ouverte) 0 r ~ C oJ, v majore l'int6grale de Poisson pour la donn6e-fronti6re v.

La d6finition est de caract~re local et v ne peut admettre un minimum relatif en un point sans 6tre eonstante au voisinage, d'o~z l'on d6dnit le ~ principe du minimum,:

v _> In/ (lim.-in/. aux points-fronti~re dans R" augment6 d 'un point l'infmi).

On d~finit de m6me u sousharmonique au sens large, ou par la condition que - - u est surharmonique (au sens large).

On montre que, dans un domaine, v e s t partout + ~o ou presque partout finie et l 'on dit dans ce dernier e a sque v e s t surharmonique.

Rappelons enfin le th6or~me de F. RiEsz selon lequel v surharmonique vaut localement la somme d 'un potentiel (newtonien ou logarithmique) d'une mesure > 0 et d'une fonction harmonique. Cet te , mesure associ6e, (on dit aussi les masses associ6es) est unique. Ce th6or~me, banal lorsque v a des d6riv6es secondes continues, se d6montre tout aussi bri6vement aujourd'hni grs aux distributions de Schwartz.

3. Consid6rons dans R' , pour simplifier, un domaine born6 Q. Soit sur la fronti~re ~2" une fonction r6elle [. Consid6rons dans ~2 ~ peu pr6s comme PERRON les fonctions surharmoniques (au sens large) v saris faisant aux conditions:

(~) lim. i n f v ~ / ( x ) (x~Q*) et lim. i n f v > - - oo. y s ~ , y--~ X y'--~ x

L'enveloppe in/drieure ( in/des v) H! (y) est + 0% - - oo ou harmonique. Cela rdsulte aussit6t des remarques suivantes:

a) Si dans une boule ouverte 0 C ~ C L2, on remplace v par son int6- grale de Poisson, on obtient une fonction dans ~2, surharmonique au sens large et satisfaisant aux conditions (~).

b) S i v 1 et v 2 sont deux fonctions du type v, de m~me in/ (v v v=).

c) Un ordonn6 filtrant croissant de fonctions harmoniques dans converge vers + oo ou une fonction harmonique. (C'est-~-dire que l'enveloppe sup6rieure est + oo ou harmonique.)

Dans le cas de suites croissantes, c'est un th6or~me classique de Harnack qui r6sulte d 'un passage ~ la limite sur l'int6grale de Poisson; la m6me d6monstration s'applique au cas g6n6ral.

Avec WIENER, on d6finira de m6me une enveloppe _H 1 gr~.ce aux fonctions sousharmoniques ou comme la fonction 6gale ~ - - H_ I" D'apr~s le principe du minimum: H_/ ~ H 1 .

4 ~4s4 ~bg. ruth. Abh., Bd. xxm

50 M. Brelot

4. Lorsque ] est finie continue, on sait d'apr~s WIENER que H! -- HI" Cette enveloppe commune, harmonique est not6e H 1 et dite solution g~n6ralisge, ~videmment ~gale ~ la solution classique lorsque celle-ci existe.

Comme H 1 (y) en chaque y est une fonetionnelle lin~aire croissante de /, elle se repr6sente selon

H! (y) = f/(x) diuy (x)(De la Vall6e PoussIN [6]),

off d/~y est une mesure de Radon _> 0 sur D*, qui peut ~tre earactdris4e de diverses mani~res en th4orie du potentiel.

Alors se pose la question: comment cette solution se comporte-t-elle en g4n4ral ~ la fronti~re ?

