É Q U I L I B R E S T A T I Q U E

ET

STABILITÉ ÉLASTIQUE

Diagramme superficiel de Bélanger PAR

Lucien ANSPACH Ingénieur

Professeur à l'Université libre de Bruxelles

Extrait du Bulletin technique de l'Association des Ingéirieurs sortis de l'Ecole polytechnique de Bruxelles (décembre 190i)-janvier 1910).

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IXELLES-BRUX ELLES IMFRIMERIE-UTHOGRAl 'HIE N. VANUERSYl'KN

Rue de la Concorde, 18

1910

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STABILITÉ ÉLASTIQUE

Diagramme superficiel de Bélanger PAR

Lucien ANSPACH Ingénieur

Professeur à l'Université libre de Bruxelles

Extrait du Bulletin technique de l'Association des Inr/dnicurs sortis de l'Ecole polytechnique de Bruxelles (décembre l!»u;) janvier 1910).

IXELLES-BRUXELLRS IMrRIMEI^IK-LITIIOdRAl'IIIE N . V A N D E R S Y P E N

Rue de la Concorde, 18

1910

ÉQUILIBRE S T A T I Q U E

ET

STABILITÉ ÉLASTIQUE

1. Au dernier concours administratif pour le recru­tement des ingénieui's des chemins de fer de l 'Etat (traction et matériel), la plupart des récipiendaires, ayant à déter­miner les pressions subies par les joints d'un massif de maçonnerie, procédèrent à une doul)le roclierche : celle de l'équilibre statique et celle de la stabilité élastique.

Cette méthode, indiquée dans le programme de l'Admi­nistration (p. 31), fut adojttée par plusieurs ingénieurs sortis de l'Université de Bruxelles, lùen que, dans l'ensei­gnement que ceux­ci avaient reçu, la double recherche leur eût été présentée comme dépourvue de toute utilité.

Il ne nous paraît pas iiîopportun de reproduire ici les arguments qui militent contre ce procédé et d'appeler sur ce point les observations de nos collègues, car il n'est pas désirable que dans un concours les récipiendaires croient devoir appliquer telle méthode plutôt que telle autre, en se fondant sur des considérations de programme.

2 . Sous la rubrique Principes généraux (de la stabi­lité des massifs de maçonnerie), le cours autograpliié de Boudin expose dans les termes suivants la première des deux conditions de stabilité, la condition d'équilibre sta­tique (p. IGl, n° 124).

« Les constructions en maçonnerie manquent le plus facilement aux lois de réquilil)re statique en se divisant suivant un ou i)lusicurs plans de joint, l'adhérence des mortiers y étant d'ailleurs supposée nulle. Si donc un massif en maçonnerie est partagé par le joint ab en deux tronçons A et B, l'équilibre statique du tronçon A exige qu'il ne puisse se déplacer par translation normale au joint, en s'écartant de B auquel il n'adhère point; ni par trans­lation transversale, en glissant le long du joint a^, ni enfin par rotation, en se renversant autour de l'arête qui se projette en a ou en b.

» La première condition exige que la résultante... donne, poiu' composante normale au joint ab, une force N do compression. Rn pratique, cette condition est toujours satisfaite. ^

En vertu de cette dernière remarque, l 'auteur n'aborde que l'examen des deux conditions suivantes : équilibre de f/lissement et équilibre de rotation. Puis il détermine ip. 1(34, n° Mo), les conditions de stabilité élastique.

Or nous pensons qu'il y a lieu de passer sous silence non seulement lu première condition d'équilibre (translation normale), m.iis aussi la troisième (équilibre de rotation). En ctFet. cette troisième condition est toujours satisfaite si la stal)ilité élastique est réalisée : il suffit donc d'aborder directement le problème de stabilité élastique.

3 . Objectera-t-on qu'en considérant le proldème sous ce seul aspect de la stabilité élastique (réserve faite quant à l'équilibre de glissement), on rend les recherches plus longues et plus compliquées? Nous croj'ons pouvoir mon­trer qu'il n'en est rien, et que pour chacune des catégories d'efïorts dévelopjiés dans un joint (efforts normaux et efforts tangentiels), il n'y a qu'une recherche à faire : pour les efforts normaux, c'est la stabilité élastique qui,

seule, doit être étudiée ; pour les efforts tangentiels, c'est la stabilité élastique ou l'équilibre statique, selon que le liant est ou n'est pas capable de résister au cisaillement.

4 . Remarquons, en premier lieu, que si l'on a affaire à une construction dont- les éléments sont invariablement liés entre eux et sont destinés à travailler à l'état de rejjos, les deux problèmes de la stabilité élastique et de l'équilibre statique n'en font qu'un : il est impossible que l'équilibre soit rompu sans qu'une rupture proprement dite se pro­duise dans la construction. Et cette rupture ne se produira qu'après que les limites de la.stabilité élastique auront été dépassées. Réciproquement, il est impossible d'étudier les conditions de stabilité élastique d'une telle construction sans exprimer que l'équilibre statique existe, et établir les conditions d'équilibre entre les forces extérieures connues, et les tensions intérieures, inconnues ; si les tensions ne sortent pas des limites compatibles avec la sécurité, la stabilité élastique sera réalisée, et l'équilibre statique sera forcément réalisé aussi.

Dans un tel cas, le problème de statique ne se conçoit donc pas indépendamment du problème de résistance.

On pourrait considérer, par exemple, une tour beaucoup plus penchée que celle de Pise, et dont le centre de gravité serait en porte-à-faux. La stabilité d'une semblable tour serait parfaitement réalisable à la condition de disposer d'un liant présentant une résistance suffisante à la traction pour équilibrer le moment de renversement dû au poids de la tour. Et l'on ne pourra déterminer les tensions subies par le liant qu'en écrivant les équations cVéquilibre statique entre ces tensions et les efforts extérieurs.

Dans tous les cas semblables, la réalisation de la stabilité élastique implique forcément la réalisation de l'équilibre statique, et le calcul de cette stabilité élastique ne peut se faire que par des considérations d'équilibre statique.

• 5 . L'emploi successif des deux méthodes (équilibre statique et stabilité élastique) semble se justifier lorsque les éléments de la construction n'étant pas invariablement

liés entre eux, la stabilité élastique de chacun d'eux peut exister indépendamment de l'équilibre statique.

En ce cas, les pièces peuvent, sans se rompre, sans même excéder les limites de la stabilité élastique, prendre des positions différentes les unes par rapport aux autres : un massif de maçonnerie sèche, formé d'éléments posés purement et simplement les uns sur les autres, peut venir à s'écrouler sans qu'aucune rupture ne tende à se produire dans ses divers éléments.

11 en serait de même d'un pan de charpente formé de pièces articulées entre elles, et dont le nombre serait insuffi­sant pour constituer un système dit « strictement indéfor­mable. «

D'autre part, l'ingénieur ayant à établir un projet de maçonnerie avec liant, peut aborder le problème en pre­nant un surcroît de précaution et en faisant l'hypothèse défavorable de l'absence de tout liant.

Ici encore, il semble que l'on soit justifié, eu égard à cette hypothèse, à réserver la question de la stabilité élas­tique, et à résoudre, au préalable, celle de l'équilibre statique.

Or, nous pensons que même dans le cas des maçonneries sèches — ou supposées telles — on ne peut que compliquer inutilement le problème en étudiant, en premier lieu l'équilibre statique, et en second lieu la stabiUté élastique.

6 . Comment, en effet, résoudra-t-on, en ce cas, le pro­blème d'équilibre de rotation? En formant la résultante de toutes les forces développées d'un côté du joint, et en cher­chant si cette résultante passe à l'intérieur du joint : dans l'affirmative, l'équililjre de rotation est réalisé; dans la négative, il ne l'est pas.

Mais, à supposer qu'on n'ait pas abordé le problème préalable de l'équilibre, comment résoudra-t-on celui de la stabilité élastique? En formant de la même manière la résultante de toutes les forces développées d'un côté du" joint, et en établissant l'équihbre entre la composante nor­male de cette résultante et les pressions développées dans le joint. — Et il n'est pas besoin d'ajouter que si la résul-

tante passe en dehors des limites du joint, cet équilibre est irréalisable, c'est-à-dire que le problème de stabilité élas­tique, qui se confond avec un problème d'équilibre, est insoluble.

On voit donc que, pour la détermination des pressions, il n'y a pas lieu de compliquer la question en parlant de deux problèmes là où, en réalité, il n'en existe qu'un.

C'est ce qui se constate fivcilement par l'application des méthodes graphiques, notamment par rem[)loi du dia­gramme de Bélanger.

On sait que ce diagramme se rapporte à un joint rectan­gulaire sollicité dans l'un de ses axes, et fournit les diverses

valeurs que doit prendre, suivant la position de son point d'application, la composante normale de la résultante pour réaliser à l'arête la plus chargée la tension R' fcoethcient de résistance permanente.)

On sait que le diagramme de Bélanger comprend : au droit des deux tiers latéraux, deux droites, AA', BB'; et au droit du tiers central, deux arcs d'hyperbole équilatère, A'o', B'o', tangents respectivement à ces droites et ayant pour asymptotes verticales respectivement les droites 6'B',

rt'B', et iiour asymptote horizontale la droite AB. L'or­donnée oo' re[)résente la charge R'tî admissible au centre {il étant la surface du joint). Les ordonnées a'A', b'B' repré­sentent la moitié de cette charge.

