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Quelques progr6s r6cents dans le domaine des r6seaux param6tres r6partis*

Pierre J A R R Y Docteur ks Sciences **

Analyse

Les progrbs dans le domaine des filtres fl parambtres rOpartis sont trbs rapides. Cet article tente de faire le point sur les principales mdthodes de synthbse et d'approximation utilisdes jusqu'd ce jour.

R E C E N T A D V A N C E S IN D I S T R I B U T E D FILTERS DESIGN

Abstract

Progress of distributed filters is very rapid. This paper shortly analyses the important methods of syn- thesis and approximation of microwave filters used until this day.

Sommaire

I. Introduction.

II. Les premibres rdalisations dans le domaine distribud.

III . ROalisations rOcentes dans le domaine distribud.

IV. Problbmes d'approximations dans le domaine distribuO.

V. Conclusion.

Rdfdrenees (17 rdf ).

I. I N T R O D U C T I O N

Duran t ces dix derni~res ann6es, le domaine des r6seaux h param6tres r6partis a 6t6 le sajet de bon nombre de travaux de recherche qui ont conduit b~ certains r6sultats importants. Nous pr6senterons ici quelques uns de ces r6sultats que nous avons jug6s les plus significatifs sans pour autant faire une bibliographie complete. Nous parlerons aussi des probl6mes d ' approximat ion et de r6alisation.

II. LES PREMI~2RES RI~ALISATIONS DANS LE DOMAINE DISTRIBUI~

I1 y a donc plusieurs ann6es que le sujet des filtres h param6tres r6partis a fait son appari t ion dans la litt6rature technique. Les premiers r6sultats 6taient bien 6videmment bas6s sur la t ransformat ion de Richards [1] ; ils consistaient la plupart du temps construire des filtres distribu6s h partir de proto- types 5. param~tres localis6s. Consid6rons le filtre passe-bas en 6chelle de la figure 1. I1 est form6 de trois 616ments r6actifs. Chaque 616ment r6actif est alors s6par6 par un tronqon de ligne ou << 616ment unitaire >> (e.u.) grfice aux identit6s de Kuroda [2]. La r6alisation devient alors possible dans le domaine micro-ondes ; le filtre r6sultant est form6 de bras de r6actance (stubs) et d 'e.u, en cascade.

Puis des structures propres au domaine micro-ondes ont 6t6 d6termin6es ; ces structures n ' ayan t aucune contre partie dans le domaine localis6. Le premier type de filtre 6tait alors uniquement form6 d'616ments unitaires en cascade (Fig. 2).

* Cet article a fait l'objet d'une communication lors des Journ6es d'Etudes organis6es par la SEE sur le << Filtrage darts le domaine des t616communications >> 6 et 7 d6cembre 1978 h Limoges. ** LEM- UER des Sciences, 123, rue A.-Thomas, 87060 Limoges Cedex.

1/8 ANN. TELECOMMUNIC., 3z~, n ~ 11-12, 1979

536 p. JARRY. - - RESEAUX A PARAMETRES RI~PART1S

I 1 T

0

0

KURODA

1 T T T

Zl z 2

0 I I 0

FIG. 1. - - Identit6s de Kuroda .

Kuroda' s identities.

~ - ~ . . . . . . . . . J I o Zo z I z 2 ZN_ 1 Z N

~ ~ ' . . . . . . . . . l I ~ DB

o

FIG. 2. - - E l 6 m e n t s uni ta ires en cascade .

Cascade of unit elements.

mission darts la bande d'arrSt. Cette structure peut aussi 8tre employ6e comme transformateur d'imp6- dance.

Les caract6ristiques d'affaiblissement ont 6t6 am6- lior6es en introduisant des structures micro-ondes plus sophistiqu6es ; la plus connue 6tant la structure inter- digitale. Celle-ci doit son succ6s au fait qu'elle est tr6s facile /t construire et qu'elle poss6de un z6ro de transmission dans la bande d'arr&. Ceci a 6t6 montr6 pour la premi6re fois par R . J . Wenzel [3] qui en a donn6 le sch6ma 6quivalent (Fig. 3).

Ceci 6tant rappel6, la plupart des r6sultats impor- tants obtenus r6cemment l 'ont 6t6 en utilisant la th6orie des tronfons de ligne multiconducteurs. Cette th6orie a conduit & la r6alisation de fonctions de transfert /l phase non minimale et de fonctions de transfert poss6dant des zdros de transmission pour des fr6quences finies (affaiblissement de type elliptique).

I lL RI~ALISATIONS RI~CENTES DANS LE DOMAINE DISTRIBUI~

III.1. Le tron~on de ligne multicondueteur.

Dans la synth6se des circuits ~ lignes de transmis- sions, l'616ment de base est le tron~on de ligne de longueur 1 (ou de retard %) appel6 616ment unitaire (e.u.). Il est d6crit par sa matrice de chaine [ABCD].