Un point-fronti~re est (lit r4gulier si pour toute / finie continue:

H! (y) , / (x). y "--*" X y ~ D

On en montre aisdment le caractbre local. Je laisse de c6td l'6tude approfondie de la r6gularit~ qui requiert la thdorie fine du potentiel. L' important i c i e s t de savoir le degrd de raretd des points irr6guliers. La rdponse ne fur donn6e qu'en 1933 par G. C. EVANS [5]: leur ensemble est de mesure h a r m o n i q u e - d/~ nulle (ce qui est indgpendant de y e $2). Ce r~sultat, consider6 pour tous les [2, ~quivaut s la forme plus precise que cet ensemble est (~polaire~), c'est-s contenu dans l'en- semb]e des infinis d'une fonction surharmonique (ou un potentiel de masses ~ 0) convenable. C'est l~ aujourd'hui une cons6quence imm6diate des thdor~mes de convergence en thdorie du potentiel.

Retenons que nous avons partagd la fronti~re en deux parties: sur l 'une ]a solution g6n~ralis~e se comporte de la mani~re continue que le probl~me classique demandait partout; quant ~ l 'autre partie elle est (~n~gligeable~) au sens de la mesure harmonique.

5. I1 dtait naturel de consid6rer aussi pour des donn~es / quelconques, le cas d'dgalit~ des enveloppes _HI, H I. Lorsqu'elles sont 6gales et finies en un point, elles sont partout dgales ~ une fonction//1 harmonique et on dit alors que f e s t rdsolutive. W I E ~ a ne put approfondir la question

cause d 'un exemple dont, longtemps apr~s, j'ai remarqud l'inexactitude, ce qui m'amena (1939) [1, a], ~ montrer que la rdsolutivit~ ~quivaut la sommabilitd - - d # ~ (inddpendante de y) et que

/ /! (Y) = t / (x) d / ~ (x)

Plus g~n~ralement les deux enveloppcs HI, H l valent les int~grales infdrieure et supdrieure de Radon.

Quelques ddveloppements rdcents sur le problbme de Dirichlet 51

I1 restait naturellement ~ dtudier ees enveloppes ~ la frontibre. In- diquons par exemple que, en tout point rdgulier x:

lira sup H--1 (y) < lira sup de / en x, y --~ a:

lorsque ] e s t bornde supdrieurement.

Telles sont les bases d'une thdorie qui a dtd trbs foufllde, d'ailleurs, sans que je puisse m'y dtendre, en liaison dtroite avee la thdorie du potentiel (voir [1] b). Arrivons aux extensions.

6. Fronti~res et espaces plus gdndraux

La nature des enveloppes 6tant de caractbre local, on songera, au lieu de l'espace ordinaire, ~ quelque espace localement euclidien. De faqon prdcise appelons espace - - E [2] un espace connexe sdpard tel qu'~ tout point y soient associds Un voisinage ouvert Vy et une homdo- morphie de Vy sur un ouvert de R', sous la condition suivante: la corres- pondance dvidente des images de Vy, ~ V~, dolt ~tre isomdtrique (ou encore dans le cas de n = 2 seulement conforme, non ndeessairement directe). Comme on sait ddfinir l 'harmonicit6 et les notions connexes au voisinage du point ~ l'infini de R n, on adjoindra ce point ~ R ~ d'ofi un espace sur lequel on fera l'application de Vy, en 61argissant ainsi un peu la notion d'espace -- E.

Toute thdorie dans un espace entier E serait triviale s'il n 'y existait au moins une fonction surharmonique > 0 non constante. Or cette existence 6quivaut ~ celle d'une fonction de Green G~ (y) ddfinie comme suit:

C'est la fonction surharmonique > 0 dont les masses assocides de Riesz continennent la masse -k 1 en x et qui est la plus petite sous ces conditions. Elle est symdtrique en x et y e t se note aussi G (x, y). On n 'a pas eu besoin de frontibre. On dit alors que notre espace E est un espace de Green [2]; tel est le eas d 'un domaine bornd euclidien, d 'un domaine quelconque de R ~ (n > 3), d'une surface de Riemann elassique ~)hyperbolique~). C'est une extension assez banale des domaines euelidiens bornds. Examinons au contraire des gdndralisations plus intdressantes de la frontibre. Au lieu de eonsiddrer comme espace de Green une partie d'espace -- E et sa frontibre naturelle dans E, on ehoisit darts un espace de Green ~2 quelconque une mdtrique compatible avec la topologie; la compldtion fournit des points qui constituent la fronti~re de T2 dans l'espace compldtd. C'est ainsi que dans un domaine euclidien on peut prendre comme nouvelle distance (xl, x2) (au lieu de la distance eucli- dienne qui par eompldtion fournit la frontibre euclidienne) la borne infdrieure des diambtres des ensembles connexes contenant x 1, x2 situds