Pour que la stabilité soit entièrement satisfaite, dans le joint AB considéré, il faut et il suffit que, d'une part, l'incli­naison de la résultante des forces extérieures sur la normale ne dépasse pas une certaine limite (que l'on prendra tou­jours notablement inférieure à l'angle de glissement) ; et que, d'autre part, la composante normale de cette résul­tante soit contenue à l'intérieur du diagramme de Bélanger.

On voit que, pour les [)ressions normales, la condition de stabilité élastique emporte la condition d'équilibre sta­tique, puisque la composante normale ne peut être à Vinté­rieur du diagramme sans i^o-sser à fortiori à l'intérieur du joint.

7 . Certes, celte façon d'envisager deux problèmes au lieu d'un problème unique ne présente guère d'inconvé­nient lorsqu'on se trouve en présence d'un cas de solli­citation bien déterminé, et pour lequel on se pi'opose de vérifier si la sécurité est satisfaite.

Mais il n'en est plus de même lorsqu'on cherche à grouper toutes les hypothèses de sollicitation compatil)les avec la sécurité, en éliminant celles qui ne sont pas admissibles.

Si l'on envisage séparément les deux conditions d'équi­libre statique et de stabilité élastique, on effectuera une première élimination : celle de toutes les hypothèses incompatibles avec l'équilibre de rotation. Ensuite on éli­minera toutes les hypothèses incompatibles avec la stabilité élastique.

Or la première élimination est dépourvue de toute utilité. C'est à cette détermination préalable de l'équilibre de

rot'ition que procède Boudin dans la recherche de la stabi­lité d'une voûte en berceau symétrique et symétriquement chargée (n°^ 175 à 177, pp. 249 à 257).

Admettant que la poussée à la clef est normale en vertu de la symétrie, il trace, au joint fictif à la clef, le noyau des

poussées limites compatible avec l'équilibre de rotation à la clef et avec l'équilibre de rotation dans tous les joints d 'une des deux moitiés de la voiite.

« L'utilité de la détermination du noyau des poussées-limites, dit l 'auteur (p. 255), est évidente, si l'on observe qu'aucune poussée prise en dehors de ce noyau ne peut assurer l'équilibre de rotation de l 'assemblage des vous­soirs. »

t^uis au n° 17 ^ (p. 257), Boudin procède à la réduction de là surface du noyau des poussées-limiti'S, en considérant l'équilibre de glissement, et en éliminant les liy|)ot!ièses incompatibles avec cet éqiiilil)re.

Enfin il aborde (n° 179, p. 25S). la question de la stabi­lité élastique, et la résout suivant la méthode de Dni'and-Claye en construisant au joint à la clef le diagi-amme de Bélanger relatif à ce joint, et les diagrammes réciproques des différents diagrammes de Bélanger relatifs aux diffé­rents joints d'une des moitiés de la voîite II construit ainsi vui noyau dont tous les points sont compatibles avec la stabilité élastique de l'ensemble de toute la voûte. Or ce noyau, comme le fait observer l 'auteur lui-même, « est nécessairement toujours compris dans celui de Véquilibre statique (de rotation) tracé 2'>our des voussoirs infiniment résistants ».

Cet énoncé prouve que la construction préalable du noyau de l'équilibre statique est sans utilité, puisqu'il est indispensable de réaliser les conditions de stabilité élas­tique. La construction du noyau d'équilibre statique ne se justifierait que si elle facilitait la construction subséquente du noyau de stabilité élastique.

Mais il n'en est rien. Elle ne fournit que la solution à ce problème dépourvu de toute portée pratique : « Quelles seraient les conditions de stabilité de la voûte si ses vous­soirs étaient infiniment résistants? »

En ce qui concerne la condition d'équilibre de glisse­ment' (la seule condition d'équilibre qui présente de l'inté­rêt), il y -a lieu d'en tenir compte pour réduire, le cas échéant, l 'étendue du noj'^au de stabilité de Durand-Claye ; au fur et à mesure que l'on construira les diagrammes

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réciproques de Bélanger, on limitera ces diagrammes par l'élimination des hypothèses incompatibles avec l'équilibre de glissement.

Et ici encore, il ne pourra y avoir qu'économie de temps et de travail à opérer sur le noyau de stabilité plutôt que sur le noyau d'équilibre.

8 . En résumé, l'étude de la stabilité des massifs de maçonnerie est d'une extrême simplicité, si l'on se borne — comme il est légitime de le faire — à vérifier la condi­tion d'équilibre de glissement et la condition de stabilité élastique (en y ajoutant la condition complémentaire rela­tive au noyau central dans les cas où, par suite de la nature de la construction, toute chance d'ouverture des joints doit être écartée).

D'autre part, la méthode graphique du diagramme de Bélanger (applicable à tout joint rectangulaire sollicité dans un de ses axes), facilite singulièrement la solution des problèmes.

Et nous avons pu, lors du concours dont il est parlé plus haut, constater la grande supériorité que présentaient, au point de vue de l'exactitude des résultats, les travaux qui faisaient usage de cette méthode graphique.

Mais il est à remarquer que le diagramme de Bélanger ne doiuie la solution du problème que dans un cas parti­culier : celui d'un joint rectangulaire sollicité dans un de ses axes (ou d'un parallélogramme sollicité dans un de ses diamètres). Pour tout autre cas de sollicitation (hors des limites du noyau central), la recherche analytique de la condition de stabilité élastique est hérissée de difficultés. C'est surtout dans ce cas que la méthode graphique pré­sente de grands avantages.

Nous consacrerons un prochain article à l'exposé de cette méthode.

Des lecteurs du " Bulletin technique » se sont mépris sur la portée de la note ci-dessus, et ont cru y voir l 'explica'ion d'un insuccès des ingénieurs de Bruxelles au concours administratit <lont il a été fait mention.

Il n'en est rien p j i s q j e les premières places ont été conquises par des récipiendaires sortis de l'Ecole Polytechnique.

DIAGRAMME SUPERFICIEL DE BÉLANGER

1. La présente étude a pour but de montrer que l'on peut, par un procédé graphique relativement simple, résoudre un problème auquel le calcul ne se prête que très difficilement : la détermination de la fatigue subie par un joint rectangulaire d'un massif de maçonnerie (supposée sèche), sollicité hors l'axe et extérieurement au noyau central.

Le procédé s'applique également à un parallélogramme sollicité hors de ses diamètres.

La construction du diagramme, que l'on peut appeler le diagramme superficiel de Bélanger, est facilitée par ce fait que la sur/ace des charcies (surface représentative des composantes normales (') des charges extérieures réalisant au point le plus fatigué la plus grande tension admis­sible R') est dans la majeure partie de son étendue une surface réglée à plan directeur.

Considérons (fig. 1) un joint en forme de parallélo-

(') Danslasuite de cette étude, nous désignerons par cAargre la composante normale do la charge extérieure, sa composante tangentielle étant sans intérêt dans la question de stabilité élastique.

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gramme CCfifii pouvant supporter en son centre 0 une cliarge P„ égale à R'il (U désignant l'aire du joint).

On sait qu'au droit du noyau central DEFG (noyau dont les diagonales occupent le tiers central de chacun des dia­mètres AA,, BB,), la surface des charges réalisant une même tension R' au sommet G (fig. 1) est un cylindre hyperI)olique équilatère dont les génératrices sont paral­lèles aux côtés DE,. FG du noyau central. La génératrice située au droit de DE a une ordonnée i-eprésentntive de la

p charge —. Les plans asymptotiques sont, d'une part, le plan du joint; d'autre part, le plan vertical FG.-La partie de cette surface qui seule présente de l'intérêt est comprise entre les plans verticaux OA et OB, puisque toute charge appliquée en un point extérieur au contour OACB produirn, en un des trois autres sommets du parallélogramme, une tension plus grande qu'au sommet C.

Le cylindre hyperbolique, entièrement défini par les conditions ci-dessus, s'étend indéfiniment à droite du plan FG pour les substances qui peuvent travailler par traction. Mais pour les massifs de maçonnerie, considérés comme ne ])ouvant subir que des pressions, la surface des charges, en dehors du noyau central, s'écarte du cylindre hypci'bolique, auquel elle se raccorde en DE. Les projec­tions verticales des différents points de cette surface sont, en vertu de considérations que nous rappellerons plus loin, indépendantes du rapport des dimensions du parallélo­gramme, ainsi que de l'inclinaison de ses côtés. On connaît une ligne de cette surface : la droite AA', DD\ (fig. 2) du diagramme de Bélanger, droite qui se raccorde en DD', à l 'arc d'hyperbole DD',, 0 0 ' , de ce diagramme. (Cet ai c d'hyperbole appartient au cylindre hyperbolique défini ci-dessus.) La hauteur O'O', représente la charge P„ au centre. Cette charge a pour expression 4abR' sin 0, a et b représentant respectivement la moitié des côtés du parallé­logramme, et 0 l'angle que font ces côtés entre eux.

Il suffit d'étudier l'un des triangles, OAC, OBC, en lesquels se partage le quart OACB du joint (fig. 2), puisque

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la surface des charges se construit de la même façon sur l 'autre triangle.