, [ , 41~--ir rot

oh Zo est l'imp6dance caract6ristique et t ----- tanh'r0p = ~ q- j ~2 est la transformation de Richards.

Un autre 616ment important est le tron~on de ligne multiconducteur. I1 est form6 de n conducteurs et d 'un plan de masse (Fig. 4). Les conducteurs sont uniformes, sans pertes et de m~me longueur 1 (m6me retard %). Le di61ectrique entourant ces conducteurs est suppos6 homog~ne. Soient (I) et (I~) les vecteurs courant & l'entr6e et /t la sortie du multiconducteur et (V) et (V1) les vecteurs tension correspondants. Les caract6ristiques d'entr6es et de sorties sont reli6es par la matrice 2 n • 2 n.

[(zq 1 [ ~. (~>t l j(z,) l l d )J = ~ T ~ - [(~)t I . J [(/,)J '

(~) et (~q) 6tant respectivement les matrices imp6dance et admittance caract6ristiques reli6es par la relation

(~) (~) = l . .

Une telle structure a 6videmment demand6 une 6tude particuli6re pour d6terminer sa caract6ristique d'affaiblissement. Celle-ci a ceci de particulier et de d~sagr6able, qu'elle ne pr6sente pas de z6ro de trans-

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III.2. Synth~se en cascade dans le domaine distribu6 [4]"

Soit S2~(t) le coefficient de transfert d 'un r6seau sans pertes r6ciproques. Ce r6seau sera r6alisable si

2/8

P. JARRY. - RESEAUX A PARAMETRES RI~PARTIS 537

I ............... i I T

N IMPAIR

O

DB

L ~

FIG, 3. - - Structure interdigitale.

lnterdigital fitter.

Inl t

I , " 7 "

/ / / / / / / / / / / / / / / / / / FIG. 4. - - Multiconclucteur.

Multiwire line.

SaL(t) est born6e r6elle (b.r.) soit, entre autre :

0 < [S2~(jf2)] 2 ~ 1, pour toutes les fr6quences.

Les z6ros de Sac(t) sont appel6s z6ros de t ransmis-

sion, et dans le cas d ' u n r6seau sans pertes, ce sont aussi les z6ros de la par t ie paire de l ' imp6dance d 'entr6e.

Un des probl6mes fondamen taux de la th60rie des r6seaux h param6tres r6part is ( comme dans le cas

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538 P. JARRY. - RESEAUX A PARAMETRES REPARTIS

local• fut de montrer comment synth6tiser toute fonction S2~(t) born6e r6elle par la mise en cascade de sous-r6seaux form6s de trongons de lignes de m~me longueur et ceci sans utiliser de transformateurs parfai ts (le transformateur parfait 6tant le seul 616- ment local• n 'ayant pas d'6quivalent dans le domaine distribu6).

IH.3 . Nouve l l e s structures en micro-ondes .

La structure la plus int6ressante quant ~ ses pos- sibilit6s d'applications et ~t sa facilit6 de construction est la structure interdigitale gOnOralis~e introduite par J. D. Rhodes [6]. Elle est form6e de deux struc- tures interdigitales superpos6es (Fig. 5) et elle conduit

f

i j

f - - /

f

f

I

J

FIG. 5. - - Structure interdigitale g6n6ralis6e. Generalized interdigital network.

La solution a 6t6 trouv6e en s6parant les z6ros de transmission en trois groupes :

�9 ceux situ6s sur l 'axe imaginaire (+ j f~)

�9 ceux situ6s sur l 'axe r6el ( • ~ )

�9 ceux de valeurs complexes ( • ~ • J f~i).

Comme dans le cas local• ces diff6rents types de z6ros sont alors r6alis6s respectivement ~t l 'aide de sections de Brune, de sections C et de sections D. La th6orie des tronqons de ligne multiconducteur a permis de r6aliser pratiquement de telles sections (seules ou en cascade avec un e.u.). S. O. Scanlan et J. D. Rhodes en ont donn6 une th6orie unifi6e [4].