4*

52 M. Brelot

dans D (id6e de WHYBURN et MAZURKI~WlCZ), OU encore la borne in- f~rieure des longueurs des arcs joignant x~ et xa sur ~. Cette id6e g6n6rale contient quelques cas particuliers effectivement approfondis et les tentatives initiales de d~composer un point-fronti~re euelidien selon des classes d'6quivalence de chemins d'aec~s (voir des indications dans [2]).

7. Le probl$me de Dirichlet avecla ]rontihre de Martin On a done 6t6 amend k adapter s une telle fronti~re g6n6rale la th~orie

pr6e6dente euelidienne du probl~me de Diriehlet, en introduisant des axiomes restrictifs indispensables (voir [2] et [1, e.).

Mais je ne veux examiner qu'une fronti~re de ee type, partieuli~rement importante, la fronti~re de R. S. MARTIN qui se pr6sente au mieux de la mani~re suivante un peu diff6rente:

Soit ~ un espaee de Green. I1 existe un espaee compact Q unique a (x, y)

(~ une hom6omorphie pros) off ~ est partout dense, tel q u e - - (7 (x, Yo)

not6 K (x, y) (Yo ~ ~ , fix6) converge vers une fonction finie K (X, y) (n~cessairement harmonique en y) quand x tend vers X e ~ 2 - - 9 (fronti~re A de D darts D) et que K (X, y) corresponde biunivoquement

X e A. Alors D est m~trisable, ind6pendant de Y0, et K (x, y) est continue dans ~ • Q (x et y r Y0). C'est cet espace que eonstruisit en f a r R. S. MARTIN [7] (1941) ~. l'aide d'une m6trique convenable pour g6n6raliser la repr6sentation int~grale de Poisson-Stieltj6s. Pour un domaine euelidien s fronti~re assez r6guli~re, le nouvel espace est hom6o- morphe ~ l'adh6renee euclidienne de D et A est la fronti~re euclidienne. Pour un domaine plan simplement connexe (diffdrent de R ") A n'est autre que la fronti~re des bouts premiers de Caratheodory.

Une fonction harmonique > 0 dans ~ est dite minimale si toute fonction harmonique > 0 plus petite lni est proportionnelle. Elle est n~cessairement du type K (X, y) et les X (uniques) correspondants sont dits minimaux. Ils forment une partie A 1 de A. Voici alors le r6sultat fondamental de MARTIN [7] : route fonetion harmonique > 0 u (y) dans Q poss~de la repr6sentation

u (y) ---- I g (X, y) dju (X)

off d/~ est une mesure > 0 de Radon sur A, unique si# (A - -A1) ---- 0. Gr&ee k l'interpr6tation, remarqu6e par H. CARTAN, de ces fonctions minimales comme terrains 616ments extr6maux, ee rdsultat difficile de MARTIN est maintenant cons6quence imm6diate des r6cents th6or~mes de CHoquET [3] sur les 616ments extr6maux, prolongeant et pr6cisant le th~or~me de Krein et Milman.

Quelques d~veloppements r6conts sur lo probl%mo do DiricMe~ 53

D'autre part, en n'utilisant que quelques points des raisonnements de MARTIN, j'ai trait6 ind6pendamment, il y a quelques ann6es [1, d.] le probl~me de Dirichlet pour la fronti~re A, sous une forme qui contient, comme on va voir, la repr6sentation int6grale de Martin.

Soit h une fonction harmonique > 0 fix4e dans ~9. On se donne sur A une fonction r6elle/. On consid~re les fonotions v

surharmoniques au sens large telles que, en tout point X de A, la lim. inf v

de ~ majore / (X), et s t r i c t e m e n t - oo.