Nous indiquerons les constructions à effectuer sur le triangle OAC, et nous justifierons ultérieurement ces constructions.

2 . Pour construire la surface des charges correspon­dant au quadrilatère CSDA, on peut se contenter de for­mer une surface gauche dont les génératrices, parallèles au plan vertical OA, s'appuient d'une part sur le côté AC, et d'autre part sur une directrice D])\, HH'^, H', située dans le plan vertical DHI, et projetée verticalement suivant deux arcs de parabole à axe vertical, D'iH'^ et I I ' J ' , qui se raccordent tangentiellement au point H'^.

Les abscisses des points F, H'^, D',, comptées de droite à gauche à partir du point A', sont respectivement

gueur OA).

Les ordonnées de ces points sont : zéro, ^ e t ^ {z„ dési­lo 2

gnant la hauteur 0 ' 0 ' „ représentative de la charge P„ ad­missible au centre).

Les inclinaisons des tangentes sont :

en D', 0

en H', 9 b'

en r 10 9 b'

Il est fticile de constater que la surface gauche déter-

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minée par l'arr; de parabole H', HH'^ est un paraboloïde hj'^perbolique de la forme

3 ab'

(le sommet G étant pris pour origine, et les côtés CA et CB étant pris respectivement pour axes des œ et des y).

L'équation du paraboloïde combinée avec celle du plan IHD :

définit entièrement la parabole. Par l'élimination de x entre ces deux équations, on

trouve l'équation du cylindre projetant la parabole sur le plan de projection vertical :

z 2 y /5 y\

La parabole HH'^, DD', ne donne qu'une solution ap­proximative du problème. Mfiis elle s'écarte extrêmement peu, comme ce sera établi plus loin, de la directrice vraie. En d'autres termes, la surface gauche du troisième degré, déterminée par cette directrice paral)olique et par le côté AC, se confond sensiblement avec la surface des charges.

En ce qui concerne le paraboloïde hyperl)olique qui a pour directrice la parabole H', HH'^, on pourrait évidem­ment, pour en déterminer des points, recourir à une autre directrice, et notamment à une directrice rectiligne, telle que JJ ' , J^J',.

Il faudrait, en ce cas, pour construire une génératrice LA', MM',, J jJ ' j , partager la hauteur J'J\ en deux seg­ments proportionnels aux segments CL et LK du côté CA (la projection horizontale LJ^ de la génératrice étant donnée).

A cet effet, par le point M' situé sur la droite A'J', au droit de l'intersection M des projections horizontales CJ, et LJ^, on mènerait une horizontale M'^J'^. En joignant J'^ à A', on déterminerait la projection verticale cherchée.

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Le point MM', de la droite LA', MM'^, J J '^ appartient à l'intersection parabolique du paraboloïde hyperbolique et du plan vertical CJ,. Cette intersection se projette vertica­lement suivant une parabole J',M',A', qui a son sommet en A'.

Remarquons que le tracé des deux droites M'^J'^ et J'^A' se justifie par lui-même, en dehors de toute considération de projection, pour déterminer un point M', d'une parabole dont deux points sont connus (A', J',), ainsi qu'un diamètre (J',J'), et que la tangente (A'J') en un des deux points donnés.

Si les deux arcs de parabole l'H'^ et H'^D', n'étaient pas tracés d'avance, c'est par un procédé semblable qu'on pourrait en déterminer des points isolés destinés au tracé des génératrices de la surface des charges.

3 . On pourrait se borner à la construction ci-dessus, et l.a considérer comme donnant une solution satisfaisante du problème, étant bien entendu que les génératrices ne doivent être utihsées que pour les points d'apphcation compris entre le diamètre OA et la diagonale OC.

Les erreurs, commises en se contentant de cette solution seraient les plus fortes pour les points d'application voisins du point S, où elles atteindraient environ 2.5 7o- On voit, en effet, qu'il y a discontinuité, en ces points, entre la sur­face gauche qui s'appuie sur la directrice EE',DD', et le cylindre hyperbolique qui s'étend au-dessus de l'horizon­tale EE', DD',.

Pour racheter cette discontinuité, après avoir tracé une génératrice, telle que NA', TT ' , , on mènera en TT' la tan­gente à l 'arc d'hyperbole (identique à l'arc d'hyperbole 0 0 ' , , DD',) qui aboutit en TT'. Cette tangente [t't" en projection verticale) est parallèle à la droite AA', DD',. On tracera ensuite l 'arc de cercle tangent en T' à t'i" et tan­gent à la génératrice NA', TT' , .

Une telle construction ne présente d'intérêt que si cet arc de cercle se raccorde à la génératrice à droite du point QQ' situé sur la liuiite OC de la surface étudiée. Ce n'est donc que pour les points compi'is enti'e DD', et SS', ou peu

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éloignés de SS' vers la gauche, qu'il y aura lieu de recourir à cette construction.

On pourrait, au l)esoin, se passer de tout raccordement tangentiel et se contenter de la ligne brisée formée par la tangente parallèle à AA', DD'^, et par la génératrice.

4 . La correction indiquée ci-dessus permet, en atté­nuant dans une très forte mesure l'erreur inhérente à la construction primitive, de déterminer en un point quel­conque la charge nécessaire pour réaliser au sommet C le coefficient de résistance permanente R' . L'exactitude de cette construction est beaucoup plus que suffisante, puisque la détermination des tensions dans un joint repose tout entière sur une hypothèse qui n'est qu'imparfaitement contrôlée par l'expérience: celle de la variation des tensions suivant une fonction du premier degré.

Si toutefois l'on veut pousser plus loin les recherches, on peut se proposer de déterminer la limite inférieure de chacune des courbes qui raccordent les génératrices de la surface gauche aux hyperboles de la région centrale.

Nous dénommerons première région le parallélogramme CJJ.K soumis à la loi du paraboloïde hyperbolique (équation 1); deuxième région la partie du joint à laquelle correspond la surfiice gauche non paraboloïdale; et troi­sième région l'espace couvert t)ar les courbes de raccor­dement entre les droites de la deuxième régioxi et les hyperboles de la région centrale.

La limite entre la deuxième et la troisième région est la courbe J,D, tangente à ses extrémités aux droites J J a , DJ, dont le point d'intersection J3 se trouve aux deux tiers de la distance J,J^.

Cette condition suffit pour permettre de tracer la courbe J J ) avec une précision suffisante.

Mais on pourrait en déterminer approximativement des points intermédiaires en l'assimilant à une parabole cubique ayant son centre en J , , et en répétant deux fois de suite la construction indiquée ci-dessus pour déterminer les points d'une parabole proprement dite.

D'autre part on pourrait, en substituant au joint donné

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un joint rectangulaire dont les dimensions satisferaient à la condition :

^ = 0,5773, 0

ramener la courbe à un arc de cercle. On constate facile­ment, en effet, que par l'observation de cette condition les deux segments DJj et J J j prennent la même valeur.

Des trois procédés, le premier est évidemment le plus simple.

Le plus précis est, comme nous le verrons plus loin, l'assimilation à la parabole cubique. (Nous établirons, en effet, qu'il y a en J, contact du second ordre entre la droite JJ, et la courbe.) Mais il est à remarquer que la précision ne présente ici qu'une importance tout à fait secondaire : puisque la courbe qui fait suite à chacune des génératrices rectilignes s'écarte extrêmement peu de cette génératrice prolongée (nous verrons plus loin qu'ici encore le contact est du second ordre), il n'y a aucun intérêt pratique à connaîti'e exactement le point où finit la droite et où commence la courbe.

On peut tracer, à partir du point J , , une seconde courbe J,E qui marque la limite de la surface gauche comprise entre les plans verticaux JJ , et BE.

Les courbes de raccordement ne pourront naturellement plus être confondues avec des arcs de cercle lorsqu'on tiendra compte de leur limite inférieure, déterminée par la courbe J,D .

5 . Si l'on veut, pour plus d'exactitude, tracer un point intermédiaire des courbes de raccordement, ou du moins de celles d'entre elles qui présentent un développement important, on pourra former la courbe cliayonale des charges (intersection de la surface des charges par le plan diagonal OC). Cette courbe diagonale est connue en dehors de la troisième région : dans la région centrale elle forme un arc d'hyperbole dont la projection O'.S' a pour asymp­totes les droites H'H'j et H'A'. Dans la première région elle

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forme l'arc de parabole projeté en A'M'.J',, ainsi qu'il a été dit ci-dessus (n" 2).

La partie de la courbe diagonale qui présente ici de l'in­térêt est celle qui occupe la troisième région. Elle peut être remplacée, sniis erreur sensible, par un arc d'ellipse qui se projettera verticalement suivant un arc de cercle, à la condition que la hauteur O'O',, représentative de la charge P„au centre, soit égale à la projection O'A'de la longueur h.

Le centre de cet arc de cercle a, par rapport aux deux alignements 0'0\ et O'A', des coordonnées égales l'une et

1 autre a — • o

Les courbes de la troisième région, dans les deux pre­miers tiers de l'esiiace compris entre les droites KJ, et AO, s'appuient sur la courbe J,J ' , , SS'.