Bien souvent ces sections sont difficiles ~ construire (en particulier les sections D). I1 a donc 6t6 n6cessaire de d6terminer de nouvelles structures permettant de r6aliser un plus grand hombre de fonctions de transfert.

une fonction de transfert ~t phase non minimale. Soit $21(0 cette fonction de transfert ; elle est telle que :

0Z(sin ZoO~) IS2112 -- D.(sin 2 'roe ) < 1,

avec

n 0 (sinh p) = ~ a2i_ 1 p2i- 1 .

i = 1

Les at sont reli6s par la relation suivante qui cons- titue une condition suffisante de r6alisabilit6 :

a2i - I ~ i a2~ + l �9

Le probl6me consiste maintenant ~ trouver des fonctions 1S2,12 v6rifiant cette condition telles que les caract6ristiques d 'amplitude et de phase requises soient satisfaisantes. C'est le probl6me de l 'appro- ximation. Mais un gros effort a aussi 6t6 fait pour

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P. JARRY. -- RESEAUX A PARAMETRES RISPARTIS 539

d6terminer des structures qui r6alisent des fonctions de transfert du type elliptique (avec des z6ros de transmission & des fr6quences r6elles finies). De telles structures ont des caract6ristiques de filtrage en amplitude bien sup6rieures et elles permettent de r6duire le poids et la taille des filtres correspondants.

Plusieurs solutions ont 6t6 propos6es ; chaque type de structure 6rant adapt6 pour une certaine largeur de bande.

Pour des filtres ~ trbs larges bandes ( > 30 %) M. C. Hor ton et R. J. Wenzel [7] ont utilis6 la trans- formation de fr6quence habituelle :

tan c%

tan co

Mais pour de faibles bandes passantes ( ~ 5 %) J. D. Rhodes [8] a propos6 une nouvelle t ransformation de fr6quence

tan 2 co~ co -+ :2 (tan ~o - - cot co).

Dans ce cas la bande passante est centr6e autour de o~ = n[4 avec une largeur de [n]2] - - 2 ~% (Fig. 6).

DB

I 0

& 2

FIG. 6. - - Filtre elliptique b. bande 6troite.

Narrow bandwidth elliptic filter.

Une telle t ransformation de fr6quence conduit la r6alisation en peigne donn6e par la figure 7. La structure en peigne est formde de deux multiconducteurs mis bout ~ bout ; chaque doigt ayant une longueur de Z[8 ~ la fr6quence centrale. La figure 7 donne un exemple de r6alisation d ' un tel filtre elliptique centr6 autour de 2 G H z avec une bande passante de l 'ordre de 11%.

IV. P R O B L E M E S D ' A P P R O X I M A T I O N S D A N S LE D O M A I N E DISTRIBUI~

Conventionnellement ce chapitre sera divis6 en deux parties.

I

DB

Tos 60

1,5

1800 2100 2400 MHT- '

FIG. 7. - - R6alisation de filtres elliptiques en peigne.

Stepped digital elliptic filter.

IV.I . Filtres /l phase minimale.

Dans ce cas les approximations classiques en ampli- tude (du type m6plat, de Chebyshev et elliptiques) sont connues depuis longtemps dans le domaine localis6. Leur transposition dans le domaine distribu6 ne pose pas de probl6mes majeurs.

Par contre pour les approximations en phase la correspondance n'existe pas entre le domaine localis6 et distribu6.

Le polyn6me donnant un temps de transit m6plat autour de l 'origine a 6t6 d6termin6 pour la premi6re fois par T. A. Abele [9]. II est g6n6r6 par la formule de r6currence :

i 62 _ _ F/2 A,+~(t) A.( t) + 4 n 2 __ 1 = t 2 A._ l( t) ,

i Ao = 1 " A1 = 1 + bt.

J. D. Rhodes [10] a montr6 que ce polyn6me A.(t) 6tait reli6 au polyn6me bien connu de Jacobi P,~,~)(t) par :

(2nn) A,(bl t ) = (2 t)" Pn ~b,-b) ( l / t ) ,

p~b,-~) dormant un temps de retard de groupe m6plat autour de t = ~ .

II existe une classe de polyn6mes y~'(t) dits inter- m6diaires tels que leur temps de retard poss~de [11] :

( n - m) conditions en t = 0, (soit (n - - m - 1) d6riv6es nulles pour t 2 = 0)

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et

DB

m condi t ions en t ---- ~ , (soit ( m - I) d4riv6es nulles pour t 2 ---- ~ ) .

Ces po lyn6mes sont g6n6r6s pa r la re la t ion de r6currence [12] :

. ( am--,) Y"+~ = t2 + 2 n - - 2 m + 1 y.'L-/ +

b 2 - - (n - - 1) 2 t 2 m-3 Yn-3 , 4 (n - - m ) 2 - - I

et sont de Hurwi tz pou r b >~ n [12].

L ' a p p r o x i m a t i o n de Chebyshev du temps de t ransi t a 6t4 d6termin6e de mani6re num4rique pa r S. O. Scanlan et T. P. Pantzar i s [17], mais j u s q u ' h pr6sent aucune solut ion ana ly t ique n ' a pu en ~tre donn6e.

I V . 2 . F i l t r e s /l p h a s e n o n m i n i m a l e .

Dans ce cas nous consid6rerons des fonct ions de t ransfer t de fo rme tr6s g6n6rale :

N( t ) $21(t) - - D , ( t ) '

off D, ( t ) est un po lynSme de Hurwi tz de degr6 n.