Premier Th6or~me. - - L'enveloppe inf6rieure des v est une fonction 9i, h valant + ~, - - co ou harmonique. M~me d6monstration que dans le cas classique.

On d4finit de m~me _Dr, ~ = - - i)_l, he t on voit encore que D t, h < Dt, h . Lorsque ces enveloppes sont 4gales et finies en uu point donc partout et harmoniques, on dit que / est h-r6solutive et l 'enveloppe commune est dire solution Dr, h .

Deuxi%me Th6or~me. - - Toute fonction / finie continue est h-r6so- lutive, d'ofi l'expression de la fonctionnelle Dr, h:

D~, h (y) = I ! (x) d ~,~ (X)

La <(h-mesure harmonique)) d#~ satisfait de plus aux propri4t4s

~(~ -~1)=0 ~(x)=K(X,v) ~ . (X). C'est de lk qu'on d6duit si /---- 1,

Dr, h = h (y) = i K (X, y) d#~, ( X ) .

C'est la repr6sentation int~grale de Martin pour h.

Troisi~me Th6or~me. - - Pour ] quelconque

~, h (y) = I 1 (x) d ~ (X)

_Dr. h (y) = I ! (X) g ~ (X) .

De sorte que ] est h-r6solutive si et seulement si / est sommable-d/~ (ou d ~ . ) et

D~. h (V) = f ! (Z) d ~ (X) 8. I1 reste k 6tudier la solution ~ la fronti~re, surtout pour I continue

et aux points minimaux. On pout naturellement d6finir un point r6gulier X e A par la condition

/)i, h (y) * ! (X) quelle que soit ! finie continue.

h (y) y_.~

M~is on ignore la rarer6 des points non r6guliers. Cependant, une ~l~ve, Mile hT~t~ qui a beaucoup approfondi [8] l'usage de la fronti~re

54: M. Brelot

de Martin a pu prolonger ~ peu pros la structure de la th6orie classique. Je simplifie au maximum en perdant quelque pr6cision. Elle remplace sur A1, la r6gularit6 par une pseudo-r6gularit6 un peu plus faible; alors les points non pseudo-r6guliers forment un ensemble de h-mesure har- monique nulle.

Mais qu'est-ce que cette pseudo-r6gularit6 ? Un point minimal X o est dit pseudo-r~gulier si dans la condition de r4gularit6 on prend la limite au sens d'une certaine autre topologie, ou encore si on remplace la limite par une dertaine ((pseudo-limited) que voici:

La pseudo-limite en X 0 (unique si elle existe) d'une fonetion sur est la limite selon la topologie de ~ lorsqu'on supprime de I2 un ensemble convenable satisfaisant ~ la condition d'etre (~effil6~) en X 0.

Qu'est-ce enfin que cette notion, inspir6e de la notion de m~me nom en th6orie classique du potentiel ?

Un ensemble E ( Q est dit efffl6 en x e A s'il existe une mesure m > 0 sur ~ telle que le (~potentiel-K,) f K (x, y) d m (y) d6fini sur ~ - Y 0 air en X une valeur diff6rente de sa lim.inf, quand x e E tend vers X (ou bien si X n'est pas adh6rent ~ E).

I1 est d'ailleurs remarquable que l'effilement de Q en X caract6rise X comme point non minimal; de sorte que la notion de pseudo-limite n 'a de sens qu'aux points minimaux. Je ne puis aborder l'utilisation tr~s d61icate et tr~s fiche de ces notions par Mlle NA~ qui a dtudi6 tr~s avant l'allure ~ la fronti~re de la solution /)i. h e t m6me des fonctions surharmoniques en g~n6ral. R6cement DOOR [4, b] a ~t6 plus loin encore e t a 6tabH, grs ~ la th~orie des probabflit~s et plus sp~cialement du mouvement brownien que, pour toute fonction surharmonique v > 0, v

admet une pseudo-limite, en tout point minimal, sauf peut 6tre sur

sensemble de h-mesure harmonique nulle.