6 . Pour justifier les constructions qui n'ont été qu'expo­sées jusqu'ici, remarquons en premier lieu que ces con­structions, telles qu'elles sont effectuées, ne dépendent que de l'échelle adoptée pour la représentation des charges, et de la grandeur de la projection // du demi-côté ^. Elles sont entièrement indépendantes de la grandeur de b et de celle de a. En d'autres termes, aucune infiuencd n'a été exercée sur la construction du diagramme par le rapport

j des côtés ni par l'angle qu'ils font entre eux.

Montrons qu'effectivement la chnrge P à appliquer en P

un point du joint a une valeur relative — indépendante de a

linclinaison des cotés, ainsi que de leur rappor t - -Considérons, à cet effet, un joint l'ectangulaire 00,0^03

(fig 3) soumis à une tension uniformément croissante depuis la droite VW jusqu'au sommet C oîi la tension atteint la limite R'.

Supposons que par suite d'une rotation d'amplitude « de' toutes les ordonnées autour de leur pied (le côté C3C étant pris pour axe des abscisses),le pentagone primitif C3VWC.C

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se transforme en un pentagone CjV'W'C'.C, chaque élément de surface conservant sa tension.

Tous les éléments rectangulaires ayant été convertis en parallélogrammes et réduits en conséquence dans un rapport égal à oos «, il en est de même de tous les efforts

p élémentaires, et de leur résultante P. Donc, le rapport — n'aura pas changé, puisque la charge P„ admissible nu centre aura été réduite dans le même rapport.

D'autre part, le bras de levier de chaque effort élémen­taire par rapport à la droite C3C aura aussi été ré(hnt dans ce rapport. Il en sera de même du bras de levier de la charge résultante P. Donc, l'ordonnée oblique du point d'application de la charge par rapport à l'axe C3C restera égale à son ordonnée orthogonale f)rinntive. On prouverait de même que son ordonnée par rapport à l'axe CG\, pris comme axe des abscisses, n'aura pas changé : il suffii'ait pour cela de ramener CC, en CC, en faisant toujMier la figure CjU'W'C'.C d'un angle a. autour du point C; le raison­nement ci-dessus s'a[>pliquerait encore aux abscisses (ver­ticales) portées sur CC, qui ne seraient pas modifiées, et aux ordonnées ([)rimitiveinent horizontales) qui auraient toutes pivoté d'un même angle a autour de leur pied.

Un raisonnement analogue s'applique au cas du change­ment de dimensions du rectangle primitif.

En conséquence, l'inclinaison des côtés et leurs dimen-P

sions 2a, 2b, sont sans influence sur la valeur relative -— * o

de la charge P qu'il faut appliquer en un point de coordon­nées a), y, pour réaliser au point le plus fatigué la ten-

P CG XJ sion R'. Le rapport — ne dépend que des r appor t s - . •

7 . Ce premier point acquis, nous pourrons considérer indifféremment le joint, quelle que soit sa forme réelle, comme étant un rectangle (flg. 4) ou un parallélogramme (flg. 2).

Or, le massif considéré étant supposé incapable de tra-

- 20 —

vailler par traction, nous savons que pour toute charge appliquée au dehors du noyau central, une partie du joint est sollicitée par pression, et est séparée d'une région neutre par une droite que nous désignerons par la limite neutre (pour la distinguer de Vaœe neutre qui, dans une section sollicitée par pression et par traction, sépare la région comprimée de la région étendue).

Selon les positions de la limite neutre, la partie de la surface soumise à des tensions, ou surface effective, peut être triangulaire, ti'apézoïdale ou pentagonale. Nous établirons que :

1° Pour une surface effective triangulaire limitée par une droite telle que UV (fig. 4), l'ordonnée représentative de la charge appartient au paraboloïde hyperbolique de la première région ;

2° Pour une surface effective trapézoïdale limitée en V,W,, le point d'application appartient à la deuxième région, formant le trapèze curviligne ADJ.K.

Réciproquement, le trapèze curviligne JJ^EB correspond à des limites neutres, telles que U^Uj.

3° La troisième région, projetée suivant le triangle curviligne J.DE, correspond aux surfaces effectives pen-tagonales limitées en U^W^.

Nous prouverons ensuite (aux rf^ 19 et 20) que les diffé­rentes régions définies ci-dessus, ainsi que la région centrale DEO, formée d'un cylindre hyperbolique, se raccordent entre elles par un contact du second ordre, exception faite pour le point DD',.

Nous montrerons en d'autres termes que si la limite neutre se déplace continûment suivant une loi déter­minée, le lieu des extrémités des ordonnées représentatives de la charge forme une courbe qui, si elle vient à passer d'une région dans une autre, présente entre ses deux tron­çons successifs un contact du second ordre (correspondant à une différence du troisième ordre entre les accroissements élémentaires des coordonnées de ces deux fronçons).

Mais pour les courbes qui viendraient à passer par le point DD'i, le contact n'est plus que du premier ordre entre les deux tronçons de la courbe (et correspond donc à une

— 21 —

différence d'accroissements élémentaires formant un infi­niment petit du deuxième ordre).

8 . Considérons, en premier lieu (flg. 4), le cas où la droite UV limite une surface effective triangulaire CUV.

Posons : e u = â7„

CV = y,.

La charge P correspondante a pour expression :

P = 6 et son point d'application, situé au milieu de la médiane passant par le sommet G, a des coordonnées x, y, respec­tivement égales au quart des coordonnées x„y„ (').

En conséquence, dans toute la région pour laquelle les coordonnées xy du point d'application ne dépassent pas respectivement le quart des côtés 2a et 2è, la charge

admissible est égale a — s o i t a — s o i t enfin a

2 Vxy 3 ab . Cette dernière expression conduit à l'équation du para-boloïde hyperbolique établie au n° 2 :

2 z^y 3 ah (1)

(') Il suffit, pour le démontrer, d'écrire l'équation d'équilibre de transla­tion et les deux équations d'équilibre de rotation qui lient la charge exté­rieure aux efforts élémentaires répartis sur le joint.

Mais il n'est pas même besoin de recourir à ces équations pour constater que la résultante P est assimilable à un volume tétraédrique qui aurait pour base le triangle CUV et pour hauteur la tension maximum R' réalisée en C-On peut également, sans aucune mise en équation, remarquer que la résul­tante se trouve sur la médiane, lieu des centres d'application de tous les efforts composants répartis sur les zones infiniment étroites parallèles à la base UV du triangle.

D'autre part, ces efforts élémentaires sont les produits de deux facteurs : la tension, qui croît uniformément de la base UV au sommet C, et la surface élémentaire qui croît uniformément du sommet à la base. Les efforts' sont donc symétriquement répartis de part et d'autre du milieu de la médiane, et ont leur centre d'application en ce milieu.

— 22 —

et à celle de la directrice parabolique projetée verticale­ment en l 'H' j :

Ces équations sont applicables, en vertu de la remarque générale du n° 6, aussi bien au cas du parnllélogramme qu'à celui du rectangle (fig. 4).

On voit que la l'égion à laquelle correspond l'équation (1) est limitée par les droites KJ, et JJ , de coordonnées respec-

a b tives ^ = g' ^ 2 ^^^^ points d application situés sur ces droites sont ceux pour lesquels la limite neutre passe respectivement en G, et en Cj. Ces droites appartiennent donc aux lieux des points d'application réalisant une tension nulle soit en C,, soit en C3.

Au point J, = 2/ = l'équation (1) donne :

^ ~ P„ ~" 6"

9 . Cherchons maintenant la valeur des charges rapp l i ­quer en dehors de \{i première région CJJ,K. Considérons, à cet efïet, une limite neutre V,Wi coupant en l'axe des X prolongé.

Posons : CV, == y„ C,W, = ky„.

Calculons les grandeurs des trois quantités P, x, y, fonc­tions des deux variables indépendantes y„ et k.

Désignons par x„ l'abscisse du point Uj et exprimons que les triangles U.C^W, et U,CV, sont semblables.

x„ — 2a x„

D'où : x^ == 2a

1 - k Désignons par P ' la charge qui serait répartie, non sur

le trapèze réel CV,W,C,, mais sur la surface triangu­laire CV.U,.

Cette charge est la résultante de la charge réelle P et de la charge P " due aux tensions qui seraient développées dans le triangle extérieur CjU.W,.

Exprimons en conséquence que P est la difïércnce de P ' et (le P", et que ses moments sont respectivement égaux aux différences des moments de P' et de P" :

P - - P ' — P " (3)

Py = p f - P " f . (5)

Or, P' a la valeur qui avait été assignée à P dans le cas d'une surface effective triangulaire (n" 8) :

6

I '" étant appliqué à un triangle de dimensions kx„,ky„ et correspondant à une tension maximum kK' (en G,), on écrira :

P" = A'P'.

D'autre part, on a vu que : 2a

1 — •

Substituant dans les équations (3), (4j, (5), leurs valeurs aux quantités P',P",.J'„, on trouve :

R 'ay„/1 - k \ 3 \ \ - k ) '

p Remplaçons dans ces formides R' par sa valeur —°-, et

^ ' ^ Aab divisons la seconde et la troisième équation par la pre­mière, membre à membre ;

^ = 1 4 - + (I)

2x 1 — + 'ik a 1 — A — + A*

Ay 1 — h

Eliminons î/„ entre les formules (I) et (III).