Dans le cas r~ciproque (N(t ) pair ou impair) J. D. Rhodes [13] a d6termin6 la solut ion poss6dant D m (n - - 1)/2 condi t ions sur la phase et A = n - - 1 condi t ions sur l ' a m p l i t u d e ( rappor t D [ A m 1[2). Le filtre co r r e spondan t peut ~tre r6alis6 h l ' a ide de la s tructure interdigi ta le g6n6ralis6e. Un exemple est donn6 sur la figure 8 avec une bande passante de l ' o rd r e de 5 ~ et une var ia t ion maximale du temps de t rans i t de 5 ns. Les carac t&is t iques cor respondantes sont a lors op t imales en phase et en ampl i tude .

Beaucoup de ces r6sultats ont 6t6 6tendus au cas

off N( t ) n 'es t ni pair ni impair. De tels r6seaux sont 6videmment non rOciproques et n6cessitent l ' emplo i d ' u n c i rculateur pour leur r6alisat ion. S. O. Scanlan et H. Baher [14] ont d4termin6 la fonct ion de t ransfert m6plate en ampl i tude (A = n - - 1) et poss6dant D ----- n - - 1 ou D = n - - 2 condi t ions sur la phase. Ces r6sultats ont 6t6 d4termin6s d ' u n e autre mani6re pa r C. J. Wellekens et A. M. G o d a r d [15]. I1 a 6t6 montr4 aussi qu 'une fonct ion de t ransfer t de la forme [16 ] :

avec

S ~ , ( t ) - R.(a'b)( - t)

G,ta,,m(t)

( b - - n ) , n R t.,b)(t) = y, ( .+~-2)

~=o ( 2 n + a - - l - - i ) l

" ( b - - n ) ~

G~'b) (t)----,~o(7)~-" (2n + a - - I - - i ) ,

( 2 0 ' ( 1 + t ) " - i ,

( 2 t ) ' (1 + t ) " - ' ,

T A B L E A U ]

a ,4 D

l n - ! n - l

- - - 0 n - - I Z ; 2 2

- - I n - - 2 n - - 2

- - 2 n - - 2 n - - 3

- - 2 m + 1 n - - m - - I n - - m - - I

- - 2 t i t n - - m - - 1 n - - m - - 2

- - 2 m - - 1 n - - m - - 2 n - - m - - 2

n pair - - n + 2 n]2 ( n - 2)]2

n impair - - it + 2 (n - - 1)/2 (n - - I)]2

60

40

20

I 1430

540 P. JARRY. - RESEAUX A PARAMETRES REPARTIS

~(n . s )

95

85

I I I 1450 ]470 1490 r FMH z

' , = 5 n , s .

S 3

FIG. 8. - - C a r a c t 6 r i s t i q u e s d e f i l t re h. p h a s e non minimale (structure interdigitale g 6 n 6 r a l i s 6 e ) .

Characteristics of non minimum phase filter (generalized interdigital structure).

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Pi JARRY. - Rt~SEAUX A PARAM~TRES RI~PARTIS 541

poss6de le m~me nombre de conditions sur l'ampli- tude et la phase suivant les valeurs du param6tre a (Tabl. I). Une r6alisation du type non r6ciproque est alors possible 5, l'aide d'un circulateur (Fig. 9). Les 616ments du filtre en r6flexion sont connus de mani6re analytique [12]. Un exemple de caract6ris- tique amplitude-phase est donn6 par la figure 9.

De tels r6seaux sont bien entendu non r6ciproques, mais ils sont d 'une grande importance clans le do- maine des filtres num6riques oh les probl6mes d'appro- ximation sont identiques avec ceux du dbmaine distribu6.

V. CONCLUSION

Nous avons donn6 quelques r6sultats r6cents de la th6orie des r6seaux distribu6s. Les probl6mes de r~alisation et d 'approximation ont 6t6 6voqu6s. I1 semble que l ' importance des progr6s r6cents soit due 5, la conjugaison :

�9 d'une part de l'utilisation de structures micro- ondes simples,

�9 d'autre part de l'outil math5matique de plus en plus sophistiqu6 n6cessaire pour trouver les techniques de synth6se correspondantes.

Manuscrit recu le 21 mai 1979,

acceptO le 29 aodt 1979.

( CN CN- ] CN- 2

I ....... N-2 ZN-3

c 1

II z !

I

] 50 ~

DB

20

10

b = I I

zl = 0

I t )

F I o . 9 . - - R 6 a l i s a t i o n e t caract6r is t iques d ' u n filtre e n r 6 f l e x i o n .

Realization and characteristics o f a reflection filter.

AT

+ 1

- t

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542 P. JARRY. - RI~SEAUX A PARAMETRES RI~PARTIS

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