La ffonti~re de Martin n'est d'ailleurs pas seulement commode pour ces 6tudes d'allure ~ la fronti~re. Elle apparMt aussi comme une ffonti~re de r6f6rence parmi routes celles des espaces de Green qui se pr~tent aux ~tudes axiomatiques du probl~me de Dirichlet, avee enveloppes et th6or~me de r6solutivit6. Mile NA~ a pu montrer en effet qu'une telle solution pour une donn6e sur une fronti~re quelconque F vaut une solution pour une donn6e convenable sur la fronti~re de Martin A. I1 suffit d'Ster des ensembles (~n6gligeables)) sur les deux fronti~res et d'appliquer convenablement la fronti~re de Martin restante dans /1 pour ddduire d'une donn6e sur/1 une donn6e sur Ae t ramener le probl~mo

celui que nous venons d'approfondir.

Quelques d6veloppements r~cents sur le probl~me de Dirich]et 55

9. Une axiomatique gdndrale en espace localement compact

I1 y avait lieu d'examiner routes les recherches pr~c~dentes pour les adapter ~ des varidt~s plus g~n~rales et s des fonctions plus gdndrales aussi que les fonctions harmoniques, comme les solutions de certaines ~quations de type elliptique. Cette seconde idde a d~j~ dr6 ~tudi~e il y a 20 ans avec la fronti~re euclidienne. Passons plutSt d 'un coup ~ une g~n~ralitd beaucoup plus grande en nous contentant des premiers pus. TAUTZ [11] rut ainsi conduit f l y a dix ans ~ des reeherches axiomatiques pour un espace m~trique complet localement compact et un op~rateur rempla~ant l'intggrale de Poisson mais il ne ddveloppe s6rieusement que le cas de l'espace et de la fronti~re euclidiens. DooR reprit rdcemment [4, a] l'id~e d'une axiomatique analogue qu'il approfondit en faisant jouer un rSle essentiel aux suites ou lignes d 'un mouvement brownien gdn~ralisd mais sans interpreter la r~solutivit~ comme une eertaine sommabilit~.

Je voudrais presenter une axiomatique plus ou moins analogue [1, d., e.] aussi voisine que possible de la thdorie classique et comportant essentiellement cette interpr6tation de la rdsolutivitd. Pour DooB les constantes sont des foncti0ns harmoniques g~n~ralis~es, ce que je ne supposerai pas, tout comme TAUTZ. Par eontre DooB a l 'avantage d'in- clure les solutions de l'~quation de la chaleur. Peut-~tre est-il possible d'allier ces divers avantages, mais sans doute d'une fa~on moins simple que dans la thdorie que je vais esquisser:

Espace fondamental ~ : il est localement compact, non compact et connexe. Un axiome ult~rieur le rend localement connexe.

I1 est commode pour le langage d'adjoindre un point d'Alexandoff d'ofi un espace compact ~ dont on prendra la topologie.

Fonctions harmoniques g~n~ralis~es ou fonctions principales (Haupt- funktionen) :

Dans chaque ouvert co C Q, ce sont des fonctions rdelles finies continues formant un espace vectoriel rdel satisfaisant aux conditions suivantes, qui sont de caract~re local:

Axiome I. Si u est principale dans co, dans des o~i, elle est principale dans tout co' C o~, dans ~ ~o 1.

Axiome II. Appelons r~gulier tout ouvert ~o C ~ C D ayant la propri~t4 suivante: route fonction rdelle finie continue I sur la fronti~re ~o* de admet de fa~on unique un prolongement continu dans o~, qui soit une fonction principale dans w e t ce prolongement est en chaque point y une fonetionelle eroissante de 1.

56 M. Brelot

Ce prolongement est donc de la forme

I l d off d ~ est une mesure de Radon >_ 0 sur co*.