3PÔ ( I — / . • .3\2

(II)

(III)

(IV)

Ces formules ont été établies dans l'hypothèse d'un joint rectangulaii^e, mais elles restent vraies, d'après notre remarque initiale (n° 6), pour un parallélogramme.

La tension étant R ' au point G, se réduit à kR' au point Ci . On conclut de là que la charge P^ à appliquer en un point xy pour produire en C,, la tension R ' serait :

On peut écrire en conséquence, en éliminant P entre cette expression et la formule (IV) :

P..y _ k{i-k^){i-k) 3 P , è ( I - / . - 3 ) ^ ^ '

Le tableau suivant donne les valeurs des premiers membres des équations (I) à (V) pour les valeurs succes­sives de k, variant de dixième en dixième entre zéro et 1.

— 25 —

La sixième colonne, déduite de la deuxième, donne des chiffres qu'il y aura lieu de comparer, dans des raisonne­ments subséquents, à ceux de la cinquième colonne.

I II III IV V VI k 12P6 2x 42/ Po2/ ix 2

Po2/o a 3Pi6 3a ~ 9

0,0 1,00 (1) 1,000 (1) 1,0000 (0) 1,000 (— 1) 0,000 (1) 0,111

0,1 1,11 1,108 1,0009 0,902 0,090 0,147

0,2 1,24 1,226 1,0064 0,812 0.162 0,187

0,3 1,39 1,345 1,0194 0,733 0,220 0,224

0,4 1,56 1,462 1,0410 0,667 0,267 0,265

0,5 1,75 1,571 1,0715 0,610 0,305 0,302

0,6 1.96 1,673 1,1102 0,566 0,340 0,336

0,7 2,19 1,767 1,1566 0,528 0,370 0,367

0,8 2.44 1,852 1,2098 0,496 0,397 0,395

0,9 2,71 1,930 1,2690 0.468 0,421 0,421

1.0 3,00 (3) 2,000 1 :i) 1.3333 0.444 ( - | ) 0,444 ( 1 ) 0,444

Pour les colonnes II, III, les valeurs correspondant à k = \ s'obtiennent en dérivant des deux termes de la fraction formant le second membre des équations II, III.

Les chiffres de la colonne IV se déduisent directement de ceux des colonnes I et III, et ceux de la colonne V se déduisent de ceux de la colonne IV.

En regard des valeurs de chacune des fonctions pour k = 0 et k = \ nous avons indiqué entre parenthèses la valeur de la dérivée de la fonction par rapport à h. Cette dérivée s'obtient facilement (bien que par des calculs un peu longs que nous avons jugé inutile de reproduire). Pour la colonne IV, les deux valeurs de la dérivée sont

— 26 —

déduites des valeurs correspondantes de la fonction et de la dérivée dans les colonnes I et III.

Toutes les valeurs établies dans ce tableau se rapportent au cas où y„ est compris entre o et h, et où, k n'étant pas supérieur à l'unité, le sommet C est le plus fatigué.

1 0 . La formule II et la colonne II montrent que pour une valeur donnée de k, x est une constante. Donc tous les points d'application correspondant à vme même valeur de k forment un alignement parallèle au côté CCj.

Les formules I et IV montrent que pour une valeur donnée de k la charge P est proportionnelle d'une part à l'ordonnée y„ interceptée sur le côté C Cg, d'autre part à l'ordonnée y du point d'application. Le diagramme des charges correspondant à une valeur donnée de k, comprise

entre 0 et I, donc à une valeur de x comprise entre ^ et a,

est une droite, qui se prolonge depuis le point N {y = 0 , P = (3), jusqu'au point correspondant à y„ = 2b.

C'est l'ensemble de ces droites qui couvre la deuxième région.

1 1 . L'extrémité d'une des droites sera donnée en projec­tion horizontale par les valeurs de et de y (col. II et III) correspondant à la valeur donnée de k, et à la valeur 2h

assignée à Le rapport — deviendra donc égal k

Les valeurs successives de — et correspondant aux

valeurs successives de k, détermiiTSnt le lieu des extrémités de toutes les droites comprises entre KJ, et AO, ou en d'autres ternies la courbe limite entre la deuxième et la troisième région.

pour/. ==0,e tabout i taupointD|a7 = a,?/ = — | pour k= 1.

On voit que cette courbe part du point J, œ = a _V\ 2 ' ^ ~ 2)

— 27 —

La courbe est tangente en à la droite JJ^, et en D à la tlroite J3D. En effet, d'après les valeurs des dérivées correspondant àA; = O e t à À = l (col. II et III), on trouve

, . 2a c/y / , . . . . a dy\ , que la quantité — -~ 1 égale ici a - -f^ ), s annule avec k,

yo dx \ 0 dx) et devient, en même temps que h, égale à 1.

Ces valeurs correspondent aux points d'application J, et D.

En conséquence, la courbe J^D se raccorde tangentielle-ment à la droite JJ , qui limite la région du paraboloïde hyperbolique, et à la droite DG qui limite le noyau central.

Comme nous le montrerons au n° 14, ce n'est pas seule­ment la projection J J ) de la courbe qui est tangente aux deux droites JJ, et DG : la courbe elle-même est tangente à la droite JJ ' , J^J', (fig. 2) Umitant le paraboloïde, et à l'hyperbole limitant le cylindre hyperbohque au droit de la limite GD du noyau central. Il suffira, pour faire cette démonstration, de constater que la surface gauche de la deuxième région possède en J,J ' , le même plan tangent que le paraboloïde, et en DD'j le même plan tangent que le cylindre hyperbolique. Cette démonstration, fondée sur l'identité des plans tangents, ne fera d'ailleurs que corro­borer la démonstration générale du raccordement des surfaces par contact du second ordre (démonstration annoncée au n° 7 et fournie aux n°'* 19 et 20).

1 2 . Remarquons que pour tout point d'application appartenant à la ligne J,D (aussi bien qu'à la ligne JJ , comme nous l'avons observé ci-dessus au n°8), le sommet C3 du parallélogramme sollicité se trouve sur la limite neutre correspondant à ce point d'application. Il en est de même évidemment pour la droite DG limitant le noyau central.

Donc, la Ugne JJ.DG appartient au lieu des points d'application des charges qui devraient être infinies pour produire une tension finie en C3. De même si nous consi­dérons le sommet G, nous voyons que le lieu des points d'application des charges infinies correspondant à ce point est la ligne XYGFY,X.. Cette ligne n'est autre que la direc-

— 28 —

trice du cylindre formant la surface asymptote de la surface des charges correspondant au sommet C. Sur le par­cours GF, cette surface se confond avec le plan asymptote qui correspondrait seul au point C, pour une substance susceptible de travailler par traction.

La troisième région, projetée en JDE, correspond à toutes les surfaces effectives qui ne sont ni triangulaires ni trapézoïdales, donc à toutes les surfaces effectives penta-gonales, telles que CCaU^W^C,. Les courbes appartenant à cette région se raccordent par un contact du second ordre aux lignes des régions voisines, et s'écartent donc très peu des génératrices prolongées au-delà des courbes JjD, J,E.

1 3 . La colonne IV permet de former des directrices horizontales de la surface gauche, ou des directrices paral­lèles au plan vertical AC, selon qu'on assignera à V ou à y des valeurs constantes.

Formons une des directrices horizontales et posons, à p

cet effet, P = —°, ce qui permettra de comparer la direc­

trice à la droite DD',, EE ' , limite du noyau central, pour

laquelle P est aussi égal à — •

D'après cette valeur de P, le premier membre de la for-mule IV devient : — .

3b La courbe part donc du point ZZ' (fig. 2) pour lequel

V 3 ?/ 2 |- = - , et aboutit au point DD' pour lequel ^ = ^•

La directrice horizontale, ainsi déterminée en deux de ses points, se rapporte au prolongement des génératrices puisque celles-ci cessent, au-delà de la courbe J,D, d'appar­tenir à la surface des charges.

2

Les dérivées étant respectivement — 1 et — - pour />• = 0

et = 1, c'est-à-dire pour les points Z et D, on en conclut, en considérant la colonne II, que la dérivée de — par rap-

3o

— 29 —

2.CC 1 port à — prend respectivement les valeurs — 1 et

a • - 3 pour A; = 0 et A, = 1.

D'où : pour /• = 0 ... - — = — 3,

, ^ adxi -pour A, = 1 . . . - — = — 1. h dx

1 4 . L'étude de la courbe ZZ', DD', nous permet de con­stater que la surface gauche qui couvre la deuxième région (KJ,DA) se raccorde par contact d'une part en DD', au

- cylindre hyperbolique du noyau central, d'autre part (en KA',JJ',), au paraboloïde hyperbolique de la première région (CJJ,K).

En effet, au point DD', seul point comniun au cylindi^e hyperbolique et à la surface gauche, le plan formé par les deux droites AA', DD', et DD',, HH', est à la fois tangent au cylindre hyperbolique et à la surface gauche. Ce plan comprend en effet une génératrice DD,', H H', du cylindre et une tangente AA', DD', à l 'une de ses directrices.

Il comprend d'autre part une génératrice AA', DD', de la surface gauche, et une tangente DD',, HH', à l'une de ses directrices.

D'autre part, si au lieu de considérer la directrice hori­zontale DD',, ZZ' nous considérons la directrice horizontale

P. passant par le point J,J', nous devons poser P = ~ au lieu

P Qj cllf

de p = —. Dès lors, T.-T^ devient égal à — 1 en ce point. 2 ' b dx ° ^

Or, telle ""est également la valeur de la dérivée pour la section horizontale faite dans le paraboloïde hyperbo­lique au point J,J',. Donc tout le long de la génératrice commune KA', J ,J ' , , les plans tangents aux deux surfaces réglées sont déterminés par deux mêmes droites : la géné ratrice commune et la tangente commune aux deux sec­tions horizontales.

Il résulte de là que, conformément à ce qui a été dit au

— 30 —

11° 11, la courbe J,J',, DD', se raccorde tangentiellement aux lignes projetées en JJ, et DG.

Ce qui précède corrobore l'observation générale relative au raccordement par contact (voir n° 7, 19 et 20).

1 5 . Au lieu d'utiliser la directrice ZZ'D.D',, il est plus commode de recourir à une seconde directrice DD',, HH'^, comprise d m s le plan vertical DIT.

Tons les points de la première directrice DD',, ZZ', sont

à une hauteur A ^re[)résenlative de la charge

Désignons par cv, y les coordonnées horizontales de cette directrice, et par œ, y', z' les coordonnées de la seconde directrice DD'., H H',.

Les coordonnées horizontales de cette seconde directrice satisfont à l'équation

qui est celle du plan DH. D'autre part, les coordonnées des deux points x, y, h

eix, y', z', appartenant à une même génératrice, satisfont évidemment à la proportion :

z' h - = - 7 y y

En introduisant dans les formules (6) et (7) les valeurs successives de x et de y fournies respectivement par les colonnes II et IV du tableau (n" 9) et en tenant compte de la condition P = 0,5P<„ on trouve les valeurs correspon­dantes de y' et de z'.

Le tableau ci-dessous donne les valeurs respectives de X, y, y' z', a — X, h — z' correspondant à quatre valeurs différentes de

— 31 —

A il y' a — X /i - z'

0 a 2

3h 2

V) 6

Ih 9

a 2 0,222/1

0,3 | X 1,345 f X 0,733 0,9946 0,903/8 1 X 0,655 0,097/ï

0,6 ^ X 1,673 ^ X 0,566 0,8306 0,977/1 1 X 0,327 0,023/i

1 a 26 O

26 3 h 0 0

Substituons une directrice parabolique à la directrice vraie, dont les coordonnées xy'z' sont calculées ci-dessus pour quatre de ses points. Faisons passer la directrice parabolique par les deux points extrêmes DD', et HIT^, la tangente étant horizontale au point DD', pris comme sommet de la parabole.

Les coordonnées x" et z" de cette parabole, comptées positivement d'avant en arrière et déliant en bas à partir du

sommet, sont pour le point HH'^ : x" = -, et z" == 0,222 h. 2

Pour tout autre point on écrira :

2" = X 0,222 a"

En donnant- à x" (qui est égal à a — x) les valeurs

- X 0,655 et - X 0,327 fournies par le tableau ci-dessus,

on trouve respeciivement z" = 0,095 h, et ^"==0,02376 h. La hauteur h — z" représentative de la charge prend

donc les valeurs respectives 0,905/< et 0,97624 A, tandis que les valeurs exactes fournies par la colonne des z' sont 0,903 h et 0,977 h.

— 32 —

On voit par là que l 'erreur commise en substituant la directrice parabolique à la directrice vraie est voisine de deux millièmes pour l 'un des points, inférieure à un mil­lième pour l 'autre.

Quant à la tangente à la directrice vraie, elle se confond en HH'^ avec celle de la parabole : elle coupe, en effet, en son milieu, l'horizontale DD'„ HH'^, formant la tangente au sommet.

Il suffit, pour le démontrer, de difFérentier la for­mule (7) :

y'

D'où ^'^ix '^^^ \ dy' ~ y \ y dy')

dxi Au point HH'^, y, y' et ayant respectivement pour

valeurs et 3, la dérivée est égale à — ^ ^•

4 h Or, le coefficient angulaire de la corde est — - - puisque

d'une extrémité à l 'autre de l'arc les accroissements des 5-

et des y sont respectivement - r et — \ -

La tangente en HH'^ coupe donc, en son milieu, la tan­gente horizontale HH',, DD',, menée au sommet DD',.

Telle est bien la condition à laquelle satisfait la tangente à la parabole.

1 6 . Remarquons que la position du point HH' , et l'incli­naison de la tangente en ce point se vérifient pour l'arc de parabole II', HH'^, représenté par l'équation (2) (n° 2), dans laquelle il faut poser z„ = 2h.

z 7 y 7 En effet, les valeurs — = —, et — == - vérifient l'équa-

^0 18 b G tion (2).

— 33 —

D'autre part, en dérivant les deux membres de cette

Au point HH'^ | | = _ j la dérivée prend la valeur — -Cette expression coïncide avec celle qui a été déduite de

l'équation (8).

1 7 . Une objection se présente au sujet de l'horizon­tale DD'., EE', HH/, tangente en DD'. à la directrice. Cette horizontale est celle à laquelle doivent aboutir les courbes de raccordement venant prolonger les génératrices de la deuxième région KJ,DA.

Or cette droite, qui existe effectivement entre les points DD', et EE', et qui forme la limite entre la troisième région J.ED et la région centrale EOD, existe-t-elle encore entre E et H ?En d'autres termes, la section de la surface des charges

par le plan horizontal ^ = est-elle encore rectiligne au-

delà du point E ? Cette section est courbe, mais sa courbure est tellement

faible entre E et H qu'on peut la considérer comme recti­ligne.

Cette section forme le lieu des points d'application de la

force -~ qui, à gauche du point E, donneraient encore

en C la tension R' (et donneraient, par conséquent, en Cj une tension supérieure à R').

Mais ce lieu correspond évidemment au Ueu des points

d'application qui, avec une charge --° appliquée d l'inté-

rieur de la région CA OB, donneraient au sommet C, la tension R'.

Il suffira en conséquence de considérer la colonne V du P„

tableau (n° 9), dans laquelle nous ferons P, ==—"et qui

équation par rapport à y, on trouve :

di/ ' 3b \ 3 '^b)'

— 34 —

2y

donnera les valeurs successives du rapport pour

lesquelles = /Ci

Or, si l'on pose: 2y_2x 2 [ib ~ 3a ~V

ce qui donne l'équation de la droite DJj , on voit, en

comparant les valeurs de ^ fournies respectivement par

les colonnes V et VI, que pour les valeurs de — com-a

prises entre 1,G67 et 2, la courbe de la colonne V s'écarte très peu de la droite de la colonne VI.

En conséquence, la droite DJ3 peut être confondue avec

le lieu des points d'application des charges qui détermi­

neraient en C, une tension R'.

On peut de même confondre la droite EH avec le lieu

des points d'application des charges —"qui détermineraient

en C la même tension R'. 1 8 . Remarquons d'ailleurs que la question des courbes

de raccordement présente ici un intérêt extrêmement minime, car toutes les génératrices de la seconde région, dont le prolongement percerait le plan DEH entre HH'^ et EE', se confondront presque complètement avec leurs cour])es de raccordement sur l'espace l 'elativement res­treint (compris entre la courbe J,I) et la diagonale OC), où il y aura lieu de tenir compte de celles-ci.

L'étude des courbes qui régnent dans cette partie de la, troisième région J,DE ne présente donc aucune utilité pratique. Quant à celles qui aboutissent entre les points EE' et DD',, elles sont très sufïisamment déterminées par le fait que chacune d'elles est tangente à la droite et à

— 35 —

l'hyperbole qu'elle raccorde entre elles, et qu'elle a, en outre, à son extrémité supérieure, la courbure de l'hyper­bole, et, à son extrémité inférieure, une courbure nulle.

1 9 . Pour démontrer qu'il en est ainsi, ou qu'en d'autres termes il y a contact du second ordre aux deux points de raccordement, démontrons d'une façon générale qu'en tout autre point que le point DI)',, le contact entre les différentes parties de la surface des charges est du second ordre.

Commençons par démontrer que le contact entre la ligne AA', DD', et la ligne DD',, 0 0 ' , , est du premier ordre (en nous abstenant de remarquer que ces deux lignes sont l'une du premier degré, l 'autre du second degré, ce qui écarte tout contact d'ordre supérieur).

A cet effet, considérons (flg. 5) les deux situations suc­cessives pour lesquelles le joint solUcité aurait un axe neutre se confondant avec son côté C^A.Ci et une limite neutre infiniment voisine et parallèle MM,.

Dans la premièi'e des deux situations, le diagramme des pressions est donné par le plan A',A" (la hauteur A'A" représentant la tension R' uniformément répartie sur l'arête la plus chargée).

Dans la seconde situation, le diagramme des pressions est formé des deux plans A',M' et M'A". Mais si la droite MM, au lieu d'être une limite neutre était un axe neutre, le nouveau diagramme des pressions serait constitué par le plan unique A",M'A", donnant des pressions négatives, c'est-à-dire des tractions, sur l'espace C^MM.Cj.