Alors le deuxi~me axiome s'~nonce: il existe dans f2 une base d 'ouverts r~guliers connexes. Autrement dit, dans tout voisinage d'un point quelconque, il y a un domaine r~gulier contenout ce point.

Axiome III. Tout ordonn6 filtrant croissant de fonctions principales dans un domaine converge vers ~- oo ou une fonction principale.

Voici unc forme ~quivalentc: pour les domaines r~guliers (ou seulement ceux d'une base), d ~ d~fiuit une sommabilit~ ind~pendante de y e t pour route fonction / sommable-dQv , I /day est continue en y dans co.

Noter que si ~ poss~de une base d~nombrable, l 'axiome I I I est ~qui- valent ~ l'~nonc~ analogue pour des suites. Remarquer aussi que cette seule propri~t~ des suites entralne pour une fonction principale l'im- possibilit~ d 'un minimum nul sans constance au voisinage.

E x e m p l e s - - Dans l'espace euclidien, les fonctions harmoniques ou les solutions de l'~quation de type elliptique avec coefficients assez rSguliers:

a~u ~ b au ai~ axia----~k~- ,/ ~ j ~ v j - ~ c u : O c ( x l . . . x , )~_0.

Fonctions h-principales. Lorsqu'fl existe une fonction principale h > O, u

les fonctions ~ oh u est principale sastifont aux axiomes et sont dites

fonctions h-principMes. Les constantes sont h-principales, ce qui est avantageux comme on verra plus loin, et sugg~re de traiter les probl~mes, si possible, avec des fonctions h-principales.

Fonctions hyper et hypoprincipales (Ober- und Unterfunktionen).

Dans un ouvert coo C co, on appelle hyperprincipales les fonctions r~elles v satisfaisant aux conditions

l ~ oo 2 ~ v est semi-continue infdrieurement 3 ~ pour chaque domaine r~guiier co C ~o C coo,

v (y) >_ I v (x) d e~ (x).

L'6tude ult~rieure montre que cette in~galit6 suffit pour des domaines r~guliers formant une base; autrement dit la ddfinition est de earact~re local.

On d~finit u hypoprincipale par la condition q u e - u est hyper- principale. On voit ais~ment que les quotients par h > 0 (s'il existe) des fonctions hyperprincipales sont les fonctions hyper-h-principales.

Qaelques d6veloppements r6cents sur le probl~me de Dirichlet 57

Quelques propridtds des fonct ions hyperprincipales v:

1 ~ Si v 1, v~ sont de telles fonctions, de m~me inf (vl, v~.) e t 2v 1 -}-/~v 2

> o) 2 ~ Un ordonn6 f i l t ran t croissant de v converge vers une telle fonct ion 3 ~ S iv v a u t % oo au voisinage de Y0, elle v a u t % r dans t o u t domaine

con tenan t Y0 4 ~ Soit dans eo o une fonct ion principale h > e > 0 (cequi a lieu si

o~ o est rdgulier) ; alors v hyperpr incipale dans o~ C o~0 est >_ 0 si la lim.inf v e n t ou t poin t fronti~re de co est _> 0.

Lorsque les constantes sont principales, on a m~me dans co quel- conque, un principe de minimum.

5 ~ Soit v hyperpr incipale dans o~ o et co r~gulier te lque ~ C COo. Si l 'on remplace dans ~o, v pa r ! vd~, on obt ien t ne fonct ion hyperpr incipale

dans ~0. 10. Nous pouvons ma in t enan t aborder le probl~me de Dirichlet dans

en lui donnan t une forme qui ne ndcessite pas de fronti~re. Mais on in t rodui ra ~ la place essentiellement.

(a) un ensemble V de fonct ions hyperpr incipales v con tenan t :

~) tou te fonct ion hyperpr ineipale ma jo r an t une fonct ion de V fl) tou te combinaison lin~aire ~ coefficients > 0 de fonct ions de V 7) l 'enveloppe inf~rieure de deux v e V

0) la fonet ion ddduite d 'une v en rempla~ant dans ~o rdgulier v pa r

Ivan; (b) un ensemble L de filtres F sur D sans poin t adheren t dans ~2.