Dans le cas de Xaxe neutre MM,, la résultante piimilive des pressions aurait été réduite d'une résultante (infini­ment petite) de toutes les difïérences de pressions, repré­sentée par le volume projeté en A',A",A". Ce volume est un infiniment petit du premier ordre, par rapport à A',M', puisqu'il possède une dimension A',A",, proportionnelle à A',M'', et deux dimensions finies. La résultante de toutes les

tensions (résulttinte qui était — et était appliquée au point

DD') se trouve donc réduite d'un infiniment petit du pre-

— 36 —

mier ordre, correspondant au volume A/A",A", et se trouve, en outre, déplacée d'un infiniment petit du premier ordre, sous l'influence du moment de la force élémentaire repré­sentée par le volume A\A'\A".

Mais si la droite MM, est convertie en limite neutre, il faudra porter en déduction du volume du premier ordre A',A".A"levolumedu second ordre A'. A",M'. Il faudra égale­ment porter en déduction du moment du volume A',A",A' le moment du volume A',A",M'.

Donc, selon que la droite MM, est un aœe neutre ou une limite neutre, les variations de grandeur de la résultante diffèrent entre elles d'un infiniment petit du second ordre; il en est de même de ses variations de position.

Il y a donc entre les deux diagrammes des charges, correspondant l'une à l'axe neutre, l 'autreàlal imite neutre, un contact du premier ordre. (Dans le cas présent, on sait que l'un de ces diagrammes est l'iiypei'bole 0 0 ' , , DI)',, l 'autre la droite DD',, AA').

La conclusion serait la même si l'on passait de l'axe neutre C C à une limite neutre, telle que MM^ ou MM,, inclinée d'un angle infiniment petit sur l'alignement C^Cj.

Si par exemple les lignes neutres (axes ou limites neu­tres) se succèdent par rotation autour de C3, le lieu des points d'application est GDJ, (fig. 4).

Si elles se succèdent par rotation autour d'un point tel que Q (fig. 5), le lieu des points d'application est formé d'une droite (') comprise entre OD et GD (fig. 4) et d'une courbe comprise entre DA èt DJ,.

Si la rotation des lignes neutres s'ett'ectue autour d'un point tel que Mj (fig. 5), le lieu des points d'application passera par le point D en sortant de la troisième région relative au sommet C,, pour entrer dans la troisième région J,DE qui intéresse le sommet G.

Ici encore on constatera qu'en passant de l'axe neutre

(•) L'allure rectiligne de ce lieu résulte du théorème général de la récipro­cité des axes neutres : « Le lieu des points d'application correspondant aux axes neutres passant par un môme point, est l'axe neutre corref pondant à ce point. »

— 37 —

C;;C, à Taxe neutre infiniment voisin, on exerce des influences du premier ordre sur la grandeur et la position de la résultante; et qu'en transformant l'a t e neutre en une limite neutre, on ajoute à ces influences du premier ordre des influences du second ordre.

Dans tous les cas où l'axe neutre précédant immédiate­ment une limite neutre coïncide avec le côté C3C3, le point d'application correspondant est D'. Mais les points d'appli­cation suivants ne seront plus dans l'alignement DA si les limites neutres successives ne sont pas parallèles à Gfii.

2 0 . Considérons tout autre cas que celui de l'axe neutre CjC3 formant la transition entre les lignes neutres anté­rieures et les lignes neutres subséquentes.

Considérons, en d'autres termes, le cas d'un axe neutre NN, rasant le périmètre du joint en C . Lorsqu'on passera de cet axe neutre à un aœe neutre m^nimeni voisin MM , ce sera encore un volume infiniment petit du premier ordre qui sera intercepté entre les deux plans passant par ces deux axes, et passant l'un et l 'autre à une hauteur R' au-dessus du point le plus chargé C. Mais lorsqu'on transfor­mera le nouvel axe neutre MM^ en une limite neutre, le volume à retrancher du volume du premier ordre sera un volume dont la hauteur sera infiniment petite, et dont tes deux dimensions C^M, C^M , le seront aussi. Ce volume n'exercera donc plus qu'une influence du troisième ordre sur la décroissance et le déplacement de la charge.

Ce raisonnement s'applique au passage de la région cen­trale (correspondant à des axes neutres extérieurs) à la troisième région (correspondant à des surfaces effectives pentagonales). Mais pour pnsser de la troisième région à la deuxième, ou directement à la première, par le point (flg. 4), ou bien de la deuxième cà la première, ou bien encore, par le point de la deuxième région KJ.DA à la deuxième région opposée JJ ,EB, on trouvera toujours qu'à un volume infiniment petit du premier ordi^e, déterminant la variation et le déplacement de la résultante, s'ajoute un volume infiniment petit du troisième ordre, exerçant une

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influence du troisième ordre sur cette variation et sur ce déplacement.

Les contacts sont donc du premier ordre en DD', et du second ordre en tout autre point (').

Il résulte de ces considérations générales que toutes les courbes de raccordement entre les hyperboles de la région centrale et les droites de la deuxième région, ont, vers leur extrémité inférieure, une courbure qui converge vers zéro, et s'écartent donc très peu des droites auxquelles elles se raccordent. En conséquence on peut, avec une approxi­mation très suflîsante, considérer la surfiice gauche de la deuxième région comme s'étendant Inen au-delà de la limite JjD de cette surface

2 1 . L'étude de la courbe diarjonale des charges (inter­section de la surface des charges par le plan diagonal 00) permet de constater qu'effectivement l 'erreur commise est très faible lorsqu'on prolonge dans la partie inférieure de la troisième région les génératrices appartenant à la deuxième région.

Ainsi que nous l'avons dit au n° 5, la courbe diagonale des charges peut, dans la partie comprise entre les points J ,J ' , et SS', être représentée en projection verticale par un arc de cercle, si l'éclielle choisie est telle que l'ordonnée z„

(') En disant qiio les contacts sont da premier ordre en DD'i et &onl du second ordre en tout antre point, nous nous abstenons d'aborder la qiiosiion des cas exceptionnels où les contacts pourraient être d'mi ordre supérieur par lo fait quo li s différences d'accroissements (différence d'ordre deuxième ou troisième) seraient entre elles dans le mémo l'apport que les accrtis-sements eux-mêmes. Cette question est dt"'pourvuo de tout intérêt dans la présente étude.

(•) Ce n'est quo dans la partie de la troi,4ème région voisine du point SS' (tig. 2) q'ie l'erreur atteint une valeur assez considérable : 2,5 p. c. environ.

En effet, le point SS', ayant une abscisse œ égale à 1,067 | ' est très voisin

du point dont l'abscisse est éga^e à 1,073. Or, nous avons vu (au n" 15) que ce point, correspondant à la valeur h = 0,6, se trouve à une distance h — z', égale à 0,023 h, de l'horizontale DD'i HHV Cette distance est un peu inférieure à celle quo l'on calcule (0,02376 /*), en substituant une parabole à la directrice vraie. Au point SS' la distance h — z s'élève, pour la paraboK\ à 2/i —1 soit à 0,02469 h. L'erreur est donc très voisine de 2,5 p. c.

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représentative de la charge P, soit égale à la projection verticale du demi-côté b.

Pour justifier cette approximation, considérons (fig. 6) un joint en forme de losange; prenons le sommet C pour origine, et la diagonale CC pour axe unique de coordonnées horizontales. Désignons par ^l les coordonnées portées sur cette diagonale, par 21 sa longueur, et par 21' la longueur de l 'autre diagonale C^Cj.

Sur l'espace CJ,, l'équation de la courbe des charges est :

p _ 2 P X

Cette équation correspond à celle du paraboloïde hyper­bolique dont l'ordonnée verticale, représentative de P,

atteint au point J, Z^pour lequel .« = --, y = - , M = - \ la V. â s 2 /

valeur - (n° 8). G ^ '

Or, le point d'application de la charge, étant à mi-hau­teur du triangle sollicité, sa coordonnée ti est égale à la moitié de la hauteur Ug du triangle. Substituons en cor/sé-quence à u sa vnleur -^dans la formule (9).

P = ^ ' . (10)

Les formules ('j) et (10) s'appliquent au cas d'une charge développée entre les points C et J , .

En dehors de ces limites, la hauteur u„ de la surface efïective devenant supérieure à l, celle-ci affecte la forme d'un pentagone GCfififi^.

La charge P', qui serait développée sur le triangle CCeC^ de hauteur aurait pour expression, en vertu de la for­mule (10)

p,_PoM<r j j .

Cette charge serait évidemment la résultante de la charge

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réelle P et de la charge supplémentaire P " supposée déve­loppée sur les deux triangles C.C^Cô et Gfifi^.

D'où : P ' = P + P " .