On suppose essentiel lement V e t L (~associds~) c 'est-s tels que pour chaque v e V la condit ion lim.inf ~ 0 quel que soit F e L entra ine v ~ 0. Cela remplace un principe de min imum relatif ~ une fronti~re. Comme exemple de V e t L associds citons:

1 ~ Prenons comme espace, un domaine o)C ~ C $2, pour les v routes les fonctions hyperpr incipales dans o~, pour les F les filtres des t races sur co des voisinages des points de o~*.

2 ~ Comme espace, un espace de Green, pour les v les fonct ions sur- harmoniques au sens large e t borndes chacune infdr ieurement ; pour choisir les F consid~rons les lignes de Green ( tangentes k grad G (x, Y0) r 0 (issues de Yo et prolong~es le plus possible) on di t qu 'une telle ligne

est r~guli~re si, sur elle, inf G (x, Y0) ---- 0. On sait d 'ailleurs que pour (~presque toutes~ les directions issues de Y0, pa r t une ligne r~guli~re. Sur chaque ligne r~guli~re, les ensembles off G (x, Y0) > e fo rmen t une base de filtre. P o u r une fonction, la lim.inf selon un tel f i l tre est la lim.inf le long de la ligne pour G -~ 0. Ces filtres ddfinissent un ensemble L associ4 k celui des v eonsid~rds.

58 M. Brelot

Thdor$mes /ondamentaux Th~or~me I. - - Sur L e s t donn6e une fonction r~elle / (F). On

consid~re les v e V satisfaisant aux conditions: lira.inf, v > / (_~) et

lim.inf v F > - - ~o pour tous les F.

L'enveloppe inf6rieure H! de ces v e s t ~ ~ , - ~ ou principale. On d6finit de m~me H_! qui vaut - - H _ 1 . Alors H_! g H I.

D 6 f i n i t i o n . - Lorsque ces enveloppes sont dgales et finies en un point, elles sont ~gales et principales et / est dite r6solutive.

On dit que / est absolument r~solutive s i / + e t / - sont r~solutives.

R e m a r q u e . - - Si les v sont routes les fonctions hyperprincipales borndes inf~rieurement et si les constantes sont principales, alors les fonctions rdsolutives sont absolument r~solutives.

Th~or~me I I . - Les fonctions absolument r~solutives ] sont toutgs les fonctions sommables pour une certaine mesure abstraite (de Daniell) sur L; et pour tout Y0 ~ ~, on peut choisir cette mesure pour que l'int6- grale correspondante vaille H I (Yo) pour tout /.

En particulier si l 'on prend comme espace un domaine r~gulier ~o, pour les v toutes les fonctions hyperprincipales, pour les F les filtres F~ obtenus par trace sur ~ des voisinages des points-fronti~re x, alors les fonctions r6solutives sont absolument rdsolutives et la mesure de l'6nonc~

~0 est d~y, (en identifiant x et Fz). Cette th6orie (qui contient en particulier le ddbut des dtudes axioma-

tiques donndes pour les espaces de Green) demande un d~veloppement ultdrieur, en particulier sur l'allure de la solution selon les F . I1 faudra introduire de nouvelles conditions axiomatiques, comparer avec la thdorie de Doob et avec une thdorie du potentiel, avec ou sans noyau, qu'on peut d6velopper K partir des fonctions hyperprincipales et qui, comme dans le cas classique, serait 6troitement lide au probl~me de Dirichlet. Bien que nous n'ayons consid6r6 qu'un point de rue parmi bien d'autres et que le ddveloppement d'une mgme idde, notre probl~me ainsi d61imitd est pourtant plus loin que jamais de son ach~vement. C'est lk une perspective scientifique famili~re qui, je l'esp~re, tentera de jeunes chercheurs.

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Eingegangen am 26. 2. 1958