D'autre part l'équation des moments est la suivante :

l Désignons par o le rapport — . Il est évident que la

tension, étant R ' en C,, n'est que ôR' aux deux sommets C, et Cj, et que dès lors la charge P " correspondant à l'ensemble des surfaces triangulaires C.C^Cget CjCjC, a pour expression :

P " = 2P'0\

Substituons à P " sa valeur dans les deux équations précédentes :

P = P ' ( 1 _ 2 G ^ ) (12)

Divisons la dernière équation par la précédente, membre à membre :

I - oV +

1—20'

2 7 7v

Telle est l'expression de u en fonction du paramètre if„. Pour établir l'expression do P, il sufïit d'éliminer P ' entre les équations (U) et (12) et de remi)lacer 0 par sa valeur

Les deux formules (13) et (14) font voir, à titre de véri­fication que si Uo est égal à l, u et P prennent respective-

l P ment les valeurs - et — ; et que si Ug atteint la valeur 2(, pour laquelle le joint entier est sollicité, ii et P atteignent

bl ]^ les valeurs — et — qui correspondent au point SS' (flg.?),

6 2 appartenant à la limite de la région centrale et de la troi­sième région.

On trouve encore, à titre de vérification, par des calculs très simples mais très longs (et que nous croyons donc inutile de reproduire), que la courl)e se racconle tangen-tiellement au point J.J', à la parabole de la première région et au point SS' à l'hyperbole de la région centrale.

2 2 . La tangente en projection verticale au point J ' , (flg. 2) coupe l'axe des abscisses à une distance de l'origine 0 ' égale aux trois quarts de la longueur O'A'. Elle coupe la verticale O'O', à mi-hauteur.

Réciproquement la tangente à l'hyperbole en S', étant deux fois plus inclinée en projection verticale que les tan­gentes aux hyperboles parallèles au plan vertical AO (fig. 2), coupe l'axe des abscisses en son milieu, et l'nxe vertical aux trois quarts de sa hauteur.

Ces deux tangentes forment donc une figure symétrique si les deux longueurs O'A', O'O', sont égales entre elles. Il

(14)

existe en ce cas un arc de cercle tangent aux deux courbes qui aboutissent, l 'une en J ' , , l 'autre en S'. Le centre de cet arc se trouve sur l'axe de symétrie incliné à 45" sur les axes O'O'. et O'A'.

Le point 0 ' étant pris comme origine dans la projection verticale (fig. 2) et les coordonnées étant désignées par t/" et ; respectivement suivant l'hori/ontale et suivant la ver­ticale, l'alignement du rayon mené en S' a pour équation :

z„ représentant dans le premier membre la hauteur O'O',, et dans le second, la longueur O'A', égale par construction à O'O',.

Cette équation, combinée avec celle de la bissectrice, donne les coordonnées du centre :

' - y = " 6 " -

L'é(iuation du cercle est donc :

Pour montrer que l'arc de cercle ainsi construit peut se substituer avec une approximation sutîisante à la projec­tion verticale de la courbe vraie, déterminons d'après les équations exactes (13) et (14) deux valeurs correspon­dantes de M et de P.

\l Donnons à cet effet à u„ la valeur particulière —-•

»j On trouve en ce cas :

t« = 0 , (3505 (? (16)

P = 0 , î ; 8 7 P , (17)

Comparons ce résultat à celui que donne la courbe pro­jetée suivant un arc de cercle.

Les coordonnées u et y" qui interviennent dans les for­mules (13) et (15) sont liées entre elles par la relation :

/ — u y" l 2„

— 43 —

En conséquence, si dans la formule (15) on substitue à y"

— sa valeur 1 — 0,6505 correspondant à l'expression (16),

on trouve : — = 0,286. D 'où : P = 0,286 P„. (18) On constate, en conséquence, un écart d'un tiers pour

cent environ entre l'expression exacte (17) et l'expression approximative (18). Telle est l'erreur commise en substi­tuant l'équation circulaire (15) aux équations exactes (13) et (14).

Procédons à une seconde recherche relative à ce même point, dont les coordonnées horizontales, par rajiport au point C pris comme origine, sont :

^==y = 0,6505. a b

Cherchons de combien ce point se trouve relevé au-dessus du point correspondant de la surface gauche de la deuxième région, supposée prolongée dans la troisième région. Au lieu d'étudier la surface gauche réelle, nous considérerons la surface gauche approchée, telle que nous l'avons construite en faisant usage de la directrice para­bolique DD',, HH' , .

Etablissons l'équation de la surface gauche approchée, en prenant, comme précédenuuent, le point C pour origine et les axes CA, CB pour axes des œ et des y.

Les coordonnées d'un point pris sur une génératrice sont entre elles comme les coordonnées y'z' du point où la génératrice vient s'appuyer sur la directrice DD',, HIl'j.

y Désignons par h la hauteur du point DD',. Les équations

de la parabole DD',, HH'^, que nous substituons à la direc­trice vraie, sont les suivantes :

La première de ces deux équations est celle du plan vertical qui contient la parabole. La seconde est celle du cylindre projetant la parabole sur le plan de projection vertical.

Par l'élimination de //' et de z' entre les troi^ dernières équations, on trouve l'expression de z en fonction de x et y :

3 a Or, z et h étant respectivement les ordonnées représen-

p

tatives des charges P et —l ' express ion peut se mettre

sous la forme :

\\ 2b 3 a

Telle est l'équation approximative de la surlace des charges, équation obtenue en substituant à la directrice vraie la directri(îe parabolique.

Si l'on pose dans cette équation :

= ^ = 0,6505, a b

on trouve : p = 0,285 P„. (20)

Il existe, en conséquence, dans le cas considéré, un écart de deux tiers pour cent environ entre la valeur de P donnée par les formules exactes et la valeur obtenue en

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prolongeant la surface gauche approchée, en dehors des limites J,D.

Mais il reste à rechercher si Xécart vrai n'est pas plus grand que l'écart déterminé d'après l'équation (19) de la surface gaxicJte approchée. Calculons en conséquence l'ordonnée de la surface gaucJie vraie.

On trouve, en appliquant les formules exactes (II) et (IV)

(n° 9), que l'expression - = 0,G505, soit — = 1,301, cor-a a

respond à 0,263 et à = 0,76091. oPb

^, . P ?/ 1

y oc Et comme y- = — = 0,6505, on trouve, en effectuant les

o a opérations comme dans le cas précédent : P = 0,285 ?„.

On obtient donc, par l'application des formules exactes au cas considéré, le même résultat que par l'application de la formule approximative (19).

Cet exemple fait voir qu'il y a une coïncidence presque complète entre la surface gauche vraie et la surface gauche approchée. Elle fait voir, en outre, que les courbes de raccordement de la troisième région s'écartent extrê­mement peu, vers leur partie inférieure, des génératrices dont elles forment le prolongement.

Les écarts donnés par le calcul sont certainement infé­rieurs aux erreurs inséparables de toute construction gra­phique.

On obtiendra donc une représentation très suffisamment exacte de la surface des charges en considérant celle-ci comme formée sur tout l'espace CSDA de génératrices rectilignes parallèles au plan AO, et s'appuyant d'une part sur le côté AC, d'autre par sur la directrice parabolique, et en se contentant de racheter, par de petits arcs de cercle dè raccordement, la discontinuité qui se manifeste dans la région voisine du point SS'.

Evidemment, on pourrait, au lieu d'utiliser le dia-

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gramme superficiel, résoudre, suivant les cas, l 'une ou l 'autre des équations (1) et (19). Mais le calcul est évidem­ment plus long et plus fatigant; et s'il écarte les petites erreurs inséparables de toute construction graphique, il donne, d'autre part, beaucoup moins de garanties contre les erreurs grossières.

Il importe de remarquer que la recherche de la surface des charges ne s'applique pas à des rectangles ou à des parallélogrammes dont les dimensions soiit entre elles dans un rapport très éloigné de l'unité. Pour un nuir de grande longueur, on ne peut considérer les difïérentcs parties il'une même assise connue solidaires les unes des autres. Si ce mur est soumis à des charges variables sur les différentes parties de sa longueur, la meilleure méthode consiste à assimiler le mur à un ensemble de piliers indépendants les uns des autres, et dont on étudiera isolément la stabilité.

Il ne faut pas oublier d'ailleurs que les raisonnements relatifs à la consti'uction du diagramme de Bélanger repo­sent entièrement sur une base hypothétique : la loi de variation des tensions suivant une fonction du premier degré. De semblables raisonnements n'acquièrent de force probante que lorsque leurs conclusions ont été contrôlées par de nombreuses expériences destinées à justifier l'hypo­thèse initiale.

Or, si de telles expériences sont faciles à effectuer pour des pièces continues, il n'en est plus de même pour des assemblages de j)ierres ou de briques simplement super­posées les unes aux autres. Les résultats de la théorie restent donc entachés d'une grande incertitude, aussi bien pour le diagramme proprement dit de Bélanger que pour le diagranime superficiel : le diagramme proprement dit doit être considéré coinme ne donnant qu'une notion approximative de la décroissance qu'il faut faire subir à la charge lorsque son point d'application s'écarte du centre, suivant nn des axes du joint rectangulaire (ou suivant un des diamètres du parallélogramme).

Or comme le point d'application de la charge est exposé à s'écarter du centre suivant toute outre direction que celle de l'axe ou du diamètre, le diagramme de Bélanger ne

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donne que d'une façon incomplète la solution du problème. Il importait de posséder une notion (forcément approxi­mative, elle aussi) de la décroissance que doit subir la charge, du fait qu'elle vient à être appliquée en deliors de l'axe ou du diamètre.

C'est cette notion que fournit le diagramme superficiel.

L. Anspach. - Diaqramme superficiel de Belanger.

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